資源簡介

1.1.3 集合的基本運算
課程標準 學習目標
1.理解兩個集合的并集與交集、全集和補集的含義； 2.掌握求兩個簡單集合的交集與并集的方法； 3.會求給定子集的補集. 1.對集合兩個集合的交集、并集、全集概念的理解； 2.補集的理解； 3.會求集合間的交集、并集及其補集的運算； 4.在借助Venn圖理解集合的基本運算.體會直觀圖示對理解抽象概念的作用,培養數形結合的思想； 5.通過觀察身邊的實例，發現集合間的基本運算，體驗其現實意義。
知識點01 交集
自然語言 一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集(union set)，記作 A∪B(讀作“A并B”)，
符號語言 A∪B{x|x∈A，或x∈B},
圖形語言 可用Venn圖表示．
2.交集常用的運算性質
性質 定義
滿足交換律
空集與任何集合的交集都是空集
集合與集合本身的交集仍為集合本身
多個集合的交集滿足結合律
若，則 交集關系與子集關系的轉化
兩個集合的交集是其中任一集合的子集
3、解題思路：單個數字交集找相同，不等式的交集畫數軸，不同集合高度畫不同。
【即學即練1】（2024·全國·高一）設集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【即學即練2】（2024·全國·高一假期作業）設集合，，則圖陰影區域表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【即學即練3】（2024·江蘇·高一假期作業）已知集合則=________．
知識點02并集
自然語言 一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為集合A與B的交集，記作 A∩B(讀作“A交B”)，
符號語言 A∩B{x|x∈A，且x∈B}
圖形語言 可用Venn圖表示．
2.并集的常用運算性質
性質 定義
滿足交換律
任何集合與其本身的并集等于這個集合本身
任何集合與空集的并集等于這個集合本身
多個集合的并集滿足結合律
, 任何集合都是該集合與另一個集合并集的子集
任何集合與它子集的并集都是它本身，反之亦然
3、解題思路：兩個集合所有元素集中在一起，但重復元素只寫一次，要滿足集合中的互異性
【即學即練4】（2024春·浙江寧波·高一統考期末）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【即學即練5】（2024·湖北荊門·荊門市龍泉中學校考模擬預測）已知集合，，，則（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
知識點03 全集與補集
1．全集
(1)定義：如果一個集合含有所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集．
(2)記法：全集通常記作U.
2．補集
自然語言 對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，記作 UA
符號語言 UA{x|x∈U，且x A}
圖形語言 可用Venn圖表示．
3.補集的常用運算性質
性質 定義
任何集合與其補集的并集為全集
任何集合與其補集的交集為空集
任何集合補集的補集為集合本身
全集的補集為空集，空集的補集為全集
【注意】并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R，要看題目的。
【即學即練7】（2023春·貴州·高一貴州師大附中校聯考階段練習）已知集合，，則（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【即學即練8】（2024秋·山西大同·高一統考期末）已知集合，，，則（ ）
A． B． C． D．
知識點04 德摩根律與容斥原理
1、德摩根定律：設集合U為全集，A、B為U的子集，則有
（1）
（2）2、容斥原理：在部分有限集中，我們經常遇到有關集合中元素的個數問題，常用Venn圖表示兩集合的交、并、補。如果用card表示有限集合元素的個數，即card（A）表示有限集A的元素個數，則有如下結論：
（1）
（2）
【即學即練9】（2024秋·河南洛陽·高一校考階段練習）移動支付、高鐵、網購與共享單車被稱為中國的新“四大發明”.某中學為了解本校學生中新“四大發明”的普及情況，隨機調查了100位學生，其中使用過移動支付或共享單車的學生共90位，使用過移動支付的學生共有80位，使用過共享單車且使用過移動支付的學生共有80位，則該校使用共享單車的學生人數為（ ）
A．70 B．80 C．70 D．80
難點：交集、并集性質的運用
示例1：已知A{x|x2－ax＋a2－190}，B{x|x2－5x＋82}，C{x|x2＋2x－80}，若 (A且A ，求a的值．
難點：補集思想的應用
示例2：已知集合A{x|x2－4x＋2m＋60}，B{x|x＜0}，若A求實數m的取值范圍．

【題型1：交集的運算】
例1．（2024·浙江溫州·高二統考學業考試）設集合，，則（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2024·浙江·高二）若集合，，則（ ）
A． B． C． D．
變式2．（甘肅省2023-2024學年高一下學期期末數學試題）若集合，，則（ ）
A． B． C． D．
變式3．（2024·河北唐山·高二期末）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
變式4．（山東省濟寧市2023-2024學年高二下學期期末數學試題）已知集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
變式5．（陜西省漢中市2023-2024學年高二下學期期末校際聯考理科數學試題）已知集合，或，則（ ）
A． B． C． D．
變式6.（2024·高一·練習）已知A{x|x≤1}，B{y|y≥0}，則集合A∩B等于( )
A． B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0變式7．（2024·天津和平·高一耀華中學校考期中）若集合，，則 .
變式8．（2024·四川綿陽·高二期末）集合，則的元素個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
變式9.（2024·高二·練習）已知集合A{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B{(x，y)|x＋y－10，x，y∈Z}，則A∩B________.
【方法技巧與總結】
1、對交集概念的理解
(1)對于“A∩B{x|x∈A，且x∈B}”，包含以下兩層意思：①A∩B中的任一元素都是A與B的公共元素；②A與B的公共元素都屬于A∩B，這就是文字定義中“所有”二字的含義，如A{1，2，3}，B{2，3，4}，則A∩B{2，3}，而不是{2}或{3}．
(2)任意兩個集合并不是總有公共元素，當集合A與B沒有公共元素時，不能說A與B沒有交集，而是A∩B .
(3)當AB時，A∩BA和A∩BB同時不成立．
2、求交集的基本思路
首先要識別所給集合，其次要化簡集合，使集合中的元素明朗化，最后再依據交集的定義寫出結果，有時要借助于Venn圖或數軸寫出交集．借助于數軸時要注意數軸上方“雙線”(即公共部分)下面的實數組成了交集．
3、求兩個集合的交集的方法
(1)對于元素個數有限的集合，逐個挑出兩個集合的公共元素即可．
(2)對于元素個數無限的集合，一般借助數軸求交集，兩個集合的交集等于兩個集合在數軸上的相應圖形所覆蓋的公共范圍，要注意端點值的取舍．
【題型2：并集的運算】
例2．（2024·浙江·統考模擬預測）已知集合，則（ ）
A．{2} B．{2,3,4} C．{1,2,3,4} D．{0,2,3,4}
變式1．（2024·全國·高一假期作業）設集合，，則（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2024·江西景德鎮·高一統考期中）集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（2024·廣東汕頭·高一金山中學校考期中）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
變式4.（2024·全國·高一假期作業）已知集合，集合，則（ ）
A． B． C． D．
變式5．（2024·廣西·高二校聯考期中）已知集合，，則中的元素個數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
變式6.（2024·全國·高一假期作業）已知集合，若，則B可能是（ ）
A． B． C． D．
變式7.（2024·全國·高一假期作業）已知集合A={三角形}，B={等腰三角形}，C={矩形}，D={菱形}，則（ ）
A． B． C． D．{正方形}
【方法技巧與總結】
求并集的基本思路
(1)在求兩個集合的并集時，它們的公共元素在并集中只能出現一次．
(2)此類題目首先應看清集合中元素的范圍，簡化集合，若是用列舉法表示的數集，可以根據并集的定義直接觀察或用Venn圖表示出集合運算的結果；若是用描述法表示的數集，可借助數軸分析寫出結果，此時要注意當端點不在集合中時，應用“空心點”表示．
【題型3：補集的運算】
例3.（2024·全國·高一假期作業）設全集，集合，則（ ）.
