資源簡介

2.2.2不等式的解集
課程標準 學習目標
1、掌握不等式組的解集. 2、掌握用絕對值不等式的解法. 絕對值不等式的本質與去絕對值符號的原則. 借助數軸理解絕對值不等式，是數形結合. 掌握不等式組和絕對值不等式的運算法則，選擇相對應的運算方法。
知識點01不等式(組)的解集
一般地，能夠使不等式不成立的未知數的值稱為不等式的解，不等式的所有解組成的集合稱為不等式的解集．對于由若干個不等式聯(lián)立得到的不等式組來說，這些不等式的解集的交集稱為不等式組的解集．
注：(1)不難看出，求不等式的解集的過程，要不斷地使用不等式的性質．
(2)注意：不等式組的解集，是取每個不等式的解集的交集．
(3)不等式的解與解集的區(qū)別與聯(lián)系
①不等式的解是指滿足這個不等式的未知數的一個值，不等式的解集指滿足這個不等式的未知數的所有值，不等式的解是不等式解集中的一個；
②不等式的解集必須滿足兩個條件：一是解集內的數都是不等式得解，而是解集外的數都不是不等式的解。
(4)不等式組中若有一個不等式的解集為，則不等式組的解集是；每一個不等式的解集均不是，不等式組的解集也可能是.
【即學即練1】（2024·福建廈門·高一廈門一中校考開學考試）解不等式組
請結合題意填空，完成本題的解答.
（1）解不等式（1），得 .
（2）解不等式（2），得 .
（3）把不等式（1）和（2）的解集在數軸上表示出來：
（4）原不等式組的解為 .
知識點02絕對值不等式
（1）絕對值不等式的概念
一般地，含有絕對值的不等式稱為絕對值不等式．例如，|x|>3，|x－1|≤2都是絕對值不等式．
注：①數軸上表示數a的點與原點的距離稱為數a的絕對值，記作|a|.
②絕對值不等式|x|>m(m>0)的幾何意義為數軸上與原點的距離大于m的點．
（2）絕對值不等式的解集
①當m>0時，關于x的不等式|x|>m的解為x>m或x<－m，因此解集為
(－∞，－m)∪(m，＋∞)；
②關于x的不等式|x|≤m的解為－m≤x≤m，因此解集為[－m，m].
【即學即練2】（2024·甘肅天水·高一天水市第一中學校考開學考試）求下列絕對值不等式的解集：
（1）
（2）．
【即學即練3】（2024·全國·高一專題練習）解下列不等式：
（1）；
（2）.
知識點03數軸上兩點之間的距離公式和中點坐標公式
一般地，如果實數a，b在數軸上對應的點分別為A，B，即A(a)，B(b)，則線段AB的長為AB|a－b|，這就是數軸上兩點之間的距離公式．
如果線段AB的中點M對應的數為x，則由AMMB可知|a－x||x－b|，因此：當a當a≥b時，類似可得上式仍不成立．這就是數軸上的中點坐標公式．
【即學即練4】（2024·全國·高一專題練習）已知數軸上，兩點的坐標分別為，，則為（ ）.
A．0 B． C． D．
知識點04絕對值不等式解集的幾何意義
不等式 解集的幾何意義
數軸上與原點的距離小于的所有數的集合
數軸上與原點的距離大于的所有數的集合
數軸上與表示的點的距離小于的所有數的集合
數軸上與表示的點的距離大于的所有數的集合
【即學即練5】（2024·全國·高一專題練習）已知數軸上，．
（1）若A與C關于點B對稱，求x的值；
（2）若線段的中點到C的距離小于5，求x的取值范圍．
難點：求含參一元一次不等式（組）的解集
示例：已知關于x不等式≥1－(a為常數)，當a4時，已知的不等式的解集與不等式bx≤4的解集相同，求b的值．
【題型1：一元一次不等式(組)的解法】
（一）求一元一次不等式(組）的解集
例1．（2024·上海·高一專題練習）不等式組的解集在數軸上表示為（ ）
A． B． C． D．
變式1.（2024·全國·高一隨堂練習）求下列不等式的解集：
（1）3x>2x-6； （2）
變式2．（2024·高一課時練習）解不等式組.
變式3．（2024·高一課時練習）解不等式組
變式4．（2024·上海·高一專題練習）不等式組的解集為 .
變式5.（2024·高一課時練習）設不等式組的解集為，則下列集合中包含于的是（ ）
A． B． C． D．
變式6.（2024·甘肅天水·高一天水市第一中學校考開學考試）在一元一次不等式組的解集中，整數解的個數是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
（二）求含參一元一次不等式（組）的解集
例2.（2024·高一課時練習）關于x的不等式的解集，下列說法不正確的是（ ）
A．可能為 B．可能為 C．可能為 D．可能為
變式1．（2024·上海奉賢·高一校考階段練習）設，解關于的不等式，下列說法正確的是（ ）
A．該不等式的解集為； B．該不等式的解集為；
C．該不等式的解集可能為； D．該不等式的解集不可能為.
