資源簡介

1.2.1&1.2.2 命題與量詞、全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
課程標準 學習目標
1.了解命題的概念，能夠判斷一個語句是不是命題，會判斷命題的真假； 2.理解全稱量詞、存在量詞的意義，并能正確判斷全稱量詞命題、存在量詞命題的真假； 3.會用自然語言、符號語言表示全稱量詞命題和存在量詞性命題. 4.理解命題的否定的含義，會寫給定 命題的否定并判斷命題的真假； 5.正確掌握全稱量詞命題與存在量詞命題的否定; 6.明確全稱命題的否定是存在命題，存在命題的否定是全稱命題，會判斷其真假. 1.命題的概念的形成； 2.經歷命題、全稱量詞命題、存在量詞命題概念的形成過程，體驗由特殊到一般、由一般到特殊的思維方法； 3.初步學會判斷命題真假（尤其是全稱量詞命題和存在量詞命題）的方法； 4.通過實例體會對理解抽象概念的作用； 5.通過實例體驗命題，尤其是全稱命題和存在性命題的表述方法. 6.命題的否定概念的形成； 7.經歷命題的否定及其全稱量詞命題與存在量詞命題的否定形成過程，體驗由特殊到一般的思維方法； 8.會寫全稱量詞命題與存在量詞命題的否定； 9.通過實例體會對理解抽象概念的作用； 10.通過實例體驗命題的否定，全稱量詞命題和存在量詞命題的否定.
知識點01 命題的概念
定義：一般地，在數學中，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述語句稱為命題．其中，判斷為真的語句稱為真命題，判斷為假的語句稱為假命題一個命題，一般可以用一個小寫英文字母表示，如p，q，r.
注：一個命題，要么是真命題，要么是假命題，不能同時既是真命題又是假命題，也不能模棱兩可、無法判斷是真命題還是假命題。
【即學即練1】（2024·江蘇·高一假期作業）以下語句：①；②；③；④，其中命題的個數是（　　）
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】C
【分析】根據命題的定義進行判斷.
【詳解】①是命題，且是假命題；②、③不能判斷真假，不是命題；④不是陳述句，不是命題．
【即學即練2】（2024·高一課時練習）下列語句中：①；②；③有一個根為0；④高二年級的學生；⑤今天天氣好熱！⑥有最小的質數嗎？其中是命題的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③
【答案】A
【分析】根據命題的定義即可求解.
【詳解】命題是能判斷真假的陳述句，
由于⑤⑥不是陳述句，故不是命題，
②④無法判斷真假，故不是命題，
①③可以判斷真假且是陳述句，故是命題，
【即學即練3】（2024·江蘇·高一假期作業）下列語句為真命題的是（　　）
A．
B．四條邊都相等的四邊形為矩形
C．
D．今天是星期天
【答案】D
【分析】先根據命題的定義判斷是否是命題，然后再判斷真假即可
【詳解】對于A，因為此語句不能判斷真假，所以不是命題，所以A錯誤，
對于B，此語句是命題，而在平面內四條邊都相等的四邊形是菱形，所以B錯誤，
對于C，是命題，且是真命題，所以C正確，
對于D，因為此語句不能判斷真假，所以不是命題，所以D錯誤，
知識點02 全稱量詞與全稱量詞命題
全稱量詞
量詞 所有的、任意一個
符號
命題 含有全稱量詞的命題是全稱量詞命題
命題形式 “對M中任意一個x，p(x)不成立”，可用符號簡記為“ x∈M，p(x)”
注：（1）全稱量詞的數量可能是有限的，也可能是無限的，由有題目而定；
（2）常見的全稱量詞還有“一切”、“任給”等，相應的詞語是“都”
（3）從集合的觀點看，全稱量詞命題是陳述某集合中所有元素都具有某種性質的命題；
（4）一個全稱量詞命題可以包含多個變量；
（5）有些全稱量詞命題中的全稱量詞是省略的，理解時需要把它補出來。
如：命題“平行四邊形對角線互相平行”理解為“所有平行四邊形對角線都互相平行”。
【即學即練4】（2024·全國·高一假期作業）下列命題中，是全稱量詞命題，且為真命題的是（ ）
A． B．菱形的兩條對角線相等
C． D．一次函數的圖象是直線
【答案】A
【分析】根據全稱量詞命題的特征,以及真命題即可結合選項求解.
【詳解】對于A，為全稱量詞命題，但是，故是假命題，故A錯誤，
對于B，是全稱量詞命題，但是菱形的對角線不一定相等，故B錯誤，
對于C,是存在量詞命題,故C錯誤，
對于D,既是全稱量詞命題也是真命題,故D正確，
知識點03 存在量詞與存在量詞命題
存在量詞
量詞 存在一個、至少有一個
符號
命題 含有存在量詞的命題是存在量詞命題
命題形式 “存在M中的元素x，p(x)不成立”，可用符號簡記為“ x∈M，p(x)”
注：（1）常見的存在量詞還有“有些”、“有一個”、“對某些”、“有的”等；
（2）從集合的觀點看，存在量詞命題是陳述某集合中有一些元素具有某種性質的命題；
（3）一個存在量詞命題可以包含多個變量；
（4）有些命題雖然沒有寫出存在量詞，但其意義具備“存在”、“有一個”等特征的命題都是存在量詞命題
【即學即練5】【多選】（2023·全國·高一假期作業）關于命題“”，下列判斷正確的是（ ）
A．該命題是全稱量詞命題 B．該命題是存在量詞命題
C．該命題是真命題 D．該命題是假命題
【答案】CC
【分析】根據存在量詞命題、全稱量詞命題概念判斷AB，再由命題真假判斷CD.
【詳解】是存在量詞命題，
A選項錯誤B選項正確；
時，不成立，
命題為真命題，即C正確D錯誤.
C
知識點04 含有量詞命題的否定
含量詞的命題的否定
p p 結論
全稱量詞命題 x∈M，p(x) x∈M，p(x) 全稱量詞命題的否定是存在量詞命題
存在量詞命題 x∈M，p(x) x∈M，p(x) 存在量詞命題的否定是全稱量詞命題
注：命題與命題的否定的真假判斷：一個命題和它的否定不能同時為真命題，也不能同時為假命題，只能一真一假．即：如果一個命題是真命題，那么這個命題的否定是假命題，反之亦然．
【即學即練6】（2024秋·廣東汕尾·高一海豐縣海城仁榮中學校考階段練習）命題“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】根據全稱命題的否定是特稱命題即可求解．
【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，
所以，命題“，”的否定是“，”．
．
【即學即練7】（2023春·河南·高一校聯考開學考試）命題“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據特稱命題的否定相關知識直接求解.
【詳解】命題“”的否定是“”.
易錯一　命題的概念理解不清
1．判斷下列語句是不是命題．
(1)哥德巴赫猜想；
(2)宇宙中存在外星人．
正解：(1)(2)都是命題，因為能對它們的真假做出判斷，盡管現在不能確定它們的真假，但它們的真假性是客觀存在的，并不是無法判斷的．
[易錯探因]　本題易錯的地方是認為兩個語句目前無法判斷真假，從而判斷兩個語句都不是命題．
[誤區警示]　對于一些科學技術或大自然中的疑問，雖然現在我們還不能做出相應的判斷，但隨著科學技術的發展和時間的推移，我們終究會做出相應的判斷，所以“判斷真假”不是指“現在就進行判斷”．
易錯二　判斷命題真假時忽視特例的作用致錯
2．判斷下列命題的真假：
(1) x∈R，x2＋2x＋1>0；
(2) x∈R，|x|≤0.
正解：(1)∵當x－1時，x2＋2x＋10，
∴原命題是假命題．
(2)∵當x0時，|x|≤0不成立，∴原命題是真命題．
[易錯探因]　(1)此處易忽略x－1，從而漏掉x2＋2x＋10，導致判斷錯誤．
(2)此處易忽略當x0時，|x|0，而0≤0不成立．
[誤區警示]　判斷含量詞的命題的真假時，一定要注意特殊情況，如特殊值、特殊點，特別是問題中涉及的臨界點．若找不到特例，則需根據相關數學知識進行簡單推理．
【題型1：命題的概念及真假的判斷】
命題的概念
例1.【多選】（2024秋·高一階段練習）下列語句是命題的是（ ）
A．3是15的約數 B．x2+2x+1≥0 C．4不小于2 D．你準備考北京大學嗎
【答案】ABC
【解析】對于A，3能整除15，為真，所以A是命題；
對于B，，為真，所以B是命題；
對于C，，所以“4不小于2”為真，所以C是命題；
對于D，“你準備考北京大學嗎 ”是疑問句不是陳述句，且無法判斷真假，所以D不是命題.
BC.
