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第二章：等式與不等式章末重點題型復習
題型一 一元二次方程根與系數關系
1．（23-24高一上·北京·月考）已知方程的兩根為和，則
【答案】14
【解析】方程的兩根為和，則
，，則.
故答案為：14.
2．（23-24高一上·遼寧遼陽·期中）設一元二次方程的兩個實根為，（），則當時，a的取值集合是 ．
【答案】
【解析】因為一元二次方程的兩個實根為，（），
則或，
由韋達定理得，
而，解得，
綜上，a的取值集合是
故答案為：
3．（23-24高一上·安徽銅陵·月考）（多選）已知二次函數有兩個零點，，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】的兩個零點，，且，
因此，由于，所以恒不成立
故，對于A，，故A正確，
對于B，，故B正確，
對于C，，故C正確，
對于D，由于二次函數的開口向下，且對稱軸為，
，且因此兩個根，，故D錯誤，BC
4．（22-23高一上·浙江臺州·月考）已知一元二次方程的兩根分別是，求下列各式的值.
(1)； (2)； (3) (4)
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
【解析】（1）方程的判別式，
則，，所以；
（2）
（3）由題意，，即，
由（2）得，則，
所以；
（4）.
題型二 多元方程組的解集
1．（22-23高一上·遼寧沈陽·月考）方程組的解集為 .
【答案】
【解析】由
①②，可得，解得，
所以不等式組的解集為.
故答案為：
2．（23-24高一上·北京石景山·期中）若關于x、y的二元一次方程組的解集為，則實數 ．
【答案】2
【解析】由題意得，即，
關于，的二元一次方程組的解集為，
關于的方程的無解，
，即，
故答案為：2．
3．（23-24高一上·北京·月考）求下列關于的方程（方程組）的解集：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)
【解析】（1）由方程，即，
解得或，即方程的解集為.
（2）由方程，即
解得或，即方程的解集為.
（3）由方程，即，解得，即，
所以方程的解集為.
（4）由不等式組，
①+②，可得，②-③，可得，
聯立方程組，解得，代入①式，可得，
所以不等式組的解集為.
（5）由方程組，整理得，解得或，
當時，可得；時，可得，
所以方程組的解集為.
4．求下列方程組的解集：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）由第一個式子可得
代入第二個、第三個式子可得：
，兩個式子作差可得
代入可得
故方程組的解集為
（2）由第一個式子可得
代入第二個式子可得解得
代入，可得
故方程組的解集為
（3）由第一個式子可得
代入第二個式子可得
即解得
代入可得
故方程組的解集為
題型三 不等式的性質及應用
1．（23-24高一上·新疆阿克蘇·月考）已知，且，，則下列不等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】對A，取，則滿足，但，故A錯誤；
對B，根據不等式性質，故B正確；
對C，取，則，故C錯誤；
對D，取，則，故D錯誤..
2．（23-24高一上·北京·期中），則正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】對于A，因為，所以由不等式的性質可得，故A正確；
對于B，令，滿足，但是，故B錯誤；
對于C，令，滿足，但是，故C錯誤；
對于D，可能是負數，此時無意義，故D錯誤；.
3．（23-24高一下·湖北·月考）（多選）若實數滿足，且，則下列結論一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】對于A，若，則當時，有，故A錯誤；
對于B，因為，則，故，故B正確.
對于C，不成立，但，故C錯誤.
對于D，由不等式的性質可得不成立，D.
4．（23-24高一下·浙江·期中）（多選）已知，下列選項中是“”的充分條件的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】對于A，因為，所以，故A符合題意；
對于B，因為，所以，所以，即，故B符合題意；
對于C，因為，所以，即，故C符合題意；
對于D，取，但有，故D不符合題意.BC.
題型四 作差法與作商法比較大小
1．（23-24高一上·新疆烏魯木齊·月考）已知，，，則，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．不能確定
【答案】A
【解析】因為，所以..
