資源簡介

1.1.1集合及其表示方法
課程標準 學習目標
1.了解集合的含義和集合元素的特性，理解元素和集合的關系； 2.掌握幾個常用的數集的符號表示； 3.掌握用列舉法和描述法表示集合； 4.能夠用區間表示集合。 1.集合的含義及其描述法的理解； 2.用區間表示集合的應用； 3.對給出的集合進行化簡運算后用區間表示； 4.在理解集合表示方法的過程中，列舉法的理解，以及區間可以用數軸形象地表示，提高學生分析問題和解決問題的能力； 5.通過觀察身邊的實例，發現集合含義，體驗其現實意義。
知識點01 元素與集合的概念
1．元素：一般地，把研究對象統稱為元素，常用小寫的拉丁字母a，b，c…表示．
2.集合：把一些元素組成的總體叫做集合，(簡稱為集)，常用大寫拉丁字母A，B，C…表示．
3.空集：不含任何元素的集合稱為空集，記作.
【即學即練1】判斷下列每組對象，能組成一個集合的是（　　）
A．某校高一年級成績優秀的學生
B．直角坐標系中橫、縱坐標相等的點
C．不小于3的自然數
D．2022年第24屆冬季奧運會金牌獲得者
【答案】CCD
【分析】判斷是否滿足集合三要素中的確定性，得到答案.
【詳解】A中“成績優秀”沒有明確的標準，所以不能組成一個集合；
B、C、D中的對象都滿足確定性，所以能組成集合．
CD
知識點02 元素與集合的關系
1．屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A.
2．不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作a A.
【即學即練2】給出下列6個關系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正確命題的個數為（ ）
A．4 B．2 C．3 D．5
【答案】A
【解析】為無理數，有理數和無理數統稱為實數，所以，所以①正確；
是無理數，所以，所以②錯誤；
不是正整數，所以，所以③正確；
，所以④正確；
是無理數，所以，所以⑤正確；
，所以⑥錯誤.故選:A.
【即學即練3】用符號“∈”或“ ”填空：
1____N， －3____N， ___Q， ___N，
1__Z， －3___Q， 0___Z， ___R，
0___N*， π___R， ___Q， ___Z．
【答案】 ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈
【分析】利用元素與集合之間的關系以及常見數集的符號表示即可得出答案.
【詳解】表示自然數集；表示正整數集；
表示整數集；表示有理數集；表示實數集.
故答案為：；；；；；；；；；；；.
知識點03 集合元素的特點
1.確定性：集合的元素必須是確定的。
2.互異性：對于一個給定的集合，集合中的元素一定是不同的。
3.無序性：集合中的元素可以任意排列。
【即學即練4】若以集合A的四個元素a，b，c，d為邊長構成一個四邊形，則這個四邊形可能是(　　)
A．梯形 B．平行四邊形
C．菱形 D．矩形
【答案】A
【解析】由于a，b，c，d四個元素互不相同，故它們組成的四邊形的四條邊都不相等．
【即學即練5】數集中的x不能取的數值的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由解得；由解得．
∴x不能取的值的集合為．．
知識點04 集合相等
【即學即練6】集合相等：給定兩個集合A和B如果組成它們的元素完全相同就稱這兩個集合相等，記作A=B。
下列集合中，不同于另外三個集合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】選項A、B是集合的描述法表示，選項D是集合的列舉法表示，且都表示集合中只有一個元素2020，都是數集．
選項C它是由方程構成的集合，集合是列舉法且只含有一個方程．
知識點05 集合的分類
1.有限集：含有有限個元素的集合。
2.無限集：含有無限個元素的集合。
【即學即練7】判斷下列各組對象能否構成集合．若能構成集合，指出是有限集還是無限集；若不能構成集合，試說明理由．
(1)北京各區縣的名稱；
(2)尾數是5的自然數；
(3)我們班身高大于1.7m的同學．
【答案】(1)能；有限集；
(2)能；無限集；
(3)能；有限集.
【分析】根據集合的基本概念即得.
（1）因為北京各區縣的名稱是確定的，故北京各區縣的名稱能構成集合；因為北京各區縣是有限的，故該集合為有限集；
（2）因為尾數是5的自然數是確定的，故尾數是5的自然數能構成集合；因為尾數是5的自然數是無限的，故該集合為無限集；
（3）因為我們班身高大于1.7m的同學是確定的，故我們班身高大于1.7m的同學能構成集合；因為我們班身高大于1.7m的同學是有限的，故該集合為有限集.
知識點06 常見的數集及表示符號
數集 非負整數集(自然數集) 正整數集 整數集 有理數集 實數集
符號 N N*或N＋ Z Q R
【即學即練8】已知①；②；③0={0}；④；⑤；⑥，其中正確的個數為______.
【答案】3
【詳解】是無理數，屬于實數，①正確；
是分數，屬于有理數，②正確；
0表示一個元素，表示一個集合，③錯誤；
N表示從0開始的所有自然數集合，，④錯誤；
是無限不循環小數，屬于無理數，⑤錯誤；
Z表示所有整數的集合，-3是整數，，⑥正確；
故答案為：3.
知識點07 集合的表示方法
1.列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．
2.描述法：一般地，設A是一個集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．
注：用描述法表示集合
（1）首先應弄清楚集合的屬性，是數集、點集還是其他的類型．
一般地，數集用一個字母代表其元素，而點集則用一個有序數對來表示．
（2）若描述部分出現元素記號以外的字母，要對新字母說明其含義或取值范圍．
（3）多層描述時，應當準確使用“且”和“或”，所有描述的內容都要寫在集合內．
3.區間：在數學上，常常需要表示滿足一些不等式的全部實數所組成的集合．為了方便起見，我們引入區間的概念．
①一般區間的表示：設a，b是兩個實數，而且a在用區間表示連續的數集時，包含端點的那一端用中括號表示，不包含端點的那一端用小括號表示.
定義 名稱 符號 數軸表示
閉區間
開區間
半開半閉區間
半開半閉區間
②實數集R可以用區間表示為(－∞，＋∞)，“∞”讀作“無窮大”，“－∞”讀作“負無窮大”，“＋∞”讀作“正無窮大”．
③特殊區間的表示
定義 符號 數軸表示
≥
≤
【即學即練9】用列舉法表示下列集合：
(1)不大于10的非負偶數組成的集合；
(2)方程x22x的所有實數解組成的集合；
(3)直線y2x＋1與y軸的交點所組成的集合；
(4)由所有正整數構成的集合．
【解析】(1)因為不大于10是指小于或等于10，非負是大于或等于0的意思，所以不大于10的非負偶數集是 {0,2,4,6,8,10}．
(2)方程x22x的解是x0或x2，所以方程的解組成的集合為{0,2}．
(3)將x0代入y2x＋1，得y1，即交點是(0,1)，故交點組成的集合是{(0,1)}．
(4)正整數有1,2,3，…，所求集合為{1,2,3，…}．
【即學即練10】用描述法表示下列集合：
(1)正偶數集；
(2)被3除余2的正整數集合；
(3)平面直角坐標系中坐標軸上的點組成的集合．
【解析】　(1)偶數可用式子x2n，n∈Z表示，但此題要求為正偶數，故限定n∈N*，所以正偶數集可表示為{x|x2n，n∈N*}．
(2)設被3除余2的數為x，則x3n＋2，n∈Z，但元素為正整數，故n∈N，所以被3除余2的正整數集合可表示為{x|x3n＋2，n∈N}．
(3)坐標軸上的點(x，y)的特點是橫、縱坐標中至少有一個為0，即xy0，故平面直角坐標系中坐標軸上的點的集合可表示為{(x，y)|xy0}．
【即學即練11】下列三個集合：
①A{x|yx2＋1}；
②B{y|yx2＋1}；
③C{(x，y)|yx2＋1}．
(1)它們是不是相同的集合？
(2)它們各自的含義分別是什么？
【解析】(1)不相同．
(2)集合A{x|yx2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|yx2＋1}R，即AR；集合B{y|yx2＋1}的代表元素是y，滿足條件yx2＋1的y的取值范圍是y≥1，所以{y|yx2＋1}{y|y≥1}．集合C{(x，y)|yx2＋1}的代表元素是(x，y)，是滿足yx2＋1的數對．可以認為集合C是由坐標平面內滿足yx2＋1的點(x，y)構成的．
【即學即練12】用區間表示下列集合：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（3）；（4）；（5）.
