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2.3簡諧運動的回復力和能量
第二章 機械振動
回復力
簡諧運動的能量
這里輸入標題
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01
02
03
04
目錄
CONTENTS
回復力
PART 1
思考：當我們把彈簧振子的小球拉離平衡位置釋放后，小球就會在平衡位置附近做簡諧運動。小球的受力滿足什么特點才會做這種運動呢？系統中各能量間的轉化是否具有周期性？
2.特征：
(1)有一個“中心位置”，也是振動物體靜止時的位置；
(2)運動具有往復性。
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
B
C
D
A
X
X
X
X
X
X
F
F
F
F
F
F
O
A
B
觀察彈簧振子的運動，并嘗試做出以下8個時刻小球的合力和位移方向？
根據胡克定律
回復力的大小F回＝k|x| （k為彈簧的勁度系數）
由于力F的方向總是與位移X的方向相反，即總是指向平衡位置。它的作用總是要把物體拉回到平衡位置，所以稱為回復力。
一、回復力
1.定義:做簡諧運動的物體偏離平衡位置后受到的迫使它回到平衡位置的力稱為回復力。
2.特點:
按力的作用效果命名，方向始終指向平衡位置
3.來源：
回復力可以是彈力,也可以是其它力(包括摩擦力);
可以是某一個力，或幾個力的合力,或者某個力的分力.
M
m
m
4.表達式:F=-kx
即回復力的大小與位移大小成正比,“-”表明回復力的方向與位移方向相反,k是一個常數,由振動系統決定。
對一般的簡諧運動，由于回復力不一定是彈簧的彈力，所以K不一定是勁度系數
例1.在勁度系數為k，原長為L0的固定于一點的彈簧下端掛一質量為m的小球，釋放后小球做上下振動，此過程彈簧沒有超出彈性限度，小球的振動是簡諧運動嗎？
解：規定向下為正方向
平衡位置:
振子在C點受到的彈力為:
振子受的回復力：
所以，小球的振動是簡諧運動
解：小球在斜面上平衡時，設彈簧伸長量為Δl，
有mgsin α－kΔl＝0
當小球離開平衡位置向下運動的位移為x時，
彈簧伸長量為x＋Δl，小球所受合力
F合＝mgsin α－k(x＋Δl)
聯立可得F合＝－kx，可知小球做簡諧運動
例2.一個振動，如果回復力與偏離平衡位置的位移成正比且方向與位移相反，就能判定它是簡諧運動。請你據此證明：把圖中傾角為α的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距離，然后松開，小球的運動是簡諧運動
解：設水的密度為 ，橫截面積為S，靜止時浸入水中的深度為h0，則
假設木筷離開平衡位置的位移為x，木筷所受的浮力
規定向下為正方向，則木筷所受的回復力
由此可知，木筷的運動是簡諧運動。
例3.某人想判定以下振動是不是簡諧運動，請你陳述求證的思路（可以不做定量證明）：粗細均勻的一條木筷，下端繞幾圈鐵絲，豎直浮在較大的筒中(圖11.3-4)。把木筷往上提起一段距離后放手，木筷就在水中上下振動
例4.如圖，彈簧振子在光滑水平面上以振幅A做簡諧運動，質量為M的滑塊上放一個質量為m砝碼，m 隨 M 一起做簡諧運動，已知彈簧的勁度系數為k，試求：m做簡諧運動的回復力？
解：設向右為正方向，以整體為研究對象。
經分析可知，靜摩擦力給m提供了回復力
=ma=-
k不一定是勁度系數而是回復力與位移的比例系數。
5.判斷物體是否做簡諧運動的兩種方法
(1).運動學特征：x-t圖像為正弦曲線
(2).動力學特征：F-x 滿足 F=-kx的形式
(3).常用步驟：
（1）找平衡位置 （2）找回復力
（3）找F=-kx （4）找方向關系
例5.關于簡諧運動回復力,說法正確的是 (　　)
A.回復力是使物體回到平衡位置的力,它只能由物
體受到的合外力來提供
B.物體到達平衡位置,回復力一定為零
C.回復力的方向總是跟物體離開平衡位置的位移方
向相同
D.回復力的方向總是跟物體的速度方向相反
B
例6.在光滑水平面上做簡諧運動的彈簧振子
的質量是2 kg,當它運動到平衡位置左側
2 cm處時,受到的回復力是4 N。當它運動到
平衡位置右側4 cm處時,它的加速度是 (　　)
A.2 m/s2,方向向右　 B.2 m/s2,方向向左
C.4 m/s2,方向向右　　D.4 m/s2,方向向左
D
例7.對于彈簧振子的回復力和位移的關系，下列圖中正確的是(　　)
C
例8.一質點做簡諧運動，其振動圖像如圖所示，在t1和t2時刻的位移為x1＝x2＝7 cm，在t3時刻的位移為x3＝－5 cm，以v1、v2、v3和a1、a2、a3分別表示t1、t2、t3時刻質點振動速度大小和加速度大小，則以下關系正確的是(　　)
A．v1＝v2＞v3　a1＝a2＞a3
B．v1＝v2＜v3　a1＝a2＜a3
C．v1＝v2＞v3　a1＝a2＜a3
D．v1＝v2＜v3　a1＝a2＞a3
D
例9.(多選)如圖所示，物體A與滑塊B一起在光滑水平面上做簡諧運動，A、B之間無相對滑動，已知水平輕質彈簧的勁度系數為k，A、B的質量分別為m和M，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g，則下列說法正確的是(　　 )
A．物體A的回復力是由滑塊B對物體A的摩擦力提供的
B．滑塊B的回復力是由彈簧的彈力提供的
C．物體A與滑塊B(整體看成一個振子)的回復力大小跟位移大小之比為k
D．若A、B之間的動摩擦因數為μ，則A、B間無相對滑動的最大振幅
為
ACD
簡諧運動的能量
PART 2
彈簧振子中小球的速度在不斷變化，因而它的動能在不斷變化；彈簧的伸長量或壓縮量在不斷變化，因而它的勢能也在不斷變化。彈簧振子的能量變化具有什么規律呢？
O
Q
P
O
Q
P
位置 Q Q→O O O→P P
位移的大小
速度的大小
動能
彈性勢能
機械能
最大
↓
0
↑
最大
0
↑
最大
↓
0
0
↑
最大
↓
0
最大
↓
0
↑
最大
不變
不變
不變
不變
不變
二、簡諧運動中的能量
1.定義：指振動系統的機械能,振動的過程就是動能和勢 能互相轉化的過程。
2.簡諧運動中的機械能總量不變，即機械能守恒，是理
想化模型。
3.簡諧運動的能量與振幅有關，振幅越大，振動的能量越大。
03.
