資源簡介

2.2.1 不等式及其性質
課程標準 學習目標
1、掌握不等式5個性質與5個推論. 2、掌握用配方法、作差法、綜合法、反證法、分析法證明不等式. 3、熟練靈活運用不等式性質、推論、思想方法證明不等式. 掌握配方法、作差法、綜合法、反證法、分析法等熟悉思想方法. 反證法是一種間接證明的方法，如推論5中用到的方法. 靈活選用不等式5個性質與5個推論。
知識點01不等式的定義
我們用數學符號“≠”“>”“<”“≥”“≤”連接兩個數或代數式，以表示它們之間的不等關系，含有這些不等號的式子，稱為不等式．
【即學即練1】（2024·全國·高三專題練習）已知a克糖水中含有b克糖（a>b>0），再添加m克糖（m>0）（假設全部溶解），糖水變甜了.請將這一事實表示為一個不等式，并證明這個不等式不成立.
【答案】，證明見解析
【分析】將不等關系表示為不等式，進而由作差法證明即可.
【詳解】解： .
證明: ，
，，.
知識點02實數大小比較
符號表示
a－b>0 a>b，
a－b0 ab，
a－b<0 a【即學即練2】（2024·全國·高一專題練習）設，則的大小關系為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，，.又，故．
綜上可得：．故選：.
知識點03不等式的性質
性質1(可加性)　如果a>b，那么a＋c>b＋c.
性質2(可乘性)　如果a>b，c>0，那么ac>bc.
性質3(可乘性)　如果a>b，c<0，那么ac性質4(傳遞性)　如果a>b，b>c，那么a>c.
注：如果性質4中的不等式帶有等號，那么結論是否仍然不成立？
(1)如果性質4中的兩個不等式只有一個帶有等號，那么等號是傳遞不過去的．例如：如果a≥b且b>c，那么a>c；如果a>b且b≥c，那么a>c.
(2)如果兩個不等式都帶有等號，那么有若a≥b且b≥c，則a≥c，其中ac時必有ab且bc.
推論1(移項法則)　如果a＋b>c，那么a>c－b.
不等式中的任意一項都可以把它的符號變成相反的符號后，從不等式的一邊移到另一邊．
推論2(同向可加性)　如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
我們把a>b和c>d(或a推論3(同向同正可乘性)　如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
推論4(可乘方性)　如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1).
推論5(可開方性)　如果a>b>0，那么>.
注：(1)推論2可以推廣為更一般的結論：有限個同向不等式的兩邊分別相加，所得到的不等式與原不等式同向．推論2是同向不等式相加法則的依據．
(2)同向不等式可以相加但不能相減，即由a>b，c>d，可以得到a＋c>b＋d，但不能得到a－c>b－d.需要特別注意的是，由a>b，cb＋d，但可以得到a－c>b－d.這是因為若c－d，又a>b，所以a－c>b－d.
【即學即練3】（2024·全國·高一專題練習）如果那么下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，不等式兩邊同時減去得，D正確，
若，則AB錯誤，若，C錯誤．．
【即學即練4】（2024·全國·高一專題練習）設，，求，，的范圍.
【答案】，，
【解析】∵，，
∴，，，，
∴，，
∴.
故，，．
知識點04綜合法、分析法與反證法
（1）綜合法
從已知條件出發，綜合利用各種結果，經過逐步推導最后得到結論的方法，在數學中通常稱為綜合法．
（2）分析法
從待證結論出發，一步一步地尋求結論不成立的充分條件，最后得到題設的已知條件或已被證明的事實，這種證明問題的方法通常稱為分析法．
（3）反證法
首先假設結論的否定不成立，然后由此進行推理得到矛盾，最后得出假設不不成立．這種得到數學結論的方法通常稱為反證法．
注：綜合法與分析法都是直接證明的方法，反證法是一種間接證明的方法．
(1)綜合法中，最重要的推理形式為p q，其中p是已知或者已經得出的結論，所以綜合法的實質就是不斷尋找必然不成立的結論．
(2)分析法中，最重要的推理形式是“要證p，只需證明q”，這可以表示為p q，其中p是需要證明的結論，所以分析法的實質就是不斷尋找結論不成立的充分條件．
【即學即練5】（2024·全國·高一專題練習）已知，求證：．
【答案】見解析
【解析】．
，，，，，，．
，同理得，，．
又，．
難點：用反證法證明命題
示例：用反證法證明命題“一個三角形中不能有兩個直角”的過程可以歸納為以下三個步驟，
①∠A＋∠B＋∠C90°＋90°＋∠C>180°，這與三角形內角和為180°相矛盾，所以∠A∠B90°不不成立．
②所以一個三角形中不能有兩個直角．
③假設∠A，∠B，∠C中有兩個角是直角，不妨設∠A∠B90°.
其正確順序為________．
【解析】用反證法證明命題的步驟是：先假設命題不不成立，然后通過推理得出矛盾，最后否定假設，從而得到正確的命題．故填③①②.
