資源簡(jiǎn)介

1.1.2 集合的基本關(guān)系
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解子集、真子集概念以及集合相等。 2.掌握用數(shù)學(xué)符號(hào)語言以及V圖語言表示集合間的基本關(guān)系。 3.能夠區(qū)分集合間的包含關(guān)系與元素與集合的屬于關(guān)系。 1.對(duì)集合之間包含與相等的含義以及子集、真子集概念的理解； 2.集合的子集的辨析和應(yīng)用； 3.對(duì)給出的集合能寫出其子集和真子集；有集合元素個(gè)數(shù)求子集個(gè)數(shù)； 4.在理解集合間關(guān)系的過程中，運(yùn)用數(shù)軸和venn圖解決子集及真子集問題，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力； 5.通過觀察身邊的實(shí)例，發(fā)現(xiàn)集合間的基本關(guān)系，體驗(yàn)其現(xiàn)實(shí)意義。
知識(shí)點(diǎn)1 子集
1.概念：一般地，如果集合A的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，那么集合A稱為集合B 的子集.
2.記法：A B（或B A）.
3.讀法：A包含于B（或"B包含A"）.
4.如果A不是B的子集，記作AB（或B A），讀作“A不包含于B”（或“B不包含A”）.
5.性質(zhì)：A A； A.
6.圖形表示：
【即學(xué)即練1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）設(shè)集合，，則下列關(guān)系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)集合與集合間的關(guān)系可得出結(jié)論.
【詳解】因?yàn)椋瑒t.
.
【即學(xué)即練2】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列各式：①，②，③，④，⑤，其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【分析】由元素與集合的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系考查所給式子是否正確即可．
【詳解】由元素與集合的關(guān)系可知，故①錯(cuò)誤；
由集合與集合的關(guān)系可知，故②錯(cuò)誤；
任何集合都是自身的子集，故③正確；
空集是任何非空集合的子集，故④正確；
集合中的元素具有互異性和無序性，故⑤正確；
綜上可得，只有①②錯(cuò)誤．
故選B．
【即學(xué)即練3】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知集合，則含有元素0的A的子集個(gè)數(shù)是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】列出含有元素0的A的子集，求出答案.
【詳解】含有元素0的A的子集有，，，，，，，，
故含有元素0的A的子集個(gè)數(shù)為8.
.
知識(shí)點(diǎn)2 真子集
1.概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A，那么集合A稱為集合B的真子集.
2.記法：A B（或BA）.
3.讀法：A真包含于B（或“B真包含A”）.
4.性質(zhì)：對(duì)于集合A，B，C，①如果A B,B C,則A C
②如果A B，B C，則A C；
5.圖形表示：
6.如果集合A中含有n個(gè)元素，則有
（1）A的子集的個(gè)數(shù)有2n個(gè)．
（2）A的非空子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)．
（3）A的真子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)．
（4）A的非空真子集的個(gè)數(shù)有2n－2個(gè)．
【即學(xué)即練4】（2024秋·江蘇鹽城·高一統(tǒng)考期中）若集合，，則集合A與B的關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．不確定
【答案】C
【解析】因?yàn)榧螦中的元素，都在集合B中，而B中的元素不一定都在A中，
所以，故選：.
【即學(xué)即練5】（2023春·江西南昌·高二南昌市鐵路第一中學(xué)校考階段練習(xí)）滿足條件的所有集合的個(gè)數(shù)是（ ）
A．32 B．31 C．16 D．15
【答案】C
【解析】由集合滿足條件，
所以集合至少含元素1,2，將1,2看成一個(gè)整體用來表示，
則上述集合關(guān)系式變成：，
則此時(shí)集合為集合的真子集，
問題轉(zhuǎn)化為求集合的真子集的個(gè)數(shù)即：，
故滿足題意的集合有31個(gè)..
知識(shí)點(diǎn)3空集
1、定義：一般地，把不含任何元素的集合叫做空集，記為 ，規(guī)定：空集是任何集合的子集．
在這個(gè)規(guī)定的基礎(chǔ)上，結(jié)合子集和真子集的有關(guān)概念，可以得到：
（1）空集只有一個(gè)子集，即它本身； （2）空集是任何非空集合的真子集．
2、0，{0}， ，{ }的關(guān)系
與0 與{0} 與{ }
相同點(diǎn) 都表示無的意思 都是集合 都是集合
不同點(diǎn) 是集合； 0是實(shí)數(shù) 中不含任何元素； {0}含一個(gè)元素0 不含任何元素； { }含一個(gè)元素，該元素是
關(guān)系 0 {0} { }或 ∈{ }
【即學(xué)即練6】（2024秋·湖北咸寧·高一?？茧A段練習(xí)）給出下列說法：
①空集沒有子集；
②任何集合至少有兩個(gè)子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若，則．
其中正確的說法有（ ）
A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)
【答案】A
【解析】由于任何一個(gè)集合都是它本身的子集，空集的子集還是空集，故①不正確；
由于空集的子集還是空集，所以空集的子集只有一個(gè)，故②不正確；
由于空集的子集還是空集，但不是真子集，故③不正確；
由于，則或，故④不正確；
綜上，正確的說法有0個(gè)..
知識(shí)點(diǎn)4 Venn圖
用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖。表示集合的Venn圖的邊界是封閉曲線，它可以是圓、矩形、橢圓，也可以是其他封閉曲線。
韋恩圖可以直觀、形象地表示出集合之間的關(guān)系
【即學(xué)即練7】（2024·河南新鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）下列表示集合和關(guān)系的Venn圖中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求出集合M、N，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系選出對(duì)應(yīng)的韋恩圖.
【詳解】解：由題意得：
由題意得，
所以N是M的真子集．
知識(shí)點(diǎn)5 集合的相等與子集的關(guān)系
1.定義：如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等
2.圖形表示：
3.如果 A B，且B A則 A= B.
4.如果A=B則A B且B A.
【即學(xué)即練8】已知集合，若，則的值為（ ）
A．1 B． C． D．1或
【答案】A
【分析】根據(jù)求得，由此求得.
【詳解】由于，
所以對(duì)于集合有或.
若，則，此時(shí)符合題意，.
若，則集合不滿足互異性，不符合.
所以的值為.
易錯(cuò)點(diǎn)　忽略空集的特殊性致誤　
示例：　設(shè)M{x|x2－2x－30}，N{x|ax－10}，若N M，求所有滿足條件的a的取值集合．
【錯(cuò)解】　由N M，M{x|x2－2x－30}{－1，3}，
得N{－1}或{3}．
當(dāng)N{－1}時(shí)，由－1，得a－1.
當(dāng)N{3}時(shí)，由3，得a.
故滿足條件的a的取值集合為{-1， }.
【正解】　由N M，M{x|x2－2x－30}{－1，3}，
得N 或N{－1}或N{3}．
當(dāng)N 時(shí)，ax－10無解，即a0.
當(dāng)N{－1}時(shí)，由－1，得a－1.
當(dāng)N{3}時(shí)，由3，得a.
故滿足條件的a的取值集合為{-1，0，}.
【易錯(cuò)警示】
錯(cuò)誤原因 糾錯(cuò)心得
錯(cuò)解忽略了N 這種情況． 空集是任何集合的子集，解這類問題時(shí)，一定要注意“空集優(yōu)先”的原則．
【題型1：集合間關(guān)系的判斷】
例1.（2022秋·江蘇鹽城·高一統(tǒng)考期中）若集合，，則集合A與B的關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．不確定
【答案】C
【解析】因?yàn)榧螦中的元素，都在集合B中，而B中的元素不一定都在A中，
所以，故選：.
變式1.（2024·北京·高三專題練習(xí)）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用列舉法寫出集合A，利用集合間的基本關(guān)系判斷．
【詳解】，，則 .
.
變式2.（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（ ）
A．， B．，
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)元素與集合，集合與集合的關(guān)系逐項(xiàng)判斷.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闉闊o理數(shù)，不是有理數(shù)知，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)闉槿魏渭系淖蛹裕?br/>又集合中含有元素，所以，B正確；
對(duì)于C，集合表示方程中的變量的范圍的集合，
故，，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，正方形是菱形，但菱形不一定是正方形，所以D錯(cuò)誤．
.