A． B． C． D．
變式1．（2024·貴州·高二貴州師大附中校聯考階段練習）已知集合，，則（ ）
A． B．或
C．或 D．或
變式2．（2024·安徽六安·高三六安一中校考階段練習）設全集，，則（ ）
A． B． C． D．
變式3．（2024·天津河北·高二統考期末）已知集合，，則集合（ ）
A． B．
C． D．
變式4．（2024·云南昆明·高二統考期中）設全集或，則（ ）
A．或 B．或
C． D．{0，1，2，3，4，5，6}
變式5.（2024·全國·高一假期作業）已知集合，，全集，則（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
1、全集概念的理解
全集不是固定不變的，它是一個相對概念，是依據具體問題來選擇的．例如，我們在研究數集時，通常把實數集R作為全集；當我們只討論大于0且小于5的實數時，可選{x|02、補集與全集的關系
(1)補集是相對于全集而言的，它與全集不可分割．一方面，若沒有定義全集，則不存在補集的說法；另一方面，補集的元素逃不出全集的范圍．
(2)補集既是集合之間的一種關系，也是集合之間的一種運算．求集合A的補集的前提是A為全集U的子集，隨著所選全集的不同，得到的補集也是不同的.
(3)集合的補集運算與實數的減法運算可進行類比：
實數 集合
被減數a 被減集合(全集)U
減數b 減集合A
差a－b 補集 UA
(4)符號有三層意思：①A是U的子集，即A U；②表示一個集合，且() U；③是U中不屬于A的所有元素組成的集合，即{x|x∈U，且x A}．
3、求補集的原則和方法
(1)一個基本原則．
求給定集合A的補集，從全集U中去掉屬于集合A的元素后，由所有剩下的元素組成的集合即為A的補集．
(2)兩種求解方法：
①若所給的集合是有關不等式的集合，則常借助于數軸，把已知集合及全集分別表示在數軸上，然后再根據補集的定義求解，注意端點值的取舍．
②若所給的集合是用列舉法表示，則用Venn圖求解．
【題型4：集合交、并、補的綜合運算】
例4．（2024·海南海口·海南華僑中學校考一模）設全集，，，則（ ）
A．{1，2} B．
C． D．
變式1.（2024·江蘇·高一假期作業）設全集，集合，，則（ ）
A． B． C． D．
變式2.（2024·江蘇·高一假期作業）設集合則 ．
變式3.（2024·全國·統考高考真題）設全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
變式4.．（2024·廣東惠州·高三統考階段練習）設，，，求（ ）
A． B． C． D．
變式5.（2024·高一假期作業）設集合，，則（ ）
A． B． C． D．
變式6．（2024·福建福州·福建省福州第一中學校考二模）已知集合滿足，則可能是（ ）
A． B． C． D．
變式7．（2024·江蘇南通·高一統考期末）設全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
變式8.（2024·全國）設集合，集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧與總結】
求集合交、并、補運算的方法
注：1、進行集合運算時，可按照如下口訣進行：
交集元素仔細找，屬于且屬于；
并集元素勿遺漏，切忌重復僅取一；
全集是大范圍，去掉中元素，剩余元素成補集。
2、解決集合的混合運算問題時，一般先算括號內的部分；
3、當集合是用列舉法表示時（如數集），可以通過列舉集合的元素分別得到所求的集合；當集合用描述法表示時（如不等式行事表示的集合），則可運用數軸求解。
【題型5：集合運算的求參問題】
（一）根據交集運算求參數
例5.（2024·江西宜春·高一江西省清江中學校考期末）已知集合，，若，則（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
變式1.（2024·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）已知集合，，若，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
變式2.（2024·全國·高一假期作業）設集合，，若，求實數的取值范圍.
變式3.（2024·全國·高一假期作業）設集合,
(1)若，求；
(2)若，求實數的取值范圍．
（二）根據并集運算求參數
例6.（2024·全國·高三專題練習）已知集合，，且，則實數a的所有值構成的集合是（ ）
A． B． C． D．
變式1.（2024·江西景德鎮·高二景德鎮一中校考期中）設集合，，若，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
變式2.（2024·全國·高三專題練習）已知，集合，，若，則實數的取值范圍是 .
變式3.（2024·上海閔行·高三上海市七寶中學校考階段練習）已知集合，且，則實數的取值范圍是 .
變式4.（2024·高一課時練習）己知集合．
（1）若，則實數a的取值范圍是 ．
（2）若，則實數a的取值范圍是 ．
（3）若，則實數a的取值范圍是 ．
變式5.（2024·高一單元測試）已知集合或，．
(1)若，求的取值范圍；
(2)若，求的取值范圍．
（三）根據補集運算求參數
例7．（2024·江蘇·高一假期作業）已知U{1,2,3,4,5}，A{2，m}，且 UA{1,3,5}，則m .
變式1.（2023·陜西商洛·校考三模）設全集，集合，，則實數的值為（ ）
A．0 B．-1 C．2 D．0或2
變式2.（2023秋·浙江溫州·高一校考開學考試）已知集合，，求實數的值.
變式3.（2024·江蘇·高一假期作業）已知.若，則實數m的取值范圍為________.
（四）根據交、并、補集運算求參數
例8．（2024·江蘇揚州·高一統考階段練習）已知集合，集合．
(1)若時，求，；
(2)若，求實數的取值范圍．
變式1.（2024·高一單元測試）已知集合，且，則實數的取值范圍是（ ）A． B． C． D．
變式2.（2024·江蘇無錫·江蘇省天一中學校考模擬預測）已知集合，，且，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
變式3.（2024·高一課時練習）已知集合，若，求實數m的取值范圍．
【方法技巧與總結】
利用交并補求參數范圍的解題思路
1、根據并集求參數范圍：，
若A有參數，則需要討論A是否為空集；
若B有參數，則
2、根據交集求參數范圍：
若A有參數，則需要討論A是否為空集；
若B有參數，則
注：(1)在進行集合運算時，若條件中出現A∩BA或A∪BB，應轉化為A B，然后用集合間的關系解決問題，并注意A 的情況．
(2)集合運算常用的性質：
①A∪BB A B；
②A∩BA A B；
③A∩BA∪B AB.
