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專題8 函數與平面直角坐標系
1．（2024·內蒙古呼和浩特·模擬預測）下列關于兩個變量關系的四種表達式中，正確的是（ ）
①圓的周長C是半徑r的函數；
②表達式中，y是x的函數；
③下表中，n是m的函數；
m 1 2 3
n 8 3 2
④圖中，曲線表示y是x的函數．
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】本題主要考查了函數的概念，對于函數概念需要理解：①有兩個變量；②一個變量的數值隨著另一個變量的數值的變化而發生變化；③對于自變量的每一個確定的值，函數值有且只有一個值與之對應，即單對應．根據函數的定義分別判斷即可．
【詳解】解：①∵，∴圓的周長是半徑的函數，正確；
②表達式中，對于的每一個取值，都有唯一確定的值與之對應，是的函數，正確；
③是的函數，正確；
④如圖中，對于的每一個取值，有不唯一確定的值與之對應，不是的函數．
故選：C．
2.下列圖像不能反映y是x的函數的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】此題考查函數的概念和圖象，關鍵是根據當x取一值時，y有唯一與它對應的值判斷．
根據函數的概念解答即可．
【詳解】解：A、當x取一值時，y有唯一與它對應的值，y是x的函數，故本選項不符合題意；
B、當x取一值時，y有唯一與它對應的值，y是x的函數，故本選項不符合題意；
C、當x取一值時，y有兩個值與其對應，y不是x的函數，故本選項符合題意；
D、當x取一值時，y有唯一與它對應的值，y是x的函數，故本選項不符合題意．
故選：C．
3.如圖，長方體水池內有一無蓋圓柱形鐵桶，現用水管往鐵桶中持續勻速注水，直到長方體水池有水溢出一會兒為止．設注水時間為（細實線）表示鐵桶中水面高度，（粗實線）表示水池中水面高度（鐵桶高度低于水池高度，鐵桶底面積小于水池底面積的一半，注水前鐵桶和水池內均無水），則隨時間變化的函數圖象大致為（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據特殊點的實際意義即可求出答案．
【詳解】解：根據圖象知，時，鐵桶注滿了水，，是一條斜線段，，是一條水平線段，
當時，長方體水池開始注入水；當時，長方體水池中的水沒過鐵桶，水池中水面高度比之開始變得平緩；當時，長方體水池滿了水，
∴開始是一段陡線段，后變緩，最后是一條水平線段，
觀察函數圖象，選項C符合題意，
故選：C．
【總結】本題主要考查了函數圖象的讀圖能力．要能根據函數圖象的性質和圖象上的數據分析得出函數的類型和所需要的條件，結合實際意義得到正確的結論．
4.（2024·山東淄博·中考真題）某日，甲、乙兩人相約在一條筆直的健身道路上鍛煉．兩人都從地勻速出發，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，駐足交流后，繼續以原速步行前進；乙因故比甲晚出發，跑步到達地后立刻以原速返回，在返回途中與甲第二次相遇．下圖表示甲、乙兩人之間的距離與甲出發的時間之間的函數關系．( )
那么以下結論：
①甲、乙兩人第一次相遇時，乙的鍛煉用時為；
②甲出發時，甲、乙兩人之間的距離達到最大值；
③甲、乙兩人第二次相遇的時間是在甲出發后；
④，兩地之間的距離是．
其中正確的結論有：
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】本題考查了函數圖象以及二元一次方程組的應用；①由乙比甲晚出發及當時第一次為，可得出乙出發時兩人第一次相遇，進而可得出結論①正確；②觀察函數圖象，可得出當時，取得最大值，最大值為，進而可得出結論②正確；③設甲的速度為 ，乙的速度為，利用路程速度時間，可列出關于，的二元一次方程組，解之可得出，的之，將其代入中，可得出甲、乙兩人第二次相遇的時間是在甲出發后，進而可得出結論③錯誤；④利用路程速度時間，即可求出，兩地之間的距離是．
【詳解】解：①乙比甲晚出發，且當時，，
乙出發時，兩人第一次相遇，
既甲、乙兩人第一次相遇時，乙的鍛煉用時為，結論①正確；
②觀察函數圖象，可知：當時，取得最大值，最大值為，
甲出發時，甲、乙兩人之間的距離達到最大值，結論②正確；
③設甲的速度為，乙的速度為，
根據題意得：，
解得：，
∴，
甲、乙兩人第二次相遇的時間是在甲出發后，結論③錯誤；
④，
，兩地之間的距離是，結論④正確．
綜上所述，正確的結論有①②④．
故選：B．
5.（2024·上海·模擬預測）函數的定義域為 ．
【答案】且
【分析】本題考查求自變量的取值范圍，根據，二次根式有意義以及分式有意義的條件，進行求解即可．
【詳解】解：由題意，得：，解得：且；
故答案為：且．
6.（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）甲、乙兩貨車分別從相距的A、B兩地同時出發，甲貨車從A地出發途經配貨站時，停下來卸貨，半小時后繼續駛往B地，乙貨車沿同一條公路從B地駛往A地，但乙貨車到達配貨站時接到緊急任務立即原路原速返回B地，結果比甲貨車晚半小時到達B地．如圖是甲、乙兩貨車距A地的距離與行駛時間之間的函數圖象，結合圖象回答下列問題：
(1)甲貨車到達配貨站之前的速度是　　　　，乙貨車的速度是　　　　；
(2)求甲貨車在配貨站卸貨后駛往B地的過程中，甲貨車距A地的距離與行駛時間之間的函數解析式；
(3)直接寫出甲、乙兩貨車在行駛的過程中，出發多長時間甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等．
【答案】(1)30，40
(2)的函數解析式是
(3)經過1.5h或或5h甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等
【分析】本題考查一次函數的應用，待定系數法求一次函數解析式的運用，認真分析函數圖象，讀懂函數圖象表示的意義是解題關鍵．
（1）由圖象可知甲貨車到達配貨站路程為，所用時間為，乙貨車到達配貨站路程為，到達后返回，所用時間為，根據速度=距離÷時間即可得；
（2）甲貨車從A地出發途經配貨站時，停下來卸貨，半小時后繼續駛往B地，由圖象結合已知條件可知和點，再利用待定系數法求出y與x的關系式即可得答案；
（3）分兩車到達配貨站之前和乙貨車到達配貨站時接到緊急任務立即原路原速返回B地后、甲貨車卸貨，半小時后繼續駛往B地，三種情況與配貨站的距離相等，分別列方程求出x的值即可得答案．
【詳解】（1）解：由圖象可知甲貨車到達配貨站路程為105km，所用時間為3.5h，所以甲貨車到達配貨站之前的速度是（）
∴乙貨車到達配貨站路程為，到達配貨站時接到緊急任務立即原路原速返回B地，總路程為240km，總時間是6h，
∴乙貨車速度，
故答案為：30；40
（2）甲貨車從A地出發途經配貨站時，停下來卸貨，半小時后繼續駛往B地，由圖象可知和點
設
∴
解得：，
∴甲貨車距A地的距離與行駛時間之間的函數解析式
（3）設甲貨車出發，甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等，
①兩車到達配貨站之前：，
解得：,
②乙貨車到達配貨站時開始返回，甲貨車未到達配貨站：，
解得：，
③甲貨車在配貨站卸貨后駛往B地時：，
解得：，
答：經過或或甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等．
一.變量與常量
變量：在一個變化過程中，數值發生變化的量稱為變量.
