資源簡介

7.3.2 離散型隨機變量的方差
——高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊課前導(dǎo)學(xué)
知識填空
1.方差：稱_____________為隨機變量的方差，有時也記為，并稱為隨機變量的標準差，記為_________.
2.方差的簡化計算：_____________.
3.方差的性質(zhì)：_____________.
思維拓展
1.隨機變量的方差與樣本的方差有何關(guān)系？
2.利用方差的性質(zhì)求隨機變量的方差（標準差）的方法有哪些？
3.解答均值、方差綜合應(yīng)用題的注意事項有哪些？
基礎(chǔ)練習(xí)
1.已知隨機變量X，Y滿足，且，則( )
A.16 B.8 C.4 D.
2.已知一組數(shù)據(jù)1，2，2，5，5，6的第60百分位數(shù)為m，隨機變量X的分布列為
X 2 m 14
P 0.3 0.6 0.1
( )
A.5 B.6 C.9.8 D.10.8
3.隨機變量X的分布列為，，.若，則( )
A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8
4.已知隨機變量X的分布列是
X 0 1
P a b
若，則( )
A.0 B. C. D.1
5.隨機變量的可能取值為0，1，2，若，，則_________.
【答案及解析】
一、知識填空
1.
2.
3.
二、思維拓展
1.隨機變量的方差即為總體的方差，它是一個常數(shù)，不隨樣本容量的變化而變化，是客觀存在的常數(shù).樣本方差隨著樣本容量的不同而不同，對于簡單隨機抽樣，隨著樣本容量的增加，樣本方差越來越接近于總體的方差.
2.對于有線性關(guān)系的兩個隨機變量，已知一個變量的方差，求另一個變量的方差，注意方差性質(zhì)的應(yīng)用，如，這樣處理既避免了求隨機變量的分布列，又避免了復(fù)雜的計算，簡化了計算過程.
3.（1）離散型隨機變量的分布列、均值和方差是三個緊密聯(lián)系的有機統(tǒng)一體，一般在試題中綜合在一起考查，其解題的關(guān)鍵是求出分布列.
（2）在求分布列時，要注意利用等可能事件、互斥事件、相互獨立事件的概率公式計算概率，并注意結(jié)合分布列的性質(zhì)，簡化概率計算.
（3）在計算均值與方差時要注意運用均值和方差的性質(zhì)以避免一些復(fù)雜的計算，若隨機變量X服從兩點分布、二項分布，可直接利用對應(yīng)公式求解.
（4）根據(jù)均值與方差的意義對實際應(yīng)用題作出判斷.
三、基礎(chǔ)練習(xí)
1.答案：B
解析：由題可知.故選:B.
2.答案：D
解析：， ，，
故選：D.
3.答案：B
解析：因為隨機變量X的分布列為，，，，
所以，解得，，所以.故選：B.
4.答案：C
解析：由已知可得解得，因此，.
5.答案：
解析：，則.所以，故，.所以.7.2 離散型隨機變量及其分布列
——高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊課前導(dǎo)學(xué)
知識填空
1.隨機變量：一般地，對于隨機試驗樣本空間中的每個樣本點，都有唯一的實數(shù) 與之對應(yīng)，則稱X為隨機變量.
2.離散型隨機變量：可能取值為 個或可以一一列舉的隨機變量，稱之為離散型隨機變量.通常用大寫英文字母表示隨機變量，例如X，Y，Z；用小寫英文字母表示隨機變量的 ，例如x，y，z.
3.分布列的概念：一般地，設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為，則稱X取每一個值的概率 ，為X的概率分布列，簡稱 .
4.分布列的性質(zhì)：（1） ，；
（2） .