【題型6：韋恩圖的應用】
例9．（2024·寧夏石嘴山·平羅中學校考模擬預測）已知全集，則圖中陰影部分代表的集合為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2024·陜西西安·校考模擬預測）已知集合，，則下圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A． B． C． D．
變式2.（2024·高一課時練習）設全集，集合，，則如圖所示的陰影部分表示的集合為（ ）
A． B． C． D．
變式3.（2024·福建·高二統考學業考試）已知全集為U，，則其圖象為（ ）
A． B．
C． D．
變式4.（2024·高一課時練習）已知全集為，集合A，B為的非空真子集，，則（ ）
A．A B．B C． D．
變式5．（2024·北京西城·北師大實驗中學校考三模）如圖，集合均為的子集，表示的區域為（ ）
A．I B．II C．III D．IV
變式6.【多選】（2024·江西·高一統考階段練習）如圖，三個圓形區域分別表示集合A，B，C．則（ ）
A．Ⅰ部分表示 B．Ⅱ部分表示
C．Ⅲ部分表示 D．Ⅳ部分表示
【題型7：集合運算中的元素個數問題】
例10．（2024·江西景德鎮·高一統考期中）某城市數、理、化競賽時，高一某班有26名學生參加數學競賽，25名學生參加物理競賽，23名學生參加化學競賽，其中參加數、理、化三科競賽的有7名，只參加數、物兩科的有6名，只參加物、化兩科的有8名，只參加數、化兩科的有5名．若該班學生共有51名，則沒有參加任何競賽的學生共有（ ）名
A．7 B．8 C．9 D．10
變式1.（2024·全國·高三專題練習）“四書五經”是中國傳統文化瑰寶，是儒家思想的核心載體，其中“四書”指《大學》《中庸》《論語》《孟子》．某大學為了解本校學生閱讀“四書”的情況，隨機調查了200位學生，其中閱讀過《大學》的有80位，閱讀過《論語》的有180位，閱讀過《大學》或《論語》的有180位，閱讀過《大學》且閱讀過《論語》及《中庸》的有20位．則該校閱讀過《大學》及《論語》但未閱讀過《中庸》的學生人數與該校學生總數比值的估計值是（ ）
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
變式2.（2024·全國·高三專題練習）某網店統計了連續三天售出商品的種類情況：第一天售出19種商品，第二天售出13種商品，第三天售出18種商品；前兩天都售出的商品有3種，后兩天都售出的商品有4種．則該網店這三天售出的商品最少有（ ）．
A．25種 B．27種 C．29種 D．31種
變式3.（2024·全國·高一專題練習）某班共30人，其中15人喜愛籃球運動，10人喜愛乒乓球運動，8人對這兩項運動都不喜愛，則喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的有________人．
【題型8：集合的運算新定義】
例11.【多選】（2024秋·江蘇連云港·高一連云港高中校考階段練習）對于非空集合，，我們把集合且叫做集合與的差集，記作．例如，，2，3，4，，，5，6，7，，則有，2，，如果，集合與之間的關系為（ ）
A． B． C． D．
變式1.（2024·高一單元測試）對于集合，定義，，設，，則（ ）
A． B．
C． D．
變式2.【多選】（2024秋·江蘇徐州·高一徐州市第七中學校考階段練習）整數集合Z中，被4所除余數為K的所有整數組成一個“類”，記作，以下判斷正確的是（ ）.
A． B．
C． D．，，則
一、單選題
1．（23-24高一下·甘肅蘭州·期末）設集合，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知全集，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二下·天津和平·期末）已知全集，集合，集合，則（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二下·湖南·期末）設全集，集合，，則（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二下·重慶·階段練習）已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合的子集個數為（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
6．（23-24高二下·福建·期末）設集合，，若，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·河南駐馬店·一模）已知全集，若，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多選題
8．（2024·江西南昌·三模）下列結論正確的是（ ）
A．若，則的取值范圍是
B．若，則的取值范圍是
C．若，則的取值范圍是
D．若，則的取值范圍是
9．（23-24高二下·江西宜春·階段練習）設，，若，則實數的值可以是（ ）
A．0 B． C．4 D．1
10．（23-24高一下·云南玉溪·期末）已知集合，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
11．（22-23高一上·河南平頂山·階段練習）某社團有100名社員，他們至少參加了A，B，C三項活動中的一項.得知參加A活動的有51人，參加B活動的有80人，參加C活動的有70人，數據如圖，則圖中 ； ； .

12．（23-24高二下·江西鷹潭·期末）定義集合運算：，若集合，，則集合中所有元素之和為 .
四、解答題
13．（23-24高一上·河北石家莊·期末）已知集合．
(1)求；
(2)若，且，求的取值范圍．
14．（23-24高一上·河南洛陽·期末）已知全集為，，．
(1)求；
(2)若，且，求實數的取值范圍．
15．（23-24高一上·湖南湘西·期末）已知集合，．
(1)當時，求；
(2)若，求實數的取值范圍．
16．（2024·山西·三模）已知集合，均為集合的子集，則表示的區域為（ ）
A．① B．② C．③ D．④
17．（23-24高一上·河南鄭州·階段練習）某年級先后舉辦了數學、歷史、音樂講座，其中有人聽了數學講座，人聽了歷史講座，人聽了音樂講座，記
是聽了數學講座的學生，是聽了歷史講座的學生，是聽了音樂講座的學生.用來表示有限集合中元素的個數，若 ，，則（ ）
A． B．
C． D．
18．【多選】（23-24高二下·山西呂梁·期末）已知全集，，則下列選項正確的為（ ）
A． B．的不同子集的個數為8
C． D．
19．（23-24高一上·四川樂山·期中）記全集，已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求的取值范圍．
20．（23-24高二下·江西南昌·期中）設集合，，
(1)若，求，；
(2)若中只有一個整數，求實數m的取值范圍．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)1.1.3 集合的基本運算
課程標準 學習目標
1.理解兩個集合的并集與交集、全集和補集的含義； 2.掌握求兩個簡單集合的交集與并集的方法； 3.會求給定子集的補集. 1.對集合兩個集合的交集、并集、全集概念的理解； 2.補集的理解； 3.會求集合間的交集、并集及其補集的運算； 4.在借助Venn圖理解集合的基本運算.體會直觀圖示對理解抽象概念的作用,培養數形結合的思想； 5.通過觀察身邊的實例，發現集合間的基本運算，體驗其現實意義。
知識點01 交集
自然語言 一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集(union set)，記作 A∪B(讀作“A并B”)，
符號語言 A∪B{x|x∈A，或x∈B},
圖形語言 可用Venn圖表示．
2.交集常用的運算性質
性質 定義
滿足交換律
空集與任何集合的交集都是空集
集合與集合本身的交集仍為集合本身
多個集合的交集滿足結合律
若，則 交集關系與子集關系的轉化
兩個集合的交集是其中任一集合的子集
3、解題思路：單個數字交集找相同，不等式的交集畫數軸，不同集合高度畫不同。
【即學即練1】（2024·全國·高一）設集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意結合交集的定義可得結果.
【詳解】由交集的定義結合題意可得：.
.
【即學即練2】（2024·全國·高一假期作業）設集合，，則圖陰影區域表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用交集的定義即可求解.
【詳解】由題意可知，圖陰影區域表示的集合是,
所以.
.
