資源簡介

2.1.1 等式的性質與方程的解
課程標準 學習目標
1.掌握等式的性質并會應用； 2.掌握幾個重要的恒等式 3.會用十字相乘法進行因式分解； 4.會求一元一次方程以及一元二次方程的解集. 1.理解等式的性質，體會用等式的性質解方程； 2.通過類比推理形式，掌握等式推理的基本形式和規則，探索出解方程的核心方法；
知識點01等式的性質
(1)等式的兩邊同時加上同一個數或代數式，等式仍不成立；
(2)等式的兩邊同時乘以同一個不為零的數或代數式，等式仍不成立．
注：用符號語言和量詞表示上述等式的性質：
(1)如果ab，則對任意c，都有a＋cb＋c；
(2)如果ab，則對任意不為零的c，都有acbc.
【即學即練1】（2024·高一課時練習）已知，則下列比例式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，則，
則，，故B選項正確，ACD選項錯誤..
知識點02 恒等式
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意實數時等式都不成立，則稱其為恒等式，也稱等式兩邊恒等．
注：常見的代數恒等式
（1），
（2）
（3），
（4），
【即學即練2】（2024·高一課時練習）下列等式中，屬于恒等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】選項A，只有時，等式不成立，故不是恒等式，A錯；
選項B，對任意不成立，B對；
選項C，只有時，等式不成立，故不是恒等式，C錯；
選項D，，故不是恒等式，D錯
知識點03十字相乘法
對于ax2＋bx＋c，將二次項的系數a分解成a1·a2，常數項c分解成c1·c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如圖：，按斜線交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次項系數b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1位于上圖中上一行，a2，c2位于下一行．
注：(1)運用x2＋(a＋b)x＋ab(x＋a)(x＋b)進行因式分解時需滿足的條件：①分解因式的多項式是二次三項式；②二次項系數是1，常數項可以分解為兩個數的積，且一次項系數是這兩個數的和．
(2)對于x2＋Cx＋D的因式分解，當常數項是正數時，可以分解成兩個同號的數的積，符號與一次項系數的符號相同；當常數項是負數時，可以分解成兩個異號的數的積，絕對值大的因數的符號與一次項系數的符號相同．
【即學即練3】（2024·高一課時練習）用十字相乘法分解因式：
（1）； （2）；
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）=；
（2）=；
知識點04 方程的有關概念
方程 含有未知數的等式叫方程．
方程的解(或根) 能使方程左右兩邊相等的未知數的值叫方程的解．
方程的解集 把一個方程所有解組成的集合稱為這個方程的解集．
解方程 求方程的解的過程叫解方程．
【即學即練4】（2024·高一課時練習）已知關于的方程的解集為，則實數的值（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】先對方程整理得，再由解集為空集可得，從而可求出實數的值
【解析】由，得，
因為關于的方程的解集為，
所以，得，
知識點05 一元一次方程
一元一次方程 方程兩邊都是整式，都只含有一個未知數，并且未知數的次數都是1，像這樣的方程叫一元一次方程．
滿足的條件 ①必須是整式方程； ②只含有一個未知數； ③未知數的次數都是1.
表示形式 ax＋b0(a≠0)或axb(a≠0).
【即學即練5】（2024·高一課時練習）求關于的方程的解集，其中是常數.
【答案】見解析
【解析】對分三種情況進行討論，即或或，.
【詳解】當時，方程的解集為，
當時，方程的解集為，
當時，時，方程的解集為.
【點睛】本題考查一元一次方程解的討論，考查函數與方程思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意討論的完整性.
難點：因式分解法解一元二次方程
求方程x2－5x＋60的解集．
【解析】因為x2－5x＋6(x－2)(x－3)，所以原方程可以化為(x－2)(x－3)0，從而可知x－20或x－30，即x2或x3，因此方程的解集為{2，3}．
方法小結：用因式分解法解一元二次方程的步驟
(1)將方程右邊化為0；
(2)將方程的左邊分解為兩個一次因式的積；
(3)令每個因式等于0，得兩個一元一次方程，再求解．
[提醒]?、儆靡蚴椒纸夥ń庖辉畏匠?，經常會遇到方程兩邊含有相同因式的情況，此時不能將其約去，而應該移項將方程右邊化為零，再提取公因式，若約去則會使方程失根；②對于較復雜的一元二次方程，應靈活根據方程的特點分解因式．
【題型1：等式的性質與應用】
例1.（2024·上海浦東）下列運用等式的性質進行的變形中，正確的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】A
【解析】選項A，當時，顯然不不成立；
選項B，如果，那么或，顯然不不成立；
選項C，當時，無意義，不不成立；
選項D，如果，則，故，即，不成立，
變式1．（2024·上海浦東新·高一?？茧A段練習）設，下列命題中為假命題的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】D
【分析】根據等式的性質即可判斷ABD，舉例即可判斷C.