【題型1：比較大小】
（一）作差法
例1．（2024·青海西寧·高二統考期末）已知，，則a，b的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．無法確定
【答案】A
【分析】利用作差法并結合不等式的性質，可得答案.
【詳解】因為
所以，所以，即.
.
變式1．（2024·湖北武漢·高一華中師大一附中期中）已知a為實數，，，則M，N的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】用作差法結合配方法比較大小．
【詳解】，所以．
．
變式2.（2024·高一?？颊n時練習）已知，試比較與的值的大?。?br/>【答案】時，；時，．
【解析】，可得，
當時，，，則，即；
當時，，則，即．
綜上可得時，；時，．
變式3．（2024·高一校考課時練習）比較與的大小，其中.
【答案】
【分析】兩式作差，因式分解變形，根據已知確定差的符號，即可判斷兩式大小.
【詳解】
因為，所以，
所以，
即.
變式4．（2024·全國·高一假期作業）比較大?。?br/>(1)和；
(2)和，其中．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用做差法比較大小即可；
（2）利用做差法比較大小即可．
【詳解】（1）因為，所以；
（2）因為，所以
，
所以.
變式5．（2024·全國·高三專題練習）已知a>0，b>0，M，N，則M與N的大小關系為（　　）
A．M>N B．M【答案】C
【分析】平方后作差比較大小即可.
【詳解】，
∴M.
（二）作商法
例2．（2024·全國·高一假期作業）已知c＞1，且x－，y－，則x，y之間的大小關系是（ ）
A．x＞y B．xy
C．x＜y D．x，y的關系隨c而定
【答案】D
【分析】應用作商法比較的大小關系即可.
【詳解】由題設，易知x，y＞0，又，
∴x＜y.
.
變式1．（2024·全國·高三專題練習）設，比較與的大小
【答案】
【分析】先判斷兩個式子的符號，然后利用作商法與1進行比較即可.
【詳解】，
，
，
.
變式2.（2024·全國·高三專題練習）已知，，試比較與的大?。?br/>【答案】（當且僅當時取等號）
【解析】由
，當且僅當時等號不成立，
所以（當且僅當時取等號）.
變式3．（2024·江蘇·高一假期作業）已知，試比較和的大小.
【答案】
【分析】方法1：采用作商比較法，結合分母有理化即可求解；方法2：先計算，從而可得，進而可求解.
【詳解】（方法1）因為，所以.
所以.
因為，所以，即；
（方法2）所以，
又，
所以 , 所以.
【方法技巧與總結】
1、比較兩數大小
比較兩實數a，b的大小，只需確定它們的差a－b與0的大小關系，與差的具體數值無關．因此，比較兩實數a，b的大小，其關鍵在于經過適當變形，能夠確認差a－b的符號，變形的常用方法有配方、分解因式等．
2、用作差法比較兩個實數大小的四步曲
注意：上述步驟可概括為“三步一結論”，這里的“判斷符號”是目的，“變形”是關鍵．
【題型2：不等式的性質應用】
例3.（2024·高一?？颊n時練習）已知，則下列不等關系中一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析：因為，所以，故A正確；
對于B：當時，故B錯誤；
對于C：當，，顯然滿足，但是，故C錯誤；
對于D：當，，顯然滿足，但是，故D錯誤；
變式1．【多選】（2024·貴州貴陽·高二統考期末）下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】AD
【分析】舉反例排除BC，利用不等式的性質判斷AD，從而得解.
【詳解】對于A選項，由不等式的同向可加性可知，該不等式不成立，所以A正確；
對于B選項，例如：，，但是，所以B錯誤；
對于C選項，當時，，所以C錯誤；
對于D選項，因為，所以，又，所以，所以D正確.
D．
變式2．（2024·遼寧·高二校聯考期末）已知，則下列不等式一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據不等式的性質判斷C、D，利用特殊值判斷A、B.
【詳解】因為，所以，故D正確；
對于A：若，，滿足，此時，故A錯誤；
對于B：若，，滿足，此時，故B錯誤；
對于C：因為，所以，故C錯誤；
變式3．（2024·高一校考課時練習）對于實數a，b，c，有下列說法①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確的是 (填序號)
【答案】②③④
【分析】利用不等式的性質可逐一判定.
【詳解】當時，可以判定①錯誤；
因為，所以故不等式兩邊可同時除以，不變號，故②正確；
因為，所以對于不等式兩邊同時乘以，不等式變號，故，不等式兩邊同時乘以，不等式變號，故，所以不成立，故③正確；
因為，，所以，故，故④正確.
故答案為：②③④.
變式4．【多選】（2024·山東濱州·高二統考期末）已知實數，則下列命題中正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】CC
【分析】根絕不等式的基本性質逐一進行判斷，要注意不等式性質不成立的條件.
【詳解】對于選項A，當時，若，則，錯誤；
對于選項B，若，故，則，正確；
對于選項C，若則，
所以，正確；
對于選項D,，
當時，，但是的符號與的符號不確定，
所以與大小關系不確定，錯誤.
C.
