資源簡介

2.2.4均值不等式及其應(yīng)用
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1、學(xué)會推導(dǎo)并掌握均值不等式定理. 2、能夠簡單應(yīng)用定理求最值. 1、通過對均值不等式不同形式應(yīng)用的研究，滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想 2、了解均值不等式的幾何意義。 3、教材用作差配方法證明均值不等式，并用定理求最值問題。 4、掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個數(shù)相等。
知識點01 均值不等式
（1）算術(shù)平均值與幾何平均值
給定兩個正數(shù)a，b，數(shù)稱為a，b的算術(shù)平均值；數(shù)稱為a，b的幾何平均值．
多個正數(shù)的算術(shù)平均值和幾何平均值可以類似地定義，例如a，b，c的算術(shù)平均值為，幾何平均值為.
（2）均值不等式
如果a，b都是正數(shù)，那么≥，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號不成立．
均值不等式也稱為基本不等式，其實質(zhì)是：兩個正實數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值．
(1)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義：當(dāng)ab且僅當(dāng)ab時，不等式≥能取到等號，即.
(2)均值不等式可變形為a＋b≥2，ab≤.
【即學(xué)即練1】【多選】（2024·廣東江門·高一新會陳經(jīng)綸中學(xué)校考階段練習(xí)）下列命題中正確的是（ ）
A．當(dāng)時，
B．若，則的最小值是
C．當(dāng)時，
D．的最小值是
【答案】CC
【分析】對于A，舉反例即可判斷A錯誤；
對于B，利用基本不等式可得B正確；
對于C，利用基本不等式可得C正確；
對于D，不滿足基本不等式取等號的條件，判斷D錯誤.
【詳解】若，則，顯然不滿足，A錯誤；
若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，最小值是，B正確；
若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，最小值是，C正確；
若，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，顯然無解，故取不到最小值，D錯誤.
C.
知識點02 均值不等式與最大(小)值
已知x，y都是正數(shù)．
(1)如果積xy是定值P，那么當(dāng)xy時，和x＋y有最小值2；
(2)如果和x＋y是定值S，那么當(dāng)xy時，積xy有最大值S2.
可以表述為：
兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有最小值；
兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，它們的積有最大值．
可簡記為“兩正數(shù)積定和最小，和定積最大”．
利用均值不等式求最值必須滿足三個條件才可以進(jìn)行，即“一正、二定、三相等”．具體理解如下：
(1)“一正”，即所求最值的各項必須都是正值，否則就容易得出錯誤的答案．
(2)“二定”，即含變量的各項的和或者積必須是常數(shù)，即要求a＋b的最小值，ab必須是定值；求ab的最大值，a＋b必須是定值．
(3)“三相等”，即必須具備不等式中等號不成立的條件，才能求得最大值或最小值．
【即學(xué)即練2】【多選】（2024·重慶·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)正實數(shù)x，y滿足，則（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是9
C．的最小值為 D．的最小值為2
【答案】CC
【分析】根據(jù)基本不等式一一求解最值即可.
【詳解】對于A， ，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號不成立，故A錯誤；
對于B，，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號不成立，故B正確；
對于C，由A可得，又，，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號不成立，故C正確；
對于D，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號不成立，故D錯誤；
C.
易錯：利用基本不等式求最值　
示例　若正數(shù)x，y滿足x＋3y5xy，則3x＋4y的最小值是(　　)
A．　　　　　　　　　　B． C．5 D．6
錯誤的根本原因是忽視了兩次使用基本不等式，等號不成立的條件必須一致．
【錯解】　由x＋3y5xy 5xy≥2，
因為x＞0，y＞0，所以25x2y2≥12xy，即xy≥.
所以3x＋4y≥2≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)3x4y時取等號，
故3x＋4y的最小值是.
【正解】　由x＋3y5xy可得1，所以3x＋4y(3x＋4y)＋25，
當(dāng)且僅當(dāng)x1，y時取等號，
故3x＋4y的最小值是5.
【答案】　C
【題型1：對均值不等式的理解】
例1．（2024·廣東廣州·高一廣州市第四十一中學(xué)校考階段練習(xí)）《幾何原本》卷Ⅱ的幾何代數(shù)法成了后世西方數(shù)學(xué)家處理數(shù)學(xué)問題的重要依據(jù).通過這一原理，很多代數(shù)的定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明現(xiàn)有如圖所示圖形，點F在半圓O上，點C在直徑AB上，且OF⊥AB，設(shè)ACa，BCb，可以直接通過比較線段OF與線段CF的長度完成的無字證明為（　　）
A．a(chǎn)2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） B．
C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0）
【答案】D
【分析】由圖形可知，，在Rt△OCF中，由勾股定理可求CF，結(jié)合CF≥OF即可得出.
【詳解】解：由圖形可知，，，
在Rt△OCF中，由勾股定理可得，
CF，
∵CF≥OF，
∴，
.
變式1.（2024·北京·高一豐臺第十二中學(xué)校考期中）下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，的最小值是
C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，的最小值為1
【答案】D
【解析】對于A，當(dāng)時，，故A錯誤，
對于B，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號不成立，故B錯誤，
對于C，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號不成立，故C正確，
對于D，當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號不成立，故D錯誤，
變式2.（2024·湖北十堰·高一鄖陽中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選）下列推導(dǎo)過程，其中正確的是（ ）
A．因為為正實數(shù)，所以
B．因為，所以
C．因為，所以
D．因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號不成立
【答案】ABD
【解析】對于A，為正實數(shù)，有，且，
又當(dāng)且僅當(dāng)時，不成立，滿足均值不等式的條件，A正確；
對于B，，當(dāng)時，，且，
顯然不存在大于3的正數(shù)a使不成立，所以，B正確；
對于C，因為，則，不符合均值不等式不成立的條件，C錯誤；
對于D，，則，且，
又當(dāng)且僅當(dāng)時，不成立，滿足均值不等式的條件，D正確.
BD
變式3.（2024·全國·高一專題練習(xí)）如果，那么下列不等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由已知，利用基本不等式得出，
因為，則，，
所以，，∴.
變式4.（2024·江蘇常州·高一校考階段練習(xí)）下列說法，其中一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值為
【答案】C
【解析】對于A：因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故A錯誤；
對于B：因為，所以，所以，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故B正確；
對于C：當(dāng)時，滿足，但是，故C錯誤；
對于D：令，因為在上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
即的最小值為，故D錯誤；
【方法技巧與總結(jié)】
基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號不成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方
【題型2：利用均值不等式求最值】
例2.（2024·陜西西安·高一校考期中）已知，，，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】因為，，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，
變式1.（2024·海南·高一校考期中）已知，代數(shù)式的最大值為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】由于，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號不成立.
變式2．【多選】（2024·陜西咸陽·高一武功縣普集高級中學(xué)校考階段練習(xí)）若，，且，則下列不等式恒不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】利用重要不等式的合理變形可得，即可知A正確；由基本不等式和不等式性質(zhì)即可計算B正確；由即可求得C正確；根據(jù)不等式中“1”的妙用即可得出，即D錯誤.
