資源簡介

2.2.3一元二次不等式的解法
課程標準 學習目標
1、掌握用因式分解法解決一元二次不等式. 2、掌握用配方法解決一元二次不等式. 一元二次不等式的解法，由特殊到一般的配方法、因式分解法. 掌握一元二次不等式的的運算法則，探究運算思路，選擇相對應的運算方法。 一般一元二次不等式有兩個解，需要驗證其有效性。
知識點01一元二次不等式的概念
一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式稱為一元二次不等式，其中a，b，c是常數，而且a≠0.一元二次不等式中的不等號也可以是“<”“≥”“≤”等．
注：一元二次不等式的二次項系數a有a>0和a<0兩種，注意a≠0.當a<0時，我們通常將不等式兩邊同乘以－1，化為二次項系數大于0的一元二次不等式，但要注意不等號要改變方向，這樣我們只需要研究二次項系數大于0的一元二次不等式．
【即學即練1】下列不等式中是一元二次不等式的是(　　)
A．a2x2＋2≥0 B．＜3
C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1＞0
【解析】選項A中，a20時不符合；選項B是分式不等式；選項D中，最高次數為三次；只有選項C符合．
答案：C
知識點02一元二次不等式的解法
（1）用因式分解法解一元二次不等式
一般地，如果x10的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞).
①這種方法只有在一元二次不等式左邊能夠因式分解(一般用十字相乘法)時才能使用，簡記為“小于零取中間，大于零取兩邊”．
②因式分解法就是將一元二次不等式轉化為兩個一元一次不等式組來求解．
依據是：ab>0當且僅當或；
ab<0當且僅當或
（2）用配方法解一元二次不等式
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通過配方總是可以變為(x－h)2>k或(x－h)2注：(1)因式分解法只適用于特殊類型的一元二次不等式，一般的一元二次不等式可以通過配方法求得解集．
(2)用配方法解一元二次不等式的關鍵是熟練掌握二次三項式的配方技巧．
【即學即練2】（2024·廣東佛山·高一佛山市第二中學校考開學考試）解下列一元二次不等式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)無解
(3)
【分析】根據十字相乘法、配方法，可得答案.
【詳解】（1），，，.
（2），，，無解.
（3），，，解得.
【即學即練3】（2024·江蘇·高一假期作業）解關于x的不等式
【答案】答案見解析
【分析】原不等式可化為，分、、三種情況求解即可.
【詳解】原不等式可化為.
當，即時，或；
當，即時，；
當，即時，或.
綜上，當時，解集為或；
當時，解集為；
當 時，解集為或.
知識點03二次函數與一元二次方程、不等式的解的對應關系
Δ＞0 Δ0 Δ＜0
yax2＋bx＋c(a＞0)的圖像
ax2＋bx＋c0(a＞0)的根 有兩個不相等的實數根x1，x2(x1＜x2) 有兩個相等的實數根x1－ 沒有實數根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} {x|x≠－} R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
【即學即練4】【多選】（2024·黑龍江佳木斯·佳木斯一中校考模擬預測）已知關于x的不等式的解集為，則下列選項中正確的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集為
【答案】CD
【分析】根據給定的解集，用表示出，再逐項判斷作答.
【詳解】不等式的解集為，則是方程的根，且，
則，即，A錯誤；
不等式化為，解得，即不等式的解集是，B正確；
，C錯誤；
不等式化為，即，解得或，
所以不等式的解集為，D正確.
D
知識點04分式不等式
分式不等式的概念
分母中含有未知數的不等式稱為分式不等式．
注：當分式不等式等價轉化為整式不等式時，其分母不為零最容易被忽略，這一點一定要注意．
【即學即練5】（2024·全國·高三對口高考）已知集合，則 ．
【答案】
【分析】根據分式不等式的解法求解即可.
【詳解】解：原不等式等價于，化簡得，
所以，又等價于，解得：
所以，
故答案為：．
難點：含參數的一元二次不等式的解法
示例：解關于x的不等式2x2＋ax＋2＞0.
【解析】　對于方程2x2＋ax＋20，其判別式Δa2－16(a＋4)(a－4)．
①當a>4或a<－4時，Δ>0，方程2x2＋ax＋20的兩根為x1(－a－)，x2(－a＋)．
∴原不等式的解集為
.
②當a4時，Δ0，方程有兩個相等實根，x1x2－1，
∴原不等式的解集為{x|x≠－1}．
③當a－4時，Δ0，方程有兩個相等實根，x1x21，
∴原不等式的解集為{x|x≠1}．
④當－4注：二次項系數為2，Δa2－16不是一個完全平方式，故不能確定根的個數，因此需對判別式Δ的符號進行討論，確定根的個數．
方法小結：含參數一元二次不等式求解步驟
(1)討論二次項系數的符號，即相應二次函數圖像的開口方向；
(2)討論判別式的符號，即相應二次函數圖像與x軸交點的個數；
(3)當Δ＞0時，討論相應一元二次方程兩根的大小；
(4)最后按照系數中的參數取值范圍，寫出一元二次不等式的解集．
【題型1：解不含參數的一元二次不等式】
例1．（2024·安徽合肥·高二校考學業考試）不等式的解集為（ ）
A．或B． C．D．或
【答案】A
【分析】利用“三個二次”的關系解二次不等式.
【詳解】不等式的解集為或.
.
【點睛】二次函數、二次方程與二次不等式統稱“三個二次”，它們常結合在一起，有關二次函數的問題，數形結合，密切聯系圖象是探求解題思路的有效方法．一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點函數值符號四個方面分析．
變式1.（2024·全國·高一專題練習）不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，得，即，解得，
所以不等式的解集為.
變式2．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中學校考學業考試）不等式的解集為
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直接根據一元二次不等式的解法求解．
【詳解】解：∵，∴，無解
．
【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法，注意三個二次——二次函數、一元二次方程、一元二次不等式之間的聯系，屬于基礎題．
變式3．（2024·上海·高一專題練習）解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】先將二次項系數化為正數，再因式分解，即可求得不等式解集.
【詳解】（1）等價于等價于，解得：或，所以不等式的解集為；
（2）等價于，解得：或，所以不等式的解集為；
（3）等價于等價于，解得：，所以不等式的解集為.
【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查計算求解能力，屬于基礎題.
變式4．（2024·高一校考課時練習）解下列不等式：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）（2）（3）（4）
【分析】（1）根據題意原不等式變形可得，進而分析可得答案；
（2）根據配方法將不等式轉化為，進而分析可得答案；
（3）根據題意原不等式變形可得，進而分析可得答案；
（4）根據題意原不等式變形可得，進而分析可得答案.
【詳解】（1）
原不等式變形可得
則該不等式的解集為；
（2）
因為恒不成立，
所以該不等式的解集為；
（3）
原不等式變形可得
則該不等式的解集為；
（4）
原不等式變形可得
則該不等式的解集為.
變式5.（2024·全國·高一專題練習）求下列不等式的解集.
（1）； （2）；
（3）； （4）；
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）不等式，即，
解得，所以不等式的解集為.
（2）不等式，即，配方得，
又，所以，解得，
所以原不等式的解集為.
（3）不等式，即，即，
又，∴原不等式的解集是.
