資源簡介

2.1.2 一元二次方程的解集及其根與系數的關系
課程標準 學習目標
1、掌握一元二次方程一般式解集的方法. 2、掌握一元二次方程根與系數的關系. 3、會用整體代入法解一元二次方程. 4、學會用配方法推出一元二次方程的解集. 5. 靈活運用根與系數的關系解決一元二次方程問題. 1、學會整體代入法解特殊一元二次方程思想方法。 2、由一般性地配方法解集推理出特殊性的方程解集，探索其過程。 3、在實際情景中分析問題，構建一元二次方程模型，計算結果，檢驗結果實際性。 4、掌握解一元二次方程的運算法則，選擇運算方法。 5、對特殊一元二次方程選擇相關系數進行分析，得出簡捷運算方法。
知識點01一元二次方程的解集
一元二次方程ax2＋bx＋c0(a≠0)，其判別式Δb2－4ac.
(1)當Δb2－4ac>0時，方程的解集為
；
(2)當Δb2－4ac0時，方程的解集為；
(3)當Δb2－4ac<0時，方程的解集為 .
注：對于一元二次方程ax2＋bx＋c0(a≠0)，有
(1)當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根x1，2；
(2)當Δ0時，方程有兩個相等的實數根x1x2－；
(3)當Δ＜0時，方程沒有實數根．
【即學即練1】（2024·高一課時練習）方程的解集是（ ）
A． B． C． D．
知識點02一元二次方程的基本特征
一元二次方程的基本特征有兩個：一是最高次冪，其指數為2；二是二次項系數不為0.判斷方程解的情況，需依據判別式的符號．若二次項系數含有參數，則需要對參數進行分類討論．
【即學即練1】（2024·高一課時練習）若關于x的一元二次方程有實數根，則k的取值范圍是 .
知識點03 一元二次方程根與系數的關系
當一元二次方程ax2＋bx＋c0(a≠0)的解不是空集時，這個方程的解可以記為x1，
x2，則有
【即學即練3】（2024·高一課時練習）若關于x的方程的兩根分別是，則（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
難點：應用根與系數的關系求字母系數的值或范圍
例題 已知關于x的方程x2－(k＋1)x＋k2＋10，根據下列條件，求出k的值．
(1)方程兩實根的積為5；
(2)方程的兩實根x1，x2，滿足|x1|x2.
【題型1：求一元二次方程的解集】
例1.（2024·高一課時練習）方程的解集是（ ）
A． B． C． D．
變式1.（2024·全國·高三專題練習）集合________．
變式2．（2024·全國·高三專題練習）方程的解集為 ．
變式3．（2024·湖北恩施·高一校考階段練習）解下列方程：
(1)；
(2).
變式4.（2024·全國·高三專題練習）方程的實數根是_______________．
【方法技巧與總結】
一元二次方程的解法
（1）直接開平方法：利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解；
（2）配方法：通過方程的簡單變形，將左邊配成一個含有未知數的完全平方式，若右邊是一個非負常數，則可以直接開平方求解；
（3）公式法：將一元二次方程中的系數，，的值代入式子中求解；
（4）因式分解法：通過移項將等式右邊變成0，再因式分解，令每個因式為0即可求解。
【題型2：方程根個數的判斷及應用】
例2．（2024·高一課時練習）下列一元二次方程沒有實數根的是（　　）
A． B．
C． D．
變式1.（2024·遼寧）已知關于x的一元二次方程沒有實數根，則k的取值范圍是_______．
變式2．（2024·遼寧·高二統考學業考試）已知關于的方程有兩個相等的實數根，下列選項中可以取的值是（ ）．
A．4 B．2 C．0 D．
變式3.（2024·江蘇）關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式4．（2024·江蘇·高一假期作業）求證：方程有兩個同號且不相等實根的充要條件是.
變式5．（2024·廣東佛山·高一順德一中校考開學考試）已知關于x的一元二次方程.
(1)若上述方程無正數根，求實數k的取值范圍；
(2)若上述方程的兩根都是正數，求實數k的取值范圍；
(3)若上述方程的兩根恰有一個是正數，且k為整數，如果有直接寫出實數k的取值，如果不存在說明理由.
變式6.（2024·高一課時練習）方程的兩根均大于1，則實數的取值范圍是_______
變式7.（2024·高一課時練習）若關于的方程的一根大于1，另一根小于1，則實數的取值范圍為 ．
變式8．【多選】（2024·湖南永州·高一校考期中）已知方程有且只有一個實數根，則（ ）
A．
B．
C．若不等式的解集為，則
D．若不等式的解集為，則
【方法技巧與總結】
一元二次方程根的個數問題
(1)只有當方程是一元二次方程時，才能利用根的判別式確定字母的取值范圍．
(2)對于一元二次方程ax2＋bx＋c0(a≠0)，其根的判別式為Δb2－4ac.
