資源簡介

6.2.1排列 + 6.2.2排列數
——高二數學人教A版（2019）選擇性必修第三冊課前導學
知識填空
1.排列：一般地，從個不同元素中取出個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個 .
2.兩個排列相同的充要條件是：兩個排列的元素完全 ，且元素的排
列 也相同.
3.排列數：把從個不同元素中取出個元素的所有不同排列的 ，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數，用符號 表示.
4.排列數公式：.這里，并且.
排列數公式還可以寫成 .
5.全排列的概念：特別地，把個不同的元素全部取出的一個排列，叫做個元素的一個全排列.正整數1到的連乘積，叫做的 ，用表示，于是，個元素的全排列數公式可以寫成 . 另外規定， .
思維拓展
1.排列問題的判斷標準是什么？
2.解決含有特殊元素或特殊位置的排列問題的基本思路是什么？
3.解數字排列問題的常見方法有哪些？
基礎練習
1.某學校安排4位教師在星期一至星期五值班，每天只安排1位教師，每位教師至少值班1天，至多值班2天且這2天相連，則不同的安排方法共有( )
A.24種 B.48種 C.60種 D.96種
2.一個小型聯歡會要安排1個詩詞朗誦類節目，2個獨唱類節目，2個歌舞類節目，則同類節目不相鄰的安排方式共有( )
A.44種 B.48種 C.72種 D.80種
3.國慶期間，中華世紀壇舉辦“傳奇之旅：馬可 波羅與絲綢之路上的世界”展覽，現有8個同學站成一排進行游覽參觀，若將甲、乙、丙3個同學新加入排列，且甲、乙、丙互不相鄰，保持原來8個同學順序不變，則不同的方法種數為( )
A.84 B.120 C.504 D.720
4.在某次太空游行中，宇航員們負責的科學實驗要經過5道程序，其中A，B兩道程序既不能放在最前，也不能放在最后，則該實驗不同程序的順序安排共有( )
A.18種 B.36種 C.72種 D.108種
5.一只小蜜蜂位于數軸上的原點處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個單位或者兩個單位距離的能力，且每次飛行至少一個單位.若小蜜蜂經過4次飛行后，停在位于數軸上實數3的點處，則小蜜蜂不同的飛行方式有( )
A.22 B.24 C.26 D.28
【答案及解析】
一、知識填空
1.排列
2.相同 順序
3.個數
4.
5.階乘 1
二、思維拓展
1.（1）元素無重復性；
（2）元素有序性.
2.（1）特殊元素優先安排位置，特殊位置優先安排元素.
（2）排除法（即間接求解），先不考慮限制條件計數，再逐一排除不符合要求的方法數即得.
（3）重視對問題作分類或分步處理，從而將復雜問題簡單化.
3.（1）兩優先排法：特殊元素優先排列，特殊位置優先填充.
（2）分類討論法：按照某一標準將排列分成幾類，然后按照分類加法計數原理進行，要注意如下兩點：一是分類標準必須恰當；二是分類過程要做到不重不漏.
（3）排除法：全排列數減去不符合條件的排列數.
（4）位置分析法：按位置逐步討論，把每個數位用符合條件的數字排列.
三、基礎練習
1.答案：D
解析：由題意，從星期一至星期五值，2天相連的情況有4種，則不同的安排方法共有種.故選：D.
2.答案：B
解析：依題意五個節目全排列有種排法；若獨唱類節目相鄰，則有種排法；
若歌舞類節目相鄰，則有種排法；若獨唱類節目相鄰且歌舞類節目也相鄰，則有種排法；綜上可得同類節目不相鄰的安排方式共有種.
故選：B
3.答案：C
解析：8個同學站成一排有9個空，甲、乙、丙在9個空中任意排列，則不同的方法種數為.故選：C.
4.答案：B
解析：先排A，B兩道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，則在第2，3，4道程序中選兩個放A，B，共有種安排方法；再排剩余的3道程序，共有種安排方法，所以一共有種不同的順序安排方法.故選：B.
5.答案：B
解析：經過4次飛行，停在位于數軸上實數3的點處，設向右飛行1個單位為事件A，向右飛行2個單位為事件B，
情況一，滿足要求，此時只需安排好B，，故不同的飛行方式為種，
情況二，滿足要求，此時只需安排好，A故不同的飛行方式為種，
綜上，小蜜蜂不同的飛行方式有種.故選：B6.3.1 二項式定理
——高二數學人教A版（2019）選擇性必修第三冊課前導學
知識填空
公式，叫做_____________，右邊的多項式叫做的_____________，其中各項的系數叫做_____________.式中的叫做二項展開式的_________，用表示，即通項為展開式的第項：_____________.