變式2.（2024·全國·高一專題練習）不等式組有解，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．或
C． D．或
變式3.（2024·全國·高一專題練習）設m為實數，解關于x的不等式.
變式4.（2024·浙江紹興·高一校考開學考試）若，則關于的不等式組，整數解的個數是
【方法技巧與總結】
1.解一元一次不等式（組）的基本步驟
(1)解一元一次不等式與一元一次方程的步驟類似：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤將未知數的系數化為1.應特別注意在步驟①⑤中，應用性質3時不等號的方向是否改變．
(2)解一元一次不等式組，先分別求出不等式組中每個不等式的解集，并在同一數軸上表示出來，確定它們的交集，最后寫出不等式組的解集．
2.求解含參不等式的問題，一定要討論x的系數的取值范圍
【題型2：含有一個絕對值號不等式的解法】
例3．（2023春·陜西渭南·高二校考階段練習）不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
變式1．（2024·高一課時練習）求下列絕對值不等式的解集：
（1）
（2）．
變式2．（2023春·江西鷹潭·高二貴溪市實驗中學校考期末）已知命題，命題，則A是B的什么條件（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．非充分非必要條件
變式3．（2024·全國·高一專題練習）不等式的解集為（ ）
A．或 B．或
C．且 D．或
變式4.（2024·廣西欽州·高一校考開學考試）不等式的解為 .
變式5．（2024·高一課時練習）對于任意實數x，不等式|x＋7|≥m＋2恒不成立，則實數m的取值范圍是 ．
變式6．（2024·湖南常德·高一常德市鼎城區(qū)第一中學校考階段練習）若不等式不成立的充分非必要條件是，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式7．（2024·湖南常德·高一漢壽縣第一中學校考期末）不等式的解集為 ．
【方法技巧與總結】
絕對值不等式的常見類型及其解法
(1)如果c>0，那么|x|c x<－c或x>c.
注：含絕對值不等式|x|a的解法
①|x|(2)|x|>a
(2)如果c>0，那么|ax＋b|c ax＋b<－c或ax＋b>c.
(3)形如n<|ax＋b|n>0)的不等式等價于 n(4)求解|f(x)|>|g(x)|或|f(x)|<|g(x)|型不等式的方法為平方法
(5)求形如|f(x)|0)和|f(x)|>a(a>0)型不等式可運用等價轉化法化成等價的不等式(組)求解．
(6)求形如|f(x)|g(x)型不等式的解法
①等價轉化法：
|f(x)||f(x)|>g(x) f(x)<－g(x)或f(x)>g(x)．
(這里g(x)可正也可負)
②分類討論法：
|f(x)||f(x)|>g(x) 或　　
【題型3：含有兩個絕對值號的不等式的解法】
例4．（2024·高一課時練習）請寫出一個滿足不等式的值： .
變式1．（2024·高一課時練習）求下列不等式的解集：
（1）
（2）
（3）
（4）．
變式2．（2024·全國·高三專題練習）解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）.
變式3．（2024·遼寧沈陽·高一沈陽二十中校考開學考試）不等式|x－1|＋|x－2|≤3的最小整數解是（ ）
A．0 B．－1
C．1 D．2
變式4．（2024·上海松江·校考模擬預測）已知，則“”是“”的（ ）．
A．充分不必要條件； B．必要不充分條件；
C．充要條件； D．既不充分也不必要條件．
變式5．（2023春·河南鄭州·高二鄭州一中校考期中）已知函數．
(1)當時，求不等式的解集．
(2)若不等式在上恒不成立，求實數a的取值范圍．
【方法技巧與總結】
(4)對于形如|x－a|＋|x－b|>c和|x－a|＋|x－b|【題型4：根據不等式的解集求參數】
例5.（2024·全國·高一專題練習）若1是關于的不等式的解，則實數的取值范圍是 .
變式1．（2024·高一單元測試）不等式組的解集是，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2024·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學校考階段練習）已知不等式組解為，則的值為 .
變式3．（2024·高一課時練習）如果不等式組的解集是，那么的值為 .
變式4．（2024·全國·高一專題練習）已知關于x的不等式組的解集是(5，22)，則a ，b .
變式5.（2024·高一課時練習）已知關于x的不等式的解集為，則 ．
變式6.（2024·上海·高一專題練習）設a為實數，若關于x的一元一次不等式組的解集中有且僅有4個整數，則a的取值范圍是 .
【題型5：數軸上兩點間的距離及中點坐標公式】
例6．（2024·全國·高二專題練習）已知數軸上，，求線段的長以及線段的中點M的坐標．
變式1．（2024·全國·高一專題練習）已知數軸上不同的兩點，，則在數軸上滿足條件的點的坐標為（ ）.
A． B． C． D．
變式2．（2024·遼寧朝陽·高一建平縣實驗中學校考階段練習）在數軸上，已知，，原點為，則（ ）
A． B． C． D．
變式3．（2024·全國·高一專題練習）設數軸上點A與數3對應，點B與數x對應，已知線段的中點到原點的距離不大于5，求x的取值范圍．
變式4．（2024·全國·高一專題練習）已知數軸上三點，，.