①“方程有兩個不相等的實根”的充要條件是“Δ>0”；
②“方程有兩個相等的實根”的充要條件是“Δ0”；
③“方程有兩個實根”的充要條件是“Δ≥0”；
④“方程沒有實根”的充要條件是“Δ<0”．　
【題型3：直接應用根與系數的關系進行計算】
例3．（2024·云南·高一校聯考階段練習）已知一元二次方程的一個根為2，那么另一根為 ；的值為 ．
變式1．（2024·上海寶山·高一上海市吳淞中學校考期末）已知一元二次方程的兩個實根為，則
變式2.（2024·高一課時練習）若是方程的兩個根，則( )
A． B．2 C．4 D．8
變式3．（2024·上海徐匯·高一統考期末）已知方程的兩個根為、，則 ．
變式4．（2024·上海嘉定·高一上海市嘉定區第一中學校考期中）設是方程的兩個實數根，則
變式5．（2024·上海寶山·高一校考階段練習）一元二次方程的兩個實根為，則 ．
變式6．（2024·上海靜安·高一上海市市西中學校考期中）已知是方程的兩根，則 ．
變式7．（2024·高一課時練習）已知，且，則 .
變式8．（2024·浙江臺州·高一臺州一中校考開學考試）已知、是方程的兩根，則的值為 .
變式9．（2024·山西呂梁·高一統考期中）若a，b是方程的兩個實數根，則（ ）
A．2023 B．2023 C．2019 D．2018
變式10．（2024·高一課時練習）若是方程的兩個根，試求下列各式的值；
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
變式11．（2024·遼寧朝陽·高一建平縣實驗中學校考階段練習）已知方程的兩根為與，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3).
變式12.（2024·高一課時練習）已知方程的兩根為，，分別計算下列各式的值：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【方法技巧與總結】
1.根與系數的關系
在求含有一元二次方程兩根的代數式的值時，利用根與系數的關系解題可起到化難為易、化繁為簡的作用．在計算時，要先根據原方程求出兩根之和與兩根之積，再將代數式變形為局部含有兩根之和與兩根之積的形式，然后代入求值．
2.應用一元二次方程的根與系數的關系時，常有以下變形：
)－2x1x2(x1＋x2)2－2x1x2；
(2)(x1－x2)2(x1＋x2)2－4x1x2；
(3)|x1－x2|；
(4)；
(5).
【題型4：應用根與系數的關系求字母系數的值或范圍】
例4．（2024·上海閔行·高一統考期末）已知一元二次方程的兩個實根分別為，且，則實數n的值為 ．
變式1．（2024·上海普陀·高一曹楊二中校考階段練習）已知關于的方程的兩實根為，若，則實數的值為 ．
變式2．（2024·上海閔行·高一上海市七寶中學校考期末）已知關于的方程的兩根為、.若，則實數的值是 ．
變式3．（2024·上海普陀·高一曹楊二中校考階段練習）已知是關于的方程的兩個實數根，若，則實數 ．
變式4.（2024·高一課時練習）若為實數，關于的方程的解集為，則______．
變式5．（2024·上海松江·高一校考期中）已知，是關于的一元二次方程的兩個實數根.
(1)求實數的取值范圍；
(2)若，求實數的值；
(3)求使的值為整數的實數的整數值.
變式6．（2024·北京·高一北京十五中校考期中）已知：關于的方程的兩個實數根分別為、.
(1)求實數的取值范圍；
(2)當時，求的值；
(3)若，求實數的值.
變式7．（2024·遼寧·高一遼寧實驗中學校考期中）已知方程的兩根分別是和，且滿足，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式8．（2024·新疆和田·高一統考期中）設函數，若，
(1)求證：方程有實根.
(2)若，、為方程的兩實數根，求的取值范圍.
【方法技巧與總結】
應用根與系數的關系求字母系數的值或范圍
利用一元二次方程根與系數的關系求待定字母的值時，務必注意根與系數的關系的應用前提條件，即Δ≥0.
一、單選題
1．（2024高一上·遼寧阜新·階段練習）關于的一元二次方程：有實數根，若其中一個根為，則另一個根為（ ）.