常量：在一個變化過程中，數值始終不變的量稱為常量.
【補充】變量和常量是相對而言的，判斷的前提是“在同一個變化過程中”.當變化過程改變時，同一個量的身份也可能隨之改變.
2.函數
定義：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數.
【注意】對于每個確定的自變量值，函數值是唯一的，但反過來，可以不唯一，即一個函數值對應的自變量可以是多個，如函數y=|x|，當x=±1時，y的值都是1.
3.函數值
函數值：如果在自變量取值范圍內給定一個值a，函數對應的值為b，那么b叫做當自變量取值為a時的函數值.
4.函數的表示方法
表示法 定義 優點 缺點
列表法 把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表，這種表示函數關系的方法叫做列表法 自變量和與它對應的函數值數據一目了然 列出的對應值是有限的，而且在表格中也不容易看出自變量與函數的變化規律
解析法 兩個變量之間的函數關系可以用等式來表示，這種表示兩個變量之間函數關系的式子稱為函數解析式，用函數解析式表示函數的方法叫做解析法 能準確地反映整個變化過程中自變量與函數的對應關系 求對應值時，往往要經過比較復雜的計算，有些函數不能用解析式表示出來
圖像法 用圖像來表示函數關系的方法叫做圖像法 形象的把自變量和函數值的關系表示出來 圖像中只能得到近似的數量關系
【注意】并不是所有的函數都可以用這三種方法表示出來.例如氣溫與時間的函數關系，只能用列表法和圖像法表示，而不能用解析式法表示，
二、平面直角坐標系的相關概念
1.有序數對
定義：有順序的兩個數a與b組成的數對，叫做有序數對，記作（a，b）.
2.平面直角坐標系
平面直角坐標系：在平面內畫兩條互相垂直，并且原點重合的數軸，這樣就建立了平面直角坐標系.
x軸、y軸：水平的數軸叫做x軸或橫軸，通常取向右方向為正方向；
豎直的數軸叫做y軸或縱軸，通常取向上方向為正方向.
原點：兩坐標軸交點為平面直角坐標系原點.
坐標平面：坐標系所在的平面叫做坐標平面.
象限：x軸和y軸把坐標平面分成四部分，每個部分稱為象限.按逆時針順序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐標軸上的點不屬于任何象限.
【補充】
1）兩條坐標軸不屬于任何一個象限.
2）平面直角坐標系具有實際意義時，一般在橫軸、縱軸的字母附上單位
3.點的坐標
點的坐標：對于坐標軸內任意一點A，過點A分別向x軸、y軸作垂線，垂足在x軸、y軸上的對應的數a、b分別叫做點A的橫坐標和縱坐標，有序數對A(a，b)叫做點A的坐標，記作A(a，b)，如圖.
【易錯點】
1）坐標平面內點的坐標是有序實數對，當a≠b時，有序數對（a，b）和（b，a）表示的是不同點的坐標.
2）對于坐標平面內任意一點都有唯一的一對有序數對(x，y)和它對應,反過來對于任意一對有序數對，在坐標平面內都有唯一的一點與它對應，即坐標平面內的點與有序數對是一一對應的.
三、點的坐標的有關性質
1.點的坐標特征
點M（x，y）所處的位置 坐標特征
象限內的點 點M在第一象限 M（正，正）
點M在第二象限 M（負，正）
點M在第三象限 M（負，負）
點M在第四象限 M（正，負）
坐標軸上的點 點M在x軸上 在x軸正半軸上 M（正，0）
在x軸負半軸上 M（負，0）
點M在y軸上 在y軸正半軸上 M（0，正）
在y軸負半軸上 M（0，負）
點M在原點 M（0，0）
象限角平分線上的點 點M在第一、三象限角平分線上 M（x，y）且x＝y
點M在第二、四象限角平分線上 M（x，y）且x＝-y
兩點連線與坐標軸平行 MN∥x軸（或MN⊥y軸） M、N兩點縱坐標相等且橫坐標不相等
MN∥y軸（或MN⊥x軸） M、N兩點橫坐標相等且縱坐標不相等
2.點的坐標變化
對于平面直角坐標系上任意一點P(x，y)
變換方式 具體變換過程 變換后的坐標
平移變換 （a＞0，b＞0） 向左平移a個單位 （x-a，y）
向右平移a個單位 (x+a，y)
向上平移a個單位 (x，y+a)
向下平移a個單位 (x，y-a)
口訣：點的平移左減右加，上加下減.
變換方式 具體變換過程 變換后的坐標
對稱變換 關于x軸對稱 (x，-y)
關于y軸對稱 (-x，y)
關于原點對稱 (-x，-y)
口訣：關于誰對稱誰不變，關于原點對稱都改變.
旋轉變換 繞原點順時針旋轉90° （y，-x）
繞原點逆時針旋轉90° （-y，x）
繞原點順/逆時針旋轉180° (-x，-y)
3.點到坐標軸的距離
在平面直角坐標系中，已知點P，則
1）點P到軸的距離為；
2）點P到軸的距離為；
3）點P到原點O的距離為P＝.
4、坐標系內點與點之間的距離
坐標系中有兩點M與點N，則M，N兩點之間的距離：
若AB∥x軸，則的距離為；
若AB∥y軸，則的距離為；
【易錯易混】
1）原點既是x軸上的點，又是y軸上的點.
2）點的橫坐標或縱坐標為0，說明點在y軸上或在x軸上.
3）已知點的坐標可以求出點到x軸、y軸的距離，應注意取相應坐標的絕對值.
4）點到坐標軸的距離與這個點的坐標是有區別的，表現在兩方面：
①到x軸的距離與縱坐標有關，到y軸的距離與橫坐標有關；
②距離都是非負數，而坐標可以是負數.
5）因為橫軸向右為正，所以點向右平移時橫坐標變大，向左平移時橫坐標變小，同理向上平移時縱坐標變大，向下平移縱坐標變小.