【解析】直接把集合寫成區間的形式，注意含有等號的用閉區間，不含等號的用開區間.
【詳解】集合中六個集合對應的區間分別為（1），（2），（3），（4），（5），（6）.
【點睛】本題考查集合的區間表示，屬于基礎題.
易錯一　忽略集合元素的互異性
1．方程x2－(a＋1)x＋a0的解集為________．
正解：　x2－(a＋1)x＋a(x－a)(x－1)0，所以方程的解為1，a.
因此，若a1，則方程的解集為{1}；若a≠1，則方程的解集為{1，a}．
答案：　{1}(當a1時)或{1，a}(當a≠1時).
[易錯探因]　本題易錯的地方是忽略元素互異性，沒有考慮參數a的不確定性，從而得到錯誤的答案“方程的解集為{1，a}”．
[誤區警示]　當集合中元素含有參數時，求出參數的值后一定要代回檢驗，確保滿足集合中元素的互異性．
易錯二　忽略元素形式
2．集合A{(x，y)|y－x2＋6，x∈N，y∈N}用列舉法可表示為________．
正解：　x，y滿足條件y－x2＋6，x∈N，y∈N，
則有所以A{(0，6)，(1，5)，(2，2)}．
答案：　{(0，6)，(1，5)，(2，2)}
[易錯探因]　本題易錯的地方是忽略元素的形式，從而得到錯誤答案{0，6，1，5，2，2}．
【題型1：集合的概念】
例1：下列各組對象不能構成集合的是（ ）
A．上課遲到的學生
B．2024年高考數學難題
C．所有有理數
D．小于x的正整數
【答案】C
【分析】集合中元素具有確定性，對于每一個元素要么屬于集合，要么不屬于集合，構成集合的元素必要是確定的.
【詳解】對于B中難題沒有一個確定的標準，對同一題有人覺得難，但有人覺得不難，故2024年高考數學難題不能構成集合，組成它的元素是不確定的.
其它選項的對象都可以構成集合.
變式1：下列所給的對象能組成集合的是（ ）
A．“金磚國家”成員國 B．接近1的數
C．著名的科學家 D．漂亮的鮮花
【答案】A
【分析】利用集合元素的確定性對選項逐一分析，由此判斷出正確選項.
【詳解】對于A，“金磚國家”成員國即巴西，俄羅斯，印度，中國，南非，能組成集合，故A正確；
對于B，C，D三個選項來說，研究對象無法確定，所以不能組成集合.
.
變式2：下列說法正確的是（ ）
A．某個村子里的高個子組成一個集合
B．所有小正數組成一個集合
C．集合和表示同一個集合
D．這六個數能組成一個集合
【答案】D
【分析】根據集合的性質，結合各選項的描述判斷正誤.
【詳解】A：某個村子里的高個子，不符合集合中元素的確定性，不能構成集合，錯誤；
B：所有小正數，不符合集合中元素的確定性，不能構成集合，錯誤；
C：和中的元素相同，它們是同一個集合，正確；
D：中含有相同的數，不符合集合元素的互異性，錯誤.
變式3：判斷下列元素的全體可以組成集合的是（ ）
①湖北省所有的好學校；
②直角坐標系中橫坐標與縱坐標互為相反數的點；
③n的近似值；
④不大于5的自然數．
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】D
【分析】集合的元素具有確定性、互異性、無序性，據此即可選出正確選項．
【詳解】①“好學校”不具有確定性，因此①不能組成集合；
②直角坐標系中橫坐標與縱坐標互為相反數的點，滿足集合的元素的特征，
因此能組成集合；
③n的近似值不具有確定性，因此③不能組成集合；
④不大于5的自然數，滿足集合的元素的特征，因此④能組成集合．
．
變式4：下列所給的對象能構成集合的是__________．
（1）高中數學必修第一冊課本上所有的難題；（2）高一（3）班的高個子；
（3）英文26個字母；（4）中國古代四大發明；（5）方程的實數根.
【答案】（3）（4）（5）
【分析】由集合的三要素即可求解
【詳解】（1）：高中數學必修第一冊課本上所有的難題，“所有的難題”不確定，
（2）：高一（3）班的高個子，“高個子”不確定，不滿足集合的確定性，故（2）不能構成集合；
（3）：英文26個字母，是確定的且滿足互異性，故（3）能構成集合；
（4）：中國古代四大發明，是確定的且滿足互異性，故（4）能構成集合；
（5）方程沒有實數根，故能構成空集.
故能構成集合的是（3）（4）（5）
故答案為：（3）（4）（5）
【方法技巧與總結】
判斷一組對象組成集合的依據
判斷給定的對象能不能構成集合，關鍵在于能否找到一個明確的標準，對于任何一個對象，都能確定它是不是給定集合的元素．
【題型2：元素與集合的關系】
（一）判斷元素與集合的關系
例2：若是R中的元素，但不是Q中的元素，則a可以是（ ）
A．3.14 B．-5 C． D．
【答案】A
【分析】由代表實數集，代表有理數集，對四個數判斷是無理數即可.
【詳解】由題意知a是實數，但不是有理數，故a應為無理數，
故可以為.
.
變式1：下列說法正確的有（ ）
①；②；③；④；⑤
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】根據元素與集合的關系判斷即可.
【詳解】1是自然數，故，故①正確；
不是正整數，故，故②錯誤；
是有理數，故，故③正確；
是實數，故，故④錯誤；
是無理數，故，故⑤錯誤.
故說法正確的有2個.
故選:B.
變式2：用符號“”或“”填空．
______，______，______.
【答案】
【分析】根據R，N，Z所代表的集合，填入正確結果.
【詳解】因為R為實數集，N為自然數集，Z為整數集，
故，，
故答案為：，，.
變式3：【多選】已知集合，則有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】，所以，，，.B.
變式4：已知a、b、c為非零實數，記代數式的值所組成的集合為M，則下列判斷中正確的是（ ）
A．0M B．-4M C．2∈M D．4∈M
【答案】A
【分析】對a，b，c分類討論求出原代數式所有可能得值即可.
【詳解】令，
若全為正數，則 ；若全為負數，則，
若中有2個正數一個負數，則，若中有2個負數，1個正數，則，
；
.
變式5：已知集合，，．若，，．則下面結論中一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據集合的定義，設出的形式，計算后再根據集合中代表元素形式判斷．
【詳解】由題意，設，，下面的均為整數，
則，，
，不是偶數時，，
，
．
（二）根據元素與集合的關系求參數
例3:已知集合A含有兩個元素a和a2，若2∈A，則實數a的值為________．
【答案】或
【分析】根據元素與集合間的關系即可求解.