A． B． C． D．
2．（2024高一下·遼寧撫順·階段練習）若方程兩根為c，d，則方程的根是（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．（24-25高一上·全國·課后作業）已知，是方程的兩個根，則的值為（ ）
A． B．2
C． D．
4．（2024高一上·江蘇宿遷·階段練習）關于的方程有實數根的充要條件是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·湖南株洲·階段練習）已知是方程的兩個根，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一上·上海·隨堂練習）若關于x的一元二次方程中m為實數，則（ ）．
A．沒有實根 B．有兩相等實根
C．有兩不相等實根 D．可能有實根
7．（2024高一上·上海·期中）已知，則關于的方程 ）
A．一定有不相等的兩個實數根 B．一定有兩個相等的實數根
C．可能有兩個相等的實數根 D．沒有實數根
8．（2024高一上·北京西城·期中）已知方程組的解集為，且，則（ ）
A．1或 B．或 C．或 D．2或
二、多選題
9．（2024高一上·湖北·期中）已知函數有兩個零點，，則（ ）
A． B．且
C．若，則 D．函數有四個零點或兩個零點
10．（2024高一上·全國·課后作業）已知關于x的方程，下列說法正確的是（ ）
A．若方程有兩個互為相反數的實數根，則
B．若方程沒有實數根，則方程必有兩個不相等的實數根
C．若二次三項式是完全平方式，則
D．若，則方程必有兩個不相等的實數根
11．（2024高一上·安徽銅陵·階段練習）已知二次函數有兩個零點，，且，則（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024高一上·重慶璧山·階段練習）已知，是關于x的方程的兩個實根，則（ ）
A．或 B．
C． D．
三、填空題
13．（2024高一上·上海松江·期末）已知方程 的兩個根為 ，則
14．（24-25高一上·上海·隨堂練習）若、是一元二次方程的兩個根，則的值是 ．
15．（24-25高一上·全國·課后作業）已知二次函數（m為常數）的圖象與x軸的一個交點為，則關于x的一元二次方程的兩實數根是 ．
16．（2024高二下·遼寧·期末）已知關于x的方程的兩個實數根同號，則實數m的取值范圍為 ．
17．（25-26高一上·全國·課后作業）已知關于的一元二次方程的兩個實數根為，且，則實數的值為 ．
四、解答題
18．（24-25高一上·上海·課后作業）已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根、．若，求的值．
19．（24-25高一上·上海·課后作業）已知、、均為實數，且，求關于的方程的解集．
20．（2024高一·上海·課堂例題）已知方程的兩個根為、，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
21．（2024高一上·江蘇鎮江·階段練習）若，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
22．（2024高一上·江西南昌·階段練習）設的兩實根為，，而以，為根的一元二次方程仍是，則數對組成的集合的真子集的個數是（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
23．（2024高三下·四川成都·階段練習）已知實數滿足，則的最大值為 .
（24-25高一上·上海·隨堂練習）法國數學家佛郎索瓦·韋達于1615年在著作《論方程的識別與訂正》中建立了方程根與系數的關系，由于韋達最早發現代數方程的根與系數之間的這種關系，人們把這個關系稱為韋達定理，它的內容為：“對于一元二次方程，它的兩根α、β有如下關系：，．”
韋達定理還有逆定理，它的內容為：“如果兩數α和β滿足如下關系：，，那么這兩個數α和β是方程的根．”通過韋達定理的逆定理，我們就可以利用兩數的和與積的關系構造一元二次方程，例如：，，那么m和n是方程的兩根．請應用上述材料解決以下問題：
(1)已知m、n是兩個不相等的實數，且滿足，，求的值；
(2)已知實數x、y滿足，，求的值．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)2.1.2 一元二次方程的解集及其根與系數的關系
課程標準 學習目標
1、掌握一元二次方程一般式解集的方法. 2、掌握一元二次方程根與系數的關系. 3、會用整體代入法解一元二次方程. 4、學會用配方法推出一元二次方程的解集. 5. 靈活運用根與系數的關系解決一元二次方程問題. 1、學會整體代入法解特殊一元二次方程思想方法。 2、由一般性地配方法解集推理出特殊性的方程解集，探索其過程。 3、在實際情景中分析問題，構建一元二次方程模型，計算結果，檢驗結果實際性。 4、掌握解一元二次方程的運算法則，選擇運算方法。 5、對特殊一元二次方程選擇相關系數進行分析，得出簡捷運算方法。
知識點01一元二次方程的解集
一元二次方程ax2＋bx＋c0(a≠0)，其判別式Δb2－4ac.
(1)當Δb2－4ac>0時，方程的解集為
；
(2)當Δb2－4ac0時，方程的解集為；
(3)當Δb2－4ac<0時，方程的解集為 .
注：對于一元二次方程ax2＋bx＋c0(a≠0)，有
(1)當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根x1，2；
(2)當Δ0時，方程有兩個相等的實數根x1x2－；
(3)當Δ＜0時，方程沒有實數根．
【即學即練1】（2024·高一課時練習）方程的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由方程，可得方程，解得或，
所以或，即方程的解集為..
知識點02一元二次方程的基本特征
一元二次方程的基本特征有兩個：一是最高次冪，其指數為2；二是二次項系數不為0.判斷方程解的情況，需依據判別式的符號．若二次項系數含有參數，則需要對參數進行分類討論．
【即學即練1】（2024·高一課時練習）若關于x的一元二次方程有實數根，則k的取值范圍是 .
【答案】.
【分析】由題意可得且，從而可得k的取值范圍.
【詳解】因為關于x的一元二次方程有實數根，
所以且，
即且，
解得且，
所以k的取值范圍是，
故答案為：.
知識點03 一元二次方程根與系數的關系
當一元二次方程ax2＋bx＋c0(a≠0)的解不是空集時，這個方程的解可以記為x1，
x2，則有
【即學即練3】（2024·高一課時練習）若關于x的方程的兩根分別是，則（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解析】因為是方程的兩根，
所以
所以，
難點：應用根與系數的關系求字母系數的值或范圍
例題 已知關于x的方程x2－(k＋1)x＋k2＋10，根據下列條件，求出k的值．
(1)方程兩實根的積為5；
(2)方程的兩實根x1，x2，滿足|x1|x2.
