資源簡介

2.1.3方程組的解集
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1、掌握解方程組的方法. 2、判斷方程組解集是有限集還是無限集. 3、解讀古代數(shù)學(xué)語境，能正確列出方程組. 學(xué)會(huì)消元法解方程組的思想方法。 在實(shí)際情景中分析問題，構(gòu)建方程組模型，計(jì)算結(jié)果，檢驗(yàn)結(jié)果實(shí)際性。 理解集合運(yùn)算對象，在方程組中有的放矢選擇運(yùn)算法則。 根據(jù)方程組未知數(shù)的個(gè)數(shù)和方程的個(gè)數(shù)，判斷方程組的解集為有限解還是無限解。
知識點(diǎn)01 方程組的解集
一般地，將多個(gè)方程聯(lián)立，就能得到方程組．方程組中，由每個(gè)方程的解集得到的交集稱為這個(gè)方程組的解集．
注意：（1）解方程組常用的方法：消元法．
（2）當(dāng)方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)時(shí)，方程組的解集可能有無窮多個(gè)元素，此時(shí)，如果將其中一些未知數(shù)看成常數(shù)，那么其他未知數(shù)往往能用這些未知數(shù)表示出來．
【即學(xué)即練1】判斷正誤
(1)方程組的解集為{2,1}． (　　)
(2)當(dāng)方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)時(shí)，方程組的解集可能含有無窮多個(gè)元素． (　　)
【答案】(1)×　(2)√
知識點(diǎn)02 二元一次方程組
方程組含有兩個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有兩個(gè)方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組．例如，
都是二元一次方程組．
【即學(xué)即練2】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）方程組的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方程組的解為,
所以方程組的解集為，.
知識點(diǎn)03 三元一次方程組
方程組含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組．例如，都是三元一次方程組．
【即學(xué)即練3】（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）方程組的解集可表示為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由得，
將代入得，所以，
知識點(diǎn)04 二元二次方程組
二元二次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)為2，像這樣的方程叫做二元二次方程．
二元二次方程組：方程組中含有兩個(gè)未知數(shù)，含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)為2，并且一共有兩個(gè)方程，像這樣的方程組叫做二元二次方程組．
注：(1)二元二次方程組有兩種類型：一是由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成；二是由兩個(gè)二元二次方程組成，我們主要學(xué)習(xí)第一種類型．
(2)解二元二次方程組的思路是消元和降次．
【即學(xué)即練4】（2024·全國·高三專題練習(xí)）若相異兩實(shí)數(shù)x，y滿足，則之值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】兩式作差消元得：，
反代回去得：，
同理可得：，由同構(gòu)及韋達(dá)定理有：
繼而有：.
難點(diǎn)：“二·二”型的二元二次方程組
例題：解方程組
【解析】　由①得(x－4y)(x＋y)0，
所以x－4y0或x＋y0，
由②得(x＋2y)21，
所以x＋2y1或x＋2y－1.
原方程可化為以下四個(gè)方程組：
解這四個(gè)方程組，得原方程組的四個(gè)解是： ,,
所以方程組的解集為.
方法小結(jié)：解“二·二”型方程組的基本思想仍是“轉(zhuǎn)化”，轉(zhuǎn)化的方法是“降次”“消元”．它的一般解法是：
(1)當(dāng)方程組中只有一個(gè)可分解為兩個(gè)二元一次方程的方程時(shí)，可將分解得到的兩個(gè)二元一次方程分別與原方程組中的另一個(gè)二元二次方程組成兩個(gè)“二·一”型方程組．解這兩個(gè)“二·一”型方程組，所得的解都是原方程組的解．
(2)當(dāng)方程組中兩個(gè)二元二次方程都可分解為兩個(gè)二元一次方程時(shí)，將第一個(gè)二元二次方程分解所得到的每一個(gè)二元一次方程分別與第二個(gè)二元二次方程分解所得的每一個(gè)二元一次方程組成方程組，可得到四個(gè)二元一次方程組，解這四個(gè)二元一次方程組，所得的解都是原方程組的解．
【題型1：求二元一次方程組的解集】
（一）不含參二元一次方程組
例1．（2024·上海青浦·高一上海市青浦高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）方程組的解集是
【答案】
【分析】通過解方程組和集合的概念即可求解.
【詳解】方程組可知，，
從而方程組的解集為.
故答案為：.
變式1．（2024·上海普陀·高一?？茧A段練習(xí)）用列舉法表示方程組的解集為 ．
【答案】
【分析】解方程組，并用列舉法表示解集.
【詳解】，則，兩式相減得，解得，故，
∴方程組的解集為.
故答案為：.
變式2.（2024·全國·高一課時(shí)練習(xí)）求下列方程組的解集：
（1）；（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），由①得，③
把③代入②得，解得，把代入③得，.
所以，方程組的解集是；
（2）原方程組化為，
①②，整理得，解得，把代入①并整理，得.
所以，方程組的解集為.
（二）含參二元一次方程組
例2.（2024·高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于x，y的方程組的解集，不正確的說法是（ ）
A．可能是空集 B．可能是無限集 C．可能是單元集 D．可能是
【答案】A
【分析】由方程組的計(jì)算將式子轉(zhuǎn)化為，即可分類討論求解方程的根.
【詳解】由得從而得，即
若，則可取任意實(shí)數(shù)，此時(shí)解有無數(shù)個(gè)，故B正確，
若,則，故CD正確，
解集不可能是空集，所以A錯(cuò)誤，
變式1．（2024·上海黃浦·高二格致中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解關(guān)于，的方程組：．
【答案】見解析
【分析】分別討論、、時(shí)的解即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，方程組解為；
（2）當(dāng)時(shí)，，方程組無解；
（3）當(dāng)時(shí)，兩式相加得，兩式相減得，方程組解為.
變式2.（2024·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，求關(guān)于x、y的方程組的解集.
【答案】答案見解析
【解析】
由①得，將其代入②得.