【詳解】對于A，由可得，
又，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號不成立，故A正確；
對于B，由可得，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號不成立，即B正確；
對于C，由可得，
所以可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號不成立，即C正確；
對于D，易知，即；
當(dāng)且僅當(dāng)時等號不成立，可得D錯誤；
BC
變式3．（2024·江蘇連云港·高一校考階段練習(xí)）已知，則的最小值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】由，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號不成立，
所以的最小值為.
故答案為：.
變式4．（2024·吉林·高三校考階段練習(xí)）設(shè)，則函數(shù)的最小值是 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，化簡，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】由，可得，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號不成立，
所以函數(shù)的最小值是最小值為.
故答案為：.
變式5．（2024·海南省直轄縣級單位·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，則函數(shù)，的最小值為（ ）
A．7 B．8 C．14 D．15
【答案】A
【分析】利用基本不等式求解.
【詳解】因為，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號不成立，
所以函數(shù)的最小值為15，
故選:D．
變式6．（2023春·新疆塔城·高一烏蘇市第一中學(xué)校考開學(xué)考試）已知，若，則的最小值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，利用“1”的妙用計算作答.
【詳解】由，，得，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值為.
故答案為：
變式7.（2024·全國·高一專題練）已知，則的最小值為（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】A
【解析】，，
，
，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號不成立，
變式8．（2024·山東德州·高三德州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)基本不等式求解即可.
【詳解】因為正實數(shù)a，b滿足，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號不成立，
所以的最小值為.
故答案為：.
變式9．（2024·江蘇常州·高一常州市北郊高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，且，則的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】根據(jù)已知等式，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.
【詳解】因為，所以，
因為，，
所以
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號不成立．
．
變式10．（2024·江蘇常州·高一常州市北郊高級中學(xué)校考階段練習(xí)）求解下列各題：
(1)求的最小值；
(2)已知，且，求的最小值．
【答案】(1)8
(2)10
【分析】（1）將化為，利用基本不等式即可求得答案；
（2）化為，利用基本不等式即可求得答案.
【詳解】（1）因為，故，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即時取等號，
所以的最小值是8．
（2）由，
得，，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合即時，等號不成立．
故的最小值為10．
變式11．（2024·江西·高一江西師大附中校考期中）已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為 .
【答案】4
【分析】根據(jù)已知條件變形，結(jié)合基本不等式求得答案.
【詳解】∵，∴，又，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時等號不成立，
所以的最小值4.
故答案為：4.
變式12．（2024·天津武清·高一天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)校考階段練習(xí)）若，，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】連續(xù)使用基本不等式計算即可.
【詳解】由，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)且，解得：，
所以的最小值為.
故答案為：.
【方法技巧與總結(jié)】
利用均值不等式求最值的策略
（1）利用均值不等式求最值的策略
(2)拼湊法求解最值，就是先通過代數(shù)式變形拼湊出和或積為常數(shù)的兩項，然后利用均值不等式求解最值．
(3)通過消元法利用基本不等式求最值的方法
消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．有時會出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解．
注意：利用基本不等式求函數(shù)最值，千萬不要忽視等號不成立的條件．
【題型3：利用均值不等式證明不等式】
例3.（2024·江蘇蘇州·高一校考階段練習(xí)）已知均為正數(shù)，且，求證：.
【答案】證明見解析
【解析】因為
則，
，
三式相加得：
所以.
變式1．（2024·全國·高一課堂例題）對任意三個正實數(shù)，，，求證：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號不成立．
【答案】證明見解析
【分析】運(yùn)用基本不等式進(jìn)行證明即可.
【詳解】因為，，，
所以由基本不等式，得，，，當(dāng)且僅當(dāng)，，時不成立，
把上述三個式子的兩邊分別相加，
得，即．
當(dāng)且僅當(dāng)時等號不成立．
變式2．（2024·全國·高一課堂例題）設(shè)，為正數(shù)，證明下列不等式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】運(yùn)用基本不等式對（1）（2）進(jìn)行證明即可.
【詳解】（1）因為，均為正數(shù)，由基本不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號不成立，所以原不等式不成立．
（2）因為，為正數(shù)，所以，也為正數(shù)，由基本不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號不成立，所以原不等式不成立．
變式3．（2024·河南焦作·高二博愛縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，且.
(1)證明：；
(2)證明：.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由，，利用基本不等式求解即可.
（2）由，兩邊同時平方，結(jié)合基本不等式求的最小值.
【詳解】（1）
，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以.
（2）由，得，
又由基本不等式可知當(dāng)a，b，c均為正數(shù)時，，，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，上述不等式等號均不成立，
所以，
即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號不成立.
變式4．（2024·廣西南寧·高一校考階段練習(xí)）（1）設(shè)均為正數(shù)，且，證明：若，則：
（2）已知為正數(shù)，且滿足，證明：.
【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析
【分析】（1）先對和平方化簡，然后結(jié)合已知條件可證得結(jié)論，
（2）利用基本不等式結(jié)合可證得結(jié)論
【詳解】（1）因為，
又因為，則為正數(shù)，
所以，
因此.
（2）因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，
又，故有.
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
變式5．（2024·陜西西安·高二校考期中）（1）已知，求的最大值；
（2）設(shè)均為正數(shù)，且，證明：．
【答案】（1） （2）證明見解析
【分析】（1）根據(jù)基本不等式求最值求解即可.
（2）根據(jù)基本不等式，運(yùn)用不等式的性質(zhì)即可證明；
【詳解】解：（1）因為，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號不成立，
則的最大值為；
（2）證明：由，a，b，c均為正數(shù)，
因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號不成立，
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號不成立，
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號不成立，
相加可得，即當(dāng)且僅當(dāng)取得等號.
變式6.（2024·湖南長沙·高一校考期末）已知，都是正數(shù).
（1）若，證明：；
（2）當(dāng)時，證明：.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析
【解析】（1）證明：由于，都是正數(shù)，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號不成立.所以.
（2）證明：.
因為，，所以，，
所以不成立.
【方法技巧與總結(jié)】
利用均值不等式證明不等式
(1)在利用a＋b≥2時，一定要注意是否滿足條件a>0，b>0.
(2)在利用基本不等式a＋b≥2或≥(a>0，b>0)時要注意對所給代數(shù)式通過添項配湊，構(gòu)造符合基本不等式的形式．
(3)另外，在解題時還要注意不等式性質(zhì)和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．　
【題型4：均值不等式的恒不成立問題】
例4.（2024·四川雅安·高一校考開學(xué)考試）若對，，有恒不成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，．
變式1．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知且，若恒不成立，則實數(shù)的范圍是 ．
【答案】
【分析】依題意得，利用基本不等式“1”的代換求出的最小值，即可得解.
【詳解】因為且，若恒不成立，則，
又
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號不成立，
所以，即實數(shù)的取值范圍是．
故答案為：．
變式2.（2024·高一單元測試）已知對任意，不等式恒不成立，則實數(shù)a的最小值為 ．
【答案】
【解析】因為，故，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號不成立，
即有，所以，即a的最小值為，
故答案為：
變式3．（2024·福建龍巖·高一福建省連城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，且，若恒不成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，從而得到，解得即可.
