資源簡介

1.2.3 充分條件、必要條件
課程標準 學習目標
1.理解充分條件、必要條件的概念； 2.正確判斷p是q的充分條件或必要 條件； 3.理解充要條件的概念，并會判斷和 證明p是q的充要條件. 1.理解充分條件、必要條件與判定定理、性質定理及其數(shù)學概念之間的關系； 2.經(jīng)歷充分條件、必要條件概念的形成過程，體驗有具體到一般的思維方法； 3.會判斷p是q的什么條件； 4.通過實例體會對理解抽象概念的作用； 5.通過對充分條件和必要條件與集合的關系的教學，建立概念間的多元聯(lián)系，培養(yǎng)同學們多角度審視問題的習慣；
知識點01 充分條件與必要條件
“若p，則q”為真命題 “若p，則q”為假命題
推出關系 p q p q
條件關系 p是q的充分條件 q是p的必要條件 p不是q的充分條件 q不是p的必要條件
定理關系 判定定理給出了相應數(shù)學結論不成立的充分條件 性質定理給出了相應數(shù)學結論不成立的必要條件
一般地，數(shù)學中的每一條判定定理都給出了相應數(shù)學結論不成立的一個充分條件．數(shù)學中的每一條性質定理都給出了相應數(shù)學結論不成立的一個必要條件．
注意：對于“p q”，蘊含以下多種解釋：
“若p，則q”形式的命題為真命題；
（2）由條件p可以得到結論 q；
（3）p是q的充分條件或q的充分條件是p；
（4）只要有條件p，就一定有結論 q，即p對于q是充分的；
（5）q是p的必要條件或p的必要條件是q；
（6）一旦q不不成立，p一定也不不成立，q不成立對于p不成立是必要的.
顯然，p是q的充分條件與q是p的必要條件表述的是同一個邏輯關系，即p q，只是說法不同而已.
【即學即練1】（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）“”是“”的________條件，“”是“”的________條件（用“充分”“必要”填空）．
【答案】 必要 充分
【分析】由于，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可作答.
【詳解】由于，
所以“”是“”的必要條件，“”是“”的充分條件．
故答案為：必要；充分
【即學即練2】（2024·高一課時練習）關于x的方程有實根的一個充分條件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)一元一次方程的求解即可判斷，由充分條件的定義即可求解.
【詳解】由，要使方程有實根，則，
故是方程有實根的一個充分條件，
知識點02 充分條件、必要條件與充要條件
如果p q，則稱p是q的充分條件，q是p的必要條件. 一般地，數(shù)學中的每一條判定定理都給出了相應數(shù)學結論不成立的一個充分條件；每一條性質定理都給出了相應數(shù)學結論不成立的一個必要條件；每一條數(shù)學定義都給出了相應數(shù)學結論不成立的一個充要條件
1、充分不必要條件：如果且，則稱是的充分不必要條件；
2、必要不充分條件：如果且，則稱是的必要不充分條件；
3、充要條件：如果且，則稱是的充分必要條件，簡稱充要條件；
4、既不充分也不必要條件：如果且，則稱是的既不充分也不必要條件
【即學即練3】（2023·高一單元測試）若，則“”的充分不必要條件是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】A
【分析】對于選項A和B，可通過對取特殊值進行驗證判斷，從而判斷出正誤；對于選項C，利用選項C中的條件，得出，從而得出選項C是充要條件，從而判斷出不符合結果，進而得出結論.
【詳解】對于A，當時，有且，但，故A錯誤；
對于B，當時，有且，但得不出，故B錯誤；
對于C，由，得到且或且，又，故且，此時是充要條件，故C錯誤；
綜上，可知符合條件的為選項D.
.
【即學即練4】（2023秋·湖南邵陽·高一統(tǒng)考期末）對任意的實數(shù)，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】取特殊值可判斷充分性，根據(jù)得，從而可判斷必要條件.
【詳解】取，此時，但，故“”不是“”的充分條件.
當時，，此時，故“”是“”的必要條件.
故“”是“”的必要不充分條件.
故選:B.
知識點03 充分必要條件與集合的關系
若條件p，q以集合的形式出現(xiàn)，即A{x|p(x)}，B{x|q(x)}，
則由A B可得，p是q的充分條件，
①若AB，則p是q的充分不必要條件；
②若A B，則p是q的必要條件；
③若AB，則p是q的必要不充分條件；
④若AB，則p是q的充要條件；
⑤若A B且A B，則p是q的既不充分也不必要條件．
充分必要條件判斷精髓：
小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要條件，大集合是小集合的必要不充分條件；
若兩個集合范圍一樣，就是充要條件的關系；
【即學即練5】（2024·高一單元測試）已知全集，集合，.
(1)當時，求和；
(2)若“”是“”不成立的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)集合并集、交集、補集運算求解即可；
（2）根據(jù)充分不必要條件轉化為集合的包含關系求解即可
【詳解】（1）當時，集合，
因為，所以.
所以，
（2）因為“”是“”不成立的充分不必要條件，
所以是的真子集，而不為空集，
所以，因此.
難點：充分條件、必要條件、充要條件的應用
已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要條件．求實數(shù)a的取值范圍．
思路分析：
【解析】　令M{x|2x2－3x－2≥0}{x|(2x＋1)(x－2)≥0}；
N{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}{x|x≤a－2或x≥a}，
由已知p q且q p，得MN.
∴或
解得≤a<2或即所求a的取值范圍是.
方法歸納：根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件求參數(shù)的取值范圍時，主要根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件與集合間的關系，將問題轉化為相應的兩個集合之間的包含關系，然后建立關于參數(shù)的不等式(組)進行求解．
【題型1：充分條件、必要條件、充要條件的判斷】
例1.（2024·全國·高一專題練習）“不到長城非好漢，屈指行程二萬”，出自毛主席1935年10月所寫的一首詞《清平樂·六盤山》，反映了中華民族的一種精神氣魄，一種積極向上的奮斗精神.從數(shù)學邏輯角度分析，其中“好漢”是“到長城”的（ ）
A．充分條件 B．必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】設為不到長城，推出非好漢，即，
則，即好漢到長城，
故“好漢”是“到長城”的充分條件，．
變式1.（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）已知，，則是的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】設命題:對應的集合為,
命題 :對應的集合為,
因為AB,所以命題是命題的充分不必要條件.
變式2.（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）下列命題中，p是q的什么條件？
(1)p：四邊形的對角線相等，q：四邊形是矩形；
(2)p：，q：.
【答案】(1)必要不充分條件．
(2)充分不必要條件．
【分析】（1）根據(jù)矩形和等腰梯形的對角線相等，得到，，故p是q的必要不充分條件；
（2）解方程，得到或3，故p是q的充分不必要條件．
【詳解】（1）∵等腰梯形的對角線相等，故，
又因為矩形的對角線相等，故，
∴p是q的必要不充分條件．
（2）當時，，
∴，
，解得或3.