變式5．【多選】（2024·河北保定·高二校聯考期末）下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】ACD
【分析】根據不等式的基本性質，結合作差比較法，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A中，由，可得，所以，所以A正確；
對于B中，若，，
則，
所以，所以B不正確；
對于C中，若，則，
所以C正確；
對于D中，若，則，
所以D正確．
CD.
變式6．（2024·云南玉溪·高一統考期末）下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】D
【分析】根據不等式的性質，結合舉反例的方法，可得答案.
【詳解】對于A，若，則，故A錯誤；
對于B，若，，則，故B錯誤；
對于C，若，，可得，故C正確；
對于D，若，，，則，故D錯誤.
．
變式7．【多選】（2024·廣西玉林·高二統考期末）下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，，則 D．若，則
【答案】CC
【分析】根據不等式的性質，結合作差法即可結合選項逐一求解.
【詳解】對于A,由,若時，不一定，故A錯誤，
對于B，若，所以故，所以，故B正確，
對于C,由得，又，所以，故C正確，
對于D，由于，無法確定的正負，所以的正負無法確定，故與的大小無法確定，故D錯誤，
C
變式8．【多選】（2024·福建三明·高二統考期末）已知，，則下列四個不等式中，一定不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根據不等式的性質,結合作差法逐個判斷各個選項即可．
【詳解】對于A，，，，，
，即，故A正確；
對于B，，，，故B正確；
對于C，取，，，則，故C錯誤；
對于D，，，，
，即，故D正確．
BD．
變式9．【多選】（2024·山東東營·高一利津縣高級中學?？茧A段練習）已知實數a，b，c，若，則下列不等式不不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】舉特例即可否定選項A，B，D，利用不等式的性質判斷C，從而得解.
【詳解】當，時，滿足，但，故A錯誤；
當，時，滿足，但，故B錯誤；
因，，由不等式性質得，故C正確；
當時，不不成立，故D錯誤.
BD.
變式10．【多選】（2024·福建廈門·高一廈門市海滄中學?？计谥校┫铝姓f法中正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
【答案】AB
【分析】根據不等式性質及特值法即可作出判斷
【詳解】對于，因為，，所以，故正確；
對于，因為，所以，
又，所以，故B正確；
對于C，因為，所以，
又，所以，故C錯誤；
對于D，當時，滿足，
但，此時，故D錯誤，
B
變式11．【多選】（2024·江西九江·高二統考期末）已知，則下列不等式一定不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根據不等式性質判斷各個選項即可.
【詳解】因為，所以正確；
由不等式的倒數法則可知，兩邊同乘以，得，C錯誤；
由，得，D正確，
BD.
變式12.（2024·廣西）已知，則下列大小關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】為正數，為負數，所以，，
，
所以.
【方法技巧與總結】
不等式性質的應用
(1)首先要注意不等式不成立的條件，不要弱化條件，尤其是不憑想當然隨意捏造性質．
(2)解決有關不等式選擇題時，也可采用特值法進行排除，注意取值一定要遵循以下原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便于驗證計算．　
【題型3：利用不等式性質求范圍】
例4．（2024·陜西咸陽·高二武功縣普集高級中學校考階段練習）已知,則的取值范圍是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用不等式的基本性質即可求得答案
【詳解】因為,所以,
由,得,
變式1．（2024·寧夏中衛·高二中寧一中?？茧A段練習）已知實數x﹐y滿足，，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】設，解得，根據不等式性質求出.
【詳解】設，
則，解得，
因為，，
所以，
所以，即.
變式2．（2024·上海黃浦·高一上海市光明中學?？计谥校┮阎?，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由不等式的基本性質求解即可
【詳解】解：，，
則，，
故由不等式的可加性可知，，
故的取值范圍是．
故答案為：．
變式3.【多選】（2024·湖南長沙）已知，，則下列正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】因為，，
所以，，
則，，，
即，，，則；
故AB正確，CD錯.
變式4．（2024·河北保定·高二校聯考期末）已知，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設，由待定系數法確定其系數，然后代入計算，即可得到結果.
【詳解】設，則，所以，因為，
所以．因為，所以，
故．
變式5．（2024·全國·高三專題練習）已知，，分別求，，，的取值范圍．
【答案】詳見解析.
【分析】根據不等式的基本性質和反比例函數特點即可求解.
【詳解】因為，，
所以，
即的取值范圍是．
由，，
得，
所以的取值范圍是．
由，，
得，
所以的取值范圍是．
易知，
而
則，
所以的取值范圍是．
變式6．【多選】（2024·四川成都·高一石室中學校考階段練習）若實數a，b滿足，則下列說法正確的有（ ）
A．的取值范圍為 B．的取值范圍是
C．的取值范圍是 D．的取值范圍是
【答案】ABC
【分析】利用不等式的性質判斷AB；求得，然后利用不等式的性質判斷CD；
【詳解】由，兩式相加得，即，故A正確；
由，得，又，兩式相加得，即，故B正確；
設，
所以，解得，則，
因為，所以，
又因為，所以，
所以，即，故C正確，D錯誤.
BC.