（4）不等式，∵，
又∵的兩個實數根為，，
∴原不等式的解集是
變式6.【多選】（2024·全國·高一專題練習）下列不等式的解集是空集的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】DD
【解析】對于A：恒不成立，
即不等式的解集為，故A錯誤；
對于B：不等式，即，即，
解得，所以不等式的解集為，故B錯誤；
對于C：不等式，即，因為恒不成立，
所以不等式的解集為空集，故C正確；
對于D：不等式，即，因為恒不成立，
所以不等式的解集為空集，故D正確；D
變式7．【多選】（2024·江蘇淮安·高一校考階段練習）下列四個不等式中，解集為的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】由一元二次不等式的性質，結合各一元二次不等式的判別式、函數開口方向即可判斷各選項是否為空集.
【詳解】A選項，，所以的解集不可能為空集；
B選項，，而開口向上，所以解集為空集；
C選項，的解集為，所以不為空集；
D選項，當且僅當 a = 2時等號不成立，而開口向下，所以為空集；
D
【方法技巧與總結】
一元二次不等式的解法：
(1)圖像法：一般地，當a＞0時，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分為三步：
①確定對應方程ax2＋bx＋c0的解；②畫出對應函數yax2＋bx＋c的圖像簡圖；③由圖像得出不等式的解集．
對于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取類似a＞0時的解題步驟求解；也可以先把它化成二次項系數為正的一元二次不等式，再求解．
(2)代數法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解，當p＜q時，若(x－p)(x－q)＞0，則x＞q或x＜p；若(x－p)(x－q)＜0，則p＜x＜q.有口訣如下“大于取兩邊，小于取中間”．
【題型2：含參數的一元二次不等式的解法】
例2．（2024·全國·高一假期作業）若，解不等式．
【答案】
【分析】根據題意，，轉化不等式，求解即可．
【詳解】解：∵，∴，
原不等式可化為，
解得．
故原不等式的解集為．
變式1．（2024·高一校考課時練習）解關于x的不等式: .
【答案】答案見解析
【分析】對，，進行分類討論進而解方程即可.
【詳解】①當時，不等式化為，解得，
此時不等式的解集為;
②當時，原不等式化為，
解得不等式的解集為:；
③當時，原不等式化為: ，
解得不等式的解集為:.
綜上所述，當時，解集為;
當時，解集為;
當時，解集為
變式2．（2024·北京·高一北京市第五十中學校考階段練習）解不等式.
【答案】當時，解集為；當時，解集為；
當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為．
【分析】需要分類討論，先討論，和，時，相應方程的兩根大小易判斷，可直接得出不等式的解集，時，相應方程的兩根的大小不確定，需按兩根大小分類．
【詳解】當，原不等式等價于，解得．
當時，原不等式
1）當時，原不等式，此時，原不等式解集為
2）當時，原不等式
①當，即時，原不等式解集為
②當，即時，易得原不等式解集為
③當，即時，易得原不等式解集為
綜上所述得：當時，解集為；
當時，解集為；
當時，解集為；
當時，解集為；
當時，解集為．
【點睛】思路點睛：本題考查解含參數的一元二次不等式，解題時要注意分類討論，分類討論有三個層次：第一層次是最高次項系數是否為0，在最高次項系數不為零時，還應分正負，第二層次是相應的二次方程有無實根，在有實根的前提下，第三層次就是比較兩根的大小．
變式3.（2024·全國·高一專題練習）不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】原不等式可以轉化為：，
當時，可知，對應的方程的兩根為1，，
所以不等式的解集為：..
變式4．（2024·北京西城·高一北京鐵路二中校考期中）設，解關于的不等式：．
【答案】答案見解析
【分析】將所求不等式變形為，對實數的取值進行分類討論，結合一次、二次不等式的解法解原不等式，即可得解.
【詳解】解：由可得.
（1）當時，原不等式即為，解得；
（2）當時，解方程可得或.
①當時，，解原不等式可得或
②當時，則，解原不等式可得；
③當時，原不等式即為，解得；
④當時，，解原不等式可得.
綜上所述，當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為.
變式5．（2024·黑龍江鶴崗·高一鶴崗一中校考期中）已知， ，求關于的不等式的解集.
【答案】答案見解析
【分析】討論，、、且三種大情況，解不等式得到答案.
【詳解】①當時，不等式的解為.
②當時，令解得；
當時，，解得；
當時，，不等式的解集為R；
當且時，由基本不等式得，
解得或.
綜上：當時，不等式解集為；
當時， 不等式解集為；
當時， 不等式的解集為R；
當且時，不等式的解集為或.
變式6.（2024·全國·高一專題練習）解下列關于的不等式：（）；
【答案】答案見解析
【解析】，
當時，，無實數解，
當時，，的無實數解，
當時，，的解為，
綜上，當時，原不等式的解集為，
當時，原不等式的解集為.
【方法技巧與總結】
含參數一元二次不等式求解步驟
(1)討論二次項系數的符號，即相應二次函數圖像的開口方向；
(2)討論判別式的符號，即相應二次函數圖像與x軸交點的個數；
(3)當Δ>0時，討論相應一元二次方程兩根的大小；
(4)最后按照系數中的參數取值范圍，寫出一元二次不等式的解集．
【題型3：利用不等式的解集求參數】
例3.（2024·山東臨沂·高一校考開學考試）若不等式的解集是，則 ， ．
【答案】；
【解析】因為不等式的解集是，
所以是的根，
所以，
所以故答案為：
變式1．（2024·福建福州·高一福州三中校考階段練習）已知不等式的解集是，則（ ）
A．-10 B．-6 C．0 D．2
【答案】A
【解析】由一元二次方程根與系數的關系求得即可得出結果.
【詳解】因為不等式的解集是,
所以的兩根為，則，即，
所以.
【點睛】本題考查由一元二次不等式的解集求解參數，一元二次不等式的解法，屬于基礎題.
變式2．（2024·福建泉州·高一校考階段練習）若關于的不等式的解集是，則 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意可知，是方程的兩根，根據韋達定理便可求解．
【詳解】關于的不等式的解集是，
，是方程的兩根，
，
解得，
，
．
變式3.（2024·上海徐匯·高一校考期中）已知關于的不等式的解集為，則 .
【答案】16
【解析】因關于x的不等式的解集為，
則是方程的二根，
則有，解得，所以.
故答案為：16.
變式4.（2024·河南南陽·高一校考階段練習）關于的不等式的解集為，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】首先利用一元二次不等式和方程的關系，列出根與系數的關系，得到的關系，代入不等式化簡求解.
【詳解】的解集是，，得，
則不等式，
即，解得：，
所以不等式的解集是.
變式5.【多選】（2024·湖南株洲·高一校考階段練習）已知不等式的解集為，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CCD
【解析】因為不等式的解集為，
故相應的二次函數的圖像開口向下，所以，故A錯誤；
易知2和是方程的兩個根，則有，，
又，故，，故BC正確；
因為，所以，故D正確．CD
變式6．（2024·廣西柳州·高一柳鐵一中校聯考階段練習）已知關于的不等式的解集是，則關于的不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】A
【分析】由不等式的解集是可得，，從而不等式可化為.
【詳解】關于的不等式的解集為，
，，
可化為，
即
，
關于的不等式的解集是.
.
變式7．（2024·江蘇常州·高一江蘇省前黃高級中學校考期中）已知函數.
(1)若關于的不等式的解集是，求的值.
(2)若，求關于的不等式的解集.