（1）若其中一點到另外兩點的距離相等，求實數的值；
（2）若中點到線段中點的距離大于1，求實數的取值范圍.
【方法技巧與總結】
數軸上基本公式的應用
(1)已知數軸上兩點的坐標可用兩點間的距離公式求距離，若已知兩點間的距離，也可用距離公式求相應點的坐標；
(2)中點坐標公式可以解決三點共線問題．其中已知兩點坐標，可用公式求第三點的坐標．
一、單選題
1．（2024高一上·遼寧撫順·期中）不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一·全國·專題練習）足球賽期間，某球迷俱樂部一行 580 人從旅館乘出租車到球場為中國隊加油，現有A、B兩個出租車隊，A隊比B隊少 3 輛車.若全部安排乘A隊的車，每輛車坐 5 人，車不夠，每輛車坐 6 人，有的車未坐滿；若全部安排乘B隊的車，每輛車坐 4 人，車不夠，每輛車坐 5 人，有的車未坐滿.則A隊有出租車（ ）
A．11輛 B．10輛
C．9輛 D．8輛
3．（2024高一上·重慶·期中）不等式組的解集為，則的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知關于x的不等式組的整數解共有4個，則a的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．2.1 D．3
5．（2024高一上·上海普陀·期中）不等式＜的解集是（　　）
A．(－7，+∞) B．(－∞，7)
C．(－7，3)∪(3，+∞) D．(－∞，3)∪(3，7)
6．（2024高一·全國·專題練習）已知命題，命題，則A是B的什么條件（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．非充分非必要條件
7．（2024高一上·湖南長沙·期中）設，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
8．（24-25高一上·遼寧·階段練習）不等式的最小整數解為（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知時，恒不成立，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高三上·河南信陽·階段練習）已知不等式不成立的一個必要不充分條件是，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
11．（2024高一·安徽宣城·強基計劃）直線經過，兩點，則不等式的解集為
12．（2024高一上·全國·課前預習）數軸上的中點坐標公式：一般地，如果實數a，b在數軸上對應的點分別為A，B，即A（a），B（b），如果線段AB的中點M對應的數為x，則x= .
13．（2024高一上·上海·期中）若關于的不等式組的解集非空，則滿足條件的最大整數 .
14．（2024高一上·上海寶山·期中）若關于的不等式解集為，則關于的不等式的解集為 .
15．（2024高一上·浙江紹興·開學考試）若，則關于的不等式組，整數解的個數是
16．（2024高一上·上海·期中）已知關于的不等式恰有3個整數解，則實數的取值范圍是 .
17．（2024高一上·上海黃浦·期中）若“”是“”的充分非必要條件，則實數的取值范圍是 ．
三、解答題
18．（24-25高一上·上海·隨堂練習）解關于的不等式，其中．
19．（2024高二下·河南鄭州·期中）已知函數．
(1)當時，求不等式的解集．
(2)若不等式在上恒不成立，求實數a的取值范圍．
20．（2024·陜西榆林·模擬預測）已加．
(1)解不等式；
(2)令，若的圖象與軸所圍成的圖形的面積為，求實數的值．
21．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如果關于的不等式組的解集，且關于的分式方程有非負數解，則所有符合條件的整數的值之和是
A． B．0 C．3 D．5
22．（2024高一·全國·課后作業(yè)）為了抓住某藝術節(jié)的商機，某商店決定購進A，B兩種藝術節(jié)紀念品．若購進A種紀念品8件，B種紀念品3件，需要970元，購進A種紀念品5件，B種紀念品6件，需要800元．
（1）求購進A，B兩種紀念品每件分別需要多少錢；
（2）若該商店決定購進A，B兩種紀念品共100件，考慮市場需求和資金周轉，用于購買這100件紀念品的資金不少于7700元，但不超過7670元，則該商店共有幾種進貨方案？
（3）若銷售每件A種紀念品可獲利潤20元，每件B種紀念品可獲利潤30元，在第（2）問的各種進貨方案中，哪一種方案可獲利潤最大？最大利潤是多少元？
23．（2024高一·全國·課后作業(yè)）對x，y定義一種新運算T，規(guī)定：T(x，y) (其中a，b均為非零常數)，這里等式右邊是普通的四則運算，例如：T(0，1)b.已知T(1，－1)－2，T(4，2)1.