變式7.（2024·全國·高三專題練習），，則的最小值是___________.
【答案】
【解析】設，
則，解得，
所以，，
因此，的最小值是.
【方法技巧與總結】
利用不等式性質求范圍的一般思路
(1)借助性質，轉化為同向不等式相加進行解答；
(2)借助所給條件整體使用，切不可隨意拆分所給條件；
(3)結合不等式的傳遞性進行求解．　
【題型4：證明不等式】
例5．（2024·全國·高一假期作業）用綜合法證明:如果，那么
【答案】證明見解析
【分析】根據綜合法的要求執因索果，逐步推導證明即可.
【詳解】證明:
，即
顯然
，即.
（2024·全國·高一假期作業）已知，證明：.
【答案】證明見解析.
【解析】∵，
，
， ，
.
變式1．（2024·湖南長沙·高一?？茧A段練習）若，，，求證：.
【答案】證明見解析.
【分析】因為，所以，又，先得出，再得出，由不等式的同號可乘性即可證明.
【詳解】證明：因為，所以，
又因為，
所以由同向不等式的相加性可將以上兩式相加得，
所以，
所以，
因為，，
所以由同向不等式的相加性可將以上兩式相加得.
又，所以，
所以
由不等式的同號可乘性可得.
變式2．（2024·江蘇連云港·高一贛榆一中校考階段練習）（1）已知，，．求證：；
（2）已知，，求證：．
【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析
【分析】（1）利用不等式的性質證明即可；
（2）利用作差法證明即可．
【詳解】（1）因為，所以
又因為，所以
所以
又因為，所以．
（2）
因為，，所以，
因此，從而，即．
變式3．（2024·內蒙古呼和浩特·高一統考期中）證明不等式．
(1)，bd＞0，求證：；
(2)已知a＞b＞c＞0，求證：．
【答案】(1)見詳解
(2)見詳解
【分析】（1）作差后，根據條件結合不等式的性質證明；
（2）先用作差法證明，然后根據不等式的性質證明即可得到.
【詳解】（1）證明：，
因為，，所以，，
又bd＞0，所以，，
即.
（2）證明：因為a＞b＞c＞0，
所以有，，，，
則，，
即有，不成立；
因為，，所以，，
又，所以，不成立.
所以，有.
變式4．（2024·全國·高一假期作業）（1）已知，且，證明：．
（2）證明：．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析
【分析】(1)利用不等式的性質證明即可；
(2)等價于證明++，對不等式兩邊同時平方后只需證明，再平方即可證明.
【詳解】證明：（1）由，且，
所以，且
所以，所以，
即；所以，即．
（2）要證，
只需證，
即證；
即證，
即證；即證，顯然不成立；
所以．
變式5．（2024·全國·高一假期作業）證明下列不等式：
(1)已知，求證
(2)已知，求證：．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）（2）利用不等式的基本性質即可證明．
【詳解】（1）證明：，，
，，
又因為，即，
所以.
（2）證明：，，；
又，，；
.
【方法技巧與總結】
1、證明不等式的解題策略
(1)簡單不等式的證明可直接由已知條件并利用不等式的性質，通過對不等式變形得證．
(2)對于不等號兩邊都比較復雜的式子，直接利用不等式的性質不易得證，可考慮將不等式的兩邊作差，然后進行變形，根據條件確定每一個因式(式子)的符號，利用符號法則判斷最終的符號，完成證明．
2、不等式的證明方法
(1)作差法：通過比較兩式之差的符號來判斷兩式的大??；
(2)綜合法：從已知條件出發，綜合利用各種結果，經過逐步推導最后得到結論的方法
(3)反證法：首先假設結論的否定不成立，然后由此進行推理得到矛盾，最后得出假設不不成立；
(4)分析法：從要證的結論出發，逐步尋找使它不成立的充分條件，直至所需的條件為已知條件或一個明顯不成立的事實，從而得出要證的命題不成立。
一、單選題
1．（2024高二下·福建龍巖·階段練習）若，且，則下列各式中，恒不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用不等式性質推理判斷即得.
【詳解】由，得，而，則，C錯誤，D正確；
取，滿足，且，而選項AB中不等式無意義，AB錯誤.
2．（2024高一上·北京·期末）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】由條件結合充分條件和必要條件的定義判斷.
【詳解】由，可得：
若，則，當時，，故不能推出；
若，則當時，，可得，也不能推出．
綜上所述，“”是“”的既不充分也不必要條件．
．
3．（2024·河南駐馬店·二模）已知，則下列說法一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用賦值法來舉反例比較大小，利用作差法來比較大小，利用不等式的性質來比較大小.
【詳解】當時，，且，故，C項錯誤；
因為，，所以，故B項錯誤；
，故D項正確.
.
4．（25-26高一上·全國·課后作業）已知，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據不等式的性質計算可得.
【詳解】由題意可知，,
所以.
.
5．（2024高一上·山東·專題練習）已知 ，則下列結論錯誤的是（ ）
A．的取值范圍為 B．的取值范圍為
C．的取值范圍為 D．取值范圍為
【答案】C
【分析】根據不等式的性質依次討論各選項即可得答案.