【答案】(1)，
(2)答案見解析
【分析】（1）根據二次函數解集的區間端點值為二次方程的根可得，再求解二次不等式可得；
（2）將二次不等式因式分解，再分情況討論二次方程的根的大小求解即可.
【詳解】（1）由于不等式的解集是，
則是的兩根，且，
代入得，解得，
于是原不等式可轉化為，
此時解集為，所以.
（2）由得，即.
因為，令，得或，
①當時，，此時不等式解集為；
②當時，，此時不等式解集為；
③當時，，此時不等式解集為；
綜上，當時，不等式解集為；
當時，不等式解集為；
當時，不等式解集為.
變式8．（2024·湖南永州·高二統考階段練習）若不等式的解集為，則 .
【答案】2
【分析】根據不等式的解集為可知和是方程的兩根，從而求出c．
【詳解】∵不等式的解集為，
∴和是方程的兩根，
∴，
∴．
故答案為：2．
變式9．（2024·全國·高三專題練習）若不等式的解集是的子集，則a的范圍是（　　）
A．[－4，3] B．[－4，2]
C．[－1，3] D．[－2，2]
【答案】A
【分析】原不等式可化為，后通過討論與1的大小解不等式，結合解集是的子集可得答案.
【詳解】原不等式可化為.
當a＜1時，不等式的解集為[a，1]，此時只要即可，即；
當a1時，不等式的解為x1，此時符合要求；
當a＞1時，不等式的解集為[1，a]，此時只要即可，即.
綜上可得：.
.
變式10.（2024·全國·高一專題練習）關于的不等式的解集中，恰有2個整數，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】由不等式，可得，
當時，即時，可得，即不等式的解集為，
若滿足解集中恰好有2個整數，則，解得；
當時，即時，可得，即不等式的解集為，
若滿足解集中恰好有2個整數，則，解得；
當時，即時，即不等式的解集為，顯然不不成立，
綜上可得，實數的取值范圍是..
變式11．【多選】（2023春·浙江溫州·高二統考學業考試）關于x的不等式的解集中恰有3個正整數解，則a的值可以為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】DD
【分析】由題意先判斷出，寫出不等式的解集，由不等式的解集中恰有3個正整數，分析的這3個正整數為,計算求解即可.
【詳解】不等式化簡為的解集中恰有3個正整數，
當時，不等式化為，則解集中有無數個整數.
當時，不等式的解集中有無數個正整數，故A錯誤；
所以，，，所以
所以不等式的解集為：， 根據0一定屬于此集合，
則由不等式的解集中恰有3個正整數，
則這3個整數中一定為：，
則，解得
故可取和2，故C,D正確，AB錯誤；
D.
變式12.（2024·福建福州·高一校考開學考試）已知關于的一元二次不等式的解中有且僅有4個正整數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，
因為關于的一元二次不等式的解集中有且僅有4個正整數，
所以，不等式的解為，且，．
【方法技巧與總結】
三個“二次”之間的關系
一元二次不等式與其對應的函數與方程之間存在著密切的聯系，在解決具體的數學問題時，要注意三者之間的相互聯系，并在一定條件下相互轉換．
(1)若一元二次不等式的解集為區間的形式，則區間的端點值恰是對應一元二次方程的根，要注意解集的形式與二次項系數的聯系．
(2)若一元二次不等式的解集為R或 ，則問題可轉化為恒不成立問題，此時可以根據二次函數圖像與x軸的交點情況確定判別式的符號，進而求出參數的范圍．
【題型4：簡單的分式不等式的解法】
例4．（2024·云南曲靖·高一校考階段練習）不等式的解集是 ．
【答案】或
【分析】分式不等式轉化為一元二次不等式，求出答案.
【詳解】等價于，解得或，
故解集為或.
故答案為：或
變式1．（2024·陜西渭南·高二統考期末）不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】根據分式不等式的解法，結合一元二次不等式的解法求解.
【詳解】不等式等價于，即，解得，
所以不等式的解集為.
故答案為：.
變式2．（2024·河南商丘·高一統考期中）不等式 的解集是 ．
【答案】
【分析】分式不等式可轉化為整式不等式求解，但要注意分母不為零.
【詳解】不等式等價于 ，解得.
故解集為：.
故答案為：
變式3．（2024·陜西西安·高三西北工業大學附屬中學校考階段練習）解不等式：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據一元二次不等式的解法求解；
（2）根據一元二次不等式的解法求解；
（3）根據分式不等式的解法求解.
【詳解】（1）可化為，即，解得，
∴原不等式的解集為.
（2），
∴原不等式的解集為.
（3）
∴原不等式的解集為.
【方法技巧與總結】
簡單的分式不等式的解法
對于比較簡單的分式不等式，可直接轉化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．對于不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．　
注：設A、B均為含x的多項式
（1） （2）
（3） （4）
【題型5：一元二次不等式的恒不成立有解問題】
例5.（2024·全國·高一期中）已知不等式，對任意實數都不成立，則的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】①當時，不等式不成立，∴；
②當時，則有，解得；
綜上，．．
變式1.（2024·江西南昌·高一校考階段練習）若不等式的解集為，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意知，不等式的解集為，
即為不等式在上恒不成立，
當時，即時，不等式恒不成立，滿足題意；
當時，即時，則滿足，
即，解得，
綜上可得，實數的取值范圍是..
變式2．（2024·高一單元測試）設.
(1)若不等式對一切實數恒不成立，求實數的取值范圍;
(2)解關于的不等式.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）由題意等價于對于一切實數x恒不成立，由可得答案；
（2）轉化為不等式，分、、討論解不等式可得答案.
【詳解】（1）由題意，不等式對于一切實數x恒不成立，
等價于對于一切實數x恒不成立，
所以，解得，
故實數a的取值范圍為；
（2）不等式，
即，
當，即時，不等式的解集為；
當，即時，不等式的解集為；
當，即時，不等式的解集為.
綜上所述，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.
變式3．（2023春·江蘇南京·高二南京市中華中學校考階段練習）設．
(1)若不等式對一切實數恒不成立，求實數的取值范圍；
(2)解關于的不等式．
【答案】(1)
(2)答案見解析.
【分析】(1)根據給定條件利用一元二次不等式恒不成立求解作答.
(2)分類討論解一元二次不等式即可作答.
【詳解】（1），恒不成立等價于，，
當時，，對一切實數不恒不成立，則，
此時必有，
即，解得，
所以實數的取值范圍是.
（2）依題意， ，可化為，
當時，可得，
當時，可得，又，
解得，
當時，不等式可化為，
當時，，解得，
當時，，解得或，
當時，，解得或，
所以，當時，原不等式的解集為，
當時，原不等式的解集為，
當時，原不等式的解集為或；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為或.
變式4.（2024·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中校考階段練習）已知函數．
(1)若不等式的解集為R，求m的取值范圍；
(2)解關于x的不等式．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）函數類型不定，需對的系數分類討論，結合圖象即得答案.
（2）對應函數類型不定，需對的系數分類討論，對應方程有根大小不定，需分類討論，結合圖象即得答案.
【詳解】（1）由已知得，在R上恒不成立.
①當時，顯然不滿足題意.
②當時，只需滿足，解得.
綜上所述，實數的取值范圍為.
（2）不等式，即為，
即，可化為.
①當，即時，，解集為；
②當，即時，，解集為或;
③當，即時，
i 當，即時，解集為；
ii 當，即時，解集為；
iii 當，即時，解集為.