故，
∴p是q的充分不必要條件．
變式3.（2023春·山東濱州·高二校考階段練習）指出下列各組命題中，p是q的什么條件？q是p的什么條件？（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中選一種作答）
(1)p：x為自然數(shù)，q：x為整數(shù)；
(2)p：，q：；
(3)p：同位角相等，q：兩直線平行；
(4)p：四邊形的兩條對角線相等，q：四邊形是平行四邊形．
【答案】(1)p是q的充分不必要條件；q是p的必要不充分條件
(2)p是q的必要不充分條件；q是p的充分不必要條件
(3)p是q的充要條件；q是p的充要條件
(4)p是q的既不充分也不必要條件；q是p的既不充分也不必要條件
【分析】（1）由自然數(shù)和整數(shù)的概念作出判斷；
（2），而，得到結論；
（3）兩者可互相推出，故可得到結論；
（4）舉出反例，得到結論.
【詳解】（1）x為自然數(shù)，則為整數(shù)，但為整數(shù)，不妨令，則不是自然數(shù)，
故p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；
（2），而，
故p是q的必要不充分條件；q是p的充分不必要條件；
（3）同位角相等，可得到兩直線平行，反之，兩直線平行，可得到同位角相等，
p是q的充要條件；q是p的充要條件；
（4）若四邊形的兩條對角線相等，則四邊形可能為等腰梯形，故充分性不不成立，
若四邊形是平行四邊形但不是矩形，則兩條對角線不相等，故必要性不不成立.
故p是q的既不充分也不必要條件；q是p的既不充分也不必要條件.
變式4.（2024·四川遂寧·四川省遂寧市第二中學校校考模擬預測）明——羅貫中《三國演義》第49回“欲破曹公，宜用火攻;萬事倶備，只欠東風”，比喻一切都準備好了，只差最后一個重要的條件.你認為“東風”是“赤壁之戰(zhàn)東吳打敗曹操”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義，結合題意即可下結論.
【詳解】“東風”是“赤壁之戰(zhàn)東吳打敗曹操”的必要條件，但不是充分條件.
.
變式5.（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）“”是“”的 條件．
【答案】充分不必要
【分析】根據(jù)集合的包含關系即可結合充分不必要條件進行求解.
【詳解】設，因為，所以“”是“”的充分不必要條件．
故答案為：充分不必要
變式6.（2023春·河北保定·高二定州市第二中學校考階段練習）設，則“”是“”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【分析】先解分式不等式，再結合充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】由，得或；由，得，
則“”是“”的必要不充分條件．
變式7.（2023春·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)充分必要條件的概念求解.
【詳解】由，得，即，
但若，取，則不不成立，
所以“”是“”的充分不必要條件；
故選:A.
變式8.（2023春·河北滄州·高二統(tǒng)考期末）若，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結合不等式的性質分析判斷即可.
【詳解】當時，顯然，，所以，
當時，若，則，
所以“”是“”的充分不必要條件，
變式9.（2024·全國·高一假期作業(yè)）設：或；：或，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】分別寫出對應的取值范圍，再由范圍大小即可確定選項.
【詳解】根據(jù)題意可得，，
易知是的真子集，所以，
因此，是的充分不必要條件.
變式10.（2024·全國·高三專題練習）是方程有實根且的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】由一次函數(shù)與一次不等式的關系結合充分條件與必要條件的概念即可得出答案.
【詳解】方程有實根且函數(shù)的圖象在時與軸有交點，則或，解得或.
結合集合法易得是方程有實根且的充分不必要條件.
變式11.（2023春·四川德陽·高二德陽五中校考階段練習）已知命題：，，則“”是“是真命題”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】由，求出的范圍，然后可得“是真命題”對應的的范圍，然后可判斷出答案.
【詳解】由，可得，，
所以“是真命題”對應的的范圍是，
所以“”是“是真命題”的充分不必要條件，
變式12.【多選】（2023春·湖南常德·高一統(tǒng)考期末）下列命題正確的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要條件
B．命題“”的否定是“”
C．的充要條件是
D．若，則至少有一個大于1
【答案】CD
【分析】根據(jù)必要條件與充分條件的概念、全稱量詞的否定、不等式的性質依次判定即可.
【詳解】對于A選項，若則得不到，故不是充分條件；
對于B選項，由全稱量詞的否定可判斷其正確；
對于C選項，若則得不到，故不是充要條件，C選項錯誤；
對于D選項，若均不大于1，則，故至少有一個大于1，故D選項正確；
D.
變式13.【多選】（2023秋·江西贛州·高一統(tǒng)考期中）下列結論正確的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要條件
B．“”是“”的必要不充分條件
C．“，有”的否定是“，使”
D．“是方程的實數(shù)根”的充要條件是“”
【答案】ACD
【分析】根據(jù)不等式的范圍判斷A；根據(jù)交集的概念判斷B；全稱量詞命題的否定是存在量詞命題判斷C；將1代入方程求解判斷D.
【詳解】對于A，因為，所以或，所以“當”時，“”不成立，反之不不成立，
故“”是“”的充分不必要條件，正確；
對于B，“”一定有“”不成立，反之不不成立，
故“”是“”的充分不必要條件，錯誤；
對于C，命題“，有”是全稱量詞命題，
其否定是存在量詞命題，即“，使”，正確；
對于D，當時，1為方程的一個根，故充分；
當方程有一個根為1時，代入得，故必要，正確；
CD
變式14.（2023秋·江蘇連云港·高一連云港高中校考階段練習）已知下列所給的各組，中，是的充要條件的為（ ）
A．，
B．：兩個三角形全等，：兩個三角形的兩邊及其夾角分別對應相等
C．，
D．：兩直角三角形的斜邊相等，：兩直角三角形全等
【答案】C
【分析】直接利用充分條件和必要條件判斷A、B、C、D的結論．
【詳解】對于A選項，，解得：或，
所以，但，
故為的充分不必要條件，故A錯誤；
B選項：根據(jù)全等三角形的性質及判定可知，，故是的充要條件，故B正確；
C選項，由可得或，，則為的充分不必要條件，故C錯誤；
D選項，兩直角三角形全等，則兩直角三角形的斜邊相等，
但兩直角三角形的斜邊相等，但兩直角三角形不一定全等，
例如：中，，斜邊，
中，，則斜邊，
故為的必要不充分條件．
．
【方法技巧與總結】
充分條件、必要條件、充要條件的判斷方法
（1）定義法
①分清命題的條件和結論：分清哪個是條件，哪個是結論．
②找推式：判斷“p q”及“q p”的真假．
③根據(jù)推式及條件得出結論．
（2）等價轉化法
①等價法：將命題轉化為另一個與之等價的且便于判斷真假的命題．
②逆否法：這是等價法的一種特殊情況．
若 p q，則p是q的必要條件，q是p的充分條件；
若 p q，且 q p，則p是q的必要不充分條件；
若 p q，則p與q互為充要條件；
若 p q，且 q p，則p是q的既不充分也不必要條件．
（3）集合法：寫出集合A{x|p(x)}及B{x|q(x)}，利用集合間的包含關系進行判斷．
若條件p，q以集合的形式出現(xiàn)，即A{x|p(x)}，B{x|q(x)}，
則由A B可得，p是q的充分條件，
①若AB，則p是q的充分不必要條件；
②若A B，則p是q的必要條件；
③若AB，則p是q的必要不充分條件；
④若AB，則p是q的充要條件；
⑤若A B且A B，則p是q的既不充分也不必要條件．
（4）傳遞法：若問題中出現(xiàn)若干個條件和結論，應根據(jù)條件畫出相應的推式圖，根據(jù)圖中推式的傳遞性進行判斷．
（5）特殊值法：對于選擇題，可以取一些特殊值或特殊情況，用來說明由條件(結論)不能推出結論(條件)，但是這種方法不適用于證明題．
注：充分必要條件判斷精髓：
小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要條件，大集合是小集合的必要不充分條件；若兩個集合范圍一樣，就是充要條件的關系；
【題型2：求條件(充分條件、必要條件和充要條件)】
例2．（2024·湖南衡陽·高二校聯(lián)考學業(yè)考試）使不等式不成立的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)充分不必要條件的知識確定正確答案.