【解析】Δ[－(k＋1)]2－4×2k－3，Δ≥0，k≥.
(1)設方程的兩個根為x1，x2，x1x2k2＋15，
k216，k4或k－4(舍)．
(2)①若x1≥0，則x1x2，Δ0，k.
方程為x2－x＋0，x1x2>0滿足．
②若x1<0，則x1＋x20，即k＋10，k－1.
方程為x2＋0而方程無解，
所以k≠－1，所以k.
方法小結：利用一元二次方程根與系數的關系求待定字母的值時，務必注意根與系數的關系的應用前提條件，即Δ≥0.
【題型1：求一元二次方程的解集】
例1.（2024·高一課時練習）方程的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據集合的表示方法求解.
【詳解】方程的解為,
所以方程的解集是，
故選:C.
變式1.（2024·全國·高三專題練習）集合________．
【答案】
【解析】因為的＜0，所以方程無實數解，所以A﹒
變式2．（2024·全國·高三專題練習）方程的解集為 ．
【答案】
【分析】對方程左側作因式分解變為乘積形式求解即可.
【詳解】由，
所以或或，故解集為.
故答案為：
變式3．（2024·湖北恩施·高一校考階段練習）解下列方程：
(1)；
(2).
【答案】(1),；
(2).
【分析】（1）由提公因式法即可求解；
（2）由求根公式即可求解.
（1）
則或
解得.
（2）
方程整理得：
由求根公式可得：
.
變式4.（2024·全國·高三專題練習）方程的實數根是_______________．
【答案】
【解析】∵，
∴ ，
令可得，，
∴ ，∴ 或，
由可得，方程無實數解，
由可得，方程的解為.
【方法技巧與總結】
一元二次方程的解法
（1）直接開平方法：利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解；
（2）配方法：通過方程的簡單變形，將左邊配成一個含有未知數的完全平方式，若右邊是一個非負常數，則可以直接開平方求解；
（3）公式法：將一元二次方程中的系數，，的值代入式子中求解；
（4）因式分解法：通過移項將等式右邊變成0，再因式分解，令每個因式為0即可求解。
【題型2：方程根個數的判斷及應用】
例2．（2024·高一課時練習）下列一元二次方程沒有實數根的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據一元二次方程的判別式，可判斷方程沒有實數根，即可得正確答案.
【詳解】對于選項：因為；所以方程有兩個相等的實數根，選項不合題意；
對于選項B： ，所以方程沒有實數根，選項B符合題意；
對于選項C：因為方程有兩個不相等的實數根，選項C不符合題意；
對于選項D：因為，方程有兩個不相等的實數根，選項D不合題意．
.
變式1.（2024·遼寧）已知關于x的一元二次方程沒有實數根，則k的取值范圍是_______．
【答案】
【解析】由題意得：.
變式2．（2024·遼寧·高二統考學業考試）已知關于的方程有兩個相等的實數根，下列選項中可以取的值是（ ）．
A．4 B．2 C．0 D．
【答案】C
【分析】根據判別式求解即可.
【詳解】解：因為關于的方程有兩個相等的實數根，
所以，即
所以選項中可以取的值是
變式3.（2024·江蘇）關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】有兩個不相等的實數根
變式4．（2024·江蘇·高一假期作業）求證：方程有兩個同號且不相等實根的充要條件是.
【答案】證明見解析
【分析】由，可得，且，證明充分性；令，解不等式組求出m的范圍，可證明必要性.
【詳解】充分性：∵，
∴方程的判別式，且，
∴方程有兩個同號且不相等的實根．
必要性：若方程有兩個同號且不相等的實根，
則有，解得.
綜上，方程有兩個同號且不相等的實根的充要條件是.
變式5．（2024·廣東佛山·高一順德一中校考開學考試）已知關于x的一元二次方程.
(1)若上述方程無正數根，求實數k的取值范圍；
(2)若上述方程的兩根都是正數，求實數k的取值范圍；
(3)若上述方程的兩根恰有一個是正數，且k為整數，如果有直接寫出實數k的取值，如果不存在說明理由.
【答案】(1)或.
(2)或
(3)不存在，理由見解析.
【分析】（1）根據根的情況得出判別式分類討論，再應用根與系數關系列不等式組求解即可；
（2）根據兩根都是正整數得出判別式及根與系數關系列不等式組求解即可；
（3）結合（1）（2）寫出結論即可.
【詳解】（1）由題意得，
若，化簡得，解得，此時無實數根，滿足題意；
若，解得，設此時兩實數根分別為，
則由題意得，，則，
即，解得或，
綜上或.
（2），解得，
由題意得，，即，解得或.
（3），解得，
兩根恰有一個是正整數,由題意得或，即，解得.
