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第二章：等式與不等式
（試卷滿分170分，考試用時120分鐘）
姓名___________ 班級_________ 考號_______________________
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（22-23高二上·山東日照·月考）《九章算術》記載了一個方程的問題，譯為：今有上禾束，減損其中之“實”十八升，與下禾束之“實"相當；下禾束，減損其中之“實”五升，與上禾束之“實”相當.問上、下禾每束之實各為多少升 設上下禾每束之實各為升和升，則可列方程組為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】上下禾每束為升，上禾束有，減損18，即，下禾束之“實"相當，即，
同理有，所以方程組為..
2．（22-23高一上·北京·期中）若關于x的方程的兩根分別是，則（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解析】因為是方程的兩根，所以
所以
3．（23-24高一上·河北石家莊·月考）若，則A、B的大小關系為（ ）
A． B． C． D．無法確定
【答案】C
【解析】因為，所以..
4．（23-24高一上·重慶云陽·月考）“”的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以，
A選項，是的真子集，滿足要求，故A正確；
B選項，是的充要條件，故B錯誤；
C選項，是的真子集，不合要求，故C錯誤；
D選項，是的真子集，不合要求，故D錯誤；.
5．（23-24高一上·遼寧丹東·月考）若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，則，
所以，解得，所以，
因為，所以，
因為，所以，
因為，所以，
6．（22-23高一上·江蘇常州·月考）下列不等式恒不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】對于A選項，當時，不等式顯然不不成立，故錯誤；
對于B選項，不成立的條件為，故錯誤；
對于C選項，當時，不等式顯然不不成立，故錯誤；
對于D選項，由于，故，正確.
7．（23-24高一上·安徽六安·期中）對滿足的任意正實數、，不等式恒不成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不等式恒不成立
，，且
當且僅當，即時取等號，
，即解得
故實數的取值范圍是
8．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知關于的不等式恰有三個整數解，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】不等式，可化為，
當時，不等式的解集為空集，不合題意；
當時，不等式的解集為，
要使不等式恰有三個整數解，則，
當時，不等式的解集為，
要使不等式恰有三個整數解，則，
綜上可得，實數的取值范圍是.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．（22-23高一上·吉林白城·月考）等腰三角形三邊長分別為，且是關于的一元二次方程的兩根，則的值為（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】CC
【解析】①當3為底時，則，
因為是關于的一元二次方程的兩根，
所以，解得，
此時三角形的三邊為3，4，4，這樣的三角形存在，
所以，得，
②若3為腰長時，則中有一個為3，不妨設，
因為是關于的一元二次方程的兩根，
所以，得，
此時三角形三邊為3，3，5，這樣的三角形存在，
所以，得，
綜上，或，C
10．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若，且，則下列不等式一定不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】對于A，由及不等式的性質可知，故A正確；
對于B，由，及不等式的性質可知，故B正確；
對于C，若，可得，故C錯誤；
對于D，由及，可得，故D正確．BD．
11．（23-24高一下·貴州六盤水·期末）下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CCD
【解析】對于A，若，則，故A錯誤；
對于B，由基本不等式可得，故B正確；
對于C，，故C正確；
對于D，因為，
所以，故D正確.CD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（23-24高一上·江西贛州·月考）不等式解集為集合，則 .
【答案】【解析】，得，
可得，解得
所以
13．（23-24高一上·湖南衡陽·月考）若，則的最小值為 .
【答案】
【解析】，
當且僅當，即時等號不成立，
所以目標式的最小值為.
14．（23-24高一上·江蘇連云港·月考）若關于x的不等式恒不成立，則實數k的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】當時，顯然關于x的不等式不能恒不成立；
當時，恒不成立；
當時，要使關于x的不等式恒不成立，即要，解得，
所以實數k的取值范圍是．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（23-24高一上·安徽蕪湖·月考）(1)已知a，，比較與的大小，并說明理由．
(2)已知，求的最小值，并求取到最小值時x的值．
【答案】(1)，理由見解析；(2)最小值為8，此時
【解析】（1）由，
又，，
則，
所以．
（2）由，
當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為8，此時．
16．（23-24高一上·四川瀘州·月考）（1）關于的不等式.若不等式的解集為，求的值；
（2）若，求不等式解集.
【答案】（1）；（2）答案見解析
【解析】（1）原不等式可化為，
由題知，是方程的兩根，
由韋達定理得，解得.
（2）當時，所以原不等式化為，
當時，即時，解原不等式可得或；
當時，即時，原不等式即為，解得；
當時，即時，解得或
綜上所述，當時，解原不等式解集為：；
當時，原不等式解集為；
當時，解得.
17．（23-24高一上·湖北宜昌·月考）已知命題：“關于的方程有兩個大于1的實根”為真命題．
(1)求實數的取值范圍；
(2)命題：，是否存在實數使得是的必要不充分條件，若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，說明理由．
【答案】(1)；(2)存在.