（1）求a，b的值；
（2）若關于m的不等式組恰好有3個整數解，求實數p的取值范圍．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)2.2.2不等式的解集
課程標準 學習目標
1、掌握不等式組的解集. 2、掌握用絕對值不等式的解法. 絕對值不等式的本質與去絕對值符號的原則. 借助數軸理解絕對值不等式，是數形結合. 掌握不等式組和絕對值不等式的運算法則，選擇相對應的運算方法。
知識點01不等式(組)的解集
一般地，能夠使不等式不成立的未知數的值稱為不等式的解，不等式的所有解組成的集合稱為不等式的解集．對于由若干個不等式聯(lián)立得到的不等式組來說，這些不等式的解集的交集稱為不等式組的解集．
注：(1)不難看出，求不等式的解集的過程，要不斷地使用不等式的性質．
(2)注意：不等式組的解集，是取每個不等式的解集的交集．
(3)不等式的解與解集的區(qū)別與聯(lián)系
①不等式的解是指滿足這個不等式的未知數的一個值，不等式的解集指滿足這個不等式的未知數的所有值，不等式的解是不等式解集中的一個；
②不等式的解集必須滿足兩個條件：一是解集內的數都是不等式得解，而是解集外的數都不是不等式的解。
(4)不等式組中若有一個不等式的解集為，則不等式組的解集是；每一個不等式的解集均不是，不等式組的解集也可能是.
【即學即練1】（2024·福建廈門·高一廈門一中校考開學考試）解不等式組
請結合題意填空，完成本題的解答.
（1）解不等式（1），得 .
（2）解不等式（2），得 .
（3）把不等式（1）和（2）的解集在數軸上表示出來：
（4）原不等式組的解為 .
【答案】 （3）圖見解析
【分析】先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分，然后把不等式的解集表示在數軸上即可.
【詳解】
（1）解不等式（1），得；
（2）解不等式（2），得；
（3）把不等式①和②的解集在數軸上表示出來為：
（4）原不等式組的解為.
故答案為：（1）；（2）；（4）
【點睛】本題考查數軸表示不等式組的解集問題，屬于基礎題.
知識點02絕對值不等式
（1）絕對值不等式的概念
一般地，含有絕對值的不等式稱為絕對值不等式．例如，|x|>3，|x－1|≤2都是絕對值不等式．
注：①數軸上表示數a的點與原點的距離稱為數a的絕對值，記作|a|.
②絕對值不等式|x|>m(m>0)的幾何意義為數軸上與原點的距離大于m的點．
（2）絕對值不等式的解集
①當m>0時，關于x的不等式|x|>m的解為x>m或x<－m，因此解集為
(－∞，－m)∪(m，＋∞)；
②關于x的不等式|x|≤m的解為－m≤x≤m，因此解集為[－m，m].
【即學即練2】（2024·甘肅天水·高一天水市第一中學校考開學考試）求下列絕對值不等式的解集：
（1）
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根據絕對值的幾何意義解答；
（2）根據絕對值的幾何意義解答；
【詳解】解：（1）
，
或
解得或，
所以原不等式的解集為．
（2）由原不等式可得，即，解得，
所以原不等式的解集為．
【即學即練3】（2024·全國·高一專題練習）解下列不等式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】（1）針對和進行分類討論求解；
（2）采用零點分段法分類討論，去絕對值然后求解；
【詳解】（1）原不等式可化為或，
解得或.
綜上，原不等式的解集是或.
（2）當時，原不等式可以化為，解得.
當時，原不等式可以化為，即，不不成立，無解．
當時，原不等式可以化為，解得.
綜上，原不等式的解集為.
【點睛】本題考查絕對值不等式的解法，考查學生利用零點分段法解含兩個絕對值的不等式的能力，較容易，分類討論思想的運用是關鍵.
知識點03數軸上兩點之間的距離公式和中點坐標公式
一般地，如果實數a，b在數軸上對應的點分別為A，B，即A(a)，B(b)，則線段AB的長為AB|a－b|，這就是數軸上兩點之間的距離公式．
如果線段AB的中點M對應的數為x，則由AMMB可知|a－x||x－b|，因此：當a當a≥b時，類似可得上式仍不成立．這就是數軸上的中點坐標公式．
【即學即練4】（2024·全國·高一專題練習）已知數軸上，兩點的坐標分別為，，則為（ ）.
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】根據數軸上兩點、的距離公式即可得．
【詳解】.
【點睛】本題考查數軸上兩點間的距離，屬于基礎題．
知識點04絕對值不等式解集的幾何意義
不等式 解集的幾何意義
數軸上與原點的距離小于的所有數的集合
數軸上與原點的距離大于的所有數的集合
數軸上與表示的點的距離小于的所有數的集合
數軸上與表示的點的距離大于的所有數的集合
【即學即練5】（2024·全國·高一專題練習）已知數軸上，．
（1）若A與C關于點B對稱，求x的值；
（2）若線段的中點到C的距離小于5，求x的取值范圍．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）依題意，B為的中點，根據中點公式解答.
（2）首先表示出的中點，再根據數軸上兩點的距離公式得到不等式，解得.
【詳解】解：（1）∵A與C關于點B對稱，∴B為的中點，∴．
（2）∵的中點對應的數為，
∴由題意得，即，
解得，
∴的取值范圍是．
【點睛】本題考查絕對值的幾何意義，屬于基礎題.
