資源簡介

第05講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解并掌握同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用； 2.會(huì)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行化簡、求值與恒等式證明。 1.通過推導(dǎo)三角函數(shù)的基本關(guān)系，培養(yǎng)邏輯推理等核心素養(yǎng)； 2.通過同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。
知識點(diǎn)01 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式
1、平方關(guān)系
（1）公式：
（2）文字表述：同一個(gè)角的正弦、余弦的平方和等于1
2、商數(shù)關(guān)系
（1）公式：
（2）文字描述：同一個(gè)角的正弦、余弦的商等于角的正切
【解讀】（1）“同角”有兩層含義，一是“角相同”；二是對“任意”一個(gè)角(在使函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都不成立，即與角的表達(dá)形式無關(guān)，如不成立，但是就不一定不成立．
（2）是的簡寫，讀作“的平方”，不能將寫成，前者是的正弦的平方，后者是的正弦，兩者是不同的，要弄清它們的區(qū)別，并能正確書寫．
（3）注意同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式都是對于使它們有意義的角而言的，對一切恒不成立，而僅對不成立．
【即學(xué)即練1】（24-25高一上·天津·月考）已知，是第二象限角，則=
知識點(diǎn)02 常用等價(jià)變形
平方關(guān)系變形
商數(shù)關(guān)系變形
【解讀】使用變形公式，時(shí)，“±”由的終邊所在的象限來確定，而對于其他形式的變形公式則不必考慮符號問題．
【即學(xué)即練2】（24-25高一上·廣東東莞·期中）已知，則 ．
題型01 sinα、cosα、tanα知一求二
【典例1】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）（1）已知，求，的值；
（2）已知，，求的值．
【變式1】（24-25高一上·廣西南寧·階段練習(xí)）若，θ是第三象限角， 則（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24高二下·云南·期末）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（24-25高一上·廣西南寧·階段練習(xí)）已知是第三象限角，且 ，則 .
【變式4】（24-25高一上·北京·階段練習(xí)）已知，且則 .
題型02 根據(jù)條件等式求正余弦
【典例2】（23-24高一上·福建泉州·期末）已知，則 （ ）
A． B． C． D．
【變式1】（23-24高三上·福建泉州·期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24高三上·安徽六安·階段練習(xí)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（23-24高一下·上海·期末）若，且，則 ．
題型03 根據(jù)平方關(guān)系求參數(shù)
【典例3】（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）已知，，則實(shí)數(shù)k的值為 .
【變式1】（24-25高三上·河南安陽·期中）當(dāng)時(shí)，若存在實(shí)數(shù)，使得不成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（ ）
A．6 B．10 C．12 D．16
【變式2】（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）若，，則 ．
【變式3】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知，，則 ．
【變式4】（24-25高一上·上海·課堂例題）已知，，其中，求的值.
題型04 正余弦齊次式的應(yīng)用
【典例4】（24-25高一上·廣東惠州·階段練習(xí)）已知， 則（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知，則（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【變式2】（24-25高一上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過定點(diǎn)A，且點(diǎn)A在角θ的終邊上，則（ ）
A． B．0 C．7 D．
【變式3】（24-25高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）若，則 .
【變式4】（24-25高一上·天津·階段練習(xí)）已知，求及的值.
題型05 sinα·cosα、sinα±cosα知一求二
【典例5】（24-25高一上·廣東東莞·期中）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（23-24高一上·廣東汕頭·期末）（多選）已知α為銳角，且則下列選項(xiàng)中正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（24-25高一上·吉林長春·階段練習(xí)）（多選）設(shè)，已知，是方程的兩根，則下列等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】（24-25高一上·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
題型06 三角函數(shù)式的化簡求值
【典例6】（24-25高一上·陜西西安·階段練習(xí)）若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（24-25高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）（1）化簡：，其中是第二象限角；
（2）化簡：.
題型07 三角函數(shù)式的證明
【典例7】（23-24高一·上海·課堂例題）證明下列恒等式：
(1)；
(2)．
【變式1】（23-24高一上·甘肅蘭州·期末）求證：
(1)；
(2).
【變式2】（24-25高一·全國·隨堂練習(xí)）求證：
(1)；
(2)；
(3)．
【變式3】（23-24高一上·江蘇·課后作業(yè)）求證：.
【變式4】（24-25高一·全國·單元測試）求證:.