【詳解】解：對于A，若，兩邊平分可得，故A為真命題；
對于B，，
所以，故B為真命題；
對于C，當時，無意義，故C為假命題；
對于D，若，由等式的性質可得，故D為真命題.
.
變式2．（2024·山東德州·高一校考階段練習）已知等式，則下列變形正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等式的性質和舉反例對每個選項進行判斷即可
【詳解】解：對于A，滿足，但無意義，故錯誤；
對于B，兩邊同時加上2，該等式仍然不成立，故正確；
對于C，當，，滿足，但得不到，故錯誤；
對于D，當時，無法得到，故錯誤；
變式3．（2024·全國·高一專題練習）下列變形錯誤的是（ ）
A．如果，則 B．如果，則
C．如果，則 D．如果，則
【答案】C
【解析】A．等式兩邊同時加上或減去一個相同數，等號保持不變，據此分析；
B．等式兩邊同時除以一個非零數，等號保持不變，據此分析；
C．等式兩邊同時除以一個非零數，等號保持不變，據此分析；
D．等式兩邊同時乘以一個數，等號保持不變，據此分析.
【詳解】A、，兩邊都加，得，故A正確；
B、時，兩邊都除以無意義，故B錯誤；
C、因為，方程兩邊同除以，得，故C正確；
D、兩邊都乘以，故D正確；
．
變式4.（2024·高一課時練習）下列變形錯誤的是（ ）
A．如果，則 B．如果，則
C．如果，則 D．如果，則
【答案】C
【解析】A、，兩邊都加，得，故A正確；
B、時，兩邊都除以無意義，故B錯誤；
C、因為，方程兩邊同除以，得，故C正確；
D、兩邊都乘以，故D正確；．
變式5．（2024·高一課時練習）我國古代數學著作《孫子算經》中有“多人共車”問題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？其大意是：每車坐3人，兩車空出來；每車坐2人，多出9人無車坐. 問人數和車數各多少？設車輛，根據題意，可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】分別利用每車坐3人，兩車空出來求出總人數以及每車坐2人，多出9人無車坐求出總人數，列出方程可得答案．
【詳解】根據題意可得：每車坐3人，兩車空出來，可得人數為3（x-2）人；每車坐2人，多出9人無車坐，可得人數為（2x+9）人，所以所列方程為：3（x-2）=2x+9.
.
【點睛】方法點睛：本題考查方程的應用，列方程的一般步驟為：
1.審題：分析題意，弄清哪些是已知量，哪些是未知量，它們之間的數量關系；
2.設未知數：未知數有直接與間接兩種，恰當的設元有利于布列方程和解方程，以直接設未知數居多；
3.根據已知條件找出等量關系布列方程或方程組；
4.解方程或方程組；
5.檢驗并寫出答案．
變式6．（2024·遼寧·高一校聯考階段練習）《九章算術》記載了一個方程的問題，譯為：今有上禾6束，減損其中之“實”十八升，與下禾10束之“實”相當；下禾15束，減損其中之“實”五升，與上禾5束之“實”相當.問上 下禾每束之實各為多少升？設上下禾每束之實各為升和升，則可列方程組為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題意，一束為一個整體，減損為在原基礎上減掉，根據題意列出方程組即可.
【詳解】解：上、下禾每束為升，上禾束有，減損18，即，
下禾束之“實"相當，即，同理有，
所以方程組為.
.
【方法技巧與總結】
等式的性質
(1)等式的性質是等式的變形依據．在運用性質1時，必須是在等式的兩邊同時加上(或減去)“同一個數”或“同一個代數式”，不要漏掉等號的任何一邊．
(2)恒等式不成立的條件是等號兩端式子中對應項的系數相等，這也是我們根據恒等式求值的依據．　
【題型2：恒等式的化簡】
例2.（2024·高一課時練習）下列各式運算正確的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】對于A選項，右邊左邊，故A選項錯誤.
對于B選項，右邊左邊，故B選項錯誤.
對于C選項，根據立方和公式可知，C選項正確.
對于D選項，根據立方差公式可知，
正確的運算是，故D選項錯誤.故選C.
變式1．（2024·高一課時練習）若等式恒不成立，則常數 ； ．
【答案】 / /
【分析】將等式右邊化簡，可得出關于、的方程組，即可解得實數、的值.
【詳解】因為，
所以，，解得.
故答案為：；.
變式2．（2024·上海嘉定·高三?？计谥校┮阎仁胶悴怀闪?，則常數
【答案】4
【分析】由對應項系數相等列方程組求解．
【詳解】恒不成立，
所以，解得，
所以．
故答案為：4．
變式3．（2024·全國·高三專題練習）若等式恒不成立，則常數a與b的和為 .