變式1.（2024春·內蒙古通遼·高二校考期末）下列語句是命題的是（ ）
A．是一個大數 B．若兩直線平行，則這兩條直線沒有公共點
C．是一次函數嗎 D．
【答案】C
【解析】對于A，“是一個大數”無法判斷真假，不是命題，A錯誤；
對于B，“若兩直線平行，則這兩條直線沒有公共點”是可以判斷真假的陳述句，
是命題，B正確；
對于C，“是一次函數嗎”不是陳述句，不是命題，C錯誤；
對于D，“”無法判斷真假，不是命題，D錯誤..
（二）命題真假的判斷
例2.（2024·全國·高一課堂例題）下列語句中，為真命題的是（ ）
A．直角的補角是直角 B．同旁內角互補
C．過直線外一點作直線于點 D．兩個銳角的和是鈍角
【答案】A
【解析】對選項A，直角的補角是直角，所以A為真命題；
對選項B，缺少兩直線平行條件，結論不不成立.
如三角形內任意兩內角都是同旁內角，但兩角和必小于，所以B為假命題；
對選項C ，是祈使句，不是陳述句.所以不是命題；
對選項D， 與的和為銳角，所以D為假命題．.
變式1.（2024·全國·高一假期作業）下列命題：
①矩形既是平行四邊形又是圓的內接四邊形;
②菱形是圓的內接四邊形且是圓的外切四邊形;
③方程的判別式大于0;
④周長相等的兩個三角形全等或面積相等的兩個三角形全等;
⑤集合 是集合A的子集，且是的子集．
其中真命題的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根據矩形以及菱形的性質即可判斷①②，根據一元二次方程的判別式即可判斷③，根據三角形全等的判斷即可判斷④，根據集合的關系即可判斷⑤.
【詳解】對于①，矩形是平行四邊形，同時矩形有外接圓，故正確;
對于②，菱形不一定有外接圓，故錯誤，
對于③，方程的判別式為，故正確，
對于④，周長或者面積相等的三角形不一定全等，故錯誤，
對于⑤，,故正確;
．
變式2.（2023秋·高一校考課時練習）判斷下列命題的真假：
(1)一個實數不是質數就是合數；
(2)若或，則；
(3)正方形既是矩形又是菱形；
(4)若，則
【答案】(1)假命題
(2)真命題
(3)真命題
(4)真命題
【分析】（1）舉反例說明即可；
（2）通過方程的根分析即可；
（3）利用正方形的性質說明即可
（4）利用集合間的運算性質說明即可.
【詳解】（1）1既不是質數也不是合數，故該命題為假命題.
（2）當或時，代入中結果為0，故該命題為真命題；
（3）正方形具有矩形和菱形的所有性質，故它既是矩形又是菱形，
故該命題為真命題；
（4）由，故集合為集合的子集即，
故改命題為真命題；
變式3.（2024·江蘇·高一假期作業）下列命題中真命題有（　　）
①是一元二次方程；
②函數的圖象與x軸有一個交點；
③互相包含的兩個集合相等；
④空集是任何集合的真子集．
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】對于①，舉反例即可判斷；對于②，令，求解即可判斷；對于③，根據包含關系即可判斷；對于④，根據空集不是本身的真子集即可判斷.
【詳解】①中，當時，是一元一次方程，①錯誤；
②中，令，則，所以函數的圖象與x軸有一個交點，②正確；
③中，互相包含的兩個集合相等，③正確；
④中，空集不是本身的真子集，④錯誤．
變式4.（2023秋·高一課時練習）下列命題:①相等的角是對頂角；②若，則；③若，則.其中假命題的個數是 .
【答案】3
【分析】根據對頂角的定義，實數的運算性質，以及集合間的運算與包含關系，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于①中，相等的角不一定是對頂角，所以①不正確；
對于②中，例如，滿足，此時，所以②不正確；
對于③中，由，可得，所以③不正確，
所以假命題的個數為3個.
故答案為：3.
變式5.（2024·江蘇·高一假期作業）將下列命題改寫為“若p，則q”的形式，并判斷真假．
(1)當a＞b時，有ac2＞bc2；
(2)實數的平方是非負實數；
(3)能被6整除的數既能被3整除也能被2整除．
【答案】(1)若a＞b，則ac2＞bc2，是假命題
(2)若一個數是實數，則它的平方是非負實數，是真命題
(3)若一個數能被6整除，則它既能被3整除也能被2整除，是真命題
【分析】（1）可以舉反例證明；
（2）實數的平方必為非負數；
（3）由，即可判斷.
【詳解】（1）若a＞b，則ac2＞bc2，當，則該命題不不成立，故為假命題；
（2）若，則，該命題為真命題；
（3）若一個數能被6整除，則它既能被3整除也能被2整除，
若一個數能被6整除，即6為該數的一個因數，由，
則也為該數的因數，故該命題正確.
變式6.（2024·江蘇·高一假期作業）把下列命題改寫成“若，則”的形式，并判斷真假．
(1)當時，無實根；
(2)一個整數的個位數是0，這個數一定能被5整除也能被2整除．
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）（2）首先利用命題的形式進行轉換，進一步判定結果；
【詳解】（1）當時，無實根，改為：若，則無實根．
由于，．故該命題為真命題．
（2）一個整數的個位數是0，這個數一定能被5整除也能被2整除，改為：若一個整數的個位數是0，則這個數一定能被5整除，也能被2整除，
易知此命題為真命題．
【方法技巧與總結】
1、命題概念的理解
(1)有一類陳述句在數學或其他科學技術中經常出現，但目前不能確定這些語句的真假，隨著時間的推移，總能確定它們的真假，這一類語句仍然是命題．
(2)命題的真假是確定的，一個命題要么為真，要么為假，不能無法判斷．
(3)數學中的定義、公理、定理、公式等都是真命題．
(4)數學中要判定一個命題為真命題，需要經過嚴格的數學證明；要判定一個命題為假命題，只需要舉出一個反例即可．
2、判斷命題真假的方法
(1)對于一般的命題，可根據我們已學過的定義、定理、公理等判斷其真假．　　
(2)將一個命題改寫成“若p，則q”的形式后，判斷此命題真假的一般方法如下．
①若通過邏輯推理可以由p得到q，則可確定命題“若p，則q”為真；而要確定命題“若p，則q”為假，則只需舉出一個反例．
②從集合的觀點，我們建立集合A，B與p，q之間的一種特殊聯系：設集合A{x|p(x)}，B{x|q(x)}，就是說，A是能使p不成立的對象x所構成的集合，B是能使q不成立的對象x所構成的集合，此時，命題“若p，則q”為真(意思就是“使p不成立的對象也能使q不成立”)，即A B.
【題型2：全稱量詞命題與存在量詞命題的判斷】
例3.（2024·江蘇·高一假期作業）判斷下列語句是全稱量詞命題，還是存在量詞命題.
(1)凸多邊形的外角和等于；
(2)矩形的對角線不相等；
(3)若一個四邊形是菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直；
(4)有些實數a，b能使；
(5)方程有整數解.
【答案】(1)全稱量詞命題
(2)全稱量詞命題
(3)全稱量詞命題
(4)存在量詞命題
(5)存在量詞命題
【分析】由已知結合全稱量詞命題及存在量詞命題的定義分別檢驗各命題．
【詳解】（1）命題可以改寫為：所有的凸多邊形的外角和等于，故為全稱量詞命題．
（2）命題可以改寫為：所有矩形的對角線不相等，故為全稱量詞命題．
（3）若一個四邊形是菱形，也就是所有的菱形，故為全稱量詞命題
（4）含存在量詞“有些”，故為存在量詞命題．
（5）命題可以改寫為：存在一對整數x，y，使不成立．故為存在量詞命題．
變式1.（2023·全國·高一專題練習）下列命題中，含有存在量詞的是（ ）
A．存在一個平行四邊形是矩形 B．所有正方形都是平行四邊形
C．一切三角形的內角和都等于 D．任意兩個等邊三角形都相似
【答案】A
【解析】A選項，存在一個平行四邊形是矩形含有存在量詞；
BCD選項，含有全稱量詞，不含存在量詞..
變式2.【多選】（2023·全國·高一課時練習）下列語句是全稱量詞命題的是（ ）
A．對任意實數x， B．有一個實數a，a不能取對數
C．每一個向量都有方向嗎 D．等邊三角形的三條邊相等
【答案】AD
【解析】ABD是命題，C不是命題，其中A中含有全稱量詞，
所以是全稱量詞命題，B是存在量詞命題，所以A正確，BC錯誤，
D中隱藏了全稱量詞“所有”，也是全稱量詞命題，所以D正確，D
變式3．【多選】（2024·江蘇·高一假期作業）下列語句是存在量詞命題的是（ ）
A．有的無理數的平方是有理數
B．有的無理數的平方不是有理數
C．對于任意是奇數
D．存在是奇數
【答案】ABD
【分析】根據存在量詞和全稱量詞即可
【詳解】因為“有的”“存在”為存在量詞，“任意”為全稱量詞，所以選項A、B、D均為存在量詞命題，選項C為全稱量詞命題．
BD
變式4.（2024·江蘇·高一假期作業）給出下列命題：①正方形的四條邊相等；②至少有一個正整數是偶數；③正數的平方根不等于0；④有兩個角是45°的三角形是等腰直角三角形．其中是全稱量詞命題的是 ，是存在量詞命題的是 （填序號）.