【詳解】不等式不成立的一個充分不必要條件是，
是的必要不充分條件，
是的非充分非必要條件，
是的充分必要條件.
變式1.（2024·全國·高三專題練習）已知p：，那么p的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A選項：，錯誤；B選項：，錯誤；
C選項：，，正確；
D選項：，錯誤..
變式2.（2024·全國·高三對口高考）給出以下四個條件：①；②或；③；④且．其中可以作為“若，則”的一個充分而不必要條件的是 ．
【答案】③④
【分析】根據(jù)不等式的性質，結合充分不必要條件的判定方法，逐個判定，即可求解.
【詳解】對于①中，由，則可能且，此時，所以充分性不不成立；
對于②中，例如，滿足或，此時，所以充分性不不成立；
對于③中，由，可得，反之不不成立，
所以是的充分不必要條件；
對于④中，由且，則，反之：若，不一定得到且，
所以且是的充分不必要條件.
故答案為：③④
變式3.（2023春·陜西商洛·高二校考階段練習）不等式“在上恒不成立”的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先計算已知條件的等價范圍，再利用充分條件和必要條件的定義逐一判斷即可.
【詳解】因為“不等式在上恒不成立”，所以等價于二次方程的判別式，即.
所以A選項, 是充分不必要條件，A正確；
B選項中，不可推導出，B不正確；
C選項中，不可推導出，故C不正確；
D選項中，不可推導出，故D不正確.
.
變式4.（2024·全國·高三專題練習）不等式（）恒不成立的一個充分不必要條件是（ ）
A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)＞1 C． D．a(chǎn)＞2
【答案】A
【分析】先求得不等式（）恒不成立的充要條件，再找其充分不必要條件.
【詳解】不等式（）恒不成立，顯然不不成立，
故應滿足 ，解得，所以不等式（）恒不成立的充要條件是，A、C選項不能推出，B選項是它的充要條件，可以推出，但反之不不成立，故是的充分不必要條件.
變式5.（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預測）命題“”是真命題的一個必要不充分條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)恒不成立問題分析可得命題“”是真命題等價于“”，結合充分、必要條件分析判斷.
【詳解】若命題“”是真命題，則，
可知當時，取到最大值，解得，
所以命題“”是真命題等價于“”.
因為，故“”是“”的必要不充分條件，故A正確；
因為，故“”是“”的充要條件，故B錯誤；
因為，故“”是“”的充分不必要條件，故C錯誤；
因為與不存在包含關系，故“”是“”的即不充分也不必要條件，故D錯誤；
.
變式6.（2023秋·高一課時練習）方程有實根的充要條件是 ，方程有實根的一個充分而不必要條件可以是 .
【答案】 (答案不唯一)
【分析】由方程有實根，可得判別式非負，從而可得到其充要條件，當時方程有實根，而方程有實根時不一定有，從而可得到其一個充分不要條件，其實只要的取值能使判別式非負即可.
【詳解】解：因為方程有實根，
所以，即，解得，
反之，當時，，則方程有實根，
所以是方程有實根的充要條件，
當時，方程有實根，
而當方程有實根時不一定是，
所以是方程有實根的一個充分不要條件.
故答案為：；(答案不唯一).
變式7.【多選】（2024·全國·高一假期作業(yè)）設全集為U，在下列選項中，是的充要條件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CCD
【分析】利用維恩圖解決集合運算問題.
【詳解】
由維恩圖可知，A不是的充要條件，B，C，D都是的充要條件，
CD．
變式8.（2023秋·甘肅蘭州·高一校考期末）命題“”是真命題的充要條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】將問題轉化為在上恒不成立，可求出結果.
【詳解】因為命題“”是真命題，
所以在上恒不成立，
所以，即，
所以命題“”是真命題的充要條件是.
【方法技巧與總結】
探求充要條件一般有兩種方法
(1)先尋找必要條件，即將探求充要條件的對象視為結論，尋找使之不成立的條件；再證明此條件是該對象的充分條件，即從充分性和必要性兩方面說明．
(2)將原命題進行等價變形或轉換，直至獲得其不成立的充要條件，探求的過程同時也是證明的過程，因為探求過程每一步都是等價的，所以不需要將充分性和必要性分開來證．
【題型3：充分條件、必要條件、充要條件的應用】
例3．（2024·上海長寧·統(tǒng)考二模）若“”是“”的充分條件，則實數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】由充分條件定義直接求解即可.
【詳解】“”是“”的充分條件，，，
即實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
變式1.（2023秋·陜西安康·高一校聯(lián)考期末）已知條件，條件，且是的必要條件，求的取值集合．
【答案】
【分析】根據(jù)一元二次方程的解法解命題p可得A={－3,2}，B={x|mx＋10}，結合必要條件的定義可得B A，分類討論B的情況即可求值.
【詳解】條件p：{x|x2＋x－60}{－3,2}A，條件q：{x|mx＋10}B，
因為p是q的必要條件，所以B A.
所以或{－3}或{2}．
當m0時，滿足題意．
當m≠0時，
若B{－3}，則－3m＋10，解得m.
若B{2}，則2m＋10，解得m－.
綜上可得，m的取值集合是.
變式2.（2024·全國·高一專題練習）已知P{x|a－4【答案】{a|－1≤a≤5}
【解析】因為“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，所以Q P。
所以解得－1≤a≤5，
即a的取值范圍是{a|－1≤a≤5}。
變式3.（2024·全國·高一專題練習）已知:或，:，若是的充分不必要條件，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設表示的集合為或，表示的集合為，
由是的充分不必要條件，可得是的真子集，利用數(shù)軸作圖如下：
所以，.
變式4．（2023秋·湖北武漢·高一期中）已知p：x>1或x<-3，q：x>a(a為實數(shù))．若 q的一個充分不必要條件是 p，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由充分不必要條件的概念轉化為集合真子集的關系求解參數(shù)的取值范圍即可.
【詳解】由已知得 p：-3≤x≤1， q：x≤a．
設，
若 p是 q的充分不必要條件，則 p q， q p，
所以集合是集合的真子集.
所以．
故答案為：.
變式5.（2024·全國·高三專題練習）已知集合，．若“”是“”的充分不必要條件，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】若“”是“”的充分不必要條件，則，列出不等式組求解即可.
【詳解】若“”是“”的充分不必要條件，則，
所以，解得，即的取值范圍是.
.
變式6.（2023秋·云南大理·高一統(tǒng)考期末）若“不等式不成立”的充要條件為“”，則實數(shù)的值為 .
【答案】
【分析】解不等式，根據(jù)充要條件的定義可得出關于的等式，解之即可.
【詳解】解不等式得，
因為“不等式不成立”的充要條件為“”，所以，解得，
所以，.
故答案為：.