【詳解】因為2∈A，所以或，即或.
故答案為：或
變式1：【多選】設集合，且，則x的值可以為（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】CC
【分析】根據元素與集合的關系運算求解，注意檢驗，保證集合的互異性.
【詳解】∵，則有：
若，則，此時，不符合題意，故舍去；
若，則或，
當時，，符合題意；
當時，，符合題意；
綜上所述：或.
C.
變式2：已知集合A中元素x滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知條件列出不等式求解即可.
【詳解】∵，∴，解得，
又∵，∴，解得，
∴．
．
變式3：已知集合中有三個元素：，，，集合中也有三個元素：0，1，．
(1)若，求實數的值；
(2)若，求實數的值．
【答案】(1)的值為0或
(2)的值為
【分析】（1）若，則或，再結合集合中元素的互異性，能求出的值．
（2）當取0，1，時，都有，集合中的元素都有互異性，由此能求出實數的值．
【詳解】（1）集合中有三個元素：，，，，
或，
解得或，
當時，，，，不成立；
當時，，，，不成立．
的值為0或．
（2）集合中也有三個元素：0，1，，，
當取0，1，時，都有，
集合中的元素都有互異性，，，
．
實數的值為．
變式4：已知集合S滿足:若，則.請解答下列問題:
(1)若，則S中必有另外兩個元素，求出這兩個元素.
(2)證明:若，則.
(3)在集合S中，元素能否只有一個 若能，把它求出來;若不能，請說明理由.
【答案】(1)和.
(2)證明見解析
(3)不能，理由見解析
【分析】（1）由得到，進而求出，得到答案；
（2），進而得到，化簡得到答案；
（3）令，方程無解，得到結論.
【詳解】（1）因為，所以，
所以，所以，循環.
所以集合S中另外的兩個元素為和.
（2）由題意，可知且，
由，得，
即，
所以若，則.
（3）集合S中的元素不可能只有一個.
理由如下:令，
即.
因為，所以此方程無實數解，所以.
因此集合S中不可能只有一個元素.
【方法技巧與總結】
1.對元素和集合之間關系的兩點說明
（1）符號“∈”“”刻畫的是元素與集合之間的關系．對于一個元素a與一個集合A而言，只有“ ”與“ ”這兩種結果．
（2）∈和具有方向性，左邊是元素，右邊是集合，形如R∈0是錯誤的．
2.判斷元素和集合關系的兩種方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接給出的，只要判斷該元素在已知集合中是否給出即可．此時應首先明確集合是由哪些元素構成的．
(2)推理法：對于某些不便直接表示的集合，判斷元素與集合的關系時，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可．此時應首先明確已知集合的元素具有什么屬性，即該集合中元素要符合哪種表達式或滿足哪些條件．
【題型3：利用集合的互異性求參數】
例4：數集中的元素a不能取的值是__________.
【答案】0，1，2，
【分析】根據集合中的元素滿足互異性即可列不等式求解.
【詳解】由集合中的元素滿足互異性可知，解得且且且
故答案為：0，1，2，
變式1：“notebooks”中的字母構成一個集合，該集合中的元素個數是______________
【答案】7
【分析】根據集合中元素的互異性知集合中不能出現相同的元素.
【詳解】根據集合中元素的互異性，“notebooks”中的不同字母為“n，o，t，e，b，k，s”，共7個，故該集合中的元素個數是7；
故答案為：7.
變式2：一個書架上有九個不同種類的書各5本，那么由這個書架上的書組成的集合中含有_____個元素.
【答案】9
【分析】根據集合中的元素互異性求出答案.
【詳解】若集合中的元素滿足互異性，故九個不同種類的書，對應9個元素.
故答案為：9
變式3：集合中的三個元素分別表示某一個三角形的三邊長度，那么這個三角形一定不是（　　）
A．等腰三角形 B．銳角三角形
C．直角三角形 D．鈍角三角形
【答案】A
【分析】根據集合中元素的互異性可得答案.
【詳解】根據集合中元素的互異性得，
故三角形一定不是等腰三角形.
.
變式4：已知，則實數_______.
【答案】
【分析】討論、，結合集合元素的互異性確定參數a的值.
【詳解】若，則，不符合集合元素的互異性，排除；
若，則，可得或（舍），
所以，此時.
故答案為：
變式5：已知集合，，若，，則______.
【答案】
【解析】因為，所以或或，
解得或或，
因為，所以或或，
解得或或，
又因為，所以或，即.
故答案為：
【方法技巧與總結】互異性的主要作用是警示我們做題后要檢驗．特別是題中含有參數(字母)時，一定要檢驗求出的參數是否使集合的元素滿足互異性．
【題型4：根據集合中元素的個數求參數】
例5：由，，3組成的一個集合A，若A中元素個數不是2，則實數a的取值可以是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】由題意由，，3組成的一個集合A，A中元素個數不是2，
因為無解，故由，，3組成的集合A的元素個數為3，
故，即，即a可取2，
即A，B，C錯誤，D正確，
變式1：已知集合中的元素滿足：，且，又集合中恰有三個元素，則整數 ，集合中的元素是 ．
【答案】 6 3，4，5
【解析】由題意知，
又，，且集合P中恰有三個元素，所以，
此時集合P中的元素是3，4，5．
故答案為：6；3，4，5.
變式2：已知集合中有且僅有一個元素，那么的可能取值為（ ）
A．-1 B．2 C． D．0
【答案】D
【分析】對進行分類討論，結合判別式求得正確答案.
【詳解】或，
當時，，符合題意.
當時，，不符合題意.
當時，要使集合有且僅有一個元素，
則需，
解得或（舍去）
綜上所述，的可能取值為或，C選項符合.
變式3：已知集合中至多含有一個元素，則實數a的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】原問題轉化為方程至多只有一個根，分，即可求解.
【詳解】由題意，原問題轉化為方程至多只有一個根，
當時，方程為，解得，此時方程只有一個實數根，符合題意；
當時，方程為一元二次方程，所以，解得．
綜上，實數a的取值范圍為．
變式4：已知集合.
(1)若A中只有一個元素，求的值；
(2)若A中至少有一個元素，求的取值范圍.
【答案】(1)或
(2)
【分析】(1)針對和兩種情況分類討論，再轉化為一元一次方程和一元二次方程分別得出的值即可
(2)確定A中有兩個元素，可轉化為一元二次方程兩個不相等實數根進行求解，再結合第一問一個元素
的情況即可得出的取值范圍
【詳解】（1）由題意，當時，，得，集合A只有一個元素，滿足條件；當時，
為一元二次方程，，得，集合A只有一個元素，
A中只有一個元素時或.
（2）由A中至少有一個元素包含兩種情況，一個元素和兩個元素，A中有兩個元素時，并且
，得且，再結合A中一個元素的情況，的取值范圍為.
變式5：若集合中有2個元素，求k的取值范圍．
【答案】且．
【分析】根據一元二次方程根的情況即可由判別式求解.
【詳解】由題意得且，解得且.
故實數k的取值范圍為且．
【方法技巧與總結】
由集合中元素的特性求解字母取值(范圍)的步驟
【題型5：利用集合中元素的性質求集合元素個數】
例6：已知集合，，則集合B中元素個數為（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】A
【分析】根據給定條件分析a，b取值即可判斷作答.
【詳解】集合，，
則當時，有，當時，或，當時，或，
所以，集合B有中5個元素.
變式1：已知集合，則集合B中有________個元素．
【答案】6
【分析】由題意分類討論x的取值，確定y的值，即可求得答案.