當(dāng)且時(shí)，該方程有唯一解，則，
故原方程組的解集為；
當(dāng)時(shí)，該方程無解，故原方程組的解集為；
當(dāng)時(shí)，該方程有無窮多個(gè)解，且，
故原方程組的解集為
【方法技巧與總結(jié)】
1、用代入消元法解二元一次方程組的步驟
(1)變形 選取一個(gè)系數(shù)比較簡單的二元一次方程進(jìn)行變形，變形為yax＋b(或xay＋b)(a，b是常數(shù)，a≠0)的形式．
(2)代入 把yax＋b(或xay＋b)代入另一個(gè)沒有變形的方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程．
(3)求解 解消元后的一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值．
(4)回代 把求得的未知數(shù)的值代入步驟(1)中變形后的方程，求出另一個(gè)未知數(shù)．
(5)寫解集 用集合表示為{(x，y)|(…，…)}的形式．
2、用加減消元法解二元一次方程組的步驟
(1)變形 根據(jù)同一個(gè)未知數(shù)系數(shù)的絕對值的最小公倍數(shù)，將方程的兩邊都乘適當(dāng)?shù)臄?shù)，使兩個(gè)方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)．
(2)加減 兩個(gè)方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)時(shí)，將兩個(gè)方程相加；同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等時(shí)，將兩個(gè)方程相減．
(3)求解 解消元后的一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值．
(4)回代 把求得的未知數(shù)的值代入方程組中較簡單的方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值．
(5)寫解集 用集合表示為{(x，y)|(…，…)}的形式．
注意：(1)在確定消去哪個(gè)未知數(shù)時(shí)，要從整體考慮，一般選擇消去后可以使計(jì)算量相對較小的未知數(shù)．
(2)消去的未知數(shù)一定是同一未知數(shù)，否則就達(dá)不到消元的目的．　　
(3)當(dāng)兩個(gè)方程中，同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時(shí)，用加減消元法較簡單．
(4)當(dāng)兩個(gè)方程通過變形用含有一個(gè)未知數(shù)的式子來表示另一個(gè)未知數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，往往選用加減消元法．
【題型2：求三元一次方程組的解集】
例3．（2024·全國·高一專題練習(xí)）方程組的解集的是（ ）
A．{(1，－2，3)} B．{(1，0，1)} C．{(0，－1，0)} D．{(0，1，－2)}
【答案】A
【分析】將第一個(gè)式子分別與第二、第三個(gè)式子相加消去，可得，求解可得，再代入第一個(gè)式子，即得解
【詳解】由題意
將第一個(gè)式子分別與第二、第三個(gè)式子相加得：
代入第一個(gè)式子，可得
故方程組的解集為：{(1，－2，3)}
變式1．（2024·遼寧大連·高一大連市第二十高級中學(xué)校考階段練習(xí)）（1）求方程組的解集；
（2）求三元一次方程組的解集.
【答案】（1），（2）
【分析】（1）將第2個(gè)方程化簡變形后，利用代入法求解，
（2）給第2個(gè)方程兩邊同乘以3，再第3個(gè)方程相加，消去，得到關(guān)于的方程，再與第1個(gè)方程聯(lián)立求解即可
【詳解】（1）由，得，得，代入中得，
，得，
所以，
所以方程組的解集為
（2）給兩邊同乘以3，得，再與相加，
得，
由，得，
把代入中，解得，
所以原方程組的解集為
變式2．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知非零實(shí)數(shù)滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由方程組即可求解的關(guān)系，進(jìn)而可求解.
【詳解】由兩式子相加可得，所以，所以，
變式3．（2023春·北京海淀·高一?？奸_學(xué)考試）已知方程組，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題目中等量關(guān)系代入即可求解
【詳解】令，
解得，
所以.
故答案為：.
變式4.（2024·高一課時(shí)練習(xí)）方程組的解集為 .
【答案】
【解析】由，聯(lián)立求解得，
故方程組的解集為
故答案為：
變式5．（2024·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知是非負(fù)整數(shù)，且，則的范圍是
【答案】
【分析】由①×3﹣②得到2x+y0，結(jié)合x、y是非負(fù)整數(shù)，得到xy0，z10，進(jìn)而計(jì)算結(jié)果.
【詳解】∵
①×3﹣②得：
2x+y0，
∵x、y是非負(fù)整數(shù)，
∴xy0，z10，
∴x+5y+3z30，
故答案為：．
【方法技巧與總結(jié)】
1.解三元一次方程組的基本思路
2.消元法解三元一次方程組的兩個(gè)注意點(diǎn)
(1)在確定消去哪個(gè)未知數(shù)時(shí)，要從整體考慮，一般選擇消去后可以使計(jì)算量相對較小的未知數(shù)．
(2)消去的未知數(shù)一定是同一未知數(shù)，否則就達(dá)不到消元的目的．
注；解三元一次方程組時(shí)，先觀察三個(gè)方程中各未知數(shù)系數(shù)的特點(diǎn)及整個(gè)式子的特點(diǎn)，然后確定先要消去的未知數(shù)，再靈活選擇代入消元法或加減消元法將三元化為二元，達(dá)到消元的目的．
【題型3：求二元二次方程組的解集】
（一）“二·一”型的二元二次方程組
例4．（2024·全國·高一專題練習(xí)）方程組的解集是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解方程組，再將方程組的解用集合表示.
【詳解】由，解得，
所以方程組的解集是，
變式1．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）方程組的解集為 .
【答案】
【分析】利用代入消元法，求解方程組的解集即可．
【詳解】
由②得代入①，得，
整理得，
因?yàn)椋源朔匠虩o實(shí)數(shù)解，
故方程組的解集為．
故答案為：．
變式2。（2024·高一課時(shí)練習(xí)）求方程組的解集.
【答案】
【解析】由得，
代入得：，解得或，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以方程組的解為或，
其解集為.
變式3．（2024·山東日照·高一山東省日照實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）求方程的解集；
（2）求方程組的解集.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）原方程可化為，即可求解集；
（2）由方程組可得，即可求y值，再代入求x值，即可得解集.
【詳解】（1）由題設(shè)，，解得或，
∴原方程的解集為.
（2）由題設(shè)，，整理有，可得，
代入，可得，
∴方程組的解集為.
變式4．（2024·北京·高一校考期中）求下列方程組的解集：
(1) ；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用加減消元法求得正確結(jié)果.
（2）利用代入消元法求得正確結(jié)果.
(1)
，
①得：③，
③②得：，
代入①，
，
所以方程組的解集為.