【答案】 ①③④ ②
【分析】根據全稱命題與存在性命題的概念，逐項判定，即可求解.
【詳解】根據全稱命題與存在性命題的定義，可得：
①中，正方形的四條邊相等為全稱命題；
②中，至少有一個正整數是偶數為存在性命題；
③中，正數的平方根不等于0為全稱命題；
④中，有兩個角是45°的三角形是等腰直角三角形為全稱命題，
其中是全稱量詞命題的是①③④，是存在量詞命題的是②.
故答案為：①③④；②.
變式5.（2024·全國·高一專題練習）判斷下列語句是全稱量詞命題，還是存在量詞命題.
（1）凸多邊形的外角和等于；
（2）矩形的對角線不相等；
（3）若一個四邊形是菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直；
（4）有些實數a，b能使；
（5）方程有整數解.
【答案】（1）全稱量詞命題；（2）全稱量詞命題；（3）全稱量詞命題
（4）存在量詞命題；（5）存在量詞命題
【解析】（1）命題可以改寫為：所有的凸多邊形的外角和等于，故為全稱量詞命題．
（2）命題可以改寫為：所有矩形的對角線不相等，故為全稱量詞命題．
（3）若一個四邊形是菱形，也就是所有的菱形，故為全稱量詞命題
（4）含存在量詞“有些”，故為存在量詞命題．
（5）命題可以改寫為：存在一對整數x，y，使不成立．
故為存在量詞命題．
變式6．（2024·高一課時練習）指出下列命題中的全稱量詞或存在量詞，并用量詞符號“”或“”表示下列命題．
(1)所有實數都能使不成立；
(2)對所有實數，，方程恰有一個解；
(3)存在整數，，使得不成立；
(4)存在實數，使得與的倒數之和等于1．
【答案】(1)“所有”是全稱量詞；，
(2)“所有”是全稱量詞；，，方程恰有一個解
(3)“存在”是存在量詞；，，
(4)“存在”是存在量詞；，
【分析】利用全稱量詞，存在量詞的定義與全稱命題與特稱命題的定義求解即可
（1）
“所有”是全稱量詞；
，；
（2）
“所有”是全稱量詞；
，，方程恰有一個解；
（3）
“存在”是存在量詞；
，，；
（4）
“存在”是存在量詞；
，．
【方法技巧與總結】
1、全稱量詞命題與存在量詞命題的區別
(1)全稱量詞命題中的全稱量詞表明給定范圍內所有對象都具有某一性質，無一例外，強調“整體、全部”．
(2)存在量詞命題中的存在量詞則表明給定范圍內的對象有例外，強調“個別、部分”．
2、全稱量詞命題或存在量詞命題的判斷
判斷一個命題是否為全稱量詞命題或存在量詞命題，就是判斷這個命題中是否含有全稱量詞或存在量詞，有些命題的量詞可能隱含在命題之中，這時要根據命題含義判斷形式．
注：判斷含量詞的命題的真假時，一定要注意特殊情況，如特殊值、特殊點，特別是問題中涉及的臨界點．若找不到特例，則需根據相關數學知識進行簡單推理．
【題型3：判斷全稱量詞命題與存在量詞命題的真假】
例4．（2023秋·廣西賀州·高一校考階段練習）判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷其真假.
(1)至少有一個整數，它既能被11整除，又能被9整除;
(2)線段的長度都能用正有理數表示;
(3)，.
【答案】(1)存在量詞命題，真命題
(2)全稱量詞命題，假命題
(3)存在量詞命題，真命題
【分析】含有全稱量詞的命題為全稱題詞命題，含有存在量詞的命題為存在量詞命題，并舉例判斷命題的真假.
【詳解】（1）含有量詞“至少”，故它是存在量詞命題，99既能被11整除，又能被9整除，故此命題為真命題.
（2）“線段的長度都能用正有理數表示”為全稱量詞命題，它是假命題，如線段的長度也可以是.
（3）“，.”含有存在量詞，故它是存在量詞命題，當時命題不成立，故此命題為真命題.
變式1.（2023秋·山西·高一統考階段練習）下列結論中正確的個數是（ ）
①命題“所有的四邊形都是矩形”是存在量詞命題；
②命題“，”是全稱量詞命題；
③命題“，”是真命題；
④命題“有一個偶數是素數”是真命題.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】①命題是全稱量詞命題；②命題是全稱量詞命題；③④，通過舉例得到命題是真命題.
【詳解】①命題“所有的四邊形都是矩形”是全稱量詞命題，不是存在量詞命題，所以該命題是假命題；
②命題“，”是全稱量詞命題，所以該命題是真命題；
③命題，，如，所以該命題是真命題；
④命題“有一個偶數是素數”是真命題，如2，所以該命題是真命題.
變式2.（2023春·山西運城·高二康杰中學校考階段練習）下列命題中是真命題的為（ ）
A．，使 B．，
C．， D．，使
【答案】C
【分析】對于A，通過解不等式判斷，對于B，由一個數的平方非負判斷，對于C，舉例判斷，對于D，解方程判斷.
【詳解】對于A，由，得，所以不存在自然數使不成立，所以A錯誤，
對于B，因為時，，所以，所以B正確，
對于C，當時，，所以C錯誤，
對于D，由，得，所以D錯誤，
變式3.【多選】（2023秋·重慶·高一開學考試）在下列命題中，真命題有（ ）
A． B．是有理數
C．，使 D．，
【答案】CC
【解析】對于A，，，A是假命題；
對于B，因為有理數的四則運算（除數不為0）結果仍為有理數，
因此一定是有理數，B是真命題；
對于C，時，不成立，C是真命題；
對于D，當時，，D是假命題．C
變式4.（2024·全國·高一假期作業）下列命題中，是全稱量詞命題，且為真命題的是（ ）
A． B．菱形的兩條對角線相等
C． D．一次函數的圖象是直線
【答案】A
【分析】根據全稱量詞命題的特征,以及真命題即可結合選項求解.
【詳解】對于A，為全稱量詞命題，但是，故是假命題，故A錯誤，
對于B，是全稱量詞命題，但是菱形的對角線不一定相等，故B錯誤，
對于C,是存在量詞命題,故C錯誤，
對于D,既是全稱量詞命題也是真命題,故D正確，
變式5．【多選】（2023秋·安徽淮南·高一校聯考階段練習）下列命題中，是全稱量詞命題且是真命題的是（ ）
A．任何一個實數乘以0都等于0 B．自然數都是正整數
C．實數都可以寫成小數形式 D．一定存在沒有最大值的二次函數
【答案】AC
【分析】逐項判斷各個命題是否為全稱命題，是否為真命題.
【詳解】A選項中，“任何”是全稱量詞，它是全稱量詞命題，且為真命題；
B選項中，“都”是全稱量詞，它是全稱量詞命題，由于0是自然數，不是正整數，故該命題是假命題；
C選項中，“都”是全稱量詞，它是全稱量詞命題，且為真命題；
D選項中，“存在”是存在量詞，它是存在量詞命題．
C．
變式6.（2023秋·陜西寶雞·高一統考期末）用符號“”與“”表示下列含有量詞的命題，并判斷真假．
(1)對任意實數，方程有實根；
(2)存在實數，使得；
(3)存在實數，使得等于的10倍．
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3)答案見解析
【分析】用存在量詞符號與全稱量詞符號分別表示命題（1）（2）（3），并判斷真假.
【詳解】（1），方程有實根；
由，
此時方程無實根，
故該命題為假命題．
（2），使得；
由，
，無實數解，
故不存在，使得，
因此該命題為假命題．
（3），使得等于的10倍．
因為，
即
所以，使得等于的10倍，
因此該命題為真命題．
【方法技巧與總結】
全稱量詞命題與存在量詞命題的真假的判斷
(1)要判定全稱量詞命題是真命題，需要判斷所有的情況都不成立；如果有一種情況不不成立，那么這個全稱量詞命題就是假命題．
(2)要判定存在量詞命題是真命題，只需找到一種情況不成立即可；如果找不到使命題不成立的特例，那么這個存在量詞命題是假命題．
【題型4：全稱量詞命題、存在量詞命題的求參問題】
例5.（2023秋·福建莆田·高三莆田第四中學校考階段練習）“”是真命題，則m的范圍是
【答案】
【解析】對于命題：對任意，不等式恒不成立，
而，有，
∴，∴命題為真時，實數m的取值范圍是.
故答案為:
變式1.（2024·江蘇·高一假期作業）已知命題為假命題，則實數a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據條件，可得方程有實數根，再求出實數a的取值范圍是即可.
