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2.4單擺
第二章 機械振動
單擺
單擺的周期
變形單擺
這里輸入標題
01
02
03
04
目錄
CONTENTS
單擺
PART 1
生活中經常可以看到懸掛起來的物體在豎直平面內往復運動。
擺動的鐘擺、蕩起的秋千、晃動的枝條它們在平衡位置附近的往復運動，這種運動是不是簡諧運動呢？
帶著這個問題，我們先認識一個新的物理模型——單擺。
1.定義：輕質無彈性的細線一端固定在懸點，另一端系一個小球，如果細線的質量與小球相比可以忽略；球的直徑與線的長度相比也可以忽略，這樣的裝置就叫做單擺。
一、單擺
B
C
(1)擺線
①質量不計
②長度遠大于小球直徑
③不可伸縮
2.特點：
(2)擺球：
看做質點（體積小，質量大）
3.單擺是一個理想化模型。
注意：實際應用的單擺小球大小不可忽略。
擺長L=
L0+d/2
L
L0
鐵鏈
粗棍上
細繩繞在
細繩
橡皮筋
O
O’
長細線
鋼球

下列裝置能否看作單擺？
單擺擺動時是否一定為簡諧運動？可以怎樣證明？
單擺的運動性質是簡諧運動嗎？如何證明？
方法一：從單擺的振動圖象(x-t圖)判斷（運動學特征）
如圖，細線下懸掛一圓錐桶，其底部有個小孔。在圓錐桶里裝上沙子后擺動圓錐桶，沿垂直擺動方向勻速拖動木板，觀察沙子形成的圖像。
單擺的x-t圖像可能為正弦曲線單擺有可能為簡諧運動。還有沒有其他的證明方法呢？
方法二：從單擺的受力特征判斷F回=-kx（動力學特征）
⌒
θ
T
mg
v
mgcosθ
mgsinθ
單擺回復力：為重力沿切線方向的分力。
（1）切線方向合力：F切=mgsinθ，
提供機械振動所需回復力。
（2）半徑方向合力：F徑=T拉-mgcosθ，
提供圓周運動所需向心力。
結論：當單擺擺角θ＜50擺動時，單擺F回≈-mgsinθ是簡諧運動。
【注意】以后未作特別說明時，都默認單擺擺角θ＜50，是簡諧運動
當θ＜50，
所以，單擺回復力大小為F回=mgsinθmg
由于mgsinθ方向始終與位移x方向相反，
所以F回-mg
sinθ≈θ
F回=F切=mgsinθ與位移是否在任意條件下都成正比？
=
擺角 正弦值 弧度值
1 0.01754 0.01745
2 0.03490 0.03491
3 0.05234 0.05236
4 0.06976 0.06981
5 0.08716 0.08727
6 0.10453 0.10472
7 0.12187 0.12217
θ
θ
L
s
擺角 正弦值 弧度值
8 0.13917 0.13963
9 0.15643 0.15708
10 0.17365 0.17445
11 0.19081 0.19189
12 0.20791 0.20934
13 0.22495 0.22678
14 0.24192 0.24423
在擺角<50時，可認為sinθ=θ

O
思考：擺球運動到最低點O（平衡位置）時回復力是否為零？合力是否為零？
平衡位置：
x=0， ， 回復力為零
，合外力不為零
FT
G
在平衡位置時，由于x=0，所以回復力為零，但并不意味著合外力為零
在振幅處，v=0，向心力為0，回復力最大，合力≠0，a≠0
θ
θ
L
s
4.回復力:
F回=
mgsinθ
①在擺角θ<50可看做簡諧運動
mg
mg的切向分力
②x-t圖是正弦圖像
x=Asin(
=Asin(
單擺周期跟什么因數有關？
mgθ
=-kx
例1.(2024廣東河源第一中學期中)關于單擺,在擺角很小的情況下,下列說法正確的是 (　　)