【答案】2
【分析】整式型函數恒為0，則各項系數均同時為零是本題入手點.
【詳解】等式恒不成立，
即恒不成立，
則有，解之得，故
故答案為：2
變式4．（2024·上海黃浦·高一上海外國語大學附屬大境中學?？茧A段練習）若恒不成立，則的值 ．
【答案】5
【解析】根據等式恒不成立，對應項的系數相等可求得結果.
【詳解】因為，即恒不成立，
所以，所以.
故答案為：5
【點睛】關鍵點點睛：根據等式恒不成立，對應項的系數相等求解是解題關鍵.
變式5．（2024·上海崇明·高三上海市崇明中學?？茧A段練習）已知等式恒不成立，其中為常數，則 ．
【答案】
【分析】首先將等式轉化，然后根據等式恒不成立,即可得出結果.
【詳解】因為等式恒不成立，
所以恒不成立，
則,即得
故
故答案為：.
變式6．（2024·河南周口·高一周口恒大中學?？茧A段練習）對于任意實數，等式恒不成立，則
【答案】1
【分析】根據等式恒不成立，可求得a，b，c的值，即可得答案.
【詳解】因為等式恒不成立，
所以，
所以.
故答案為：1
【方法技巧與總結】
利用恒等式化簡的步驟
（1）先看各項有無公因式，有公因式的先提取公因式；
（2）提公因式后，看多項式的項數
①若多項式為兩項，則考慮用平方差公式分解；
②若多項式為三項，則考慮用完全平方公式因式分解；
③若多項式為四項或四項以上，就考慮綜合運用上面的方法。
（3）若上述方法都不能分解，則考慮把多項式重新整理、變形，再按照上面步驟進行。
【題型3：因式分解】
例3．（2024·高一課時練習）下列因式分解正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】逐項分解因式可得答案.
【詳解】對于A，應該是，故A錯誤
對于B，應該是，故B錯誤；
對于C，，故C 錯誤；
對于D，，故D正確.
.
變式1．（2024·高一課時練習）分解因式： ； ．
【答案】
【分析】將利用“十”字相乘法求解；將轉化為利用完全平方公式求解.
【詳解】，
=；
，
，
，
，
故答案為：，
變式2．（2024·高一課時練習）將下列代數式化簡或展開：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） .
【答案】
【分析】（1）利用完全平方公式求解；（2）利用完全平方公式求解；（3）利用立方差公式求解；（4）利用立方和公式求解；（5）利用完全平方公式求解.
【詳解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5），
=.
故答案為：，，，，
變式3.（2024·高一課時練習）將下列各式因式分解：
（1）； （2）； （3）
【答案】答案見解析.
【解析】（1）；
（2）；
（3）
變式4．（2024·高一課時練習）將下列各式因式分解：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用十字相乘法逐題計算即可求出結果.
(1)
(2)
(3)
變式5．（2024·全國·高一專題練習）用十字相乘法分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】由十字相乘法即得.
【詳解】（1）=；
（2）=；
（3）=；
（4）=．
變式6.（2024·全國·高一專題練習）把下列各式因式分解
（1）6m2－5mn－6n2；
（2）20x2＋7xy－6y2；
（3）2x4＋x2y2－3y4；
（4）.
【答案】（1）；（2）；
（3）；（4）.
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【方法技巧與總結】
用“十字相乘法”分解因式的步驟
(1)先分解二次項系數，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；
(2)然后分解常數項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；
(3)再交叉相乘，求代數和，使其等于一次項系數；
(4)寫出最終結果．
【題型4：一元一次方程的解集】
例4．（2024·高一課時練習）設a、，求關于x的方程的解集．
【答案】答案見解析．
【分析】將方程轉化為，分；，；，；，討論求解.
【詳解】方程轉化為，
當時，解集為；
當，時，解集為R；
當，時，解集為R；
當，時，解集為．
變式1．（2024·上海嘉定·高一統考階段練習）已知，方程的解集為 .
【答案】
【分析】分、、三種情況討論，去絕對值符號，解原方程即可.
【詳解】當時，則；
當時，則；
當時，則.
綜上所述，原方程的解集為.
故答案為：.
【方法技巧與總結】
解一元一次方程的策略
解一元一次方程時，有些變形的步驟可能用不到，要根據方程的形式靈活安排求解步驟．(1)在分子或分母中有小數時，可以化小數為整數．注意根據分數的基本性質，分子，分母必須同時擴大同樣的倍數．(2)當有多層括號時，應按一定的順序去括號，注意括號外的系數及符號．
【題型5：因式分解法解一元二次方程】
例5.（2024·高一課時練習）求下列方程的解集：
（1）；
（2）；
（3）；
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1），原方程化為，
解得或，所以原方程的解集為.