變式7.（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）已知，，若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】．
【分析】由題意可得是的真子集，從而有或，求解即可.
【詳解】因為p是q的必要不充分條件，
所以是的真子集，
故有或
解得.
又，所以實數(shù)m的取值范圍為．
變式8.（2023秋·河南濮陽·高一濮陽一高校考期中）已知，或，若的必要不充分條件是，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)充分必要條件的定義求解.
【詳解】由題可得，，
因為的必要不充分條件是，
所以，
故答案為: .
變式9.（2024·高一單元測試）已知集合，集合．
(1)當時，求；
(2)當B為非空集合時，若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）分別求出集合，然后計算，最后；
（2）由題意知集合是集合的真子集，建立不等式組求解即可.
【詳解】（1）∵ ，
∴ ．
當時，．
∴，
所以，或．
（2）∵為非空集合，是的充分不必要條件，
則集合是集合的真子集，
∴ ，
解得：，
∴m的取值范圍是．
變式10.（2024·高一單元測試）已知全集，集合，.
(1)當時，求和；
(2)若“”是“”不成立的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)集合并集、交集、補集運算求解即可；
（2）根據(jù)充分不必要條件轉化為集合的包含關系求解即可
【詳解】（1）當時，集合，
因為，所以.
所以，
（2）因為“”是“”不成立的充分不必要條件，
所以是的真子集，而不為空集，
所以，因此.
變式11.（2024·全國·高一專題練習）設集合，命題，命題
(1)若是的充要條件，求正實數(shù)的取值范圍；
(2)若是的充分不必要條件，求正實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根據(jù)是的充要條件轉化為求解即可；
（2）根據(jù)是的充分不必要條件，得真包含于，列出不等式求解即可.
【詳解】（1）由條件， 是的充要條件，
得，即，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
（2）由是的充分不必要條件，得真包含于，
所以，或，解得，
綜上實數(shù)的取值范圍是.
變式12.（2023秋·云南昆明·高一統(tǒng)考期中）已知集合， ，請在①充分條件，②必要條件，③充要條件這三個條件中任選一個，補充在下面問題（2）中，若問題（2）中的實數(shù)存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．
(1)若，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若是的________條件，判斷實數(shù)是否存在？
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）由集合運算得出集合關系，通過包含得出結果；
（2）分別將題目中給出的三個不同條件轉化為集合之間的包含（或相等）關系，根據(jù)集合之間的包含（或相等）關系，得出結果.
【詳解】（1）若，則，
則，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是．
（2）若選擇條件，即是的充分條件，則，
所以，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是；
若選擇條件，即是的必要條件，則，
所以，解得．
又，所以，
所以實數(shù)的取值范圍是；
若選擇條件，即是的充要條件，則，
所以，方程組無解，
所以不存在滿足條件的實數(shù)．
變式13.（2023春·陜西西安·高二西安市第三中學校考期末）已知命題，當命題為真命題時，實數(shù)的取值集合為A．
(1)求集合A；
(2)設集合，若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意可知有解，利用其判別式大于等于0即可求得答案；
（2）結合題意推出且，討論B是否為空集，列出相應不等式（組），求得答案.
【詳解】（1）因為為真命題，所以方程有解，即，
所以，即；
（2）因為是的必要不充分條件，所以且，
i）當時，，解得；
ii）當時，，且等號不會同時取得，
解得，
綜上，.
變式14.（2024·全國·高一專題練習）已知p：，q：．
（1）若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的范圍；
（2）若是的必要不充分條件，求實數(shù)m的范圍．
【答案】（1），；（2），．
【解析】（1）解不等式得，
是的必要不充分條件，
，解得，，
即實數(shù)的范圍為，；
（2）是的必要不充分條件，
是的充分不必要條件，
故，解得，，
即實數(shù)的范圍為，．
【方法技巧與總結】
根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件求參數(shù)的取值范圍
根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件求參數(shù)的取值范圍時，主要根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件與集合間的關系，將問題轉化為相應的兩個集合之間的包含關系，然后建立關于參數(shù)的不等式(組)進行求解．
【題型4：充分性與必要性的證明】
例4.（2024·全國·高一專題練習）已知，求證：的充要條件是．
【答案】見解析
【解析】證明必要性：
因為，所以．
所以．
證明充分性：
因為，
即，
又，所以且．
因為，所以，即．
綜上可得當時，的充要條件是．
變式1.（2023秋·上海黃浦·高一格致中學校考階段練習）“關于的方程有實數(shù)根”是“”的什么條件？請證明你的結論．
【答案】必要非充分條件，證明見解析.
【分析】根據(jù)一元二次函數(shù)的判別式和充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】“關于的方程有實數(shù)根”是“”必要非充分條件．
證明：
先證充分性不不成立：
取，此時方程有實數(shù)根，
但此時，因此充分性不不成立．
再證必要性不成立：
當時，恒不成立，
所以方程有實數(shù)根，
即必要性不成立.
所以“關于的方程有實數(shù)根”是“”必要非充分條件．
變式2.（2023秋·高一課時練習）已知x，y∈R，求證:xy=0是x2+y2=0的必要不充分條件.
【答案】證明見解析
【分析】根據(jù)充分必要條件的定義證明．
【詳解】必要性：對于x，y∈R，若x2+y2=0，
則x=0，y=0，即xy=0，
故xy=0是x2+y2=0的必要條件.
充分性：對于x，y∈R，若xy=0，例如x=0，y=1，但x2+y2≠0，充分性不不成立，
故xy=0不是x2+y2=0的充分條件.
綜上所述，對于x，y∈R，xy=0是x2+y2=0的必要不充分條件.
變式3.（2024·全國·高一專題練習）證明：“”是“關于的方程有一正一負根”的充要條件.
【答案】證明見解析
【解析】充分性：若，則關于的方程有一正一負根，證明如下：
當時，，
所以方程有兩個不相等的實根，
設兩根分別為，，則，
所以方程有一正一負根，故充分性不成立，
必要性：若“關于的方程有一正一負根”，則，證明如下：
設方程一正一負根分別為，，
則，
所以，所以若“關于的方程有一正一負根”，
則，故必要性不成立，
所以“”是“關于的方程有一正一負根”的充要條
變式4.（2023秋·安徽淮南·高一校聯(lián)考階段練習）已知集合，．
(1)若“，”為假命題，求的取值范圍；
(2)求證：至少有2個子集的充要條件是，或．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由已知，先求解出集合，然后根據(jù)，將集合分為和兩種情況討論，分別列式求解即可；
（2）由已知，先有或，證明至少有2個子集，即證明充分性，然后再根據(jù)至少有2個子集，求解參數(shù)的范圍與或比較即可證明其必要性.
【詳解】（1）由已知，集合，所以集合．
因為“，”為假命題，所以．
當時，，解得；
當時，要使，則，，且，，
即，解得或或或．
綜上，實數(shù)m的取值范圍為．
（2）證明：充分性：若，或，則至少有2個子集．
當，或時，，方程有解，
集合至少有1個元素，至少有2個子集，充分性得證；
必要性：若至少有2個子集，則或．
若至少有2個子集，則至少有1個元素，
方程有解，，解得或，
必要性得證．
綜上，至少有2個子集的充要條件是或．
變式5.（2023秋·河南許昌·高一校考階段練習）求證：方程與有一個公共實數(shù)根的充要條件是.