思維拓展
1.判斷離散型隨機變量的方法是什么？
2.隨機變量分布列性質(zhì)的應(yīng)用有哪些？
3.求離散型隨機變量分布列的一般步驟是什么？
基礎(chǔ)練習(xí)
1.從裝有2個白球、3個黑球的袋中任取2個小球，下列可以作為隨機變量的是( )
A.至多取到1個黑球 B.至少取到1個白球
C.取到白球的個數(shù) D.取到的球的個數(shù)
2.設(shè)X是一個離散型隨機變量，其分布列為
X 2 3 4
P
則q等于( )
A.1 B. C. D.
3.下表是離散型隨機變量的概率分布，則( )
1 2 3 4
P
A. B. C. D.
4.隨機變量X所有可能取值的集合是，且，，，則的值為( )
A. B. C. D.
5.已知隨機變量X的分布列如下表：
X 1 2 3
P
其中a是常數(shù)，則的值為__________.
【答案及解析】
一、知識填空
1.
2.有限 取值
3. 分布列
4.0 1
二、思維拓展
1.根據(jù)隨機變量X滿足的三個特征，運用離散型隨機變量的定義判斷：
①可以用不同的數(shù)來表示不同的試驗結(jié)果；
②試驗前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值；
③在試驗前不能確定取何值.
2.（1）利用分布列的性質(zhì)可以檢驗分布列的正確性；
（2）利用分布列的性質(zhì)可求分布列中相關(guān)字母的取值；
（3）利用“離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求某些特定事件的概率.
3.（1）用大寫英文字母（或小寫希臘字母）表示離散型隨機變量；
（2）確定離散型隨機變量的所有可能取值；
（3）計算離散型隨機變量取每個值時的概率，并利用分布列的性質(zhì)對計算結(jié)果進行檢驗；
（4）寫出分布列（通常以表格的形式呈現(xiàn)）.
三、基礎(chǔ)練習(xí)
1.答案：C
解析：根據(jù)隨機變量的定義可知，隨機變量的結(jié)果都可以數(shù)量化，是不確定的，由試驗結(jié)果決定，滿足條件的只有取到白球的個數(shù)，可以是0，1，2.故選C.
2.答案：C
解析：依題意，即，解得，
經(jīng)檢驗可知，符合題意.故選：C.
3.答案：B
解析：由題意可得：，解得，所以.
故選：B.
4.答案：C
解析：依題意可得，，所以.故選C.
5.答案：
解析：由隨機變量的分布列的性質(zhì)可知，解得.則.7.1.1 條件概率
——高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊課前導(dǎo)學(xué)
知識填空
1.條件概率：一般地，設(shè)，為兩個隨機事件，且，則稱 為在事件 的條件下，事件發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.
2.條件概率和事件相互獨立性的關(guān)系：當時，當且僅當事件與相互獨立時，有 .
3.概率的乘法公式：由條件概率的定義，對任意兩個事件與，若，則 .上式稱為概率的乘法公式.
4.條件概率的性質(zhì)：設(shè)，則
（1） ；
（2）如果和是兩個互斥事件，則 ；
（3）設(shè)和互為對立事件，則
思維拓展
1.對條件概率中“條件”怎樣理解？
2.求條件概率的思路有哪些？
3.非相互獨立事件同時發(fā)生的概率怎么求解？
基礎(chǔ)練習(xí)
1.已知盒子中有6個大小相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩球，每次取一球，記第一次取出的球的數(shù)字是x，第二次取出的球的數(shù)字是y.若事件“為偶數(shù)”，事件“x，y中有偶數(shù)且”，則( )
A. B. C. D.
2.小張 小王兩人計劃報一些興趣班，他們分別從“籃球 繪畫 書法 游泳 鋼琴”這五個隨機選擇一個，記事件A：“兩人至少有一人選擇籃球”，事件B：“兩人選擇的興趣班不同”，則概率( )
A. B. C. D.
3.在某次美術(shù)專業(yè)測試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級的概率分別是0.6，0.8和0.5，且三人的測試結(jié)果相互獨立，則測試結(jié)束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達優(yōu)秀等級的前提條件下，乙沒有達優(yōu)秀等級的概率為( )