【詳解】題中的命題為全稱量詞命題，
因為其是假命題，所以其否定“”為真命題，
即關于x的方程有實數根．
所以或，即或且，所以 ，
所以實數a的取值范圍是.
故答案為：.
變式2.（2023春·江西萍鄉·高二校聯考階段練習）若命題“”為真命題，則實數a的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據全稱命題的定義和性質結合不等式進行求解即可.
【詳解】命題“”為真命題，
則有判別式，解得.
故答案為：.
變式3.（2024·貴州安順·統考模擬預測）若命題“，”是假命題，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】寫出命題的否定，該命題為真命題，根據二次不等式恒不成立得出，求解即可得出答案.
【詳解】命題“，”的否定為：“，”，
該命題為真命題.
所以，應有，所以.
.
變式4.（2023秋·安徽蕪湖·高一安徽師范大學附屬中學校考期末）若命題“，”為真命題，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用分離參數法求解，把參數分離出來求解的最大值即可.
【詳解】由已知，，則 ，即，
所以的取值范圍是.
.
變式5.（2024·全國·高一假期作業）已知集合，，且.若命題p：“，”是真命題，求m的取值范圍；
【答案】
【分析】首先判斷出，對列不等式計算求解可得的取值范圍.
【詳解】由于命題：“，”是真命題，
所以，
，則 解得
綜上的取值范圍是.
變式6.（2024·江蘇·高一假期作業）設全集，集合，集合，其中.若命題“”是真命題，求的取值范圍.
【答案】
【分析】由題意可得，進而建立不等式組解得答案.
【詳解】因為是真命題，所以, 即，解得
故的取值范圍為.
變式7.（2023秋·高一課時練習）已知集合，，且.
(1)若命題p：“，”是真命題，求m的取值范圍；
(2)若命題q：“，”是真命題，求m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據命題p為真命題，得到，從而得到不等式組，求出m的取值范圍；
（2）根據命題q為真命題，得到，從而得到不等式組，求出m的取值范圍.
【詳解】（1）命題p：“，”是真命題，故，
所以，解得，
故m的取值范圍是.
（2）由于命題q為真命題，則，
因為，所以，所以,
當時，一定有，
要想滿足，則要滿足，解得，
故時，，
故m的取值范圍為.
變式8.（2023秋·廣東廣州·高一校考階段練習）已知命題： ，；命題： ，.若、都為假命題，則實數的取值范圍是(　　)
A．[1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，－2] D．[－1,1]
【答案】A
【詳解】p，q都是假命題．由p： ，為假命題，
得 ，，∴.
由q： ，為假，得 ，
∴，得或.
∴.
故選A.
【方法技巧與總結】
全稱量詞命題、存在量詞命題的求參問題
(1)全稱量詞命題的常見題型是“恒不成立”問題，這是一類綜合性強，且有一定難度的問題，解決有關“恒不成立”的問題時，若能分離參數，則盡量利用分離參數法求解．
(2)存在量詞命題的常見題型是用適合某種條件的結論“存在”“不存在”“是否存在”等語句表述的．解答這類問題時，一般要先對結論做出肯定存在的假設，然后從此肯定的假設出發，結合已知條件進行推理論證．若推出合理的結論，則存在性也隨之解決；若導致矛盾，則可否定存在性．
【題型5：含有一個量詞的命題的否定及其真假判斷】
例6.（2023秋·河北保定·高一校聯考階段練習）若命題：梯形是四邊形，則（ ）
A．是全稱量詞命題，且的否定：有些梯形不是四邊形
B．是全稱量詞命題，且的否定：所有的梯形不是四邊形
C．是存在量詞命題，且的否定：有些梯形不是四邊形
D．是存在量詞命題，且的否定：所有的梯形不是四邊形
【答案】A
【分析】根據全稱命題的否定是特稱命題得答案.
【詳解】是全稱量詞命題，且的否定：有些梯形不是四邊形.
.
變式1.（2023春·廣東梅州·高二統考期末）命題“存在一個四邊形，它的兩條對角線互相垂直”的否定是（ ）
A．存在一個四邊形，它的兩條對角線不互相垂直
B．任意一個四邊形，它的兩條對角線互相垂直
C．任意一個四邊形，它的兩條對角線不互相垂直
D．有些四邊形，它們的兩條對角線不互相垂直
【答案】D
【分析】根據特稱命題的否定分析判斷.
【詳解】由題意可知：“存在一個四邊形，它的兩條對角線互相垂直”的否定是“任意一個四邊形，它的兩條對角線不互相垂直”.
.
變式2.（2023春·湖南長沙·高二校聯考期中）寫出命題“”的否定： .
【答案】
【分析】根據全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即可得解.
【詳解】因為全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，
所以命題“”的否定為.
故答案為：.
變式3.（2023秋·安徽合肥·高一統考期末）已知命題，總有，則為（ ）
A．，使得 B．，使得
C．，總有 D．，總有
【答案】C
【分析】據全稱命題的否定為特稱命題可寫出命題p的否定．
【詳解】根據全稱命題的否定為特稱命題可知，則為，使得.
．
變式4.（2023秋·遼寧沈陽·高一東北育才學校校考期末）命題“，使得”的否定形式是（ ）
A．，使得 B．都有
C．，使得 D．，都有
【答案】A
【分析】根據全稱命題的否定是特稱命題，即可求解.
【詳解】“，使得”是全稱命題，全稱命題的否定是特稱命題
故否定形式是，都有.
變式5.（2023秋·廣西河池·高一統考期末）命題“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據全稱命題的否定，可得答案.
【詳解】由全稱命題的否定知原命題的否定為．
．
變式6.（2022秋·浙江杭州·高一校考階）命題，，則命題的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】因為命題，是全稱量詞命題，
所以其否定是存在量詞命題，即 ，，
變式7.（2023春·黑龍江·高一大慶實驗中學校考）命題：“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】命題：“，”為存在量詞命題，
該命題的否定為“，”..
變式8.（2023春·江蘇南京·高二統考期末）命題“”的否定是 .
【答案】
【分析】存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.
【詳解】命題“”的否定是.
故答案為：
變式9.（2023春·天津寧河·高二天津市寧河區蘆臺第一中學校考階段練習）命題“”的否定是
【答案】
【分析】根據特稱命題的否定是全稱命題即可得結果.
【詳解】因為特稱命題的否定是全稱命題，
所以命題“”的否定為“” ，
故答案為：.
變式10.（2023春·四川成都·高二期末）命題“，”的否定為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】根據特稱命題的否定為全稱命題，即可求解.
【詳解】由題意得，“，”的否定為，,
變式11.（2023春·山東濱州·高二統考期末）命題“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據存在量詞命題的否定是全稱量詞命題直接求解.
【詳解】根據存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，
可得命題“”的否定是.
故選:D.
例7.（2023秋·福建福州·高一校聯考期中）下列命題的否定是真命題的是（ ）
A．
B．菱形都是平行四邊形
C．，一元二次方程沒有實數根
D．平面四邊形，其內角和等于380°
【答案】D
【分析】對A，特稱命題的否定為全稱命題，由，計算即可判斷真假；對B，全稱命題的否定為特稱命題，再由菱形與平行四邊形的關系即可判斷真假；對C，全稱命題的否定為特稱命題，再由判別式的符號即可判斷真假；對D，由四邊形的內角和計算即可判斷原命題為真，特稱命題的否定為全稱命題為假命題．
【詳解】對于A，，，其否定為：，，
由時，，則原命題為真命題，其否定為假命題，故A不正確；
對于B，每個菱形都是平行四邊形，其否定為：存在一個菱形不是平行四邊形，
原命題為真命題，其否定為假命題，故B不正確；
對于C，，一元二次方程沒有實根，
其否定為：，一元二次方程有實根，
由，可得原命題為假命題，命題的否定為真命題，故C正確；
對于D，平面四邊形，其內角和等于380°為真命題，命題的否定為假命題，故D不正確；
.
變式1.（2024·全國·高三專題練習）命題，一元二次方程有實根，則對命題的真假判斷和正確的為（ ）
A．真命題，，一元二次方程無實根
B．假命題，，一元二次方程無實根
C．真命題，，一元二次方程有實根
D．假命題，，一元二次方程有實根
【答案】A
【分析】利用判別式判斷根的情況，進而判斷命題真假，并寫出否命題即可.
【詳解】在一元二次方程中恒不成立，故對任意，方程都有實根，
故命題為真命題，，一元二次方程無實根.