【詳解】因為，所以．
當時，；
當時，或；
當時，．
故集合，即集合B中有6個元素，
故答案為：6
變式2：定義集合，設集合，，則中元素的個數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據集合的新定義求得，從而確定正確答案.
【詳解】因為，，
所以，
故中元素的個數為.
.
變式3：已知集合，，定義集合，則集合M中所有元素之和是_____．
【答案】6
【分析】根據集合M的定義列舉出M的元素，再求它們的和即可.
【詳解】由題設，時，；
時，；
時，；
時，；
∴，故集合M中所有元素之和是6.
故答案為：6
【題型6：集合的表示】
列舉法表示集合
例7：集合，用列舉法表示為（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
變式1：方程組的解集可以表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由方程組的解即可求解解集.
【詳解】由得，所以方程組的解集可以表示為，
變式2：設集合，則用列舉法表示集合A為______.
【答案】
【分析】根據自然數集與整數集的概念分析集合A中的元素即可.
【詳解】要使，則可取，又，則可取，
故答案為：.
變式3：用列舉法表示下列集合．
（1）不大于10的非負偶數組成的集合A；
（2）小于8的質數組成的集合B；
（3）方程的實數根組成的集合C；
（4）一次函數與的圖象的交點組成的集合D．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）不大于10的非負偶數有，所以；
（2）小于8的質數有，所以；
（3）方程的實數根為，所以．
（4）由，得，
所以一次函數與圖象的交點為，所以．
【方法技巧與總結】
列舉法表示集合時的4個關注點
(1)元素與元素之間必須用“，”隔開．
(2)集合中的元素必須是明確的．
(3)集合中的元素不能重復．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
描述法表示集合
例8：集合的意義是（ ）
A．第二象限內的點集 B．第四象限內的點集
C．第二、四象限內的點集 D．不在第一、三象限內的點的集合
【答案】A
【解析】因為意味著和異號或至少一個為零，
故為第二、四象限內的點或坐標軸上的點，即不在第一、三象限內的點，
所以的意義是不在第一、三象限內的點的集合.．
變式1：用描述法表示下列集合：
（1）；
（2）偶數集；
（3）被3除余2的正整數組成的集合；
（4）．
【答案】（1）且；（2）
（3）；（4）
【解析】（1）原集合為，
則描述法表示為：且.
（2）偶數集，用描述法表示為：.
（3）被3除余2的正整數組成的集合，
用描述法表示為：.
（4）原集合為，
用描述法表示為.
變式2：用描述法表示下列集合．
（1）所有不在第一、三象限的點組成的集合；
（2）所有被3除余1的整數組成的集合；
（3）使有意義的實數x組成的集合．
（4）方程的解集．
【答案】（1）；（2）
（3）且；（4）
【解析】（1）∵不在第一、三象限的點分布在第二、四象限或坐標軸上，
∴所有不在第一、三象限的點組成的集合為．
（2）∵被3除余1的整數可表示為
∴所有被3除余1的整數組成的集合為．
（3）要使有意義．則．解得且．
∴使有意義的實數x組成的集合為且．
（4）由，解得．∴方程的解集為．
【方法技巧與總結】
描述法表示集合時的3個關注點
(1)寫清楚集合中元素的符號，如數或點等；
(2)說明該集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函數式或幾何圖形等；
(3)不能出現未被說明的字母．
列舉法與描述法的理解
例9：用另一種方法表示下列集合:
(1);
(2);
(3)已知，，寫出集合P;
(4)集合，，寫出集合B.
【答案】(1)且
(2)
(3)
(4)
【分析】對于（1），（2），利用描述法表示集合；對于（3），（4），利用列舉法表示集合；
【詳解】（1）因為均為奇數，所以利用描述法表示為且.
（2）因為均平方形式，所以利用描述法表示為.
（3）因為，，所以利用列舉法表示出.
（4）因為集合，，所以.
變式1：用適當的方法表示下列集合．
(1)方程組 的解集；
(2)由所有小于13的既是奇數又是質數的自然數組成的集合；
(3)方程的實數根組成的集合；
(4)二次函數的圖象上所有的點組成的集合；
(5)二次函數的圖象上所有點的縱坐標組成的集合．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)
(5)
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根據描述法和列舉法的使用特點，即可求解.
【詳解】（1）解方程組得，故解集可用描述法表示為，也可用列舉法表示為．
（2）小于13的既是奇數又是質數的自然數有4個，分別為3，5，7，11，故可用列舉法表示為．
（3）方程的實數根為2，因此可用列舉法表示為，也可用描述法表示為.
（4）二次函數的圖象上所有的點組成的集合中，代表元素為有序實數對，其中x，y滿足，
由于點有無數個，則用描述法表示為．
（5）二次函數的圖象上所有點的縱坐標組成的集合中，代表元素為y，是實數，故可用描述法表示為．
【方法技巧與總結】
選用列舉法或描述法的原則
要根據集合元素所具有的屬性選擇適當的表示方法．列舉法的特點是能清楚地展現集合的元素，通常用于表示元素較少的集合，當集合中元素較多或無限時，就不宜采用列舉法；描述法的特點是形式簡單、應用方便，通常用于表示元素具有明顯共同特征的集合，當元素共同特征不易尋找或元素的限制條件較多時，就不宜采用描述法．用列舉法和描述法表示集合，關鍵是找準元素的特點，有限個元素一一列舉，無限個元素的可以用描述法來表示集合，需要用一種適當方法表示．何謂“適當方法”，這就需要我們首先要準確把握列舉法和描述法的優缺點，其次要弄清相應集合到底含有哪些元素．要弄清集合含有哪些元素，這就需要對集合進行等價轉化．轉化時應根據具體情景選擇相應方法，如涉及方程組的解集，則應先解方程組．將集合的三種語言相互轉化也有利于我們弄清楚集合中的元素．
（四）區間表示集合
例10：用區間表示下列集合：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】直接把集合寫成區間的形式，注意含有等號的用閉區間，不含等號的用開區間.
【詳解】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
變式1：將下列集合用區間表示出來．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)或．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【分析】利用區間的定義解答即可.
【詳解】（1）解：用區間表示為；
（2）解：用區間表示為；
（3）解：用區間表示為；
（4）解：或用區間表示為.
變式2：用區間表示下列數集：
（1）； （2）；
（3）； （4）R；
（5）； （6）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
【分析】按照區間的定義以及書寫方式進行轉換即可,注意區間的開閉和集合中的不等號和等號相對應.
【詳解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）R=；
（5）；
（6）．
【點睛】（1）用區間表示數集的原則有：①數集是連續的；②左小右大；③區間的一端是開或閉不能弄錯；（2）用區間表示數集的方法：區間符號里面的兩個數字(或字母)之間用“，”隔開；（3）用數軸表示區間時，要特別注意實心點與空心點的區別．
變式3：用描述法寫出下面這些區間的含義：
；；；．
【答案】；；；.
【分析】將區間轉化為集合，用描述法寫出答案.
【詳解】用描述法表示為：；用描述法表示為：；用描述法表示為：；用描述法表示為：.
【方法技巧與總結】
理解區間概念的注意點
(1)一般地，區間的左端點的值小于右端點的值．
(2)區間符號中的兩個端點(字母或數字)之間只能用“，”隔開．
(3)左、右端點a，b都能取到的叫閉區間；左、右端點a，b有一端能取到、另一端不能取到的叫半開半閉區間；左、右端點a，b都不能取到的叫開區間．　　
【題型7：集合新定義】
例11：【多選】若對任意，，則稱為“影子關系”集合，下列集合為“影子關系”集合的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根據“影子關系”集合的定義逐項分析即可.