一、單選題
1．（24-25高三上·江西·階段練習(xí)）若，則=（ ）
A． B．5 C． D．
2．（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）若，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若，α為第四象限角，則的值為（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·河南南陽·階段練習(xí)）已知為第二象限角，則的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．（23-24高一上·上海·期末）若，則的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）若，，則（ ）
A． B． C．2 D．
7．（24-25高一上·廣東東莞·期中）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，且為第三象限角，則（ ）
A．2 B．3 C．或3 D．2或
9．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
10．（24-25高一下·河南南陽·期中）的值可能為（ ）
A． B． C．1 D．3
11．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）（多選）下列計(jì)算或化簡結(jié)果正確的有（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若α為第一象限角，則
12．（24-25高一上·吉林長春·階段練習(xí)）設(shè)，已知，是方程的兩根，則下列等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
13．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知角的終邊過點(diǎn)，則 .
14．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知，，則 .
15．（24-25高一上·山東淄博·階段練習(xí)）已知，且，則 ．
四、解答題
16．（24-25高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)根．
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)求的值．
17．（24-25高一上·廣東深圳·階段練習(xí)）（1）已知，在第二象限，求，的值；
（2）已知，求的值；
18．（24-25高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）（1）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，求值.
（2）已知，計(jì)算的值.
（3）已知，求（結(jié)果用表示）
19．（24-25高一上·江蘇·階段練習(xí)）（1）化簡：.
（2）已知是第三象限角，且是方程的一個(gè)實(shí)根，求的值.
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課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解并掌握同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用； 2.會(huì)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行化簡、求值與恒等式證明。 1.通過推導(dǎo)三角函數(shù)的基本關(guān)系，培養(yǎng)邏輯推理等核心素養(yǎng)； 2.通過同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。
知識點(diǎn)01 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式
1、平方關(guān)系
（1）公式：
（2）文字表述：同一個(gè)角的正弦、余弦的平方和等于1
2、商數(shù)關(guān)系
（1）公式：
（2）文字描述：同一個(gè)角的正弦、余弦的商等于角的正切
【解讀】（1）“同角”有兩層含義，一是“角相同”；二是對“任意”一個(gè)角(在使函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都不成立，即與角的表達(dá)形式無關(guān)，如不成立，但是就不一定不成立．
（2）是的簡寫，讀作“的平方”，不能將寫成，前者是的正弦的平方，后者是的正弦，兩者是不同的，要弄清它們的區(qū)別，并能正確書寫．
（3）注意同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式都是對于使它們有意義的角而言的，對一切恒不成立，而僅對不成立．
【即學(xué)即練1】（24-25高一上·天津·月考）已知，是第二象限角，則=
【答案】
【解析】由，是第二象限角，得，
所以.
知識點(diǎn)02 常用等價(jià)變形
平方關(guān)系變形
商數(shù)關(guān)系變形
【解讀】使用變形公式，時(shí)，“±”由的終邊所在的象限來確定，而對于其他形式的變形公式則不必考慮符號問題．
【即學(xué)即練2】（24-25高一上·廣東東莞·期中）已知，則 ．
【答案】
【解析】由兩邊平方得：.
故答案為：.
題型01 sinα、cosα、tanα知一求二
【典例1】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）（1）已知，求，的值；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）答案見解析；（2）
【分析】利用同角公式和弦切互化公式，結(jié)合不同象限角的三角函數(shù)符號來求值即可.
【詳解】因?yàn)椋遥允堑诙虻谌笙薜慕牵?br/>當(dāng)是第二象限角時(shí)，有，．
當(dāng)是第三象限角時(shí)，同理有 ，．
由已知得
由①得，代入②得，
所以．又，所以，所以．
【變式1】（24-25高一上·廣西南寧·階段練習(xí)）若，θ是第三象限角， 則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平方關(guān)系求得，再結(jié)合正切公式運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)棣仁堑谌笙藿牵瑒t，
所以.
.
【變式2】（23-24高二下·云南·期末）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可.
【詳解】由，，
得，
所以.
.
【變式3】（24-25高一上·廣西南寧·階段練習(xí)）已知是第三象限角，且 ，則 .
【答案】
【分析】利用三角函數(shù)同角基本關(guān)系式求解即可.
【詳解】因?yàn)椋沂堑谌笙藿牵?br/>所以，，
所以.
故答案為：.
【變式4】（24-25高一上·北京·階段練習(xí)）已知，且則 .