,且k為整數,符合條件的k不存在.
變式6.（2024·高一課時練習）方程的兩根均大于1，則實數的取值范圍是_______
【答案】
【解析】的兩個根都大于
，解得
可求得實數的取值范圍為
變式7.（2024·高一課時練習）若關于的方程的一根大于1，另一根小于1，則實數的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】由題意，關于的方程的一根大于1，另一根小于1，
設，根據二次函數的性質，可得，解得，
所以實數的取值范圍為.
變式8．【多選】（2024·湖南永州·高一校考期中）已知方程有且只有一個實數根，則（ ）
A．
B．
C．若不等式的解集為，則
D．若不等式的解集為，則
【答案】ABD
【分析】由判別式等于0得，代入選項A中式子后由二次函數知識判斷，代入B中式子后由基本不等式判斷，再根據二次不等式的解集與二次方程的根的關系，結合韋達定理判斷CD．
【詳解】由題意，，
，時取等號．A正確；
，當且僅當，即時等號不成立，B正確；
不等式的解集為，則是方程的解，所以，D正確，C錯誤．
BD．
【方法技巧與總結】
一元二次方程根的個數問題
(1)只有當方程是一元二次方程時，才能利用根的判別式確定字母的取值范圍．
(2)對于一元二次方程ax2＋bx＋c0(a≠0)，其根的判別式為Δb2－4ac.
①“方程有兩個不相等的實根”的充要條件是“Δ>0”；
②“方程有兩個相等的實根”的充要條件是“Δ0”；
③“方程有兩個實根”的充要條件是“Δ≥0”；
④“方程沒有實根”的充要條件是“Δ<0”．　
【題型3：直接應用根與系數的關系進行計算】
例3．（2024·云南·高一校聯考階段練習）已知一元二次方程的一個根為2，那么另一根為 ；的值為 ．
【答案】
【分析】設一元二次方程的另一根為，所以，解出的值即可得出答案.
【詳解】設一元二次方程的另一根為，
所以.
故答案為：；.
變式1．（2024·上海寶山·高一上海市吳淞中學校考期末）已知一元二次方程的兩個實根為，則
【答案】
【分析】先利用韋達定理得到，再由代入即可求解.
【詳解】因為一元二次方程的兩個實根為，
所以.
故
故答案為：
變式2.（2024·高一課時練習）若是方程的兩個根，則( )
A． B．2 C．4 D．8
【答案】D
【解析】因為是方程的兩個根，
所以由根與系數之間的關系，，，
故..
變式3．（2024·上海徐匯·高一統考期末）已知方程的兩個根為、，則 ．
【答案】
【分析】根據韋達定理就可求解.
【詳解】由于，故方程有兩個不相等的實數根、，
由韋達定理可得，所以，
故答案為：
變式4．（2024·上海嘉定·高一上海市嘉定區第一中學校考期中）設是方程的兩個實數根，則
【答案】
【分析】根據韋達定理得到，然后代入計算即可求解.
【詳解】因為是方程的兩個實數根，由韋達定理得，
所以，故，
故答案為：.
變式5．（2024·上海寶山·高一校考階段練習）一元二次方程的兩個實根為，則 ．
【答案】3
【分析】利用韋達定理即可求解.
【詳解】依題意，
因為一元二次方程的兩個實根為，
所以由韋達定理得：，，
所以.
故答案為：3.
變式6．（2024·上海靜安·高一上海市市西中學校考期中）已知是方程的兩根，則 ．
【答案】
【分析】根據一元二次方程根與系數的關系，結合一元二次方程根的判別式進行求解即可.
【詳解】因為一元二次方程的判別式，
所以該方程有兩個不相等的實數根，則有，
因此，
故答案為：
變式7．（2024·高一課時練習）已知，且，則 .
【答案】
【分析】根據一元二次方程的根與系數的關系求解.
【詳解】由題可知，為一元二次方程的兩個根，
所以，
所以，
所以，
故答案為：.
變式8．（2024·浙江臺州·高一臺州一中校考開學考試）已知、是方程的兩根，則的值為 .
【答案】
【分析】根據題意得到，，結合韋達定理化簡得到.
【詳解】由題意得，，故，
則
，
由韋達定理可得，所以.
故答案為：-2
變式9．（2024·山西呂梁·高一統考期中）若a，b是方程的兩個實數根，則（ ）
A．2023 B．2023 C．2019 D．2018
【答案】C
【分析】根據一元二次方程的解及根與系數的關系可得出、，將其代入中即可求出結論．
【詳解】∵是方程的根，
∴，
∴，
∴.
∵是方程的兩個實數根，
∴，
∴
.
變式10．（2024·高一課時練習）若是方程的兩個根，試求下列各式的值；
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】由韋達定理可得答案.
【詳解】（1）由韋達定理可得：，，所以：
；
（2）；
（3）;
（4）.