2．（23-24高一上·浙江湖州·月考）已知，且，，則、的大小關系是（ ）
A． B． C． D．不能確定
【答案】A
【解析】已知，且，，則，
所以，
，
因此，..
3．（23-24高一上·新疆·月考）（1）比較與的大小：
（2）已知，都是正實數，比較與的大小．
【答案】（1）；（2）答案見解析
【解析】（1），
故；
（2），
因為，，故，，
當時，，即；
當時，，即；
4．試比較下列組式子的大小：
(1)與，其中；
(2)與，其中，；
(3)與，．
【答案】(1)；(2)；(3).
【解析】（1），，
因為，
所以，
即；
（2）
．
因為，，所以，，
所以，即；
（3）方法一（作差法）
．
因為，所以，，，．
所以，所以．
方法二（作商法） 因為，所以，，，
所以，
所以．
題型五 利用不等式求取值范圍
1．（23-24高一上·云南·月考）已知，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以，
又因為，
所以.即的取值范圍為..
2．（23-24高一上·江蘇鎮江·月考）若實數滿足：，，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，由，得，而，
因此，所以的取值范圍為.
3．（23-24高一上·江西南昌·月考）已知，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設，
所以，解得，則，
因為，，所以..
4．（23-24高一上·河北保定·月考）（多選）已知，則（ ）
A． B．
C． D．的最大值為24
【答案】AC
【解析】由題意可得，即A正確；
由，可得，又，則，即，B錯誤；
設，則，解得，
因為，所以C正確；
由以及，若的最大值為24，
則，此時，D錯誤，C
題型六 含絕對值不等式的解法
1．（23-24高一上·遼寧撫順·月考）的解集為
【答案】
【解析】因為，所以，
故答案為：
2．（23-24高一上·上海虹口·月考）關于x的不等式的解集為 .
【答案】
【解析】當，即時，原不等式等價于，解得，所以；
當，即時，原不等式等價于，解得，所以.
綜上，原不等式的解集為.
3．（22-23高一上·四川巴中·月考）不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】A
【解析】因為，
當時，，則不等式可化為，解得，故；
當時，，則不等式可化為，解得，故；
當時，，則不等式可化為，解得，故；
綜上：或，即不等式的解集為或..
4．（22-23高一上·湖南常德·期末）不等式的解集為 ．
【答案】
【解析】原不等式等價于，對于，
當時，，則此時不等式無解.
當時，.
則原不等式解集為：.
故答案為：
題型七 一元二次不等式的解法
1．（23-24高一上·貴州安順·月考）不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意知，即，解得或，
所以不等式的解集為.
2．（23-24高一上·重慶·月考）若關于的不等式的解集中恰有個整數，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，得，
當時，不等式的解集為，不符合題意，舍去；
當時，不等式的解集為，此時若有個整數解，
此時，解集中的三個整數分別為、、，則需；
當時，不等式的解集為，此時若有個整數解，
此時，解集中的三個整數分別為、、，則需
綜上：所以或，．
3．（23-24高一上·湖北孝感·月考）設，解關于的不等式：．
【答案】答案見解析
【解析】由可得.
（1）當時，原不等式即為，解得；
（2）當時，解方程可得或.
①當時，，解原不等式可得或
②當時，則，解原不等式可得；
③當時，原不等式即為，解得；
④當時，，解原不等式可得.
綜上所述，當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為.
4．（23-24高一上·四川宜賓·月考）已知關于x的不等式.
(1)若，求該不等式的解集；
(2)若，求該不等式的解集.
【答案】(1)；(2)答案見解析
【解析】（1）當時，，即，解得，
故該不等式的解集為.
（2）.
①當時，，不等式的解集為；
②當時，，不等式的解集為；
③當時，，不等式的解集為.
綜上，當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為.
題型八 分式/高次不等式的解法
1．（23-24高一上·安徽六安·期中）不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由不等式，可化為，解得，即不等式的解集為..