【詳解】因為，，
所以，，，
所以的取值范圍為，的取值范圍為，故A正確，B錯誤；
因為，，
所以，，，
所以的取值范圍為，的取值范圍為，故C正確，D正確.
6．（2024高二下·安徽·學業考試）若，，則下列不等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取特殊值作反例，可判斷A、B、C項；根據不等式的性質可判斷D項.
【詳解】對于A，取，，則，，顯然，但是，A項錯誤；
對于B，取，，，滿足，，
，，但，B項錯誤；
對于C，取，，但，故C項錯誤；
對于D，若，，則，故D正確.
.
7．（2024高一下·安徽蕪湖·開學考試）已知實數m，n，p滿足，且，則下列說法正確的是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意,將所給等式變形,得到,推導出,然后利用作差法比較大小,結合二次函數的性質證出,從而得出正確結論.
【詳解】因為,
移項得,
所以,
可得,
由,得,
可得,
可得.
綜上所述,不等式不成立,
故選:B.
二、多選題
8．（2024高一上·江蘇常州·期中）在下列四個命題中，正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．已知，則
D．為互不相等的正數，且，則
【答案】ACD
【分析】利用不等式的性質，逐個進行判斷即可.
【詳解】對于A，由，知，由不等式的性質可得，，因此A正確；
對于B，令，則，，
顯然，因此B錯誤；
對于C，由，又，，
則，即，因此C正確；
對于D，由為互不相等的正數，則，又，，
即，，即，，
又，
，即，因此D正確；
CD.
9．（2024高一下·廣西南寧·期末）已知實數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】利用不等式的性質進行分析即可.
【詳解】由，知必有，所以兩邊同乘以a，得，故A正確；
因為b的符號不能確定，所以不一定正確，故B錯誤；
由兩邊同乘以c，得，故C正確；
當，時，滿足且，但，故D錯誤．
C．
10．（25-26高一上·全國·單元測試）下列命題敘述正確的是（ ）
A．，當時，
B．，當時，
C．，當時，
D．，當時，
【答案】DD
【分析】對于ABD選項，取特殊值進行判斷；對于C選項，利用作差法比較大小.
【詳解】對于A，取，滿足，且，
此時，，故A錯誤；
對于B，取，滿足，
此時，則，故B錯誤；
對于C，因為，當時，，
所以，則，故C正確；
對于D，存在，，滿足，故D正確.
D.
三、填空題
11．（24-25高一上·上海·隨堂練習）某種服裝，平均每天可以銷售20件，每件獲利44元，在每件降價幅度不超過10元的情況下，若每件降價1元，每天可多賣出5件，如果每天獲利1800元，每件應降價 元．
【答案】4
【分析】設每件應降價元，然后求出每件獲得利潤和平均每天可以銷售件數可得答案.
【詳解】設每件應降價元，則每件獲利元，
平均每天可以銷售件，所以
，解得．
故答案為：4.
12．（24-25高一上·上?！るS堂練習）若，，則下列不等式中不成立的是 （填上正確的序號）．
①；②；③；④．
【答案】③
【分析】先給出，，作為①，②，④的反例，然后根據不等式的性質即可證明③正確.
【詳解】當，，時，有，但，，，故①，②，④錯誤；
由于，，故，故③正確.
故答案為：③.
13．（2024高三·全國·專題練習）已知，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】由不等式的性質可得，取絕對值即可求解.
【詳解】，
，則，
將不等式的兩邊同時乘以，可得，
，
故答案為：.
14．（2024高二下·湖南張家界·期末）記為，，中最小的數.已知，且，則的最大值為 .
【答案】
【分析】假設最小值為t然后得到2t≤2y-2x，t≤z-y，t≤1-z，三式相加，得出t≤，最后判斷即可.
【詳解】設t=min{y-x,z-y,1-z},
則t≤y-x, 即2t≤2y-2x，t≤z-y，t≤1-z,
三式累加可得：4t≤1+(y-2x) ≤1,所以t≤.
取顯然滿足且,此時t=
所以
故答案為：
四、解答題
15．（2024高一·上海·課堂例題）已知實數a、b、c滿足，且.求證：且.
【答案】證明見解析
【分析】根據不等式的性質求證即可.
【詳解】由于實數a、b、c滿足，且，
所以，即，
，即，
綜上，且
16．（2024高一·全國·課后作業）若，求證：．
【答案】證明見解析
【分析】作商法證明不等式.
【詳解】證明：∵a>b>0，
∴，且．
∴作商得：．
∴．
17．（2024高一·上?！ふn堂例題）已知，求證：.
【答案】證明見解析
【分析】結合立方和公式及，利用作差法即可證明.
【詳解】，
因為，所以，又，所以，
所以.
18．（2024高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，證明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用基本不等式，求得，進而證得.
（2）化簡，然后利用不等式的性質以及（1）的結論證得.