【詳解】根據“影子關系”集合的定義，
可知，，為“影子關系”集合，
由，得或，當時，，故不是“影子關系”集合．
BD
變式1：設A是整數集的一個非空子集，對于，若，且，則稱k是A的一個“孤立元”，集合中的“孤立元”是___________；對給定的集合，由S中的4個元素構成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有___________個．
【答案】 5 6
【分析】①根據題意，依次判斷每個元素是否為“孤立元”即可；
②根據①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有與k相鄰的元素，依次寫出滿足不含“孤立元”的集合即可.
【詳解】解：①對于1，，則1不是“孤立元”；
對于2，，且，則2不是“孤立元”；
對于3，，則3不是“孤立元”；
對于5，，且，則5是“孤立元”；
②根據①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有與k相鄰的元素，
所以由S中的4個元素構成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有，，，，，，共6個，
故答案為：5；6.
變式2：對于任意兩個正整數，，定義運算 如下：
①當，奇偶性相同時，；
②當，奇偶性不同時，．
若集合，則的元素個數為__________．
【答案】
【分析】根據定義結合已知條件，對、分都是正偶數，都是正奇數，一個為正偶數，另一個為正奇數三種情況討論即可求解
【詳解】因為，
當、都是正偶數時，則集合中含有，，，，共個元素；
當、都是正奇數時，則集合中含有，，，，，共個元素；
當、一個為正偶數，一個為正奇數，則集合中含有，，，共個元素；
所以的元素共有個.
故答案為：
變式3：【多選】當兩個集合中一個集合為另一個集合的子集時，稱這兩個集合構成“全食”；當兩個集合有公共元素，但互不為對方子集時，稱這兩個集合構成“偏食”，對于集合，若與構成“偏食”，則實數取值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】CD
【分析】根據“偏食”的定義進行求解即可
【詳解】因為集合，且與構成“偏食”，
所以或，
當時，得，此時，符合題意，
當時，得，此時，符合題意，
綜上，或，
D
一、選擇題
1.有下列說法：
①集合N中最小的數為1；②若－a∈N，則a∈N；③若a∈N，b∈N，則a＋b的最小值為2；④所有小的正數組成一個集合．
其中正確命題的個數是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】　A
【解析】　N中最小的數為0，所以①錯；由－(－2)∈N，而－2 N可知②錯；若a∈N，b∈N，則a＋b的最小值為0，所以③錯；“小”的正數沒有明確的標準，所以④錯，故選A.
2.已知集合， ，若，則a等于（ ）
A．－1或3 B．0或1
C．3 D．－1
【答案】D
【分析】根據集合相等即元素相同解出a，再根據集合元素互異性求出a值.
【詳解】由有，解得，.
當時，與集合元素的互異性矛盾，舍去.
當時，，滿足題意.
.
3.已知集合S中的三個元素a，b，c是△ABC的三條邊長，那么△ABC一定不是（ ）
A．等腰三角形 B．銳角三角形
C．直角三角形 D．鈍角三角形
【答案】A
【分析】根據集合元素的互異性，即可判斷選項.
【詳解】根據集合中元素的互異性，可知，都不相等，所以一定不是等腰三角形.
二、填空題
4.由下列對象組成的集體屬于集合的是_____(填序號).
①不超過的所有正整數;②高一(6)班中成績優秀的同學;③中央一套播出的好看的電視劇;④平方后不等于自身的數.
【答案】①④
【分析】根據集合中元素的確定性判斷可得答案.
【詳解】①④中的對象是確定的，可以組成集合，②③中的對象是不確定的，不能組成集合.
故答案為：①④
5.已知集合，下列選項中均為的元素的是__________.（填寫序號）
① ② ③ ④
【答案】①③
【分析】根據集合中元素的定義可直接得到結果.
【詳解】由題意知：集合中有兩個元素，分別為和.
故答案為：①③.
6.用符號“∈”或“ ”填空:
(1)設集合B是小于的所有實數的集合,則2________B,1+________ B.
(2)設集合C是滿足方程x=n2+1(其中n為正整數)的實數x的集合,則3________C,5________C.
(3)設集合D是滿足方程y=x2的有序實數對(x,y)的集合,則-1________D,(-1,1) ________D.
(4)若A表示第一、三象限的角平分線上的點的集合,則點(0,0)____A, (1,1)______A,(-1,1)______A.
【答案】(1) 　∈　(2) 　∈　(3) 　∈ (4)∈　∈　
【解析 】 (1)因為2=>,所以2 B;因為(1+)2=3+2<3+2×4=11,所以1+<,所以1+∈B.
(2)因為n是正整數,所以n2+1≠3,所以3 C;當n=2時,n2+1=5,所以5∈C.
(3)因為集合D中的元素是有序實數對(x,y),則-1是數,所以-1 D;又(-1)2=1,所以(-1,1)∈D.
(4) 第一、三象限的角平分線上的點的集合可以用直線y=x表示,顯然(0,0),(1,1)都在直線y=x上,(-1,1)不在直線上.所以(0,0)∈A,(1,1)∈A,(-1,1) A.
7.由構成的集合中，元素個數最多是______.
【答案】2
【分析】分與討論即可求解.
【詳解】當時，，此時元素個數為1；
當時，，
所以一定與或中的一個一致，此時元素個數為2.
所以由構成的集合中，元素個數最多是2個.
故答案為:2.
8.集合A中的元素x滿足∈N，x∈N，則集合A中的元素為________．
【答案】　0,1,2
【解析】 由∈N，x∈N知x≥0，＞0，且x≠3，故0≤x＜3.又x∈N，故x0,1,2.當x0時，2∈N；當x1時，3∈N；當x2時，6∈N.故集合A中的元素為0,1,2.
9.集合，若，則
【答案】
【解析】因為，
所以，若，則可得或2，
當時，，不滿足互異性，舍去，
當時，，滿足題意;
若，則，此時，不滿足互異性，舍去；
綜上故答案為：
10.已知集合是單元素集，用列舉法表示的取值集合___________.
【答案】
【解析】由題意，集合是單元素集，
即方程有唯一解， ，
當時，原式等于，符合題意；
當時，原式等于，符合題意；
當時，方程轉化為有唯一解，
，得，
所以的取值集合為.
故答案為：
三、解答題
11.用區間表示下列的集合

【答案】；；；；
【解析】由集合的意義及區間的定義直接寫出每個集合的區間表達形式.
【詳解】的區間表達為; 的區間表達為; 的區間表達為; 的區間表達為 ; 的區間表達為.
【點睛】本題考查集合與區間的轉換，屬于基礎題.
12.用描述法表示下列集合：
（1）所有被3整除的整數組成的集合；
（2）不等式的解集；
（3）方程的所有實數解組成的集合；
（4）拋物線上所有點組成的集合；
（5）集合.
【答案】（1）；（2）；（3）
（4）；（5）且
【解析】（1）所有被3整除的整數組成的集合，用描述法可表示為：
（2）不等式的解集，用描述法可表示為：.
（3）方程的所有實數解組成的集合，
用描述法可表示為：.
（4）拋物線上所有點組成的集合，
用描述法可表示為：.
集合，用描述法可表示為：且.
13.用適當的方法表示下列集合．
(1)方程組 的解集；
(2)由所有小于13的既是奇數又是質數的自然數組成的集合；
(3)方程的實數根組成的集合；
(4)二次函數的圖象上所有的點組成的集合；
(5)二次函數的圖象上所有點的縱坐標組成的集合．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)
(5)
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根據描述法和列舉法的使用特點，即可求解.