【答案】
【分析】根據(jù)同角關(guān)系即可求解.
【詳解】由可得，
由于，故，
故，
故答案為：.
題型02 根據(jù)條件等式求正余弦
【典例2】（23-24高一上·福建泉州·期末）已知，則 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接由平方關(guān)系以及商數(shù)關(guān)系化簡求解即可.
【詳解】由題意，所以，
化簡得，因?yàn)椋裕?br/>所以，解得.
.
【變式1】（23-24高三上·福建泉州·期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系和范圍即可解出，則得到答案.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，結(jié)合，
解得，則，
.
【變式2】（23-24高三上·安徽六安·階段練習(xí)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出、，即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
即，即，
顯然，所以，則，
又，所以，
所以.
【變式3】（23-24高一下·上海·期末）若，且，則 ．
【答案】/
【分析】由已知條件結(jié)合平方和關(guān)系求出和即可求.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>又即，
故由平方和關(guān)系得即，
所以即，故，
所以.
故答案為：.
題型03 根據(jù)平方關(guān)系求參數(shù)
【典例3】（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）已知，，則實(shí)數(shù)k的值為 .
【答案】0或1
【分析】運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合正余弦值域解題即可
【詳解】由于，．根據(jù)題意得到：
，即，解得.
滿足,則k的值為0或1.
故答案為：0或1.
【變式1】（24-25高三上·河南安陽·期中）當(dāng)時(shí)，若存在實(shí)數(shù)，使得不成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（ ）
A．6 B．10 C．12 D．16
【答案】A
【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和基本不等式求最值.
【詳解】因?yàn)椋?
由，得.
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號不成立，
所以實(shí)數(shù)的最小值為16.
.
【變式2】（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）若，，則 ．
【答案】0或
【分析】根據(jù)，代入整理求解得出的值，進(jìn)而得出的值，即可得出答案.
【詳解】由已知可得，，
所以，，
整理可得，，解得或.
當(dāng)時(shí)，，，；
當(dāng)時(shí)，，，.
綜上所述，或.
故答案為：0或.
【變式3】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知，，則 ．
【答案】或
【分析】利用平方關(guān)系列方程求參數(shù)，再由參數(shù)值求對應(yīng)正弦值.
【詳解】由，可得或，
當(dāng)時(shí)，，，故；
當(dāng)時(shí)，，，故.
故答案為：或
【變式4】（24-25高一上·上海·課堂例題）已知，，其中，求的值.
【答案】
【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式列方程，求得的可能取值，根據(jù)為第二象限角求得的值.
【詳解】解：由，
易得，
解得或1.
由，所以
①當(dāng)時(shí)，，，不合題意，舍去；
②當(dāng)時(shí)，，，符合題意.
綜上，.
題型04 正余弦齊次式的應(yīng)用
【典例4】（24-25高一上·廣東惠州·階段練習(xí)）已知， 則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)條件三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，再代入計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以.
【變式1】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知，則（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】D
【分析】根據(jù)弦切互化求出，即可代入求解.
【詳解】，解得，故.
【變式2】（24-25高一上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過定點(diǎn)A，且點(diǎn)A在角θ的終邊上，則（ ）
A． B．0 C．7 D．
【答案】A
【分析】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的商關(guān)系進(jìn)行求解即可.
【詳解】對于函數(shù)（且），當(dāng)時(shí)，，即，
因?yàn)辄c(diǎn)A在角θ的終邊上，
所以，
于是，
【變式3】（24-25高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）若，則 .
【答案】1
【分析】利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式，將弦的齊次式化成正切，代入計(jì)算即得.
【詳解】由.
故答案為：1.
【變式4】（24-25高一上·天津·階段練習(xí)）已知，求及的值.
【答案】；.
【分析】根據(jù)給定條件，利用正余弦齊次式法計(jì)算得解.
【詳解】由，得；
.
題型05 sinα·cosα、sinα±cosα知一求二
【典例5】（24-25高一上·廣東東莞·期中）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)椋裕?br/>又，所以，所以，
又，
所以..