變式3.（2024·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）下列集合關(guān)系中錯(cuò)誤的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)集合與集合的關(guān)系判斷即可.
【詳解】對(duì)于A：集合為點(diǎn)集，含有元素，集合含有兩個(gè)元素，，
所以不包含于，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：，故B正確；
對(duì)于C：，故C正確；
對(duì)于D：因?yàn)椋?，故D正確；
變式4.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，，則M與P的關(guān)系為（ ）
A．MP B．MP C．P M D．MP
【答案】A
【解析】①對(duì)于任意
∵，∴，
∴，由子集定義知.
②∵，此時(shí)，即，
而在時(shí)無解，.
綜合①②知，MP.故選：
變式5.（2024秋·江西南昌·高一校聯(lián)考期中）若，，則必有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先判斷P是實(shí)數(shù)集合，再判斷Q是點(diǎn)集，然后得出結(jié)果.
【詳解】是大于等于零的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，
而是由拋物線上的點(diǎn)構(gòu)成的集合，兩個(gè)不同屬性的集合沒有關(guān)系，所以ABD都不對(duì)，
.
變式6.【多選】（2024·高一單元測(cè)試）集合，，則下列關(guān)系錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】將兩個(gè)集合化簡(jiǎn)后比較分子的關(guān)系可得兩個(gè)集合的關(guān)系.
【詳解】因?yàn)椋?br/>表示整數(shù)，表示奇數(shù)，
故，故選項(xiàng)A、B、D錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確，
BD.
變式7.(2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）若集合，，，則的關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知，，，
顯然可表示整數(shù)，而只能表示偶數(shù)；
所以.．
【方法技巧與總結(jié)】
判斷集合間關(guān)系的方法
(1)用定義判斷
首先，判斷一個(gè)集合A中的任意元素是否屬于另一集合B，若是，則A B，否則A不是B的子集；
其次，判斷另一個(gè)集合B中的任意元素是否屬于第一個(gè)集合A，若是，則B A，否則B不是A的子集；
若既有A B，又有B A，則AB.
(2)數(shù)形結(jié)合判斷
對(duì)于不等式表示的數(shù)集，可在數(shù)軸上標(biāo)出集合的元素，直觀地進(jìn)行判斷，但要注意端點(diǎn)值的取舍．
【題型2：確定集合的子集、真子集】
例2．（2023秋·海南儋州·高一校考期中）寫出集合的所有子集和它的真子集.
【答案】答案見解析.
【分析】根據(jù)子集和真子集的定義進(jìn)行求解即可.
【詳解】集合的所有子集為；
集合的所有真子集為.
變式1.．（2023秋·湖南郴州·高一?？茧A段練習(xí)）下列集合中，可以為集合的真子集的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接根據(jù)真子集的概念得答案.
【詳解】集合的真子集為.
.
變式2.．（2023秋·高一校考課時(shí)練習(xí)）若，則 .
【答案】
【分析】由題意可知B是由A集合的子集構(gòu)成的集合，利用列舉法寫出集合B即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以集合中的元素是集合的子集：，
則集合.
故答案為：.
變式3.．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)二元一次方程組求解方程組的根，進(jìn)而可得集合,由子集的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由，又且,所以，
變式4.．（2023秋·山東日照·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)，．
(1)寫出集合A的所有子集；
(2)若B為非空集合，求a的值．
【答案】(1)；
(2)3
【分析】（1）求解即可得；
（2）由B為非空集合，得或或，分別將元素代入解出a即可.
【詳解】（1）由解得或，則，
故集合A的子集為：；
（2）B為非空集合，得或或，
由或代入可得，故a的值為3.
【方法技巧與總結(jié)】
對(duì)集合子集、真子集概念的認(rèn)識(shí)：
(1)真子集的概念也可以敘述為：若集合A B，存在元素x滿足x∈B且xA，則稱集合A是集合B的真子集．
(2)集合A是集合B的真子集，需要滿足以下兩個(gè)條件：①集合A是集合B的子集；②存在元素x滿足x∈B，且xA.所以，如果集合A是集合B的真子集，那么集合A一定是集合B的子集，反之不不成立．
(3)空集是任意非空集合的真子集，這里強(qiáng)調(diào)的是“非空”兩字，解題時(shí)不能丟掉空集這一特例．
(4)任意集合都一定有子集，但是不一定有真子集．空集沒有真子集．一個(gè)集合的真子集的個(gè)數(shù)比子集的個(gè)數(shù)少1.
【題型3：子集、真子集個(gè)數(shù)問題】
（一）求子集、真子集個(gè)數(shù)
例3．（2023春·浙江衢州·高一統(tǒng)考期末）已知集合，則集合的子集有（ ）
A．7個(gè) B．6個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)
【答案】D
【分析】列舉出集合的子集即可得解.
【詳解】因?yàn)榧希?br/>所以集合的子集有共個(gè).
.
變式1.（2024秋·湖北·高一校聯(lián)考）集合的子集的個(gè)數(shù)是（ ）
A．16 B．8 C．7 D．4
【答案】C
【解析】集合，集合含有3個(gè)元素，
所以集合的子集個(gè)數(shù)是..
變式2.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）集合，則的子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4 B．8 C．15 D．16
【答案】A
【解析】集合，,
，
故有個(gè)子集.．
變式3.．（2024·高一單元測(cè)試）已知非空集合，且A中至多有一個(gè)奇數(shù)，則這樣的集合共有 個(gè)．
【答案】5.
【分析】列舉出滿足條件的集合即可得答案.
【詳解】若A中沒有奇數(shù)，則，共1個(gè)；
若A中有一個(gè)奇數(shù)，A可能為：，共4種可能性.
則滿足條件的集合有5個(gè).
故答案為：5.
變式4.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知非空集合滿足:對(duì)任意，總有，且.若，則滿足條件的的個(gè)數(shù)是（ ）
A．11 B．12 C．15 D．16
【答案】A
【分析】由題意得，集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同時(shí)出現(xiàn)的集合，即可求解.
【詳解】當(dāng)中有元素時(shí)，，
當(dāng)中有元素時(shí)，，
所以，
所以集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同時(shí)出現(xiàn)的集合，
故滿足題意的集合有，共11個(gè).
.
變式5．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知集合，則集合的真子集個(gè)數(shù)為（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【分析】先求出集合中包含的元素個(gè)數(shù)，再求真子集個(gè)數(shù).
【詳解】集合，
所以集合的真子集個(gè)數(shù)為：.
.
變式6．（2024·河南開封·統(tǒng)考三模）已知集合，，則集合B的真子集個(gè)數(shù)是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】D
【分析】根據(jù)題意得到集合，然后根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求集合的真子集個(gè)數(shù)即可.
【詳解】由題意得，所以集合的真子集個(gè)數(shù)為.
.
變式7．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合，且，若，，則集合M的非空真子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4 B．6 C．7 D．15
【答案】C
【分析】求得集合，即可求得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意知，集合且，其非空真子集的個(gè)數(shù)為.
變式8．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）若一個(gè)集合含有n個(gè)元素，則稱該集合為“n元集合”.已知集合，則其“2元子集”的個(gè)數(shù)為（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】根據(jù)子集的定義即可求解.
【詳解】集合的所有“2元子集”為，，，，，共6個(gè).
.
變式9.（2023秋·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）已知，則符合條件的集合的個(gè)數(shù)是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】由條件分析集合的元素的特征，列舉滿足條件的的個(gè)數(shù)即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以或或或，即滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為4.
．
變式10.（2024秋·云南保山·高一校聯(lián)考）滿足的集合的個(gè)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，
滿足題意的集合有：，，，，，
，，，共個(gè)..
變式11．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若集合A滿足 ，則集合A所有可能的情形有（ ）
A．3種 B．5種 C．7種 D．9種
【答案】D
【分析】由集合的包含關(guān)系討論A所含元素的可能性即可.
【詳解】由 ，可知集合A必有元素，即至少有兩個(gè)元素，至多有四個(gè)元素，
依次有以下可能：七種可能.