變式11．（2024·遼寧朝陽·高一建平縣實驗中學校考階段練習）已知方程的兩根為與，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)7
(2)18
(3)7
【分析】（1）由一元二次方程根與系數的關系可得，再利用完全平方公式可得的值；
（2）利用立方和公式因式分解求解即可；
（3）通分整理求解即可.
【詳解】（1）解：已知方程的兩根為與，所以可得
所以；
（2）解：由（1）有：，且
所以
（3）解：
變式12.（2024·高一課時練習）已知方程的兩根為，，分別計算下列各式的值：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】是方程的兩根，；
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【方法技巧與總結】
1.根與系數的關系
在求含有一元二次方程兩根的代數式的值時，利用根與系數的關系解題可起到化難為易、化繁為簡的作用．在計算時，要先根據原方程求出兩根之和與兩根之積，再將代數式變形為局部含有兩根之和與兩根之積的形式，然后代入求值．
2.應用一元二次方程的根與系數的關系時，常有以下變形：
)－2x1x2(x1＋x2)2－2x1x2；
(2)(x1－x2)2(x1＋x2)2－4x1x2；
(3)|x1－x2|；
(4)；
(5).
【題型4：應用根與系數的關系求字母系數的值或范圍】
例4．（2024·上海閔行·高一統考期末）已知一元二次方程的兩個實根分別為，且，則實數n的值為 ．
【答案】
【分析】利用一元二次方程根與系數的關系列出關于實數n的方程，解之即可得出答案.
【詳解】一元二次方程的兩個實根分別為，
所以，
所以，解得.
故答案為：.
變式1．（2024·上海普陀·高一曹楊二中校考階段練習）已知關于的方程的兩實根為，若，則實數的值為 ．
【答案】
【分析】根據，結合韋達定理得或，再結合判別式即可得答案.
【詳解】解：因為關于的方程的兩實根為，
所以，
因為，
所以，即，解得或，
因為，解得或
所以，
故答案為：
變式2．（2024·上海閔行·高一上海市七寶中學校考期末）已知關于的方程的兩根為、.若，則實數的值是 ．
【答案】
【分析】根據一元二次方程根與系數的關系可得，則由，即可得的值.
【詳解】解：關于的方程的兩根為、，
所以，，
所以
所以.
故答案為：.
變式3．（2024·上海普陀·高一曹楊二中校考階段練習）已知是關于的方程的兩個實數根，若，則實數 ．
【答案】
【分析】本題考查根與系數的關系，設而不求的思想，注意檢驗實數根是否存在.
【詳解】有解，則有
韋達定理代入得：，
整理得：，
解之或，
經判別式檢驗知，
故答案為：
變式4.（2024·高一課時練習）若為實數，關于的方程的解集為，則______．
【答案】
【解析】由關于的方程的解集為，
即是方程的兩個實數根，
所以，解得，所以.
變式5．（2024·上海松江·高一校考期中）已知，是關于的一元二次方程的兩個實數根.
(1)求實數的取值范圍；
(2)若，求實數的值；
(3)求使的值為整數的實數的整數值.
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】(1)結合一元二次方程的判別式即可求解；(2)結合韋達定理即可求解；(3)結合韋達定理即可求解.
【詳解】（1）因為，是關于的一元二次方程的兩個實數根，
從而，解得，
故實數的取值范圍為.
（2）由韋達定理可知，，，，
所以，
解得.
從而實數的值為.
（3）結合(2)中韋達定理可知，，
因為，
所以欲使的值為整數，只需為或或，
從而實數的整數值為或或.
變式6．（2024·北京·高一北京十五中校考期中）已知：關于的方程的兩個實數根分別為、.
(1)求實數的取值范圍；
(2)當時，求的值；
(3)若，求實數的值.
【答案】(1)
(2)15
(3)
【分析】（1）根據，即可求得實數的取值范圍；
（2）將代入方程，根據韋達定理，得到，又，代入即可；
（3）根據韋達定理，可得，化簡，代入即可求得的值，注意結合第（1）問中的范圍進行取舍.
【詳解】（1）因為，方程有兩個實數根，
所以，，即，即，解得.
（2）當時，方程可化為，
由韋達定理可得，所以.
（3）因為，
又關于的方程的兩個實數根分別為、.
由韋達定理可得，所以，
整理可得，，解得或.
又由（1）知，所以.
變式7．（2024·遼寧·高一遼寧實驗中學校考期中）已知方程的兩根分別是和，且滿足，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用根的判別式可得到或，利用一元二次方程根與系數的關系可得到，，代入不等式求解即可
【詳解】因為方程的兩根分別是和，
所以，解得或，
，，
因為，
所以，解得，
所以實數的取值范圍是，
變式8．（2024·新疆和田·高一統考期中）設函數，若，
(1)求證：方程有實根.
(2)若，、為方程的兩實數根，求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）推導出，再利用判別式法可判斷出方程有實根；
（2）利用韋達定理結合二次函數的基本性質可求得的取值范圍.
【詳解】（1）證明：若，由可得，
所以，，與已知條件矛盾，所以，，
對于方程，，
所以，方程必有實根.