【即學即練3】（2024·江蘇·高一假期作業）已知集合則=________．
【答案】
【分析】根據集合的交集運算即可.
【詳解】由題意可得，解方程可得，故．
故答案為：
知識點02并集
自然語言 一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為集合A與B的交集，記作 A∩B(讀作“A交B”)，
符號語言 A∩B{x|x∈A，且x∈B}
圖形語言 可用Venn圖表示．
2.并集的常用運算性質
性質 定義
滿足交換律
任何集合與其本身的并集等于這個集合本身
任何集合與空集的并集等于這個集合本身
多個集合的并集滿足結合律
, 任何集合都是該集合與另一個集合并集的子集
任何集合與它子集的并集都是它本身，反之亦然
3、解題思路：兩個集合所有元素集中在一起，但重復元素只寫一次，要滿足集合中的互異性
【即學即練4】（2024春·浙江寧波·高一統考期末）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據并集的定義計算可得.
【詳解】因為，，
所以.
【即學即練5】（2024·湖北荊門·荊門市龍泉中學校考模擬預測）已知集合，，，則（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根據并集的結果，分類討論當、時集合A、B的情況，即可求解.
【詳解】，
當即時，，不符合題意；
當即時，，此時.
所以.
.
知識點03 全集與補集
1．全集
(1)定義：如果一個集合含有所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集．
(2)記法：全集通常記作U.
2．補集
自然語言 對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，記作 UA
符號語言 UA{x|x∈U，且x A}
圖形語言 可用Venn圖表示．
3.補集的常用運算性質
性質 定義
任何集合與其補集的并集為全集
任何集合與其補集的交集為空集
任何集合補集的補集為集合本身
全集的補集為空集，空集的補集為全集
【注意】并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R，要看題目的。
【即學即練7】（2023春·貴州·高一貴州師大附中校聯考階段練習）已知集合，，則（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】C
【分析】利用補集的定義可求得集合.
【詳解】因為集合，，故或.
.
【即學即練8】（2024秋·山西大同·高一統考期末）已知集合，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據集合的補集、交集運算即可.
【詳解】因為集合，，，
所以，所以.
.
知識點04 德摩根律與容斥原理
1、德摩根定律：設集合U為全集，A、B為U的子集，則有
（1）
（2）
2、容斥原理：在部分有限集中，我們經常遇到有關集合中元素的個數問題，常用Venn圖表示兩集合的交、并、補。如果用card表示有限集合元素的個數，即card（A）表示有限集A的元素個數，則有如下結論：
（1）
（2）
【即學即練9】（2024秋·河南洛陽·高一校考階段練習）移動支付、高鐵、網購與共享單車被稱為中國的新“四大發明”.某中學為了解本校學生中新“四大發明”的普及情況，隨機調查了100位學生，其中使用過移動支付或共享單車的學生共90位，使用過移動支付的學生共有80位，使用過共享單車且使用過移動支付的學生共有80位，則該校使用共享單車的學生人數為（ ）
A．70 B．80 C．70 D．80
【答案】D
【分析】由題意可知：只使用過共享單車但沒使用過移動支付的學生有10人，使用過共享單車且使用過移動支付的學生共有80位，再計算即可得解.
【詳解】根據題意使用過移動支付、共享單車的人數用韋恩圖表示如下圖，
使用過共享單車或移動支付的學生共有90位，使用過移動支付的學生共有80位，
則可得：只使用過共享單車但沒使用過移動支付的學生有90-80=10人，
又使用過共享單車且使用過移動支付的學生共有80位，
即使用過共享單車的學生人數為10+80=70，
故選:C.
難點：交集、并集性質的運用
示例1：已知A{x|x2－ax＋a2－190}，B{x|x2－5x＋82}，C{x|x2＋2x－80}，若 (A且A ，求a的值．
審結論 (明解題方向) 審條件 (挖解題信息)
求a的值，需建立關于a的方程 (1)集合A，B，C是由相應方程的解構成的，先要解方程求B，C. (2)由 (A知A結合A ，可確定集合A中的元素，建立關于a的方程．
建關系——找解題突破口
(A →確定集合A中的元素→建立關于a的方程→檢驗集合中元素的互異性．
【解析】　A{x|x2－ax＋a2－190}，B{2，3}，C{－4，2}．
因為 (A且A ，
那么3∈A，故9－3a＋a2－190.
即a2－3a－100.所以a－2或a5.
當a－2時A{x|x2＋2x－150}{3，－5}，符合題意．
當a5時A{x|x2－5x＋60}{2，3}，不符合A .
綜上知，a－2.
【方法歸納】(1)連續數集求交、并集借助數軸采用數形結合法．
(2)利用AA A B，AA B A可實現交、并運算與集合間關系的轉化．
注意事項：(1)借助數軸求交、并集時注意端點的實虛．
(2)關注Venn圖在解決復雜集合關系中的作用．
難點：補集思想的應用
示例2：已知集合A{x|x2－4x＋2m＋60}，B{x|x＜0}，若A求實數m的取值范圍．
【分析】①A ，對于集合A而言，分A 與A≠ 兩種情況. A 表示方程無實根．
②B{x|x＜0}，而A ，故A {x|x≥0}，即已知方程的根為非負實根．
③Δ≥0保證了A≠ ，即原方程有實根；≥0與x1x2≥0保證了原方程兩根非負. 如果兩根都大于1，則等價形式為 而不是
④由于A故方程x2－4x＋2m ＋60一定有解，故我們還可以設全集U{m|Δ≥0}{m|m≤－1}．此時，{m|－3≤m≤－1}關于U的補集也是{m|m＜－3}，結果相同．
【解析】　先求A 時m的取值范圍．
(1)當A 時，①
方程x2－4x＋2m＋60無實根，所以Δ(－4)2－4(2m＋6)＜0，解得m＞－1.
(2)當A≠ ，A 時，方程x2－4x＋2m＋60的根為非負實根．②
設方程x2－4x＋2m＋60的兩根為x1，x2，則
③即解得－3≤m≤－1，
綜上，當A 時，
m的取值范圍是{m|m≥－3}．
又因為UR，④所以當A時，
m的取值范圍是 R{m|m≥－3}{m|m<－3}．
所以，A時，m的取值范圍是{m|m<－3}．
【方法歸納】(1)運用補集思想求參數范圍的方法：
①否定已知條件，考慮反面問題；
②求解反面問題對應的參數范圍；
③將反面問題對應參數的范圍取補集．
(2)補集思想適用的情況：
從正面考慮，情況較多，問題較復雜的時候，往往考慮運用補集思想．
【題型1：交集的運算】
例1．（2024·浙江溫州·高二統考學業考試）設集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由交集定義可得答案.
【詳解】由題，.
變式1．（2024·浙江·高二）若集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用自然數集的定義與集合的基本運算即可得解.
【詳解】因為，，
所以.
.
變式2．（甘肅省2023-2024學年高一下學期期末數學試題）若集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由交集的概念進行運算即可.
【詳解】對于集合，,
又∵，∴由交集的概念，.
.
變式3．（2024·河北唐山·高二期末）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先得到，從而求出交集.
【詳解】集合，集合，
所以.
.