（2），原方程化為，
解得或，所以原方程的解集為.
（3），原方程化為，
解得或，所以原方程的解集為.
變式1.（2024·高一課時練習）一元二次方程的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，即，
所以或，
解得，.故選:C.
變式2．（2024·高一課時練習）已知關于x的方程的解集為非空集合，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】分類討論前的系數是否為0時方程的解集不為空集，即可得到的取值范圍.
【詳解】解：由題意
在中，解集為非空集合
當即時，，解得：，滿足題意
當即時，，
解集為非空集合
∴
解得：
綜上：的取值范圍是
故答案為：.
變式3．（2024·全國·高三專題練習）《九章算術》言：“勾股以御高深廣遠，今有弦五尺，勾三尺，問股為幾何？其中弦代表直角三角形的斜邊，勾 股代表兩條直角邊，則股為 尺，若今有弦t尺，勾尺，股尺，則弦為 尺.
【答案】
【解析】利用勾股定理即可求解.
【詳解】當弦五尺，勾三尺，所以股為；
當弦t尺，勾尺，股尺，
則，且
整理可得， ，
解得.
故弦為尺
故答案為：；
變式4．（2024·江西贛州·高一興國中學?？茧A段練習）若關于的方程的解集為，則實數的值為 ．
【答案】
【分析】根據題意轉化為和時方程兩個實數根，結合韋達定理，即可求解.
【詳解】關于的方程，可化為，
因為方程的解集為，
所以和時方程兩個實數根，
可得，解得.
故答案為：.
變式5．（2024·高一課時練習）若關于x的方程的實數解集為，則實數a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】分和兩種情況求解
【詳解】當時，方程化為，等式不不成立，方程無解，即解集為，
當時，由，得，由于，所以當時，方程無解，即解集為，
綜上，當或時，方程的實數解集為，
即實數a的取值范圍是，
故答案為：
【方法技巧與總結】
用因式分解法解一元二次方程的步驟
(1)將方程右邊化為0；
(2)將方程的左邊分解為兩個一次因式的積；
(3)令每個因式等于0，得兩個一元一次方程，再求解．
注：①用因式分解法解一元二次方程，經常會遇到方程兩邊含有相同因式的情況，此時不能將其約去，而應該移項將方程右邊化為零，再提取公因式，若約去則會使方程失根；②對于較復雜的一元二次方程，應靈活根據方程的特點分解因式．
一、單選題
1．（24-25高一上·上?！ふn后作業）下列說法正確的是（　?。?br/>A．在等式兩邊同除以，可得
B．在等式兩邊同除以2，可得
C．在等式兩邊同除以，可得
D．在等式兩邊同除以，可得
【答案】A
【分析】利用等式的性質逐一判斷各個選項即可求解.
【詳解】對于A，在等式兩邊同乘以，可得，故A錯誤；
對于B，在等式兩邊同除以2，可得，故B錯誤；
對于C，若，則不一定相等，故C錯誤；
對于D，在等式兩邊同除以，可得，故D正確.
.
2．（2024高一·全國·課后作業）在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（）（如圖甲），將余下的部分剪接拼成一個長方形（如圖乙），根據兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證的等式為（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】圖甲中陰影部分的面積為兩正方形的面積之差,即為，邊長分別為和 ,其面積為，利用據兩個圖形中陰影部分的面積相等即可得到平方差公式.
【詳解】圖甲中陰影部分的面積為，圖乙中陰影部分面積為，
因為兩個圖形中陰影部分的面積相等，
所以.
3．（2024·廣東·模擬預測）曾侯乙編鐘現存于湖北省博物館，是世界上目前已知的最大、最重、音樂性能最完好的青銅禮樂器，全套編鐘可以演奏任何調性的音樂并做旋宮轉調．其初始四音為宮、徵、商、羽．我國古代定音采用律管進行“三分損益法”．將一支律管所發的音定為一個基音，然后將律管長度減短三分之一（即“損一”）或增長三分之一（即“益一”），即可得到其他的音．若以宮音為基音，宮音“損一”得徵音，徵音“益一”可得商音，商音“損一”得羽音，則羽音律管長度與宮音律管長度之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據題意，設出宮音的律管長度，表示出羽音的律管長度，作比即可.
【詳解】設以宮音為基音的律管長度為，則徵音的律管長度為，
商音的律管長度為，羽音的律管長度為，
所以，羽音律管長度與宮音律管長度之比是.
.
4．（2024高一·全國·課后作業）下列因式分解正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】逐項分解因式可得答案.