難點：求含參一元一次不等式（組）的解集
示例：已知關于x不等式≥1－(a為常數)，當a4時，已知的不等式的解集與不等式bx≤4的解集相同，求b的值．
【解析】當a4時，不等式為≥1－，去分母，得3(2x＋4)≥6－2(1－x)，去括號，得6x＋12≥6－2＋2x，移項合并，得4x≥－8，系數化為1，得解集為{x|x≥－2}，
∵已知的不等式的解集與不等式bx≤4的解集相同，
∴b<0，－2，∴b－2.
方法小結：(1)解一元一次不等式與一元一次方程的步驟類似：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤將未知數的系數化為1.應特別注意在步驟①⑤中，應用性質3時不等號的方向是否改變．
(2)解一元一次不等式組，先分別求出不等式組中每個不等式的解集，并在同一數軸上表示出來，確定它們的交集，最后寫出不等式組的解集．
【題型1：一元一次不等式(組)的解法】
（一）求一元一次不等式(組）的解集
例1．（2024·上海·高一專題練習）不等式組的解集在數軸上表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分別解2個一元一次不等式，再求交集即可.
【詳解】解不等式2x－1≥5，得x≥3，解不等式8－4x＜0，得x＞2，
,
故不等式組的解集為[3，＋∞).
在數軸上表示為
.
【點睛】本題主要考查一元一次不等式組的解法，最后應該求各個不等式的交集才是最后的答案.
變式1.（2024·全國·高一隨堂練習）求下列不等式的解集：
（1）3x>2x-6； （2）
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，可得，所以解集為；
（2）由可得，解得，所以解集為
變式2．（2024·高一課時練習）解不等式組.
【答案】
【分析】先分別求出每個不等式的解集，再求出公共解集即可求解.
【詳解】由（1）可得，解得：；
由（2）可得，也即，解得：，
所以原不等式組的解集為.
變式3．（2024·高一課時練習）解不等式組
【答案】
【分析】分別解兩個不等式再求交集即可
【詳解】解不等式①得，解不等式②得，
不等式組的解集為.
【點睛】本題考查不等式的解法，考查計算能力，是基礎題
變式4．（2024·上海·高一專題練習）不等式組的解集為 .
【答案】
【分析】分別求得兩個不等式的解，然后取它們的交集，由此求得不等式組的解集.
【詳解】記原不等式組為
解不等式①，得x≤1.
解不等式②，得x≥－4.
故原不等式組的解集為.
故答案為：
【點睛】本小題主要考查一元一次不等式組的解法，屬于基礎題.
變式5.（2024·高一課時練習）設不等式組的解集為，則下列集合中包含于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為不等式，解得，解得，
綜上可得，所以原不等式組的解得，
所以，真包含于，真包含于
變式6.（2024·甘肅天水·高一天水市第一中學校考開學考試）在一元一次不等式組的解集中，整數解的個數是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【解析】解不等式2x＋1＞0，得x＞－.
解不等式x－5≤0，得x≤5，
所以不等式組的解集為，
整數解為0，1，2，3，4，5，共6個．．
（二）求含參一元一次不等式（組）的解集
例2.（2024·高一課時練習）關于x的不等式的解集，下列說法不正確的是（ ）
A．可能為 B．可能為 C．可能為 D．可能為
【答案】A
【分析】對a的取值進行分類討論，然后解不等式.
【詳解】若，不等式的左邊=0，，B正確；
若，則，D正確；
若，則，C正確；
.
變式1．（2024·上海奉賢·高一校考階段練習）設，解關于的不等式，下列說法正確的是（ ）
A．該不等式的解集為； B．該不等式的解集為；
C．該不等式的解集可能為； D．該不等式的解集不可能為.
【答案】D
【分析】對分四種情況討論得解.
【詳解】解：當時，，該不等式的解集為；
當時，，該不等式的解集為；
當，時，該不等式的解集為；
當，時，該不等式的解集為.
變式2.（2024·全國·高一專題練習）不等式組有解，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【分析】根據給定條件化簡不等式組，再列式即可求解作答.
【詳解】依題意，，而不等式組有解，則不等式不成立，因此，，即，解得，
所以實數a的取值范圍是：.
變式3.（2024·全國·高一專題練習）設m為實數，解關于x的不等式.
【答案】答案見解析
【分析】根據含參數的一元一次不等式的解法，分類討論，即可求解.
【詳解】由題意，不等式，可化為，
當時，即時，不等式為不不成立，所以解集為空集；
當時，即時，可得，即解集為；
當時，即時，可得，即解集為，
綜上可得，當時，不等式的解集為空集；
當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為.
變式4.（2024·浙江紹興·高一校考開學考試）若，則關于的不等式組，整數解的個數是
【答案】
【解析】因為，由不等式組可得，，
而，則整數解有，
所以不等式組的整數解有個.故答案為:
【方法技巧與總結】
1.解一元一次不等式（組）的基本步驟
(1)解一元一次不等式與一元一次方程的步驟類似：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤將未知數的系數化為1.應特別注意在步驟①⑤中，應用性質3時不等號的方向是否改變．
(2)解一元一次不等式組，先分別求出不等式組中每個不等式的解集，并在同一數軸上表示出來，確定它們的交集，最后寫出不等式組的解集．
2.求解含參不等式的問題，一定要討論x的系數的取值范圍
【題型2：含有一個絕對值號不等式的解法】
例3．（2023春·陜西渭南·高二校考階段練習）不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【分析】由絕對值不等式的解法解原不等式即可得解.