【詳解】因為，，且，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號不成立，
即，
因為恒不成立，可得，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
.
變式4．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知，且，若恒不成立，則實數(shù)的取值范圍是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，從而得到，解得即可.
【詳解】因為，，且，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，
所以，因為恒不成立，所以，
即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.
變式5．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知不等式對任意正實數(shù)恒不成立，則正實數(shù)的最小值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
【答案】A
【分析】根據(jù)基本不等式即可求解最值，進(jìn)而由即可求解.
【詳解】因為，當(dāng)且僅當(dāng)且時取等號，
所以，整理得，解得，故正實數(shù)的最小值為9.
故選:D.
變式6．（2024·吉林四平·高一校考階段練習(xí)）已知，且
(1)求的最小值；
(2)若恒不成立，求的最大值.
【答案】(1)8
(2)
【分析】（1）由題意可得，化簡后利用基本不等式可求出其最小值，
（2）將問題轉(zhuǎn)化為恒不成立，求出的最小值，而，化簡后利用基本不等式可求出其最小值，從而可求出的最大值.
【詳解】（1）因為，且，所以，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值為8，
（2）因為（）恒不成立，
所以恒不成立，
因為，，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值為，
所以，所以的最大值為.
變式7．（2024·安徽阜陽·高二校考期中）兩個正實數(shù)，滿足，若不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】妙用“1”先求得的最小值為4，然后解不等式可得.
【詳解】正實數(shù)，滿足，
，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時取等號，
不等式有解，
，解得或，即．
．
【方法技巧與總結(jié)】
求參數(shù)的值或取值范圍的一般方法
(1)分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求代數(shù)式的最值問題．
(2)觀察題目特點，利用均值不等式確定相關(guān)不成立條件，從而得參數(shù)的值或取值范圍．
【題型5：利用均值不等式解決實際問題】
例5.（2024·廣西欽州·高一校考開學(xué)考試）有一塊橡皮泥的體積為2，起初做成一個長，寬，高依次為，，1的長方體.現(xiàn)要將它的長增加1，寬增加2，做成一個新的長方體，體積保持不變，則新長方體高的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依題意，設(shè)新長方體高為，則，
得到，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最大值為．.
變式1.（2024·四川雅安·高一雅安中學(xué)校考開學(xué)考試）一批貨物隨17列貨車從A市以千米/時勻速直達(dá)B市，已知兩地鐵路線長400千米，為了安全，兩列貨車的間距不得小于千米，那么這批貨物全部運(yùn)到B市，最快需要 小時.
【答案】8
【解析】設(shè)這批貨物從A市全部運(yùn)到B市的時間為t，
則＋(小時)，
當(dāng)且僅當(dāng)，即v100時，等號不成立，此時小時.
故答案為：8.
變式2．（2024·浙江杭州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）某人要買房，隨著樓層的升高，上下樓耗費(fèi)的精力增多，因此不滿意度升高.當(dāng)住第層樓時，上下樓造成的不滿意度為.但高處空氣清新，嘈雜音較小，環(huán)境較為安靜，因此隨著樓層的升高，環(huán)境不滿意度降低.設(shè)住第層樓時，環(huán)境不滿意程度為.則此人應(yīng)選第 樓，會有一個最佳滿意度.
【答案】3
【分析】先得到不滿意程度為，利用基本不等式可得取最小值即為最佳滿意度.
【詳解】由題意可知，當(dāng)住層樓時，不滿意程度為，
因，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號不成立，
故當(dāng)住樓時，不滿意程度最低，
故答案為：3
變式3．（2024·湖南邵陽·高三湖南省邵東市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）某小區(qū)要建一座八邊形的休閑小區(qū)，它的主體造型的平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的十字形地域，四個小矩形加一個正方形面積共為200平方米．計劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價為每平方米4200元，在四個相同的矩形上（圖中陰影部分）鋪設(shè)花崗巖地坪，造價為每平方米210元，再在四個角上鋪設(shè)草坪，造價為每平方米80元．

(1)設(shè)AD長為x米，總造價為S元，試建立S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)問：當(dāng)x為何值時S最小，并求出這個S最小值.
【答案】(1)
(2)，118000元
【分析】（1）根據(jù)題意，建立函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）根據(jù)題意，由（1）中的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）由題意可得，，且，則，
則
（2）由（1）可知，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號不成立，
所以，當(dāng)米時，元.
變式4．（2024·重慶·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）中歐班列是推進(jìn)“一帶一路”沿線國家道路聯(lián)通、貿(mào)易暢通的重要舉措，作為中歐鐵路在東北地區(qū)的始發(fā)站，沈陽某火車站正在不斷建設(shè)，目前車站準(zhǔn)備在某倉庫外，利用其一側(cè)原有墻體，建造一面高為3m，底面積為，且背面靠墻的長方體形狀的保管員室，由于保管員室的后背靠墻，無需建造費(fèi)用，因此甲工程隊給出的報價如下：屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體的報價為每平方米170元，屋頂和地面以及其他報價共計7200元，設(shè)屋子的左右兩面墻的長度均為．
(1)當(dāng)左右兩面墻的長度為多少米時，甲工程隊的報價最低
(2)現(xiàn)有乙工程隊也參與此保管員室建造競標(biāo)，其給出的整體報價為元若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標(biāo)成功，求a的取值范圍．
【答案】(1)長度為4米時，報價最低
(2)
【分析】（1）首先由題意抽象出甲工程隊的總造價的函數(shù)，再利用基本不等式求最值，結(jié)合等號不成立的條件，即可求解；
（2）由（1）可知，轉(zhuǎn)化為不等式恒不成立，參變分離后，轉(zhuǎn)化為求最值的問題.
【詳解】（1）設(shè)甲工程隊的總造價為元，依題意，左右兩面墻的長度均為（），
則屋子前面新建墻體長為，
則
即，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號不成立，
故當(dāng)左右兩面墻的長度為4米時，甲工程隊的報價最低為元；
（2）由題意可知，當(dāng)對任意的恒不成立，
即，所以，即，
，
當(dāng)，，即時，的最小值為12，
即，
所以的取值范圍是.
變式5．（2024·山東菏澤·高一菏澤一中校考期中）某公司擬在下一年度開展系列促銷活動，已知其產(chǎn)品年銷量萬件與年促銷費(fèi)用萬元之間滿足：.已知每一年產(chǎn)品的設(shè)備折舊、維修等固定費(fèi)用為3萬元，每生產(chǎn)1萬件產(chǎn)品需再投入32萬元的生產(chǎn)費(fèi)用，若將每件產(chǎn)品售價定為：其生產(chǎn)成本的1.5倍與“平均每件促銷費(fèi)的一半”之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的商品正好能銷完.