綜上所述：
當時，解集為；
當時，解集為或；
當時，解集為；
當時，解集為；
當時，解集為.
變式5.（2024·四川遂寧·高一射洪中學校考階段練習）設．
(1)若不等式對一切實數恒不成立，求實數的取值范圍；
(2)解關于的不等式．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）對進行分類討論來分析恒不成立問題.
（2）解不等式時要對進行分類討論.
【詳解】（1）不等式.
當時，，即不等式僅對不成立，不滿足題意，舍.
當時，要使對一切實數恒不成立.
則解得.
綜上，實數的取值范圍為.
（2）當時，解得.
當時，.
①若，的解為；
②若，當即時，解得.
當時，，的解為或.
當時，，的解為或.
綜上，當時，不等式解集為；
當時，不等式解集為；
當時，不等式解集為或；
當時，不等式解集為；
當時，不等式解集為或.
變式6.（2024·高一課時練習）已知不等式有解，求m的取值范圍．
【答案】或
【解析】（1）當時，原不等式化為，解集為空集，故不滿足題意；
（2）當時，一元二次不等式對應二次函數開口向上，顯然滿足題意；
（3）當時，由題意可得：，
因為，解得；
綜上所述：當或時，不等式有解.
變式7.（2024·高一課時練習）已知函數，，.
(1)若關于的不等式的解集為或，求實數，的值；
(2)若關于的不等式在上有解，求實數的取值范圍；
(3)若關于的不等式的解集中恰有個整數，求實數的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根據二次函數與一元二次方程、不等式的關系，即可求出，的值；
（2）將不等式有解（能不成立）問題轉化為二次函數最值問題解決即可；
（3）構造函數，討論的解集恰有個整數即可.
【詳解】（1）∵關于的不等式的解集為或，
∴方程的兩根為，，
∴，
∴解得，.
（2）令，
若關于的不等式在上有解，則在上有解，
∴只需使在區間上的最小值.
圖象是開口向上，對稱軸為的拋物線，
∴在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
①當，即時，在區間上單調遞增，
∴，解得，
此時，；
②當，即時， 在區間上單調遞減，
∴，解得，
此時，；
③當，即時， 在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
∴，解得或，
此時，；
綜上所述，實數的取值范圍是.
（3）令
若關于的不等式的解集中恰有個整數，
則的解集中恰有個整數，
，
①當，即時，解集為，不合題意；
②當，即時，解集為，
若解集中恰有個整數，則這個整數為，，，
∴，解得，
∴此時；
③當，即時，解集為，
若解集中恰有個整數，則這個整數為，，，
∴，解得，
∴此時；
綜上所述，實數的取值范圍是.
【方法技巧與總結】
1、不等式恒不成立問題：不等式恒不成立時對未知量來說，因此也稱不等式解集為R
（1）恒不成立
（2）恒不成立
（3）恒不成立
（4）恒不成立
2、不等式有解問題
（1）有解或
（2）有解或
（3）有解或
（4）有解或
【題型6：一元二次不等式的實際應用】
例6．（2024·高一校考單元測試）某小型雨衣廠生產某種雨衣，售價（單位：元/件）與月銷售量（單位：件）之間的關系為，生產件的成本（單位：元）.若每月獲得的利潤（單位：元）不少于元，則該廠的月銷售量的取值范圍為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，建立利潤函數，列出不等式，可得答案.
【詳解】由題意，得，，
令，得，，
，.
.
變式1.（2024·全國·高一假期作業）某小型服裝廠生產一種風衣，日銷售量（件）與單價（元）之間的關系為，生產件所需成本為（元），其中元，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷售量的取值范圍是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據給定信息，求出利潤關于的函數關系，再列出不等式并求解作答.
【詳解】設該廠每天獲得的利潤為元，則，，，
依題意，，解得，
所以當，且時，每天獲得的利潤不少于1300元.
變式2.（2024·全國·高一專題練習）某商品在最近天內的價格與時間 (單位：天)的函數關系是；銷售量與時間的函數關系是，則使這種商品日銷售金額不小于元的的范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由日銷售金額為，即，
解得.
變式3.（2023春·河南安陽·高二林州一中校考階段練習）某地每年消耗木材約20萬立方米，每立方米售價480元，為了減少木材消耗，決定按征收木材稅，這樣，每年的木材消耗量減少萬立方米，為了既減少木材消耗又保證稅金收入每年不少于180萬元，t的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據題意，列出不等式，即可求解.
【詳解】由題意，每年消耗木材為萬立方米，所以每年稅金為，
要保證稅金收入每年不少于萬元，可得且，
解得，即實數的取值范圍為.
.
35．（2024·四川綿陽·高一綿陽中學校考階段練習）某種襯衫進貨價為每件元，若以元一件出售，則每天能賣出件；若每件提價元，則每天賣出件數將減少一件，為使每天出售襯衫的凈收入不低于元，則每件襯衫的售價的取值范圍是 ．(假設每件襯衫的售價是m)
【答案】
【分析】由每件襯衫的售價是元，可知每天的銷售量為件，那么可以得到每天出售襯衫的凈收入，令其大于等于，構建不等式解不等即可.
【詳解】假設每件襯衫的售價是元，則每天的銷售量為件，
每天出售襯衫的凈收入，
令,
，
，
解得,
故答案為：.
變式4.（2024·全國·高一專題練習）商人如果將進貨單價為8元的商品按每件10元銷售，每天可銷售100件，現在他采用提高售價，減少進貨量的辦法增加利潤．已知這種商品的售價每提高1元，銷售量就可能相應減少10件．若把提價后的商品售價設為x元，怎樣用不等式表示每天的利潤不低于300元？
【答案】，
【解析】若提價后商品的售價為x元，由于要賺取利潤，故，
則銷售量減少件，故每天可銷售，
同樣由于要賺取利潤，故，則，
綜上：，
因此，每天的利潤為元，，
則“每天的利潤不低于300元”可以表示為不等式，.
【方法技巧與總結】
解不等式應用題的四步驟
(1)審：認真審題，把握問題中的關鍵量，找準不等關系．
(2)設：引進數學符號，用不等式表示不等關系．
(3)求：解不等式．
(4)答：回答實際問題．
特別提醒：確定答案時應注意變量具有的“實際含義”．
一、單選題
1．（2024高一上·山西朔州·階段練習）已知不等式的解集為，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據一元二次不等式的解與二次方程的根的關系，利用韋達定理即可求解.
【詳解】由于不等式的解集為，
所以和是方程的兩個實數根，
故且，解得，，
2．（2024高一上·江蘇南通·開學考試）不等式的解集為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【分析】轉化為求解即可.
【詳解】，即，即，解得或.
.
3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數的圖象如圖所示，則下列結論錯誤的是（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集是
【答案】A
【分析】根據一元二次函數的圖象與軸的交點的橫坐標，結合二次函數與一元二次不等式的關系，即可求解.
【詳解】由題圖知拋物線開口向上，所以，
拋物線與軸交點縱坐標為正，所以，
因為，所以，
由韋達定理，
即，，對稱軸，
則.所以A錯誤，B,C正確.
不等式 可化為，
即，解得 或.
所以不等式的解集是.D正確.
.
4．（24-25高三上·江蘇無錫·開學考試）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先解分式不等式求出集合A，再求交集即可.
【詳解】因為,
所以.
.
5．（2024高三上·重慶南岸·階段練習）已知p：，那么命題p的一個必要不充分條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解不等式，根據充分、必要條件判斷即可.