A.擺球受到的回復力的方向總是指向擺球的平衡位置
B.擺球受到的回復力是重力和繩子拉力的合力
C.擺球受到的合力的大小跟擺球相對平衡位置的位移大小成正比
D.擺球經過平衡位置時,所受合力為零
A
單擺的周期
PART 2
伽利略，近代物理學的鼻祖，最早發現單擺振動的等時性
伽利略
伽利略用脈搏記錄風停后的教堂吊燈擺動幅度逐漸減小時全振動的時間不變，發現等時性。
那么，單擺振動的周期與什么因素有關呢？
擺球質量不同
擺長不同
振幅不同
周期相同
周期不相同
周期相同
小結：單擺的周期與小球質量、振幅無關；擺長越大，周期越長。
實驗表明單擺的周期還與當地重力加速度有關，g越大，周期越小。
1、單擺的周期：單擺做簡諧運動的振動周期跟擺長的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比。與質量和振幅無關。
（1）周期公式T=2π
①l擺長:懸點到擺球重心之間距離
②g:當地重力加速度
二、單擺周期
克里斯蒂安·惠更斯(Christiaan Huyg（h）ens，1629年04月14日—1695年07月08日)荷蘭物理學家、天文學家、數學家，和發明家，機械鐘(他發明的擺鐘屬于機械鐘)的發明者。他是介于伽利略與牛頓之間一位重要的物理學先驅，是歷史上最著名的物理學家之一，他對力學的發展和光學的研究都有杰出的貢獻，在數學和天文學方面也有卓越的成就，是近代自然科學的一位重要開拓者。他建立向心力定律，提出動量守恒原理，并改進了計時器。1656年推導出單擺周期公式并制作出第一臺單擺計時時鐘。
（2）單擺的周期性的應用：
②秒擺:擺長1m，T0=2s
解析：根據單擺周期公式T＝2π可得l＝
代入數據解得
l＝ m＝1 m
①.利用單擺的等時性計時
③用單擺測定重力加速度
T=2
g=4
例2.(2024河南濮陽第一中學月考)如圖甲所示,一個單擺做小角度擺動,從某次擺球由左向右通過平衡位置時開始計時,相對平衡位置的位移x隨時間t變化的圖像如圖乙所示。不計空氣阻力,重力加速度g取10 m/s2。對于這個單擺的振動過程,下列說法中正確的是
(　　)
A.單擺的位移x隨時間t變化的關系式為x=5 sin 2πt cm
B.單擺的擺長約為1 m
C.從t=2.5 s到t=3 s的過程中,擺球的動能逐漸減小
D.從t=2.5 s到t=3 s的過程中,擺球所受回復力逐漸增大
B
例3.一條細線下面掛著一個小球,讓它自由擺動,它的振動
圖像如圖所示。則下列說法正確的是 (　　)
A.該單擺的頻率為2 Hz
B.該單擺的擺長大約為2 m
C.若將此單擺從山腳移到山頂,單擺的周期將會變大
D.根據圖中的數據不能估算出它擺動的最大擺角
C
例4.如圖所示，MN為半徑較大的光滑圓弧的一部分，把
小球A放在MN的圓心處，再把另一個小球B放在MN上離
最低點C很近的B處(弧BC所對圓心角小于5°)，今使兩小
球同時靜止釋放，則(　　)
A．球A先到達C點
B．球B先到達C點
C．兩球同時到達C點
D．無法確定哪個球先到達C點
A
例5.如圖所示，光滑圓弧槽半徑為R，A為最低點，C到A的距離遠遠小于R，若同時由靜止釋放小球B、C，要使兩小球B和C在A點相遇（小球B和C可視為質點），問：小球B到A點的距離H應滿足什么條件？
例6.有一個單擺,在第一個行星上的周期為T1,在第二個行星上的周期為T2,若這兩個行星的質量之比為M1∶M2=4∶1,半徑之比R1∶R2=2∶1,則(　　)
A.T1∶T2=1∶1 B.T1∶T2=4∶1
C.T1∶T2=2∶1 D.T1∶T2=1∶2
A