思維拓展
1.利用二項式定理解題的思路是什么？
2.如何求二項展開式特定項？
3.利用二項式定理證明或判斷整除問題的一般方法是什么？
基礎練習
1.在展開式中，系數為( )
A.5 B.10 C.15 D.20
2.已知，則等于( )
A.16 B.80 C.81 D.243
3.展開式中的項數為( )
A.11 B.12 C.22 D.
4.若，則( )
A.20 B.19 C. D.
5.若，則( )
A.40 B.41 C.-40 D.-41
【答案及解析】
一、知識填空
二項式定理 二項展開式 二項式系數 通項
二、思維拓展
1.（1）求二項展開式時，要根據公式利用組合數系數作為因子寫出各項，然后化簡得結果.
（2）逆用二項式定理可將一些特殊的多項式化簡，其方法是將多項式的項數、各項的系數及冪指數等構造成滿足二項展開式的結構特征，即可逆用二項式定理將多項式化為的形式.
2.利用二項展開式的通項可以求二項展開式中任一特定項，如常數項、有理項等.解題時務必須注意：（1）是求某個特定項還是求其系數；（2）是指展開式中的第項，而非第r項；（3）有些特定項不知道是第幾項，需要列出r的方程解出r，進而得.
3.（1）變形：將冪底數寫成兩個數之和，其中一個數是除數的倍數或k次方根；
（2）展開：將變形后的式子按二項式定理展開；
（3）判斷：判斷或證明展開式中各項均能被除數整除；
（4）下結論.
三、基礎練習
1.答案：C
解析：依題意，，因此展開式中，含的項為，所以系數為15.故選：C.
2.答案：C
解析：，所以，故選：C
3.答案：B
解析：因為，所以，，則，共有12項，故選：B.
4.答案：C
解析：.所以，故選C.
5.答案：B
解析：依題意，令，可得，令，可得，以上兩式相加可得，所以，故選B.6.2.3 組合+6.2.4 組合數
——高二數學人教A版（2019）選擇性必修第三冊課前導學
知識填空
1.組合：一般地，從n個不同元素中取出個元素作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個___________.
2.組合數：從n個不同元素中取出個元素的所有不同組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的___________，用符號___________表示.
3.組合數公式：__________________.這里，并且.
還可以寫成______________.規定__________.
思維拓展
1.排列問題與組合問題的區分方法是什么？
2.基本組合問題的解法？
3.求解組合應用題的方法有哪些？
4.求解排列、組合綜合問題的注意事項有什么？
基礎練習
1.若，則n的值為( )
A.2 B.8 C.2或8 D.2或4
2.某學校利用周末時間組織學生進行志愿者服務，高二年級共6個班，其中（1）班有2個志愿者隊長，本次志愿者服務一共20個名額，志愿者隊長必須參加且不占名額，若每個班至少有3人參加，則共有( )種分配方法.
A.90 B.60 C.126 D.120
3.今年暑期檔推出多部精彩影片，其中比較熱門的有《解密》，《名偵探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《死侍與金剛狼》，甲和乙兩位同學準備從這5部影片中各選2部觀看.若兩人所選的影片恰有一部相同，且甲一定選《抓娃娃》，則兩位同學不同的觀影方案種數為( )
A.24 B.28 C.36 D.12
4.若，則的值為( )
A.83 B.119 C.164 D.219
5.老師有6本不同的課外書要分給甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，則不同的分法有( )
A.248種 B.168種 C.360種 D.210種
【答案及解析】
一、知識填空
1.組合
2.組合數
3. 1
二、思維拓展
1.排列：若交換某兩個元素的位置對結果產生影響，則是排列問題，即排列問題與選取元素的順序有關.
組合：若交換任意兩個元素的位置對結果沒有影響，則是組合問題，即組合問題與選取元素的順序無關.
2.（1）確定是組合問題；
（2）是分類還是分步；
（3）根據分類或分步的列式方法，把組合數用加法或用乘法列出式子求解.
3.解決組合問題的一般思路是首先合理地進行分類或分步，再將問題化歸為組合問題，利用組合數計數，對于“至少”或“至多”取某類元素的組合問題，既可以采用直接法，也可以采用排除法，計數時要做到不重不漏，先分類再計數?？杀苊庵貜陀嫈担旑悇e是兩個或兩個以上時，用表格表示簡明扼要.