【詳解】由解得，
則A項是命題p的充要條件，故A錯誤；
由，
則B項是命題p的充分條件，故B錯誤；
由，且，
則C項是命題p的一個必要不充分條件，故C正確；
由，且，
則D項是命題p的既不充分也不必要條件，故D錯誤；
.
6．（2024高三·全國·專題練習）在上定義運算“”：，則滿足的實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據規定的新定義運算法則化簡不等式，然后直接求解一元二次不等式就可以得到正確答案
【詳解】根據給出在上定義運算，
由得，解之得，
故該不等式的解集是．
7．（2024高一上·江蘇蘇州·階段練習）不等式的解集為或，則的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】將不等式化為，即的兩個根為，，代入求出，再利用分式不等式的解法即可求解.
【詳解】不等式可轉化為，
其解集為或，
所以，且方程的兩個根為，，
則 或，解得或（舍去），
即有，即，解得.
所以不等式的解集為.
.
8．（2024高二下·安徽·學業考試）若不等式對所有實數恒不成立，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分和兩種情況討論，時，結合二次函數圖象得到的取值范圍.
【詳解】時，原不等式化為，解得，不對所有的恒不成立，不符合題意；
時，原不等式為一元二次不等式，要對所有實數恒不成立，
則二次函數的圖象開口向下且與軸無交點，
從而，解得，
所以，的取值范圍為，
.
二、多選題
9．（24-25高一上·全國·課后作業）已知二次函數的圖象如圖所示，則下列選項正確的是（ ）
A．
B．
C．（m為任意實數）
D．
【答案】ABC
【分析】根據題目中的函數圖象和二次函數的性質，可以判斷各個選項中的結論是否正確，從而可以解答本題.
【詳解】因為拋物線開口向下，則，
又因為拋物線的對稱軸為直線，則，可得，
且拋物線與y軸的交點在x軸上方，則，
對于選項A：可得，故A正確；
對于選項B：因為，則，
所以，故B正確；
對于選項C：拋物線的對稱軸為直線，可知當時，y有最大值，
則（m為任意實數），
所有（m為任意實數），故C正確；
對于選項D：因為拋物線的對稱軸為直線，且拋物線與x軸的一個交點在點和之間，
則拋物線與x軸的另一個交點在點和之間，
可知當時，，所以，故D錯誤．
BC.
10．（24-25高一上·重慶沙坪壩·開學考試）已知不等式，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則不等式的解集為
B．若不等式的解集為，則
C．若不等式的解集為，則
D．若不等式的解集為，
【答案】ABD
【分析】對于A解一元二次不等式即可判斷，對于BC根據不等式的解集可知對應一元二次方程的根，由根與系數的關系求解即可判斷，對于D，根據根與系數的關系及絕對值不等式即可判斷.
【詳解】對于A，時，不等式，即，即，解得，所以不等式的解集為，A正確；
對于B，若不等式的解集為，則二次函數的圖象開口向下，即，
且方程的兩根為，故，所以，B正確；
對于C，若不等式的解集為，則二次函數的圖象開口向下，即，
且方程的兩根為，故，C錯誤；
對于D，若不等式的解集為，則二次函數的圖象開口向下，即，
且方程的兩根為，故，
所以，
當且僅當時，等號不成立，D正確.
BD.
11．（24-25高一上·浙江溫州·開學考試）已知函數，則下列結論正確的是（ ）
A．關于x的不等式的解集可以是
B．關于x的不等式的解集可以是
C．函數在上可以有兩個零點
D．“關于x的方程有一個正根和一個負根”的充要條件是“”
【答案】CCD
【分析】解含參的一元二次不等式判斷A,B,根據含參的一元二次不等式解集得出參數范圍判斷C,D.
【詳解】對A，若不等式的解集是，則且，得，
而當，時，不等式，即，得，與矛盾，故A錯誤；
對B，取，，此時不等式的解集為，故B正確；
對C，取，，則由，得或3，故C正確；
對D，若關于x的方程有一個正根和一個負根，則，得，
若，則，故關于x的方程有兩個不等的實根，，
且，關于x的方程有一個正根和一個負根.
因此“關于x的方程有一個正根和一個負根”的充要條件是“”，故D正確.
CD.
三、填空題
12．（24-25高一上·全國·隨堂練習）若，則不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】由題可知，對應的一元二次函數開口向上，因此根據口訣“大于取兩邊，小于取中間”即可一元二次不等式.
【詳解】因為，
所以,
所以由，
得,
所以原不等式的解集為.
故答案為：.
13．（24-25高三上·北京·開學考試）已知關于的不等式的解集為，則的值 .
【答案】3
【分析】對原不等式等價變形，分是否等于2進行討論，根據一元二次不等式、方程之間的關系即可求解.
【詳解】，
當時，原不等式等價于，故不符合題意，
當時，根據一元二次不等式解集可得，解得，
而當時，原不等式等價于或，故符合題意；
綜上所述，的值為3.
故答案為：3.
14．（2024高一下·江蘇鹽城·開學考試）某種汽車在水泥路面上的剎車距離（單位：）和汽車剎車前的車速（單位：）之間有如下關系：，在一次交通事故中，測得這種車的剎車距離不小于，則這輛汽車剎車前的車速至少為 ．
【答案】
【分析】設這輛汽車剎車前的車速，利用題設中的的關系式和不等式關系可得的一元二次不等式，求的范圍可得．
【詳解】設這輛汽車剎車前的車速為，
根據題意，有，
整理得，
解得或（舍去），
所以這輛汽車剎車前的速度至少為．
故答案為：
15．（2024高三上·陜西榆林·階段練習）若存在，使得不成立，則實數的取值范圍 .
【答案】或
【分析】借助一元二次函數圖像位置即可求解.
【詳解】根據題意即不等式有解，
由
得或
故答案為：或
四、解答題
16．（2024高一上·河南鄭州·階段練習）夏秋交替時節， 某商家為了盡快清倉銷貨， 決定對短袖襯衫A進行打折處理．經過市場調查發現，每個月A的銷量（單位: 件）與折扣（單位: 折）之間的關系近似滿足一次函數．已知的成本價為70元/件，原售價為100元/件，設A每月的總利潤為（單位: 元）．
(1)求的最大值;
(2)該商家將與A相同成本價的短袖恤按80元/件銷售， 若每銷售1件可銷售1件， 要求A與的總利潤不低于3000元， 求A售價的最小值．
【答案】(1)2470元
(2)元/件
【分析】（1）表達出，配方后得到最大值；
（2）表達出A與的總利潤為，從而得到不等式，求出A售價的最小值.
【詳解】（1）由題意得，每件短袖補衫A的利潤為（元），
所以
，
當時，取到最大值，最大值為2470元．
（2）設A與的總利潤為（單位：元），
則，
得，得．
故打七折時，A售價最小，A售價的最小值為元/件．
17．（2024高三上·廣東梅州·階段練習）已知關于的不等式的解集為或．
(1)求的值；
(2)求關于的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據一元二次不等式的解集確定對應方程的根，再利用方程的系數與根的關系求參數即可；
（2）代入參數，解一元二次不等式即可.
【詳解】（1）關于的不等式的解集為或，
∴，且和4是方程的兩實數根，
由根與系數的關系知，，解得；
（2）由（1）知，時，
不等式為，
∴不等式的解集是.