(2)
由①得代入②，
，
，
或，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以方程組的解集為.
變式5．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）求方程組的解集.
【答案】
【分析】利用消元法即可解出方程組.
【詳解】由得，代入得：
，解得或，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以方程組的解為或，其解集為.
變式6．（2024·全國·高一專題練習(xí)）求下列方程組的解集：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）中由第一個(gè)式子可得代入第二個(gè)、第三個(gè)式子，再作差求解即可；
（2）中由第一個(gè)式子可得代入第二個(gè)式子求解即可；
（3）由第一個(gè)式子可得代入第二個(gè)式子求解即可.
【詳解】（1）由第一個(gè)式子可得
代入第二個(gè)、第三個(gè)式子可得：
，兩個(gè)式子作差可得
代入可得
故方程組的解集為
（2）由第一個(gè)式子可得
代入第二個(gè)式子可得
解得
代入，可得
故方程組的解集為
（3）由第一個(gè)式子可得
代入第二個(gè)式子可得
即
解得
代入可得
故方程組的解集為
【方法技巧與總結(jié)】
1.“二·一”型的二元二次方程組的基本思想
“二·一”型的二元二次方程組的實(shí)數(shù)解有三種情況：有一解、兩解和沒有解．把二元一次方程代入二元二次方程，消去一個(gè)未知數(shù)之后，得到一個(gè)一元二次方程．由根的判別式可知，解的情況可能是有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解或無實(shí)數(shù)解，這樣的二元二次方程組的解也就相應(yīng)地有三種情況．簡言之，有一個(gè)二元一次方程的二元二次方程組的實(shí)數(shù)解的情況，一般可通過一元二次方程的根的判別式來判斷．
2.解由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組的步驟：
（二）“二·二”型的二元二次方程組
例5．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知矩形的面積為，對角線長，則該矩形的周長為 .
【答案】34
【分析】設(shè)出矩形的長與寬，由題意列出等量關(guān)系求解即可.
【詳解】設(shè)矩形的長為，寬為.
由題意可得：，則，
所以，所以該矩形的周長為.
故答案為：34.
變式1．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）解方程組
【答案】{(－1，－6)，(6，1)，(，－)，(－，)}.
【分析】化簡可得x＋y0或x－y－50，然后分別與聯(lián)立解方程即可.
【詳解】由x2－y2－5(x＋y)0 (x＋y)(x－y)－5(x＋y)0 (x＋y)(x－y－5)0，
所以x＋y0或x－y－50，
所以原方程組可化為兩個(gè)方程組：
或
用代入法解這兩個(gè)方程組，得原方程組的解是：
或或或，
所以原方程組的解集為{(－1，－6)，(6，1)，(，－)，(－，)}.
【點(diǎn)睛】本題主要考查解方程組，重在考查計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.
變式2.（2024秋·高一課時(shí)練習(xí)）解方程組
【答案】.
【解析】①－②×3得x2＋xy－3(xy＋y2)0，
即x2－2xy－3y20 (x－3y)(x＋y)0，
所以x－3y0或x＋y0，
所以原方程組可化為兩個(gè)二元一次方程組：
或
用代入法解這兩個(gè)方程組，得原方程組的解是：
或
所以該方程組的解集為.
變式3．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿足，，則 ．
【答案】或2或
【分析】對分，兩種情況討論得解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，由題得所以或，所以或2；
當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
所以，
綜合得或2或.
故答案為：或2或
變式4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若相異兩實(shí)數(shù)x，y滿足，則之值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件求得，由此求得所求表達(dá)式的值.
【詳解】兩式作差消元得：，反代回去得：
，同理可得：，由同構(gòu)及韋達(dá)定理有：
繼而有：
.
【方法技巧與總結(jié)】
解“二·二”型方程組的基本思想
解“二·二”型方程組的基本思想仍是“轉(zhuǎn)化”，轉(zhuǎn)化的方法是“降次”“消元”．它的一般解法是：
(1)當(dāng)方程組中只有一個(gè)可分解為兩個(gè)二元一次方程的方程時(shí)，可將分解得到的兩個(gè)二元一次方程分別與原方程組中的另一個(gè)二元二次方程組成兩個(gè)“二·一”型方程組．解這兩個(gè)“二·一”型方程組，所得的解都是原方程組的解．
(2)當(dāng)方程組中兩個(gè)二元二次方程都可分解為兩個(gè)二元一次方程時(shí)，將第一個(gè)二元二次方程分解所得到的每一個(gè)二元一次方程分別與第二個(gè)二元二次方程分解所得的每一個(gè)二元一次方程組成方程組，可得到四個(gè)二元一次方程組，解這四個(gè)二元一次方程組，所得的解都是原方程組的解．
【題型4：已知解集求參數(shù)】
例6．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）若關(guān)于x，y的方程組與的解集相等，則a、b的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由解得，再把代入，求解即可.
【詳解】由題意聯(lián)立方程為：，解得，
把代入得，解得.
變式1．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于 的方程組的解集為，則 .
【答案】4
【分析】根據(jù)集合的定義解方程組即可求解.
【詳解】因?yàn)殛P(guān)于 的方程組的解集為，
所以，解得，
故答案為：4.
變式2．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于x，y的方程組的解集為，則（ ）
A．1 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】將代入方程組，可得的關(guān)系式，求解即可.
【詳解】由題意，將代入方程組得，
則，故.
.
變式3．（2024·全國·高一專題練習(xí)）若關(guān)于，的方程組的解集為，則（ ）
A．4 B．-4 C．6 D．-6
【答案】A
【分析】由題可得，即得.
【詳解】∵關(guān)于，的方程組的解集為，
∴，解得，，
∴.
.
變式4．（2023春·山東東營·高一東營市第一中學(xué)統(tǒng)考階段練習(xí)）若，則的值為 .
【答案】-1
【分析】將的值代入方程得到關(guān)于a、b的方程組,再將所得兩個(gè)方程相加即可得出答案.