2．（23-24高一上·四川成都·月考）不等式的解集為（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】A
【解析】由，得，即，
即，解得，D正確.
3．（22-23高一上·安徽安慶·月考）不等式的解集為 .
【答案】
【解析】由得：，
令，解得：，，，，
采用根軸法可得圖象如下圖所示，
由圖象可得：的解集為.
故答案為：.
4．（22-23高一上·重慶九龍坡·月考）求下列不等式的解集
(1)；
(2)．
【答案】(1)；(2)或
【解析】（1）已知，移項得，
通分化簡得，等價于，即，
解得：，故不等式的解集為.
（2）已知，等價于且，
即且，
根據穿根法，如圖可知不等式的解集為或
題型九 三個“二次”的應用
1．（23-24高一上·陜西西安·期中）（多選）已知關于的不等式的解集為或，則以下選項正確的有（ ）
A．
B．不等式的解集為
C．
D．不等式的解集為或
【答案】ABD
【解析】關于的不等式的解集為或，
則和是方程的二根，且
則，解之得，
由，可得選項A判斷正確；
選項B：不等式可化為，
解之得，則不等式解集為.判斷正確；
選項C：.判斷錯誤；
選項D：不等式可化為，
即，解之得或.
則不等式的解集為或.判斷正確.BD
2．（23-24高一上·新疆烏魯木齊·期中）（多選）已知關于x的不等式的解集是或，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集是
【答案】ABC
【解析】因為關于x的不等式的解集是或，
所以有，因此選項A正確；
，因此選項B正確；
，因此選項C正確；
，因此選項D不正確，BC
3．（23-24高一下·云南·月考）（多選）若關于的不等式的解集為，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．的解集為
D．的最小值為
【答案】CC
【解析】根據題意，關于的不等式的解集為，
所以的兩根為，
則，解得，
所以，即A錯誤，B正確；
且為，解得或，
所以的解集為，C正確；
，
所以的最大值為，D錯誤.C
4．（23-24高一上·安徽阜陽·期中）（多選）已知關于的不等式的解集為，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．不等式的解集為
C．
D．的最小值為
【答案】AB
【解析】因為關于的不等式的解集為，
所以是方程的兩根，且，故A正確；
所以，解得，
所以，即，則，解得，
所以不等式的解集為，故B正確；
而，故C錯誤；
因為，所以，
則，
當且僅當，即或時，等號不成立，
與矛盾，所以取不到最小值，故D錯誤.B.
題型十 一元二次不等式恒不成立
1．（22-23高一上·云南保山·月考）若不等式對任意實數均不成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】當，即時，恒不成立，
當，即時，
則，解得，
綜上所述，實數的取值范圍是..
2．（23-24高一上·江蘇淮安·月考）（多選）已知關于的不等式對恒不成立，則實數的可取值是（ ）
A．-2 B．0 C．3 D．7
【答案】CCD
【解析】當時，恒不成立，滿足要求，
當時，需滿足，解得，
故實數的取值范圍是，故A錯誤，BCD正確.
CD
3．（23-24高一上·重慶·月考）（多選）若“”為假命題，則的值可能為（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】CC
【解析】“”為假命題，則“”為真命題，
當時，，符合題意，
當時，，解得
，故的值可能為，C.
4．（23-24高一上·河北·月考）若命題“”為假命題，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意知命題“”是真命題．
因為，所以．
當時，函數的最大值為6，
則的最小值為，所以，即的最大值為．.
題型十一 一元二次方程根的分布
1．（23-24高一上·河南南陽·期末）一元二次方程有一個正實根和一個負實根的充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意知一元二次方程的兩根為，
要使得方程有一個正實根和一個負實根，需，
結合選項知，只有，
即一元二次方程有一個正實根和一個負實根的充分不必要條件是，
2．（23-24高二下·遼寧·期末）已知關于x的方程的兩個實數根同號，則實數m的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】根據題意得到，即，解得.