A. B. C. D.
4.已知盒中裝有3只螺口燈泡與9只卡口燈泡，這些燈泡的外形都相同且燈口向下放置，現(xiàn)需要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只且不放回，則在他第1次抽到螺口燈泡的條件下，第2次抽到卡口燈泡的概率為( )
A. B. C. D.
5.正值元宵佳節(jié)，赤峰市“盛世中華·龍舞紅山”紀念紅山文化命名七十周年大型新春祈福活動中，有4名大學(xué)生將前往3處場地A，B，C開展志愿服務(wù)工作.若要求每處場地都要有志愿者，每名志愿者都必須參加且只能去一處場地，則當甲去場地A時，場地B有且只有1名志愿者的概率為( )
A. B. C. D.
【答案及解析】
一、知識填空
1. 發(fā)生
2.
3.
4.1
二、思維拓展
1.（1）一般地，每一個隨機試驗都是在一定條件下進行的，這里所說的條件概率是當試驗結(jié)果的一部分信息已知（即在原隨機試驗的條件上，再加上“某事件發(fā)生”的附加條件），求另一事件在此條件下發(fā)生的概率.
（2）通常情況下，事件B在“事件A已發(fā)生”這個附加條件下的概率與沒有這個附加條件的概率是不同的.
2.（1）利用條件概率公式計算，其步驟：①用字母B，A分別表示已發(fā)生事件與待求概率的事件；②由古典概型概率計算公式分別計算與；③代入條件概率公式即得.
（2）利用縮小樣本空間的方法計算，即確定事件B發(fā)生后對應(yīng)進行的新的隨機試驗，再利用古典概型的概率公式計算相應(yīng)的概率即可.
3.若A，B不是相互獨立事件，則的求法是用條件概率的變形式.而可采用縮減樣本空間法來計算，，其中表示事件AB包含的樣本點個數(shù)，表示事件A包含的樣本點個數(shù).
三、基礎(chǔ)練習(xí)
1.答案：C
解析：由題意，有放回的隨機取兩球，所以，因為事件“x，y中有偶數(shù)且”，
所以，因為事件“為偶數(shù)”，事件“x，y中有偶數(shù)且”，所以事件“x，y均為偶數(shù)且”，所以，所以.故選：C.
2.答案：C
解析：由題意可知：兩人都沒選擇籃球，即，所以，
而：有一人選擇籃球，另一人選別的興趣班，則，所以，故選:C.
3.答案：B
解析：設(shè)甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級分別為事件A、B、C，則，，且A，B，C相互獨立，設(shè)甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達優(yōu)秀等級為事件D，
則，
設(shè)乙沒有達優(yōu)秀等級為事件E，則，所以.故選：B.
4.答案：C
解析：設(shè)事件A為第1次抽到螺口燈泡，事件B為第2次抽到卡口燈泡，則在第1次抽到螺口燈泡的條件下，第2次抽到卡口燈泡的概率.故選C.
5.答案：A
解析：設(shè)事件A為甲去場地A，事件B為場地B有且只有1名志愿者，
事件A：甲去場地A，當剩下的3名大學(xué)生只去場地A，B，C，有種方案，當剩下的3名大學(xué)生只去場地B，C時，有種方案，共12種不同方案，事件:甲去場地A，且場地B有且只有1名志愿者，場地B，C各有1名志愿者時，有種方案，共9種方案，當甲去場地A時，場地B有且只有1名志愿者的概率為:.
故選:A.7.4.2 超幾何分布
——高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊課前導(dǎo)學(xué)
知識填空
1.超幾何分布：一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為___________，.
其中，，，.
如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從 .
2.超幾何分布的均值：________.