【詳解】，
兩式相加可得：，
故答案為：-1
變式5．（2024·高一單元測試）若關(guān)于x、y的二元一次方程組的解集為，則實(shí)數(shù) ．
【答案】2
【分析】將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，根據(jù)根的特點(diǎn)，即可得出答案．
【詳解】解：由題意得，即，
關(guān)于，的二元一次方程組的解集為，
關(guān)于的方程的無解，
，即，
故答案為：2．
變式6．（2024·山東濰坊·高一壽光市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于，的方程組，甲因看錯(cuò)了，求得解集為，則 ，甲把錯(cuò)看成了 .
【答案】 1 8
【分析】把代入方程組即可得解.
【詳解】解：
甲看錯(cuò)，滿足方程②，代入得：
解得.
再把代入.
故答案為：1；8.
變式7.（2024·高一課時(shí)練習(xí)）方程組的解集中含有兩個(gè)元素，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】將代入得，
由題意可知，關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，
，解得.
故答案為：.
【題型5：方程組在實(shí)際問題中的應(yīng)用】
例7．（2024·全國·高一專題練習(xí)）某商店有方形、圓形兩種巧克力，小明如果購買3塊方形和5塊圓形巧克力，他帶的錢會(huì)差8元，如果購買5塊方形和3塊圓形巧克力，他帶的錢會(huì)剩下8元．若他只購買8塊方形巧克力，則他會(huì)剩下多少錢（ ）
A．8元 B．16元 C．24元 D．32元
【答案】A
【解析】設(shè)方形巧克力每塊x元，圓形巧克力每塊y元，小明帶了a元錢，根據(jù)題意得，解得8xa－32，由此得解.
【詳解】設(shè)方形巧克力每塊x元，圓形巧克力每塊y元，小明帶了a元錢，
則，
兩式相加得8x＋8y2a，∴x＋ya，
∵5x＋3ya－8，∴2x＋(3x＋3y)a－8，
∴2x＋3×aa－8，∴2xa－8，∴8xa－32，
即他只購買8塊方形巧克力，則他會(huì)剩下32元，
.
變式1．（2024·遼寧朝陽·高一建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我國古代書籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”專講盈虧問題及其解法，其中有一題為：“今有（人）共買物，（每）人出八（錢），盈（余）三（錢），人出七（錢），不足四（錢），問人數(shù)、物價(jià)各幾何”，請你回答本題中的人數(shù)是 ，物價(jià)是 （錢）．
【答案】
【分析】設(shè)人數(shù)為，物價(jià)是（錢），根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，即可得解.
【詳解】設(shè)人數(shù)為，物價(jià)是（錢），則，解得.
故答案為：；.
變式2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）某校運(yùn)動(dòng)員分組訓(xùn)練，若每組7人，余3人；若每組8人，則缺5人.設(shè)運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為x人，組數(shù)為y組，則列方程組為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，若每組7人，余3人；若每組8人，則缺5人，即可列出兩個(gè)方程，即可得答案.
【詳解】根據(jù)組數(shù)×每組7人總?cè)藬?shù)－3人，得方程；
根據(jù)組數(shù)×每組8人總?cè)藬?shù)＋5人，得方程 ，
列方程組為
【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用.找出本題中的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.
【方法技巧與總結(jié)】
1、列方程組解應(yīng)用題的一般步驟可概括為“審、找、列、解、答”五步
（1）審：通過審題，把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，分析已知量和未知量，并用字母表示其中的兩個(gè)未知數(shù)；
（2）找：找出題目中的兩個(gè)相等關(guān)系；
（3）列：根據(jù)兩個(gè)相等關(guān)系列出代數(shù)式，從而列出方程組；
（4）解：借這個(gè)方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值；
（5）答：在對求出的方程的解作出是否合理的判斷的基礎(chǔ)上，寫出答案。
2、目前高考中常見的問題有：生產(chǎn)問題、市場營銷問題、方案選擇問題、數(shù)字問題、利潤問題、配套問題、行程問題、工程問題等。
一、單選題
1．（2024高一·全國·課后作業(yè)）關(guān)于x、y的方程組的解為整數(shù)，則滿足這個(gè)條件的整數(shù)m的個(gè)數(shù)有（ ）
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．無數(shù)個(gè)
【答案】A
【分析】根據(jù)二元一次方程組的解法可得，再根據(jù)解為整數(shù)，逐個(gè)列出能整除4的數(shù)即可求解.
【詳解】解方程組
得到
因?yàn)榉匠探M的解為整數(shù)，所以m可以為0、1、3、4，
所以滿足條件的m的整數(shù)有4個(gè)，
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解法，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
2．（2024高一上·云南昆明·開學(xué)考試）若，則（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】D
【分析】消元可得二元方程組，再消元可得的值.
【詳解】由方程組，①②得，代入③得 ，
再代入①得 ，即原方程組得解為:
或，
故選: C
【點(diǎn)睛】代入消元是解方程組得基本方法，此題為基礎(chǔ)題.
3．（2024高一上·全國·單元測試）某商店有方形、圓形兩種巧克力，小明如果購買3塊方形和5塊圓形巧克力，他帶的錢會(huì)差8元，如果購買5塊方形和3塊圓形巧克力，他帶的錢會(huì)剩下8元．若他只購買8塊方形巧克力，則他會(huì)剩下多少錢（ ）
A．8元 B．16元 C．24元 D．32元
【答案】A
【解析】設(shè)方形巧克力每塊x元，圓形巧克力每塊y元，小明帶了a元錢，根據(jù)題意得，解得8xa－32，由此得解.
【詳解】設(shè)方形巧克力每塊x元，圓形巧克力每塊y元，小明帶了a元錢，
則，
兩式相加得8x＋8y2a，∴x＋ya，
∵5x＋3ya－8，∴2x＋(3x＋3y)a－8，
∴2x＋3×aa－8，∴2xa－8，∴8xa－32，
即他只購買8塊方形巧克力，則他會(huì)剩下32元，
.
4．（2024高一上·北京·階段練習(xí)）已知集合，，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由于集合分別表示拋物線、直線的點(diǎn)集，聯(lián)立兩方程，求出交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得出結(jié)論.
【詳解】聯(lián)立，解得或，
所以.
.
5．（2024高一上·北京·階段練習(xí)）方程組解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解方程組，用列舉法表示解集 .
【詳解】方程組，解得或，
所以方程組解集是.