變式12.（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知集合M滿足 則集合M的個(gè)數(shù)為 ．
【答案】7
【分析】直接根據(jù)集合的關(guān)系列舉出集合即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以可以為：，，，，，，
共計(jì)7個(gè)，
故答案為：7.
變式13.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，，則滿足條件的集合C的個(gè)數(shù)為 ，滿足條件 B的集合C的個(gè)數(shù)為 ．
【答案】 4 3
【分析】分別求出集合A，B，根據(jù)集合間的包含關(guān)系求出集合C即可.
【詳解】解：，解得或，則，
由，可得，
滿足條件的集合為或或或，共4個(gè)，
滿足條件 B的集合為或或，共3個(gè)，
故答案為：4；3．
【方法技巧與總結(jié)】
1.求集合子集、真子集個(gè)數(shù)的三個(gè)步驟
2.集合子集、真子集個(gè)數(shù)的有關(guān)結(jié)論
若集合A中含有n個(gè)元素，集合A的子集個(gè)數(shù)為2n，真子集的個(gè)數(shù)為2n－1，非空真子集的個(gè)數(shù)為2n－2.
（二）根據(jù)集合的子集、真子集個(gè)數(shù)求參數(shù)
例4．（2023秋·廣東汕尾·高一華中師范大學(xué)海豐附屬學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若集合有且僅有兩個(gè)子集，則實(shí)數(shù)的值是 .
【答案】
【分析】通過集合有且僅有兩個(gè)子集，可知集合中只有一個(gè)元素，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)是否為分類討論.
【詳解】由集合有且僅有兩個(gè)子集，得中只有一個(gè)元素.
當(dāng)即時(shí)，，符合題意.
當(dāng)即時(shí)， 解得.
故答案為：
變式1.．（2023秋·湖北武漢·高一校聯(lián)考期中）已知集合的子集只有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)的值為 ．
【答案】0或1
【分析】分類討論確定集合中元素或元素個(gè)數(shù)后得出其子集個(gè)數(shù)，從而得結(jié)論．
【詳解】時(shí)，，子集只有兩個(gè)，滿足題意，
時(shí)，若即，則，子集只有1個(gè)，不滿足題意；
若，即，則集合有兩個(gè)元素，子集有4個(gè)，不滿足題意，
時(shí)，，，子集只有兩個(gè)，滿足題意，
所以或1.
故答案為：0或1，
變式2．（2023秋·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）已知集合恰有兩個(gè)非空真子集，則m的值可以是 ．（說明：寫出滿足條件的一個(gè)實(shí)數(shù)m的值）
【答案】（答案不唯一）
【分析】先根據(jù)題意得集合A中所含元素個(gè)數(shù)，再通過二次方程得答案.
【詳解】集合恰有兩個(gè)非空真子集,
則集合A中含有2個(gè)元素，即方程由2個(gè)不等實(shí)根，
，
解得且.
故答案為：（答案不唯一）.
變式3．（2023秋·上海浦東新·高一?？茧A段練習(xí)）集合．
(1)若是，求實(shí)數(shù)的取值范圍
(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使得集合有且僅有兩個(gè)子集，若存在，求出實(shí)數(shù)及對(duì)應(yīng)的子集，若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)子集為和；當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)子集為和.
【分析】（1）若，對(duì)應(yīng)的方程沒有實(shí)數(shù)根，可求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）要使集合A有且僅有兩個(gè)子集，集合A有且只有一個(gè)元素，即對(duì)應(yīng)的方程有且只有一個(gè)實(shí)根，可求實(shí)數(shù)的值．
【詳解】（1）若，方程沒有實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根不合題意；則，二次方程沒有實(shí)數(shù)根，，解得.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為
（2）要使集合A有且僅有兩個(gè)子集，則集合A有且只有一個(gè)元素，即對(duì)應(yīng)的方程有且只有一個(gè)實(shí)根，
當(dāng)時(shí)，方程化為，解得，此時(shí)，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)子集為和；
當(dāng)，二次方程只有一個(gè)實(shí)根，，解得，此時(shí)，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)子集為和.
【題型4：判斷兩個(gè)集合是否相等】
例5.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知集合，則與集合相等的集合為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】對(duì)A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，中，解得，
故，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，，故D正確..
變式1.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】對(duì)于A，表示不同的點(diǎn)，故A不正確；
對(duì)于B，集合與集合相同，故B正確；
對(duì)于C，為點(diǎn)的集合，為數(shù)的集合，兩者不相同，故C不正確；
對(duì)于D， 為點(diǎn)的集合，為數(shù)的集合，兩者不相同，故D不正確..
變式2.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列與集合表示同一集合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由解得或，
所以，C正確；
選項(xiàng)A不是集合，選項(xiàng)D是兩條直線構(gòu)成的集合，選項(xiàng)B表示點(diǎn)集，
變式3.（2023秋·山西運(yùn)城·高一?？迹┫旅骊P(guān)于集合的表示正確的序號(hào)是 .
①；
②；
③；
④.
【答案】③④
【解析】∵集合中的元素具有無序性，∴，∴①不不成立；
∵是點(diǎn)集，而不是點(diǎn)集，∴②不不成立；
∵與都表示大于1的實(shí)數(shù)組成的集合，∴③不成立；
∵與都表示奇數(shù)組成的集合，∴④不成立.
故答案為：③④.
【題型5：根據(jù)集合相等關(guān)系求參數(shù)】
例6.（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）由三個(gè)數(shù)a， ，1組成的集合與由，，0組成的集合相等，求的值．
【答案】1
【分析】由題意可得或，從而可求出的值，再檢驗(yàn)3個(gè)數(shù)是否能組成集合，然后代入計(jì)算即可.
【詳解】由a，，1組成一個(gè)集合，可知且，，
由題意可得或，綜上可得，
當(dāng)時(shí)，三個(gè)數(shù)為，可以組成一個(gè)集合，符合題意，
所以.
變式1.（2024秋·山東濟(jì)寧·高一月考）已知，，若，則（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)?，所以或，解得或或?br/>又集合中的元素需滿足互異性，所以，
則．.
變式2.（2024·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，且，求實(shí)數(shù)x，y的值．
【答案】
【分析】根據(jù)集合中的元素對(duì)應(yīng)相等，結(jié)合互異性即可分情況求解.
【詳解】由于，所以且，
若集合中，則，此時(shí)，由得，所以此時(shí)符合要求，
若集合中，則，此時(shí)這與矛盾，故這種情況不不成立，
綜上可知
變式3.（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）已知集合，若，求實(shí)數(shù)q的值．
【答案】
【分析】由集合相等的定義一一討論元素對(duì)應(yīng)關(guān)系即可.
【詳解】由元素的互異性得，
若，則有以下兩種情況：
①，不符合題意舍去；
②或（舍去），
綜上，.
變式4.（2023秋·湖北恩施·高一巴東一中?？茧A段練習(xí)）已知集合，集合.
（1）若，求的值；
（2）若，求實(shí)數(shù)的值；
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使.
【答案】（1）0或；（2）；（3）不存在.
【分析】（1）中不可能等于，讓另外兩個(gè)元素分別等于求得檢驗(yàn)；
（2）讓中元素分別等于，求得，然后檢驗(yàn)；
（3）由，令和分別求得，然后檢驗(yàn)是否符合題意．
【詳解】（1）集合中有三個(gè)元素：，，，，
或，
解得或，
當(dāng)時(shí)，，，，不成立；
當(dāng)時(shí)，，，，不成立.
的值為0或.
（2）集合中也有三個(gè)元素：0，1，.，
當(dāng)取0，1，時(shí)，都有，
集合中的元素都有互異性，，，
.
實(shí)數(shù)的值為.
（3），
若，則，，5，，
若，則，，，，
不存在實(shí)數(shù)，，使.
變式5.（2024秋·四川·高一眉山第一中學(xué)?？迹ǘ噙x）若集合 ，則的值可能為（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】AB
【解析】根據(jù)題意， 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
當(dāng) 時(shí)，化為， 所以；
當(dāng) 時(shí)，， 則，
又是方程的解， 所以，
得．
故答案為:
【題型6：空集性質(zhì)及其應(yīng)用】
例7．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列集合中為的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)集合的表示方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】對(duì)于A中，由集合中有一個(gè)元素，不符合題意；
對(duì)于B中，由集合中有一個(gè)元素，不符合題意；
對(duì)于C中，由方程，即，此時(shí)方程無解，可得，符合題意；
對(duì)于D中，不等式，解得，，不符合題意.