（2）解：由韋達定理可得，，
因為，則，
所以，
，
因此，.
【方法技巧與總結】
應用根與系數的關系求字母系數的值或范圍
利用一元二次方程根與系數的關系求待定字母的值時，務必注意根與系數的關系的應用前提條件，即Δ≥0.
一、單選題
1．（2024高一上·遼寧阜新·階段練習）關于的一元二次方程：有實數根，若其中一個根為，則另一個根為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用韋達定理求出方程的另一個根，再檢驗即可.
【詳解】因為為關于的一元二次方程的根，
顯然，且，不妨令，則，
此時，方程可化為，經檢驗符合題意，
即方程另一個根為.
2．（2024高一下·遼寧撫順·階段練習）若方程兩根為c，d，則方程的根是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】由題意，整理兩個方程，結合韋達定理即可求解.
【詳解】，
又c、d為該方程的兩根，由韋達定理得，
，
有，
即，解得.
3．（24-25高一上·全國·課后作業）已知，是方程的兩個根，則的值為（ ）
A． B．2
C． D．
【答案】A
【分析】利用韋達定理求出，，再將通分代入計算可得.
【詳解】因為，是方程的兩個根，顯然，
則，，
所以.
4．（2024高一上·江蘇宿遷·階段練習）關于的方程有實數根的充要條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由方程有實根，應用判別式求參數范圍，結合充分、必要性定義判斷充要條件.
【詳解】由方程有實根，則，可得.
所以是題設方程有實根的充要條件.
5．（2024高一上·湖南株洲·階段練習）已知是方程的兩個根，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，利用韋達定理得到，結合，即可求解.
【詳解】因為是方程的兩個根，可得，
則.
.
6．（24-25高一上·上海·隨堂練習）若關于x的一元二次方程中m為實數，則（ ）．
A．沒有實根 B．有兩相等實根
C．有兩不相等實根 D．可能有實根
【答案】D
【分析】利用根的判別式進行判斷即可．
【詳解】
，
故方程有兩不相等實根
．
7．（2024高一上·上海·期中）已知，則關于的方程 ）
A．一定有不相等的兩個實數根 B．一定有兩個相等的實數根
C．可能有兩個相等的實數根 D．沒有實數根
【答案】D
【分析】根據已知條件及判別式即可求解.
【詳解】由，得，且，
所以
，
所以關于的方程有實數根，但不能確定是否一定相等.
.
8．（2024高一上·北京西城·期中）已知方程組的解集為，且，則（ ）
A．1或 B．或 C．或 D．2或
【答案】C
【分析】由方程組可得，應用韋達定理有，，再由列方程求參數值即可.
【詳解】由題設，則，且，
所以，，
而，即，
整理得，可得.
二、多選題
9．（2024高一上·湖北·期中）已知函數有兩個零點，，則（ ）
A． B．且
C．若，則 D．函數有四個零點或兩個零點
【答案】AC
【分析】根據函數零點與方程根的關系可判斷A,根據一元二次方程中韋達定理可判斷B,C，根據特殊情況可判斷D錯誤.
【詳解】由有兩個零點可知：，故，故A正確，
由韋達定理可得：，由于，故可正可負可為0，因此無法判斷，的正負，故B錯誤；
時，則，故C正確，
，比如當時，令，可得,此時有3個零點，故D錯誤，
故選:AC
10．（2024高一上·全國·課后作業）已知關于x的方程，下列說法正確的是（ ）
A．若方程有兩個互為相反數的實數根，則
B．若方程沒有實數根，則方程必有兩個不相等的實數根
C．若二次三項式是完全平方式，則
D．若，則方程必有兩個不相等的實數根
【答案】ABC
【分析】對A，根據韋達定理判斷即可；對B，根據判別式正負分析即可；對C，令再展開根據系數關系判斷即可；對D，舉反例判斷即可.
【詳解】對A，若方程有兩個互為相反數的實數根，則由韋達定理可得，即，故A正確；
對B，若方程沒有實數根，則，故.
又，故，則方程判別式，故方程必有兩個不相等的實數根，故B正確；
對C，若二次三項式是完全平方式，則令有，故，則不成立，故C正確；
對D，若，則，解得僅有，故D錯誤.
BC
11．（2024高一上·安徽銅陵·階段練習）已知二次函數有兩個零點，，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根據韋達定理即可判斷ABC,根據二次函數的圖象特征，結合二次函數的零點分布即可判斷D.
【詳解】的兩個零點，，且，
因此，由于，所以恒不成立
故，
對于A，，故A正確，
對于B，，故B正確，
對于C，，故C正確，
對于D，由于二次函數的開口向下，且對稱軸為，
，且因此兩個根，，故D錯誤，
BC
12．（2024高一上·重慶璧山·階段練習）已知，是關于x的方程的兩個實根，則（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】A.根據判別式即可求得k的取值范圍；B，C，D選項，先用韋達定理求出以及的值，變形化簡可以推出.