變式4．（山東省濟寧市2023-2024學年高二下學期期末數學試題）已知集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用集合的交集運算即可；
【詳解】，，
又
，
.
變式5．（陜西省漢中市2023-2024學年高二下學期期末校際聯考理科數學試題）已知集合，或，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據給定條件，利用交集的定義求解作答.
【詳解】集合，或，
所以.
變式6.（2024·高一·練習）已知A{x|x≤1}，B{y|y≥0}，則集合A∩B等于( )
A． B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0【答案】D
【解析】利用數軸，容易得到答案。
變式7．（2024·天津和平·高一耀華中學校考期中）若集合，，則 .
【答案】
【分析】由題意得，4，2，，再求即可．
【詳解】，1，3，，
，，4，2，，
故，，
故答案為：，．
變式8．（2024·四川綿陽·高二期末）集合，則的元素個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】A
【分析】聯立兩個集合中的方程，解方程即可得到兩個集合交集的元素，從而得到結論.
【詳解】因為，
聯立方程可得， 解得或，
所以，則集合中的元素個數為2 .
.
變式9.（2024·高二·練習）已知集合A{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B{(x，y)|x＋y－10，x，y∈Z}，則A∩B________.
【答案】{(0,1)，(－1,2)}
【解析】A，B都表示點集，A∩B即是由A中在直線x＋y－10上的所有點組成的集合，
代入驗證即可．
【方法技巧與總結】
1、對交集概念的理解
(1)對于“A∩B{x|x∈A，且x∈B}”，包含以下兩層意思：①A∩B中的任一元素都是A與B的公共元素；②A與B的公共元素都屬于A∩B，這就是文字定義中“所有”二字的含義，如A{1，2，3}，B{2，3，4}，則A∩B{2，3}，而不是{2}或{3}．
(2)任意兩個集合并不是總有公共元素，當集合A與B沒有公共元素時，不能說A與B沒有交集，而是A∩B .
(3)當AB時，A∩BA和A∩BB同時不成立．
2、求交集的基本思路
首先要識別所給集合，其次要化簡集合，使集合中的元素明朗化，最后再依據交集的定義寫出結果，有時要借助于Venn圖或數軸寫出交集．借助于數軸時要注意數軸上方“雙線”(即公共部分)下面的實數組成了交集．
3、求兩個集合的交集的方法
(1)對于元素個數有限的集合，逐個挑出兩個集合的公共元素即可．
(2)對于元素個數無限的集合，一般借助數軸求交集，兩個集合的交集等于兩個集合在數軸上的相應圖形所覆蓋的公共范圍，要注意端點值的取舍．
【題型2：并集的運算】
例2．（2024·浙江·統考模擬預測）已知集合，則（ ）
A．{2} B．{2,3,4} C．{1,2,3,4} D．{0,2,3,4}
【答案】D
【分析】由集合的并運算即可求解.
【詳解】由題意可得.
變式1．（2024·全國·高一假期作業）設集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由集合的并集即可得出答案.
【詳解】集合，，
則
.
變式2．（2024·江西景德鎮·高一統考期中）集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據并集的運算可得答案.
【詳解】因為，，所以.
.
變式3．（2024·廣東汕頭·高一金山中學校考期中）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出集合，然后根據并集的定義可求得結果.
【詳解】由，得，
因為，
所以，
變式4.（2024·全國·高一假期作業）已知集合，集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】易知或，，
變式5．（2024·廣西·高二校聯考期中）已知集合，，則中的元素個數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根據集合的并運算即可求解.
【詳解】由題設，所以，故其中元素共有4個．
變式6.（2024·全國·高一假期作業）已知集合，若，則B可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以，四個選項中只有是集合A的子集.
變式7.（2024·全國·高一假期作業）已知集合A={三角形}，B={等腰三角形}，C={矩形}，D={菱形}，則（ ）
A． B． C． D．{正方形}
【答案】A
【解析】因集合A={三角形}，B={等腰三角形}，則，
因此，，A，B都不正確；
C={矩形}，D={菱形}，因存在不含有直角的菱形，即，C不正確，
而正方形既是菱形又是矩形，于是得{正方形}，D正確.
【方法技巧與總結】
求并集的基本思路
(1)在求兩個集合的并集時，它們的公共元素在并集中只能出現一次．
(2)此類題目首先應看清集合中元素的范圍，簡化集合，若是用列舉法表示的數集，可以根據并集的定義直接觀察或用Venn圖表示出集合運算的結果；若是用描述法表示的數集，可借助數軸分析寫出結果，此時要注意當端點不在集合中時，應用“空心點”表示．
【題型3：補集的運算】
例3.（2024·全國·高一假期作業）設全集，集合，則（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為全集，集合，所以，
變式1．（2024·貴州·高二貴州師大附中校聯考階段練習）已知集合，，則（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】C
【分析】利用補集的定義可求得集合.
【詳解】因為集合，，故或.
.
變式2．（2024·安徽六安·高三六安一中校考階段練習）設全集，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據已知得出全集，即可根據集合的補集運算得出答案.
【詳解】解得，
全集，
則，
.
變式3．（2024·天津河北·高二統考期末）已知集合，，則集合（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據補集的定義求解即可.
【詳解】因為，，
所以.
.
變式4．（2024·云南昆明·高二統考期中）設全集或，則（ ）
A．或 B．或
C． D．{0，1，2，3，4，5，6}
【答案】A
【分析】根據集合的并運算即可求解.
【詳解】由于或，所以，
變式5.（2024·全國·高一假期作業）已知集合，，全集，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題，，所以，
【方法技巧與總結】
1、全集概念的理解
全集不是固定不變的，它是一個相對概念，是依據具體問題來選擇的．例如，我們在研究數集時，通常把實數集R作為全集；當我們只討論大于0且小于5的實數時，可選{x|02、補集與全集的關系
(1)補集是相對于全集而言的，它與全集不可分割．一方面，若沒有定義全集，則不存在補集的說法；另一方面，補集的元素逃不出全集的范圍．
(2)補集既是集合之間的一種關系，也是集合之間的一種運算．求集合A的補集的前提是A為全集U的子集，隨著所選全集的不同，得到的補集也是不同的.
(3)集合的補集運算與實數的減法運算可進行類比：
實數 集合
被減數a 被減集合(全集)U
減數b 減集合A
差a－b 補集 UA
(4)符號有三層意思：①A是U的子集，即A U；②表示一個集合，且() U；③是U中不屬于A的所有元素組成的集合，即{x|x∈U，且x A}．
3、求補集的原則和方法
(1)一個基本原則．
求給定集合A的補集，從全集U中去掉屬于集合A的元素后，由所有剩下的元素組成的集合即為A的補集．
(2)兩種求解方法：
①若所給的集合是有關不等式的集合，則常借助于數軸，把已知集合及全集分別表示在數軸上，然后再根據補集的定義求解，注意端點值的取舍．
②若所給的集合是用列舉法表示，則用Venn圖求解．
【題型4：集合交、并、補的綜合運算】
例4．（2024·海南海口·海南華僑中學校考一模）設全集，，，則（ ）
A．{1，2} B．
C． D．
【答案】A
【分析】由交集和補集的定義求解即可.
