資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
課時2.1 一元二次方程（學案）
1.理解一元二次方程的定義，能對一元二次方程進行準確的判斷，并利用一元二次方程的定義求相應參數的數值.
2.掌握一元二次方程的一般式，正確認識二次項系數、一次項系數和常數項。
3.能夠識別實際問題中的數量關系，準確設出未知數，列出一元二次方程。例如在面積問題中，像“用長為10米的鐵絲圍矩形，設一邊長為米，根據矩形周長和面積公式列出方程求解面積等問題”
學習重點：一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式
學習難點：根據相關條件求一元二次方程的相關系數
列舉2個一元二次方程：x2+2x+1=0，3x2-2x+1=0；
1．下列方程中，屬于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【詳解】解：A. ，含有兩個未知數，不是一元二次方程，不符合題意；
B. ，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合題意；
C. ，不是一個未知數，不符合題意；
D. ，是一元二次方程，符合題意；
故選：D．
將一個容積為750 cm的包裝盒剪開、鋪平，紙樣如圖所示。圖中x(cm)應滿足怎樣的方程
【合作探究】（1）如圖是某攝影愛好者拍攝的一張長為，寬為的長崗坡渡槽風景照，現要在風景照四周鑲一條等寬的邊，制成一幅矩形掛圖．若使整個掛圖的面積是，設風景照四周所鑲邊的寬為，則所列方程是 ．
【詳解】解：設風景照四周所鑲邊的寬為，那么掛圖的長和寬應該為和，
根據題意可得出方程為：，
（2）一種新款汽車剛上市的價格是18萬元/輛，每年的降價率為，如果該款車在上市滿兩年后的價格為萬元/輛，求年降價率的值．根據題意列出關于的方程是 ．
【詳解】解：由題意得，，
（3）如圖，用長的籬笆靠墻(墻足夠長)圍成一個面積是 的長方形雞場，雞場有一個的門，設與墻垂直的邊長為，所列方程是 ．
【詳解】解：設與墻垂直的邊長為，
則墻的對面的一條邊的長為，
所以列出方程為．
觀察上面所列方程，說一說這些方程與一元一次方程相同和不同處？
只含一個未知數，且未知數的最高次數是2，這樣的整式方程叫做一元二次方程。能使一元二次方程兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解（或根）
注意：①未知數的個數只有1個；②未知數的最高次數是2；③整式方程。
例1下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程．
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；
（6）（為已知數）；（7）．
答（1）不是（2）不是（3）是（4）不是（5）不是（6）不是（7）是
例2已知關于x的方程．
（1）當m取何值時，是一元二次方程；
（2）當m取何值時，是一元一次方程．
【詳解】（1）解：∵關于x的方程是一元二次方程，
∴，∴。
（2）解：∵關于x的方程是一元一次方程，
∴，且，∴
一般地，任何一個關于x的一元二次方程都可以化為 ax2+bx+c=0 的形式。我們把 ax2+bx+c=0 (a，b，c為常數，a≠0)稱為一元二次方程的一般形式，其中 ax，bx，c分別稱為二次項、一次項和常數項，a，b分別稱為二次項系數和一次項系數。
想一想：為什么要限制a≠0？b，c可以為0嗎？
注意：我們在寫一元二次方程的一般形式時，通常按未知數的次數從高到低排列，即先寫二次項，再寫一次項，最后是常數項。
做一做：將下列方程化為一元二次方程的一般形式，并指出它們的二次項系數、一次項系數及常數項．
（1）；（2）；（3）；（4）
【詳解】（1）解：方程化為一般形式為，二次項系數是3，一次項系數是，常數項是；
（2）解：方程化為一般形式為，二次項系數是9，一次項系數是0，常數項是；
（3）解：方程化為一般形式為，二次項系數是6，一次項系數是2，常數項是；
（4）解：方程化為一般形式為，二次項系數是3，一次項系數是，常數項是．
例3設a，b，c分別是一元二次方程的二次項系數、一次項系數、常數項，根據下列條件寫出符合條件的一元二次方程：
(1)，且a＋b＋c＝12；
(2)．
【詳解】解：（1）設a＝3k，b＝4k，c＝5k（），則3k＋4k＋5k＝12，
解得k＝1，∴a＝3，b＝4，c＝5，∴該一元二次方程為．
（2）由題意得a＝2，b＝4，c＝5，∴該一元二次方程為．
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【詳解】、，是一元二次方程，原選項符合題意；
、，沒有說明，不能判定是否為一元二次方程，原選項不符合題意；
、，化簡為是一元一次方程，原選項不符合題意；
、，不是一元二次方程，原選項不符合題意；
故選：．
2．把方程化成的形式，則a，b，c的值分別為（　　）
A．1，，2 B．1，7， C．1，，12 D．1，，10
【詳解】解：，
，
，
，
則，，，
故選：D．
3．一元二次方程的一個實數根為，則的值是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【詳解】解：由題意得：
把代入方程中得：
，
，
，
故選：C．
4．如果關于的方程是一元二次方程，則常數k的值是 ．
【詳解】解：∵關于的方程是一元二次方程，
∴，解得，
故答案為：．
5．已知m是方程的一個根，則的值為 ．
【詳解】解：∵m是方程的一個根，
∴
，
故答案為：
6．已知是一元二次方程的一個根，求的值．
【詳解】解：將代入得，
7． 已知關于x的一元二次方程其中a、b、c分別是的三條邊長． 若是方程的根，請判斷的形狀，并說明理由．
【詳解】解：是等腰三角形，理由如下，
依題意，將代入得
∴即∴是等腰三角形中小學教育資源及組卷應用平臺
課時2.1 一元二次方程（學案）
1.理解一元二次方程的定義，能對一元二次方程進行準確的判斷，并利用一元二次方程的定義求相應參數的數值.