.
變式1.【多選】（2023秋·海南儋州·高一?？计谀┫铝嘘P(guān)系中表述正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】根據(jù)集合的相關(guān)概念逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】對(duì)A：寫法不對(duì)，應(yīng)為或，A錯(cuò)誤；
對(duì)B：是任何集合的子集，故不成立，B正確；
對(duì)C：是不含任何元素的集合，故，C錯(cuò)誤；
對(duì)D：是所有自然數(shù)組成的集合，故不成立，D正確.
D.
變式2.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知六個(gè)關(guān)系式①；②；③；④；⑤；⑥，它們中關(guān)系表達(dá)正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】根據(jù)元素與集合、集合與集合關(guān)系：
是的一個(gè)元素，故，①正確；
是任何非空集合的真子集，故、，②③正確；
沒有元素，故，④正確；且、，⑤錯(cuò)誤，⑥正確；
所以①②③④⑥正確.
變式3.（2023秋·湖南永州·高一?？茧A段練習(xí)）若集合 為空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】或
【分析】根據(jù)不等式的解集為空集，比較左右端點(diǎn)值的大小，列式即可求解.
【詳解】因?yàn)榧蠟榭占?，所以，即?
故答案為：或
變式4.（2023秋·高一校考課時(shí)練習(xí)）已知空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)二次方程無解等價(jià)于判別式小于0計(jì)算即可.
【詳解】由題意，二次方程無解，故，解得.
變式5.（2024·高一課時(shí)練習(xí)）若集合，則實(shí)數(shù)a的取值范圍 ．
【答案】
【分析】利用判別式小于0求解
【詳解】故無解則
故答案為：
變式6.（2023秋·上海浦東新·高一上海市進(jìn)才中學(xué)校考階段練習(xí)）關(guān)于的不等式組的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】由題意得，解不等式即可得出答案.
【詳解】由題意得：，所以．
故答案為：.
【題型7：根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)】
例8：（2023秋·遼寧大連·高三第二十高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知集合，，，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】
或（不可能，舍去）或（不可能，舍去）
變式1.（2023秋·安徽蕪湖·高一?？茧A段練習(xí)）若集合，，且，求實(shí)數(shù)m的值.
【答案】或或
【分析】分和兩種情況討論，結(jié)合已知即可得解.
【詳解】，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋曰颍?br/>所以或，
綜上所述，或或.
變式2.（2023秋·湖南懷化·高一校聯(lián)考期末）已知集合，.若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】或.
【分析】由題意，求得，再根據(jù)，結(jié)合韋達(dá)定理分和兩種情況討論即可求出答案．
【詳解】由，則.
，
為方程的解集.
①若，則，
或或，
當(dāng)時(shí)有兩個(gè)相等實(shí)根，即不合題意，同理，
當(dāng)時(shí)，符合題意；
②若則，即，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為或
變式3.（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，，若，求a的取值范圍．
【答案】
【分析】分和兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，利用數(shù)軸列出不等式組即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋瑒t，解得，
綜上.
變式4.（2023秋·廣東東莞·高一東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）設(shè)集合.
(1)當(dāng)時(shí)，求的非空真子集的個(gè)數(shù)；
(2)若，求的取值范圍.
【答案】(1)254
(2)
【分析】（1）由題得即可解決.（2）根據(jù)得，即可解決.
【詳解】（1）由題知，，
當(dāng)時(shí)，共8個(gè)元素，
的非空真子集的個(gè)數(shù)為個(gè)；
（2）由題知，
顯然，
因?yàn)椋?br/>所以，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
變式5.（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知集合.
(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)不存在
【分析】（1）根據(jù)題意，分和兩種情況討論，列出不等式組，即可求解；
（2）根據(jù)題意，結(jié)合，列出不等式組，即可求解.
【詳解】（1）解：①當(dāng)時(shí)，即，解得，此時(shí)滿足；
②當(dāng)時(shí)，要使得，
則滿足，解得，
綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（2）解：由題意，要使得，則滿足，此時(shí)不等式組無解，
所以實(shí)數(shù)不存在，即不存在實(shí)數(shù)使得.
變式6.（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知集合.
(1)若，則實(shí)數(shù)a的值是多少
(2)若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少
(3)若B A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用集合相等的性質(zhì)及集合的包含關(guān)系，結(jié)合數(shù)軸法求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)榧?，?br/>所以.
（2）因?yàn)?，如圖，

由圖可知，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
（3）因?yàn)锽 A，如圖，

由圖可知，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
變式7.（2023秋·安徽滁州·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合，，
(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若 ，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】根據(jù)集合之間的包含關(guān)系，建立不等式組，解得答案.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)：，即符合題意；
當(dāng)時(shí)，，，
綜上所述：.
（2）因?yàn)?，
當(dāng)時(shí)，，
，解得，無解，
當(dāng)時(shí)，或，
，
綜上所述：.
【方法技巧與總結(jié)】
根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)
(1)分析集合關(guān)系時(shí)，首先要分析、簡(jiǎn)化每個(gè)集合．
(2)此類問題通常借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個(gè)集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù)，還要注意驗(yàn)證端點(diǎn)值，做到準(zhǔn)確無誤，一般含“”用實(shí)心點(diǎn)表示，不含“”用空心點(diǎn)表示．
(3)此類問題還應(yīng)注意“空集”這一“陷阱”，尤其是集合中含有字母參數(shù)時(shí)，初學(xué)者會(huì)想當(dāng)然認(rèn)為非空集合而丟解，因此分類討論思想是必需的．
一、單選題
1．（2024·四川成都·三模）已知集合 ，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查集合間的包含關(guān)系，根據(jù)題意，分析集合之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
即，
故選項(xiàng)D正確，選項(xiàng)A、B、C錯(cuò)誤.
.
2．（23-24高二下·天津·期末）若集合，，則集合B的真子集個(gè)數(shù)為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】先用列舉法求出集合，在根據(jù)真子集的公式求解.
【詳解】由題意可知，所以集合的真子集個(gè)數(shù)為個(gè).
3．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知集合，，集合滿足，則所有滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根據(jù)集合的定義求得，再根據(jù)集合的包含關(guān)系，即可求得.
【詳解】，又，，
故集合為包含元素和，且為的子集，
故集合可以為：，則集合的個(gè)數(shù)是個(gè).
.
4．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）定義兩集合的差集：且，已知集合，，則的子集個(gè)數(shù)是（ ）個(gè)．
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【分析】根據(jù)題意求得集合，從而求得其子集的個(gè)數(shù).
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
所以，有兩個(gè)元素，
則的子集個(gè)數(shù)是個(gè)．
．
二、多選題
5．（2024高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）關(guān)于下圖說法正確的是（ ）
A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素
B．集合A、B、U中有相同的元素
C．集合U中有元素不在集合B中
D．集合A、B、U中的元素相同
【答案】ABC
【分析】由圖形可知集合間的包含關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)中的結(jié)論進(jìn)行判斷.
【詳解】由韋恩圖可得，ABU，且，結(jié)合真子集的定義可知，
集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素，A選項(xiàng)正確；
集合A、B、U中有相同的元素，B選項(xiàng)正確；
集合U中有元素不在集合B中，C選項(xiàng)正確；
集合A、B、U不相等，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
BC.
6．（22-23高一上·山東青島·階段練習(xí)）下列說法正確的有（ ）
A．集合有16個(gè)真子集 B．對(duì)于任意集合A，
C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若，則
【答案】CCD
【分析】根據(jù)集合的真子集個(gè)數(shù)公式判斷A；利用空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集判斷B、C、D.
【詳解】集合有4個(gè)元素，故其有個(gè)真子集，故A錯(cuò)誤；
空集是任何集合的子集，則，故B正確；
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故C正確；
空集是任何非空集合的真子集，若，則，故D正確.
CD.