【詳解】因為所以，
∴.
.
變式1.（2024·江蘇·高一假期作業）設全集，集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，，
所以，又，
所以，.
變式2.（2024·江蘇·高一假期作業）設集合則 ．
【答案】
【分析】利用集合的并集與補集計算即可.
【詳解】由題意知，.
故答案為：
變式3.（2024·全國·統考高考真題）設全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意可得的值，然后計算即可.
【詳解】由題意可得，則.
.
變式4.．（2024·廣東惠州·高三統考階段練習）設，，，求（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根據并集的運算得出，列舉法得出，進而根據補集的運算即可得出答案.
【詳解】由已知可得，，
所以.
．
變式5.（2024·高一假期作業）設集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題得，則．
變式6．（2024·福建福州·福建省福州第一中學校考二模）已知集合滿足，則可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據得集合的包含關系，進而判斷即可.
【詳解】由則,進而,由于，所以可能是，
變式7．（2024·江蘇南通·高一統考期末）設全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據集合的交并補運算即可求解.
【詳解】,,,,
故選:C
變式8.（2024·全國）設集合，集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由題意逐一考查所給的選項運算結果是否為即可.
【詳解】由題意可得，則，選項A正確；
，則，選項B錯誤；
，則或，選項C錯誤；
或，則或，選項D錯誤；
.
【方法技巧與總結】
求集合交、并、補運算的方法
注：1、進行集合運算時，可按照如下口訣進行：
交集元素仔細找，屬于且屬于；
并集元素勿遺漏，切忌重復僅取一；
全集是大范圍，去掉中元素，剩余元素成補集。
2、解決集合的混合運算問題時，一般先算括號內的部分；
3、當集合是用列舉法表示時（如數集），可以通過列舉集合的元素分別得到所求的集合；當集合用描述法表示時（如不等式行事表示的集合），則可運用數軸求解。
【題型5：集合運算的求參問題】
（一）根據交集運算求參數
例5.（2024·江西宜春·高一江西省清江中學校考期末）已知集合，，若，則（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根據交集結果得到，或，檢驗后得到答案.
【詳解】因為，所以，或，
當時，，滿足集合元素的互異性，滿足要求；
當時，，與集合元素的互異性矛盾，舍去；
當時，，，與集合元素的互異性矛盾，舍去.
.
變式1.（2024·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）已知集合，，若，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出集合，再利用可得實數的取值范圍.
【詳解】由，得，所以，
因為，所以，故．
．
變式2.（2024·全國·高一假期作業）設集合，，若，求實數的取值范圍.
【答案】
【解析】當時，，滿足.
當時，要使，則B是A的子集
則需.
綜上所述，的取值范圍是.
變式3.（2024·全國·高一假期作業）設集合,
(1)若，求；
(2)若，求實數的取值范圍．
【答案】(1);
(2).
【分析】（1）根據并集的定義運算即得；
（2）由題可得，分類討論進而可得不等式即得.
【詳解】（1）當時，，；
（2），
當時，滿足題意，此時，解得；
當時，解得，
實數m的取值范圍為.
（二）根據并集運算求參數
例6.（2024·全國·高三專題練習）已知集合，，且，則實數a的所有值構成的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
當時，，滿足，只有D選項符合.
當時，，
要使，則或或，即或或，
所以實數a的所有值構成的集合是.
變式1.（2024·江西景德鎮·高二景德鎮一中校考期中）設集合，，若，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據，可得，再分和兩種情況討論即可.
【詳解】因為，所以，
當，即時，，符合題意；
當時，
則，解得，
綜上所述實數的取值范圍為.
.
變式2.（2024·全國·高三專題練習）已知，集合，，若，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】化簡集合，將化為，根據子集關系列式可求出結果.
【詳解】由，，得，
因為，所以，
所以，解得.
故答案為：
變式3.（2024·上海閔行·高三上海市七寶中學校考階段練習）已知集合，且，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據集合并集運算，結合數軸即可得到結果.
【詳解】由題意知，可得.
故答案為：
變式4.（2024·高一課時練習）己知集合．
（1）若，則實數a的取值范圍是 ．
（2）若，則實數a的取值范圍是 ．
（3）若，則實數a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】利用集合間的關系，即可得出答案.
【詳解】（1）若，得，
所以實數a的取值范圍是.
（2），即，所以，
所以實數a的取值范圍是.
（3）若，即，所以，
則實數a的取值范圍是.
故答案為：；；.
變式5.（2024·高一單元測試）已知集合或，．
(1)若，求的取值范圍；
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，列不等式，即可求出的取值范圍；
（2）由，得到，列不等式，即可求出的取值范圍．
【詳解】（1）因為，所以解得．
故的取值范圍是．
（2）因為，所以，
則或，解得或．
故的取值范圍是．
（三）根據補集運算求參數
例7．（2024·江蘇·高一假期作業）已知U{1,2,3,4,5}，A{2，m}，且 UA{1,3,5}，則m .
【答案】4
【分析】由集合的補集運算求解.
【詳解】解：因為m∈U，且m UA，
所以m2或4.
又A{2，m}，由元素的互異性知m≠2，
所以m4.
故答案為：4
變式1.（2023·陜西商洛·校考三模）設全集，集合，，則實數的值為（ ）
A．0 B．-1 C．2 D．0或2
【答案】A
【詳解】由集合知，，即，而，全集，
因此，，解得，經驗證滿足條件，
所以實數的值為0.
變式2.（2023秋·浙江溫州·高一校考開學考試）已知集合，，求實數的值.
【答案】
【分析】根據題意得或，再解方程求解即可.
【詳解】解：由題意得：
①當時，解得：
代入檢驗，得，，滿足條件
②當時，無解
綜上所述，.
變式3.（2024·江蘇·高一假期作業）已知.若，則實數m的取值范圍為________.
【答案】或.
【分析】根據，分和兩種情況討論求解.
【詳解】已知集合，且，
或
當時，，解得，符合題意；
當時，且，
則或，解得，
綜上：實數的取值范圍為或.
故答案為：或.
（四）根據交、并、補集運算求參數
例8．（2024·江蘇揚州·高一統考階段練習）已知集合，集合．
(1)若時，求，；
(2)若，求實數的取值范圍．
【答案】(1)；或
(2)或
【分析】（1）根據集合的交并補的運算，即可求得答案;
（2）由題意討論集合B是否為空集，不為空集時，列出相應的不等式組，即可求得答案.
【詳解】（1）因為，當時，，
又因為，所以．
因為或，
所以或；
（2）時，
當時，，解得，
當時，或，解得或，
綜上，實數的取值范圍是或.
變式1.（2024·高一單元測試）已知集合，且，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，故可得或，
因為，，故可得..
變式2.（2024·江蘇無錫·江蘇省天一中學校考模擬預測）已知集合，，且，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求得，得到，結合題意得到不等式，即可求解.
【詳解】由集合，，
可得，
因為，所以，解得，即實數的取值范圍是.
.
變式3.（2024·高一課時練習）已知集合，若，求實數m的取值范圍．
【答案】或
【分析】利用一元二次方程以及集合的交集、補集運算進行求解.