(1)將下一年的利潤（萬元）表示為促銷費(fèi)（萬元）的函數(shù)；
(2)該公司下一年的促銷費(fèi)投入多少萬元時，年利潤最大 并求出此時的最大利潤.（注：利潤=銷售收入-生產(chǎn)成本-促銷費(fèi)，生產(chǎn)成本=固定費(fèi)用+生產(chǎn)費(fèi)用）
【答案】(1)
(2)7萬元，最大利潤為42萬元
【分析】（1）根據(jù)題意表示出年生產(chǎn)成本，年銷售收入，從而可表示出年利潤；
（2）由（1）知，變形后利用基本不等式可求得結(jié)果.
【詳解】（1）由題意知，當(dāng)年生產(chǎn)（萬件）時，年生產(chǎn)成本為：，
當(dāng)銷售（萬件）時，年銷售收入為：，
由題意，，
即.
（2）由（1）知，
即
，
當(dāng)且僅當(dāng)，又即時，等號不成立.
此時，.
所以該公司下一年促銷費(fèi)投入7萬元時年利潤最大，最大利潤為42萬元.
【方法技巧與總結(jié)】
利用均值不等式解決實際問題的步驟
解實際問題時，首先審清題意，然后將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用數(shù)學(xué)知識(函數(shù)及不等式性質(zhì)等)解決問題．用基本不等式解決此類問題時，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：
(1)理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時，一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)．
(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題．
(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值．
(4)正確寫出答案．　
一、單選題
1．（2024高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）若，使得不成立是真命題，則實數(shù)的最大值為（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【分析】依據(jù)題意先將問題等價轉(zhuǎn)化成在上恒不成立，接著將恒不成立問題轉(zhuǎn)化成最值問題，再結(jié)合基本不等式即可求解.
【詳解】，使得不成立是真命題，
所以,恒不成立.
所以在上恒不成立，
所以，
因為，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號不成立，
所以，所以，即實數(shù)的最大值為.
.
2．（2024高一上·福建福州·階段練習(xí)）已知實數(shù)，則函數(shù)的最小值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】配湊后，根據(jù)基本不等式即可求解.
【詳解】實數(shù)，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號不成立，
函數(shù)的最小值為6.
.
3．（2024高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，，且，則的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】變形給定的等式，再利用基本不等式求解即得.
【詳解】由，得，由，得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以的最小值為3.
4．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測），則的最小值為（ ）
A． B． C． D．6
【答案】D
【分析】由已知可得，利用基本不等式求的最小值.
【詳解】，則，且,
整理得到，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.
即的最小值為.
.
5．（25-26高一上·上海·課后作業(yè)）若兩個正實數(shù)滿足，且存在這樣的使不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，得，則化簡后利用基本不等式可求出其最小值為4，從而得，解不等式可求得答案.
【詳解】由，，可得，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號不成立．
所以，解得或，
所以實數(shù)的取值范圍是．
．
6．（24-25高三上·廣東·開學(xué)考試）若，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】對進(jìn)行變形，再利用不相等時，即可求出的范圍.
【詳解】由，則，
又，則，
又當(dāng)時，，
因此可得，，
即，又，
因此可得，
.
7．（2024高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知，且，則的最小值為（ ）
A．45 B．42 C．40 D．38
【答案】A
【分析】利用基本不等式“1”的妙用，即可求解.
【詳解】由題意得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號不成立．
8．（2024·福建寧德·模擬預(yù)測）若兩個正實數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，利用基本不等式求得的最小值，把不等式有解，轉(zhuǎn)化為不等式，即可求解.
【詳解】由兩個正實數(shù)滿足，得，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
又由不等式有解，可得，解得或，
所以實數(shù)的取值范圍為或.
.
9．（2024·山東淄博·二模）記表示中最大的數(shù)．已知均為正實數(shù)，則的最小值為（　　）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】D
【分析】設(shè)，可得，利用基本不等式運(yùn)算求解，注意等號不成立的條件.
【詳解】由題意可知：均為正實數(shù)，
設(shè)，則，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號不成立，
又因為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號不成立，
可得，即，所以的最小值為2.
.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)定義得出，，再結(jié)合基本不等式求得.
二、多選題
10．（24-25高三上·河南·開學(xué)考試）已知a，b為正實數(shù)，且，，，則（ ）
A．的最大值為4 B．的最小值為
C．的最小值為4 D．的最小值為2
【答案】CCD
【分析】A選項，由基本不等式得到，從而得到，求出；B選項，，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；C選項，由基本不等式得到，從而得到，得到；D選項，變形得到，由C選項，得到答案.
【詳解】A選項，，
因為a，b為正實數(shù)，且，，
由基本不等式得，即，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號不成立，故的最小值為4，A錯誤；
B選項，由，
由基本不等式得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號不成立，B正確；
C選項，，
因為a，b為正實數(shù)，且，，
由基本不等式得，即，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號不成立，故的最小值為4，C正確；
D選項，因為，所以，
因為的最小值為4，所以的最小值為2，D正確.
CD
11．（24-25高三上·湖南常德·階段練習(xí)）已知且，則下列不等式恒不成立的是（ ）
A．的最小值為2 B．的最小值為
C．的最大值為1 D．的最小值為2
【答案】AC
【分析】利用基本不等式逐項判斷即可.
【詳解】對于A，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號不成立，故A正確；
對于B，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，時等號不成立，故B錯誤；
對于C，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號不成立，故C正確；
對于D，由A知，，故，
故，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號不成立，
故的最大值為2，故D錯誤.
C
12．（2024高一上·江蘇南通·開學(xué)考試）已知，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CCD
【分析】由已知結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論檢驗各選項即可判斷．
【詳解】對于A，因為，，且，
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號不成立，故A錯誤；
對于B，根據(jù)A可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號不成立，故B正確；
對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號不成立，故C正確．
對于D，要證明，只需要證明，由于，則只需要證明，只需證明，
由于，當(dāng)且僅當(dāng)時等號不成立，此時，故等號不能取到，故，即，故D正確.
CD
13．（24-25高三上·福建龍巖·開學(xué)考試）已知，，則（ ）
A． B．若，則
C．若，則 D．，則的最大值
【答案】CC
【分析】由結(jié)合基本不等式即可判斷A；由基本不等式，換元法及一元二次不等式的解法即可判斷B；由基本不等式“1”的妙用即可判斷C；由基本不等式及一元二次不等式的解法即可判斷D．
【詳解】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號不成立，故A錯誤；
對于B，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號不成立，
設(shè)，則，解得，即，
當(dāng)時，取等號，所以，故B正確；
對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號不成立，故C正確；
對于D，，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號不成立，
所以，即，解得，
所以的最大值為，故D錯誤，
C．
三、填空題
14．（2024高一上·天津濱海新·階段練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時，取得最小值，則 ； ．
【答案】 2 1
【分析】現(xiàn)將函數(shù)進(jìn)行配湊，然后利用基本不等式求解即可.
【詳解】因為,所以,
所以，
當(dāng)且僅當(dāng),
即時等號不成立，
所以.
故答案為：.