【方法技巧與總結】
1、含有一個量詞的命題的否定
全稱量詞命題的否定是一個存在量詞命題，存在量詞命題的否定是一個全稱量詞命題，因此在書寫他們的否定時，相應的全稱量詞變為存在量詞，存在量詞變為全稱量詞，同時否定結論．
注：（1）全稱量詞命題的否定：
一般地，全稱量詞命題“”的否定是存在量詞命題： ．
（2）存在量詞命題的否定：
一般地，存在量詞命題“ ”的否定是全稱量詞命題： ．
（3）命題與命題的否定的真假判斷：
一個命題和它的否定不能同時為真命題，也不能同時為假命題，只能一真一假．
即：如果一個命題是真命題，那么這個命題的否定是假命題，反之亦然．
2、常見正面詞語的否定：
正面詞語 等于（） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 對所有的不成立 對任何的不不成立
否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 存在不不成立 存在不成立
正面詞語 至多有一個 至少有一個 任意 所有 至多有n個 至少有個 或 且
否定 至少有兩個 一個都沒有 某個 某些 至少有n+1個 至多有-1個 非且非 非或非
【題型6：根據含有量詞命題的否定的真假求參數】
例8.（2024·全國·高一假期作業）已知命題”的否定為真命題，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】問題等價于有解，即或，解得答案.
【詳解】已知問題等價于有解，即或，解得.
故答案為：
變式1.（2024·高一課時練習）已知命題，命題，若命題p和都是真命題，則實數a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】先根據命題的真假求出的范圍，取交集可得答案.
【詳解】當為真時，；
當為真時，，即；
因為命題p和都是真命題，所以且或.
故答案為：.
一、單選題
1．（2024高一上·全國·專題練習）下列語句中，命題的個數是　（　　）
①空集是任何集合的真子集；②請起立；
③的絕對值為1；④你是高一的學生嗎
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根據命題的概念逐一判斷.
【詳解】①③是命題；②是祈使句，不是命題；④是疑問句，不是命題.
.
2．（23-24高一上·廣東佛山·期中）以下4個命題：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
其中真命題的個數為（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】（1）結合二次函數分析即可；
（2）取時驗證即可；
（3）取時驗證即可；
（4）解出方程的根驗證即可.
【詳解】（1）令，
由對稱軸為，
則，
又，
且該二次函數開口朝上，
故對，
故正確；
（2）因為，
所以當時，，
故不正確；
（3）因為，
所以當時，，
故不正確；
（4）因為，
由均為無理數，故不存在，使得，
故不正確；
.
3．（23-24高一上·貴州貴陽·階段練習）下列命題是全稱量詞命題，且是真命題的是（ ）
A．所有的素數都是奇數 B．，
C．有一個實數，使 D．有些平行四邊形是菱形
【答案】C
【分析】根據全稱量詞命題的定義即可知選項CD不合題意，再判斷出命題真假即可得出結論.
【詳解】對于A，“所有的素數都是奇數”是全稱量詞命題，但是假命題，
例如2是素數，但2是偶數，所以A錯誤；
對于B，易知“，”是全稱量詞命題，
且由可得，所以是真命題，即B正確；
對于C，“有一個實數，使”是存在量詞命題，不合題意；
對于D，“有些平行四邊形是菱形”是存在量詞命題，不合題意；
4．（23-24高一上·吉林長春·期中）下列命題中是存在量詞命題且該命題的否定是真命題的是（ ）
A．有的梯形對角線互相平分 B．三角形都有內切圓
C．， D．，
【答案】A
【分析】判斷各選項中命題的類型及其真假，即可得出合適的選項.
【詳解】解：對于A，“有的”是存在量詞，梯形的對角線不可能互相平分，原命題為假命題，
該命題的否定為真命題，故A符合題意；
對于B，原命題是省略了全稱量詞的全稱量詞命題，原命題為真命題，其否定為假命題，B不符合題意；
對于C，原命題是存在量詞命題，但它是一個真命題，其否定為假命題，C不符合題意；
對于D，原命題是全稱量詞命題，取，則，原命題為假命題，其否定為真命題，D不符合題意．
．
5．（23-24高一上·廣西賀州·期末）下列結論中正確的個數是（ ）
①命題“有些平行四邊形是矩形”是存在量詞命題；
②命題“”是全稱量詞命題；
③命題“”的否定為“”；
④命題“”是真命題；
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根據全稱量詞命題、存在量詞命題的定義，利用存在量詞命題的否定及全稱量詞命題真假的判斷依據即可求解.
【詳解】對①，“有些”為存在量詞，所以命題“有些平行四邊形是矩形”是存在量詞命題；故①正確；
對②，“”為任意，即為全稱量詞，所以命題“”是全稱量詞命題，故②正確；
對③，命題“”的否定為“”；故③錯誤；
對④，，故該命題為真命題，故④正確，
所以正確的有個.
.
6．（23-24高一上·山東日照·階段練習）下列存在量詞命題的否定中真命題的個數是（ ）
（1）；
（2）至少有一個整數，它既不是合數，又不是質數；
（3）.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根據命題與命題的否定的關系求解.
【詳解】命題的否定為，為假命題；
存在整數1，它既不是合數，又不是質數，
所以命題至少有一個整數，它既不是合數，又不是質數為真命題，
所以它的否定為假命題；
為假命題，所以它的否定為真命題；
故選:B.
7．（23-24高一上·內蒙古興安盟·期中）命題“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】根據存在量詞命題的否定是全稱量詞命題可得出正確選項.
【詳解】命題“，”的否定，
即把存在變為任意，然后否定結論，即，.
8．（23-24高二下·福建福州·期末）命題“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】將特稱命題否定為全稱命題即可.
【詳解】命題“”的否定是“”.
9．（23-24高二下·重慶·期末）若命題“，”為假命題，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據命題的否定為真命題，利用判別式即可求解.
【詳解】由于“，”為假命題，
故其否定為“，”為真命題，則，得，
二、多選題
10．（23-24高一上·廣東江門·期中）若命題“，”是假命題，則的值可能為（ ）
A． B．1 C．3 D．7
【答案】CC
【分析】由題設，使得為真命題，結合一元二次不等式在實數集上恒不成立列不等式組求參數范圍，注意討論的情況.
【詳解】因為命題“，”是假命題，
所以，使得為真命題，
當時，，當時，恒不成立，符合題意，
當時，不恒不成立，不符合題意，
當即時，有，解得，
綜上，實數的取值范圍是，結合選項知的值可能為1,3.
C
11．（23-24高一上·湖南長沙·期末）已知兩個命題：（1）若，則；（2）若四邊形為等腰梯形，則這個四邊形的對角線相等．則下列說法正確的是（ ）
A．命題（2）是全稱量詞命題
B．命題（1）的否定為：存在
C．命題（2）的否定是：存在四邊形不是等腰梯形，這個四邊形的對角線不相等
D．命題（1）和（2）被否定后，都是真命題
【答案】AB
【分析】對于A，由全稱量詞命題的定義即可判斷；對于BC，由命題否定的定義即可判斷；由命題及其否定的真假性的關系即可得解.
【詳解】對于A，若四邊形為等腰梯形，則這個四邊形的對角線相等．等價于“對于任意一個等腰梯形而言，它的對角線都相等”，故A正確；
對于B，命題（1）的否定為：存在，故B正確；
對于C，命題（2）的否定是：存在四邊形是等腰梯形，這個四邊形的對角線不相等，故C錯誤；
對于D，由于命題（2）：“若四邊形為等腰梯形，則這個四邊形的對角線相等．”是真命題，所以它的否定是假命題，故D錯誤.
B.
三、填空題
12．（23-24高一上·山東·期中）根據下述事實，寫出一個含有量詞的全稱量詞真命題或存在量詞的真命題：
，
，
，
……
【答案】，.
【分析】觀察式子得從開始從小到大連續個奇數相加的和為，從而求解.
【詳解】觀察式子可知：從開始從小到大連續個奇數相加的和為，
故可得：，；
故答案為：，.
13．（23-24高一上·湖北荊州·期末）若命題為真命題，則m的取值范圍為 .
【答案】
【分析】利用二次函數性質求解可得.
【詳解】由題意，不等式有解，即不等式有解，
設，則函數圖象開口向上，
要使不等式有解，則函數圖象與軸有交點，
則，化簡得，解得或．
故答案為：
14．（23-24高三上·四川南充·階段練習）設命題，，若是假命題，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據命題的否定與原命題的關系得出命題是真命題，即可根據命題得出，，再根據基本不等式或對勾函數的性質得出在上的最小值，即可得出答案.
【詳解】是假命題，
是真命題，
，，
，，
當時，，當且僅當時，即時，等號不成立，
，可取到，
，
，
故答案為：.
四、解答題
15．（2023高三·全國·專題練習）用數學符號“”“”表示下列命題，并判斷命題的真假性．
(1)當時，；
(2)自然數不都是正整數；
(3)至少存在一個實數，使得.
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3)答案見解析
【分析】（1）（2）（3）應用數學語言、描述已知命題，進而判斷其真假.