6．（2024高一·全國·課后作業(yè)）下列各組數(shù)是二元一次方程組的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用加減消元法解二元一次方程組；
【詳解】，
②-①得：x=4，
把x=4代入①得：y=-3，
∴方程組的解為，
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查方程組的解法，屬于基礎(chǔ)題.
7．（2024·四川涼山·一模）已知，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】利用立方和與完全平方公式計(jì)算即可.
【詳解】由已知可知，
所以.
8．（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）下列關(guān)于方程的解的說法中正確的是（ ）．
A．該方程一定有唯一解 B．該方程沒有解
C．時(shí)，方程有無數(shù)解 D．時(shí)，方程有唯一解
【答案】A
【分析】分類討論的值，再分別判斷線性方程組解的情況即可.
【詳解】由題意得，，
即，
當(dāng)時(shí)，不不成立，方程組無解；
當(dāng)時(shí)，，方程組有唯一解.
.
二、多選題
9．（2024高一·全國·課后作業(yè)）對于二元一次方程組的解用集合表示正確的為
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根據(jù)解集為有序?qū)崒Γ衫昧信e法和描述法分別表示出來得到結(jié)果.
【詳解】方程組的解集為有序數(shù)對，列舉法表示為，描述法表示為或.
故選
【點(diǎn)睛】本題考查方程組解集的集合表示，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略可用列舉法和描述法表示集合，造成結(jié)論缺失.
10．（2024高一上·遼寧·階段練習(xí)）方程組的解集為，若x1+x2﹣3，則（　　）
A．k1或
B．y1+y2﹣3或y1+y2﹣1
C．y1+y21或y1+y23
D．x12+x2212或x12+x2215
【答案】AC
【分析】條件轉(zhuǎn)化為（x1，y1），（x2，y2）為直線kx﹣y+20與圓x +y +2x﹣80的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，將直線方程代入圓方程，利用韋達(dá)定理得到x1+x2﹣﹣3，解出k，進(jìn)而逐一判斷即可．
【詳解】由題可知（x1，y1），（x2，y2）為直線kx﹣y+20與圓x +y +2x﹣80的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，
由kx﹣y+20得ykx+2，代入圓方程可得（1+k ）x +（2+4k）x﹣40，
則x1+x2﹣﹣3，解得k1或，故A正確；
因?yàn)閥1+y2kx1+2+kx2+2k（x1+x2）+4﹣3k+4，所以k1或時(shí)，y1+y21或3，故B錯(cuò)誤，C正確；
又有x1x2﹣，則，則當(dāng)k1或時(shí)，x12+x2213或，故D錯(cuò)誤；
C．
三、填空題
11．（2024高一·全國·課后作業(yè)）關(guān)于 的方程組的解集為，則 .
【答案】4
【分析】根據(jù)集合的定義解方程組即可求解.
【詳解】因?yàn)殛P(guān)于 的方程組的解集為，
所以，解得，
故答案為：4.
12．（2024高一·全國·課后作業(yè)）請寫出方程的一組整數(shù)解 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)題意列出方程組求解.
【詳解】由可得，，
因?yàn)槿≌麛?shù)，所以可以取，解得，
故答案為: （答案不唯一）
13．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知兩數(shù)之和為10，積為24，則這兩數(shù)之差的絕對值為 .
【答案】2
【分析】根據(jù)題意列出方程，結(jié)合完全平方和與完全平方差公式求解.
【詳解】設(shè)這兩個(gè)數(shù)為，則有，
則有，
所以，
故答案為：2.
14．（2024高一上·北京·期中）方程組的解集是 ．
【答案】
【分析】解方程求方程組的解，進(jìn)而寫出解集.
【詳解】由，可得或，
當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即；
所以原方程的解集為.
故答案為：
15．（2024高一下·北京海淀·開學(xué)考試）已知方程組，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題目中等量關(guān)系代入即可求解
【詳解】令，
解得，
所以.
故答案為：.
四、解答題
16．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知關(guān)于x，y的方程組，甲因看錯(cuò)了a，求得解集為.
(1)求b的值；
(2)甲把a(bǔ)錯(cuò)看成了什么？
【答案】(1)3
(2)1
【分析】（1）（2）根據(jù)方程組的解，代入原方程中即可求解.
【詳解】（1）將代入方程組中②式中可得
，
（2）將代入得
故甲把a(bǔ)錯(cuò)看成了1.
17．（2024高一上·北京·階段練習(xí)）求下列關(guān)于的方程（方程組）的解集：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）化簡方程，即可求解；
（2）化簡方程，即可求解；
（3）化簡方程，求得，即可求解；
（4）根據(jù)方程組的解法，利用消元法，即可求解；
（5）聯(lián)立方程組，結(jié)合一元二次方程的解法，即可求解.
【詳解】（1）解：由方程，即，
解得或，即方程的解集為.
（2）解：由方程，即
解得或，即方程的解集為.
（3）解：由方程，即，解得，即，
所以方程的解集為.
（4）解：由不等式組，
①+②，可得，②-③，可得，
聯(lián)立方程組，解得，代入①式，可得，
所以不等式組的解集為.
（5）解：由方程組，整理得，解得或，
當(dāng)時(shí)，可得；時(shí)，可得，
所以方程組的解集為.
18．（2024高一·上海·課堂例題）設(shè)，求關(guān)于x與y的二元一次方程組的解集．
【答案】當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為
【分析】整理得到，討論和兩種情況，解得答案.
【詳解】因?yàn)榉匠探M，則，即，
當(dāng)時(shí)，等式不不成立，即方程組無解；
當(dāng)時(shí)，解得，，即方程組的解集為，
綜上所述：當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為.
19．（2024高一下·全國·課堂例題）求三元一次方程組的解集.
【答案】
【分析】給第2個(gè)方程兩邊同乘以3，再與第3個(gè)方程相加，消去，得到關(guān)于的方程，再與第1個(gè)方程聯(lián)立求解即可.
【詳解】給兩邊同乘以3，得，再與相加，
得，
由，得，
把代入中，解得，
所以原方程組的解集為.
20．（2024高一·全國·課后作業(yè)）方程組的解集可表示為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由方程組的求解可得的關(guān)系，即可求解.