故答案為：.
3．（22-23高一上·遼寧丹東·月考）關于的方程有兩個不相等的實根，且兩個根均大于3，則實數的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】
．
故答案為：.
4．（23-24高一上·江蘇南京·月考）已知關于x的方程，在下列兩種情況下分別求實數a的取值范圍.
(1)有兩個大于1的不等實數根；
(2)至少有一個正實數根.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）關于x的方程有兩個大于1的不等實數根，
等價于二次函數的圖象與軸有2個大于1的不同實根，
可得，解得；
（2）關于x的方程無實數根時，，
解得，
關于x的方程有兩個負實數根時，
，解得，
所以關于x的方程無實數根時或有兩個負實數根時，
可得關于x的方程至少有一個正實數根，則.
題型十二 利用均值不等式求最值
1．（23-24高一上·新疆阿克蘇·月考）若都是正數，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】因為都是正數，則，
所以，
當且僅當，即時，等號不成立.
則的最小值為..
2．（23-24高一上·江蘇鎮江·月考）已知，，，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】因為，，，則，，
可得，當且僅當，即時，等號不成立，
所以的最大值是..
3．（23-24高一下·浙江·月考）已知，，且，則下列說法正確的是（ ）
A．有最小值 B．有最小值
C．有最小值 D．有最小值
【答案】AB
【解析】對于A，由，得，當且僅當，即，時取等號，故A正確；
對于B，，
當且僅當，即，時取等號，故B正確；
對于C，由，得，
所以，
當且僅當，即，即時取等號，故C錯誤；
對于D，有
而由于和不相等，從而它們不能同時為零，所以，故D錯誤.B.
4．（23-24高一下·四川仁壽·期末）（1）若，求的取值范圍；
（2）已知，求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因為，所以，
當且僅當，即時取等號，
所以的取值范圍為；
（2）由，得，
則
，
當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為.
題型十三 均值不等式恒不成立問題
1．（23-24高一上·山東淄博·月考）當時，不等式恒不成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意，只需在時即可，
又，則，故，
當且僅當時等號不成立，故，
所以，即.
2．（23-24高一上·湖南·月考）已知，且，若恒不成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】已知，，，
當且僅當且時取等號，即，時取等號，
所以，
由恒不成立可得，
即，
解得.
故實數的取值范圍為..
3．（23-24高一上·福建龍巖·月考）已知，且，若恒不成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，，且，
則，
當且僅當，即時，等號不成立，
即，
因為恒不成立，可得，解得，
所以實數的取值范圍是..
4．（23-24高一上·江西南昌·月考）已知且恒不成立，實數的最大值是 ．
【答案】/
【解析】由題意，，
所以轉化為，
可得，即，
因為，當且僅當時等號不成立，
所以實數的最大值是.
故答案為：
題型十四 均值不等式的實際應用
1．（23-24高一上·福建泉州·月考）用長度為24米的材料圍城一矩形場地，中間加兩道隔墻（如圖），要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
【答案】A
【解析】設隔墻長度為，場地面積為，
則，
∴當且僅當時，有最大值18，.
2．（23-24高一上·山東菏澤·月考）在實驗課上，小明和小芳利用一個不等臂的天平秤稱取藥品. 實驗一：小明將克的砝碼放在天平左盤，取出一些藥品放在右盤中使天平平衡；實驗二：小芳將克的砝碼放在右盤，取出一些藥品放在天平左盤中使天平平衡，則在這兩個實驗中小明和小芳共秤得的藥品（ ）
A．大于克 B．小于克
C．大于等于克 D．小于等于克
【答案】D
【解析】設天平左、右兩邊臂長分別為，小明、小芳放入的藥品的克數分別為，，
則由杠桿原理得：，于是，
故，當且僅當時取等號. .