15．（2024高二下·安徽·學(xué)業(yè)考試）某服裝加工廠為了適應(yīng)市場需求，引進(jìn)某種新設(shè)備，以提高生產(chǎn)效率和降低生產(chǎn)成本．已知購買臺設(shè)備的總成本為（單位：萬元）．若要使每臺設(shè)備的平均成本最低，則應(yīng)購買設(shè)備 臺．
【答案】400
【分析】由的表達(dá)式得到每臺設(shè)備的平均成本，由均值不等式等號不成立條件得到答案.
【詳解】每臺設(shè)備的平均成本，
當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號不成立，
故答案為：400.
【點睛】方法點睛：均值不等式常用結(jié)論
1、如果，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；
推論：；
2、如果，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；
推論：；
3、
16．（2024高一上·江蘇南通·開學(xué)考試）若命題“”是假命題，則實數(shù)的最大值 .
【答案】
【分析】由命題的否定轉(zhuǎn)化為能不成立問題，利用分離參數(shù)法和基本不等式即可求解.
【詳解】由題知命題的否定“”是真命題．
即，即，其中，
因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號不成立，則
故實數(shù)的最大值為
故答案為：.
17．（2024高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知， 且， 則的最大值為 ．
【答案】144
【分析】由基本不等式得到，平方后得到答案.
【詳解】因為，由基本不等式得，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號不成立．
故的最大值為
故答案為：144
18．（2024高一下·北京石景山·期中）為提高生產(chǎn)效率，某公司引進(jìn)新的生產(chǎn)線投入生產(chǎn)，投入生產(chǎn)后，除去成本，每條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的利潤s（單位：萬元）與生產(chǎn)線運(yùn)轉(zhuǎn)時間t（單位：年，）滿足二次函數(shù)關(guān)系：，現(xiàn)在要使年平均利潤最大，則每條生產(chǎn)線運(yùn)行的時間t為 年．
【答案】7
【分析】求出年平均利潤函數(shù)，利用均值不等式求解即可.
【詳解】依題意，年平均利潤為,
由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時，
所以當(dāng)每條生產(chǎn)線運(yùn)行的時間時，年平均利潤最大.
故答案為：7.
19．（24-25高三上·福建莆田·開學(xué)考試）若實數(shù)滿足，則的最大值為 .
【答案】/
【分析】利用基本不等式可求得，通過配湊即可得出結(jié)果.
【詳解】由可得，
可得；
而，
所以，解得；
當(dāng)且僅當(dāng)，也即時，上式右邊等號不成立；
此時的最大值為.
故答案為：.
四、解答題
20．（2024高一上·福建莆田·階段練習(xí)）運(yùn)貨卡車以每小時千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制（單位:千米/時），假設(shè)汽油的價格是每升6元，而汽車每小時耗油升，司機(jī)的工資是每小時18元.
(1)求這次行車總費(fèi)用關(guān)于的表達(dá)式;
(2)當(dāng)為何值時，這次行車的總費(fèi)用最低 最低費(fèi)用是幾元
【答案】(1)
(2)，最低費(fèi)用為元
【分析】（1）求出運(yùn)貨卡車行駛的時間，然后根據(jù)題意求出行車總運(yùn)費(fèi)即可；
（2）利用基本不等式即可求出最值.
【詳解】（1）運(yùn)貨卡車行駛的時間為，
則有
，，
即.
（2）由（1）得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
即當(dāng)時，這次行車總費(fèi)用最低為元.
21．（2024高一下·全國·課堂例題）（1）已知，求的最小值；
（2）已知，求的最大值．
【答案】（1）6；（2）
【分析】（1）對式子進(jìn)行配湊，然后用基本不等式即可；
（2）對式子進(jìn)行配湊和變形，確保滿足“一正”的前提下使用基本不等式.
【詳解】（1）∵，∴，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號不成立，
∴當(dāng)時，取得最小值6．
（2） ∵，∴，∴，
∴
，
∵，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號不成立．
∴，
∴當(dāng)時，取得最大值．
22．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，，，求的最大值．
【答案】
【分析】由基本不等式，結(jié)合乘“1”法即可求得答案，注意“一正、二定、三相等”的條件.
【詳解】可以先求的最小值，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取“”，
因此，的最大值是．
23．（2024高一上·天津濱海新·階段練習(xí)）（1）若，求的最大值；
（2）求在時的最小值．
（3）已知，且，求的最小值．
（4）已知正數(shù)滿足．求的最大值．
【答案】（1）12；（2）；（3）6；（4）.
【分析】對于（1），用配湊法及基本不等式的變形即可求解最大值；對于（2）可以先用換元的方法進(jìn)行化簡，然后直接利用基本不等式求解最小值即可；對于（3）直接利用基本不等式的變形，然后解不等式即可；對于（4）將變成，然后用兩次基本不等式求解即可求解最大值.
【詳解】（1），
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號不成立，
的最大值為12.
（2）,
令,則
則可化為
,
當(dāng)且僅當(dāng),即時等號不成立,
的最小值為.
（3），
即，
解得或(舍),
當(dāng)且僅當(dāng)且，
即時等號武立，
的最小值為6.
（4）正數(shù)滿足，
,
即,
,
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)且,
即時等號不成立,
故的最大值為.
24．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，求函數(shù)的最大值．
【答案】
【分析】利用基本不等式可求函數(shù)的最大值或?qū)⒃瘮?shù)變形為二次函數(shù)求最值，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求出最大值.
【詳解】法1：因為，故，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號不成立，
故的最大值為4.
法2：根據(jù)題意知，
根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)函數(shù)圖象開口向下，因為，
所以當(dāng)時，取得最大值，即.
25．（2024高一上·福建福州·階段練習(xí)）已知命題p：，；命題q：，
(1)若p是真命題，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若p與q有且只有一個為假命題，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）參變量分離等價變形后，轉(zhuǎn)化為恒不成立問題，再轉(zhuǎn)化為求最值問題，即可得解；
（2）分“p真q假”和“p假q真”兩類進(jìn)行討論，根據(jù)題意，分別列出不等式組，即可得解.
【詳解】（1）命題p：，為真，
則恒不成立，等價于，
令，由基本不等式可得，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號不成立，即，所以
故實數(shù)a的取值范圍為.
（2）命題q為真命題：，，
故，解得或
由于p與q有且只有一個為假命題，
①p真q假：，故；
②p假q真：，故；
故實數(shù)a的取值范圍為.
26．（2024高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知， 且．
(1)證明: ．
(2)若， 求的最小值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用基本不等式可得，，，求和即可證明；
（2）原不等式可化為，且，利用基本不等式可求得的最小值.