在平面直角坐標系中，將點向右平移2個單位后，得到的點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把點的橫坐標加2，縱坐標不變，得到，就是平移后的對應點的坐標．
【詳解】解：點向右平移2個單位長度后得到的點的坐標為．
故選：A．
【總結】本題考查了坐標與圖形變化﹣平移．掌握平移的規律是解答本題的關鍵．
（2020·廣東·中考真題）在平面直角坐標系中，點關于軸對稱的點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用關于x軸對稱的點坐標特征：橫坐標不變，縱坐標互為相反數解答即可．
【詳解】點關于軸對稱的點的坐標為（3，-2），
故選：D．
（2022·廣東·中考真題）水中漣漪（圓形水波）不斷擴大，記它的半徑為r，則圓周長C與r的關系式為．下列判斷正確的是（ ）
A．2是變量 B．是變量 C．r是變量 D．C是常量
【答案】C
【分析】根據變量與常量的定義分別判斷，并選擇正確的選項即可．
【詳解】解：2與π為常量，C與r為變量，
故選：C．
【總結】本題考查變量與常量的概念，能夠熟練掌握變量與常量的概念為解決本題的關鍵．
（2024·廣東佛山·三模）如圖，彈簧秤不掛重時彈簧長為，每掛重物體，彈簧伸長，在彈性限度（掛重不超過）內，彈簧的長度與所掛重之間的關系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了列函數關系式，根據“每掛重物體，彈簧伸長”可得每掛重物體，彈簧伸長，由此可解．
【詳解】解：由題意知，每掛重物體，彈簧伸長，
因此彈簧的長度與所掛重之間的關系式是，
故選D．
5.（2022·河北·二模）如圖，甲、乙二人同時從A地出發，甲沿北偏東50°方向行走200m后到達B地，然后立即向正東方向行走200m，二人恰好在C地相遇，若乙中途未改變方向，則乙的行走方向為（ ）
A．北偏東30° B．北偏東40° C．北偏東70° D．無法確定
【答案】C
【分析】延長CB交AF于D，根據方位角得出∠DAB=50°，根據正東方向得出CD⊥AF，根據行走距離得出AB=BC，利用三角形外交性質得出∠ABC=∠DAB+∠ADB=50°+90°=140°，根據等腰三角形性質得出∠BAC=∠BCA=即可．
【詳解】解：延長CB交AF于D，
∵甲沿北偏東50°方向行走200m后到達B地，然后立即向正東方向行走200m，二人恰好在C地相遇，
∴∠DAB=50°，CD⊥AF，AB=BC，
∴∠ABC=∠DAB+∠ADB=50°+90°=140°，
∴∠BAC=∠BCA=，
∴∠DAC=∠DAB+∠BAC=50°+20°=70°，
∴乙的行走方向為沿北偏東70°．
故選：C．
【總結】本題考查方位角的應用，方位角之間關系，三角形外角性質，等腰三角形判定與性質，中掌握方位角的應用，方位角之間關系，三角形外角性質，等腰三角形判定與性質是解題關鍵．
6.化學實驗小組查閱資料了解到：某種絮凝劑溶于水后能夠吸附水中懸浮物并發生沉降，從而達到凈水的目的．實驗得出加入絮凝劑的體積與凈水率之間的關系如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A．加入絮凝劑的體積越大，凈水率越高
B．未加入絮凝劑時，凈水率為
C．絮凝劑的體積每增加，凈水率的增加量相等
D．加入絮凝劑的體積是時，凈水率達到
【答案】D
【分析】本題考查從圖像上獲取信息，能從圖像上獲得信息是解題的關鍵，根據圖像信息對選項進行判斷即可
【詳解】A、從圖像上可以看到，加入絮凝劑的體積在達到最大凈水率，之后凈水率開始降低，不符合題意，選項錯誤；
B、未加入絮凝劑時，凈水率為，故不符合題意，選項錯誤；
C、當絮凝劑的體積為時，凈水率增加量為，絮凝劑的體積為時，凈水率增加量為；故絮凝劑的體積每增加，凈水率的增加量不相等，不符合題意，選項錯誤；
D、根據圖像可得，加入絮凝劑的體積是時，凈水率達到，符合題意，選項正確；
故選：D
7.（2024·四川涼山·中考真題）勻速地向如圖所示的容器內注水，直到把容器注滿．在注水過程中，容器內水面高度隨時間變化的大致圖象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了函數圖象，根據容器最下面圓柱底面積最小，中間圓柱底面積最大，最上面圓柱底面積最較大即可判斷求解，正確識圖是解題的關鍵．
【詳解】解：由容器可知，最下面圓柱底面積最小，中間圓柱底面積最大，最上面圓柱底面積最較大，所以一開始水面高度上升的很快，然后很慢，最后又上升的更快點，
故選：．
8.（2024·四川·中考真題）如圖，在一個平面區域內，一臺雷達探測器測得在點A，B，C處有目標出現．按某種規則，點A，B的位置可以分別表示為，則點C的位置可以表示為 ．
【答案】
【分析】本題考查了坐標確定位置，根據題意得到圓圈數表示有序數對的第一個數，度數表示有序數對的第二個數是解題關鍵．根據題意可得：圓圈數表示有序數對的第一個數，度數表示有序數對的第二個數，可得答案．
【詳解】解：∵A，B的位置分別表示為．
∴目標C的位置表示為．
故答案為：
9.如圖所示的象棋盤中，各個小正方形的邊長均為1.“馬”從圖中的位置出發，不走重復路線，按照“馬走日”的規則，走兩步后的落點與出發點間的最短距離為 .
【答案】
【分析】根據第一步馬往外跳，第二步馬再往回跳但路線不與第一步的路線重合，這樣走兩步后的落點與出發點距離最短．
【詳解】解：如下圖所示：
馬第一步往外跳，可能的落點為A、B、C、D、E、F點，
第二步往回跳，但路線不與第一步的路線重合，這樣走兩步后的落點與出發點距離最短，
比如，第一步馬跳到A點位置，第二步在從A點跳到G點位置，此時落點與出發點的距離最短為，
故答案為：．
【總結】本題借助象棋中的“馬走日”的規則考察了兩點之間的距離公式，解題的關鍵是讀懂題意．
10.(2023·河北石家莊·模擬預測）如圖，在直角坐標系中，已知、、三點，其中a、b，c滿足關系式．

(1)求a、b、c的值；
(2)如果在第二象限內有一點，請用含m的式子表示四邊形的面積；
(3)在（2）的條件下，是否存在點P，使四邊形的面積與的面積相等？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由？
【答案】(1)，，
(2)
(3)存在點使
【分析】（1）用非負數的性質求解；
（2）把四邊形的面積看成兩個三角形面積和，用來表示；
（3）先求出的面積，根據題意，列出方程即可解決問題．
【詳解】（1）解：，
，，，
，，；
（2）解：，
，
，
即；
（3）解：，
，
則，
存在點使．
【總結】本題考查了四邊形綜合題，屬于掌握非負數的性質，三角形及四邊形面積的求法，解決本題的關鍵是根據非負數的性質求出，，．
1.（2023·廣東深圳·中考真題）如圖1，在中，動點P從A點運動到B點再到C點后停止，速度為2單位/s，其中長與運動時間t（單位：s）的關系如圖2，則的長為（ ）

A． B． C．17 D．
【答案】C
【分析】根據圖象可知時，點與點重合，得到，進而求出點從點運動到點所需的時間，進而得到點從點運動到點的時間，求出的長，再利用勾股定理求出即可．
【詳解】解：由圖象可知：時，點與點重合，
∴，
∴點從點運動到點所需的時間為；