t
E
0
機械能
勢能
動能
Q
P
O
4.物體在做簡諧運動時的Ek-t和Ep-t及E-t圖像
O
Q
P
5.在簡諧運動中,動能和勢能完成一次周期性變化的時間是物體振動周期的一半。
例10.(2024陜西西安第八十三中學月考)如圖所示,在光滑的水平臺面上,一輕彈簧左端固定,右端連接一金屬小球,O點是彈簧保持原長時小球的位置。壓縮彈簧使小球至A位置,然后釋放小球,小球就在A、B間做往復運動(已知AO=OB)。小球從A位置運動到B位置的過程中,下列判斷正確的是( )
A.小球的動能不斷增加
B.彈簧的彈性勢能不斷減少
C.在任一位置彈簧的彈性勢能和小球的動能之和保持不變
D.小球運動到O點時的動能與此時彈簧的彈性勢能相等
C
例11.(2024江蘇南通海門期中)如圖所示,固定的與地面夾角為θ的
光滑斜面頂端固定一垂直斜面的擋板,勁度系數為k的輕彈簧一端固
定一個質量為m的小物體,另一端固定在擋板上。物體在平行斜面方
向上的A、B兩點間做簡諧運動,當物體振動到最高點A時,彈簧正好
為原長。已知重力加速度為g,則物體在向下振動的過程中 (　　)
A.物體的動能不斷增大
B.物體在B點時受到的彈力大小為2mg sin θ
C.物體在A、B兩點的加速度相同
D.在平衡位置處,彈簧的彈性勢能和物體的重力勢能之和最大
B
例12.(2023北京豐臺期末)如圖甲所示,彈簧振子的平衡位置為O點,在A、B兩點之間做簡諧運動,取向右為正方向,以振子從A點開始運動的時刻作為計時起點,振子的位移x隨時間t的變化如圖乙所示,下列說法正確的是( )
A.振子的振動方程為x=10 sin cm
B.t=0.8 s時,振子的加速度方向向右
C.t=0.8 s到t=1.2 s的時間內,振子的回復力逐漸增大
D.t=1.2 s到t=1.6 s的時間內,振子的動能逐漸減小
D
例13.如圖所示，一水平彈簧振子在P、Q間做簡諧運動，振幅為A，取平衡位置O處為原點，向右為正，則圖中表示振子速度v與振動位移x關系的圖像可能正確的是（　　）
A．
B．
C．
D．
D
例14.(2024江蘇蘇州大學附屬中學月考)如圖所示,傾角為α的斜面體(斜面光滑且足夠長)固定在水平地面上,斜面頂端與勁度系數為k、自然長度為L的輕質彈簧相連,彈簧的另一端連接著質量為m的物塊。壓縮彈簧使其長度為L時將物塊由靜止開始釋放,物塊開始做簡諧運動。重力加速度為g。求:
(1)物塊處于平衡位置時彈簧的形變量Δx;
(2)物塊的振幅和加速度的最大值;
(3)物塊做簡諧運動過程中彈簧的最大長度。
解：(1)物塊做簡諧運動時回復力為F=-kx,物塊處于平衡位置時所受合力為零。
設物塊在斜面上平衡時,彈簧伸長量為Δx,有
mg sin α-kΔx=0
解得彈簧的形變量Δx=
(1)物塊處于平衡位置時彈簧的形變量Δx;
(2)物塊的振幅和加速度的最大值;
解：(2)物塊處于平衡位置時,彈簧的長度為L'=L+Δx=L+
物塊的振幅為A=L'-L=L+
在初始位置時,加速度最大,有mg sin α+k=ma
解得a=g sin α+
(3)物塊做簡諧運動過程中彈簧的最大長度。
解：(3)由對稱性可知,彈簧的最大長度為Lm=L'+A=+
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謝
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聽

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