7．（23-24高一上·浙江·階段練習(xí)）已知，集合與集合相等，下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CCD
【分析】根據(jù)題意，利用集合相等的概念，結(jié)合集合中元素的互異性可解．
【詳解】根據(jù)題意，，或，
當(dāng)時(shí)，，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，，
則，解得（舍）或，
所以，，
CD．
8．（22-23高一上·新疆烏魯木齊·期中）下列關(guān)系中正確的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根據(jù)元素與集合、集合與集合的關(guān)系及空集的性質(zhì)、集合相等的定義判斷各項(xiàng)的正誤.
【詳解】A：是集合中的元素，故，正確；
B：是任意非空集合的真子集，故，正確；
C：是的真子集，故，正確；
D：研究數(shù)值，而研究有序數(shù)對(duì)，故它們不相等，錯(cuò)誤.
BC
9．（23-24高二上·山西晉中·階段練習(xí)）已知集合，，則下列命題中正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則或
D．若，則或或
【答案】ABC
【分析】解一元二次方程求得集合，根據(jù)集合包含關(guān)系，集合相等的定義和集合的概念即可逐一判斷．
【詳解】依題意可得，
對(duì)于A，若，則，解得，故A正確；
對(duì)于B，若，則，解得，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，則，解得或，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤．
BC．
10．（23-24高一上·山東·期中）已知集合，且，則實(shí)數(shù)可能的取值是（ ）
A． B．0 C．-1 D．
【答案】ABC
【分析】首先求出集合A，然后結(jié)合的條件，對(duì)集合B中的參數(shù)a分類討論即可得答案.
【詳解】解：，且，則：
①當(dāng)時(shí)，或，解得或，A適合題意；
②若，則，解得，
③若，則，此時(shí)無解，
④若，則，此時(shí)無解，不合題意；
綜上：的值為0和.
BC.
三、填空題
11．（23-24高二下·安徽·階段練習(xí)）設(shè)集合，則集合的真子集個(gè)數(shù)為 ．
【答案】63
【分析】依題意求出集合，即可求得其真子集個(gè)數(shù)．
【詳解】由可知是的正因數(shù)，
即可取，故可得的值依次取，
即，
故集合的真子集有個(gè)．
故答案為：63.
12．（2024·重慶·三模）已知集合，，則滿足的集合的個(gè)數(shù)為 .
【答案】7
【分析】化簡(jiǎn)集合，結(jié)合求集合的子集的結(jié)論即可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br/>，
所以滿足的集合中必有元素2，3，
所以求滿足的集合的個(gè)數(shù)，即求集合的真子集個(gè)數(shù)，
所以滿足的集合的個(gè)數(shù)為個(gè).
故答案為：7.
四、解答題
13．（22-23高一·全國(guó)·課堂例題）指出下列各組集合之間的關(guān)系：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用數(shù)軸即可判斷集合關(guān)系；
（2）利用集合所表示的含義即可判斷；
（3）求出集合即可判斷.
【詳解】（1）在數(shù)軸上表示出集合A，B，如圖所示，由圖可知．
（2）∵集合A是偶數(shù)集，集合B是4的倍數(shù)集，∴．
（3）．在集合B中，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，∴，∴．
14．（24-25高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）確定下列每組兩個(gè)集合的包含關(guān)系或相等關(guān)系：
(1)A={為12的正約數(shù)}與；
(2)與{為4的正整數(shù)倍}.
【答案】(1)
(2)為的真子集
【分析】（1）用列舉法表示出集合可得答案；
（2）根據(jù)集合與里元素的性質(zhì)可得答案.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br/>（2）因?yàn)椋?br/>所以為.的真子集.
15．（2022高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)，寫出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集．
【答案】答案見解析
【分析】解出集合，按元素個(gè)數(shù)進(jìn)行分類寫出其子集即可.
【詳解】由，得，
解方程得或或，故集合.
由0個(gè)元素構(gòu)成的子集為；
由1個(gè)元素構(gòu)成的子集為；
由2個(gè)元素構(gòu)成的子集為；
由3個(gè)元素構(gòu)成的子集為,
因此集合A的子集為:，，，．
真子集為:，，.
16．（2023高一·江蘇·專題練習(xí)）已知集合，，若BA，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】
【分析】由集合的包含關(guān)系，列不等式求m的取值范圍.
【詳解】當(dāng)時(shí)，由，得.
當(dāng)時(shí)，如圖所示.

則，得，即，
綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
17．（2024高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知集合．
(1)若，為常數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
(2)若，為常數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
(3)若為常數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由見解析
【分析】（1）由集合的包含關(guān)系，分和兩種情況，列不等式求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）由集合的包含關(guān)系，列不等式求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）由集合的相等關(guān)系，列方程組求實(shí)數(shù)m的值.
【詳解】（1）①若，滿足，則，解得．
②若，滿足，則解得．
由①②可得，符合題意的實(shí)數(shù)m的取值范圍為．
（2）若，數(shù)軸表示如下：
依題意有即
此時(shí)m的取值范圍是．
（3）假設(shè)存在滿足題意的實(shí)數(shù)m．若，
則必有且，此時(shí)無解，即不存在使得的實(shí)數(shù)m．
18．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知集合．
(1)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)若AB，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意首先有，得，結(jié)合包含關(guān)系列出方程組即可求解.
（2）結(jié)合A是B的真子集列出不等式組即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)闉榉强諗?shù)集，得，解得，
若，則，解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
（2）若AB，則（等號(hào)不同時(shí)取得），解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
19．（23-24高一上·廣東佛山·期末）設(shè)集合
(1)若，試判斷集合與的關(guān)系；
(2)若，求的值組成的集合．
【答案】(1)，是的真子集；
(2)．
【分析】（1）當(dāng)時(shí)求出集合A與B，再判斷關(guān)系；
（2）求出集合B，注意對(duì)與分類討論，根據(jù)，列方程求解．
【詳解】（1）
當(dāng)時(shí)，，
所以B是A的真子集．
（2）．
若，則，是真子集不成立；
若，則，因?yàn)槭茿真子集，
或，所以或．
所以的值組成的集合．
20．（23-24高一上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知集合，其中是關(guān)于的方程的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.
(1)若，求出實(shí)數(shù)的值；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根據(jù)得到，結(jié)合方程的兩根得到方程，求出；
（2），故，結(jié)合方程的兩根得到不等式，求出.
【詳解】（1）因?yàn)?，故?br/>又的兩根分別為，
故，
故；
（2）因?yàn)?，故?br/>又的兩根分別為，
故，解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
21．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合
(1)若A中只有一個(gè)元素，求a的值
(2)若A中至多有一個(gè)元素，求a的取值范圍
(3)若，求a的取值范圍
【答案】(1)0或
(2)
(3)
【分析】（1）分和兩種情況，結(jié)合二次方程的判別式分析求解；
（2）分A中有一個(gè)元素或兩種情況，結(jié)合二次方程的判別式分析求解；
（3）分類討論A是否為空集以及是否為0，結(jié)合二次方程的判別式和韋達(dá)定理分析求解.
【詳解】（1）若時(shí)，，符合題意；
當(dāng)時(shí)，可知方程為一元二次方程，則，解得；
綜上所述：或.
（2）若A中至多有一個(gè)元素，即A中有一個(gè)元素或，
若A中有一個(gè)，由（1）可知：或；
若，則，解得；
綜上所述：a的取值范圍為.
（3）因?yàn)?，則有：
若，由（2）可知：；
若，則有：
若時(shí)，由（1）可知，符合題意；
當(dāng)時(shí)，則，解得；
綜上所述：a的取值范圍為.
22．（23-24高一上·吉林四平·階段練習(xí)）已知集合.
(1)若，存在集合使得為 的真子集且為的真子集，求這樣的集合；
(2)若集合是集合的一個(gè)子集，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）確定，并求出集合，寫出的真子集即得；
（2）分類討論，時(shí)滿足題意，時(shí)，由集合中的元素屬于集合，分別代入求出參數(shù)，得集合檢驗(yàn)即可．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，方程的根的判別式，所以.
又，故.
由已知，得應(yīng)是一個(gè)非空集合，且是的一個(gè)真子集，
用列舉法可得這樣的集合共有6個(gè)，分別為.