【詳解】由已知得，，解得或，A正確；
由韋達定理可得，，則
∵
∴，B正確；
當時，，此時無意義；
當時，
當k=0時，，C錯誤；
當時，，此時無意義；
當時，，D正確.
BD.
三、填空題
13．（2024高一上·上海松江·期末）已知方程 的兩個根為 ，則
【答案】6
【分析】直接解方程求解答案即可.
【詳解】由，得，
所以.
故答案為：6
14．（24-25高一上·上海·隨堂練習）若、是一元二次方程的兩個根，則的值是 ．
【答案】/
【分析】根據一元二次方程根與系數的關系，可得和，再進行化簡整理即可.
【詳解】由題意：、為一元二次方程的兩根，
所以，.
所以.
故答案為：
15．（24-25高一上·全國·課后作業）已知二次函數（m為常數）的圖象與x軸的一個交點為，則關于x的一元二次方程的兩實數根是 ．
【答案】，
【分析】根據交點求解，即可求解方程的根.
【詳解】由于（m為常數）的圖象與x軸的一個交點為，所以，所以，
故，解得，，
故答案為：，
16．（2024高二下·遼寧·期末）已知關于x的方程的兩個實數根同號，則實數m的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】運用解題即可.
【詳解】根據題意得到，即，解得.
故答案為：.
17．（25-26高一上·全國·課后作業）已知關于的一元二次方程的兩個實數根為，且，則實數的值為 ．
【答案】1
【分析】根據韋達定理即可求解.
【詳解】為方程的兩個實數根，
,，故
則，
，解得．
符合題意．
故答案為：1
四、解答題
18．（24-25高一上·上海·課后作業）已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根、．若，求的值．
【答案】2
【分析】由題意首先根據方程的解的情況列出不等式組求得且，再結合韋達定理確定的值即可得解.
【詳解】由題知，，解得且．
因為，，所以，所以或．
又因為且，所以的值是2．
19．（24-25高一上·上海·課后作業）已知、、均為實數，且，求關于的方程的解集．
【答案】
【分析】先根據二次根式、絕對值、平方數的非負性列方程組求出，然后解一元二次方程即可求解.
【詳解】∵，又，，，
∴，∴，∴一元二次方程為，
∴，∴或，
解得或，∴原方程的解集為．
20．（2024高一·上海·課堂例題）已知方程的兩個根為、，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根據韋達定理及計算可得；
（2）根據韋達定理及計算可得；
（3）根據韋達定理及計算可得；
（4）根據韋達定理及計算可得.
【詳解】（1）因為、是方程的兩個根，
所以，，所以.
（2）.
（3）.
（4）
.
21．（2024高一上·江蘇鎮江·階段練習）若，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】對于變形后，結合已知可得和是方程的兩個根，再利用根與系數的關系可得答案
【詳解】由，得，則，
所以，即，
因為，，
所以和是方程的兩個根，
所以，即，
22．（2024高一上·江西南昌·階段練習）設的兩實根為，，而以，為根的一元二次方程仍是，則數對組成的集合的真子集的個數是（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】A
【分析】利用根與系數關系列方程，通過解方程求得的所有可能取值，由此得出正確選項.
【詳解】根據題意得，①，②，③，④，
由②、④可得，解得或，即或.
由①、②、③可得，即.
當時，，解得或，
即或把它們代入原方程的判別式中可知符合題意；
當時，，解得或，即或
把它們代入原方程的判別式中可知不合題意，舍去.
所以數對組成的集合的元素個數是3，
所以數對組成的集合的真子集的個數是.
.
23．（2024高三下·四川成都·階段練習）已知實數滿足，則的最大值為 .
【答案】/
【分析】利用判別式可求的最大值.
【詳解】原方程可化為，
故，故，故，
當時，，
故的最大值為，
故答案為：
（24-25高一上·上海·隨堂練習）法國數學家佛郎索瓦·韋達于1615年在著作《論方程的識別與訂正》中建立了方程根與系數的關系，由于韋達最早發現代數方程的根與系數之間的這種關系，人們把這個關系稱為韋達定理，它的內容為：“對于一元二次方程，它的兩根α、β有如下關系：，．”
韋達定理還有逆定理，它的內容為：“如果兩數α和β滿足如下關系：，，那么這兩個數α和β是方程的根．”通過韋達定理的逆定理，我們就可以利用兩數的和與積的關系構造一元二次方程，例如：，，那么m和n是方程的兩根．請應用上述材料解決以下問題：
(1)已知m、n是兩個不相等的實數，且滿足，，求的值；
(2)已知實數x、y滿足，，求的值．
【答案】(1)；
(2)22或37．
【分析】（1）根據給定條件，構造一元二次方程，再利用韋達定理求解即得.
（2）變形給定條件，構造一元二次方程，求出方程的解即可.
【詳解】（1）由，，得m，n可看作方程的兩個不相等的實數根，
則，，
所以．
（2）由，，
得xy，可看作一元二次方程的兩個實數根，解得或，
于是，或，，
當，時，；
當，時，．
所以的值為22或37．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