3．（23-24高一上·江蘇鎮江·月考）2022 年 2 月 24 日, 俄烏爆發戰爭，至今戰火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆發沖突.與以往戰爭不同的是，無人機在戰場中起到了偵察和情報收集，攻擊敵方目標和反偵察等多種功能，扮演了重要的角色. 某無人機企業原有 200 名科技人員， 年人均工資 萬元 ，現加大對無人機研發的投入，該企業把原有科技人員分成技術人員和研發人員，其中技術人員 名 且 ，調整后研發人員的年人均工資增加 ，技術人員的年人均工資調整為 萬元.
(1)若要使調整后研發人員的年總工資不低于調整前 200 名科技人員的年總工資，求調整后的研發人員的人數最少為多少人
(2)為了激勵研發人員的工作熱情和保持技術人員的工作積極性，企業決定在工資方面要同時滿足以下兩個條件：①研發人員的年總工資始終不低于技術人員的年總工資; ②技術人員的年人均工資始終不減少. 請問是否存在這樣的實數 ，滿足以上兩個條件，若存在，求出 的范圍; 若不存在,說明理由.
【答案】(1)100；(2)存在，
【解析】（1）依題意可得調整后研發人員的年人均工資為 萬元,
則,
整理得, 解得 ,
因為 且 , 所以 , 故 ,
所以要使這 名研發人員的年總工資不低于調整前 200 名科技人員的年總工資,
調整后的研發人員的人數最少為 100 人.
（2）由條件①研發人員的年總工資始終不低于技術人員的年總工資，
得,
整理得 ;
由條件②技術人員年人均工資不減少, 得 , 解得
假設存在這樣的實數 , 使得技術人員在已知范圍內調整后, 滿足以上兩個條件,
即 恒不成立，
因為 ,
當且僅當 , 即 時等號不成立, 所以 ,
又因為 , 當 時, 取得最大值 11 , 所以
所以 , 即 ,
即存在這樣的 滿足條件, 其范圍為 .
4．（23-24高一上·河北廊坊·月考）通過技術創新，某公司的汽車特種玻璃已進入歐洲市場．年，該種玻璃售價為 歐元/平方米，銷售量為萬平方米．
(1)據市場調查，售價每提高歐元/平方米，銷售量將減少萬平方米；要使銷售收入不低于萬歐元，試問：該種玻璃的售價最多提高到多少歐元/平方米
(2)為提高年銷售量，增加市場份額，公司將在年對該種玻璃實施二次技術創新和營銷策略改革：提高價格到歐元/平方米（其中），其中投入 萬歐元作為技術創新費用，投入萬歐元作為固定宣傳費用，投入萬歐元作為浮動宣傳費用，試問：該種玻璃的銷售量（單位：萬平方米）至少達到多少時，才可能使年的銷售收入不低于年銷售收入與年投入之和 并求出此時的售價．
【答案】(1)40；(2)102萬平方米，30歐元/平方米
【解析】（1）設該種玻璃的售價提高到歐元/平方米，
由題知，即，解得，
所以該種玻璃的售價最多提高到40歐元/平方米.
（2）由題意得，整理得，
兩邊同除以得，
又，當且僅當，即時取等號，
所以，故該種玻璃的銷售量（單位：萬平方米）至少達到102萬平方米時，
才可能使 年的銷售收入不低于年銷售收入與年投入之和，
此時的售價為歐元/平方米.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第二章：等式與不等式章末重點題型復習
題型一 一元二次方程根與系數關系
1．（23-24高一上·北京·月考）已知方程的兩根為和，則
2．（23-24高一上·遼寧遼陽·期中）設一元二次方程的兩個實根為，（），則當時，a的取值集合是 ．
3．（23-24高一上·安徽銅陵·月考）（多選）已知二次函數有兩個零點，，且，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（22-23高一上·浙江臺州·月考）已知一元二次方程的兩根分別是，求下列各式的值.