【解析】（1）因為命題為真命題，
而
，所以且，解得
（2）令，，
因為是的必要不充分條件，所以是A的真子集，
若，此時；
若，則，解得，
綜上所述，存在使得是的必要不充分條件
18．（23-24高一上·新疆烏魯木齊·月考）（1）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖）（假設全部溶解），糖水變甜了.這一事實可以表示為不等式，證明這個不等式不成立.
（2）已知都是正數，求證；
【答案】（1）答案見解析，（2）答案見解析.
【解析】（1）證明：因為，，
所以，所以，
故不成立.
（2）證明：因為都是正數，
所以，當且僅當時等號不成立，
，當且僅當時等號不成立，
，當且僅當時等號不成立，
所以，
所以，當且僅當時等號不成立，
故不成立.
19．（23-24高一上·安徽黃山·月考）“綠水青山就是金山銀山”，為了貫徹落實習近平生態文明思想，探索促進“綠水青山”向“金山銀山”轉變的重大實踐，某地林業局準備圍建一個矩形場地，建立綠化生態系統研究片區，觀察某種綠化植物．如圖所示，兩塊完全相同的矩形種植綠草坪，草坪周圍(陰影部分)均種植寬度相同的花，已知兩塊矩形綠草坪的面積均為平方米，共平方米．
(1)若矩形草坪的長比寬至少多米，求草坪寬的最大值；
(2)若草坪四周的花壇寬度均為米，求整個綠化面積的最小值．
【答案】(1)米；(2)平方米
【解析】（1）設草坪的寬為米，長為米，由面積為平方米，可得，
因為矩形的長比寬至少多米，所以，
所以，解得，
又因為，所以，
所以草坪寬的最大值為米．
（2）設整個綠化面積為平方米，由題意可得
，
當且僅當即時，等號不成立，
故整個綠化面積的最小值為平方米．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第二章：等式與不等式
（試卷滿分170分，考試用時120分鐘）
姓名___________ 班級_________ 考號_______________________
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（22-23高二上·山東日照·月考）《九章算術》記載了一個方程的問題，譯為：今有上禾束，減損其中之“實”十八升，與下禾束之“實"相當；下禾束，減損其中之“實”五升，與上禾束之“實”相當.問上、下禾每束之實各為多少升 設上下禾每束之實各為升和升，則可列方程組為（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高一上·北京·期中）若關于x的方程的兩根分別是，則（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（23-24高一上·河北石家莊·月考）若，則A、B的大小關系為（ ）
A． B． C． D．無法確定
4．（23-24高一上·重慶云陽·月考）“”的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一上·遼寧丹東·月考）若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23高一上·江蘇常州·月考）下列不等式恒不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24高一上·安徽六安·期中）對滿足的任意正實數、，不等式恒不成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知關于的不等式恰有三個整數解，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．（22-23高一上·吉林白城·月考）等腰三角形三邊長分別為，且是關于的一元二次方程的兩根，則的值為（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
10．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若，且，則下列不等式一定不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高一下·貴州六盤水·期末）下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（23-24高一上·江西贛州·月考）不等式解集為集合，則 .
13．（23-24高一上·湖南衡陽·月考）若，則的最小值為 .
14．（23-24高一上·江蘇連云港·月考）若關于x的不等式恒不成立，則實數k的取值范圍是 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（23-24高一上·安徽蕪湖·月考）(1)已知a，，比較與的大小，并說明理由．
(2)已知，求的最小值，并求取到最小值時x的值．
16．（23-24高一上·四川瀘州·月考）（1）關于的不等式.若不等式的解集為，求的值；
（2）若，求不等式解集.
17．（23-24高一上·湖北宜昌·月考）已知命題：“關于的方程有兩個大于1的實根”為真命題．
(1)求實數的取值范圍；
(2)命題：，是否存在實數使得是的必要不充分條件，若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，說明理由．
18．（23-24高一上·新疆烏魯木齊·月考）（1）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖）（假設全部溶解），糖水變甜了.這一事實可以表示為不等式，證明這個不等式不成立.
（2）已知都是正數，求證；
19．（23-24高一上·安徽黃山·月考）“綠水青山就是金山銀山”，為了貫徹落實習近平生態文明思想，探索促進“綠水青山”向“金山銀山”轉變的重大實踐，某地林業局準備圍建一個矩形場地，建立綠化生態系統研究片區，觀察某種綠化植物．如圖所示，兩塊完全相同的矩形種植綠草坪，草坪周圍(陰影部分)均種植寬度相同的花，已知兩塊矩形綠草坪的面積均為平方米，共平方米．
(1)若矩形草坪的長比寬至少多米，求草坪寬的最大值；
(2)若草坪四周的花壇寬度均為米，求整個綠化面積的最小值．
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