【答案】證明見解析.
【分析】分充分性和必要性證明，先由兩方程有一個公共實數(shù)根求出參數(shù)的取值，證出必要性，再證明充分性即可．
【詳解】必要性：若方程與有一個公共實數(shù)根，設為，
則
兩式相減得：
或
若，兩個方程均為無解，
故，代入可得.
充分性：當時，，解得；
，解得；
兩個方程有公共根為1.
綜上所述，方程與有一個公共實數(shù)根的充要條件是.
【方法技巧與總結】
充分、必要、充要條件的證明
1、證明“充分不必要條件”“必要不充分條件”，一般先證明一個方面，然后驗證另一個方面不不成立。
2、證明“充要條件”一般應分兩個步驟，即分別證明“充分性”與“必要性”，但千萬要注意“誰”是“誰”的充分條件，“誰”是“誰”的必要條件。
盡管證明充要條件問題中前者可以是后者的充分條件也可以是必要條件，但還是不能把步驟顛倒了。
一般地，證明不成立的充要條件為，在證明充分性時，應以為“已知條件”，是在該步中要證明的“結論”，即；在證明必要性時，則是以為“已知條件”，在該步中要證明的“結論”，即
一、單選題
1．（23-24高一上·廣東佛山·階段練習）關于的一元二次方程有實數(shù)解的一個必要不充分條件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由可得，根據(jù)充分、必要條件的定義，結合選項即可求解.
【詳解】因為一元二次方程有實根，
所以，解得.
又是的真子集，
所以“”是“”的必要不充分條件.
2．（23-24高二下·黑龍江·期末）褐馬雞，屬于馬雞的一種，是中國特產(chǎn)珍稀的鳥類.若甲是一只鳥，則“甲是馬雞”是“甲是褐馬雞”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據(jù)充分、必要條件的判定方法進行判定.
【詳解】由“甲是馬雞”不能推出“甲是褐馬雞”，由“甲是褐馬雞”可推出“甲是馬雞”，
所以“甲是馬雞”是“甲是褐馬雞”的必要不充分條件.
3．（2024·山西朔州·模擬預測）設，則“且”是“”的（ ）.
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)題意結合充分、必要條件分析判斷.
【詳解】若且，則，即充分性不成立；
若，例如，滿足，
但不滿足且，即必要性不不成立；
綜上所述：“且”是“”的充分不必要條件.
.
4．（23-24高三上·江蘇無錫·階段練習）已知，若集合，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，分別驗證充分性以及必要性即可得到結果.
【詳解】若，則，所以，故充分性滿足；
若，則或，顯然必要性不滿足；
所以“”是“”的充分不必要條件．
.
5．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要條件，則整數(shù)（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】解絕對值不等式，根據(jù)是的充要條件，得到不等式，解得，得到答案.
【詳解】，
由于是的充要條件，，
所以，解得，
故整數(shù).
6．（23-24高一上·上海·期末）的一個充要條件是（ ）
A． B．
C．， D．，
【答案】A
【分析】根據(jù)不等式的基本性質，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.
【詳解】由不等式，可得，即，所以A符合題意；
由，可得或，所以選項B是的充分不必要條件；
選項C和D都為的既不充分也不必要條件.
.
二、填空題
7．（2023高三·全國·專題練習）已知命題，若是的充要條件，則 ．
【答案】-1
【分析】設，，由是的充要條件，得求解即可.
【詳解】由題意得，，得，
設，，由是的充要條件，得，
即，得．
故答案為：-1
8．（24-25高一上·上海·期中）不等式不成立的充分非必要條件是，則m的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)不成立的充分非必要條件是，列不等式組求解即可.
【詳解】由題知是的真子集，
所以且等號不同時不成立，
解得，
所以m的取值范圍是.
故答案為：.
9．（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）已知，設；．若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】利用給定條件得到，，再轉化為子集問題求解即可.
【詳解】若是的充分不必要條件，則，，
故有，解得，又，故.
故答案為：
10．（24-25高一上·上海·隨堂練習）下列“若，則”形式的命題中，是的充分條件的有 ．
（1）若，則；
（2）若兩個三角形的三邊成比例，則這兩個三角形相似；
（3）若，則；
（4）若，則，．
【答案】（1）（2）（3）
【分析】根據(jù)充分條件的定義逐一判斷即可.
【詳解】（1）由，可以推出，所以命題（1）符合題意；
（2）由兩個三角形的三邊對應成比例，可以推出這兩個三角形相似，所以命題（2）符合題意；
（3）由，可以推出，所以命題（3）符合題意；
（4）由，得或，所以不一定推出，所以命題（4）不符合題意.
故答案為：（1）（2）（3）
三、解答題
11．（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）下列命題中，判斷條件是條件的什么條件．
(1)，；
(2)是直角三角形，是等腰三角形；
(3)：四邊形的對角線互相平分，：四邊形是矩形；
(4)或，；
(5)，：方程有實數(shù)根．
【答案】(1)必要非充分條件
(2)既非充分又非必要條件
(3)必要非充分條件
(4)充要條件
(5)充分非必要條件
【分析】（1）利用絕對值的性質判斷即可.
（2）利用等腰三角形和直角三角形的定義判斷即可.
（3）利用矩形的性質判斷即可.
（4）解根式方程證明即可.
（5）利用一元二次方程的判別式判斷即可.
【詳解】（1）∵，但，∴是的必要非充分條件．
（2）∵是直角三角形是等腰三角形；
是等腰三角形是直角三角形，
∴是的既非充分又非必要條件．
（3）∵四邊形的對角線互相平分四邊形是矩形；
四邊形是矩形四邊形的對角線互相平分，∴是的必要非充分條件．
（4）或；
或，所以是的充要條件．
（5），即方程有實根；
而方程有實根，即，
所以是的充分非必要條件．
12．（24-25高一上·上海·課堂例題）用“”表示下列陳述句與之間的推出關系：
(1)：，：；
(2)：既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)，：是10的倍數(shù)；
(3)：是偶數(shù)，：是偶數(shù)．
【答案】(1)，．
(2)，．
(3)，．
【分析】（1）求解方程即可.
（2）利用偶數(shù)和倍數(shù)的性質求解即可.
（3）利用偶數(shù)的性質求解即可.
【詳解】（1）若，則，那么必有，∴；
反之，若，則，不能推出，綜合得，．
（2）“既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)”，則有“是10的倍數(shù)”，
反之顯然也不成立．綜合得，．
（3）若是偶數(shù)，則、同為偶數(shù)或、同為奇數(shù)，
若、同為偶數(shù)，根據(jù)偶數(shù)的三次冪為偶數(shù)，且偶數(shù)與偶數(shù)的和為偶數(shù)，
可知也為偶數(shù)；同理，若與同為奇數(shù)，根據(jù)奇數(shù)的三次冪為奇數(shù)，
且奇數(shù)與奇數(shù)的和為偶數(shù)，可知也為偶數(shù)，∴；
反之，當是偶數(shù)時，有、同奇或同偶，∴與同奇或同偶．
∴為偶數(shù)，∴．綜合得，．
13．（23-24高一上·江蘇連云港·期末）已知集合，，全集
(1)當時，求
(2)若“”是“”的必要條件，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根據(jù)交集定義直接求解即可；
（2）根據(jù)必要條件定義可得，由包含關系可構造不等式組求得結果.