（2）當(dāng)時(shí)，是的一個(gè)子集，此時(shí)對(duì)于方程，
有，所以.
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，
，即，此時(shí)，
因?yàn)?，所以不是的子集?br/>同理當(dāng)時(shí)，，，也不是的子集；
當(dāng)時(shí)，，，也不是的子集.
綜上，滿足條件的的取值范圍是.
23．（23-24高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，對(duì)于，若且，則稱k為A的“孤立元”.給定集合，則A的所有子集中，只有一個(gè)“孤立元”的集合的個(gè)數(shù)為（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【分析】根據(jù)“孤立元”概念，分類討論求解即可.
【詳解】“孤立元”為的集合為，，，，
“孤立元”為的集合為，，
“孤立元”為的集合為，
“孤立元”為的集合為，，
“孤立元”為的集合為，，，，
綜上：滿足題意的集合有13個(gè).
24．（21-22高一·全國(guó)·課后作業(yè)）定義A B{z|zxy，x∈A，y∈B}．設(shè)集合A{0，2}，B{1，2}．
(1)求集合A B的所有元素之和．
(2)寫出集合A B的所有真子集．
【答案】(1)9
(2) ，{0}，{4}，{5}，{0，4}，{0，5}，{ 4，5}
【分析】（1）分別將A，B中的元素代入，從而求出A B中的元素，進(jìn)而求出元素之和；
（2）由（1）A B{0，4，5}，逐項(xiàng)寫出即可．
【詳解】（1）因?yàn)?A B{0，4，5}，
所以集合所有元素和 9
（2） ，{0}，{4}，{5}，{0，4}，{0，5}，{ 4，5}共7種可能．
25．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，集合，定義為中元素的最小值，當(dāng)取遍的所有非空子集時(shí)，對(duì)應(yīng)的的和記為，則 .
【答案】120
【分析】確定最小值分別為時(shí)相應(yīng)的集合A的個(gè)數(shù)，再求和即可.
【詳解】設(shè)，對(duì)M的任意非空子集A共有個(gè)，
其中最小值為1的有，最小值為2的有個(gè)，…，最小值為6的只有個(gè)，
．
故答案為：120
26．（23-24高一上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）含有有限個(gè)元素的數(shù)集，定義“元素和”如下：把集合中的各數(shù)相加；定義“交替和”如下：把集合中的數(shù)按從大到小的順序排列，然后從最大的數(shù)開始交替地減加各數(shù).例如的元素和是；交替和是；而的元素和與交替和都是5.
(1)寫出集合的所有非空子集的交替和的總和；
(2)已知集合，根據(jù)提示解決問題.求集合所有非空子集的元素和的總和；
【答案】(1)12；
(2)672.
【分析】（1）先求出集合的所有非空子集，根據(jù)“交替和”的定義分別求和后可得所有的“交替和”的和；
（2）根據(jù)提示可計(jì)算每個(gè)元素出現(xiàn)的次數(shù)求所有非空子集的元素和的總和.
【詳解】（1）集合的非空子集為，，，，，，，
集合，，的交替和分別為1，2，3，
集合的交替和為，
集合的交替和為，
集合的交替和為，
集合的交替和為，
所以集合的所有非空子集的交替和的總和為；
（2）在集合所有非空子集中，數(shù)字1與中的元素構(gòu)成子集，
故數(shù)字1在集合所有非空子集中共出現(xiàn)次，
同理2，3，4，5，6各出現(xiàn)次，
所以集合所有非空子集的元素和的總和為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是在第（2）問中求集合的所有非空子集.
27．（23-24高三上·上海浦東新·期中）是正整數(shù)集的子集，滿足：，并有如下性質(zhì)：若、，則，其中表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，則的非空子集個(gè)數(shù)為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，先判斷中相鄰兩數(shù)不可能大于等于2，可得2，3，，，從而求出，再根據(jù)子集的個(gè)數(shù)與集合元素個(gè)數(shù)之間的關(guān)系即可得答案．
【詳解】由題意可知：若，，則，，，均屬于，
而事實(shí)上，若，中，
所以，
故，中有正整數(shù)，
從而中相鄰兩數(shù)不可能大于等于2，
故2，3，，，
若，，則有，與矛盾，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，則，
所以，，
所以，2，，，
所以非空子集有個(gè)．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】新定義題型的特點(diǎn)是：通過給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決.
28．（2012高一·全國(guó)·競(jìng)賽）已知集合的子集B滿足：對(duì)任意，有，則集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值是（ ）．
A．1005 B．1006 C．1007 D．1008
【答案】C
【分析】假設(shè)B中元素最大是2012，再將其余元素分組，再結(jié)合抽屜原理即可得解.
【詳解】假設(shè)B中元素最大是2012，
將其余元素分組：共1005組，
一定不包含，
若B中元素多于1006個(gè)，
由抽屜原理可知，必有兩個(gè)數(shù)在同一組，兩數(shù)和為2012，與已知矛盾，
所以B中元素最多為1006個(gè)，
同理可知，當(dāng)B中最大元素小于2012時(shí)，元素個(gè)數(shù)不超過1006個(gè)，
又滿足題意，元素個(gè)數(shù)為1006個(gè)．
所以B中元素個(gè)數(shù)的最大值為1006．
.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于對(duì)不等關(guān)系進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，找出便于理解的處理方式，當(dāng)然此題解法不唯一，可以討論極限情況，可以分類列舉觀察規(guī)律.
29．（21-22高一上·河南·階段練習(xí)）定義：表示集合中元素的個(gè)數(shù)，.已知集合，集合，集合，若，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．且
【答案】A
【分析】由題意，，由，得或，分類討論集合B中元素個(gè)數(shù)即可.
【詳解】，，
，又，或，
方程的解為；
方程可能有0個(gè)解，2個(gè)相同的解，2個(gè)不同的解，
或或，故只需要排除，
若，①當(dāng)，即時(shí)，
時(shí)方程的解為，時(shí)方程的解為，
或，不成立，
②若是方程的根，則，方程的解為和，
，不成立，
③若1是方程的根，則，方程的解為和，
，不成立，
0不可能是方程的根，
綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，，
故的取值范圍是且.
．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)1.1.2 集合的基本關(guān)系
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解子集、真子集概念以及集合相等。 2.掌握用數(shù)學(xué)符號(hào)語言以及V圖語言表示集合間的基本關(guān)系。 3.能夠區(qū)分集合間的包含關(guān)系與元素與集合的屬于關(guān)系。 1.對(duì)集合之間包含與相等的含義以及子集、真子集概念的理解； 2.集合的子集的辨析和應(yīng)用； 3.對(duì)給出的集合能寫出其子集和真子集；有集合元素個(gè)數(shù)求子集個(gè)數(shù)； 4.在理解集合間關(guān)系的過程中，運(yùn)用數(shù)軸和venn圖解決子集及真子集問題，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力； 5.通過觀察身邊的實(shí)例，發(fā)現(xiàn)集合間的基本關(guān)系，體驗(yàn)其現(xiàn)實(shí)意義。
知識(shí)點(diǎn)1 子集
1.概念：一般地，如果集合A的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，那么集合A稱為集合B 的子集.
2.記法：A B（或B A）.
3.讀法：A包含于B（或"B包含A"）.
4.如果A不是B的子集，記作AB（或B A），讀作“A不包含于B”（或“B不包含A”）.
5.性質(zhì)：A A； A.
6.圖形表示：
【即學(xué)即練1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）設(shè)集合，，則下列關(guān)系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【即學(xué)即練2】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列各式：①，②，③，④，⑤，其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【即學(xué)即練3】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知集合，則含有元素0的A的子集個(gè)數(shù)是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
知識(shí)點(diǎn)2 真子集
1.概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A，那么集合A稱為集合B的真子集.
2.記法：A B（或BA）.
3.讀法：A真包含于B（或“B真包含A”）.