【詳解】（1），
因為，，，則，當且僅當時等號不成立，
所以；
（2）
，
由（1）有，有，，有，，
有，當且僅當時等號不成立，
所以．
19．【多選】（2024·新疆烏魯木齊·三模），運算“”為，則（ ）
A． B．
C． D．若，則
【答案】ABCD
【分析】由運算“”的定義分別計算判斷A、B、C，用分析法分別從條件和結論出發證明得到D.
【詳解】對于A，，故A正確；
對于B，，故B正確；
對于C，，
，
所以，故C正確；
對于D，若，則，，
要證，只需要證，即證，
即證，即證，即證，
因為，，所以上式不成立，所以，故D正確.
BCD.
20．（2024高一上·全國·專題練習），，，，設，證明：.
【答案】證明見解析
【分析】直接將每個分式縮小，即可證明；通過可得，且類似可以得到其它三個不等式，然后相加即可證明.
【詳解】因為，故，，，.
故有
；
由于
，
故，同理還有
，
所以.
這就證明了.
21．（24-25高一上·遼寧·階段練習）根據要求完成下列問題：
(1)若、、.
①求證：；
②求證：；
③在（2）中的不等式中，能否找到一個代數式，滿足所求式？若能，請直接寫出該代數式；若不能，請說明理由.
(2)設，求證：不成立的充要條件是.
【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析；③能找到，
(2)證明見解析
【分析】（1）①根據的符號去絕對值即可證不等式不成立；②根據同向不等式相加和同向同正的不等式可相乘的性質可證明不等式不成立；③在的兩邊同時乘以得，在的兩邊同時乘以得，即可證明.
（2）證明充分性：如果，則有和兩種情況，分別證明即可；證明必要性：若且，則，化簡即可.
【詳解】（1）①∵，且、，
∴，∴；
②∵，∴，
又，∴，
∴，
∴，
∵、，
∴，由（1）知，
∴，
∴；
③∵，，
∴或（只要寫出其中一個即可）；
（2）①充分性：如果，則有和兩種情況，
當時，當時，則、，等式不成立，
當時，則、，等式不成立，
當時，等式不成立，
當時，即、或、，
當、時，、，等式不成立，
當、時，、，等式不成立，
∴當時，等式不成立，
∴當時，不成立，
②必要性：若且，則，
即，則，故，
綜上所述，是等式不成立的充要條件.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)2.2.1 不等式及其性質
課程標準 學習目標
1、掌握不等式5個性質與5個推論. 2、掌握用配方法、作差法、綜合法、反證法、分析法證明不等式. 3、熟練靈活運用不等式性質、推論、思想方法證明不等式. 掌握配方法、作差法、綜合法、反證法、分析法等熟悉思想方法. 反證法是一種間接證明的方法，如推論5中用到的方法. 靈活選用不等式5個性質與5個推論。
知識點01不等式的定義
我們用數學符號“≠”“>”“<”“≥”“≤”連接兩個數或代數式，以表示它們之間的不等關系，含有這些不等號的式子，稱為不等式．
【即學即練1】（2024·全國·高三專題練習）已知a克糖水中含有b克糖（a>b>0），再添加m克糖（m>0）（假設全部溶解），糖水變甜了.請將這一事實表示為一個不等式，并證明這個不等式不成立.
知識點02實數大小比較
符號表示
a－b>0 a>b，
a－b0 ab，
a－b<0 a【即學即練2】（2024·全國·高一專題練習）設，則的大小關系為（ ）．
A． B． C． D．
知識點03不等式的性質
性質1(可加性)　如果a>b，那么a＋c>b＋c.
性質2(可乘性)　如果a>b，c>0，那么ac>bc.
性質3(可乘性)　如果a>b，c<0，那么ac性質4(傳遞性)　如果a>b，b>c，那么a>c.
注：如果性質4中的不等式帶有等號，那么結論是否仍然不成立？
(1)如果性質4中的兩個不等式只有一個帶有等號，那么等號是傳遞不過去的．例如：如果a≥b且b>c，那么a>c；如果a>b且b≥c，那么a>c.
(2)如果兩個不等式都帶有等號，那么有若a≥b且b≥c，則a≥c，其中ac時必有ab且bc.
推論1(移項法則)　如果a＋b>c，那么a>c－b.
不等式中的任意一項都可以把它的符號變成相反的符號后，從不等式的一邊移到另一邊．
推論2(同向可加性)　如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
我們把a>b和c>d(或a推論3(同向同正可乘性)　如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
推論4(可乘方性)　如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1).
推論5(可開方性)　如果a>b>0，那么>.
注：(1)推論2可以推廣為更一般的結論：有限個同向不等式的兩邊分別相加，所得到的不等式與原不等式同向．推論2是同向不等式相加法則的依據．
(2)同向不等式可以相加但不能相減，即由a>b，c>d，可以得到a＋c>b＋d，但不能得到a－c>b－d.需要特別注意的是，由a>b，cb＋d，但可以得到a－c>b－d.這是因為若c－d，又a>b，所以a－c>b－d.