【詳解】對于A，應該是，故A錯誤
對于B，應該是，故B錯誤；
對于C，，故C 錯誤；
對于D，，故D正確.
.
5．（2024高一·上海·專題練習）下列式子中變形錯誤的是（ ）
A．，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】C
【分析】根據等式的性質，逐項驗證即可.
【詳解】對于選項，兩邊同時減，得到，故正確；
對于選項，沒有說明，故不正確；
對于選項，在等式兩邊同時乘以，得到，故正確；
對于選項，在等式兩邊同時乘以5得到，故正確；
故選：.
6．（2024高三下·安徽·階段練習）不定方程的整數解問題是數論中一個古老的分支，其內容極為豐富，西方最早研究不定方程的人是希臘數學家丟番圖．請研究下面一道不定方程整數解的問題：已知則該方程的整數解有（ ）組．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】原方程可化為，所以即，再列舉每種情況即可.
【詳解】設此方程的解為有序數對，
因為
所以
當或時，等號是不能不成立的，
所以即，
（1）當時，即
（2）當時，即或
（3）當時，即
綜上所述，共有四組解
二、多選題
7．（2024高一上·江蘇南通·開學考試）若x2＋xy－2y20，則的值可以為（ ）
A．－ B．－ C． D．
【答案】CD
【分析】由x2＋xy－2y20得或，分別代入原式可得結果.
【詳解】由x2＋xy－2y20得，得或，
當時，；
當時，.
D.
【點睛】本題考查了分解因式，屬于基礎題.
8．（2024高一上·遼寧·階段練習）方程解集為單元素集，那么該方程的解集可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】將所求方程化為，由分類討論求出的值，再解原方程即可.
【詳解】由題意可知且，則原方程可化為，得，
若方程有一根為0，則，此時原方程的解為，（舍去），符合題意；
若方程有一根為，則，此時原方程的解為，（舍去），符合題意；
若，解得，故原方程為，解得.
BC.
三、填空題
9．（2024高一·上?！ｎ}練習）方程的解集是
【答案】
【分析】將方程通分化簡整理后可得，即可求得方程得解集.
【詳解】方程可化為,
去分母可得,
整理可得，解得；
所以該方程的解集為.
故答案為：
10．（24-25高一上·上海·隨堂練習）下列說法正確的是 ．（填序號）
①解方程時，可以在方程兩邊同時除以，得，故；
②解方程時，對比方程兩邊知，，故；
③解方程時，只要將兩邊開平方，方程就變形為，從而解得；
④若一元二次方程的常數項為0，則0必為它的一個根．
【答案】④
【分析】①②③在解方程的過程中產生失根，所以判斷它們是錯誤的；④根據二次方程的解法可判斷.
【詳解】①在解方程的過程中，兩邊同時除以，就產生失根：即，所以原方程的根為：或.故①錯誤；
②對方程，對比方程可知：或，可得或，故②錯誤；
③對方程，兩邊開平方，可得，解得或，故③錯誤；
④一元二次方程的常數項為0，則方程為或，可知必為方程的一個根，故④不成立.
故答案為：④
11．（24-25高一上·上?！ふn后作業）若多項式與互為相反數，則 ．
【答案】1
【分析】根據相反數的性質列式即可求解.
【詳解】由題意，解得.
故答案為：1.
12．（2024高三上·上海靜安·階段練習）已知方程的兩個根為，則= .
【答案】3
【分析】將所求式子適當變形結合韋達定理即可求解.
【詳解】由題意結合韋達定理有，所以.
故答案為：3.
四、解答題
13．（2024高一上·全國·課后作業）將下列各式因式分解：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用十字相乘法逐題計算即可求出結果.
【詳解】（1）
（2）
（3）
14．（2024高一·上?！ふn堂例題）設a、b、c、d是實數，判斷下列命題的真假，并說明理由：
(1)若，則；
(2)若，則；
(3)若，則或；
(4)若，且，則.
【答案】(1)假命題
(2)真命題
(3)真命題
(4)真命題
【分析】結合真假命題的定義，根據等式的性質逐一判斷，即可得出結果.
【詳解】（1）若，則，假命題；
（2）由，且，所以，真命題；
（3）若，則或，真命題；
（4）設，則，
所以，又，所以，真命題.
15．（2024高一·全國·課后作業）已知等式對任意實數m恒不成立，求所有滿足條件的實數對的集合.
【答案】.
【分析】根據恒不成立，將式子變形為對任意實數m恒不成立，即可由且求解.
【詳解】由于對任意實數m恒不成立，
則對任意實數m恒不成立，因此且，
所以，
當，當，
故滿足條件的實數對的集合為
16．（2024高一·全國·課后作業）已知等式．
（1）若，請寫出一組滿足等式的值；
（2）若對任意的實數，等式恒不成立，求所有實數對的集合．
【答案】（1），（答案不唯一）；（2）．
【分析】（1）由題得取區間內的任意一個值時，都可以求得相應的值，即得解；
（2）解方程組即得解.