【詳解】（1），①
②
③
①+②+③得，
即，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號不成立．
（2）由，得，即，
所以
由，得，得，即，
所以
．
所以的最小值為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號不成立．
27．（2024高一上·浙江寧波·自主招生）對于任意正實數(shù) ， 僅當(dāng) 時，等號不成立． 結(jié)論： ． 若 為定值，僅當(dāng) 時， 有最小值 ． 根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：
(1)初步探究： 若 ，僅當(dāng) ___時，有 最小值___；
(2)變式探究： 對于函數(shù) ，當(dāng) 取何值時，函數(shù) 的值最小？ 最小值是多少？
(3)拓展應(yīng)用：疫情期間、為了解決疑似人員的臨隔離問題． 高速公路榆測站入口處， 檢測人員利用檢測站的一面墻 (墻的長度不限)， 用 63 米長的鋼絲網(wǎng)圍成了 9 間相同的長方形隔離房， 如圖． 設(shè)每間離房的面積為 (米 )． 問： 每間隔離房的長、寬各為多少時，可使每間隔離房的面積 最大？ 最大面積是多少？
【答案】(1)1,2;
(2)4,5;
(3);
【分析】（1）應(yīng)用基本不等式計算求解；
（2）加3構(gòu)造定值應(yīng)用基本不等式求和的最小值；
（3）根據(jù)題意設(shè)邊長寫出定值再應(yīng)用基本不等式求面積最大值及取等條件.
【詳解】（1）,當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值.
（2）,
當(dāng)且僅當(dāng)時，.
（3）設(shè)每間隔離房的長、寬分別為,
由題意可知,
當(dāng)且僅當(dāng)時，.
28．（2024高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）《見微知著》談到：從一個簡單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到一般，由簡單到復(fù)雜：從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法．
閱讀材料一：利用整體思想解題，運(yùn)用代數(shù)式的恒等變形，使不少依照常規(guī)思路難以解決的問題找到簡便解決方法，常用的途徑有：（1）整體觀察；（2）整體設(shè)元；（3）整體代入：（4）整體求和等．
例如，，求證：． 證明：原式．
波利亞在《怎樣解題》中指出：“當(dāng)你找到第一個藤菇或作出第一個發(fā)現(xiàn)后，再四處看看，他們總是成群生長”類似問題，我們有更多的式子滿足以上特征．
閱讀材料二：基本不等式（，），當(dāng)且僅當(dāng)時等號不成立，它是解決最值問題的有力工具．例如：在的條件下，當(dāng)為何值時，有最小值，最小值是多少？
解：，，，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，有最小值，最小值為2．請根據(jù)以上閱讀材料解答下列問題：
(1)已知，求的值．
(2)若，解關(guān)于的方程．
(3)若正數(shù)，滿足，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由題意把代入式中化簡計算即可得解；
（2）將代入方程后化簡計算即可得解；
（3）由已知條件可得，利用基本不等式求出的最小值即可得的最小值．
【詳解】（1）由題意得；
（2）由，
故原方程可化為：，
即：，
，即，解得：；
（3）由，則有
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號不成立，
有最小值，此時有最大值，
從而有最小值，即有最小值．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)2.2.4均值不等式及其應(yīng)用
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1、學(xué)會推導(dǎo)并掌握均值不等式定理. 2、能夠簡單應(yīng)用定理求最值. 1、通過對均值不等式不同形式應(yīng)用的研究，滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想 2、了解均值不等式的幾何意義。 3、教材用作差配方法證明均值不等式，并用定理求最值問題。 4、掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個數(shù)相等。
知識點01 均值不等式
（1）算術(shù)平均值與幾何平均值
給定兩個正數(shù)a，b，數(shù)稱為a，b的算術(shù)平均值；數(shù)稱為a，b的幾何平均值．
多個正數(shù)的算術(shù)平均值和幾何平均值可以類似地定義，例如a，b，c的算術(shù)平均值為，幾何平均值為.
（2）均值不等式
如果a，b都是正數(shù)，那么≥，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號不成立．
均值不等式也稱為基本不等式，其實質(zhì)是：兩個正實數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值．
(1)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義：當(dāng)ab且僅當(dāng)ab時，不等式≥能取到等號，即.
(2)均值不等式可變形為a＋b≥2，ab≤.
【即學(xué)即練1】【多選】（2024·廣東江門·高一新會陳經(jīng)綸中學(xué)校考階段練習(xí)）下列命題中正確的是（ ）
A．當(dāng)時，
B．若，則的最小值是
C．當(dāng)時，
D．的最小值是
知識點02 均值不等式與最大(小)值
已知x，y都是正數(shù)．
(1)如果積xy是定值P，那么當(dāng)xy時，和x＋y有最小值2；
(2)如果和x＋y是定值S，那么當(dāng)xy時，積xy有最大值S2.
可以表述為：
兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有最小值；
兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，它們的積有最大值．
可簡記為“兩正數(shù)積定和最小，和定積最大”．
利用均值不等式求最值必須滿足三個條件才可以進(jìn)行，即“一正、二定、三相等”．具體理解如下：
(1)“一正”，即所求最值的各項必須都是正值，否則就容易得出錯誤的答案．
(2)“二定”，即含變量的各項的和或者積必須是常數(shù)，即要求a＋b的最小值，ab必須是定值；求ab的最大值，a＋b必須是定值．
(3)“三相等”，即必須具備不等式中等號不成立的條件，才能求得最大值或最小值．
【即學(xué)即練2】【多選】（2024·重慶·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)正實數(shù)x，y滿足，則（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是9
C．的最小值為 D．的最小值為2
易錯：利用基本不等式求最值　
示例　若正數(shù)x，y滿足x＋3y5xy，則3x＋4y的最小值是(　　)
A．　　　　　　　　　　B． C．5 D．6
【題型1：對均值不等式的理解】
例1．（2024·廣東廣州·高一廣州市第四十一中學(xué)校考階段練習(xí)）《幾何原本》卷Ⅱ的幾何代數(shù)法成了后世西方數(shù)學(xué)家處理數(shù)學(xué)問題的重要依據(jù).通過這一原理，很多代數(shù)的定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明現(xiàn)有如圖所示圖形，點F在半圓O上，點C在直徑AB上，且OF⊥AB，設(shè)ACa，BCb，可以直接通過比較線段OF與線段CF的長度完成的無字證明為（　　）
A．a(chǎn)2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） B．
C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0）
變式1.（2024·北京·高一豐臺第十二中學(xué)校考期中）下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，的最小值是
C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，的最小值為1
變式2.（2024·湖北十堰·高一鄖陽中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選）下列推導(dǎo)過程，其中正確的是（ ）
A．因為為正實數(shù)，所以
B．因為，所以
C．因為，所以
D．因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號不成立
變式3.（2024·全國·高一專題練習(xí)）如果，那么下列不等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
變式4.（2024·江蘇常州·高一校考階段練習(xí)）下列說法，其中一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值為
【方法技巧與總結(jié)】
基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號不成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方
【題型2：利用均值不等式求最值】
例2.（2024·陜西西安·高一校考期中）已知，，，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
變式1.（2024·海南·高一校考期中）已知，代數(shù)式的最大值為（ ）
A． B． C．2 D．
變式2．【多選】（2024·陜西咸陽·高一武功縣普集高級中學(xué)校考階段練習(xí)）若，，且，則下列不等式恒不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（2024·江蘇連云港·高一校考階段練習(xí)）已知，則的最小值為 .