【詳解】（1）當時，，.
（2）“”是“”的必要條件，，
又，，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.
14．（24-25高一上·上海·課堂例題）已知是實數(shù)，集合，．求證：“”是“”的充要條件．
【答案】證明見解析
【分析】利用充分性和必要性的定義求解即可.
【詳解】充分性：當時，，
則；
必要性：若，則，
所以，即；
綜上，“”是“”的充要條件．
15．（23-24高一上·云南德宏·期末）設集合，集合或．
(1)當時，求，；
(2)設命題，命題，若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)，或
(2)
【分析】（1）根據(jù)交集、并集的知識求得正確答案.
（2）根據(jù)充分不必要條件列不等式，由此求得的取值范圍.
【詳解】（1）當時，；
所以，或．
（2）若是的充分不必要條件，則是的真子集；
∴或，解得：或，
所以，實數(shù)的取值范圍是．
16．（23-24高二下·河北·期末）已知或.
(1)若命題是真命題，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)題意得到是假命題，結合一元二次方程的性質，列出不等式即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結論，得出命題是真命題的范圍，再將問題轉化為集合間的真子集關系，從而得到不等式組即可求解.
【詳解】（1）因為命題是真命題，所以命題是假命題，即關于的方程無實數(shù)根.
當時，方程無解，符合題意；
當時，，解得.
故實數(shù)的取值范圍是.
（2）由（1）知若命題是真命題，則或.
因為命題是命題的必要不充分條件，
所以或 或，
則解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
17．（24-25高一上·全國·課堂例題）證明：是一元二次方程有兩個異號實根的充要條件．
【答案】證明見解析
【分析】先證明充分性，再證明必要性即可．
【詳解】證明：充分性：若，則，
方程有兩個實根，，
根據(jù)根與系數(shù)的關系得．
所以方程有兩個異號實根．
必要性：若一元二次方程有兩個異號實根，，
則，即．
所以是一元二次方程有兩個異號實根的充要條件．
18．（23-24高一上·遼寧葫蘆島·期末）已知集合，集合，集合，且．
(1)求實數(shù)a的值組成的集合；
(2)若，是的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出集合，然后根據(jù)得到，由此分析集合并求解出的值，則結果可知；
（2）先求解出，然后將問題轉化為“是C的真子集”，由此列出關于的不等式，則結果可求.
【詳解】（1）因為，
由，知，則或或，
當時，所以，
當時，所以，
當時，所以，
所以的取值集合為．
（2）由題意得，，故，
又是的充分不必要條件，
所以是的真子集，于是，
解得：，經(jīng)檢驗符合條件，
綜上，實數(shù)m的取值范圍是．
19．（23-24高一上·甘肅武威·階段練習）已知或．
(1)若是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）先求出范圍，依題意是的充分條件，由集合之間的包含關系，列出不等式求解即可；
（2）先寫出的范圍，由p是的必要不充分條件，則表示的集合是所表示集合的真子集，列出不等式求解即可.
【詳解】（1）因為p：，所以p：，即，
因為p是q的充分條件，所以或，
解得或，即實數(shù)的取值范圍是或；
（2）依題意，：，由（1）知p：，
又p是的必要不充分條件，所以，
解得，即實數(shù)m的取值范圍是．
20．（23-24高二下·寧夏銀川·期末）已知p:關于x的方程有實數(shù)根，．
(1)若命題是假命題，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由命題是假命題，可得命題是真命題，則由，求出的取值范圍；
（2）由是的必要不充分條件，可得出兩個集合的包含關系，由此列出不等式求解即可.
【詳解】（1）因為命題是假命題，則命題是真命題，
即關于的方程有實數(shù)根，
因此，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
（2）由（1）知，命題是真命題，即，
因為命題是命題的必要不充分條件，則，
因此，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
21．（19-20高一上·上海寶山·階段練習）已知集合
(1)判斷8，9，10是否屬于集合A；
(2)已知集合，證明：“”的充分條件是“”；但“”不是“”的必要條件；
(3)寫出所有滿足集合A的偶數(shù).
【答案】(1)，，
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）由，即可證，若，而，列方程組判斷是否存在整數(shù)解，即可判斷10是否屬于A.
（2）由，結合集合A的描述知，由（1），而，即可證結論；
（3）由集合A的描述：，討論m，n同奇或同偶、一奇一偶，即可確定的奇偶性，進而寫出所有滿足集合A的偶數(shù).
【詳解】（1），，故，，
假設，，則，且，
由，得或，顯然均無整數(shù)解，
∴，
綜上，有：，，；
（2）集合，則恒有，
∴，即一切奇數(shù)都屬于A，即，則必有；
又，而，即，推不出，
∴“”的充分條件是“”；但“”不是“”的必要條件；
（3）集合，，
①當m，n同奇或同偶時，均為偶數(shù)，為4的倍數(shù)；
②當m，n一奇一偶時，均為奇數(shù)，為奇數(shù)，
綜上，所有滿足集合A的偶數(shù)為．
【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵在于根據(jù)集合的性質，應用因式分解、恒等轉化、代數(shù)式的奇偶性討論，判斷元素與集合的關系，證明條件間的充分、必要關系，確定滿足條件的數(shù)集.
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)1.2.3 充分條件、必要條件
課程標準 學習目標
1.理解充分條件、必要條件的概念； 2.正確判斷p是q的充分條件或必要 條件； 3.理解充要條件的概念，并會判斷和 證明p是q的充要條件. 1.理解充分條件、必要條件與判定定理、性質定理及其數(shù)學概念之間的關系； 2.經(jīng)歷充分條件、必要條件概念的形成過程，體驗有具體到一般的思維方法； 3.會判斷p是q的什么條件； 4.通過實例體會對理解抽象概念的作用； 5.通過對充分條件和必要條件與集合的關系的教學，建立概念間的多元聯(lián)系，培養(yǎng)同學們多角度審視問題的習慣；
知識點01 充分條件與必要條件
“若p，則q”為真命題 “若p，則q”為假命題
推出關系 p q p q
條件關系 p是q的充分條件 q是p的必要條件 p不是q的充分條件 q不是p的必要條件
定理關系 判定定理給出了相應數(shù)學結論不成立的充分條件 性質定理給出了相應數(shù)學結論不成立的必要條件
一般地，數(shù)學中的每一條判定定理都給出了相應數(shù)學結論不成立的一個充分條件．數(shù)學中的每一條性質定理都給出了相應數(shù)學結論不成立的一個必要條件．
注意：對于“p q”，蘊含以下多種解釋：
“若p，則q”形式的命題為真命題；
（2）由條件p可以得到結論 q；
（3）p是q的充分條件或q的充分條件是p；
（4）只要有條件p，就一定有結論 q，即p對于q是充分的；
（5）q是p的必要條件或p的必要條件是q；
（6）一旦q不不成立，p一定也不不成立，q不成立對于p不成立是必要的.
顯然，p是q的充分條件與q是p的必要條件表述的是同一個邏輯關系，即p q，只是說法不同而已.