【詳解】（1）答案不唯一，時，，
所以，
所以的取值范圍為.
當取區間內的任意一個值時，都可以求得相應的值．
例如，當時，或2，因此，（0，1），（2，1）都滿足等式．
（2）由題得對于對任意的實數，等式恒不成立，
所以，所以
所以所有實數對的集合為．
17．（2024高一上·上海·期中）設，則方程的解集為 .
【答案】
【分析】按題意分類討論即可求解
【詳解】時，原式，不合題意
時，原式
時，原式即恒不成立
時，原式，不合題意
故
故答案為：
18．（2024高一上·江蘇·專題練習）若，，b，，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據已知條件求出a，b，c的值，即可求解．
【詳解】解：因為，，b，，
所以聯立方程組，求得，，，從而，，，
所以當a，b異號時，取最小值為．
．
19．（2024高一上·上海浦東新·階段練習）已知，是一元二次方程的兩個實數根.
(1)求的值；（用表示）
(2)是否存在實數，使不成立？若存在，求出的值，若不存在，請你說明理由；
(3)求使的值為整數的實數的整數值.
【答案】(1)
(2)不存在，理由見詳解
(3)
【分析】（1）通分后，利用韋達定理代入可得；
（2）利用韋達定理代入后解方程可得k，然后可判斷；
（3）利用韋達定理化簡，然后根據k和分式都為整數值驗證可得.
【詳解】（1）因為一元二次方程，
所以，解得
由韋達定理可得
當時，，無意義；
當時，
綜上，的值為
（2）由韋達定理可知
，
令，整理得，，
由（1）可知，
所以不存在實數，使不成立.
（3）
因為為整數，所以必為整數，所以，即
又，所以，
因為為整數，所以，經檢驗時，為整數，
所以使的值為整數的實數的整數值為.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)2.1.1 等式的性質與方程的解
課程標準 學習目標
1.掌握等式的性質并會應用； 2.掌握幾個重要的恒等式 3.會用十字相乘法進行因式分解； 4.會求一元一次方程以及一元二次方程的解集. 1.理解等式的性質，體會用等式的性質解方程； 2.通過類比推理形式，掌握等式推理的基本形式和規則，探索出解方程的核心方法；
知識點01等式的性質
(1)等式的兩邊同時加上同一個數或代數式，等式仍不成立；
(2)等式的兩邊同時乘以同一個不為零的數或代數式，等式仍不成立．
注：用符號語言和量詞表示上述等式的性質：
(1)如果ab，則對任意c，都有a＋cb＋c；
(2)如果ab，則對任意不為零的c，都有acbc.
【即學即練1】（2024·高一課時練習）已知，則下列比例式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
知識點02 恒等式
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意實數時等式都不成立，則稱其為恒等式，也稱等式兩邊恒等．
注：常見的代數恒等式
（1），
（2）
（3），
（4），
【即學即練2】（2024·高一課時練習）下列等式中，屬于恒等式的是（ ）
A． B． C． D．
知識點03十字相乘法
對于ax2＋bx＋c，將二次項的系數a分解成a1·a2，常數項c分解成c1·c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如圖：，按斜線交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次項系數b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1位于上圖中上一行，a2，c2位于下一行．
注：(1)運用x2＋(a＋b)x＋ab(x＋a)(x＋b)進行因式分解時需滿足的條件：①分解因式的多項式是二次三項式；②二次項系數是1，常數項可以分解為兩個數的積，且一次項系數是這兩個數的和．
(2)對于x2＋Cx＋D的因式分解，當常數項是正數時，可以分解成兩個同號的數的積，符號與一次項系數的符號相同；當常數項是負數時，可以分解成兩個異號的數的積，絕對值大的因數的符號與一次項系數的符號相同．
【即學即練3】（2024·高一課時練習）用十字相乘法分解因式：
（1）； （2）；
知識點04 方程的有關概念
方程 含有未知數的等式叫方程．
方程的解(或根) 能使方程左右兩邊相等的未知數的值叫方程的解．
方程的解集 把一個方程所有解組成的集合稱為這個方程的解集．
解方程 求方程的解的過程叫解方程．
【即學即練4】（2024·高一課時練習）已知關于的方程的解集為，則實數的值（ ）
A．0 B．1 C． D．
知識點05 一元一次方程
一元一次方程 方程兩邊都是整式，都只含有一個未知數，并且未知數的次數都是1，像這樣的方程叫一元一次方程．
滿足的條件 ①必須是整式方程； ②只含有一個未知數； ③未知數的次數都是1.