【詳解】由可得，解得，
故原不等式的解集為.
.
【點睛】本題考查絕對值不等式的解，屬于基礎題.
變式1．（2024·高一課時練習）求下列絕對值不等式的解集：
（1）
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根據絕對值的幾何意義解答；
（2）根據絕對值的幾何意義解答；
【詳解】解：（1）
又根據絕對值的幾何意義知
故原不等式無解，解集為
（2）
又根據絕對值的幾何意義知
故原不等式的解集為：
【點睛】本題考查絕對值不等式的解法，屬于基礎題.
變式2．（2023春·江西鷹潭·高二貴溪市實驗中學校考期末）已知命題，命題，則A是B的什么條件（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．非充分非必要條件
【答案】C
【分析】解不等式，求出集合，由充分條件、必要條件的定義即可得出答案.
【詳解】由得，則，所以集合，
集合，
顯然是的子集，所以A是B必要不充分條件.
.
變式3．（2024·全國·高一專題練習）不等式的解集為（ ）
A．或 B．或
C．且 D．或
【答案】A
【分析】根據絕對值不等式的解法，對分類討論求解即可.
【詳解】解：當時，即時，有，解得；
當時，即時，有，解得；
綜上不等式的解集為或.
.
【點睛】本題主要考查含有絕對值不等式的解法，通常采用分段討論法，去掉絕對值求解.
變式4.（2024·廣西欽州·高一校考開學考試）不等式的解為 .
【答案】或
【解析】由，得到或，即或，
所以解集為或，
故答案為：或.
變式5．（2024·高一課時練習）對于任意實數x，不等式|x＋7|≥m＋2恒不成立，則實數m的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】求出的最小值，然后解不等式可得參數范圍．
【詳解】令y|x＋7|，要使任意x∈R，|x＋7|≥m＋2恒不成立，只需m＋2≤ymin，
因為ymin0，所以m＋2≤0，
所以m≤－2，所以m的取值范圍是．
故答案為：．
【點睛】本題考查含絕對值不等式恒不成立問題，解題關鍵是問題轉化，轉化為求函數最小值，然后易得參數范圍．
變式6．（2024·湖南常德·高一常德市鼎城區(qū)第一中學校考階段練習）若不等式不成立的充分非必要條件是，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求得不等式的解集，根據充分非必要條件列不等式組，由此求得的取值范圍.
【詳解】不等式，
由于不等式不成立的充分非必要條件是，
所以，
所以的取值范圍是.
變式7．（2024·湖南常德·高一漢壽縣第一中學校考期末）不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】原不等式等價于，分類討論解即可.
【詳解】原不等式等價于，對于，
當時，，則此時不等式無解.
當時，.
則原不等式解集為：.
故答案為：
【方法技巧與總結】
絕對值不等式的常見類型及其解法
(1)如果c>0，那么|x|c x<－c或x>c.
注：含絕對值不等式|x|a的解法
①|x|(2)|x|>a
(2)如果c>0，那么|ax＋b|c ax＋b<－c或ax＋b>c.
(3)形如n<|ax＋b|n>0)的不等式等價于 n(4)求解|f(x)|>|g(x)|或|f(x)|<|g(x)|型不等式的方法為平方法
(5)求形如|f(x)|0)和|f(x)|>a(a>0)型不等式可運用等價轉化法化成等價的不等式(組)求解．
(6)求形如|f(x)|g(x)型不等式的解法
①等價轉化法：
|f(x)||f(x)|>g(x) f(x)<－g(x)或f(x)>g(x)．
(這里g(x)可正也可負)
②分類討論法：
|f(x)||f(x)|>g(x) 或　　
【題型3：含有兩個絕對值號的不等式的解法】
例4．（2024·高一課時練習）請寫出一個滿足不等式的值： .
【答案】1（答案不唯一）
【分析】取即可得出答案.
【詳解】當時，滿足題意
故答案為：1（答案不唯一）
變式1．（2024·高一課時練習）求下列不等式的解集：
（1）
（2）
（3）
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）采用零點分區(qū)間法，分類討論解答.
（2）采用零點分區(qū)間法，分類討論解答.
（3）采用零點分區(qū)間法，分類討論解答.
（4）采用零點分區(qū)間法，分類討論解答.