【即學即練3】（2024·全國·高一專題練習）如果那么下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
【即學即練4】（2024·全國·高一專題練習）設，，求，，的范圍.
知識點04綜合法、分析法與反證法
（1）綜合法
從已知條件出發，綜合利用各種結果，經過逐步推導最后得到結論的方法，在數學中通常稱為綜合法．
（2）分析法
從待證結論出發，一步一步地尋求結論不成立的充分條件，最后得到題設的已知條件或已被證明的事實，這種證明問題的方法通常稱為分析法．
（3）反證法
首先假設結論的否定不成立，然后由此進行推理得到矛盾，最后得出假設不不成立．這種得到數學結論的方法通常稱為反證法．
注：綜合法與分析法都是直接證明的方法，反證法是一種間接證明的方法．
(1)綜合法中，最重要的推理形式為p q，其中p是已知或者已經得出的結論，所以綜合法的實質就是不斷尋找必然不成立的結論．
(2)分析法中，最重要的推理形式是“要證p，只需證明q”，這可以表示為p q，其中p是需要證明的結論，所以分析法的實質就是不斷尋找結論不成立的充分條件．
【即學即練5】（2024·全國·高一專題練習）已知，求證：．
難點：用反證法證明命題
示例：用反證法證明命題“一個三角形中不能有兩個直角”的過程可以歸納為以下三個步驟，
①∠A＋∠B＋∠C90°＋90°＋∠C>180°，這與三角形內角和為180°相矛盾，所以∠A∠B90°不不成立．
②所以一個三角形中不能有兩個直角．
③假設∠A，∠B，∠C中有兩個角是直角，不妨設∠A∠B90°.
其正確順序為________．
【題型1：比較大小】
（一）作差法
例1．（2024·青海西寧·高二統考期末）已知，，則a，b的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．無法確定
變式1．（2024·湖北武漢·高一華中師大一附中期中）已知a為實數，，，則M，N的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
變式2.（2024·高一?？颊n時練習）已知，試比較與的值的大?。?br/>變式3．（2024·高一?？颊n時練習）比較與的大小，其中.
變式4．（2024·全國·高一假期作業）比較大?。?br/>(1)和；
(2)和，其中．
變式5．（2024·全國·高三專題練習）已知a>0，b>0，M，N，則M與N的大小關系為（　?。?br/>A．M>N B．M（二）作商法
例2．（2024·全國·高一假期作業）已知c＞1，且x－，y－，則x，y之間的大小關系是（ ）
A．x＞y B．xy
C．x＜y D．x，y的關系隨c而定
變式1．（2024·全國·高三專題練習）設，比較與的大小
變式2.（2024·全國·高三專題練習）已知，，試比較與的大??；
變式3．（2024·江蘇·高一假期作業）已知，試比較和的大小.
【方法技巧與總結】
1、比較兩數大小
比較兩實數a，b的大小，只需確定它們的差a－b與0的大小關系，與差的具體數值無關．因此，比較兩實數a，b的大小，其關鍵在于經過適當變形，能夠確認差a－b的符號，變形的常用方法有配方、分解因式等．
2、用作差法比較兩個實數大小的四步曲
注意：上述步驟可概括為“三步一結論”，這里的“判斷符號”是目的，“變形”是關鍵．
【題型2：不等式的性質應用】
例3.（2024·高一?？颊n時練習）已知，則下列不等關系中一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
變式1．【多選】（2024·貴州貴陽·高二統考期末）下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
變式2．（2024·遼寧·高二校聯考期末）已知，則下列不等式一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
變式3．（2024·高一?？颊n時練習）對于實數a，b，c，有下列說法①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確的是 (填序號)
變式4．【多選】（2024·山東濱州·高二統考期末）已知實數，則下列命題中正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
變式5．【多選】（2024·河北保定·高二校聯考期末）下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
變式6．（2024·云南玉溪·高一統考期末）下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
變式7．【多選】（2024·廣西玉林·高二統考期末）下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，，則 D．若，則
變式8．【多選】（2024·福建三明·高二統考期末）已知，，則下列四個不等式中，一定不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
變式9．【多選】（2024·山東東營·高一利津縣高級中學?？茧A段練習）已知實數a，b，c，若，則下列不等式不不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
變式10．【多選】（2024·福建廈門·高一廈門市海滄中學?？计谥校┫铝姓f法中正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
變式11．【多選】（2024·江西九江·高二統考期末）已知，則下列不等式一定不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
變式12.（2024·廣西）已知，則下列大小關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
不等式性質的應用
(1)首先要注意不等式不成立的條件，不要弱化條件，尤其是不憑想當然隨意捏造性質．
(2)解決有關不等式選擇題時，也可采用特值法進行排除，注意取值一定要遵循以下原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便于驗證計算．　
【題型3：利用不等式性質求范圍】
例4．（2024·陜西咸陽·高二武功縣普集高級中學校考階段練習）已知,則的取值范圍是（　?。?br/>A． B． C． D．
變式1．（2024·寧夏中衛·高二中寧一中校考階段練習）已知實數x﹐y滿足，，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（2024·上海黃浦·高一上海市光明中學?？计谥校┮阎?，，則的取值范圍是 ．
變式3.【多選】（2024·湖南長沙）已知，，則下列正確的是（ ）
A． B． C． D．
變式4．（2024·河北保定·高二校聯考期末）已知，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式5．（2024·全國·高三專題練習）已知，，分別求，，，的取值范圍．
變式6．【多選】（2024·四川成都·高一石室中學校考階段練習）若實數a，b滿足，則下列說法正確的有（ ）
A．的取值范圍為 B．的取值范圍是
C．的取值范圍是 D．的取值范圍是
變式7.（2024·全國·高三專題練習），，則的最小值是___________.