【即學即練1】（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）“”是“”的________條件，“”是“”的________條件（用“充分”“必要”填空）．
【即學即練2】（2024·高一課時練習）關于x的方程有實根的一個充分條件是（ ）
A． B．
C． D．
知識點02 充分條件、必要條件與充要條件
如果p q，則稱p是q的充分條件，q是p的必要條件. 一般地，數(shù)學中的每一條判定定理都給出了相應數(shù)學結論不成立的一個充分條件；每一條性質定理都給出了相應數(shù)學結論不成立的一個必要條件；每一條數(shù)學定義都給出了相應數(shù)學結論不成立的一個充要條件
1、充分不必要條件：如果且，則稱是的充分不必要條件；
2、必要不充分條件：如果且，則稱是的必要不充分條件；
3、充要條件：如果且，則稱是的充分必要條件，簡稱充要條件；
4、既不充分也不必要條件：如果且，則稱是的既不充分也不必要條件
【即學即練3】（2023·高一單元測試）若，則“”的充分不必要條件是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【即學即練4】（2023秋·湖南邵陽·高一統(tǒng)考期末）對任意的實數(shù)，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
知識點03 充分必要條件與集合的關系
若條件p，q以集合的形式出現(xiàn)，即A{x|p(x)}，B{x|q(x)}，
則由A B可得，p是q的充分條件，
①若AB，則p是q的充分不必要條件；
②若A B，則p是q的必要條件；
③若AB，則p是q的必要不充分條件；
④若AB，則p是q的充要條件；
⑤若A B且A B，則p是q的既不充分也不必要條件．
小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要條件，大集合是小集合的必要不充分條件；
若兩個集合范圍一樣，就是充要條件的關系；
【即學即練5】（2024·高一單元測試）已知全集，集合，.
(1)當時，求和；
(2)若“”是“”不成立的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍.
難點：充分條件、必要條件、充要條件的應用
已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要條件．求實數(shù)a的取值范圍．
【題型1：充分條件、必要條件、充要條件的判斷】
例1.（2024·全國·高一專題練習）“不到長城非好漢，屈指行程二萬”，出自毛主席1935年10月所寫的一首詞《清平樂·六盤山》，反映了中華民族的一種精神氣魄，一種積極向上的奮斗精神.從數(shù)學邏輯角度分析，其中“好漢”是“到長城”的（ ）
A．充分條件 B．必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
變式1.（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）已知，，則是的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
變式2.（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）下列命題中，p是q的什么條件？
(1)p：四邊形的對角線相等，q：四邊形是矩形；
(2)p：，q：.
變式3.（2023春·山東濱州·高二校考階段練習）指出下列各組命題中，p是q的什么條件？q是p的什么條件？（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中選一種作答）
(1)p：x為自然數(shù)，q：x為整數(shù)；
(2)p：，q：；
(3)p：同位角相等，q：兩直線平行；
(4)p：四邊形的兩條對角線相等，q：四邊形是平行四邊形．
變式4.（2024·四川遂寧·四川省遂寧市第二中學校校考模擬預測）明——羅貫中《三國演義》第49回“欲破曹公，宜用火攻;萬事倶備，只欠東風”，比喻一切都準備好了，只差最后一個重要的條件.你認為“東風”是“赤壁之戰(zhàn)東吳打敗曹操”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
變式5.（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）“”是“”的 條件．
變式6.（2023春·河北保定·高二定州市第二中學校考階段練習）設，則“”是“”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
變式7.（2023春·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
變式8.（2023春·河北滄州·高二統(tǒng)考期末）若，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
變式9.（2024·全國·高一假期作業(yè)）設：或；：或，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
變式10.（2024·全國·高三專題練習）是方程有實根且的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
變式11.（2023春·四川德陽·高二德陽五中校考階段練習）已知命題：，，則“”是“是真命題”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
變式12.【多選】（2023春·湖南常德·高一統(tǒng)考期末）下列命題正確的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要條件
B．命題“”的否定是“”
C．的充要條件是
D．若，則至少有一個大于1
變式13.【多選】（2023秋·江西贛州·高一統(tǒng)考期中）下列結論正確的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要條件
B．“”是“”的必要不充分條件
C．“，有”的否定是“，使”
D．“是方程的實數(shù)根”的充要條件是“”
變式14.（2023秋·江蘇連云港·高一連云港高中校考階段練習）已知下列所給的各組，中，是的充要條件的為（ ）
A．，
B．：兩個三角形全等，：兩個三角形的兩邊及其夾角分別對應相等
C．，
D．：兩直角三角形的斜邊相等，：兩直角三角形全等
【方法技巧與總結】
充分條件、必要條件、充要條件的判斷方法
（1）定義法
①分清命題的條件和結論：分清哪個是條件，哪個是結論．
②找推式：判斷“p q”及“q p”的真假．
③根據(jù)推式及條件得出結論．
（2）等價轉化法
①等價法：將命題轉化為另一個與之等價的且便于判斷真假的命題．
②逆否法：這是等價法的一種特殊情況．
若 p q，則p是q的必要條件，q是p的充分條件；
若 p q，且 q p，則p是q的必要不充分條件；
若 p q，則p與q互為充要條件；
若 p q，且 q p，則p是q的既不充分也不必要條件．
（3）集合法：寫出集合A{x|p(x)}及B{x|q(x)}，利用集合間的包含關系進行判斷．
若條件p，q以集合的形式出現(xiàn)，即A{x|p(x)}，B{x|q(x)}，
則由A B可得，p是q的充分條件，
①若AB，則p是q的充分不必要條件；
②若A B，則p是q的必要條件；
③若AB，則p是q的必要不充分條件；
④若AB，則p是q的充要條件；
⑤若A B且A B，則p是q的既不充分也不必要條件．
（4）傳遞法：若問題中出現(xiàn)若干個條件和結論，應根據(jù)條件畫出相應的推式圖，根據(jù)圖中推式的傳遞性進行判斷．
（5）特殊值法：對于選擇題，可以取一些特殊值或特殊情況，用來說明由條件(結論)不能推出結論(條件)，但是這種方法不適用于證明題．
注：充分必要條件判斷精髓：
小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要條件，大集合是小集合的必要不充分條件；若兩個集合范圍一樣，就是充要條件的關系；
【題型2：求條件(充分條件、必要條件和充要條件)】
例2．（2024·湖南衡陽·高二校聯(lián)考學業(yè)考試）使不等式不成立的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
變式1.（2024·全國·高三專題練習）已知p：，那么p的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
變式2.（2024·全國·高三對口高考）給出以下四個條件：①；②或；③；④且．其中可以作為“若，則”的一個充分而不必要條件的是 ．
變式3.（2023春·陜西商洛·高二校考階段練習）不等式“在上恒不成立”的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
變式4.（2024·全國·高三專題練習）不等式（）恒不成立的一個充分不必要條件是（ ）
A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)＞1 C． D．a(chǎn)＞2
變式5.（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預測）命題“”是真命題的一個必要不充分條件是（ ）
A． B． C． D．
變式6.（2023秋·高一課時練習）方程有實根的充要條件是 ，方程有實根的一個充分而不必要條件可以是 .