【變式1】（23-24高一上·廣東汕頭·期末）（多選）已知α為銳角，且則下列選項(xiàng)中正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】DD
【解析】因?yàn)椋裕翞殇J角，所以，故A錯(cuò)誤；
由，兩邊平方可得，故C正確；
因?yàn)棣翞殇J角，
所以，故D正確；
由，故B錯(cuò)誤.D
【變式2】（24-25高一上·吉林長春·階段練習(xí)）（多選）設(shè)，已知，是方程的兩根，則下列等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得關(guān)于，的方程，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系，完全平方公式，平方差公式，逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對于A，由題意，，是方程的兩根，則，
由，得，即，
解得，則，解得，故A錯(cuò)誤；
對于B，，
因?yàn)椋裕郑裕?br/>則，因此，故B正確；
對于C，由，解得，
則，故C錯(cuò)誤；
對于D，，故D正確；
D.
【變式3】（24-25高一上·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】由題意知，平方求得，結(jié)合，化簡得到，進(jìn)而逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>可得，
因?yàn)椋裕裕瑒t，
又由，所以，故D正確；
聯(lián)立方程組，解得，故A、B正確，
由，故C錯(cuò)誤.
BD.
題型06 三角函數(shù)式的化簡求值
【典例6】（24-25高一上·陜西西安·階段練習(xí)）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化切為弦利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡得，然后根據(jù)角的范圍判斷，即可得解.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>所以，又，，則，
所以.
【變式1】（24-25高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用的關(guān)系和題中條件即可求得的值，進(jìn)而得到的值.
【詳解】因?yàn)椋遥?br/>設(shè)，則且，
∴，
∴，即，解得（舍）或，
∴，即異號，
∴.
.
【變式2】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)同角關(guān)系湊出平方關(guān)系去掉根號，結(jié)合范圍即可求解.
【詳解】易知，
故.
【變式3】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平方關(guān)系配方和開方，結(jié)合角的象限可確定符號，即可得解.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，
故原式，
．
【變式4】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）（1）化簡：，其中是第二象限角；
（2）化簡：.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及象限符號即可得出答案；
（2）利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡計(jì)算即可.
【詳解】（1）因?yàn)槭堑诙笙藿牵裕?br/>則；
（2）
.
題型07 三角函數(shù)式的證明
【典例7】（23-24高一·上海·課堂例題）證明下列恒等式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)證明見詳解
(2)證明見詳解
【分析】（1）由左邊，利用同角間正弦、余弦的關(guān)系，化簡變形即可的證；
（2）由右邊，展開，利用同角間正弦、余弦的關(guān)系，化簡后分解因式，即可得到左邊，恒等式的證.
【詳解】（1）左邊
右邊.
則恒等式不成立.
（2）右邊
左邊.
則恒等式不成立.
【變式1】（23-24高一上·甘肅蘭州·期末）求證：
(1)；
(2).
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用平方關(guān)系和商關(guān)系可證結(jié)論；
（2）利用平方關(guān)系可證結(jié)論.
【詳解】（1）證明：左邊=
=右邊.
（2）證明：左邊= =右邊.
【變式2】（24-25高一·全國·隨堂練習(xí)）求證：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析；
(3)證明見解析.
【分析】（1）利用平方差公式及證明.
（2）利用提取公因式及證明.
（3）利用通分，因式分解等式的運(yùn)算結(jié)合證明.
【詳解】（1）.
故不成立.
（2）
故不成立.
（3）
.
故不成立.
【變式3】（23-24高一上·江蘇·課后作業(yè)）求證：.
【答案】證明見解析
【分析】應(yīng)用作差法，結(jié)合同角三角函數(shù)平方關(guān)系化簡求值，即可證結(jié)論.
【詳解】∵，
∴.
【變式4】（24-25高一·全國·單元測試）求證:.
【答案】證明見解析
【分析】方法一：先將左側(cè)分式通分，分子分母同時(shí)乘以2，結(jié)合平方關(guān)系式將分母整理成完全平方的形式，再化簡求值.
方法二：在等式的左側(cè)同時(shí)乘以，創(chuàng)造右側(cè)的分母，然后把所乘代數(shù)式的分子與左側(cè)代數(shù)式的分子相乘，再化簡計(jì)算得出結(jié)果.
【詳解】方法一:左邊=
=
=
=
=
=右邊.
方法二:左邊
=
=
=
=
=
=右邊.
一、單選題
1．（24-25高三上·江西·階段練習(xí)）若，則=（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，利用齊次式法列式求出.
【詳解】由，得，所以.
2．（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系中平方和關(guān)系進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以．
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若，α為第四象限角，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用同角的三角函數(shù)的平方關(guān)系可求解.
【詳解】因?yàn)椋瑸榈谒南笙藿牵?