【詳解】（1）解方程組得，故解集可用描述法表示為，也可用列舉法表示為．
（2）小于13的既是奇數又是質數的自然數有4個，分別為3，5，7，11，故可用列舉法表示為．
（3）方程的實數根為2，因此可用列舉法表示為，也可用描述法表示為.
（4）二次函數的圖象上所有的點組成的集合中，代表元素為有序實數對，其中x，y滿足，
由于點有無數個，則用描述法表示為．
（5）二次函數的圖象上所有點的縱坐標組成的集合中，代表元素為y，是實數，故可用描述法表示為．
14.如果具有下述性質的x都是集合M中的元素，其中xa＋b(a、b為有理數)，則下列元素中，不屬于集合M的元素的有(　　)
①x0；②x；③x3－2π；④x；⑤x＋.
A．1個　　B．2個　　C．3個　　D．4個
【答案】　A
【解析】 ①00＋0×；②0＋1×；③2π不是有理數；④3＋2；⑤＋(2－)＋(2＋)4＋0×.
15.集合為單元素集合，則______.
【答案】或
【解析】因為集合為單元素集合，
所以有且只有一個解，
當，即時，
方程可化為，解得，滿足題意；
當，即時，，解得，
經檢驗：當，方程的解為，滿足題意；
綜上：或.
故答案為：或.
16.已知集合，，．若，，．則下面結論中一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意，設，，
下面的均為整數，
則，，
，不是偶數時，，
，．
17.【多選】已知x，y，z為非零實數，代數式的值組成的集合是M，則下列判斷正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】當時，，
當中有兩個大于0，另一個小于0時，，
當中有兩個小于0，另一個大于0時，，
當時，，
所以代數式的值組成的集合是，故B錯誤.CD.
18.已知集合．
(1)若，求實數a的值；
(2)若集合A中僅含有一個元素，求實數a的值；
(3)若集合A中僅含有兩個元素，求實數a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）將代入方程求解即可；
（2）分、兩種情況求解即可；
（3）由條件可得，且，解出即可.
（1）∵，∴，
∴；
（2）當時，，符合題意；
當時，，∴．
綜上，或；
（3）集合中含有兩個元素，即關于的方程有兩個不相等的實數解，
∴，且，
解得且，
∴實數的取值范圍為．
19.以某些整數為元素的集合P具有以下性質：
（1）P中元素有正數，也有負數；（2）P中元素有奇數，也有偶數；
（3）；（4）若，則．
則下列選項哪個是正確的（ ）
A．集合P中一定有0但沒有2 B．集合P中一定有0可能有2
C．集合P中可能有0可能有2 D．集合P中既沒有0又沒有2
【答案】A
【分析】由（4）得，則（k是正整數），由（1）可設，且，，可得.利用反證法可得若，則P中沒有負奇數，若P中負數為偶數，得出矛盾即可求解.
【詳解】解：由（4）得，則（k是正整數）．
由（1）可設，且，，則、，而．
假設，則．由上面及（4）得0，2，4，6，8，…均在P中，
故（k是正整數），
不妨令P中負數為奇數（k為正整數），
由（4）得，矛盾．
故若，則P中沒有負奇數．
若P中負數為偶數，設為（k為正整數），則由（4）及，
得均在P中，即（m為非負整數），
則P中正奇數為，由（4）得，矛盾．
綜上，，.
故選:A．
20.設數集由實數構成，且滿足：若（且），則.
(1)若，試證明中還有另外兩個元素；
(2)集合是否為雙元素集合，并說明理由；
(3)若中元素個數不超過8個，所有元素的和為，且中有一個元素的平方等于所有元素的積，求集合.
【答案】(1)證明見解析；
(2)不是，理由見解析；
(3).
【分析】（1）利用集合與元素之間的關系證明即可；
（2）根據條件求出元素間的規律即可；
（3）先利用求出集合中元素個數，再根據所有元素和求解即可.
【詳解】（1）由題意得若，則；
又因為，所以；
即集合中還有另外兩個元素和.
（2）由題意，若（且），則，則，若則；
所以集合中應包含，故集合不是雙元素集合.
（3）由（2）得集合中的元素個數應為3或6，
因為且中有一個元素的平方等于所有元素的積，
所以中應有6個元素，且其中一個元素為，
由結合條件可得，
又因為，所以剩余三個元素和為，即，
解得，
故.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)1.1.1集合及其表示方法
課程標準 學習目標
1.了解集合的含義和集合元素的特性，理解元素和集合的關系； 2.掌握幾個常用的數集的符號表示； 3.掌握用列舉法和描述法表示集合； 4.能夠用區間表示集合。 1.集合的含義及其描述法的理解； 2.用區間表示集合的應用； 3.對給出的集合進行化簡運算后用區間表示； 4.在理解集合表示方法的過程中，列舉法的理解，以及區間可以用數軸形象地表示，提高學生分析問題和解決問題的能力； 5.通過觀察身邊的實例，發現集合含義，體驗其現實意義。
知識點01 元素與集合的概念
1．元素：一般地，把研究對象統稱為元素，常用小寫的拉丁字母a，b，c…表示．
2.集合：把一些元素組成的總體叫做集合，(簡稱為集)，常用大寫拉丁字母A，B，C…表示．
3.空集：不含任何元素的集合稱為空集，記作.
【即學即練1】判斷下列每組對象，能組成一個集合的是（　　）
A．某校高一年級成績優秀的學生
B．直角坐標系中橫、縱坐標相等的點
C．不小于3的自然數
D．2022年第24屆冬季奧運會金牌獲得者
知識點02 元素與集合的關系
1．屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A.
2．不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作a A.
【即學即練2】給出下列6個關系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正確命題的個數為（ ）
A．4 B．2 C．3 D．5
【即學即練3】用符號“∈”或“ ”填空：
1____N， －3____N， ___Q， ___N，
1__Z， －3___Q， 0___Z， ___R，
0___N*， π___R， ___Q， ___Z．
知識點03 集合元素的特點
1.確定性：集合的元素必須是確定的。
2.互異性：對于一個給定的集合，集合中的元素一定是不同的。
3.無序性：集合中的元素可以任意排列。
【即學即練4】若以集合A的四個元素a，b，c，d為邊長構成一個四邊形，則這個四邊形可能是(　　)
A．梯形 B．平行四邊形
C．菱形 D．矩形
【即學即練5】數集中的x不能取的數值的集合是（ ）
A． B． C． D．
知識點04 集合相等
【即學即練6】集合相等：給定兩個集合A和B如果組成它們的元素完全相同就稱這兩個集合相等，記作A=B。
下列集合中，不同于另外三個集合的是（ ）
A． B．
C． D．
知識點05 集合的分類
1.有限集：含有有限個元素的集合。
2.無限集：含有無限個元素的集合。
【即學即練7】判斷下列各組對象能否構成集合．若能構成集合，指出是有限集還是無限集；若不能構成集合，試說明理由．
(1)北京各區縣的名稱；
(2)尾數是5的自然數；
(3)我們班身高大于1.7m的同學．
知識點06 常見的數集及表示符號
數集 非負整數集(自然數集) 正整數集 整數集 有理數集 實數集
符號 N N*或N＋ Z Q R
【即學即練8】已知①；②；③0={0}；④；⑤；⑥，其中正確的個數為______.