【詳解】由得，
將代入得，所以，
21．（2024高一上·北京·階段練習(xí)）水果市場將120噸水果運(yùn)往各地商家，現(xiàn)有甲，乙，丙三種車型供選擇，每輛車的運(yùn)載能力和運(yùn)費(fèi)如下表所示：（假設(shè)每輛車均滿載）
車型 甲 乙 丙
汽車運(yùn)載量（噸/輛） 5 8 10
汽車運(yùn)費(fèi)（元/輛） 400 700 800
(1)若全部水果都用甲，乙兩種車型來運(yùn)送，需運(yùn)費(fèi)8200元.問分別需甲，乙兩種車型各幾輛？
(2)市場可以調(diào)用甲，乙，丙三種車型參與運(yùn)送（每種車型至少1輛），已知它們的總輛數(shù)為16，分別求出三種車型的輛數(shù).
【答案】(1)甲車型8輛，乙車型10輛
(2)甲，乙，丙三種車型分別為或
【分析】（1）分別設(shè)出需甲車型輛，乙車型輛，再根據(jù)條件得到方程組，解方程組即可得出結(jié)果；
（2）設(shè)需甲車型輛，乙車型輛，丙車型輛，根據(jù)條件得到，再利用均為整數(shù)這一條件即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)需甲車型輛，乙車型輛，
由題得，解得，
所以需甲車型8輛，乙車型10輛.
（2）設(shè)需甲車型輛，乙車型輛，丙車型輛，
由題得，，消得到，所以，
又均為正整數(shù)，得到或，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， ，
所以，甲，乙，丙三種車型分別為或.
22．（2024高一上·北京西城·期中）已知關(guān)于，的方程組其中.
(1)當(dāng)時(shí)，求該方程組的解；
(2)證明：無論為何值，該方程組總有兩組不同的解；
(3)記該方程組的兩組不同的解分別為和，判斷是否為定值.若為定值，請求出該值；若不是定值，請說明理由.
【答案】(1)和
(2)證明見解析
(3)是定值，定值為4
【分析】（1）消去求出所對應(yīng)的一元二次方程的解，從而求出方程組的解；
（2）消去，判斷所對應(yīng)的一元二次方程的解的情況，即可判斷；
（3）利用韋達(dá)定理得到，，即可求出、，從而得解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，消去得，
解得，，
因此，方程組的解為和.
（2）消去整理得，
顯然，且，
因此，該方程有兩個(gè)不同的解，該方程組也對應(yīng)有兩組不同的解.
（3）由韋達(dá)定理得，，
所以，
，
所以，
因此，是定值，且定值為4.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)2.1.3方程組的解集
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1、掌握解方程組的方法. 2、判斷方程組解集是有限集還是無限集. 3、解讀古代數(shù)學(xué)語境，能正確列出方程組. 學(xué)會(huì)消元法解方程組的思想方法。 在實(shí)際情景中分析問題，構(gòu)建方程組模型，計(jì)算結(jié)果，檢驗(yàn)結(jié)果實(shí)際性。 理解集合運(yùn)算對象，在方程組中有的放矢選擇運(yùn)算法則。 根據(jù)方程組未知數(shù)的個(gè)數(shù)和方程的個(gè)數(shù)，判斷方程組的解集為有限解還是無限解。
知識點(diǎn)01 方程組的解集
一般地，將多個(gè)方程聯(lián)立，就能得到方程組．方程組中，由每個(gè)方程的解集得到的交集稱為這個(gè)方程組的解集．
注意：（1）解方程組常用的方法：消元法．
（2）當(dāng)方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)時(shí)，方程組的解集可能有無窮多個(gè)元素，此時(shí)，如果將其中一些未知數(shù)看成常數(shù)，那么其他未知數(shù)往往能用這些未知數(shù)表示出來．
【即學(xué)即練1】判斷正誤
(1)方程組的解集為{2,1}． (　　)
(2)當(dāng)方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)時(shí)，方程組的解集可能含有無窮多個(gè)元素． (　　)
知識點(diǎn)02 二元一次方程組
方程組含有兩個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有兩個(gè)方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組．例如，
都是二元一次方程組．
【即學(xué)即練2】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）方程組的解集為（ ）
A． B． C． D．
知識點(diǎn)03 三元一次方程組
方程組含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組．例如，都是三元一次方程組．
【即學(xué)即練3】（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）方程組的解集可表示為（ ）
A． B．
C． D．
知識點(diǎn)04 二元二次方程組
二元二次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)為2，像這樣的方程叫做二元二次方程．
二元二次方程組：方程組中含有兩個(gè)未知數(shù)，含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)為2，并且一共有兩個(gè)方程，像這樣的方程組叫做二元二次方程組．
注：(1)二元二次方程組有兩種類型：一是由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成；二是由兩個(gè)二元二次方程組成，我們主要學(xué)習(xí)第一種類型．
(2)解二元二次方程組的思路是消元和降次．
【即學(xué)即練4】（2024·全國·高三專題練習(xí)）若相異兩實(shí)數(shù)x，y滿足，則之值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
難點(diǎn)：“二·二”型的二元二次方程組
例題：解方程組
【題型1：求二元一次方程組的解集】
（一）不含參二元一次方程組
例1．（2024·上海青浦·高一上海市青浦高級中學(xué)校考階段練習(xí)）方程組的解集是
變式1．（2024·上海普陀·高一?？茧A段練習(xí)）用列舉法表示方程組的解集為 ．
變式2.（2024·全國·高一課時(shí)練習(xí)）求下列方程組的解集：
（1）；（2）.
（二）含參二元一次方程組
例2.（2024·高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于x，y的方程組的解集，不正確的說法是（ ）
A．可能是空集 B．可能是無限集 C．可能是單元集 D．可能是
變式1．（2024·上海黃浦·高二格致中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解關(guān)于，的方程組：．
變式2.（2024·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，求關(guān)于x、y的方程組的解集.