【方法技巧與總結】
利用不等式性質求范圍的一般思路
(1)借助性質，轉化為同向不等式相加進行解答；
(2)借助所給條件整體使用，切不可隨意拆分所給條件；
(3)結合不等式的傳遞性進行求解．　【題型4：證明不等式】
例5．（2024·全國·高一假期作業）用綜合法證明:如果，那么
（2024·全國·高一假期作業）已知，證明：.
變式1．（2024·湖南長沙·高一?？茧A段練習）若，，，求證：.
變式2．（2024·江蘇連云港·高一贛榆一中校考階段練習）（1）已知，，．求證：；
（2）已知，，求證：．
變式3．（2024·內蒙古呼和浩特·高一統考期中）證明不等式．
(1)，bd＞0，求證：；
(2)已知a＞b＞c＞0，求證：．
變式4．（2024·全國·高一假期作業）（1）已知，且，證明：．
（2）證明：．
變式5．（2024·全國·高一假期作業）證明下列不等式：
(1)已知，求證
(2)已知，求證：．
【方法技巧與總結】
1、證明不等式的解題策略
(1)簡單不等式的證明可直接由已知條件并利用不等式的性質，通過對不等式變形得證．
(2)對于不等號兩邊都比較復雜的式子，直接利用不等式的性質不易得證，可考慮將不等式的兩邊作差，然后進行變形，根據條件確定每一個因式(式子)的符號，利用符號法則判斷最終的符號，完成證明．
2、不等式的證明方法
(1)作差法：通過比較兩式之差的符號來判斷兩式的大?。?br/>(2)綜合法：從已知條件出發，綜合利用各種結果，經過逐步推導最后得到結論的方法
(3)反證法：首先假設結論的否定不成立，然后由此進行推理得到矛盾，最后得出假設不不成立；
(4)分析法：從要證的結論出發，逐步尋找使它不成立的充分條件，直至所需的條件為已知條件或一個明顯不成立的事實，從而得出要證的命題不成立。
一、單選題
1．（2024高二下·福建龍巖·階段練習）若，且，則下列各式中，恒不成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·北京·期末）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（2024·河南駐馬店·二模）已知，則下列說法一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26高一上·全國·課后作業）已知，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高一上·山東·專題練習）已知 ，則下列結論錯誤的是（ ）
A．的取值范圍為 B．的取值范圍為
C．的取值范圍為 D．取值范圍為
6．（2024高二下·安徽·學業考試）若，，則下列不等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·安徽蕪湖·開學考試）已知實數m，n，p滿足，且，則下列說法正確的是（）
A． B． C． D．
二、多選題
8．（2024高一上·江蘇常州·期中）在下列四個命題中，正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．已知，則
D．為互不相等的正數，且，則
9．（2024高一下·廣西南寧·期末）已知實數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
10．（25-26高一上·全國·單元測試）下列命題敘述正確的是（ ）
A．，當時，
B．，當時，
C．，當時，
D．，當時，
三、填空題
11．（24-25高一上·上海·隨堂練習）某種服裝，平均每天可以銷售20件，每件獲利44元，在每件降價幅度不超過10元的情況下，若每件降價1元，每天可多賣出5件，如果每天獲利1800元，每件應降價 元．
12．（24-25高一上·上海·隨堂練習）若，，則下列不等式中不成立的是 （填上正確的序號）．
①；②；③；④．
13．（2024高三·全國·專題練習）已知，則的取值范圍為 ．
14．（2024高二下·湖南張家界·期末）記為，，中最小的數.已知，且，則的最大值為 .
四、解答題
15．（2024高一·上?！ふn堂例題）已知實數a、b、c滿足，且.求證：且.
16．（2024高一·全國·課后作業）若，求證：．
17．（2024高一·上?！ふn堂例題）已知，求證：.
18．（2024高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，證明：
(1)；
(2)．
19．【多選】（2024·新疆烏魯木齊·三模），運算“”為，則（ ）
A． B．
C． D．若，則
20．（2024高一上·全國·專題練習），，，，設，證明：.
21．（24-25高一上·遼寧·階段練習）根據要求完成下列問題：
(1)若、、.
①求證：；
②求證：；
③在（2）中的不等式中，能否找到一個代數式，滿足所求式？若能，請直接寫出該代數式；若不能，請說明理由.
(2)設，求證：不成立的充要條件是.
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