知識點07 集合的表示方法
1.列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．
2.描述法：一般地，設A是一個集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．
注：用描述法表示集合
（1）首先應弄清楚集合的屬性，是數集、點集還是其他的類型．
一般地，數集用一個字母代表其元素，而點集則用一個有序數對來表示．
（2）若描述部分出現元素記號以外的字母，要對新字母說明其含義或取值范圍．
（3）多層描述時，應當準確使用“且”和“或”，所有描述的內容都要寫在集合內．
3.區間：在數學上，常常需要表示滿足一些不等式的全部實數所組成的集合．為了方便起見，我們引入區間的概念．
①一般區間的表示：設a，b是兩個實數，而且a在用區間表示連續的數集時，包含端點的那一端用中括號表示，不包含端點的那一端用小括號表示.
定義 名稱 符號 數軸表示
閉區間
開區間
半開半閉區間
半開半閉區間
②實數集R可以用區間表示為(－∞，＋∞)，“∞”讀作“無窮大”，“－∞”讀作“負無窮大”，“＋∞”讀作“正無窮大”．
③特殊區間的表示
定義 符號 數軸表示
≥
≤
【即學即練9】用列舉法表示下列集合：
(1)不大于10的非負偶數組成的集合；
(2)方程x22x的所有實數解組成的集合；
(3)直線y2x＋1與y軸的交點所組成的集合；
(4)由所有正整數構成的集合．
【即學即練10】用描述法表示下列集合：
(1)正偶數集；
(2)被3除余2的正整數集合；
(3)平面直角坐標系中坐標軸上的點組成的集合．
【即學即練11】下列三個集合：
①A{x|yx2＋1}；
②B{y|yx2＋1}；
③C{(x，y)|yx2＋1}．
(1)它們是不是相同的集合？
(2)它們各自的含義分別是什么？
【即學即練12】用區間表示下列集合：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）.
易錯一　忽略集合元素的互異性
1．方程x2－(a＋1)x＋a0的解集為________．
易錯二　忽略元素形式
2．集合A{(x，y)|y－x2＋6，x∈N，y∈N}用列舉法可表示為________．
【題型1：集合的概念】
例1：下列各組對象不能構成集合的是（ ）
A．上課遲到的學生
B．2024年高考數學難題
C．所有有理數
D．小于x的正整數
變式1：下列所給的對象能組成集合的是（ ）
A．“金磚國家”成員國 B．接近1的數
C．著名的科學家 D．漂亮的鮮花
變式2：下列說法正確的是（ ）
A．某個村子里的高個子組成一個集合
B．所有小正數組成一個集合
C．集合和表示同一個集合
D．這六個數能組成一個集合
變式3：判斷下列元素的全體可以組成集合的是（ ）
①湖北省所有的好學校；
②直角坐標系中橫坐標與縱坐標互為相反數的點；
③n的近似值；
④不大于5的自然數．
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
變式4：下列所給的對象能構成集合的是__________．
（1）高中數學必修第一冊課本上所有的難題；（2）高一（3）班的高個子；
（3）英文26個字母；（4）中國古代四大發明；（5）方程的實數根.
【方法技巧與總結】
判斷一組對象組成集合的依據
判斷給定的對象能不能構成集合，關鍵在于能否找到一個明確的標準，對于任何一個對象，都能確定它是不是給定集合的元素．
【題型2：元素與集合的關系】
（一）判斷元素與集合的關系
例2：若是R中的元素，但不是Q中的元素，則a可以是（ ）
A．3.14 B．-5 C． D．
變式1：下列說法正確的有（ ）
①；②；③；④；⑤
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
變式2：用符號“”或“”填空．
______，______，______.
變式3：【多選】已知集合，則有（ ）
A． B． C． D．
變式4：已知a、b、c為非零實數，記代數式的值所組成的集合為M，則下列判斷中正確的是（ ）
A．0M B．-4M C．2∈M D．4∈M
變式5：已知集合，，．若，，．則下面結論中一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
（二）根據元素與集合的關系求參數
例3:已知集合A含有兩個元素a和a2，若2∈A，則實數a的值為________．
變式1：【多選】設集合，且，則x的值可以為（ ）
A．3 B． C．5 D．
變式2：已知集合A中元素x滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
變式3：已知集合中有三個元素：，，，集合中也有三個元素：0，1，．
(1)若，求實數的值；
(2)若，求實數的值．
變式4：已知集合S滿足:若，則.請解答下列問題:
(1)若，則S中必有另外兩個元素，求出這兩個元素.
(2)證明:若，則.
(3)在集合S中，元素能否只有一個 若能，把它求出來;若不能，請說明理由.
【方法技巧與總結】
1.對元素和集合之間關系的兩點說明
（1）符號“∈”“”刻畫的是元素與集合之間的關系．對于一個元素a與一個集合A而言，只有“ ”與“ ”這兩種結果．
（2）∈和具有方向性，左邊是元素，右邊是集合，形如R∈0是錯誤的．
2.判斷元素和集合關系的兩種方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接給出的，只要判斷該元素在已知集合中是否給出即可．此時應首先明確集合是由哪些元素構成的．
(2)推理法：對于某些不便直接表示的集合，判斷元素與集合的關系時，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可．此時應首先明確已知集合的元素具有什么屬性，即該集合中元素要符合哪種表達式或滿足哪些條件．
【題型3：利用集合的互異性求參數】
例4：數集中的元素a不能取的值是__________.
變式1：“notebooks”中的字母構成一個集合，該集合中的元素個數是______________
變式2：一個書架上有九個不同種類的書各5本，那么由這個書架上的書組成的集合中含有_____個元素.
變式3：集合中的三個元素分別表示某一個三角形的三邊長度，那么這個三角形一定不是（　　）
A．等腰三角形 B．銳角三角形
C．直角三角形 D．鈍角三角形
變式4：已知，則實數_______.
變式5：已知集合，，若，，則______.
【方法技巧與總結】互異性的主要作用是警示我們做題后要檢驗．特別是題中含有參數(字母)時，一定要檢驗求出的參數是否使集合的元素滿足互異性．
【題型4：根據集合中元素的個數求參數】
例5：由，，3組成的一個集合A，若A中元素個數不是2，則實數a的取值可以是（ ）
A． B．1 C． D．2
變式1：已知集合中的元素滿足：，且，又集合中恰有三個元素，則整數 ，集合中的元素是 ．
變式2：已知集合中有且僅有一個元素，那么的可能取值為（ ）
A．-1 B．2 C． D．0
變式3：已知集合中至多含有一個元素，則實數a的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
變式4：已知集合.
(1)若A中只有一個元素，求的值；
(2)若A中至少有一個元素，求的取值范圍.
變式5：若集合中有2個元素，求k的取值范圍．
【方法技巧與總結】
由集合中元素的特性求解字母取值(范圍)的步驟
【題型5：利用集合中元素的性質求集合元素個數】
例6：已知集合，，則集合B中元素個數為（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
變式1：已知集合，則集合B中有________個元素．
變式2：定義集合，設集合，，則中元素的個數為（ ）
A． B． C． D．
變式3：已知集合，，定義集合，則集合M中所有元素之和是_____．
【題型6：集合的表示】
列舉法表示集合
例7：集合，用列舉法表示為（ ）
A．1 B．2 C． D．
變式1：方程組的解集可以表示為（ ）
A． B． C． D．
變式2：設集合，則用列舉法表示集合A為______.