18．（2024高一上·福建莆田·階段練習）已知命題:“實數滿足”命題:“都有意義”.
(1)已知為假命題，為真命題，求實數的取值范圍;
(2)若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）將代入，化簡、，然后根據為假命題，為真命題，列出不等式，即可得到結果.
（2）先根據條件化簡、得到，然后根據是的充分不必要條件，列出不等式，即可得到結果.
【詳解】（1）當時，由，得，
即：若為真命題，則；
若為真命題，即恒不成立，
則當時，滿足題意；
當時，，解得，
故．
故若為假命題，為真命題，
則，解得，
即實數的取值范圍為．
（2）對于，且．
對于，，則：或．
因為是的充分不必要條件，
所以，解得．
故的取值范圍是.
19．（24-25高三上·湖南常德·階段練習）（1）若關于的不等式的解集為R，求的取值范圍；
（2）解關于的不等式．
【答案】（1）；（2）答案見解析
【分析】（1）通過討論的系數，即可求解.
（2）因式分解，通過討論根的個數及大小即可求解.
【詳解】當，不等式為恒不成立，符合題意；
當時，由題意可得：，即，
解得：，
綜上可知：的取值范圍是
（2）由, 整理得 ，
當時，得，解集為；
當時，得，解集為；
當時，，得或，解集為；
當時，，得，解集為；
當時，，得或，解集為.
綜上所述：當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為.
20．（2024高二下·黑龍江綏化·期末）已知函數．
(1)若對于任意，不等式恒不成立，求實數a的取值范圍；
(2)當時，解關于x的不等式．
【答案】(1)；
(2)答案見解析
【分析】（1）討論或兩種情況，由不等式恒不成立，求參數的取值范圍；
（2）首先不等式整理為，討論對應方程的兩根大小關系，解不等式.
【詳解】（1）即為，
所以不等式對于任意恒不成立，
當時，得，顯然符合題意；
當時，得，解得．
綜上，實數a的取值范圍是．
（2）不等式即為，
即．
又，不等式可化為，
若，即時，得或，即解集為或；
若，即時，得，即解集為；
若，即時，得或，即解集為或．
綜上可知，當時，解集為或；
當時，解集為；
當時，解集為或．
21．（24-25高一上·全國·課后作業）已知函數（）只能同時滿足下列三個條件中的兩個：
①y＜0的解集為；
②；
③y的最小值為．
(1)請寫出這兩個條件的序號，求y的解析式；
(2)求關于x的不等式（）的解集．
【答案】(1)①③；
(2)答案見解析
【分析】（1）依次考慮組合①②；①③和②③，排除不符題意的，確定①③，即得解析式；
（2）由（1）確定的解析式，整理待求不等式，得，就參數進行分類討論不等式的解集.
【詳解】（1）若選①②，由a－1知函數圖象開口向下，
此時y＜0的解集不可能為，故不符合題意；
若選①③，∵函數y＜0的解集為，
∴－1，3是方程的根，
∴函數圖象對稱軸為x1，
由，
則b－2a，c－3a，
又∵y的最小值為－4，
∴當x1時，，
解得a1，所以，
則；
若選②③，a－1，函數圖象開口向下，
則y無最小值，不符合題意．
綜上，應選：①③，且．
（2）由，
化簡得，
即，
若m＜0，則不等式的解集為或；
若m0，則不等式的解集為R；
若m＞0，則不等式的解集為或；
綜上，當m＜0時，不等式的解集為或；
當m0時，不等式的解集為R；
當m＞0時，不等式的解集為或．
22．（24-25高一上·遼寧·階段練習）根據要求完成下列問題：
(1)已知，集合、集合、集合，則同時滿足A且的實數、是否存在？若存在，求出、的值；若不存在，請說明理由；
(2)已知，命題：和是方程的兩個實根，不等式對任意實數恒不成立；命題：不等式有解；若命題是真命題，命題是假命題，求實數的取值范圍.
【答案】(1)存在，、或、
(2)
【分析】（1）由題意可得：，根據真子集關系求實數的取值范圍，根據子集關系求實數的取值范圍，進而得解；
（2）對于命題：根據韋達定理求得，進而結合恒不成立問題求實數的取值范圍；對于命題：根據二次不等式分類討論求解；進而得解.
【詳解】（1）因為，
因為A，則或或，
若，則，的值不存在；
若，則，解得；
若，則，無解；
綜上所述：；
因為，則或或或，
若，則，解得；
若，則，無解；
若，則，無解；
若，則，解得；
綜上所述，或；
所以存在、的值，當、或、時，滿足A、.
（2）因為、是方程的兩個實根，則，
可得，
當時，，
由不等式對任意實數恒不成立可得：，
即，解得或，
所以命題為真命題時，，
命題：不等式有解，
當時，原不等式一定有解，
當時，只需，解得，
不等式有解時，
又命題是假命題，則，
所以命題是真命題且命題是假命題時，實數的取值范圍為.
23．（2024高一·上海·課堂例題）方程的三個根1、2、3將數軸劃分為四個區間，即，，，．試在這四個區間上分別考察的符號，從而得出不等式與的解集．一般地，對、、，且，試分別求不等式與的解集．（提示：、、相互之間可能相等，需要分情況討論）
【答案】答案見解析
【分析】對于不等式與根據題設方法即可得解；對于不等式與分，，，討論，結合條件即可得解.
【詳解】由可得或，
所以不等式的解集為，
由可得或，
所以不等式的解集為；
對于不等式和，：
①當時，
由可得，解得，
所以不等式的解集為，
由可得，解得且，
所以不等式的解集為；
②當時，
由可得，解得且，
所以不等式的解集為，
由可得，解得，
所以不等式的解集為；
③當時，
由可得，解得，
所以不等式的解集為，
由可得，解得，
所以不等式的解集為；
④當時，
由可得或，
所以不等式的解集為，
由可得或，
所以不等式的解集為；
【點睛】方法點睛：對于解高次不等式或，，先求對應方程的n個根（可能有相等的根），這n個根將數軸劃分為個區間，即，，，試在這個區間上分別考察的符號即可根據不等式求解.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)2.2.3一元二次不等式的解法
課程標準 學習目標
1、掌握用因式分解法解決一元二次不等式. 2、掌握用配方法解決一元二次不等式. 一元二次不等式的解法，由特殊到一般的配方法、因式分解法. 掌握一元二次不等式的的運算法則，探究運算思路，選擇相對應的運算方法。 一般一元二次不等式有兩個解，需要驗證其有效性。
知識點01一元二次不等式的概念
一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式稱為一元二次不等式，其中a，b，c是常數，而且a≠0.一元二次不等式中的不等號也可以是“<”“≥”“≤”等．
注：一元二次不等式的二次項系數a有a>0和a<0兩種，注意a≠0.當a<0時，我們通常將不等式兩邊同乘以－1，化為二次項系數大于0的一元二次不等式，但要注意不等號要改變方向，這樣我們只需要研究二次項系數大于0的一元二次不等式．
【即學即練1】下列不等式中是一元二次不等式的是(　　)
A．a2x2＋2≥0 B．＜3
C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1＞0
知識點02一元二次不等式的解法
（1）用因式分解法解一元二次不等式
一般地，如果x10的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞).