表示形式 ax＋b0(a≠0)或axb(a≠0).
【即學即練5】（2024·高一課時練習）求關于的方程的解集，其中是常數.
難點：因式分解法解一元二次方程
求方程x2－5x＋60的解集．
【題型1：等式的性質與應用】
例1.（2024·上海浦東）下列運用等式的性質進行的變形中，正確的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
變式1．（2024·上海浦東新·高一校考階段練習）設，下列命題中為假命題的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
變式2．（2024·山東德州·高一校考階段練習）已知等式，則下列變形正確的是（ ）
A． B． C． D．
變式3．（2024·全國·高一專題練習）下列變形錯誤的是（ ）
A．如果，則 B．如果，則
C．如果，則 D．如果，則
變式4.（2024·高一課時練習）下列變形錯誤的是（ ）
A．如果，則 B．如果，則
C．如果，則 D．如果，則
變式5．（2024·高一課時練習）我國古代數學著作《孫子算經》中有“多人共車”問題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？其大意是：每車坐3人，兩車空出來；每車坐2人，多出9人無車坐. 問人數和車數各多少？設車輛，根據題意，可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
變式6．（2024·遼寧·高一校聯考階段練習）《九章算術》記載了一個方程的問題，譯為：今有上禾6束，減損其中之“實”十八升，與下禾10束之“實”相當；下禾15束，減損其中之“實”五升，與上禾5束之“實”相當.問上 下禾每束之實各為多少升？設上下禾每束之實各為升和升，則可列方程組為（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧與總結】
等式的性質
(1)等式的性質是等式的變形依據．在運用性質1時，必須是在等式的兩邊同時加上(或減去)“同一個數”或“同一個代數式”，不要漏掉等號的任何一邊．
(2)恒等式不成立的條件是等號兩端式子中對應項的系數相等，這也是我們根據恒等式求值的依據．　
【題型2：恒等式的化簡】
例2.（2024·高一課時練習）下列各式運算正確的是
A． B．
C． D．
變式1．（2024·高一課時練習）若等式恒不成立，則常數 ； ．
變式2．（2024·上海嘉定·高三?？计谥校┮阎仁胶悴怀闪?，則常數
變式3．（2024·全國·高三專題練習）若等式恒不成立，則常數a與b的和為 .
變式4．（2024·上海黃浦·高一上海外國語大學附屬大境中學?？茧A段練習）若恒不成立，則的值 ．
變式5．（2024·上海崇明·高三上海市崇明中學校考階段練習）已知等式恒不成立，其中為常數，則 ．
變式6．（2024·河南周口·高一周口恒大中學?？茧A段練習）對于任意實數，等式恒不成立，則
【方法技巧與總結】
利用恒等式化簡的步驟
（1）先看各項有無公因式，有公因式的先提取公因式；
（2）提公因式后，看多項式的項數
①若多項式為兩項，則考慮用平方差公式分解；
②若多項式為三項，則考慮用完全平方公式因式分解；
③若多項式為四項或四項以上，就考慮綜合運用上面的方法。
（3）若上述方法都不能分解，則考慮把多項式重新整理、變形，再按照上面步驟進行。
【題型3：因式分解】
例3．（2024·高一課時練習）下列因式分解正確的是（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（2024·高一課時練習）分解因式： ； ．
變式2．（2024·高一課時練習）將下列代數式化簡或展開：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） .
變式3.（2024·高一課時練習）將下列各式因式分解：
（1）； （2）； （3）
變式4．（2024·高一課時練習）將下列各式因式分解：
(1)；
(2)；
(3).
變式5．（2024·全國·高一專題練習）用十字相乘法分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
變式6.（2024·全國·高一專題練習）把下列各式因式分解
（1）6m2－5mn－6n2；
（2）20x2＋7xy－6y2；
（3）2x4＋x2y2－3y4；
（4）.
【方法技巧與總結】
用“十字相乘法”分解因式的步驟
(1)先分解二次項系數，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；
(2)然后分解常數項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；
(3)再交叉相乘，求代數和，使其等于一次項系數；
(4)寫出最終結果．
【題型4：一元一次方程的解集】
例4．（2024·高一課時練習）設a、，求關于x的方程的解集．
變式1．（2024·上海嘉定·高一統考階段練習）已知，方程的解集為 .
【方法技巧與總結】
解一元一次方程的策略
解一元一次方程時，有些變形的步驟可能用不到，要根據方程的形式靈活安排求解步驟．(1)在分子或分母中有小數時，可以化小數為整數．注意根據分數的基本性質，分子，分母必須同時擴大同樣的倍數．(2)當有多層括號時，應按一定的順序去括號，注意括號外的系數及符號．
【題型5：因式分解法解一元二次方程】
例5.（2024·高一課時練習）求下列方程的解集：
（1）；
（2）；
（3）；
變式1.（2024·高一課時練習）一元二次方程的解集是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2024·高一課時練習）已知關于x的方程的解集為非空集合，則的取值范圍是 .