【方法技巧與總結(jié)】
1、用代入消元法解二元一次方程組的步驟
(1)變形 選取一個(gè)系數(shù)比較簡單的二元一次方程進(jìn)行變形，變形為yax＋b(或xay＋b)(a，b是常數(shù)，a≠0)的形式．
(2)代入 把yax＋b(或xay＋b)代入另一個(gè)沒有變形的方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程．
(3)求解 解消元后的一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值．
(4)回代 把求得的未知數(shù)的值代入步驟(1)中變形后的方程，求出另一個(gè)未知數(shù)．
(5)寫解集 用集合表示為{(x，y)|(…，…)}的形式．
2、用加減消元法解二元一次方程組的步驟
(1)變形 根據(jù)同一個(gè)未知數(shù)系數(shù)的絕對值的最小公倍數(shù)，將方程的兩邊都乘適當(dāng)?shù)臄?shù)，使兩個(gè)方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)．
(2)加減 兩個(gè)方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)時(shí)，將兩個(gè)方程相加；同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等時(shí)，將兩個(gè)方程相減．
(3)求解 解消元后的一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值．
(4)回代 把求得的未知數(shù)的值代入方程組中較簡單的方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值．
(5)寫解集 用集合表示為{(x，y)|(…，…)}的形式．
注意：(1)在確定消去哪個(gè)未知數(shù)時(shí)，要從整體考慮，一般選擇消去后可以使計(jì)算量相對較小的未知數(shù)．
(2)消去的未知數(shù)一定是同一未知數(shù)，否則就達(dá)不到消元的目的．　　
(3)當(dāng)兩個(gè)方程中，同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時(shí)，用加減消元法較簡單．
(4)當(dāng)兩個(gè)方程通過變形用含有一個(gè)未知數(shù)的式子來表示另一個(gè)未知數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，往往選用加減消元法．
【題型2：求三元一次方程組的解集】
例3．（2024·全國·高一專題練習(xí)）方程組的解集的是（ ）
A．{(1，－2，3)} B．{(1，0，1)} C．{(0，－1，0)} D．{(0，1，－2)}
變式1．（2024·遼寧大連·高一大連市第二十高級中學(xué)校考階段練習(xí)）（1）求方程組的解集；
（2）求三元一次方程組的解集.
變式2．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知非零實(shí)數(shù)滿足，則（ ）
A． B． C． D．
變式3．（2023春·北京海淀·高一校考開學(xué)考試）已知方程組，則 ．
變式4.（2024·高一課時(shí)練習(xí)）方程組的解集為 .
變式5．（2024·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知是非負(fù)整數(shù)，且，則的范圍是
【方法技巧與總結(jié)】
1.解三元一次方程組的基本思路
2.消元法解三元一次方程組的兩個(gè)注意點(diǎn)
(1)在確定消去哪個(gè)未知數(shù)時(shí)，要從整體考慮，一般選擇消去后可以使計(jì)算量相對較小的未知數(shù)．
(2)消去的未知數(shù)一定是同一未知數(shù)，否則就達(dá)不到消元的目的．
注；解三元一次方程組時(shí)，先觀察三個(gè)方程中各未知數(shù)系數(shù)的特點(diǎn)及整個(gè)式子的特點(diǎn)，然后確定先要消去的未知數(shù)，再靈活選擇代入消元法或加減消元法將三元化為二元，達(dá)到消元的目的．
【題型3：求二元二次方程組的解集】
（一）“二·一”型的二元二次方程組
例4．（2024·全國·高一專題練習(xí)）方程組的解集是（ ）.
A． B． C． D．
變式1．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）方程組的解集為 .
變式2。（2024·高一課時(shí)練習(xí)）求方程組的解集.
變式3．（2024·山東日照·高一山東省日照實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）求方程的解集；
（2）求方程組的解集.
變式4．（2024·北京·高一校考期中）求下列方程組的解集：
(1) ；
(2)．
變式5．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）求方程組的解集.
變式6．（2024·全國·高一專題練習(xí)）求下列方程組的解集：
（1）；
（2）；
（3）.
【方法技巧與總結(jié)】
1.“二·一”型的二元二次方程組的基本思想
“二·一”型的二元二次方程組的實(shí)數(shù)解有三種情況：有一解、兩解和沒有解．把二元一次方程代入二元二次方程，消去一個(gè)未知數(shù)之后，得到一個(gè)一元二次方程．由根的判別式可知，解的情況可能是有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解或無實(shí)數(shù)解，這樣的二元二次方程組的解也就相應(yīng)地有三種情況．簡言之，有一個(gè)二元一次方程的二元二次方程組的實(shí)數(shù)解的情況，一般可通過一元二次方程的根的判別式來判斷．
2.解由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組的步驟：
（二）“二·二”型的二元二次方程組
例5．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知矩形的面積為，對角線長，則該矩形的周長為 .
變式1．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）解方程組
變式2.（2024秋·高一課時(shí)練習(xí)）解方程組
變式3．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿足，，則 ．
變式4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若相異兩實(shí)數(shù)x，y滿足，則之值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【方法技巧與總結(jié)】
解“二·二”型方程組的基本思想
解“二·二”型方程組的基本思想仍是“轉(zhuǎn)化”，轉(zhuǎn)化的方法是“降次”“消元”．它的一般解法是：
(1)當(dāng)方程組中只有一個(gè)可分解為兩個(gè)二元一次方程的方程時(shí)，可將分解得到的兩個(gè)二元一次方程分別與原方程組中的另一個(gè)二元二次方程組成兩個(gè)“二·一”型方程組．解這兩個(gè)“二·一”型方程組，所得的解都是原方程組的解．
(2)當(dāng)方程組中兩個(gè)二元二次方程都可分解為兩個(gè)二元一次方程時(shí)，將第一個(gè)二元二次方程分解所得到的每一個(gè)二元一次方程分別與第二個(gè)二元二次方程分解所得的每一個(gè)二元一次方程組成方程組，可得到四個(gè)二元一次方程組，解這四個(gè)二元一次方程組，所得的解都是原方程組的解．
【題型4：已知解集求參數(shù)】
例6．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）若關(guān)于x，y的方程組與的解集相等，則a、b的值為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于 的方程組的解集為，則 .
變式2．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于x，y的方程組的解集為，則（ ）
A．1 B．5 C．6 D．7
變式3．（2024·全國·高一專題練習(xí)）若關(guān)于，的方程組的解集為，則（ ）
A．4 B．-4 C．6 D．-6
變式4．（2023春·山東東營·高一東營市第一中學(xué)統(tǒng)考階段練習(xí)）若，則的值為 .