①這種方法只有在一元二次不等式左邊能夠因式分解(一般用十字相乘法)時才能使用，簡記為“小于零取中間，大于零取兩邊”．
②因式分解法就是將一元二次不等式轉化為兩個一元一次不等式組來求解．
依據是：ab>0當且僅當或；
ab<0當且僅當或
（2）用配方法解一元二次不等式
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通過配方總是可以變為(x－h)2>k或(x－h)2注：(1)因式分解法只適用于特殊類型的一元二次不等式，一般的一元二次不等式可以通過配方法求得解集．
(2)用配方法解一元二次不等式的關鍵是熟練掌握二次三項式的配方技巧．
【即學即練2】（2024·廣東佛山·高一佛山市第二中學校考開學考試）解下列一元二次不等式：
(1)；
(2)；
(3)．
【即學即練3】（2024·江蘇·高一假期作業）解關于x的不等式
知識點03二次函數與一元二次方程、不等式的解的對應關系
Δ＞0 Δ0 Δ＜0
yax2＋bx＋c(a＞0)的圖像
ax2＋bx＋c0(a＞0)的根 有兩個不相等的實數根x1，x2(x1＜x2) 有兩個相等的實數根x1－ 沒有實數根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} {x|x≠－} R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
【即學即練4】【多選】（2024·黑龍江佳木斯·佳木斯一中校考模擬預測）已知關于x的不等式的解集為，則下列選項中正確的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集為
知識點04分式不等式
分式不等式的概念
分母中含有未知數的不等式稱為分式不等式．
注：當分式不等式等價轉化為整式不等式時，其分母不為零最容易被忽略，這一點一定要注意．
【即學即練5】（2024·全國·高三對口高考）已知集合，則 ．
難點：含參數的一元二次不等式的解法
示例：解關于x的不等式2x2＋ax＋2＞0.
【題型1：解不含參數的一元二次不等式】
例1．（2024·安徽合肥·高二校考學業考試）不等式的解集為（ ）
A．或B． C．D．或
變式1.（2024·全國·高一專題練習）不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中學校考學業考試）不等式的解集為
A． B． C． D．
變式3．（2024·上海·高一專題練習）解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）
變式4．（2024·高一校考課時練習）解下列不等式：
（1）
（2）
（3）
（4）
變式5.（2024·全國·高一專題練習）求下列不等式的解集.
（1）； （2）；
（3）； （4）；
變式6.【多選】（2024·全國·高一專題練習）下列不等式的解集是空集的是（ ）
A． B． C． D．
變式7．【多選】（2024·江蘇淮安·高一校考階段練習）下列四個不等式中，解集為的是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧與總結】
一元二次不等式的解法：
(1)圖像法：一般地，當a＞0時，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分為三步：
①確定對應方程ax2＋bx＋c0的解；②畫出對應函數yax2＋bx＋c的圖像簡圖；③由圖像得出不等式的解集．
對于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取類似a＞0時的解題步驟求解；也可以先把它化成二次項系數為正的一元二次不等式，再求解．
(2)代數法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解，當p＜q時，若(x－p)(x－q)＞0，則x＞q或x＜p；若(x－p)(x－q)＜0，則p＜x＜q.有口訣如下“大于取兩邊，小于取中間”．
【題型2：含參數的一元二次不等式的解法】
例2．（2024·全國·高一假期作業）若，解不等式．
變式1．（2024·高一校考課時練習）解關于x的不等式: .
變式2．（2024·北京·高一北京市第五十中學校考階段練習）解不等式.
變式3.（2024·全國·高一專題練習）不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
變式4．（2024·北京西城·高一北京鐵路二中校考期中）設，解關于的不等式：．
變式5．（2024·黑龍江鶴崗·高一鶴崗一中校考期中）已知， ，求關于的不等式的解集.
變式6.（2024·全國·高一專題練習）解下列關于的不等式：（）；
【方法技巧與總結】
含參數一元二次不等式求解步驟
(1)討論二次項系數的符號，即相應二次函數圖像的開口方向；
(2)討論判別式的符號，即相應二次函數圖像與x軸交點的個數；
(3)當Δ>0時，討論相應一元二次方程兩根的大小；
(4)最后按照系數中的參數取值范圍，寫出一元二次不等式的解集．
【題型3：利用不等式的解集求參數】
例3.（2024·山東臨沂·高一校考開學考試）若不等式的解集是，則 ， ．
變式1．（2024·福建福州·高一福州三中校考階段練習）已知不等式的解集是，則（ ）
A．-10 B．-6 C．0 D．2
變式2．（2024·福建泉州·高一校考階段練習）若關于的不等式的解集是，則 （ ）
A． B． C． D．
變式3.（2024·上海徐匯·高一校考期中）已知關于的不等式的解集為，則 .
變式4.（2024·河南南陽·高一校考階段練習）關于的不等式的解集為，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
變式5.【多選】（2024·湖南株洲·高一校考階段練習）已知不等式的解集為，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
變式6．（2024·廣西柳州·高一柳鐵一中校聯考階段練習）已知關于的不等式的解集是，則關于的不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
變式7．（2024·江蘇常州·高一江蘇省前黃高級中學校考期中）已知函數.
(1)若關于的不等式的解集是，求的值.
(2)若，求關于的不等式的解集.
變式8．（2024·湖南永州·高二統考階段練習）若不等式的解集為，則 .
變式9．（2024·全國·高三專題練習）若不等式的解集是的子集，則a的范圍是（　　）
A．[－4，3] B．[－4，2]
C．[－1，3] D．[－2，2]
變式10.（2024·全國·高一專題練習）關于的不等式的解集中，恰有2個整數，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．或
變式11．【多選】（2023春·浙江溫州·高二統考學業考試）關于x的不等式的解集中恰有3個正整數解，則a的值可以為（ ）
A． B． C． D．2
變式12.（2024·福建福州·高一校考開學考試）已知關于的一元二次不等式的解中有且僅有4個正整數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
三個“二次”之間的關系
一元二次不等式與其對應的函數與方程之間存在著密切的聯系，在解決具體的數學問題時，要注意三者之間的相互聯系，并在一定條件下相互轉換．
(1)若一元二次不等式的解集為區間的形式，則區間的端點值恰是對應一元二次方程的根，要注意解集的形式與二次項系數的聯系．
(2)若一元二次不等式的解集為R或 ，則問題可轉化為恒不成立問題，此時可以根據二次函數圖像與x軸的交點情況確定判別式的符號，進而求出參數的范圍．
【題型4：簡單的分式不等式的解法】
例4．（2024·云南曲靖·高一校考階段練習）不等式的解集是 ．
變式1．（2024·陜西渭南·高二統考期末）不等式的解集為 ．
變式2．（2024·河南商丘·高一統考期中）不等式 的解集是 ．
變式3．（2024·陜西西安·高三西北工業大學附屬中學校考階段練習）解不等式：
(1)；
(2)；
(3).
【方法技巧與總結】
簡單的分式不等式的解法
對于比較簡單的分式不等式，可直接轉化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．對于不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．　
注：設A、B均為含x的多項式
（1） （2）
（3） （4）
【題型5：一元二次不等式的恒不成立有解問題】
例5.（2024·全國·高一期中）已知不等式，對任意實數都不成立，則的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
變式1.（2024·江西南昌·高一校考階段練習）若不等式的解集為，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2024·高一單元測試）設.
(1)若不等式對一切實數恒不成立，求實數的取值范圍;
(2)解關于的不等式.