(1)； (2)； (3) (4)
題型二 多元方程組的解集
1．（22-23高一上·遼寧沈陽·月考）方程組的解集為 .
2．（23-24高一上·北京石景山·期中）若關于x、y的二元一次方程組的解集為，則實數 ．
3．（23-24高一上·北京·月考）求下列關于的方程（方程組）的解集：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
4．求下列方程組的解集：
（1）；
（2）；
（3）.
題型三 不等式的性質及應用
1．（23-24高一上·新疆阿克蘇·月考）已知，且，，則下列不等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·北京·期中），則正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一下·湖北·月考）（多選）若實數滿足，且，則下列結論一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·浙江·期中）（多選）已知，下列選項中是“”的充分條件的是（ ）
A． B．
C． D．
題型四 作差法與作商法比較大小
1．（23-24高一上·新疆烏魯木齊·月考）已知，，，則，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．不能確定
2．（23-24高一上·浙江湖州·月考）已知，且，，則、的大小關系是（ ）
A． B． C． D．不能確定
3．（23-24高一上·新疆·月考）（1）比較與的大小：
（2）已知，都是正實數，比較與的大小．
4．試比較下列組式子的大小：
(1)與，其中；
(2)與，其中，；
(3)與，．
題型五 利用不等式求取值范圍
1．（23-24高一上·云南·月考）已知，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·江蘇鎮江·月考）若實數滿足：，，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·江西南昌·月考）已知，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一上·河北保定·月考）（多選）已知，則（ ）
A． B．
C． D．的最大值為24
題型六 含絕對值不等式的解法
1．（23-24高一上·遼寧撫順·月考）的解集為
2．（23-24高一上·上海虹口·月考）關于x的不等式的解集為 .
3．（22-23高一上·四川巴中·月考）不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C． D．
4．（22-23高一上·湖南常德·期末）不等式的解集為 ．
題型七 一元二次不等式的解法
1．（23-24高一上·貴州安順·月考）不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·重慶·月考）若關于的不等式的解集中恰有個整數，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一上·湖北孝感·月考）設，解關于的不等式：．
4．（23-24高一上·四川宜賓·月考）已知關于x的不等式.
(1)若，求該不等式的解集；
(2)若，求該不等式的解集.
題型八 分式/高次不等式的解法
1．（23-24高一上·安徽六安·期中）不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·四川成都·月考）不等式的解集為（ ）
A．或 B．
C．或 D．
3．（22-23高一上·安徽安慶·月考）不等式的解集為 .
4．（22-23高一上·重慶九龍坡·月考）求下列不等式的解集
(1)；
(2)．
題型九 三個“二次”的應用
1．（23-24高一上·陜西西安·期中）（多選）已知關于的不等式的解集為或，則以下選項正確的有（ ）
A．
B．不等式的解集為
C．
D．不等式的解集為或
2．（23-24高一上·新疆烏魯木齊·期中）（多選）已知關于x的不等式的解集是或，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集是
3．（23-24高一下·云南·月考）（多選）若關于的不等式的解集為，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．的解集為
D．的最小值為
4．（23-24高一上·安徽阜陽·期中）（多選）已知關于的不等式的解集為，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．不等式的解集為
C．
D．的最小值為
題型十 一元二次不等式恒不成立
1．（22-23高一上·云南保山·月考）若不等式對任意實數均不成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·江蘇淮安·月考）（多選）已知關于的不等式對恒不成立，則實數的可取值是（ ）
A．-2 B．0 C．3 D．7
3．（23-24高一上·重慶·月考）（多選）若“”為假命題，則的值可能為（ ）
A． B．0 C．2 D．4
4．（23-24高一上·河北·月考）若命題“”為假命題，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
題型十一 一元二次方程根的分布
1．（23-24高一上·河南南陽·期末）一元二次方程有一個正實根和一個負實根的充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·遼寧·期末）已知關于x的方程的兩個實數根同號，則實數m的取值范圍為 ．
3．（22-23高一上·遼寧丹東·月考）關于的方程有兩個不相等的實根，且兩個根均大于3，則實數的取值范圍為 ．
4．（23-24高一上·江蘇南京·月考）已知關于x的方程，在下列兩種情況下分別求實數a的取值范圍.