變式5．（2024·高一單元測試）若關(guān)于x、y的二元一次方程組的解集為，則實(shí)數(shù) ．
變式6．（2024·山東濰坊·高一壽光市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于，的方程組，甲因看錯(cuò)了，求得解集為，則 ，甲把錯(cuò)看成了 .
變式7.（2024·高一課時(shí)練習(xí)）方程組的解集中含有兩個(gè)元素，則的取值范圍是 .
【題型5：方程組在實(shí)際問題中的應(yīng)用】
例7．（2024·全國·高一專題練習(xí)）某商店有方形、圓形兩種巧克力，小明如果購買3塊方形和5塊圓形巧克力，他帶的錢會(huì)差8元，如果購買5塊方形和3塊圓形巧克力，他帶的錢會(huì)剩下8元．若他只購買8塊方形巧克力，則他會(huì)剩下多少錢（ ）
A．8元 B．16元 C．24元 D．32元
變式1．（2024·遼寧朝陽·高一建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）我國古代書籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”專講盈虧問題及其解法，其中有一題為：“今有（人）共買物，（每）人出八（錢），盈（余）三（錢），人出七（錢），不足四（錢），問人數(shù)、物價(jià)各幾何”，請你回答本題中的人數(shù)是 ，物價(jià)是 （錢）．
變式2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）某校運(yùn)動(dòng)員分組訓(xùn)練，若每組7人，余3人；若每組8人，則缺5人.設(shè)運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為x人，組數(shù)為y組，則列方程組為（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧與總結(jié)】
1、列方程組解應(yīng)用題的一般步驟可概括為“審、找、列、解、答”五步
（1）審：通過審題，把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，分析已知量和未知量，并用字母表示其中的兩個(gè)未知數(shù)；
（2）找：找出題目中的兩個(gè)相等關(guān)系；
（3）列：根據(jù)兩個(gè)相等關(guān)系列出代數(shù)式，從而列出方程組；
（4）解：借這個(gè)方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值；
（5）答：在對求出的方程的解作出是否合理的判斷的基礎(chǔ)上，寫出答案。
2、目前高考中常見的問題有：生產(chǎn)問題、市場營銷問題、方案選擇問題、數(shù)字問題、利潤問題、配套問題、行程問題、工程問題等。
一、單選題
1．（2024高一·全國·課后作業(yè)）關(guān)于x、y的方程組的解為整數(shù)，則滿足這個(gè)條件的整數(shù)m的個(gè)數(shù)有（ ）
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．無數(shù)個(gè)
2．（2024高一上·云南昆明·開學(xué)考試）若，則（ ）
A．2 B． C． D．3
3．（2024高一上·全國·單元測試）某商店有方形、圓形兩種巧克力，小明如果購買3塊方形和5塊圓形巧克力，他帶的錢會(huì)差8元，如果購買5塊方形和3塊圓形巧克力，他帶的錢會(huì)剩下8元．若他只購買8塊方形巧克力，則他會(huì)剩下多少錢（ ）
A．8元 B．16元 C．24元 D．32元
4．（2024高一上·北京·階段練習(xí)）已知集合，，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·北京·階段練習(xí)）方程組解集是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高一·全國·課后作業(yè)）下列各組數(shù)是二元一次方程組的解的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·四川涼山·一模）已知，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）下列關(guān)于方程的解的說法中正確的是（ ）．
A．該方程一定有唯一解 B．該方程沒有解
C．時(shí)，方程有無數(shù)解 D．時(shí)，方程有唯一解
二、多選題
9．（2024高一·全國·課后作業(yè)）對于二元一次方程組的解用集合表示正確的為
A． B． C． D．
10．（2024高一上·遼寧·階段練習(xí)）方程組的解集為，若x1+x2﹣3，則（　?。?br/>A．k1或
B．y1+y2﹣3或y1+y2﹣1
C．y1+y21或y1+y23
D．x12+x2212或x12+x2215
三、填空題
11．（2024高一·全國·課后作業(yè)）關(guān)于 的方程組的解集為，則 .
12．（2024高一·全國·課后作業(yè)）請寫出方程的一組整數(shù)解 .
13．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知兩數(shù)之和為10，積為24，則這兩數(shù)之差的絕對值為 .
14．（2024高一上·北京·期中）方程組的解集是 ．
15．（2024高一下·北京海淀·開學(xué)考試）已知方程組，則 ．
四、解答題
16．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知關(guān)于x，y的方程組，甲因看錯(cuò)了a，求得解集為.
(1)求b的值；
(2)甲把a(bǔ)錯(cuò)看成了什么？
17．（2024高一上·北京·階段練習(xí)）求下列關(guān)于的方程（方程組）的解集：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
18．（2024高一·上海·課堂例題）設(shè)，求關(guān)于x與y的二元一次方程組的解集．
19．（2024高一下·全國·課堂例題）求三元一次方程組的解集.
20．（2024高一·全國·課后作業(yè)）方程組的解集可表示為（ ）
A． B．
C． D．
21．（2024高一上·北京·階段練習(xí)）水果市場將120噸水果運(yùn)往各地商家，現(xiàn)有甲，乙，丙三種車型供選擇，每輛車的運(yùn)載能力和運(yùn)費(fèi)如下表所示：（假設(shè)每輛車均滿載）
車型 甲 乙 丙
汽車運(yùn)載量（噸/輛） 5 8 10
汽車運(yùn)費(fèi)（元/輛） 400 700 800
(1)若全部水果都用甲，乙兩種車型來運(yùn)送，需運(yùn)費(fèi)8200元.問分別需甲，乙兩種車型各幾輛？
(2)市場可以調(diào)用甲，乙，丙三種車型參與運(yùn)送（每種車型至少1輛），已知它們的總輛數(shù)為16，分別求出三種車型的輛數(shù).
22．（2024高一上·北京西城·期中）已知關(guān)于，的方程組其中.
(1)當(dāng)時(shí)，求該方程組的解；
(2)證明：無論為何值，該方程組總有兩組不同的解；
(3)記該方程組的兩組不同的解分別為和，判斷是否為定值.若為定值，請求出該值；若不是定值，請說明理由.
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