例7.如圖所示,兩單擺擺長相同,靜止時兩球剛好接觸.將擺球A在兩擺線所在平面內向左拉開一個小角度后釋放,碰撞中動能無損失,碰后兩球分開,分別做簡諧運動.A、B兩球的質量分別為mA、mB.下列說法中正確的是(　　 )
A.若mA>mB,則下一次碰撞一定發生在平衡位置右側
B.若mAC.只要兩擺球的質量不相同,下一次碰撞就不可能發生在平衡位置
D.無論兩擺球的質量之比是多少,下一次碰撞一定發生在平衡位置
D
例8. (多選)如圖甲所示,一單擺懸掛在拉力傳感器上。讓單擺在豎直面內做小角度擺動,與拉力傳感器相連的計算機顯示繩子拉力F的大小隨時間t的變化圖像如圖乙所示,已知當地的重力加速度為g,則根據圖乙中的數據可知(　 )

A.單擺的周期T=
B.擺球的質量為m=
C.單擺的擺長L=
D.在t=時刻擺球的回復力最大
CD
變形單擺和類單擺
PART 3
圓槽擺
釘擺
圓錐擺
1.幾種常見的擺
三、變形單擺和類單擺
（1）圓槽擺：設光滑圓弧槽的半徑為Ｒ，小球半徑為r，求周期。
圓槽擺
T=2
=2
釘擺
(2)釘擺：若釘子在擺長的一半處，那么釘擺的周期是多少？
T=
2
L
=
mg
T
F合
O’
O

θ
(3)圓錐擺：圓錐擺的周期是多少？
（1）變形單擺：小球懸掛方式變化，但回復力不變的振動擺。
（2）等效擺長：等效懸點到小球重心之間距離。
⌒
θ
l
⌒
θ
l1
l2
⌒
θ
l1
l2
垂直紙面振動
垂直紙面振動
平行紙面振動
平行紙面振動
（3）變形單擺的周期：T=2
2.變形單擺
（1）、類單擺：回復力變化，F回≠mgsinθ的振動擺。
（2）等效重力加速度: g等效=, F為小球不擺動時在平衡位置時擺線的拉力
(1)g等效=g-a
(2)g等效=g+a
(3)g等效=gsinθ
3.類單擺
（7）
(6和7)g等效=g
當擺球受到的除重力、拉力
以外的其他力的方向總是與
速度方向垂直時,等效重力加
速度仍為g,即T不變
3、類單擺的周期：T=2
思路：（1）確定平衡位置
（2）求等效重力加速度g等效 =
（3）求周期T=2。
例9.如圖所示為相同的小球(可看作質點)構成的單擺，所
有的繩子長度都相同，在不同的條件下的周期分別為
T1、T2、T3、T4(其中(3)圖兩小球均帶負電荷，(4)圖中振
動系統處于勻加速下降的電梯內)，關于周期大小關系的判
斷，正確的是(　　)
A．T1>T2>T3>T4 B．T4C．T4>T1＝T3>T2 D．T1C
例10.(多選)(2023·安慶一中月考)如圖所示，三根細線在O點處打結，A、B兩端固定在同一水平面上相距為L的兩點上，△AOB為直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC長為L，下端C點處系著一個小球(忽略小球的半徑，小球擺動時偏角θ<5°，重力加速度為g)，下列說法正確的是(　　)
A．讓小球在紙面內擺動，周期T＝2π
B．讓小球在垂直紙面方向擺動，周期T＝2π
C．讓小球在紙面內擺動，周期T＝2π
D．讓小球在垂直紙面方向擺動，周期T＝π
AD
例11.(2024湖北武漢部分重點高中期中聯考)將一個擺長
為l的單擺放在一個傾角為α的光滑斜面上,其最大擺角為θ,
如圖所示,下列說法正確的是 (　　)
A.擺角為θ時,回復力為mg sin θ sin α
B.擺角為θ時,回復力為mg sin θ
C.擺球做簡諧運動的周期為2π
D.擺球在運動過程中,經平衡位置時,擺線
的拉力為mg sin α
A
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