【詳解】（1）命題表示為“，”．
因為，所以該命題為真命題．
（2）命題表示為“，”．
因為，，所以該命題為真命題．
（3）命題表示為“，”．
因為，所以該命題為真命題．
16．（23-24高一上·寧夏吳忠·階段練習）已知集合，集合，命題，命題，．
(1)若命題為假命題，求實數的取值范圍；
(2)若命題和命題至少有一個為真命題，求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先根據為真命題分析出，由此求解出的范圍，然后取對應范圍在實數集下的補集即為結果；
（2）考慮命題均為假命題時的取值范圍，然后取對應范圍在實數集下的補集即為結果.
【詳解】（1）若為真命題，則，
所以，所以，
所以命題為假命題時，的取值范圍為.
（2）當為假命題時，即“”為真命題，
所以，所以的取值范圍為，
所以當均為假命題時的取值范圍為，
所以當命題和命題至少有一個為真命題時的取值范圍為或.
17．（23-24高一上·陜西西安·階段練習）已知集合，集合，如果命題“，”為假命題，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由題命題“，”為真命題，進而分和兩種情況討論求解即可.
【詳解】解：因為命題“，”為假命題，
所以，命題“，”為真命題，
因為集合，集合
所以，當時，，此時不成立，
當時，由“，”得，解得，
綜上，實數的取值范圍為
.
18．（23-24高一上·山西太原·階段練習）太原市小店區第一中學校開展數學社團合作學習模式，社團內同學甲給社團內同學乙出題如下：若：“，”是假命題，求實數的取值范圍.同學乙略微思考，反過來給同學甲出了一道題：若“，”是真命題，求實數的取值范圍，你認為兩位同學出的題中的的取值范圍是否相同，的取值范圍是多少
【答案】相同，
【分析】由于命題“，”的否定是“，”，故可將題目轉換為不等式恒不成立問題來求參數的取值范圍,對參數進行分類討論即可.
【詳解】由題意命題：“，”的否定是命題：“，”，
因此“，”是假命題當且僅當“，”是真命題，
所以兩位同學出的題中的的取值范圍相同，
現在我們來求滿足題意的的取值范圍：
若，，分以下兩種情形來討論：
情形一：當時，不等式變為了顯然不成立，故符合題意；
情形二：當時，若關于的一元二次不等式恒不成立，
則當且僅當，
解不等式組得；
綜上所述：滿足題意的的取值范圍為.
19．（23-24高一上·江蘇常州·階段練習）已知命題，命題．
(1)當命題為假命題時，求實數的取值范圍；
(2)若命題和中有且僅有一個是假命題，求實數的取值范圍
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）當命題為假命題時，為真，分、討論，可得答案；
（2）求出命題為假命題、真命題的范圍，求出命題為真命題、為假命題的范圍，分命題為假命題、為真命題，或命題為假命題、為真命題兩種情況可得答案.
【詳解】（1），
當命題為假命題時，為真命題，
所以當時，不成立，
當時，可得，解得，
綜上所述，；
（2）由（1）知，
若命題為假命題，則，
若命題為真命題，則或，
若命題為真命題，
則，解得或，
若命題為假命題，則，
所以命題為假命題、為真命題時，；
命題為假命題、為真命題時，；
所以若命題和中有且僅有一個是假命題，則或.
20．（2024·浙江溫州·一模）已知命題：方程有兩個不等的負實根；命題：方程無實根.
(1)若命題為真，求實數的取值范圍；
(2)若命題，中有且僅有一個為真一個為假，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由二次函數的性質得出命題為真時，實數的取值范圍，進而由命題為真求解；
（2）由判別式得出為真時，實數的取值范圍，再討論真假或假真，得出實數的取值范圍.
【詳解】（1）若方程有兩個不等的負根，則，解得；
因為命題為真，所以實數的取值范圍為.
（2）若方程無實根，則，解得.
若真假時，，解得；
若假真時，，解得.
綜上，得.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)1.2.1&1.2.2 命題與量詞、全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
課程標準 學習目標
1.了解命題的概念，能夠判斷一個語句是不是命題，會判斷命題的真假； 2.理解全稱量詞、存在量詞的意義，并能正確判斷全稱量詞命題、存在量詞命題的真假； 3.會用自然語言、符號語言表示全稱量詞命題和存在量詞性命題. 4.理解命題的否定的含義，會寫給定 命題的否定并判斷命題的真假； 5.正確掌握全稱量詞命題與存在量詞命題的否定; 6.明確全稱命題的否定是存在命題，存在命題的否定是全稱命題，會判斷其真假. 1.命題的概念的形成； 2.經歷命題、全稱量詞命題、存在量詞命題概念的形成過程，體驗由特殊到一般、由一般到特殊的思維方法； 3.初步學會判斷命題真假（尤其是全稱量詞命題和存在量詞命題）的方法； 4.通過實例體會對理解抽象概念的作用； 5.通過實例體驗命題，尤其是全稱命題和存在性命題的表述方法. 6.命題的否定概念的形成； 7.經歷命題的否定及其全稱量詞命題與存在量詞命題的否定形成過程，體驗由特殊到一般的思維方法； 8.會寫全稱量詞命題與存在量詞命題的否定； 9.通過實例體會對理解抽象概念的作用； 10.通過實例體驗命題的否定，全稱量詞命題和存在量詞命題的否定.
知識點01 命題的概念
定義：一般地，在數學中，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述語句稱為命題．其中，判斷為真的語句稱為真命題，判斷為假的語句稱為假命題一個命題，一般可以用一個小寫英文字母表示，如p，q，r.
注：一個命題，要么是真命題，要么是假命題，不能同時既是真命題又是假命題，也不能模棱兩可、無法判斷是真命題還是假命題。
【即學即練1】（2024·江蘇·高一假期作業）以下語句：①；②；③；④，其中命題的個數是（　　）
A．0 B．1
C．2 D．3
【即學即練2】（2024·高一課時練習）下列語句中：①；②；③有一個根為0；④高二年級的學生；⑤今天天氣好熱！⑥有最小的質數嗎？其中是命題的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③
【即學即練3】（2024·江蘇·高一假期作業）下列語句為真命題的是（　　）
A．
B．四條邊都相等的四邊形為矩形
C．
D．今天是星期天
知識點02 全稱量詞與全稱量詞命題
全稱量詞
量詞 所有的、任意一個
符號
命題 含有全稱量詞的命題是全稱量詞命題
命題形式 “對M中任意一個x，p(x)不成立”，可用符號簡記為“ x∈M，p(x)”
注：（1）全稱量詞的數量可能是有限的，也可能是無限的，由有題目而定；
（2）常見的全稱量詞還有“一切”、“任給”等，相應的詞語是“都”
（3）從集合的觀點看，全稱量詞命題是陳述某集合中所有元素都具有某種性質的命題；
（4）一個全稱量詞命題可以包含多個變量；
（5）有些全稱量詞命題中的全稱量詞是省略的，理解時需要把它補出來。
如：命題“平行四邊形對角線互相平行”理解為“所有平行四邊形對角線都互相平行”。
【即學即練4】（2024·全國·高一假期作業）下列命題中，是全稱量詞命題，且為真命題的是（ ）
A． B．菱形的兩條對角線相等
C． D．一次函數的圖象是直線
知識點03 存在量詞與存在量詞命題
存在量詞
量詞 存在一個、至少有一個
符號
命題 含有存在量詞的命題是存在量詞命題
命題形式 “存在M中的元素x，p(x)不成立”，可用符號簡記為“ x∈M，p(x)”
注：（1）常見的存在量詞還有“有些”、“有一個”、“對某些”、“有的”等；
（2）從集合的觀點看，存在量詞命題是陳述某集合中有一些元素具有某種性質的命題；
（3）一個存在量詞命題可以包含多個變量；
（4）有些命題雖然沒有寫出存在量詞，但其意義具備“存在”、“有一個”等特征的命題都是存在量詞命題
【即學即練5】【多選】（2023·全國·高一假期作業）關于命題“”，下列判斷正確的是（ ）
A．該命題是全稱量詞命題 B．該命題是存在量詞命題
C．該命題是真命題 D．該命題是假命題
知識點04 含有量詞命題的否定
含量詞的命題的否定
p p 結論
全稱量詞命題 x∈M，p(x) x∈M，p(x) 全稱量詞命題的否定是存在量詞命題
存在量詞命題 x∈M，p(x) x∈M，p(x) 存在量詞命題的否定是全稱量詞命題
注：命題與命題的否定的真假判斷：一個命題和它的否定不能同時為真命題，也不能同時為假命題，只能一真一假．即：如果一個命題是真命題，那么這個命題的否定是假命題，反之亦然．
【即學即練6】（2024秋·廣東汕尾·高一海豐縣海城仁榮中學校考階段練習）命題“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【即學即練7】（2023春·河南·高一校聯考開學考試）命題“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
易錯一　命題的概念理解不清
1．判斷下列語句是不是命題．
(1)哥德巴赫猜想；
(2)宇宙中存在外星人．
易錯二　判斷命題真假時忽視特例的作用致錯
2．判斷下列命題的真假：
(1) x∈R，x2＋2x＋1>0；
(2) x∈R，|x|≤0.