(1)有兩個大于1的不等實數根；
(2)至少有一個正實數根.
題型十二 利用均值不等式求最值
1．（23-24高一上·新疆阿克蘇·月考）若都是正數，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24高一上·江蘇鎮江·月考）已知，，，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
3．（23-24高一下·浙江·月考）已知，，且，則下列說法正確的是（ ）
A．有最小值 B．有最小值
C．有最小值 D．有最小值
4．（23-24高一下·四川仁壽·期末）（1）若，求的取值范圍；
（2）已知，求的最小值.
題型十三 均值不等式恒不成立問題
1．（23-24高一上·山東淄博·月考）當時，不等式恒不成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·湖南·月考）已知，且，若恒不成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·福建龍巖·月考）已知，且，若恒不成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一上·江西南昌·月考）已知且恒不成立，實數的最大值是 ．
題型十四 均值不等式的實際應用
1．（23-24高一上·福建泉州·月考）用長度為24米的材料圍城一矩形場地，中間加兩道隔墻（如圖），要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
2．（23-24高一上·山東菏澤·月考）在實驗課上，小明和小芳利用一個不等臂的天平秤稱取藥品. 實驗一：小明將克的砝碼放在天平左盤，取出一些藥品放在右盤中使天平平衡；實驗二：小芳將克的砝碼放在右盤，取出一些藥品放在天平左盤中使天平平衡，則在這兩個實驗中小明和小芳共秤得的藥品（ ）
A．大于克 B．小于克
C．大于等于克 D．小于等于克
3．（23-24高一上·江蘇鎮江·月考）2022 年 2 月 24 日, 俄烏爆發戰爭，至今戰火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆發沖突.與以往戰爭不同的是，無人機在戰場中起到了偵察和情報收集，攻擊敵方目標和反偵察等多種功能，扮演了重要的角色. 某無人機企業原有 200 名科技人員， 年人均工資 萬元 ，現加大對無人機研發的投入，該企業把原有科技人員分成技術人員和研發人員，其中技術人員 名 且 ，調整后研發人員的年人均工資增加 ，技術人員的年人均工資調整為 萬元.
(1)若要使調整后研發人員的年總工資不低于調整前 200 名科技人員的年總工資，求調整后的研發人員的人數最少為多少人
(2)為了激勵研發人員的工作熱情和保持技術人員的工作積極性，企業決定在工資方面要同時滿足以下兩個條件：①研發人員的年總工資始終不低于技術人員的年總工資; ②技術人員的年人均工資始終不減少. 請問是否存在這樣的實數 ，滿足以上兩個條件，若存在，求出 的范圍; 若不存在,說明理由.
4．（23-24高一上·河北廊坊·月考）通過技術創新，某公司的汽車特種玻璃已進入歐洲市場．年，該種玻璃售價為 歐元/平方米，銷售量為萬平方米．
(1)據市場調查，售價每提高歐元/平方米，銷售量將減少萬平方米；要使銷售收入不低于萬歐元，試問：該種玻璃的售價最多提高到多少歐元/平方米
(2)為提高年銷售量，增加市場份額，公司將在年對該種玻璃實施二次技術創新和營銷策略改革：提高價格到歐元/平方米（其中），其中投入 萬歐元作為技術創新費用，投入萬歐元作為固定宣傳費用，投入萬歐元作為浮動宣傳費用，試問：該種玻璃的銷售量（單位：萬平方米）至少達到多少時，才可能使年的銷售收入不低于年銷售收入與年投入之和 并求出此時的售價．
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