【詳解】因為，所以當時，；當時，，
因為，所以，
因為，所以當時，顯然不滿足；
當時，或，解得或，
所以實數m的取值范圍為或.
【方法技巧與總結】
利用交并補求參數范圍的解題思路
1、根據并集求參數范圍：，
若A有參數，則需要討論A是否為空集；
若B有參數，則
2、根據交集求參數范圍：
若A有參數，則需要討論A是否為空集；
若B有參數，則
注：(1)在進行集合運算時，若條件中出現A∩BA或A∪BB，應轉化為A B，然后用集合間的關系解決問題，并注意A 的情況．
(2)集合運算常用的性質：
①A∪BB A B；
②A∩BA A B；
③A∩BA∪B AB.
【題型6：韋恩圖的應用】
例9．（2024·寧夏石嘴山·平羅中學校考模擬預測）已知全集，則圖中陰影部分代表的集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據Venn圖，由集合運算可解.
【詳解】由題意，而陰影部分為.
變式1．（2024·陜西西安·校考模擬預測）已知集合，，則下圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據給定條件，用列舉法表示集合A，再結合韋恩圖列式求解作答.
【詳解】依題意，，而陰影部分表示的集合是，
又，則，
所以.
變式2.（2024·高一課時練習）設全集，集合，，則如圖所示的陰影部分表示的集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
圖中陰影部分表示的集合為．．
變式3.（2024·福建·高二統考學業考試）已知全集為U，，則其圖象為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據給定條件，可得，結合韋恩圖的意義判斷作答.
【詳解】全集為U，，則有，選項BCD不符合題意，選項A符合題意.
變式4.（2024·高一課時練習）已知全集為，集合A，B為的非空真子集，，則（ ）
A．A B．B C． D．
【答案】C
【解析】因為，所以，由韋恩圖可知：.
變式5．（2024·北京西城·北師大實驗中學校考三模）如圖，集合均為的子集，表示的區域為（ ）
A．I B．II C．III D．IV
【答案】A
【分析】由補集和交集的概念求解即可.
【詳解】由補集的概念，表示的區域如下圖所示陰影區域，
∴表示的區域為下圖所示陰影區域，
即為圖中的區域Ⅳ.
.
變式6.【多選】（2024·江西·高一統考階段練習）如圖，三個圓形區域分別表示集合A，B，C．則（ ）
A．Ⅰ部分表示 B．Ⅱ部分表示
C．Ⅲ部分表示 D．Ⅳ部分表示
【答案】CD
【分析】觀察Venn圖，可判斷A、B選項；在Ⅲ部分、Ⅳ部分各取一個元素，分析所取元素與集合的關系可判斷C、D選項.
【詳解】對于A選項，由圖可知，Ⅰ部分表示，故A錯誤；
對于B選項，由圖可知，Ⅱ部分表示，故B正確；
對于C選項，在Ⅲ部分所表示的集合中任取一個元素，則且，
故Ⅲ部分表示，故C錯誤；
對于D選項，在Ⅳ部分表示的集合中任取一個元素，則且，所以，Ⅳ部分表示，故D正確.
D.
【題型7：集合運算中的元素個數問題】
例10．（2024·江西景德鎮·高一統考期中）某城市數、理、化競賽時，高一某班有26名學生參加數學競賽，25名學生參加物理競賽，23名學生參加化學競賽，其中參加數、理、化三科競賽的有7名，只參加數、物兩科的有6名，只參加物、化兩科的有8名，只參加數、化兩科的有5名．若該班學生共有51名，則沒有參加任何競賽的學生共有（ ）名
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】畫出圖，由題意求出分別單獨參加物理、數學和化學的人數，即可求出參賽人數，進而求出沒有參加任何競賽的學生.
【詳解】畫三個圓分別代表數學、物理、化學的人，
因為有26名學生參加數學競賽，25名學生參加物理競賽，23名學生參加化學競賽，
參加數、理、化三科競賽的有7名，只參加數、化兩科的有5名，
只參加數、物兩科的有6名，只參加物、化兩科的有8名，
所以單獨參加數學的有人，
單獨參加物理的有人，單獨參加化學的有，
故參賽人數共有人，
沒有參加任何競賽的學生共有人.
.

變式1.（2024·全國·高三專題練習）“四書五經”是中國傳統文化瑰寶，是儒家思想的核心載體，其中“四書”指《大學》《中庸》《論語》《孟子》．某大學為了解本校學生閱讀“四書”的情況，隨機調查了200位學生，其中閱讀過《大學》的有80位，閱讀過《論語》的有180位，閱讀過《大學》或《論語》的有180位，閱讀過《大學》且閱讀過《論語》及《中庸》的有20位．則該校閱讀過《大學》及《論語》但未閱讀過《中庸》的學生人數與該校學生總數比值的估計值是（ ）
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
【答案】A
【分析】根據描述，應用容斥原理畫韋恩圖，求出該校閱讀過《大學》及《論語》但未閱讀過《中庸》的學生人數，即可得結果.
【詳解】如下圖，閱讀過《大學》且閱讀過《論語》的人數是180＋80－18040，
閱讀過《大學》及《論語》但未閱讀過《中庸》的學生人數是40－2020，
由樣本估計總體，得所求比值為.
變式2.（2024·全國·高三專題練習）某網店統計了連續三天售出商品的種類情況：第一天售出19種商品，第二天售出13種商品，第三天售出18種商品；前兩天都售出的商品有3種，后兩天都售出的商品有4種．則該網店這三天售出的商品最少有（ ）．
A．25種 B．27種 C．29種 D．31種
【答案】D
【解析】因為前兩天都售出的商品有3種，
因此第一天售出且第二天沒有售出的商品有（種；
同理第三天售出的商品中有14種第二天未售出，有1種商品第一天未售出；
所以三天商品種數最少時，
是第三天中14種第二天未售出的商品都是第一天售出過的，
此時商品總數是（種；
分別用集合、、表示第一、第二和第三天售出的商品，則商品數最少時，
如圖所示．
變式3.（2024·全國·高一專題練習）某班共30人，其中15人喜愛籃球運動，10人喜愛乒乓球運動，8人對這兩項運動都不喜愛，則喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的有________人．
【答案】12
【解析】設兩項運動都喜歡的人數為x，喜愛籃球的記為集合A，喜愛乒乓球的記為集合B，
畫出Venn圖得到方程：15－x＋x＋10－x＋830 x3，
∴喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數為15－312.21世紀教育網(www.21cnjy.com)
【題型8：集合的運算新定義】
例11.【多選】（2024秋·江蘇連云港·高一連云港高中校考階段練習）對于非空集合，，我們把集合且叫做集合與的差集，記作．例如，，2，3，4，，，5，6，7，，則有，2，，如果，集合與之間的關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】利用差集、并集、交集的定義直接求解．
【詳解】差集的定義，且，
，，
故選：．
變式1.（2024·高一單元測試）對于集合，定義，，設，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據題中集合新定義的特性結合集合的基本運算可求解出結果.