∴點從點運動到點的時間為，
∴；
在中：；
故選C．
【總結】本題考查動點的函數圖象，勾股定理．從函數圖象中有效的獲取信息，求出的長，是解題的關鍵．
2．（2024·青海·中考真題）化學實驗小組查閱資料了解到：某種絮凝劑溶于水后能夠吸附水中懸浮物并發生沉降，從而達到凈水的目的．實驗得出加入絮凝劑的體積與凈水率之間的關系如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A．加入絮凝劑的體積越大，凈水率越高
B．未加入絮凝劑時，凈水率為
C．絮凝劑的體積每增加，凈水率的增加量相等
D．加入絮凝劑的體積是時，凈水率達到
【答案】D
【分析】本題考查從圖像上獲取信息，能從圖像上獲得信息是解題的關鍵，根據圖像信息對選項進行判斷即可
【詳解】A、從圖像上可以看到，加入絮凝劑的體積在達到最大凈水率，之后凈水率開始降低，不符合題意，選項錯誤；
B、未加入絮凝劑時，凈水率為，故不符合題意，選項錯誤；
C、當絮凝劑的體積為時，凈水率增加量為，絮凝劑的體積為時，凈水率增加量為；故絮凝劑的體積每增加，凈水率的增加量不相等，不符合題意，選項錯誤；
D、根據圖像可得，加入絮凝劑的體積是時，凈水率達到，符合題意，選項正確；
故選：D
3．（2024·江蘇徐州·中考真題）小明的速度與時間的函數關系如圖所示，下列情境與之較為相符的是（ ）
A．小明坐在門口，然后跑去看鄰居家的小狗，隨后坐著逗小狗玩
B．小明攀巖至高處，然后順著桿子滑下來，隨后躺在沙地上休息
C．小明跑去接電話，然后坐下來電話聊天，隨后步行至另一個房間
D．小明步行去朋友家，敲門發現朋友不在家，隨后步行回家
【答案】C
【分析】本題考查了函數圖象，讀懂函數圖象，從圖象中獲取必要的信息是解決本題的關鍵．
根據函數圖象分析即可．
【詳解】解：由圖象可知速度先隨時間的增大而增大，然后直接降為0，過段時間速度增大，然后勻速運動，
則小明跑去接電話，然后坐下來電話聊天，隨后步行至另一個房間，符合題意．
故選：C．
4.（2024·廣東東莞·二模）如圖1，在中，點為的中點，動點從點出發，沿著的路徑以每秒1個單位長度的速度運動到點，在此過程中線段的長度隨著運動時間的函數關系如圖2所示，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了動點問題的函數圖象、解直角三角形、勾股定理，當時，點在點處，此時，則，當時，，求出，由勾股定理得出，求出，再由計算即可得解．
【詳解】解：當時，點在點處，此時，則，
當時，，
，
則，
，
，
，
故選：C．
5．（2024·四川廣元·中考真題）如圖①，在中，，點P從點A出發沿A→C→B以1的速度勻速運動至點B，圖②是點P運動時，的面積隨時間x（s）變化的函數圖象，則該三角形的斜邊的長為（ ）
A．5 B．7 C． D．
【答案】A
【分析】本題考查根據函數圖象獲取信息，完全平方公式，勾股定理，
由圖象可知，面積最大值為6，此時當點P運動到點C，得到，由圖象可知， 根據勾股定理，結合完全平方公式即可求解．
【詳解】解：由圖象可知，面積最大值為6
由題意可得，當點P運動到點C時，的面積最大，
∴，即，
由圖象可知，當時，，此時點P運動到點B，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選：A
6.（2024·廣東茂名·一模）如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正六邊形的中心與原點O重合，軸，交y軸于點P．將繞點O順時針旋轉，每次旋轉，則第2024次旋轉結束時，點A的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查坐標與圖形問題，點坐標規律型問題，解題的關鍵是學會探究規律的方法，首先確定點A的坐標，再根據4次一個循環，推出經過第2024次旋轉后，點A的坐標即可．
【詳解】解：正六邊形邊長為2，中心與原點O重合，軸，
∴，，，
∴，
∴，
第1次旋轉結束時，點A的坐標為；
第2次旋轉結束時，點A的坐標為；
第3次旋轉結束時，點A的坐標為；
第4次旋轉結束時，點A的坐標為；
∵將繞點O順時針旋轉，每次旋轉，
∴4次一個循環，
∵，
∴經過第2024次旋轉后，點A的坐標為，
故選：D．
7．（2024·湖北·中考真題）鐵的密度約為，鐵的質量與體積成正比例．一個體積為的鐵塊，它的質量為 ．
【答案】79
【分析】本題考查了正比例函數的應用．根據鐵的質量與體積成正比例，列式計算即可求解．
【詳解】解：∵鐵的質量與體積成正比例，
∴m關于V的函數解析式為，
當時，，
故答案為：79．
8．（2024·山東東營·中考真題）在彈性限度內，彈簧的長度是所掛物體質量的一次函數．一根彈簧不掛物體時長12.5cm，當所掛物體的質量為2kg時，彈簧長13.5cm．當所掛物體的質量為5kg時，彈簧的長度為 cm，
【答案】
【分析】本題考查了用待定系數法求一次函數的解析式、由自變量求函數值的知識點，解答時求出函數的解析式是關鍵．設與的函數關系式為，由待定系數法求出解析式，并把代入解析式求出對應的值即可．
【詳解】解：設與的函數關系式為，
由題意，得，
解得：，
故與之間的關系式為：，
當時，．
故答案為：．
9．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）在函數中，自變量x的取值范圍是 ．
【答案】/
【分析】本題主要考查函數自變量取值范圍，分別根據二次根式有意義的條件和分式有意義的條件列出不等式求解即可．
【詳解】解：根據題意得，，且，
解得，，
故答案為：．
10．（2024·天津·中考真題）已知張華的家、畫社、文化廣場依次在同一條直線上，畫社離家，文化廣場離家．張華從家出發，先勻速騎行了到畫社，在畫社停留了，之后勻速騎行了到文化廣場，在文化廣場停留后，再勻速步行了返回家．下面圖中表示時間，表示離家的距離．圖象反映了這個過程中張華離家的距離與時間之間的對應關系．
請根據相關信息，回答下列問題：
(1)①填表：
張華離開家的時間 1 4 13 30
張華離家的距離
②填空：張華從文化廣場返回家的速度為______；
③當時，請直接寫出張華離家的距離關于時間的函數解析式；
(2)當張華離開家時，他的爸爸也從家出發勻速步行了直接到達了文化廣場，那么從畫社到文化廣場的途中兩人相遇時離家的距離是多少？（直接寫出結果即可）
【答案】(1)①；②0.075；③當時，；當時，；當時，
(2)
【分析】本題考查了從函數圖象獲取信息，求函數的解析式，列一元一次方程解決實際問題，準確理解題意，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
（1）①根據圖象作答即可；
②根據圖象，由張華從文化廣場返回家的距離除以時間求解即可；
③分段求解，，可得出，當時，；當時，設一次函數解析式為：，把，代入，用待定系數法求解即可.
（2）先求出張華爸爸的速度，設張華爸爸距家，則，當兩人相遇時有，列一元一次方程求解即可進一步得出答案．
【詳解】（1）解：①畫社離家，張華從家出發，先勻速騎行了到畫社，
∴張華的騎行速度為，
∴張華離家時，張華離家，
張華離家時，還在畫社，故此時張華離家還是，
張華離家時，在文化廣場，故此時張華離家還是．
故答案為：.