變式3．（2023春·江蘇南京·高二南京市中華中學校考階段練習）設．
(1)若不等式對一切實數恒不成立，求實數的取值范圍；
(2)解關于的不等式．
變式4.（2024·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中校考階段練習）已知函數．
(1)若不等式的解集為R，求m的取值范圍；
(2)解關于x的不等式．
變式5.（2024·四川遂寧·高一射洪中學校考階段練習）設．
(1)若不等式對一切實數恒不成立，求實數的取值范圍；
(2)解關于的不等式．
變式6.（2024·高一課時練習）已知不等式有解，求m的取值范圍．
變式7.（2024·高一課時練習）已知函數，，.
(1)若關于的不等式的解集為或，求實數，的值；
(2)若關于的不等式在上有解，求實數的取值范圍；
(3)若關于的不等式的解集中恰有個整數，求實數的取值范圍．
【方法技巧與總結】
1、不等式恒不成立問題：不等式恒不成立時對未知量來說，因此也稱不等式解集為R
（1）恒不成立
（2）恒不成立
（3）恒不成立
（4）恒不成立
2、不等式有解問題
（1）有解或
（2）有解或
（3）有解或
（4）有解或
【題型6：一元二次不等式的實際應用】
例6．（2024·高一校考單元測試）某小型雨衣廠生產某種雨衣，售價（單位：元/件）與月銷售量（單位：件）之間的關系為，生產件的成本（單位：元）.若每月獲得的利潤（單位：元）不少于元，則該廠的月銷售量的取值范圍為（　　）
A． B．
C． D．
變式1.（2024·全國·高一假期作業）某小型服裝廠生產一種風衣，日銷售量（件）與單價（元）之間的關系為，生產件所需成本為（元），其中元，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷售量的取值范圍是（ ）.
A． B．
C． D．
變式2.（2024·全國·高一專題練習）某商品在最近天內的價格與時間 (單位：天)的函數關系是；銷售量與時間的函數關系是，則使這種商品日銷售金額不小于元的的范圍為（ ）
A． B．
C． D．
變式3.（2023春·河南安陽·高二林州一中校考階段練習）某地每年消耗木材約20萬立方米，每立方米售價480元，為了減少木材消耗，決定按征收木材稅，這樣，每年的木材消耗量減少萬立方米，為了既減少木材消耗又保證稅金收入每年不少于180萬元，t的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
35．（2024·四川綿陽·高一綿陽中學校考階段練習）某種襯衫進貨價為每件元，若以元一件出售，則每天能賣出件；若每件提價元，則每天賣出件數將減少一件，為使每天出售襯衫的凈收入不低于元，則每件襯衫的售價的取值范圍是 ．(假設每件襯衫的售價是m)
變式4.（2024·全國·高一專題練習）商人如果將進貨單價為8元的商品按每件10元銷售，每天可銷售100件，現在他采用提高售價，減少進貨量的辦法增加利潤．已知這種商品的售價每提高1元，銷售量就可能相應減少10件．若把提價后的商品售價設為x元，怎樣用不等式表示每天的利潤不低于300元？
【方法技巧與總結】
解不等式應用題的四步驟
(1)審：認真審題，把握問題中的關鍵量，找準不等關系．
(2)設：引進數學符號，用不等式表示不等關系．
(3)求：解不等式．
(4)答：回答實際問題．
特別提醒：確定答案時應注意變量具有的“實際含義”．
一、單選題
1．（2024高一上·山西朔州·階段練習）已知不等式的解集為，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高一上·江蘇南通·開學考試）不等式的解集為（ ）
A． B．
C．或 D．或
3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數的圖象如圖所示，則下列結論錯誤的是（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集是
4．（24-25高三上·江蘇無錫·開學考試）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三上·重慶南岸·階段練習）已知p：，那么命題p的一個必要不充分條件是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三·全國·專題練習）在上定義運算“”：，則滿足的實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·江蘇蘇州·階段練習）不等式的解集為或，則的解集為（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高二下·安徽·學業考試）若不等式對所有實數恒不成立，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
9．（24-25高一上·全國·課后作業）已知二次函數的圖象如圖所示，則下列選項正確的是（ ）
A．
B．
C．（m為任意實數）
D．
10．（24-25高一上·重慶沙坪壩·開學考試）已知不等式，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則不等式的解集為
B．若不等式的解集為，則
C．若不等式的解集為，則
D．若不等式的解集為，
11．（24-25高一上·浙江溫州·開學考試）已知函數，則下列結論正確的是（ ）
A．關于x的不等式的解集可以是
B．關于x的不等式的解集可以是
C．函數在上可以有兩個零點
D．“關于x的方程有一個正根和一個負根”的充要條件是“”
三、填空題
12．（24-25高一上·全國·隨堂練習）若，則不等式的解集為 ．
13．（24-25高三上·北京·開學考試）已知關于的不等式的解集為，則的值 .
14．（2024高一下·江蘇鹽城·開學考試）某種汽車在水泥路面上的剎車距離（單位：）和汽車剎車前的車速（單位：）之間有如下關系：，在一次交通事故中，測得這種車的剎車距離不小于，則這輛汽車剎車前的車速至少為 ．
15．（2024高三上·陜西榆林·階段練習）若存在，使得不成立，則實數的取值范圍 .
四、解答題
16．（2024高一上·河南鄭州·階段練習）夏秋交替時節， 某商家為了盡快清倉銷貨， 決定對短袖襯衫A進行打折處理．經過市場調查發現，每個月A的銷量（單位: 件）與折扣（單位: 折）之間的關系近似滿足一次函數．已知的成本價為70元/件，原售價為100元/件，設A每月的總利潤為（單位: 元）．
(1)求的最大值;
(2)該商家將與A相同成本價的短袖恤按80元/件銷售， 若每銷售1件可銷售1件， 要求A與的總利潤不低于3000元， 求A售價的最小值．
17．（2024高三上·廣東梅州·階段練習）已知關于的不等式的解集為或．
(1)求的值；
(2)求關于的不等式的解集．
18．（2024高一上·福建莆田·階段練習）已知命題:“實數滿足”命題:“都有意義”.
(1)已知為假命題，為真命題，求實數的取值范圍;
(2)若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.
19．（24-25高三上·湖南常德·階段練習）（1）若關于的不等式的解集為R，求的取值范圍；
（2）解關于的不等式．
20．（2024高二下·黑龍江綏化·期末）已知函數．
(1)若對于任意，不等式恒不成立，求實數a的取值范圍；
(2)當時，解關于x的不等式．
21．（24-25高一上·全國·課后作業）已知函數（）只能同時滿足下列三個條件中的兩個：
①y＜0的解集為；
②；
③y的最小值為．
(1)請寫出這兩個條件的序號，求y的解析式；
(2)求關于x的不等式（）的解集．
22．（24-25高一上·遼寧·階段練習）根據要求完成下列問題：
(1)已知，集合、集合、集合，則同時滿足A且的實數、是否存在？若存在，求出、的值；若不存在，請說明理由；
(2)已知，命題：和是方程的兩個實根，不等式對任意實數恒不成立；命題：不等式有解；若命題是真命題，命題是假命題，求實數的取值范圍.
23．（2024高一·上海·課堂例題）方程的三個根1、2、3將數軸劃分為四個區間，即，，，．試在這四個區間上分別考察的符號，從而得出不等式與的解集．一般地，對、、，且，試分別求不等式與的解集．（提示：、、相互之間可能相等，需要分情況討論）
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