【題型1：命題的概念及真假的判斷】
命題的概念
例1.【多選】（2024秋·高一階段練習）下列語句是命題的是（ ）
A．3是15的約數 B．x2+2x+1≥0 C．4不小于2 D．你準備考北京大學嗎
變式1.（2024春·內蒙古通遼·高二校考期末）下列語句是命題的是（ ）
A．是一個大數 B．若兩直線平行，則這兩條直線沒有公共點
C．是一次函數嗎 D．
（二）命題真假的判斷
例2.（2024·全國·高一課堂例題）下列語句中，為真命題的是（ ）
A．直角的補角是直角 B．同旁內角互補
C．過直線外一點作直線于點 D．兩個銳角的和是鈍角
變式1.（2024·全國·高一假期作業）下列命題：
①矩形既是平行四邊形又是圓的內接四邊形;
②菱形是圓的內接四邊形且是圓的外切四邊形;
③方程的判別式大于0;
④周長相等的兩個三角形全等或面積相等的兩個三角形全等;
⑤集合 是集合A的子集，且是的子集．
其中真命題的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
變式2.（2023秋·高一校考課時練習）判斷下列命題的真假：
(1)一個實數不是質數就是合數；
(2)若或，則；
(3)正方形既是矩形又是菱形；
(4)若，則
變式3.（2024·江蘇·高一假期作業）下列命題中真命題有（　　）
①是一元二次方程；
②函數的圖象與x軸有一個交點；
③互相包含的兩個集合相等；
④空集是任何集合的真子集．
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
變式4.（2023秋·高一課時練習）下列命題:①相等的角是對頂角；②若，則；③若，則.其中假命題的個數是 .
變式5.（2024·江蘇·高一假期作業）將下列命題改寫為“若p，則q”的形式，并判斷真假．
(1)當a＞b時，有ac2＞bc2；
(2)實數的平方是非負實數；
(3)能被6整除的數既能被3整除也能被2整除．
變式6.（2024·江蘇·高一假期作業）把下列命題改寫成“若，則”的形式，并判斷真假．
(1)當時，無實根；
(2)一個整數的個位數是0，這個數一定能被5整除也能被2整除．
【方法技巧與總結】
1、命題概念的理解
(1)有一類陳述句在數學或其他科學技術中經常出現，但目前不能確定這些語句的真假，隨著時間的推移，總能確定它們的真假，這一類語句仍然是命題．
(2)命題的真假是確定的，一個命題要么為真，要么為假，不能無法判斷．
(3)數學中的定義、公理、定理、公式等都是真命題．
(4)數學中要判定一個命題為真命題，需要經過嚴格的數學證明；要判定一個命題為假命題，只需要舉出一個反例即可．
2、判斷命題真假的方法
(1)對于一般的命題，可根據我們已學過的定義、定理、公理等判斷其真假．　　
(2)將一個命題改寫成“若p，則q”的形式后，判斷此命題真假的一般方法如下．
①若通過邏輯推理可以由p得到q，則可確定命題“若p，則q”為真；而要確定命題“若p，則q”為假，則只需舉出一個反例．
②從集合的觀點，我們建立集合A，B與p，q之間的一種特殊聯系：設集合A{x|p(x)}，B{x|q(x)}，就是說，A是能使p不成立的對象x所構成的集合，B是能使q不成立的對象x所構成的集合，此時，命題“若p，則q”為真(意思就是“使p不成立的對象也能使q不成立”)，即A B.
【題型2：全稱量詞命題與存在量詞命題的判斷】
例3.（2024·江蘇·高一假期作業）判斷下列語句是全稱量詞命題，還是存在量詞命題.
(1)凸多邊形的外角和等于；
(2)矩形的對角線不相等；
(3)若一個四邊形是菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直；
(4)有些實數a，b能使；
(5)方程有整數解.
變式1.（2023·全國·高一專題練習）下列命題中，含有存在量詞的是（ ）
A．存在一個平行四邊形是矩形 B．所有正方形都是平行四邊形
C．一切三角形的內角和都等于 D．任意兩個等邊三角形都相似
變式2.【多選】（2023·全國·高一課時練習）下列語句是全稱量詞命題的是（ ）
A．對任意實數x， B．有一個實數a，a不能取對數
C．每一個向量都有方向嗎 D．等邊三角形的三條邊相等
變式3．【多選】（2024·江蘇·高一假期作業）下列語句是存在量詞命題的是（ ）
A．有的無理數的平方是有理數
B．有的無理數的平方不是有理數
C．對于任意是奇數
D．存在是奇數
變式4.（2024·江蘇·高一假期作業）給出下列命題：①正方形的四條邊相等；②至少有一個正整數是偶數；③正數的平方根不等于0；④有兩個角是45°的三角形是等腰直角三角形．其中是全稱量詞命題的是 ，是存在量詞命題的是 （填序號）.
變式5.（2024·全國·高一專題練習）判斷下列語句是全稱量詞命題，還是存在量詞命題.
（1）凸多邊形的外角和等于；
（2）矩形的對角線不相等；
（3）若一個四邊形是菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直；
（4）有些實數a，b能使；
（5）方程有整數解.
變式6．（2024·高一課時練習）指出下列命題中的全稱量詞或存在量詞，并用量詞符號“”或“”表示下列命題．
(1)所有實數都能使不成立；
(2)對所有實數，，方程恰有一個解；
(3)存在整數，，使得不成立；
(4)存在實數，使得與的倒數之和等于1．
【方法技巧與總結】
1、全稱量詞命題與存在量詞命題的區別
(1)全稱量詞命題中的全稱量詞表明給定范圍內所有對象都具有某一性質，無一例外，強調“整體、全部”．
(2)存在量詞命題中的存在量詞則表明給定范圍內的對象有例外，強調“個別、部分”．
2、全稱量詞命題或存在量詞命題的判斷
判斷一個命題是否為全稱量詞命題或存在量詞命題，就是判斷這個命題中是否含有全稱量詞或存在量詞，有些命題的量詞可能隱含在命題之中，這時要根據命題含義判斷形式．
注：判斷含量詞的命題的真假時，一定要注意特殊情況，如特殊值、特殊點，特別是問題中涉及的臨界點．若找不到特例，則需根據相關數學知識進行簡單推理．
【題型3：判斷全稱量詞命題與存在量詞命題的真假】
例4．（2023秋·廣西賀州·高一校考階段練習）判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷其真假.
(1)至少有一個整數，它既能被11整除，又能被9整除;
(2)線段的長度都能用正有理數表示;
(3)，.
變式1.（2023秋·山西·高一統考階段練習）下列結論中正確的個數是（ ）
①命題“所有的四邊形都是矩形”是存在量詞命題；
②命題“，”是全稱量詞命題；
③命題“，”是真命題；
④命題“有一個偶數是素數”是真命題.
A．0 B．1 C．2 D．3
變式2.（2023春·山西運城·高二康杰中學校考階段練習）下列命題中是真命題的為（ ）
A．，使 B．，
C．， D．，使
變式3.【多選】（2023秋·重慶·高一開學考試）在下列命題中，真命題有（ ）
A． B．是有理數
C．，使 D．，
變式4.（2024·全國·高一假期作業）下列命題中，是全稱量詞命題，且為真命題的是（ ）
A． B．菱形的兩條對角線相等
C． D．一次函數的圖象是直線
變式5．【多選】（2023秋·安徽淮南·高一校聯考階段練習）下列命題中，是全稱量詞命題且是真命題的是（ ）
A．任何一個實數乘以0都等于0 B．自然數都是正整數
C．實數都可以寫成小數形式 D．一定存在沒有最大值的二次函數
變式6.（2023秋·陜西寶雞·高一統考期末）用符號“”與“”表示下列含有量詞的命題，并判斷真假．
(1)對任意實數，方程有實根；
(2)存在實數，使得；
(3)存在實數，使得等于的10倍．
【方法技巧與總結】
全稱量詞命題與存在量詞命題的真假的判斷
(1)要判定全稱量詞命題是真命題，需要判斷所有的情況都不成立；如果有一種情況不不成立，那么這個全稱量詞命題就是假命題．
(2)要判定存在量詞命題是真命題，只需找到一種情況不成立即可；如果找不到使命題不成立的特例，那么這個存在量詞命題是假命題．
【題型4：全稱量詞命題、存在量詞命題的求參問題】
例5.（2023秋·福建莆田·高三莆田第四中學校考階段練習）“”是真命題，則m的范圍是
變式1.（2024·江蘇·高一假期作業）已知命題為假命題，則實數a的取值范圍是 .
變式2.（2023春·江西萍鄉·高二校聯考階段練習）若命題“”為真命題，則實數a的取值范圍為 .