②,
故答案為：．
③當時，張華的勻速騎行速度為，
∴；
當時，；
當時，設一次函數解析式為：，
把，代入，可得出：
，
解得：，
∴，
綜上：當時，，當時，，當時，．
（2）張華爸爸的速度為：，
設張華爸爸距家，則，
當兩人從畫社到文化廣場的途中兩人相遇時，有，
解得：，
∴，
故從畫社到文化廣場的途中兩人相遇時離家的距離是．
1．（2020·山東濱州·中考真題）在平面直角坐標系的第二象限內有一點P，點P到x軸的距離為4，到y軸的距離為5，則點P的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設點坐標為，根據第二象限點的橫縱坐標的符號，求解即可．
【詳解】解：設點坐標為，
∵點在第二象限內，
∴，，
∵點P到x軸的距離為4，到y軸的距離為5，
∴，，
∴，，
即點坐標為，
故選：D
【總結】本題考查了點的坐標，熟記點到x軸的距離等于縱坐標的絕對值，到y軸的距離等于橫坐標的絕對值是解題的關鍵．
2．（2024·甘肅·中考真題）敦煌文書是華夏民族引以為傲的藝術瑰寶，其中敦煌《算經》中出現的《田積表》部分如圖1所示，它以表格形式將矩形土地的面積直觀展示，可迅速準確地查出邊長10步到60步的矩形田地面積，極大地提高了農田面積的測量效率．如圖2是復原的部分《田積表》，表中對田地的長和寬都用步來表示，A區域表示的是長15步，寬16步的田地面積為一畝，用有序數對記為，那么有序數對記為對應的田地面積為（　　）
A．一畝八十步 B．一畝二十步 C．半畝七十八步 D．半畝八十四步
【答案】D
【分析】根據可得，橫從上面從右向左看，縱從右邊自下而上看，解答即可．
本題考查了坐標與位置的應用，熟練掌握坐標與位置的應用是解題的關鍵．
【詳解】根據可得，橫從上面從右向左看，縱從右邊自下而上看，
故對應的是半畝八十四步，
故選D．
示第b排a號位，
故選：B．
3．（2023·海南·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B的坐標為，將繞著點B順時針旋轉，得到，則點C的坐標是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】過點作，由題意可得：，，再利用含30度直角三角形的性質，求解即可．
【詳解】解：過點作，如下圖：

則
由題意可得：，，
∴，
∴，
∴，，
∴點的坐標為，
故選：B
4．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在等腰中，，，動點E，F同時從點A出發，分別沿射線和射線的方向勻速運動，且速度大小相同，當點E停止運動時，點F也隨之停止運動，連接，以為邊向下做正方形，設點E運動的路程為，正方形和等腰重合部分的面積為y，下列圖像能反映y與x之間函數關系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查動態問題與函數圖象，能夠明確y與x分別表示的意義，并找到幾何圖形與函數圖象之間的關系，以及對應點是解題的關鍵，根據題意并結合選項分析當與重合時，及當時圖象的走勢，和當時圖象的走勢即可得到答案．
【詳解】解：當與重合時，設，由題可得：
∴，，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴當時，，
∵，
∴圖象為開口向上的拋物線的一部分，
當在下方時，設，由題可得：
∴，，
∵，,
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當時，，
∵，
∴圖象為開口向下的拋物線的一部分，
綜上所述：A正確，
故選：A．
5．（2023·四川資陽·中考真題）如圖，在平行四邊形中，，厘米，厘米，點從點出發以每秒厘米的速度，沿在平行四邊形的邊上勻速運動至點．設點的運動時間為秒，的面積為平方厘米，下列圖中表示與之間函數關系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查了動點問題的函數圖象問題,涉及平行四邊形性質、三角形外角性質、三角形面積公式等知識．由平行四邊形性質得到厘米，點速度為每秒厘米，則點在上時，時間滿足的取值范圍為，觀察符合題意的、、的圖象，即點在處時，的面積各不相同，求得此時的面積，即可找到正確選項．判斷出點運動到點時的時間及此時的面積是解決本題的關鍵．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，厘米，
厘米，
點從點出發以每秒厘米的速度，
點走完所用的時間為：秒，
當點在上時，；故排除；
當時，點在點處，過點作于點，如圖所示：
，
，
，
厘米，
厘米，
厘米，
平方厘米，
故選：B．
6．（2023·山東日照·中考真題）數學家高斯推動了數學科學的發展，被數學界譽為“數學王子”，據傳，他在計算時，用到了一種方法，將首尾兩個數相加，進而得到．人們借助于這樣的方法，得到（n是正整數）．有下列問題，如圖，在平面直角坐標系中的一系列格點，其中，且是整數．記，如，即，即，即，以此類推．則下列結論正確的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用圖形尋找規律，再利用規律解題即可．
【詳解】解：第1圈有1個點，即，這時；
第2圈有8個點，即到；
第3圈有16個點，即到，；
依次類推，第n圈，；
由規律可知：是在第23圈上，且，則即，故A選項不正確；
是在第23圈上，且，即，故B選項正確；
第n圈，，所以，故C、D選項不正確；
故選B．
【總結】本題考查圖形與規律，利用所給的圖形找到規律是解題的關鍵．
7.（2022·廣東·中考真題）水中漣漪（圓形水波）不斷擴大，記它的半徑為r，則圓周長C與r的關系式為．下列判斷正確的是（ ）
A．2是變量 B．是變量 C．r是變量 D．C是常量
【答案】C
【分析】根據變量與常量的定義分別判斷，并選擇正確的選項即可．
【詳解】解：2與π為常量，C與r為變量，
故選：C．
【總結】本題考查變量與常量的概念，能夠熟練掌握變量與常量的概念為解決本題的關鍵．
8．（2023·浙江衢州·中考真題）在如圖所示的方格紙上建立適當的平面直角坐標系，若點A的坐標為，點B的坐標為，則點C的坐標為 ．

【答案】作圖見解析，
【分析】根據點A、B的坐標可確定原點的位置，再作平面直角坐標系即可，從而可確定點C的坐標．
【詳解】解：建立平面直角坐標系如圖所示：

∴點C的坐標為，
故答案為：．
【總結】本題考查平面直角坐標系、在坐標系中確定點的坐標，根據點A、B的坐標確定原點的位置是解題的關鍵．
9．（2023·江蘇連云港·中考真題）畫一條水平數軸，以原點為圓心，過數軸上的每一刻度點畫同心圓，過原點按逆時針方向依次畫出與正半軸的角度分別為的射線，這樣就建立了“圓”坐標系．如圖，在建立的“圓”坐標系內，我們可以將點的坐標分別表示為，則點的坐標可以表示為 ．

【答案】
【分析】根據題意，可得在第三個圓上，與正半軸的角度，進而即可求解．
【詳解】解：根據圖形可得在第三個圓上，與正半軸的角度，
∴點的坐標可以表示為
故答案為：．
【總結】本題考查了有序實數對表示位置，數形結合，理解題意是解題的關鍵．
10．（2023·湖北黃岡·二模）將一組數，2，，，，…按下列方式進行排列：
，2，，；
，，，4；
……
若2的位置記為，的位置記為 ，則的位置記為 ．
【答案】
【分析】先找出被開方數的規律，然后再求得的位置即可．
【詳解】解：數字可以化成：
，，，；
，，，；
……
∴規律為：被開方數為從2開始的偶數，每一行4個數，
∵，是第個偶數，而
∴的位置記為
故答案為：