4.性質(zhì)：對(duì)于集合A，B，C，①如果A B,B C,則A C
②如果A B，B C，則A C；
5.圖形表示：
6.如果集合A中含有n個(gè)元素，則有
（1）A的子集的個(gè)數(shù)有2n個(gè)．
（2）A的非空子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)．
（3）A的真子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)．
（4）A的非空真子集的個(gè)數(shù)有2n－2個(gè)．
【即學(xué)即練4】（2024秋·江蘇鹽城·高一統(tǒng)考期中）若集合，，則集合A與B的關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．不確定
【即學(xué)即練5】（2023春·江西南昌·高二南昌市鐵路第一中學(xué)校考階段練習(xí)）滿足條件的所有集合的個(gè)數(shù)是（ ）
A．32 B．31 C．16 D．15
知識(shí)點(diǎn)3空集
1、定義：一般地，把不含任何元素的集合叫做空集，記為 ，規(guī)定：空集是任何集合的子集．
在這個(gè)規(guī)定的基礎(chǔ)上，結(jié)合子集和真子集的有關(guān)概念，可以得到：
（1）空集只有一個(gè)子集，即它本身； （2）空集是任何非空集合的真子集．
2、0，{0}， ，{ }的關(guān)系
與0 與{0} 與{ }
相同點(diǎn) 都表示無的意思 都是集合 都是集合
不同點(diǎn) 是集合； 0是實(shí)數(shù) 中不含任何元素； {0}含一個(gè)元素0 不含任何元素； { }含一個(gè)元素，該元素是
關(guān)系 0 {0} { }或 ∈{ }
【即學(xué)即練6】（2024秋·湖北咸寧·高一?？茧A段練習(xí)）給出下列說法：
①空集沒有子集；
②任何集合至少有兩個(gè)子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若，則．
其中正確的說法有（ ）
A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)
知識(shí)點(diǎn)4 Venn圖
用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖。表示集合的Venn圖的邊界是封閉曲線，它可以是圓、矩形、橢圓，也可以是其他封閉曲線。
韋恩圖可以直觀、形象地表示出集合之間的關(guān)系
【即學(xué)即練7】（2024·河南新鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）下列表示集合和關(guān)系的Venn圖中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
知識(shí)點(diǎn)5 集合的相等與子集的關(guān)系
1.定義：如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等
2.圖形表示：
3.如果 A B，且B A則 A= B.
4.如果A=B則A B且B A.
【即學(xué)即練8】已知集合，若，則的值為（ ）
A．1 B． C． D．1或
易錯(cuò)點(diǎn)　忽略空集的特殊性致誤　
示例：　設(shè)M{x|x2－2x－30}，N{x|ax－10}，若N M，求所有滿足條件的a的取值集合．
【題型1：集合間關(guān)系的判斷】
例1.（2022秋·江蘇鹽城·高一統(tǒng)考期中）若集合，，則集合A與B的關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．不確定
變式1.（2024·北京·高三專題練習(xí)）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
變式2.（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（ ）
A．， B．，
C． D．
變式3.（2024·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）下列集合關(guān)系中錯(cuò)誤的是（ ）
A． B． C． D．
變式4.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，，則M與P的關(guān)系為（ ）
A．MP B．MP C．P M D．MP
變式5.（2024秋·江西南昌·高一校聯(lián)考期中）若，，則必有（ ）
A． B． C． D．
變式6.【多選】（2024·高一單元測(cè)試）集合，，則下列關(guān)系錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．
C． D．
變式7.(2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）若集合，，，則的關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結(jié)】
判斷集合間關(guān)系的方法
(1)用定義判斷
首先，判斷一個(gè)集合A中的任意元素是否屬于另一集合B，若是，則A B，否則A不是B的子集；
其次，判斷另一個(gè)集合B中的任意元素是否屬于第一個(gè)集合A，若是，則B A，否則B不是A的子集；
若既有A B，又有B A，則AB.
(2)數(shù)形結(jié)合判斷
對(duì)于不等式表示的數(shù)集，可在數(shù)軸上標(biāo)出集合的元素，直觀地進(jìn)行判斷，但要注意端點(diǎn)值的取舍．
【題型2：確定集合的子集、真子集】
例2．（2023秋·海南儋州·高一校考期中）寫出集合的所有子集和它的真子集.
變式1.．（2023秋·湖南郴州·高一?？茧A段練習(xí)）下列集合中，可以為集合的真子集的是（ ）
A． B． C． D．
變式2.．（2023秋·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）若，則 .
變式3.．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合且，則（ ）
A． B． C． D．
變式4.．（2023秋·山東日照·高一校考階段練習(xí)）設(shè)，．
(1)寫出集合A的所有子集；
(2)若B為非空集合，求a的值．
【方法技巧與總結(jié)】
對(duì)集合子集、真子集概念的認(rèn)識(shí)：
(1)真子集的概念也可以敘述為：若集合A B，存在元素x滿足x∈B且xA，則稱集合A是集合B的真子集．
(2)集合A是集合B的真子集，需要滿足以下兩個(gè)條件：①集合A是集合B的子集；②存在元素x滿足x∈B，且xA.所以，如果集合A是集合B的真子集，那么集合A一定是集合B的子集，反之不不成立．
(3)空集是任意非空集合的真子集，這里強(qiáng)調(diào)的是“非空”兩字，解題時(shí)不能丟掉空集這一特例．
(4)任意集合都一定有子集，但是不一定有真子集．空集沒有真子集．一個(gè)集合的真子集的個(gè)數(shù)比子集的個(gè)數(shù)少1.
【題型3：子集、真子集個(gè)數(shù)問題】
（一）求子集、真子集個(gè)數(shù)
例3．（2023春·浙江衢州·高一統(tǒng)考期末）已知集合，則集合的子集有（ ）
A．7個(gè) B．6個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)
變式1.（2024秋·湖北·高一校聯(lián)考）集合的子集的個(gè)數(shù)是（ ）
A．16 B．8 C．7 D．4
變式2.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）集合，則的子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4 B．8 C．15 D．16
變式3.．（2024·高一單元測(cè)試）已知非空集合，且A中至多有一個(gè)奇數(shù)，則這樣的集合共有 個(gè)．
變式4.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知非空集合滿足:對(duì)任意，總有，且.若，則滿足條件的的個(gè)數(shù)是（ ）
A．11 B．12 C．15 D．16
變式5．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知集合，則集合的真子集個(gè)數(shù)為（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
變式6．（2024·河南開封·統(tǒng)考三模）已知集合，，則集合B的真子集個(gè)數(shù)是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
變式7．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合，且，若，，則集合M的非空真子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4 B．6 C．7 D．15
變式8．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）若一個(gè)集合含有n個(gè)元素，則稱該集合為“n元集合”.已知集合，則其“2元子集”的個(gè)數(shù)為（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
變式9.（2023秋·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）已知，則符合條件的集合的個(gè)數(shù)是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
變式10.（2024秋·云南保山·高一校聯(lián)考）滿足的集合的個(gè)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
變式11．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若集合A滿足 ，則集合A所有可能的情形有（ ）
A．3種 B．5種 C．7種 D．9種
變式12.（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知集合M滿足 則集合M的個(gè)數(shù)為 ．
變式13.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，，則滿足條件的集合C的個(gè)數(shù)為 ，滿足條件 B的集合C的個(gè)數(shù)為 ．

【方法技巧與總結(jié)】
1.求集合子集、真子集個(gè)數(shù)的三個(gè)步驟
2.集合子集、真子集個(gè)數(shù)的有關(guān)結(jié)論
若集合A中含有n個(gè)元素，集合A的子集個(gè)數(shù)為2n，真子集的個(gè)數(shù)為2n－1，非空真子集的個(gè)數(shù)為2n－2.
（二）根據(jù)集合的子集、真子集個(gè)數(shù)求參數(shù)
例4．（2023秋·廣東汕尾·高一華中師范大學(xué)海豐附屬學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若集合有且僅有兩個(gè)子集，則實(shí)數(shù)的值是 .