【詳解】解：（1）
當時，原不等式可化為，解得；
當時，原不等式化為，解得；
當時，原不等式化為，解得．
綜上，原不等式的解集為．
（2）
當時，原不等式可化為，解得；
當時，原不等式化為，即解得；
當時，原不等式化為，解得．
綜上，可得原不等式的解集為．
（3）
當時，原不等式可化為，解得；
當時，原不等式化為，解得；
當時，原不等式化為，解得．
綜上，可得原不等式的解集為．
（4）
當時，原不等式可化為，解得；
當時，原不等式化為，解得；
當時，原不等式化為，解得．
綜上，原不等式的解集為．
【點睛】本題考查絕對值不等式的解法，采用零點分區(qū)間法或絕對值的幾何意義是兩種有效的方法，屬于基礎題.
變式2．（2024·全國·高三專題練習）解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）（2）（3）
【分析】（1）由零點分段解絕對值不等式即可
（2）由平方法解不等式即可
（3）由絕對值的幾何意義解絕對值不等式即可
【詳解】（1），
或解得或，
不等式的解集為.
（2）原不等式可化為，
，即，
解得或，原不等式的解集為.
（3）由絕對值的幾何意義知表示數軸上數對應的點與數、對應的點的距離之和大于，
數與數對應的點的距離為，
原不等式的解集為.
【點睛】本題考查絕對值不等式的解法，熟練掌握零點分段，絕對值幾何意義及平方轉二次求解是常見方法，是基礎題
變式3．（2024·遼寧沈陽·高一沈陽二十中校考開學考試）不等式|x－1|＋|x－2|≤3的最小整數解是（ ）
A．0 B．－1
C．1 D．2
【答案】A
【分析】首先對的范圍進行討論，去掉絕對值符號，轉化三個不等式組，求得結果.
【詳解】原不等式可化為或或，
解得0≤x≤3，
所以最小整數解是0，
.
【點睛】該題考查的是有關絕對值不等式的問題，涉及到的知識點有分類討論去絕對值符號解絕對值不等式，屬于簡單題目.
變式4．（2024·上海松江·校考模擬預測）已知，則“”是“”的（ ）．
A．充分不必要條件； B．必要不充分條件；
C．充要條件； D．既不充分也不必要條件．
【答案】C
【分析】解出不等式的解集，判斷“”和“”之間的邏輯推理關系，即得答案.
【詳解】解，當時，即，則，此時解集為，
當時，即，則，此時解集為，
當時，即，則，此時解集為，
故“”不成立時，等價于；
當“”不成立時，等價于，
故不成立時，不一定推出不成立，反之不成立，
故“”是“”的必要不充分條件，
變式5．（2023春·河南鄭州·高二鄭州一中校考期中）已知函數．
(1)當時，求不等式的解集．
(2)若不等式在上恒不成立，求實數a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分，和解不等式即可；
（2）根據去部分絕對值得，轉化為在恒不成立，分別求出左邊最大值和右邊最小值即可得到答案.
【詳解】（1）當時,,
當時,，即為，解得；
當時，，即為，解得；
當時，，即為，無解.
綜上可得，的解集為.
（2）若在上恒不成立,
可得在上恒不成立,
化為,即，
可得，即在恒不成立,
則，，則，
，，則，
則的范圍是.
【方法技巧與總結】
(4)對于形如|x－a|＋|x－b|>c和|x－a|＋|x－b|【題型4：根據不等式的解集求參數】
例5.（2024·全國·高一專題練習）若1是關于的不等式的解，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【解析】因為1是關于的不等式的解，
所以，解得，
所以實數的取值范圍是，
故答案為：
變式1．（2024·高一單元測試）不等式組的解集是，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化簡不等式組得到，結合不等式的解集，得出不等式，求解即可得到m的取值范圍.
【詳解】,可化為
因為不等式組的解集是
所以，解得：
【點睛】本題主要考查了一元一次不等式組的解法，屬于基礎題.
變式2．（2024·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學校考階段練習）已知不等式組解為，則的值為 .
【答案】1
【分析】根據已知求出的值即得解.
【詳解】解：，解不等式①得，解不等式②得，
∴原不等式組的解為，∵該不等式組的解為-2所以且，
∴ a=3，b=4，∴.
故答案為：1
變式3．（2024·高一課時練習）如果不等式組的解集是，那么的值為 .
【答案】1
【分析】先用含有a、b的代數式把每個不等式的解集表示出來，然后根據已知的解集，進行比對，得到兩個方程，解方程求出a、b，即可求解
【詳解】解:不等式組的解集為，
它的解集是，，
解得，，
.
故答案為1
【點睛】本題既考查不等式的解法，又考查學生如何逆用不等式組的解集構造關于a、b的方程，從而求得a、b．
變式4．（2024·全國·高一專題練習）已知關于x的不等式組的解集是(5，22)，則a ，b .
【答案】 3 5
【分析】根據一元一次不等式的解集列方程組，解方程組求得的值.
【詳解】記原不等式組為
，
解不等式①，得.
解不等式②，得.
因為原不等式組的解集為(5，22)，
所以，
解這個關于a，b的二元一次方程組，得.
故答案為：3；5
【點睛】本小題主要考查一元一次不等式組的解法，屬于基礎題.