變式3：用列舉法表示下列集合．
（1）不大于10的非負偶數組成的集合A；
（2）小于8的質數組成的集合B；
（3）方程的實數根組成的集合C；
（4）一次函數與的圖象的交點組成的集合D．
【方法技巧與總結】
列舉法表示集合時的4個關注點
(1)元素與元素之間必須用“，”隔開．
(2)集合中的元素必須是明確的．
(3)集合中的元素不能重復．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
描述法表示集合
例8：集合的意義是（ ）
A．第二象限內的點集 B．第四象限內的點集
C．第二、四象限內的點集 D．不在第一、三象限內的點的集合
變式1：用描述法表示下列集合：
（1）；
（2）偶數集；
（3）被3除余2的正整數組成的集合；
（4）．
變式2：用描述法表示下列集合．
（1）所有不在第一、三象限的點組成的集合；
（2）所有被3除余1的整數組成的集合；
（3）使有意義的實數x組成的集合．
（4）方程的解集．
【方法技巧與總結】
描述法表示集合時的3個關注點
(1)寫清楚集合中元素的符號，如數或點等；
(2)說明該集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函數式或幾何圖形等；
(3)不能出現未被說明的字母．
列舉法與描述法的理解
例9：用另一種方法表示下列集合:
(1);
(2);
(3)已知，，寫出集合P;
(4)集合，，寫出集合B.
變式1：用適當的方法表示下列集合．
(1)方程組 的解集；
(2)由所有小于13的既是奇數又是質數的自然數組成的集合；
(3)方程的實數根組成的集合；
(4)二次函數的圖象上所有的點組成的集合；
(5)二次函數的圖象上所有點的縱坐標組成的集合．
【方法技巧與總結】
選用列舉法或描述法的原則
要根據集合元素所具有的屬性選擇適當的表示方法．列舉法的特點是能清楚地展現集合的元素，通常用于表示元素較少的集合，當集合中元素較多或無限時，就不宜采用列舉法；描述法的特點是形式簡單、應用方便，通常用于表示元素具有明顯共同特征的集合，當元素共同特征不易尋找或元素的限制條件較多時，就不宜采用描述法．用列舉法和描述法表示集合，關鍵是找準元素的特點，有限個元素一一列舉，無限個元素的可以用描述法來表示集合，需要用一種適當方法表示．何謂“適當方法”，這就需要我們首先要準確把握列舉法和描述法的優缺點，其次要弄清相應集合到底含有哪些元素．要弄清集合含有哪些元素，這就需要對集合進行等價轉化．轉化時應根據具體情景選擇相應方法，如涉及方程組的解集，則應先解方程組．將集合的三種語言相互轉化也有利于我們弄清楚集合中的元素．
（四）區間表示集合
例10：用區間表示下列集合：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
變式1：將下列集合用區間表示出來．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)或．
變式2：用區間表示下列數集：
（1）； （2）；
（3）； （4）R；
（5）； （6）．
變式3：用描述法寫出下面這些區間的含義：
；；；．
【方法技巧與總結】
理解區間概念的注意點
(1)一般地，區間的左端點的值小于右端點的值．
(2)區間符號中的兩個端點(字母或數字)之間只能用“，”隔開．
(3)左、右端點a，b都能取到的叫閉區間；左、右端點a，b有一端能取到、另一端不能取到的叫半開半閉區間；左、右端點a，b都不能取到的叫開區間．　　
【題型7：集合新定義】
例11：【多選】若對任意，，則稱為“影子關系”集合，下列集合為“影子關系”集合的是（ ）
A． B． C． D．
變式1：設A是整數集的一個非空子集，對于，若，且，則稱k是A的一個“孤立元”，集合中的“孤立元”是___________；對給定的集合，由S中的4個元素構成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有___________個．
變式2：對于任意兩個正整數，，定義運算 如下：
①當，奇偶性相同時，；
②當，奇偶性不同時，．
若集合，則的元素個數為__________．
變式3：【多選】當兩個集合中一個集合為另一個集合的子集時，稱這兩個集合構成“全食”；當兩個集合有公共元素，但互不為對方子集時，稱這兩個集合構成“偏食”，對于集合，若與構成“偏食”，則實數取值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
一、選擇題
1.有下列說法：
①集合N中最小的數為1；②若－a∈N，則a∈N；③若a∈N，b∈N，則a＋b的最小值為2；④所有小的正數組成一個集合．
其中正確命題的個數是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
2.已知集合， ，若，則a等于（ ）
A．－1或3 B．0或1
C．3 D．－1
3.已知集合S中的三個元素a，b，c是△ABC的三條邊長，那么△ABC一定不是（ ）
A．等腰三角形 B．銳角三角形
C．直角三角形 D．鈍角三角形
二、填空題
4.由下列對象組成的集體屬于集合的是_____(填序號).
①不超過的所有正整數;②高一(6)班中成績優秀的同學;③中央一套播出的好看的電視劇;④平方后不等于自身的數.
5.已知集合，下列選項中均為的元素的是__________.（填寫序號）
① ② ③ ④
6.用符號“∈”或“ ”填空:
(1)設集合B是小于的所有實數的集合,則2________B,1+________ B.
(2)設集合C是滿足方程x=n2+1(其中n為正整數)的實數x的集合,則3________C,5________C.
(3)設集合D是滿足方程y=x2的有序實數對(x,y)的集合,則-1________D,(-1,1) ________D.
(4)若A表示第一、三象限的角平分線上的點的集合,則點(0,0)____A, (1,1)______A,(-1,1)______A.
7.由構成的集合中，元素個數最多是______.
8.集合A中的元素x滿足∈N，x∈N，則集合A中的元素為________．
9.集合，若，則
10.已知集合是單元素集，用列舉法表示的取值集合___________.
三、解答題
11.用區間表示下列的集合

12.用描述法表示下列集合：
（1）所有被3整除的整數組成的集合；
（2）不等式的解集；
（3）方程的所有實數解組成的集合；
（4）拋物線上所有點組成的集合；
（5）集合.
13.用適當的方法表示下列集合．
(1)方程組 的解集；
(2)由所有小于13的既是奇數又是質數的自然數組成的集合；
(3)方程的實數根組成的集合；
(4)二次函數的圖象上所有的點組成的集合；
(5)二次函數的圖象上所有點的縱坐標組成的集合．
14.如果具有下述性質的x都是集合M中的元素，其中xa＋b(a、b為有理數)，則下列元素中，不屬于集合M的元素的有(　　)
①x0；②x；③x3－2π；④x；⑤x＋.
A．1個　　B．2個　　C．3個　　D．4個
15.集合為單元素集合，則______.
16.已知集合，，．若，，．則下面結論中一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
17.【多選】已知x，y，z為非零實數，代數式的值組成的集合是M，則下列判斷正確的是（ ）
A． B． C． D．
18.已知集合．
(1)若，求實數a的值；
(2)若集合A中僅含有一個元素，求實數a的值；
(3)若集合A中僅含有兩個元素，求實數a的取值范圍．
19.以某些整數為元素的集合P具有以下性質：
（1）P中元素有正數，也有負數；（2）P中元素有奇數，也有偶數；
（3）；（4）若，則．
則下列選項哪個是正確的（ ）
A．集合P中一定有0但沒有2 B．集合P中一定有0可能有2
C．集合P中可能有0可能有2 D．集合P中既沒有0又沒有2
20.設數集由實數構成，且滿足：若（且），則.
(1)若，試證明中還有另外兩個元素；
(2)集合是否為雙元素集合，并說明理由；
(3)若中元素個數不超過8個，所有元素的和為，且中有一個元素的平方等于所有元素的積，求集合.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