11..若將甲水箱中的水全倒入乙水箱，乙水箱只可再裝升的水；若將乙水箱中的水倒入甲水箱，裝滿甲水箱后，乙水箱還剩升的水．則與之間的數量關系是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了列函數關系式，設甲、乙兩個水桶中已各裝了公升水，根據題意可得，，然后即可求解，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】解：設甲、乙兩個水桶中已各裝了公升水，
由甲中的水全倒入乙后，乙只可再裝公升的水得：；
由乙中的水倒入甲，裝滿甲水桶后，乙還剩公升的水得：；
得：，
∴，
故答案為：．
12．（2024·安徽六安·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，每個小方格都是邊長為1的正方形，的頂點均在格點上．
(1)作出關于y軸對稱的，并直接寫出點的坐標；
(2)連接，，求四邊形的面積．
【答案】(1)圖見解析，
(2)12
【分析】此題考查軸對稱的作圖、點的坐標、利用網格面積等知識．
（1）找到關于y軸的對稱點，順次連接得到，再寫出點的坐標即可；
（2）利用梯形面積公式計算即可．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求．則點的坐標為．
（2）解：四邊形的面積
13．（2022·江蘇常州·模擬預測）如圖1，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為，，且a，b滿足，現將線段先向上平移4個單位長度，再向右平移6個單位長度得到線段，其中點A對應點為C，點B對應點為D，連接，．
(1)請直接寫出A，B兩點的坐標；
(2)如圖2，點M是線段上的一個動點，點N是線段的一個定點，連接，，當點M在線段上移動時（不與A，C重合），探究，，之間的數量關系，并說明理由；
(3)在坐標軸上是否存在點P，使三角形的面積與三角形的面積相等？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，試說明理由．
【答案】(1)，；
(2)，理由見解析
(3)存在點P，使三角形PBC的面積與三角形的面積相等，點P的坐標為或或或．
【分析】（）根據非負數的性質求出，，即可求出答案；
（）過點作直線，則，再判斷出，即可得出結論；
（）先求出的面積，再分點在軸和軸上兩種情況，根據三角形面積公式建立方程求解，即可得出答案．
【詳解】（1）∵，
∴，，
∴，，
∴，；
（2），
理由：如圖，過點作直線，
，
線段由線段平移得到，
，
，
，
，
，
，
∴；
（3）如圖，依題意可得，，，，
，，，
，
當點在軸上時，設點，
則，
，
，
或；
②當點在軸上時，設點，
則，
，
，
或，
綜上所述，存在點，使三角形的面積與三角形的面積相等，點的坐標為或或或．
【總結】此題考查了非負數的性質，平行線的性質，三角形的面積公式，坐標兩點的距離公式，坐標平移的特征，用分類討論的思想解決問題是解題的關鍵．
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專題8 函數與平面直角坐標系
1．（2024·內蒙古呼和浩特·模擬預測）下列關于兩個變量關系的四種表達式中，正確的是（ ）
①圓的周長C是半徑r的函數；
②表達式中，y是x的函數；
③下表中，n是m的函數；
m 1 2 3
n 8 3 2
④圖中，曲線表示y是x的函數．
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
2.下列圖像不能反映y是x的函數的是（ ）
A．B．C． D．．
3.如圖，長方體水池內有一無蓋圓柱形鐵桶，現用水管往鐵桶中持續勻速注水，直到長方體水池有水溢出一會兒為止．設注水時間為（細實線）表示鐵桶中水面高度，（粗實線）表示水池中水面高度（鐵桶高度低于水池高度，鐵桶底面積小于水池底面積的一半，注水前鐵桶和水池內均無水），則隨時間變化的函數圖象大致為（ ）

A．B．C．D．
4.（2024·山東淄博·中考真題）某日，甲、乙兩人相約在一條筆直的健身道路上鍛煉．兩人都從地勻速出發，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，駐足交流后，繼續以原速步行前進；乙因故比甲晚出發，跑步到達地后立刻以原速返回，在返回途中與甲第二次相遇．下圖表示甲、乙兩人之間的距離與甲出發的時間之間的函數關系．( )
那么以下結論：
①甲、乙兩人第一次相遇時，乙的鍛煉用時為；
②甲出發時，甲、乙兩人之間的距離達到最大值；
③甲、乙兩人第二次相遇的時間是在甲出發后；
④，兩地之間的距離是．
其中正確的結論有：
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
5.（2024·上海·模擬預測）函數的定義域為 ．
6.（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）甲、乙兩貨車分別從相距的A、B兩地同時出發，甲貨車從A地出發途經配貨站時，停下來卸貨，半小時后繼續駛往B地，乙貨車沿同一條公路從B地駛往A地，但乙貨車到達配貨站時接到緊急任務立即原路原速返回B地，結果比甲貨車晚半小時到達B地．如圖是甲、乙兩貨車距A地的距離與行駛時間之間的函數圖象，結合圖象回答下列問題：
(1)甲貨車到達配貨站之前的速度是　　　　，乙貨車的速度是　　　　；
(2)求甲貨車在配貨站卸貨后駛往B地的過程中，甲貨車距A地的距離與行駛時間之間的函數解析式；
(3)直接寫出甲、乙兩貨車在行駛的過程中，出發多長時間甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等．
一.變量與常量
變量：在一個變化過程中，數值發生變化的量稱為變量.
常量：在一個變化過程中，數值始終不變的量稱為常量.
【補充】變量和常量是相對而言的，判斷的前提是“在同一個變化過程中”.當變化過程改變時，同一個量的身份也可能隨之改變.
2.函數
定義：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數.
【注意】對于每個確定的自變量值，函數值是唯一的，但反過來，可以不唯一，即一個函數值對應的自變量可以是多個，如函數y=|x|，當x=±1時，y的值都是1.
3.函數值
函數值：如果在自變量取值范圍內給定一個值a，函數對應的值為b，那么b叫做當自變量取值為a時的函數值.
4.函數的表示方法
表示法 定義 優點 缺點
列表法 把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表，這種表示函數關系的方法叫做列表法 自變量和與它對應的函數值數據一目了然 列出的對應值是有限的，而且在表格中也不容易看出自變量與函數的變化規律
解析法 兩個變量之間的函數關系可以用等式來表示，這種表示兩個變量之間函數關系的式子稱為函數解析式，用函數解析式表示函數的方法叫做解析法 能準確地反映整個變化過程中自變量與函數的對應關系 求對應值時，往往要經過比較復雜的計算，有些函數不能用解析式表示出來
圖像法 用圖像來表示函數關系的方法叫做圖像法 形象的把自變量和函數值的關系表示出來 圖像中只能得到近似的數量關系
【注意】并不是所有的函數都可以用這三種方法表示出來.例如氣溫與時間的函數關系，只能用列表法和圖像法表示，而不能用解析式法表示，
二、平面直角坐標系的相關概念
1.有序數對
定義：有順序的兩個數a與b組成的數對，叫做有序數對，記作（a，b）.