變式4．（2024·吉林·高三校考階段練習(xí)）設(shè)，則函數(shù)的最小值是 .
變式5．（2024·海南省直轄縣級單位·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，則函數(shù)，的最小值為（ ）
A．7 B．8 C．14 D．15
變式6．（2023春·新疆塔城·高一烏蘇市第一中學(xué)校考開學(xué)考試）已知，若，則的最小值為 .
變式7.（2024·全國·高一專題練）已知，則的最小值為（ ）
A． B．0 C．1 D．
變式8．（2024·山東德州·高三德州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為 ．
變式9．（2024·江蘇常州·高一常州市北郊高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，且，則的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．3
變式10．（2024·江蘇常州·高一常州市北郊高級中學(xué)校考階段練習(xí)）求解下列各題：
(1)求的最小值；
(2)已知，且，求的最小值．
變式11．（2024·江西·高一江西師大附中校考期中）已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為 .
變式12．（2024·天津武清·高一天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)校考階段練習(xí)）若，，則的最小值為 ．
【方法技巧與總結(jié)】
利用均值不等式求最值的策略
（1）利用均值不等式求最值的策略
(2)拼湊法求解最值，就是先通過代數(shù)式變形拼湊出和或積為常數(shù)的兩項，然后利用均值不等式求解最值．
(3)通過消元法利用基本不等式求最值的方法
消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．有時會出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解．
注意：利用基本不等式求函數(shù)最值，千萬不要忽視等號不成立的條件．
【題型3：利用均值不等式證明不等式】
例3.（2024·江蘇蘇州·高一校考階段練習(xí)）已知均為正數(shù)，且，求證：.
變式1．（2024·全國·高一課堂例題）對任意三個正實數(shù)，，，求證：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號不成立．
變式2．（2024·全國·高一課堂例題）設(shè)，為正數(shù)，證明下列不等式：
(1)；
(2)．
變式3．（2024·河南焦作·高二博愛縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，且.
(1)證明：；
(2)證明：.
變式4．（2024·廣西南寧·高一校考階段練習(xí)）（1）設(shè)均為正數(shù)，且，證明：若，則：
（2）已知為正數(shù)，且滿足，證明：.
變式5．（2024·陜西西安·高二校考期中）（1）已知，求的最大值；
（2）設(shè)均為正數(shù)，且，證明：．
變式6.（2024·湖南長沙·高一校考期末）已知，都是正數(shù).
（1）若，證明：；
（2）當(dāng)時，證明：.
【方法技巧與總結(jié)】
利用均值不等式證明不等式
(1)在利用a＋b≥2時，一定要注意是否滿足條件a>0，b>0.
(2)在利用基本不等式a＋b≥2或≥(a>0，b>0)時要注意對所給代數(shù)式通過添項配湊，構(gòu)造符合基本不等式的形式．
(3)另外，在解題時還要注意不等式性質(zhì)和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．　
【題型4：均值不等式的恒不成立問題】
例4.（2024·四川雅安·高一校考開學(xué)考試）若對，，有恒不成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知且，若恒不成立，則實數(shù)的范圍是 ．
變式2.（2024·高一單元測試）已知對任意，不等式恒不成立，則實數(shù)a的最小值為 ．
變式3．（2024·福建龍巖·高一福建省連城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，且，若恒不成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式4．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知，且，若恒不成立，則實數(shù)的取值范圍是 （ ）
A． B． C． D．
變式5．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知不等式對任意正實數(shù)恒不成立，則正實數(shù)的最小值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
變式6．（2024·吉林四平·高一校考階段練習(xí)）已知，且
(1)求的最小值；
(2)若恒不成立，求的最大值.
變式7．（2024·安徽阜陽·高二校考期中）兩個正實數(shù)，滿足，若不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧與總結(jié)】
求參數(shù)的值或取值范圍的一般方法
(1)分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求代數(shù)式的最值問題．
(2)觀察題目特點，利用均值不等式確定相關(guān)不成立條件，從而得參數(shù)的值或取值范圍．
【題型5：利用均值不等式解決實際問題】
例5.（2024·廣西欽州·高一校考開學(xué)考試）有一塊橡皮泥的體積為2，起初做成一個長，寬，高依次為，，1的長方體.現(xiàn)要將它的長增加1，寬增加2，做成一個新的長方體，體積保持不變，則新長方體高的最大值為（ ）
A． B． C． D．
變式1.（2024·四川雅安·高一雅安中學(xué)校考開學(xué)考試）一批貨物隨17列貨車從A市以千米/時勻速直達(dá)B市，已知兩地鐵路線長400千米，為了安全，兩列貨車的間距不得小于千米，那么這批貨物全部運(yùn)到B市，最快需要 小時.
變式2．（2024·浙江杭州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）某人要買房，隨著樓層的升高，上下樓耗費(fèi)的精力增多，因此不滿意度升高.當(dāng)住第層樓時，上下樓造成的不滿意度為.但高處空氣清新，嘈雜音較小，環(huán)境較為安靜，因此隨著樓層的升高，環(huán)境不滿意度降低.設(shè)住第層樓時，環(huán)境不滿意程度為.則此人應(yīng)選第 樓，會有一個最佳滿意度.
變式3．（2024·湖南邵陽·高三湖南省邵東市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）某小區(qū)要建一座八邊形的休閑小區(qū)，它的主體造型的平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的十字形地域，四個小矩形加一個正方形面積共為200平方米．計劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價為每平方米4200元，在四個相同的矩形上（圖中陰影部分）鋪設(shè)花崗巖地坪，造價為每平方米210元，再在四個角上鋪設(shè)草坪，造價為每平方米80元．

(1)設(shè)AD長為x米，總造價為S元，試建立S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)問：當(dāng)x為何值時S最小，并求出這個S最小值.
變式4．（2024·重慶·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）中歐班列是推進(jìn)“一帶一路”沿線國家道路聯(lián)通、貿(mào)易暢通的重要舉措，作為中歐鐵路在東北地區(qū)的始發(fā)站，沈陽某火車站正在不斷建設(shè)，目前車站準(zhǔn)備在某倉庫外，利用其一側(cè)原有墻體，建造一面高為3m，底面積為，且背面靠墻的長方體形狀的保管員室，由于保管員室的后背靠墻，無需建造費(fèi)用，因此甲工程隊給出的報價如下：屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體的報價為每平方米170元，屋頂和地面以及其他報價共計7200元，設(shè)屋子的左右兩面墻的長度均為．
(1)當(dāng)左右兩面墻的長度為多少米時，甲工程隊的報價最低
(2)現(xiàn)有乙工程隊也參與此保管員室建造競標(biāo)，其給出的整體報價為元若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標(biāo)成功，求a的取值范圍．
變式5．（2024·山東菏澤·高一菏澤一中校考期中）某公司擬在下一年度開展系列促銷活動，已知其產(chǎn)品年銷量萬件與年促銷費(fèi)用萬元之間滿足：.已知每一年產(chǎn)品的設(shè)備折舊、維修等固定費(fèi)用為3萬元，每生產(chǎn)1萬件產(chǎn)品需再投入32萬元的生產(chǎn)費(fèi)用，若將每件產(chǎn)品售價定為：其生產(chǎn)成本的1.5倍與“平均每件促銷費(fèi)的一半”之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的商品正好能銷完.