2.掌握一元二次方程的一般式，正確認識二次項系數、一次項系數和常數項。
3.能夠識別實際問題中的數量關系，準確設出未知數，列出一元二次方程。例如在面積問題中，像“用長為10米的鐵絲圍矩形，設一邊長為米，根據矩形周長和面積公式列出方程求解面積等問題”
學習重點：一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式
學習難點：根據相關條件求一元二次方程的相關系數
列舉2個一元二次方程： ， ；
1．下列方程中，屬于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
將一個容積為750cm的包裝盒剪開、鋪平，紙樣如圖所示。圖中x(cm)應滿足怎樣的方程
【合作探究】（1）如圖是某攝影愛好者拍攝的一張長為，寬為的長崗坡渡槽風景照，現要在風景照四周鑲一條等寬的邊，制成一幅矩形掛圖．若使整個掛圖的面積是，設風景照四周所鑲邊的寬為，則所列方程是 ．
（2）一種新款汽車剛上市的價格是18萬元/輛，每年的降價率為，如果該款車在上市滿兩年后的價格為萬元/輛，求年降價率的值．根據題意列出關于的方程是 ．
（3）如圖，用長的籬笆靠墻(墻足夠長)圍成一個面積是 的長方形雞場，雞場有一個的門，設與墻垂直的邊長為，所列方程是 ．
觀察上面所列方程，說一說這些方程與一元一次方程相同和不同處？
只含 未知數，且未知數的最高次數是 ，這樣的 方程叫做一元二次方程。能使一元二次方程兩邊 未知數的值叫做一元二次方程的 （或 ）
注意：① ；② ；③ 。
例1下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程．
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；
（6）（為已知數）；（7）．
例2已知關于x的方程．
（1）當m取何值時，是一元二次方程；
（2）當m取何值時，是一元一次方程．
一般地，任何一個關于x的一元二次方程都可以化為 的形式。我們把 ax2+bx+c=0 (a，b，c為常數，a≠0)稱為一元二次方程的一般形式，其中 ， ， 分別稱為二次項、一次項和常數項， ， 分別稱為二次項系數和一次項系數。
想一想：為什么要限制a≠0？b，c可以為0嗎？
注意：我們在寫一元二次方程的一般形式時，通常按未知數的次數從高到低排列，即先寫二次項，再寫一次項，最后是常數項。
做一做：將下列方程化為一元二次方程的一般形式，并指出它們的二次項系數、一次項系數及常數項．
（1）；（2）；（3）；（4）
例3設a，b，c分別是一元二次方程的二次項系數、一次項系數、常數項，根據下列條件寫出符合條件的一元二次方程：
(1)，且a＋b＋c＝12；
(2)．
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．把方程化成的形式，則a，b，c的值分別為（　　）
A．1，，2 B．1，7， C．1，，12 D．1，，10
3．一元二次方程的一個實數根為，則的值是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
4．如果關于的方程是一元二次方程，則常數k的值是 ．
5．已知m是方程的一個根，則的值為 ．
6．已知是一元二次方程的一個根，求的值．
7． 已知關于x的一元二次方程其中a、b、c分別是的三條邊長． 若是方程的根，請判斷的形狀，并說明理由．

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