2.平面直角坐標系
平面直角坐標系：在平面內畫兩條互相垂直，并且原點重合的數軸，這樣就建立了平面直角坐標系.
x軸、y軸：水平的數軸叫做x軸或橫軸，通常取向右方向為正方向；
豎直的數軸叫做y軸或縱軸，通常取向上方向為正方向.
原點：兩坐標軸交點為平面直角坐標系原點.
坐標平面：坐標系所在的平面叫做坐標平面.
象限：x軸和y軸把坐標平面分成四部分，每個部分稱為象限.按逆時針順序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐標軸上的點不屬于任何象限.
【補充】
1）兩條坐標軸不屬于任何一個象限.
2）平面直角坐標系具有實際意義時，一般在橫軸、縱軸的字母附上單位
3.點的坐標
點的坐標：對于坐標軸內任意一點A，過點A分別向x軸、y軸作垂線，垂足在x軸、y軸上的對應的數a、b分別叫做點A的橫坐標和縱坐標，有序數對A(a，b)叫做點A的坐標，記作A(a，b)，如圖.
【易錯點】
1）坐標平面內點的坐標是有序實數對，當a≠b時，有序數對（a，b）和（b，a）表示的是不同點的坐標.
2）對于坐標平面內任意一點都有唯一的一對有序數對(x，y)和它對應,反過來對于任意一對有序數對，在坐標平面內都有唯一的一點與它對應，即坐標平面內的點與有序數對是一一對應的.
三、點的坐標的有關性質
1.點的坐標特征
點M（x，y）所處的位置 坐標特征
象限內的點 點M在第一象限 M（正，正）
點M在第二象限 M（負，正）
點M在第三象限 M（負，負）
點M在第四象限 M（正，負）
坐標軸上的點 點M在x軸上 在x軸正半軸上 M（正，0）
在x軸負半軸上 M（負，0）
點M在y軸上 在y軸正半軸上 M（0，正）
在y軸負半軸上 M（0，負）
點M在原點 M（0，0）
象限角平分線上的點 點M在第一、三象限角平分線上 M（x，y）且x＝y
點M在第二、四象限角平分線上 M（x，y）且x＝-y
兩點連線與坐標軸平行 MN∥x軸（或MN⊥y軸） M、N兩點縱坐標相等且橫坐標不相等
MN∥y軸（或MN⊥x軸） M、N兩點橫坐標相等且縱坐標不相等
2.點的坐標變化
對于平面直角坐標系上任意一點P(x，y)
變換方式 具體變換過程 變換后的坐標
平移變換 （a＞0，b＞0） 向左平移a個單位 （x-a，y）
向右平移a個單位 (x+a，y)
向上平移a個單位 (x，y+a)
向下平移a個單位 (x，y-a)
口訣：點的平移左減右加，上加下減.
變換方式 具體變換過程 變換后的坐標
對稱變換 關于x軸對稱 (x，-y)
關于y軸對稱 (-x，y)
關于原點對稱 (-x，-y)
口訣：關于誰對稱誰不變，關于原點對稱都改變.
旋轉變換 繞原點順時針旋轉90° （y，-x）
繞原點逆時針旋轉90° （-y，x）
繞原點順/逆時針旋轉180° (-x，-y)
3.點到坐標軸的距離
在平面直角坐標系中，已知點P，則
1）點P到軸的距離為；
2）點P到軸的距離為；
3）點P到原點O的距離為P＝.
4、坐標系內點與點之間的距離
坐標系中有兩點M與點N，則M，N兩點之間的距離：
若AB∥x軸，則的距離為；
若AB∥y軸，則的距離為；
【易錯易混】
1）原點既是x軸上的點，又是y軸上的點.
2）點的橫坐標或縱坐標為0，說明點在y軸上或在x軸上.
3）已知點的坐標可以求出點到x軸、y軸的距離，應注意取相應坐標的絕對值.
4）點到坐標軸的距離與這個點的坐標是有區別的，表現在兩方面：
①到x軸的距離與縱坐標有關，到y軸的距離與橫坐標有關；
②距離都是非負數，而坐標可以是負數.
5）因為橫軸向右為正，所以點向右平移時橫坐標變大，向左平移時橫坐標變小，同理向上平移時縱坐標變大，向下平移縱坐標變小.
在平面直角坐標系中，將點向右平移2個單位后，得到的點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
（2020·廣東·中考真題）在平面直角坐標系中，點關于軸對稱的點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
．
（2022·廣東·中考真題）水中漣漪（圓形水波）不斷擴大，記它的半徑為r，則圓周長C與r的關系式為．下列判斷正確的是（ ）
A．2是變量 B．是變量 C．r是變量 D．C是常量
（2024·廣東佛山·三模）如圖，彈簧秤不掛重時彈簧長為，每掛重物體，彈簧伸長，在彈性限度（掛重不超過）內，彈簧的長度與所掛重之間的關系式是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河北·二模）如圖，甲、乙二人同時從A地出發，甲沿北偏東50°方向行走200m后到達B地，然后立即向正東方向行走200m，二人恰好在C地相遇，若乙中途未改變方向，則乙的行走方向為（ ）
A．北偏東30° B．北偏東40° C．北偏東70° D．無法確定
6.化學實驗小組查閱資料了解到：某種絮凝劑溶于水后能夠吸附水中懸浮物并發生沉降，從而達到凈水的目的．實驗得出加入絮凝劑的體積與凈水率之間的關系如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A．加入絮凝劑的體積越大，凈水率越高
B．未加入絮凝劑時，凈水率為
C．絮凝劑的體積每增加，凈水率的增加量相等
D．加入絮凝劑的體積是時，凈水率達到
7.（2024·四川涼山·中考真題）勻速地向如圖所示的容器內注水，直到把容器注滿．在注水過程中，容器內水面高度隨時間變化的大致圖象是（ ）
A． B． C． D．
8.（2024·四川·中考真題）如圖，在一個平面區域內，一臺雷達探測器測得在點A，B，C處有目標出現．按某種規則，點A，B的位置可以分別表示為，則點C的位置可以表示為 ．
9..如圖所示的象棋盤中，各個小正方形的邊長均為1.“馬”從圖中的位置出發，不走重復路線，按照“馬走日”的規則，走兩步后的落點與出發點間的最短距離為 .