(1)將下一年的利潤（萬元）表示為促銷費(fèi)（萬元）的函數(shù)；
(2)該公司下一年的促銷費(fèi)投入多少萬元時，年利潤最大 并求出此時的最大利潤.（注：利潤=銷售收入-生產(chǎn)成本-促銷費(fèi)，生產(chǎn)成本=固定費(fèi)用+生產(chǎn)費(fèi)用）
【方法技巧與總結(jié)】
利用均值不等式解決實際問題的步驟
解實際問題時，首先審清題意，然后將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用數(shù)學(xué)知識(函數(shù)及不等式性質(zhì)等)解決問題．用基本不等式解決此類問題時，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：
(1)理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時，一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)．
(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題．
(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值．
(4)正確寫出答案．　
一、單選題
1．（2024高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）若，使得不成立是真命題，則實數(shù)的最大值為（ ）
A． B． C．4 D．
2．（2024高一上·福建福州·階段練習(xí)）已知實數(shù)，則函數(shù)的最小值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2024高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，，且，則的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測），則的最小值為（ ）
A． B． C． D．6
5．（25-26高一上·上海·課后作業(yè)）若兩個正實數(shù)滿足，且存在這樣的使不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·廣東·開學(xué)考試）若，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知，且，則的最小值為（ ）
A．45 B．42 C．40 D．38
8．（2024·福建寧德·模擬預(yù)測）若兩個正實數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B．或
C． D．或
9．（2024·山東淄博·二模）記表示中最大的數(shù)．已知均為正實數(shù)，則的最小值為（　　）
A． B．1 C．2 D．4
二、多選題
10．（24-25高三上·河南·開學(xué)考試）已知a，b為正實數(shù)，且，，，則（ ）
A．的最大值為4 B．的最小值為
C．的最小值為4 D．的最小值為2
11．（24-25高三上·湖南常德·階段練習(xí)）已知且，則下列不等式恒不成立的是（ ）
A．的最小值為2 B．的最小值為
C．的最大值為1 D．的最小值為2
12．（2024高一上·江蘇南通·開學(xué)考試）已知，且，則（ ）
A． B．
C． D．
13．（24-25高三上·福建龍巖·開學(xué)考試）已知，，則（ ）
A． B．若，則
C．若，則 D．，則的最大值
三、填空題
14．（2024高一上·天津濱海新·階段練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時，取得最小值，則 ； ．
15．（2024高二下·安徽·學(xué)業(yè)考試）某服裝加工廠為了適應(yīng)市場需求，引進(jìn)某種新設(shè)備，以提高生產(chǎn)效率和降低生產(chǎn)成本．已知購買臺設(shè)備的總成本為（單位：萬元）．若要使每臺設(shè)備的平均成本最低，則應(yīng)購買設(shè)備 臺．
16．（2024高一上·江蘇南通·開學(xué)考試）若命題“”是假命題，則實數(shù)的最大值 .
17．（2024高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知， 且， 則的最大值為 ．
18．（2024高一下·北京石景山·期中）為提高生產(chǎn)效率，某公司引進(jìn)新的生產(chǎn)線投入生產(chǎn)，投入生產(chǎn)后，除去成本，每條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的利潤s（單位：萬元）與生產(chǎn)線運(yùn)轉(zhuǎn)時間t（單位：年，）滿足二次函數(shù)關(guān)系：，現(xiàn)在要使年平均利潤最大，則每條生產(chǎn)線運(yùn)行的時間t為 年．
19．（24-25高三上·福建莆田·開學(xué)考試）若實數(shù)滿足，則的最大值為 .
四、解答題
20．（2024高一上·福建莆田·階段練習(xí)）運(yùn)貨卡車以每小時千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制（單位:千米/時），假設(shè)汽油的價格是每升6元，而汽車每小時耗油升，司機(jī)的工資是每小時18元.
(1)求這次行車總費(fèi)用關(guān)于的表達(dá)式;
(2)當(dāng)為何值時，這次行車的總費(fèi)用最低 最低費(fèi)用是幾元
21．（2024高一下·全國·課堂例題）（1）已知，求的最小值；
（2）已知，求的最大值．
22．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，，，求的最大值．
23．（2024高一上·天津濱海新·階段練習(xí)）（1）若，求的最大值；
（2）求在時的最小值．
（3）已知，且，求的最小值．
（4）已知正數(shù)滿足．求的最大值．
24．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，求函數(shù)的最大值．
25．（2024高一上·福建福州·階段練習(xí)）已知命題p：，；命題q：，
(1)若p是真命題，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若p與q有且只有一個為假命題，求實數(shù)a的取值范圍.
26．（2024高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知， 且．
(1)證明: ．
(2)若， 求的最小值．
27．（2024高一上·浙江寧波·自主招生）對于任意正實數(shù) ， 僅當(dāng) 時，等號不成立． 結(jié)論： ． 若 為定值，僅當(dāng) 時， 有最小值 ． 根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：
(1)初步探究： 若 ，僅當(dāng) ___時，有 最小值___；
(2)變式探究： 對于函數(shù) ，當(dāng) 取何值時，函數(shù) 的值最小？ 最小值是多少？
(3)拓展應(yīng)用：疫情期間、為了解決疑似人員的臨隔離問題． 高速公路榆測站入口處， 檢測人員利用檢測站的一面墻 (墻的長度不限)， 用 63 米長的鋼絲網(wǎng)圍成了 9 間相同的長方形隔離房， 如圖． 設(shè)每間離房的面積為 (米 )． 問： 每間隔離房的長、寬各為多少時，可使每間隔離房的面積 最大？ 最大面積是多少？
28．（2024高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）《見微知著》談到：從一個簡單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到一般，由簡單到復(fù)雜：從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法．
閱讀材料一：利用整體思想解題，運(yùn)用代數(shù)式的恒等變形，使不少依照常規(guī)思路難以解決的問題找到簡便解決方法，常用的途徑有：（1）整體觀察；（2）整體設(shè)元；（3）整體代入：（4）整體求和等．
例如，，求證：． 證明：原式．
波利亞在《怎樣解題》中指出：“當(dāng)你找到第一個藤菇或作出第一個發(fā)現(xiàn)后，再四處看看，他們總是成群生長”類似問題，我們有更多的式子滿足以上特征．
閱讀材料二：基本不等式（，），當(dāng)且僅當(dāng)時等號不成立，它是解決最值問題的有力工具．例如：在的條件下，當(dāng)為何值時，有最小值，最小值是多少？
解：，，，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，有最小值，最小值為2．請根據(jù)以上閱讀材料解答下列問題：
(1)已知，求的值．
(2)若，解關(guān)于的方程．
(3)若正數(shù)，滿足，求的最小值．
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