變式3．（2024·全國·高三專題練習）《九章算術》言：“勾股以御高深廣遠，今有弦五尺，勾三尺，問股為幾何？其中弦代表直角三角形的斜邊，勾 股代表兩條直角邊，則股為 尺，若今有弦t尺，勾尺，股尺，則弦為 尺.
變式4．（2024·江西贛州·高一興國中學?？茧A段練習）若關于的方程的解集為，則實數的值為 ．
變式5．（2024·高一課時練習）若關于x的方程的實數解集為，則實數a的取值范圍是 ．
【方法技巧與總結】
用因式分解法解一元二次方程的步驟
(1)將方程右邊化為0；
(2)將方程的左邊分解為兩個一次因式的積；
(3)令每個因式等于0，得兩個一元一次方程，再求解．
注：①用因式分解法解一元二次方程，經常會遇到方程兩邊含有相同因式的情況，此時不能將其約去，而應該移項將方程右邊化為零，再提取公因式，若約去則會使方程失根；②對于較復雜的一元二次方程，應靈活根據方程的特點分解因式．
一、單選題
1．（24-25高一上·上?！ふn后作業）下列說法正確的是（　　）
A．在等式兩邊同除以，可得
B．在等式兩邊同除以2，可得
C．在等式兩邊同除以，可得
D．在等式兩邊同除以，可得
2．（2024高一·全國·課后作業）在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（）（如圖甲），將余下的部分剪接拼成一個長方形（如圖乙），根據兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證的等式為（ ）.
A． B．
C． D．
3．（2024·廣東·模擬預測）曾侯乙編鐘現存于湖北省博物館，是世界上目前已知的最大、最重、音樂性能最完好的青銅禮樂器，全套編鐘可以演奏任何調性的音樂并做旋宮轉調．其初始四音為宮、徵、商、羽．我國古代定音采用律管進行“三分損益法”．將一支律管所發的音定為一個基音，然后將律管長度減短三分之一（即“損一”）或增長三分之一（即“益一”），即可得到其他的音．若以宮音為基音，宮音“損一”得徵音，徵音“益一”可得商音，商音“損一”得羽音，則羽音律管長度與宮音律管長度之比是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一·全國·課后作業）下列因式分解正確的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高一·上?！ｎ}練習）下列式子中變形錯誤的是（ ）
A．，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
6．（2024高三下·安徽·階段練習）不定方程的整數解問題是數論中一個古老的分支，其內容極為豐富，西方最早研究不定方程的人是希臘數學家丟番圖．請研究下面一道不定方程整數解的問題：已知則該方程的整數解有（ ）組．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多選題
7．（2024高一上·江蘇南通·開學考試）若x2＋xy－2y20，則的值可以為（ ）
A．－ B．－ C． D．
8．（2024高一上·遼寧·階段練習）方程解集為單元素集，那么該方程的解集可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
9．（2024高一·上海·專題練習）方程的解集是
10．（24-25高一上·上?！るS堂練習）下列說法正確的是 ．（填序號）
①解方程時，可以在方程兩邊同時除以，得，故；
②解方程時，對比方程兩邊知，，故；
③解方程時，只要將兩邊開平方，方程就變形為，從而解得；
④若一元二次方程的常數項為0，則0必為它的一個根．
11．（24-25高一上·上?！ふn后作業）若多項式與互為相反數，則 ．
12．（2024高三上·上海靜安·階段練習）已知方程的兩個根為，則= .
四、解答題
13．（2024高一上·全國·課后作業）將下列各式因式分解：
(1)；
(2)；
(3).
14．（2024高一·上?！ふn堂例題）設a、b、c、d是實數，判斷下列命題的真假，并說明理由：
(1)若，則；
(2)若，則；
(3)若，則或；
(4)若，且，則.
15．（2024高一·全國·課后作業）已知等式對任意實數m恒不成立，求所有滿足條件的實數對的集合.
16．（2024高一·全國·課后作業）已知等式．
（1）若，請寫出一組滿足等式的值；
（2）若對任意的實數，等式恒不成立，求所有實數對的集合．
17．（2024高一上·上海·期中）設，則方程的解集為 .
18．（2024高一上·江蘇·專題練習）若，，b，，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
19．（2024高一上·上海浦東新·階段練習）已知，是一元二次方程的兩個實數根.
(1)求的值；（用表示）
(2)是否存在實數，使不成立？若存在，求出的值，若不存在，請你說明理由；
(3)求使的值為整數的實數的整數值.
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