4.解決排列與組合問題，首先要把握問題的實質，并結合兩個計數原理，按元素的性質確定分類的標準，按事情發生的過程確定分步的順序，此外還應遵循以下原則：（1）先組合后排列；（2）先特殊后一般.
三、基礎練習
1.答案：A
解析：由組合數的性質可得，解得，又，所以或，解得（舍去）或.故選：A.
2.答案：C
解析：若每個班至少3人參加，由于（1）班有2個志愿者隊長，故只需先滿足每個班級有2個名額，還剩10個名額，再將10個名額分配到6個班級，每個班級至少1個名額，故只需在10個名額中的9個空上放置5個隔板即可，有種分配方法.故選：C.
3.答案：A
解析：若兩人所選影片中，《抓娃娃》相同，則兩人從剩余4部中各選1部，有種方案，若兩人所選影片中，不是《抓娃娃》相同，相同的影片為4部中1部，有種選擇，再給乙從剩余3部中選擇一部，有種選擇，故共有種方案，綜上，共有種方案.故選：A.
4.答案：D
解析：由于，故，，則
，故選：D.
5.答案：D
解析：根據題意進行分類：第一類：甲、乙、丙每人分得2本，（種）；
第二類：甲分得2本，乙、丙兩人中一人分得1本另一人分得3本，（種）.所以由分類加法計數原理可得共有種不同的分法.故選：D.6.1 分類加法計數原理與分步乘法計數原理
——高二數學人教A版（2019）選擇性必修第三冊課前導學
知識填空
1.分類加法計數原理：完成一件事有 不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有
種不同的方法.
2.分步乘法計數原理：完成一件事需要兩個 ，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有 種不同的方法.
思維拓展
1.利用分類加法計數原理解題的思路方法及注意事項有哪些？
2.利用分步乘法計數原理解題的思路方法及注意事項有哪些？
3.應用兩個計數原理解題的思路方法是什么？
4.涂色問題的解題策略有哪些？
基礎練習
1.某影城有一些電影新上映，其中有3部科幻片、4部警匪片、3部戰爭片及2部喜劇片，小明從中任選1部電影觀看，不同的選法共有( )
A.9種 B.12種 C.24種 D.72種
2.將數字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的四個方格中，每格填一個數字，則每個方格的標號與所填的數字均互不相同的填法有( )
A.6種 B.9種 C.18種 D.24種
3.如圖，用4種不同的顏色對A，B，C，D四個區域涂色，要求相鄰的兩個區域不能用同一種顏色，則不同的涂色方法有( )
A.24種 B.48種 C.72種 D.96種
4.某大學開設籃球、足球等5門球類選修課，要求每個學生都必須選擇其中的一門課程.現有小明、小強、小紅3位同學進行選課，其中小明不選籃球和足球，則不同的選課方法共有( )
A.36種 B.50種 C.75種 D.125種
5.學校教師運動會設置有“跳繩”、“立定跳遠”、“定點投籃”、“沙包擲準”四個比賽項目，每個項目各需要一位裁判，現有甲、乙、丙、丁四位體育老師，每人做且僅做一項裁判工作，因為時間問題，甲不能安排“跳繩”裁判，乙不能安排“定點投籃”裁判，則不同的安排方法共有( )
A.12種 B.14種 C.7種 D.9種
【答案及解析】
一、知識填空
1.兩類
2.步驟
二、思維拓展
1.在用分類加法計數原理解題時，首先要明確問題中要完成的“一件事”指的是什么，同時要確定一個恰當的分類標準進行分類；其次，在分類時要注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，并且屬于不同類的兩種方法是不同的方法，即分類時要遵循“不重不漏，一步完成”的原則，有時各個類別的方法用列舉法逐一列出更加清楚，列舉時可一一列舉，也可列表列舉或畫樹狀圖列舉，一一列舉時要注意按一定的順序才能不重不漏.
2.（1）運用分步乘法計數原理解題時，首先應根據題意確定一個合理的分步標準，然后分別計算每一步的方法數，最后利用分步乘法計數原理求出完成這件事的方法總數.
（2）在分步中，每步之間必須連續，只有每個步驟都完成了，這件事才算完成，且每步之間既不能重復也不能遺漏.
3.對于兩個計數原理的綜合應用問題，一般是先分類再分步，分類時要先設計好分類標準，防止重復和遺漏；分步時要注意步與步之間的連續性，同時應合理設計步驟的順序，使各步互不干擾，也可以根據題意恰當合理地畫出示意圖或列出表格，使問題的實質直觀地顯現出來，從而便于解題.