思維拓展
1.求超幾何分布的均值的步驟？
2.區(qū)別二項分布與超幾何分布的方法有哪些？
基礎(chǔ)練習(xí)
1.某10人組成興趣小組，其中有5名團員，從這10人中任選4人參加某種活動，用X表示4人中的團員人數(shù)，則( )
A. B. C. D.
2.在15個村莊中，有7個村莊交通不方便，若用隨機變量X表示任選10個村莊中交通不方便的村莊的個數(shù)，則X服從超幾何分布，其參數(shù)為( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
3.已知離散型隨機變量X服從二項分布，則下列選項正確的是( )
A. B.
C. D.
4.已知隨機變量，若，，則( )
A. B. C. D.
5.如果隨機變量，且，則( )
A. B. C. D.
【答案及解析】
一、知識填空
1. 超幾何分布
2.
二、思維拓展
1.（1）先判斷隨機變量服從超幾何分布，找出參數(shù)N，M，n的取值.
（2）利用公式，，求出分布列.
（3）利用均值定義求出均值.
2.一般地，超幾何分布的模型是“取次品”，是不放回抽樣，而二項分布的模型則是“獨立重復(fù)試驗”，對于抽樣，則是有放回抽樣，當產(chǎn)品的數(shù)量充分大，且抽取數(shù)量較小時，即便是不放回抽樣，也可視其為二項分布，解題時應(yīng)從本質(zhì)上給予區(qū)分，切忌混淆.
三、基礎(chǔ)練習(xí)
1.答案：D
解析：表示出抽取的4人中有3個團員，所以.故選：D.
2.答案：A
解析：根據(jù)超幾何分布的概念可知選A.
3.答案：D
解析：由于X服從二項分布，故，，故AC錯誤，，，故C錯誤，D正確故選：D.
4.答案：B
解析：隨機變量，則有，，由，解得，，所以.故選B.
5.答案：D
解析：因為，即，又因為隨機變量，且，
則，解得.故選：D.7.3.1 離散型隨機變量的均值
——高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊課前導(dǎo)學(xué)
知識填空
1.離散型隨機變量的均值：一般地，若離散型隨機變量X的分布列如表所示，
X …
P …
則稱____________________________為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡稱期望.
2.兩點分布的均值：一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，那么__________.
3.均值的性質(zhì)：一般地，有_____________.
思維拓展
1.定義法求離散型隨機變量的均值的步驟是什么？
2.利用均值的性質(zhì)求隨機變量的均值的方法有哪些？
3.離散型隨機變量均值的實際應(yīng)用有哪些？
基礎(chǔ)練習(xí)
1.已知離散型隨機變量X的分布列如下，若，則( )
X 0 a 2
P b
A. B.1 C. D.
2.一個袋子中裝有6個紅球和4個白球，假設(shè)每個球被摸到的可能性是相等的.從袋子中摸出2個球，其中白球的個數(shù)為X，則X的數(shù)學(xué)期望是( )
A. B. C. D.
3.設(shè)離散型隨機變量X可能的取值為1，2，3，，.若X的均值，則等于( )
A. B.0 C. D.
4.已知隨機變量X的分布列如下表所示，則( )
X 1 2 3
P a
A. B. C. D.
5.某一隨機變量X的分布列如下表，且，則____________.
X 0 1 2 3
P 0.1 m 0.2 n
【答案及解析】
一、知識填空
1.
2.
3.
二、思維拓展
1.（1）理解隨機變量X的實際意義，寫出X全部可能的取值；
（2）求出隨機變量X的每一個可能取值對應(yīng)的概率；
（3）寫出X的分布列（不一定是表格形式）；
（4）利用求出均值.
2.對于求型隨機變量的均值，可以利用均值的性質(zhì)進行求解，即，也可以先求出的分布列，再利用定義求得.
3.解答此類題目時，首先應(yīng)把實際問題的概率模型化，然后利用有關(guān)概率的知識去分析相應(yīng)各事件發(fā)生的可能性的大小，并求出分布列，最后利用公式求出均值，從而利用隨機變量的均值對問題中的預(yù)測作出判斷.
三、基礎(chǔ)練習(xí)
1.答案：C
解析：由題意知，解得，因為，所以，即，則，解得，所以，故選：C.
2.答案：A
解析：由題意知，1，2，則，，.