.
4．（23-24高一下·河南南陽·階段練習(xí)）已知為第二象限角，則的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】先根據(jù)角所在象限得到，，進(jìn)而化簡求值．
【詳解】是第二象限角，
，，故．
．
5．（23-24高一上·上海·期末）若，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡可得出所求代數(shù)式的值.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以，.
.
6．（24-25高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）若，，則（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合計(jì)算，并且需要分類討論．
【詳解】且，
，
又，
，
解得：或，
當(dāng)，則，則；
當(dāng)，則（舍去）；
．
7．（24-25高一上·廣東東莞·期中）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得，可求得，進(jìn)而可求的值.
【詳解】因?yàn)椋裕郑裕?br/>所以，
又，
所以.
.
8．（24-25高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，且為第三象限角，則（ ）
A．2 B．3 C．或3 D．2或
【答案】A
【分析】利用同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系以及角的范圍計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】易知，
整理可得，解得或，
又為第三象限角，可得，即，（舍去）；
9．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)，代入化簡求解.
【詳解】原式
.
二、多選題
10．（24-25高一下·河南南陽·期中）的值可能為（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】CD
【分析】根據(jù)角所在的象限分類討論即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以且，
若在第一象限，則，故原式，
若在第二象限，則，原式，
若在第三象限，則，原式，
若在第四象限，則，原式
D
11．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）（多選）下列計(jì)算或化簡結(jié)果正確的有（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若α為第一象限角，則
【答案】AD
【分析】由同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系可判斷A、D，由同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系結(jié)合平方關(guān)系可判斷B，由三角函數(shù)的符號可判斷C.
【詳解】對于A，，A正確，,；
對于B，，B不正確，；
對于C，∵的范圍不確定，∴的符號不確定，故C不正確．
對于D，∵α為第一象限角，
∴原式，D正確．
D.
12．（24-25高一上·吉林長春·階段練習(xí)）設(shè)，已知，是方程的兩根，則下列等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得關(guān)于，的方程，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系，完全平方公式，平方差公式，逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對于A，由題意，，是方程的兩根，則，
由，得，即，
解得，則，解得，故A錯(cuò)誤；
對于B，，
因?yàn)椋裕郑裕?br/>則，因此，故B正確；
對于C，由，解得，
則，故C錯(cuò)誤；
對于D，，故D正確；
D.
三、填空題
13．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知角的終邊過點(diǎn)，則 .
【答案】
【分析】由三角函數(shù)的定義求得，然后將齊次式化簡求解即可.
【詳解】由題得，
.
故答案為：.
14．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知，，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系求解即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>則，
又，
則，故.
故答案為：.
15．（24-25高一上·山東淄博·階段練習(xí)）已知，且，則 ．
【答案】
【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系計(jì)算即可.
【詳解】由可知，
又
，即，
則，
所以，
故.
故答案為：.
四、解答題
16．（24-25高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)根．
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）計(jì)算，根據(jù)韋達(dá)定理結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系式，可得，求解可得答案；
（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系式化簡，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．
【詳解】（1）∵是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，
∴，解得或，
由韋達(dá)定理得，
∵，
解得或（舍），
故．
（2）
．
17．（24-25高一上·廣東深圳·階段練習(xí)）（1）已知，在第二象限，求，的值；
（2）已知，求的值；
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式即可得解；
（2）利用正余弦的齊次式法即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)椋诘诙笙蓿?br/>所以，；
（2）因?yàn)椋?br/>所以.
18．（24-25高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）（1）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，求值.
（2）已知，計(jì)算的值.
（3）已知，求（結(jié)果用表示）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）首先根據(jù)題意得到，再根據(jù)求解.
（2）根據(jù)已知條件得到，再根據(jù)求解.
（3）根據(jù)已知條件得到，再根據(jù)求解.
【詳解】由角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，可知，
則可得.
（2）由，化簡得，因此.
所以.
（3），
所以.
19．（24-25高一上·江蘇·階段練習(xí)）（1）化簡：.
（2）已知是第三象限角，且是方程的一個(gè)實(shí)根，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用平方關(guān)系計(jì)算可得；
（2）依題意可得，再求出，最后由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，再代入計(jì)算可得.
【詳解】（1）
；
（2）因?yàn)槭堑谌笙藿牵裕?br/>又是方程的一個(gè)實(shí)根，由，解得，，
所以，
所以
.
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