4.根據不同要求，涂色問題可以采用分類法，也可以采用分步法，有時分類中又有分步，或者一個步驟中又有分類，這時要處理好“類中有步”“步中有類”的關系，為避免出錯，一定要按照類別分開列式.
三、基礎練習
1.答案：B
解析：任選1部電影可分四類：第一類選的是科幻片，第二類選的是警匪片，第三類選的是戰爭片，第四類選的是喜劇片，由分類加法計數原理可得不同的選法共有（種）.故選：B.
2.答案：B
解析：第一步：先把數字1填入方格中，符合條件的有3種方法，
第二步：把第一步中數字1填入的方格的序號所對應數字填入剩下的三個方格其中之一，
又有種方法，
第三步：填余下的兩個數字，只有1種填法，共有種填法.故選：B.
3.答案：B
解析：按涂色順序進行分四步：涂A部分時，有4種涂法；涂B部分時，有3種涂法；涂C部分時，有2種涂法；涂D部分時，有2種涂法.由分步乘法計數原理，得不同的涂色方法共有種.故選：B.
4.答案：C
解析：因為小明不選籃球和足球，所以小明有3種選課方法，小強和小紅各有5種選課方法，所以不同的選課方法共有種.故選：C.
5.答案：B
解析：當甲安排“定點投籃”，另外3人任意安排工作有6種方法，當甲不安排“定點投籃”時，先安排甲有2種，再安排乙有2種，另外剩余2人有2種，此時有種方法，共有種，故選：B6.3.2 二項式系數的性質
——高二數學人教A版（2019）選擇性必修第三冊課前導學
知識填空
1.二項式系數的對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數__________.
2.增減性與最大值：因為，即，所以，當，即__________時，隨的增加而__________；由對稱性知，當__________時，隨的增加而__________.當是偶數時，中間的一項__________取得最大值；當是奇數時，中間的兩項__________和__________相等，且同時取得最大值.
3.各二項式系數的和：的展開式的各二項式系數的和等于__________.
思維拓展
1.求二項展開式系數最大的項有哪些方法？
2.二項式系數之和與二項展開式各項系數之和的求法？
基礎練習
1.的展開式中，系數最小的項是( )
A.第4項 B.第5項 C.第6項 D.第7項
2.已知的展開式中第3項與第9項的二項式系數相等，則所有偶數項的二項式系數之和為( )
A. B. C. D.
3.的展開式中，系數最大的項是( )
A.第項 B.第n項
C.第項 D.第n項與第項
4.若，則( )
A.40 B.41 C.-40 D.-41
5.在的展開式中，系數最大的是( )
A.第3項 B.第4項 C.第5項 D.第6項
【答案及解析】
一、知識填空
1.相等
2. 增大 減小
3.
二、思維拓展
1.（1）求二項式系數最大的項：若n是偶數，則中間一項：第項的二項式系數最大，即最大值是；若n是奇數，則中間兩項：第項與第項的二項式系數相等且最大，即最大.
（2）求展開式中系數最大的項：如求的展開式中系數最大的項，一般是采用待定系數法，設展開式中各項系數分別為，且第項系數最大，應用解出r，即得系數最大的項.
2.（1）二項式系數之和與指數n有關，其和為，其中奇數項的二項式系數之和與偶數項的二項式系數之和相等，都等于.
（2）求二項展開式各項系數之和，往往采用賦值法，對變量賦值1計算可得.
三、基礎練習
1.答案：C
解析：依題意，的展開通項公式為，其系數為，當r為奇數時，才能取得最小值，又由二項式系數的性質可知，是的最大項，所以當時，取得最小值，即第6項的系數最小.故選：C.
2.答案：C
解析：由題意可得，，所以，則的二項式系數之和為.所以所有偶數項的二項式系數之和，故選：C.
3.答案：C
解析：在的展開式中，第項的系數與第項的二項式系數相同，再根據中間項的二項式系數最大，展開式共有項，可得第項的系數最大，故選C.
4.答案：B
解析：方法一：依題意，令，可得，令，得，以上兩式相加可得，所以，故選B.
方法二：二項式的通項為，分別令，可分別得，，，所以，故選B.
5.答案：C
解析：的展開式的通項為，其中，，要求系數最大的項，則r必須為偶數，分別令，2，4，6，可得其對應項的系數為1，，，，因為，所以當時滿足條件，故系數最大的是第5項.故選C.

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