10.（2023·河北石家莊·模擬預測）如圖，在直角坐標系中，已知、、三點，其中a、b，c滿足關系式．

(1)求a、b、c的值；
(2)如果在第二象限內有一點，請用含m的式子表示四邊形的面積；
(3)在（2）的條件下，是否存在點P，使四邊形的面積與的面積相等？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由？
1.（2023·廣東深圳·中考真題）如圖1，在中，動點P從A點運動到B點再到C點后停止，速度為2單位/s，其中長與運動時間t（單位：s）的關系如圖2，則的長為（ ）

2．（2024·青海·中考真題）化學實驗小組查閱資料了解到：某種絮凝劑溶于水后能夠吸附水中懸浮物并發生沉降，從而達到凈水的目的．實驗得出加入絮凝劑的體積與凈水率之間的關系如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A．加入絮凝劑的體積越大，凈水率越高
B．未加入絮凝劑時，凈水率為
C．絮凝劑的體積每增加，凈水率的增加量相等
D．加入絮凝劑的體積是時，凈水率達到
3．（2024·江蘇徐州·中考真題）小明的速度與時間的函數關系如圖所示，下列情境與之較為相符的是（ ）
A．小明坐在門口，然后跑去看鄰居家的小狗，隨后坐著逗小狗玩
B．小明攀巖至高處，然后順著桿子滑下來，隨后躺在沙地上休息
C．小明跑去接電話，然后坐下來電話聊天，隨后步行至另一個房間
D．小明步行去朋友家，敲門發現朋友不在家，隨后步行回家
4.（2024·廣東東莞·二模）如圖1，在中，點為的中點，動點從點出發，沿著的路徑以每秒1個單位長度的速度運動到點，在此過程中線段的長度隨著運動時間的函數關系如圖2所示，則的長為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川廣元·中考真題）如圖①，在中，，點P從點A出發沿A→C→B以1的速度勻速運動至點B，圖②是點P運動時，的面積隨時間x（s）變化的函數圖象，則該三角形的斜邊的長為（ ）
A．5 B．7 C． D．
6.（2024·廣東茂名·一模）如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正六邊形的中心與原點O重合，軸，交y軸于點P．將繞點O順時針旋轉，每次旋轉，則第2024次旋轉結束時，點A的坐標為（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·湖北·中考真題）鐵的密度約為，鐵的質量與體積成正比例．一個體積為的鐵塊，它的質量為 ．
8．（2024·山東東營·中考真題）在彈性限度內，彈簧的長度是所掛物體質量的一次函數．一根彈簧不掛物體時長12.5cm，當所掛物體的質量為2kg時，彈簧長13.5cm．當所掛物體的質量為5kg時，彈簧的長度為 cm，
9．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）在函數中，自變量x的取值范圍是 ．
10．（2024·天津·中考真題）已知張華的家、畫社、文化廣場依次在同一條直線上，畫社離家，文化廣場離家．張華從家出發，先勻速騎行了到畫社，在畫社停留了，之后勻速騎行了到文化廣場，在文化廣場停留后，再勻速步行了返回家．下面圖中表示時間，表示離家的距離．圖象反映了這個過程中張華離家的距離與時間之間的對應關系．
請根據相關信息，回答下列問題：
(1)①填表：
張華離開家的時間 1 4 13 30
張華離家的距離
②填空：張華從文化廣場返回家的速度為______；
③當時，請直接寫出張華離家的距離關于時間的函數解析式；
(2)當張華離開家時，他的爸爸也從家出發勻速步行了直接到達了文化廣場，那么從畫社到文化廣場的途中兩人相遇時離家的距離是多少？（直接寫出結果即可）
1．（2020·山東濱州·中考真題）在平面直角坐標系的第二象限內有一點P，點P到x軸的距離為4，到y軸的距離為5，則點P的坐標是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·甘肅·中考真題）敦煌文書是華夏民族引以為傲的藝術瑰寶，其中敦煌《算經》中出現的《田積表》部分如圖1所示，它以表格形式將矩形土地的面積直觀展示，可迅速準確地查出邊長10步到60步的矩形田地面積，極大地提高了農田面積的測量效率．如圖2是復原的部分《田積表》，表中對田地的長和寬都用步來表示，A區域表示的是長15步，寬16步的田地面積為一畝，用有序數對記為，那么有序數對記為對應的田地面積為（　　）
A．一畝八十步 B．一畝二十步 C．半畝七十八步 D．半畝八十四步
3．（2023·海南·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B的坐標為，將繞著點B順時針旋轉，得到，則點C的坐標是（ ）

A． B． C． D．
4．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在等腰中，，，動點E，F同時從點A出發，分別沿射線和射線的方向勻速運動，且速度大小相同，當點E停止運動時，點F也隨之停止運動，連接，以為邊向下做正方形，設點E運動的路程為，正方形和等腰重合部分的面積為y，下列圖像能反映y與x之間函數關系的是（ ）
A．B．C．D．．
5．（2023·四川資陽·中考真題）如圖，在平行四邊形中，，厘米，厘米，點從點出發以每秒厘米的速度，沿在平行四邊形的邊上勻速運動至點．設點的運動時間為秒，的面積為平方厘米，下列圖中表示與之間函數關系的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·山東日照·中考真題）數學家高斯推動了數學科學的發展，被數學界譽為“數學王子”，據傳，他在計算時，用到了一種方法，將首尾兩個數相加，進而得到．人們借助于這樣的方法，得到（n是正整數）．有下列問題，如圖，在平面直角坐標系中的一系列格點，其中，且是整數．記，如，即，即，即，以此類推．則下列結論正確的是（ ）

A． B． C． D．
7.（2022·廣東·中考真題）水中漣漪（圓形水波）不斷擴大，記它的半徑為r，則圓周長C與r的關系式為．下列判斷正確的是（ ）
A．2是變量 B．是變量 C．r是變量 D．C是常量
8．（2023·浙江衢州·中考真題）在如圖所示的方格紙上建立適當的平面直角坐標系，若點A的坐標為，點B的坐標為，則點C的坐標為 ．

9．（2023·江蘇連云港·中考真題）畫一條水平數軸，以原點為圓心，過數軸上的每一刻度點畫同心圓，過原點按逆時針方向依次畫出與正半軸的角度分別為的射線，這樣就建立了“圓”坐標系．如圖，在建立的“圓”坐標系內，我們可以將點的坐標分別表示為，則點的坐標可以表示為 ．

10．（2023·湖北黃岡·二模）將一組數，2，，，，…按下列方式進行排列：
，2，，；
，，，4；
……
若2的位置記為，的位置記為 ，則的位置記為 ．
11..若將甲水箱中的水全倒入乙水箱，乙水箱只可再裝升的水；若將乙水箱中的水倒入甲水箱，裝滿甲水箱后，乙水箱還剩升的水．則與之間的數量關系是 ．
12．（2024·安徽六安·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，每個小方格都是邊長為1的正方形，的頂點均在格點上．
(1)作出關于y軸對稱的，并直接寫出點的坐標；
(2)連接，，求四邊形的面積．
13．（2022·江蘇常州·模擬預測）如圖1，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為，，且a，b滿足，現將線段先向上平移4個單位長度，再向右平移6個單位長度得到線段，其中點A對應點為C，點B對應點為D，連接，．
(1)請直接寫出A，B兩點的坐標；
(2)如圖2，點M是線段上的一個動點，點N是線段的一個定點，連接，，當點M在線段上移動時（不與A，C重合），探究，，之間的數量關系，并說明理由；
(3)在坐標軸上是否存在點P，使三角形的面積與三角形的面積相等？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，試說明理由．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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