【詳解】集合，，
則 ， ，
由定義可得：且 ，
且 ，
所以，選項 ABD錯誤，選項C正確.
．
變式2.【多選】（2024秋·江蘇徐州·高一徐州市第七中學校考階段練習）整數集合Z中，被4所除余數為K的所有整數組成一個“類”，記作，以下判斷正確的是（ ）.
A． B．
C． D．，，則
【答案】AD
【分析】由新概念“類”的定義逐一檢驗即可求解
【詳解】對于A：因為，所以，故A正確；
對于B：因為，所以，故B錯誤；
對于C：因為，所以，故C錯誤；
對于D：，則，
，
因為，所以，
所以，故D正確；
D
一、單選題
1．（23-24高一下·甘肅蘭州·期末）設集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據交集的定義直接求解即可.
【詳解】因為，，
所以.
2．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知全集，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】用列舉法表示集合A，再利用補集的定義求解即得.
【詳解】依題意，，所以.
3．（23-24高二下·天津和平·期末）已知全集，集合，集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用列舉法表示出集合A，再利用補集、并集的定義求解即得.
【詳解】依題意，，而，則，又，
所以.
4．（23-24高二下·湖南·期末）設全集，集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據并集和補集的定義直接計算即可.
【詳解】由題意得，所以， .
5．（23-24高二下·重慶·階段練習）已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合的子集個數為（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【分析】先求出集合，再求出圖中陰影部分表示的集合；最后利用集合的子集個數公式即可求解.
【詳解】由圖可知：陰影部分表示的集合為.
因為集合，
所以，
則，
所以陰影部分表示的集合的子集個數為.
.
6．（23-24高二下·福建·期末）設集合，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，由集合的運算結果，列出不等式代入計算，即可求解.
【詳解】因為集合，，且，則，且，
所以.
7．（2023·河南駐馬店·一模）已知全集，若，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根據題意，結合集合交集的概念及運算，即可求解.
【詳解】由集合，，
因為，可得.
.
二、多選題
8．（2024·江西南昌·三模）下列結論正確的是（ ）
A．若，則的取值范圍是
B．若，則的取值范圍是
C．若，則的取值范圍是
D．若，則的取值范圍是
【答案】CD
【分析】先將條件等價轉化，然后根據對應范圍判斷命題的真假即可.
【詳解】對于選項A和B，，，
若，則的取值范圍是，所以A錯誤，B正確；
對于選項C和D，若，則的取值范圍是，所以D正確，C錯誤.
D.
9．（23-24高二下·江西宜春·階段練習）設，，若，則實數的值可以是（ ）
A．0 B． C．4 D．1
【答案】ABD
【分析】解方程，寫出集合A的所有元素，根據集合A和集合B的關系，分析集合B中的元素的可能情況，解出相應的a.
【詳解】，因為，所以，所以或或或，
若，則；
若，則；
若，則；
若，無解．
BD
10．（23-24高一下·云南玉溪·期末）已知集合，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根據集合交集和并集運算直接求解即可.
【詳解】因為，
由題意可得：，，
故AC錯誤，BD正確.
D.
三、填空題
11．（22-23高一上·河南平頂山·階段練習）某社團有100名社員，他們至少參加了A，B，C三項活動中的一項.得知參加A活動的有51人，參加B活動的有80人，參加C活動的有70人，數據如圖，則圖中 ； ； .

【答案】 9 8 10
【分析】根據題意結合圖形列方程組求解即可.
【詳解】由題意得
，則，解得，
故答案為：9，8，10
12．（23-24高二下·江西鷹潭·期末）定義集合運算：，若集合，，則集合中所有元素之和為 .
【答案】
【分析】根據新定義求出集合中的所有元素，即可得解.
【詳解】，，
當，時，；
當，時，；
當，時，.
所以，所以集合中所有元素之和為.
故答案為：
四、解答題
13．（23-24高一上·河北石家莊·期末）已知集合．
(1)求；
(2)若，且，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得集合，然后由并集定義計算；
（2）由，可得，列出相應不等式組，從而可求解.
【詳解】（1）由題意知：，解得，所以，
所以.
（2）由題意，得，所以，解得.
故的取值范圍為.
14．（23-24高一上·河南洛陽·期末）已知全集為，，．
(1)求；
(2)若，且，求實數的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根據補集與交集的定義，計算即可；
（2）根據得，由此列出不等式組求得實數的取值范圍．
【詳解】（1）因為，，
所以或，
所以；
（2）因為，所以，
又因為，
時，，解得；
時，，解得，
綜上，實數的取值范圍是．
15．（23-24高一上·湖南湘西·期末）已知集合，．
(1)當時，求；
(2)若，求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）化簡集合，根據補集、交集的運算求解；
（2）分類討論，根據交集為空集列出不等式求解即可.
【詳解】（1）當時，，，
所以，
所以.
（2）由（1）知，
當時，，解得，此時滿足；
當時，由可得：或，
解得或,
綜上，實數的取值范圍為或.
16．（2024·山西·三模）已知集合，均為集合的子集，則表示的區域為（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】根據韋恩圖及補集、交集的定義判斷即可.
【詳解】由韋恩圖可知包含區域①④，
所以表示的區域為①.
17．（23-24高一上·河南鄭州·階段練習）某年級先后舉辦了數學、歷史、音樂講座，其中有人聽了數學講座，人聽了歷史講座，人聽了音樂講座，記
是聽了數學講座的學生，是聽了歷史講座的學生，是聽了音樂講座的學生.用來表示有限集合中元素的個數，若 ，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】將已知條件用Venn圖表示出來，然后逐項求解即可判斷.
【詳解】將已知條件用Venn圖表示出來如下圖，
對A：，故A錯誤；
對B：，故B正確；
對C：，故C錯誤；
對D：，故D錯誤；
.

18．【多選】（23-24高二下·山西呂梁·期末）已知全集，，則下列選項正確的為（ ）
A． B．的不同子集的個數為8
C． D．
【答案】ABC
【分析】根據已知條件作出Venn圖，結合元素與集合的關系以及集合之間的關系，一一判斷各選項，即得答案.
【詳解】由題意得，
根據，,，，,
則；
作出Venn圖:

則，A正確；
集合A中有3個元素，故A的不同子集的個數為，B正確；
由于，C正確；
因為，且，故，D錯誤，
BC.
19．（23-24高一上·四川樂山·期中）記全集，已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)或
(2)．
【分析】（1）集合的交集和補集的運算計算得出結果；（2）根據已知條件，求解參數范圍
【詳解】（1）由，得，
方法1：
可得或，
由題，有或，
所以或．
方法2：
則，
所以，或．
（2）依題意，或，
因為，所以
解得，故的取值范圍為．
20．（23-24高二下·江西南昌·期中）設集合，，
(1)若，求，；
(2)若中只有一個整數，求實數m的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據條件得到，再利用集合的運算即可求出結果；
（2）由（1）知或，根據條件，借助數軸，即可求出結果.
【詳解】（1）因為，所以，
又，所以或，
所以，．
（2）由（1）知或，又中只有一個整數，
由圖知，，且，
解得，所以實數m的取值范圍是．
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