所以.故A正確.故選：A.
3.答案：C
解析：由題意，得解得所以.故選C.
4.答案：C
解析：由分布列可得，解得，則，所以.故選：C.
5.答案：8
解析：由題意，得，解得，，所以，所以.故答案為：8.7.1.2 全概率公式
——高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊課前導(dǎo)學(xué)
知識填空
1.全概率公式：一般地，設(shè)是一組兩兩 的事件，，且，，則對任意的事件，有 .此公式稱為全概率公式.
2.*貝葉斯公式：設(shè)是一組兩兩互斥的事件，，且，，則對任意的事件，，有 ，.
思維拓展
1.應(yīng)用全概率公式的解題步驟是什么？
2.貝葉斯公式與全概率公式的關(guān)系？
基礎(chǔ)練習(xí)
1.3月15日是國際消費者權(quán)益日.中央電視臺特地推出3.15公益晚會，曝光了食品、醫(yī)美、直播等多領(lǐng)域亂象，在很大程度上震懾了一些不良商家，也增強了消費者的維權(quán)意識.一名市民在某商店買了一只燈泡，結(jié)果用了兩個月就壞了，他撥打了12315投訴電話.通過調(diào)查，發(fā)現(xiàn)該商店將一些不合格燈泡混入一批合格燈泡中以次充好賣給顧客.假設(shè)合格燈泡在使用1000小時后損壞的概率為0.004，不合格燈泡在使用1000小時后損壞的概率為0.4，若混入的不合格燈泡數(shù)占燈泡總數(shù)的，現(xiàn)一顧客在該商店買一只燈泡，則該燈泡在使用1000小時后不會損壞的概率為( )
A.0.103 B.0.301 C.0.897 D.0.699
2.為踐行“保護環(huán)境，綠色出行”的環(huán)保理念，李先生每天從騎自行車、坐公交車兩種方式中隨機選擇一種去上班.已知他選擇騎自行車的概率為0.6，且騎自行車準時到達單位的概率為0.95.若李先生準時到達單位的概率為0.93，則他坐公交車準時到達單位的概率為( )
A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9
3.某次考試共有8道單選題，某學(xué)生掌握了其中5道題，2道題有思路，1道題完全沒有思路.掌握了的題目他可以選擇唯一正確的答案，有思路的題目每道做對的概率為，沒有思路的題目，只好任意猜一個答案，猜對的概率為.已知這個學(xué)生隨機選一道題作答且做對了，則該題為有思路的題目的概率為( )
A. B. C. D.
4.某卡車為鄉(xiāng)村小學(xué)運送書籍，共裝有10個紙箱，其中5箱英語書、2箱數(shù)學(xué)書、3箱語文書.到目的地時發(fā)現(xiàn)丟失1箱，但不知丟失哪1箱.現(xiàn)從剩下9箱中任意打開2箱，結(jié)果都是英語書，則丟失的1箱也是英語書的概率為( )
A. B. C. D.
5.假定某工廠甲、乙、丙個車間生產(chǎn)同一種螺釘產(chǎn)量依次占全廠的、、如果各車間的次品率依次為、、.現(xiàn)在從待出廠產(chǎn)品中檢查出個次品則它是由甲車間生產(chǎn)的概率是_______________.
【答案及解析】
一、知識填空
1.互斥
2.
二、思維拓展
1.（1）找出樣本空間的完備事件組，并用字母表示各個事件；
（2）求出各組相關(guān)事件的概率或條件概率；
（3）代入全概率公式求得結(jié)果.
2.（1）全概率公式用于求結(jié)果概率，即全概率公式是“由因求果”，貝葉斯公式是“由果索因”
（2）利用貝葉斯公式求概率時，通常先利用全概率公式計算出復(fù)雜事件B的概率.
三、基礎(chǔ)練習(xí)
1.答案：C
解析：由全概率公式，可得任取一零件，它是合格品的概率為.，故選：C.