變式3.（2024·貴州安順·統考模擬預測）若命題“，”是假命題，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式4.（2023秋·安徽蕪湖·高一安徽師范大學附屬中學校考期末）若命題“，”為真命題，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式5.（2024·全國·高一假期作業）已知集合，，且.若命題p：“，”是真命題，求m的取值范圍；
變式6.（2024·江蘇·高一假期作業）設全集，集合，集合，其中.若命題“”是真命題，求的取值范圍.
變式7.（2023秋·高一課時練習）已知集合，，且.
(1)若命題p：“，”是真命題，求m的取值范圍；
(2)若命題q：“，”是真命題，求m的取值范圍．
變式8.（2023秋·廣東廣州·高一校考階段練習）已知命題： ，；命題： ，.若、都為假命題，則實數的取值范圍是(　　)
A．[1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，－2] D．[－1,1]
【方法技巧與總結】
全稱量詞命題、存在量詞命題的求參問題
(1)全稱量詞命題的常見題型是“恒不成立”問題，這是一類綜合性強，且有一定難度的問題，解決有關“恒不成立”的問題時，若能分離參數，則盡量利用分離參數法求解．
(2)存在量詞命題的常見題型是用適合某種條件的結論“存在”“不存在”“是否存在”等語句表述的．解答這類問題時，一般要先對結論做出肯定存在的假設，然后從此肯定的假設出發，結合已知條件進行推理論證．若推出合理的結論，則存在性也隨之解決；若導致矛盾，則可否定存在性．
【題型5：含有一個量詞的命題的否定及其真假判斷】
例6.（2023秋·河北保定·高一校聯考階段練習）若命題：梯形是四邊形，則（ ）
A．是全稱量詞命題，且的否定：有些梯形不是四邊形
B．是全稱量詞命題，且的否定：所有的梯形不是四邊形
C．是存在量詞命題，且的否定：有些梯形不是四邊形
D．是存在量詞命題，且的否定：所有的梯形不是四邊形
變式1.（2023春·廣東梅州·高二統考期末）命題“存在一個四邊形，它的兩條對角線互相垂直”的否定是（ ）
A．存在一個四邊形，它的兩條對角線不互相垂直
B．任意一個四邊形，它的兩條對角線互相垂直
C．任意一個四邊形，它的兩條對角線不互相垂直
D．有些四邊形，它們的兩條對角線不互相垂直
變式2.（2023春·湖南長沙·高二校聯考期中）寫出命題“”的否定： .
變式3.（2023秋·安徽合肥·高一統考期末）已知命題，總有，則為（ ）
A．，使得 B．，使得
C．，總有 D．，總有
變式4.（2023秋·遼寧沈陽·高一東北育才學校校考期末）命題“，使得”的否定形式是（ ）
A．，使得 B．都有
C．，使得 D．，都有
變式5.（2023秋·廣西河池·高一統考期末）命題“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
變式6.（2022秋·浙江杭州·高一校考階）命題，，則命題的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
變式7.（2023春·黑龍江·高一大慶實驗中學校考）命題：“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
變式8.（2023春·江蘇南京·高二統考期末）命題“”的否定是 .
變式9.（2023春·天津寧河·高二天津市寧河區蘆臺第一中學校考階段練習）命題“”的否定是
變式10.（2023春·四川成都·高二期末）命題“，”的否定為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
變式11.（2023春·山東濱州·高二統考期末）命題“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
例7.（2023秋·福建福州·高一校聯考期中）下列命題的否定是真命題的是（ ）
A．
B．菱形都是平行四邊形
C．，一元二次方程沒有實數根
D．平面四邊形，其內角和等于380°
變式1.（2024·全國·高三專題練習）命題，一元二次方程有實根，則對命題的真假判斷和正確的為（ ）
A．真命題，，一元二次方程無實根
B．假命題，，一元二次方程無實根
C．真命題，，一元二次方程有實根
D．假命題，，一元二次方程有實根
【方法技巧與總結】
1、含有一個量詞的命題的否定
全稱量詞命題的否定是一個存在量詞命題，存在量詞命題的否定是一個全稱量詞命題，因此在書寫他們的否定時，相應的全稱量詞變為存在量詞，存在量詞變為全稱量詞，同時否定結論．
注：（1）全稱量詞命題的否定：
一般地，全稱量詞命題“”的否定是存在量詞命題： ．
（2）存在量詞命題的否定：
一般地，存在量詞命題“ ”的否定是全稱量詞命題： ．
（3）命題與命題的否定的真假判斷：
一個命題和它的否定不能同時為真命題，也不能同時為假命題，只能一真一假．
即：如果一個命題是真命題，那么這個命題的否定是假命題，反之亦然．
2、常見正面詞語的否定：
正面詞語 等于（） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 對所有的不成立 對任何的不不成立
否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 存在不不成立 存在不成立
正面詞語 至多有一個 至少有一個 任意 所有 至多有n個 至少有個 或 且
否定 至少有兩個 一個都沒有 某個 某些 至少有n+1個 至多有-1個 非且非 非或非
【題型6：根據含有量詞命題的否定的真假求參數】
例8.（2024·全國·高一假期作業）已知命題”的否定為真命題，則實數的取值范圍是 .
變式1.（2024·高一課時練習）已知命題，命題，若命題p和都是真命題，則實數a的取值范圍是 ．
一、單選題
1．（2024高一上·全國·專題練習）下列語句中，命題的個數是　（　　）
①空集是任何集合的真子集；②請起立；
③的絕對值為1；④你是高一的學生嗎
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（23-24高一上·廣東佛山·期中）以下4個命題：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
其中真命題的個數為（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（23-24高一上·貴州貴陽·階段練習）下列命題是全稱量詞命題，且是真命題的是（ ）
A．所有的素數都是奇數 B．，
C．有一個實數，使 D．有些平行四邊形是菱形
4．（23-24高一上·吉林長春·期中）下列命題中是存在量詞命題且該命題的否定是真命題的是（ ）
A．有的梯形對角線互相平分 B．三角形都有內切圓
C．， D．，
5．（23-24高一上·廣西賀州·期末）下列結論中正確的個數是（ ）
①命題“有些平行四邊形是矩形”是存在量詞命題；
②命題“”是全稱量詞命題；
③命題“”的否定為“”；
④命題“”是真命題；
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（23-24高一上·山東日照·階段練習）下列存在量詞命題的否定中真命題的個數是（ ）
（1）；
（2）至少有一個整數，它既不是合數，又不是質數；
（3）.
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（23-24高一上·內蒙古興安盟·期中）命題“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．（23-24高二下·福建福州·期末）命題“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
9．（23-24高二下·重慶·期末）若命題“，”為假命題，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
10．（23-24高一上·廣東江門·期中）若命題“，”是假命題，則的值可能為（ ）
A． B．1 C．3 D．7
11．（23-24高一上·湖南長沙·期末）已知兩個命題：（1）若，則；（2）若四邊形為等腰梯形，則這個四邊形的對角線相等．則下列說法正確的是（ ）
A．命題（2）是全稱量詞命題
B．命題（1）的否定為：存在
C．命題（2）的否定是：存在四邊形不是等腰梯形，這個四邊形的對角線不相等
D．命題（1）和（2）被否定后，都是真命題
三、填空題
12．（23-24高一上·山東·期中）根據下述事實，寫出一個含有量詞的全稱量詞真命題或存在量詞的真命題：
，
，
，
……
13．（23-24高一上·湖北荊州·期末）若命題為真命題，則m的取值范圍為 .
14．（23-24高三上·四川南充·階段練習）設命題，，若是假命題，則實數的取值范圍是 .
四、解答題
15．（2023高三·全國·專題練習）用數學符號“”“”表示下列命題，并判斷命題的真假性．
(1)當時，；
(2)自然數不都是正整數；
(3)至少存在一個實數，使得.
16．（23-24高一上·寧夏吳忠·階段練習）已知集合，集合，命題，命題，．
(1)若命題為假命題，求實數的取值范圍；
(2)若命題和命題至少有一個為真命題，求實數的取值范圍．
17．（23-24高一上·陜西西安·階段練習）已知集合，集合，如果命題“，”為假命題，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
18．（23-24高一上·山西太原·階段練習）太原市小店區第一中學校開展數學社團合作學習模式，社團內同學甲給社團內同學乙出題如下：若：“，”是假命題，求實數的取值范圍.同學乙略微思考，反過來給同學甲出了一道題：若“，”是真命題，求實數的取值范圍，你認為兩位同學出的題中的的取值范圍是否相同，的取值范圍是多少
19．（23-24高一上·江蘇常州·階段練習）已知命題，命題．
(1)當命題為假命題時，求實數的取值范圍；
(2)若命題和中有且僅有一個是假命題，求實數的取值范圍
20．（2024·浙江溫州·一模）已知命題：方程有兩個不等的負實根；命題：方程無實根.
(1)若命題為真，求實數的取值范圍；
(2)若命題，中有且僅有一個為真一個為假，求實數的取值范圍.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