變式7.【多選】（2024·全國·高一假期作業(yè)）設全集為U，在下列選項中，是的充要條件的是（ ）
A． B． C． D．
變式8.（2023秋·甘肅蘭州·高一校考期末）命題“”是真命題的充要條件是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
探求充要條件一般有兩種方法
(1)先尋找必要條件，即將探求充要條件的對象視為結論，尋找使之不成立的條件；再證明此條件是該對象的充分條件，即從充分性和必要性兩方面說明．
(2)將原命題進行等價變形或轉換，直至獲得其不成立的充要條件，探求的過程同時也是證明的過程，因為探求過程每一步都是等價的，所以不需要將充分性和必要性分開來證．
【題型3：充分條件、必要條件、充要條件的應用】
例3．（2024·上海長寧·統(tǒng)考二模）若“”是“”的充分條件，則實數(shù)的取值范圍為 ．
變式1.（2023秋·陜西安康·高一校聯(lián)考期末）已知條件，條件，且是的必要條件，求的取值集合．
變式2.（2024·全國·高一專題練習）已知P{x|a－4變式3.（2024·全國·高一專題練習）已知:或，:，若是的充分不必要條件，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式4．（2023秋·湖北武漢·高一期中）已知p：x>1或x<-3，q：x>a(a為實數(shù))．若 q的一個充分不必要條件是 p，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
變式5.（2024·全國·高三專題練習）已知集合，．若“”是“”的充分不必要條件，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式6.（2023秋·云南大理·高一統(tǒng)考期末）若“不等式不成立”的充要條件為“”，則實數(shù)的值為 .
變式7.（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）已知，，若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．
變式8.（2023秋·河南濮陽·高一濮陽一高校考期中）已知，或，若的必要不充分條件是，則的取值范圍是 .
變式9.（2024·高一單元測試）已知集合，集合．
(1)當時，求；
(2)當B為非空集合時，若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．
變式10.（2024·高一單元測試）已知全集，集合，.
(1)當時，求和；
(2)若“”是“”不成立的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍.
變式11.（2024·全國·高一專題練習）設集合，命題，命題
(1)若是的充要條件，求正實數(shù)的取值范圍；
(2)若是的充分不必要條件，求正實數(shù)的取值范圍.
變式12.（2023秋·云南昆明·高一統(tǒng)考期中）已知集合， ，請在①充分條件，②必要條件，③充要條件這三個條件中任選一個，補充在下面問題（2）中，若問題（2）中的實數(shù)存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．
(1)若，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若是的________條件，判斷實數(shù)是否存在？
變式13.（2023春·陜西西安·高二西安市第三中學校考期末）已知命題，當命題為真命題時，實數(shù)的取值集合為A．
(1)求集合A；
(2)設集合，若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．
變式14.（2024·全國·高一專題練習）已知p：，q：．
（1）若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的范圍；
（2）若是的必要不充分條件，求實數(shù)m的范圍．
【方法技巧與總結】
根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件求參數(shù)的取值范圍
根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件求參數(shù)的取值范圍時，主要根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件與集合間的關系，將問題轉化為相應的兩個集合之間的包含關系，然后建立關于參數(shù)的不等式(組)進行求解．
【題型4：充分性與必要性的證明】
例4.（2024·全國·高一專題練習）已知，求證：的充要條件是．
變式1.（2023秋·上海黃浦·高一格致中學校考階段練習）“關于的方程有實數(shù)根”是“”的什么條件？請證明你的結論．
變式2.（2023秋·高一課時練習）已知x，y∈R，求證:xy=0是x2+y2=0的必要不充分條件.
變式3.（2024·全國·高一專題練習）證明：“”是“關于的方程有一正一負根”的充要條件.
變式4.（2023秋·安徽淮南·高一校聯(lián)考階段練習）已知集合，．
(1)若“，”為假命題，求的取值范圍；
(2)求證：至少有2個子集的充要條件是，或．
變式5.（2023秋·河南許昌·高一校考階段練習）求證：方程與有一個公共實數(shù)根的充要條件是.
【方法技巧與總結】
充分、必要、充要條件的證明
1、證明“充分不必要條件”“必要不充分條件”，一般先證明一個方面，然后驗證另一個方面不不成立。
2、證明“充要條件”一般應分兩個步驟，即分別證明“充分性”與“必要性”，但千萬要注意“誰”是“誰”的充分條件，“誰”是“誰”的必要條件。
盡管證明充要條件問題中前者可以是后者的充分條件也可以是必要條件，但還是不能把步驟顛倒了。
一般地，證明不成立的充要條件為，在證明充分性時，應以為“已知條件”，是在該步中要證明的“結論”，即；在證明必要性時，則是以為“已知條件”，在該步中要證明的“結論”，即
一、單選題
1．（23-24高一上·廣東佛山·階段練習）關于的一元二次方程有實數(shù)解的一個必要不充分條件的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·黑龍江·期末）褐馬雞，屬于馬雞的一種，是中國特產(chǎn)珍稀的鳥類.若甲是一只鳥，則“甲是馬雞”是“甲是褐馬雞”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（2024·山西朔州·模擬預測）設，則“且”是“”的（ ）.
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．（23-24高三上·江蘇無錫·階段練習）已知，若集合，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要條件，則整數(shù)（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（23-24高一上·上海·期末）的一個充要條件是（ ）
A． B．
C．， D．，
二、填空題
7．（2023高三·全國·專題練習）已知命題，若是的充要條件，則 ．
8．（24-25高一上·上海·期中）不等式不成立的充分非必要條件是，則m的取值范圍是 ．
9．（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）已知，設；．若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是 ．
10．（24-25高一上·上海·隨堂練習）下列“若，則”形式的命題中，是的充分條件的有 ．
（1）若，則；
（2）若兩個三角形的三邊成比例，則這兩個三角形相似；
（3）若，則；
（4）若，則，．
三、解答題
11．（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）下列命題中，判斷條件是條件的什么條件．
(1)，；
(2)是直角三角形，是等腰三角形；
(3)：四邊形的對角線互相平分，：四邊形是矩形；
(4)或，；
(5)，：方程有實數(shù)根．
12．（24-25高一上·上海·課堂例題）用“”表示下列陳述句與之間的推出關系：
(1)：，：；
(2)：既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)，：是10的倍數(shù)；
(3)：是偶數(shù)，：是偶數(shù)．
13．（23-24高一上·江蘇連云港·期末）已知集合，，全集
(1)當時，求
(2)若“”是“”的必要條件，求實數(shù)的取值范圍．
14．（24-25高一上·上海·課堂例題）已知是實數(shù)，集合，．求證：“”是“”的充要條件．
15．（23-24高一上·云南德宏·期末）設集合，集合或．
(1)當時，求，；
(2)設命題，命題，若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．
16．（23-24高二下·河北·期末）已知或.
(1)若命題是真命題，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.
17．（24-25高一上·全國·課堂例題）證明：是一元二次方程有兩個異號實根的充要條件．
18．（23-24高一上·遼寧葫蘆島·期末）已知集合，集合，集合，且．
(1)求實數(shù)a的值組成的集合；
(2)若，是的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．
19．（23-24高一上·甘肅武威·階段練習）已知或．
(1)若是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．
20．（23-24高二下·寧夏銀川·期末）已知p:關于x的方程有實數(shù)根，．
(1)若命題是假命題，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．
21．（19-20高一上·上海寶山·階段練習）已知集合
(1)判斷8，9，10是否屬于集合A；
(2)已知集合，證明：“”的充分條件是“”；但“”不是“”的必要條件；
(3)寫出所有滿足集合A的偶數(shù).
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