2.答案：D
解析：設(shè)“李先生騎自行車上班”，“李先生坐公交車上班”，“李先生準時到達單位”，根據(jù)題意得，，，，設(shè)，則，解得.故選D.
3.答案：B
解析：設(shè)事件表示選到會做的題，事件表示選到有思路的題，事件表示選到完全沒有思路的題；設(shè)事件B表示答對該題，則，，，設(shè)事件U表示答對某個題，則，設(shè)事件C表示將有思路的題目做對，則，故選：B
4.答案：B
解析：用A表示“丟失1箱后任取2箱是英語書”，用表示“丟失的1箱為k，分別表示英語書、數(shù)學(xué)書、語文書”.由全概率公式得，.故選B.
5.答案：
解析：設(shè)“從待出廠產(chǎn)品中取出1個是次品”為事件A從待出廠產(chǎn)品中取出1個產(chǎn)品是甲、乙、丙車間生產(chǎn)的事件分別為事件，則，，，，由全概率公式得，現(xiàn)在從待出廠產(chǎn)品中檢查出1個次品則它是由甲車間生產(chǎn)的概率是.故答案為：.7.4.1 二項分布
——高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊課前導(dǎo)學(xué)
知識填空
1.伯努利試驗：只包含_______可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗.
2.n重伯努利試驗：將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.
n重伯努利試驗的特征：（1）同一個伯努利試驗重復(fù)做________次；（2）各次試驗的結(jié)果___________.
3.二項分布：一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p（），用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為____________，.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作_________.
_________.
4.二項分布的均值與方差：如果，那么________，________.
思維拓展
1.求二項分布的分布列的解題步驟？
2.用二項分布求解實際應(yīng)用題的步驟？
3.求二項分布的方差的步驟？
基礎(chǔ)練習(xí)
1.在n重伯努利試驗中，設(shè)每次成功的概率為，則失敗的概率為，將試驗進行到恰好出現(xiàn)r次成功時結(jié)束試驗，用隨機變量X表示試驗次數(shù)，則稱X服從以r，p為參數(shù)的帕斯卡分布，記為.已知，若，則p的最大值為( )
A. B. C. D.
2.若，則取得最大值時，( )
A.4或5 B.5或6 C.10 D.5
3.已知隨機變量X服從二項分布，則等于( )
A. B. C. D.
4.某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨立.設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù),,則( )
A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3
5.現(xiàn)有10張分別標有-5，-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4的卡片，它們的大小和顏色完全相同，從中隨機抽取1張，記下數(shù)后放回，連續(xù)抽取3次，則記下的數(shù)中有正有負且沒有0的概率為( )
A. B. C. D.
【答案及解析】
一、知識填空
1.兩個
2.n 相互獨立
3. 1
4.
二、思維拓展
1.（1）確定隨機變量服從二項分布及相應(yīng)的參數(shù)n與p；
（2）寫出隨機變量的分布列：，；
（3）計算各概率值，即得表格形式的分布列.
2.（1）判斷隨機變量X服從二項分布，即.
（2）根據(jù)二項分布公式，求出分布列.
（3）求二項分布的均值可用公式求解.
3.（1）判斷隨機變量X服從二項分布.
（2）確定好分布的兩個參數(shù)n與p.
（3）代入相應(yīng)的公式，即時，.
三、基礎(chǔ)練習(xí)
1.答案：C
解析：因為，所以，解得，即p的最大值為.故選：C.
2.答案：D
解析：因為，所以，當時，取得最大值，即取得最大值，所以.故選D.
3.答案：D
解析：.故選：D.
4.答案：B
解析：由題意得.因為,所以,解得或.因為,所以,即,解得,所以.故選B.
5.答案：B
解析：由題意，知每次抽到標有正數(shù)的卡片的概率為，抽到標有負數(shù)的卡片的概率為，抽到標有0的卡片的概率為，而記下的數(shù)中有正有負且沒有0的情況有兩種：2正1負，1正2負，則所求的概率為.

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