變式1.．（2023秋·湖北武漢·高一校聯(lián)考期中）已知集合的子集只有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)的值為 ．
變式2．（2023秋·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）已知集合恰有兩個(gè)非空真子集，則m的值可以是 ．（說明：寫出滿足條件的一個(gè)實(shí)數(shù)m的值）
變式3．（2023秋·上海浦東新·高一校考階段練習(xí)）集合．
(1)若是，求實(shí)數(shù)的取值范圍
(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使得集合有且僅有兩個(gè)子集，若存在，求出實(shí)數(shù)及對(duì)應(yīng)的子集，若不存在，說明理由．
【題型4：判斷兩個(gè)集合是否相等】
例5.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知集合，則與集合相等的集合為（ ）
A． B．
C． D．
變式1.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
變式2.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列與集合表示同一集合的是（ ）
A． B．
C． D．
變式3.（2023秋·山西運(yùn)城·高一校考）下面關(guān)于集合的表示正確的序號(hào)是 .
①；
②；
③；
④.
【題型5：根據(jù)集合相等關(guān)系求參數(shù)】
例6.（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）由三個(gè)數(shù)a， ，1組成的集合與由，，0組成的集合相等，求的值．
變式1.（2024秋·山東濟(jì)寧·高一月考）已知，，若，則（ ）
A．0 B．1 C． D．
變式2.（2024·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，且，求實(shí)數(shù)x，y的值．
變式3.（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）已知集合，若，求實(shí)數(shù)q的值．
變式4.（2023秋·湖北恩施·高一巴東一中?？茧A段練習(xí)）已知集合，集合.
（1）若，求的值；
（2）若，求實(shí)數(shù)的值；
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使.
變式5.（2024秋·四川·高一眉山第一中學(xué)?？迹ǘ噙x）若集合 ，則的值可能為（ ）
A． B． C．0 D．
【題型6：空集性質(zhì)及其應(yīng)用】
例7．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列集合中為的是（ ）
A． B．
C． D．
變式1.【多選】（2023秋·海南儋州·高一?？计谀┫铝嘘P(guān)系中表述正確的是（ ）
A． B． C． D．
變式2.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知六個(gè)關(guān)系式①；②；③；④；⑤；⑥，它們中關(guān)系表達(dá)正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
變式3.（2023秋·湖南永州·高一校考階段練習(xí)）若集合 為空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
變式4.（2023秋·高一校考課時(shí)練習(xí)）已知空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式5.（2024·高一課時(shí)練習(xí)）若集合，則實(shí)數(shù)a的取值范圍 ．
變式6.（2023秋·上海浦東新·高一上海市進(jìn)才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）關(guān)于的不等式組的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【題型7：根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)】
例8：（2023秋·遼寧大連·高三第二十高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知集合，，，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
變式1.（2023秋·安徽蕪湖·高一校考階段練習(xí)）若集合，，且，求實(shí)數(shù)m的值.
變式2.（2023秋·湖南懷化·高一校聯(lián)考期末）已知集合，.若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
變式3.（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，，若，求a的取值范圍．
變式4.（2023秋·廣東東莞·高一東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）設(shè)集合.
(1)當(dāng)時(shí)，求的非空真子集的個(gè)數(shù)；
(2)若，求的取值范圍.
變式5.（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知集合.
(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
變式6.（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知集合.
(1)若，則實(shí)數(shù)a的值是多少
(2)若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少
(3)若B A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少
變式7.（2023秋·安徽滁州·高一校考階段練習(xí)）已知集合，，
(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若 ，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【方法技巧與總結(jié)】
根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)
(1)分析集合關(guān)系時(shí)，首先要分析、簡(jiǎn)化每個(gè)集合．
(2)此類問題通常借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個(gè)集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù)，還要注意驗(yàn)證端點(diǎn)值，做到準(zhǔn)確無誤，一般含“”用實(shí)心點(diǎn)表示，不含“”用空心點(diǎn)表示．
(3)此類問題還應(yīng)注意“空集”這一“陷阱”，尤其是集合中含有字母參數(shù)時(shí)，初學(xué)者會(huì)想當(dāng)然認(rèn)為非空集合而丟解，因此分類討論思想是必需的．
一、單選題
1．（2024·四川成都·三模）已知集合 ，則（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·天津·期末）若集合，，則集合B的真子集個(gè)數(shù)為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知集合，，集合滿足，則所有滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）定義兩集合的差集：且，已知集合，，則的子集個(gè)數(shù)是（ ）個(gè)．
A．2 B．4 C．8 D．16
二、多選題
5．（2024高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）關(guān)于下圖說法正確的是（ ）
A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素
B．集合A、B、U中有相同的元素
C．集合U中有元素不在集合B中
D．集合A、B、U中的元素相同
6．（22-23高一上·山東青島·階段練習(xí)）下列說法正確的有（ ）
A．集合有16個(gè)真子集 B．對(duì)于任意集合A，
C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若，則
7．（23-24高一上·浙江·階段練習(xí)）已知，集合與集合相等，下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（22-23高一上·新疆烏魯木齊·期中）下列關(guān)系中正確的有（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24高二上·山西晉中·階段練習(xí)）已知集合，，則下列命題中正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則或
D．若，則或或
10．（23-24高一上·山東·期中）已知集合，且，則實(shí)數(shù)可能的取值是（ ）
A． B．0 C．-1 D．
三、填空題
11．（23-24高二下·安徽·階段練習(xí)）設(shè)集合，則集合的真子集個(gè)數(shù)為 ．
12．（2024·重慶·三模）已知集合，，則滿足的集合的個(gè)數(shù)為 .
四、解答題
13．（22-23高一·全國(guó)·課堂例題）指出下列各組集合之間的關(guān)系：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
14．（24-25高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）確定下列每組兩個(gè)集合的包含關(guān)系或相等關(guān)系：
(1)A={為12的正約數(shù)}與；
(2)與{為4的正整數(shù)倍}.
15．（2022高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)，寫出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集．
16．（2023高一·江蘇·專題練習(xí)）已知集合，，若BA，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
17．（2024高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知集合．
(1)若，為常數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
(2)若，為常數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
(3)若為常數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．
18．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知集合．
(1)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)若AB，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
19．（23-24高一上·廣東佛山·期末）設(shè)集合
(1)若，試判斷集合與的關(guān)系；
(2)若，求的值組成的集合．
20．（23-24高一上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知集合，其中是關(guān)于的方程的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.
(1)若，求出實(shí)數(shù)的值；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
21．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合
(1)若A中只有一個(gè)元素，求a的值
(2)若A中至多有一個(gè)元素，求a的取值范圍
(3)若，求a的取值范圍
22．（23-24高一上·吉林四平·階段練習(xí)）已知集合.
(1)若，存在集合使得為 的真子集且為的真子集，求這樣的集合；
(2)若集合是集合的一個(gè)子集，求的取值范圍.
23．（23-24高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，對(duì)于，若且，則稱k為A的“孤立元”.給定集合，則A的所有子集中，只有一個(gè)“孤立元”的集合的個(gè)數(shù)為（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
24．（21-22高一·全國(guó)·課后作業(yè)）定義A B{z|zxy，x∈A，y∈B}．設(shè)集合A{0，2}，B{1，2}．
(1)求集合A B的所有元素之和．
(2)寫出集合A B的所有真子集．
25．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，集合，定義為中元素的最小值，當(dāng)取遍的所有非空子集時(shí)，對(duì)應(yīng)的的和記為，則 .
26．（23-24高一上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）含有有限個(gè)元素的數(shù)集，定義“元素和”如下：把集合中的各數(shù)相加；定義“交替和”如下：把集合中的數(shù)按從大到小的順序排列，然后從最大的數(shù)開始交替地減加各數(shù).例如的元素和是；交替和是；而的元素和與交替和都是5.
(1)寫出集合的所有非空子集的交替和的總和；
(2)已知集合，根據(jù)提示解決問題.求集合所有非空子集的元素和的總和；
27．（23-24高三上·上海浦東新·期中）是正整數(shù)集的子集，滿足：，并有如下性質(zhì)：若、，則，其中表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，則的非空子集個(gè)數(shù)為 ．
28．（2012高一·全國(guó)·競(jìng)賽）已知集合的子集B滿足：對(duì)任意，有，則集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值是（ ）．
A．1005 B．1006 C．1007 D．1008
29．（21-22高一上·河南·階段練習(xí)）定義：表示集合中元素的個(gè)數(shù)，.已知集合，集合，集合，若，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．且
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