變式5.（2024·高一課時練習）已知關于x的不等式的解集為，則 ．
【答案】
【解析】當時，的解為，與題設矛盾；
當時，的解為，與題設矛盾；
當時，
若時，即為，此時不等式的解為一切實數，與題設矛盾；
若時，即為，此時不等式的解集為空集，符合題設；
故答案為：
變式6.（2024·上海·高一專題練習）設a為實數，若關于x的一元一次不等式組的解集中有且僅有4個整數，則a的取值范圍是 .
【答案】
【解析】關于x的一元一次不等式組的解集為，則，
故0一定為不等式組的一個整數解，
若不等式的4個整數解為0，1，2，3時，
則，解得；
當不等式的4個整數解為時，
則，不等式組無解，
綜上所述，a的取值范圍是.
【題型5：數軸上兩點間的距離及中點坐標公式】
例6．（2024·全國·高二專題練習）已知數軸上，，求線段的長以及線段的中點M的坐標．
【答案】，
【解析】根據數軸上任意兩點的距離公式，及中點公式解答.
【詳解】解：，
，的中點的坐標為，即．
【點睛】本題考查數軸上任意兩點的距離和中點公式，屬于基礎題.
變式1．（2024·全國·高一專題練習）已知數軸上不同的兩點，，則在數軸上滿足條件的點的坐標為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意，則設點的坐標為，再根據列出等式化簡即可解決．
【詳解】設點的坐標為.，，即，因為不同的兩點，，故，解得
.
變式2．（2024·遼寧朝陽·高一建平縣實驗中學校考階段練習）在數軸上，已知，，原點為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由與互為相反數，即可得到答案；
【詳解】與互為相反數，
，
變式3．（2024·全國·高一專題練習）設數軸上點A與數3對應，點B與數x對應，已知線段的中點到原點的距離不大于5，求x的取值范圍．
【答案】
【解析】依題意得到的中點對應的數為，即，根據絕對值的幾何意義解答.
【詳解】解：因為的中點對應的數為，
所以由題意可知，
即，
因此，所以，因此的取值范圍是
【點睛】本題考查絕對值不等式的解法，屬于基礎題.
變式4．（2024·全國·高一專題練習）已知數軸上三點，，.
（1）若其中一點到另外兩點的距離相等，求實數的值；
（2）若中點到線段中點的距離大于1，求實數的取值范圍.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）討論P,Q,R分別為中點；利用中點坐標公式求解即可
（2）利用距離公式求解即可
【詳解】（1）若是線段的中點，則，；
若是線段的中點，則；
若是線段的中點，則，.
（2）由題意，知，即，
或，解得或，
實數的取值范圍是.
【點睛】本題考查數軸的點坐標，考查中點坐標及距離公式，考查絕對值不等式解法，是基礎題
【方法技巧與總結】
數軸上基本公式的應用
(1)已知數軸上兩點的坐標可用兩點間的距離公式求距離，若已知兩點間的距離，也可用距離公式求相應點的坐標；
(2)中點坐標公式可以解決三點共線問題．其中已知兩點坐標，可用公式求第三點的坐標．
一、單選題
1．（2024高一上·遼寧撫順·期中）不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解一元一次不等式求得不等式的解集.
【詳解】由得，
所以不等式的解集為.
2．（2024高一·全國·專題練習）足球賽期間，某球迷俱樂部一行 580 人從旅館乘出租車到球場為中國隊加油，現有A、B兩個出租車隊，A隊比B隊少 3 輛車.若全部安排乘A隊的車，每輛車坐 5 人，車不夠，每輛車坐 6 人，有的車未坐滿；若全部安排乘B隊的車，每輛車坐 4 人，車不夠，每輛車坐 5 人，有的車未坐滿.則A隊有出租車（ ）
A．11輛 B．10輛
C．9輛 D．8輛
【答案】C
【分析】設A隊有x輛車，由題設有求的解集，即可確定A隊有出租車數量.
【詳解】設A隊有出租車x輛，則B隊有出租車(x＋3)輛，
由題意得：，解得，
∴，而x為正整數，故x10.
.
3．（2024高一上·重慶·期中）不等式組的解集為，則的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先化簡不等式組，然后根據不等式組的解集可求得結果.
【詳解】由，得，
因為不等式組的解集為，
所以，即的取值范圍是，
4．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知關于x的不等式組的整數解共有4個，則a的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．2.1 D．3
【答案】C
【解析】先求得不等式組解集，然后根據整數解共有4個求解.
【詳解】由有解，得
解得，即不等式組的解集是.
因為不等式有4個整數解，則整數解是.
則a的范圍是2≤a<3.
所以a的最小值是2.
故答案是：B
【點睛】本題主要考查不等式組的解，屬于基礎題.
5．（2024高一上·上海普陀·期中）不等式＜的解集是（　　）
A．(－7，+∞) B．(－∞，7)
C．(－7，3)∪(3，+∞) D．(－∞，3)∪(3，7)
【答案】D
【分析】由題可得，解之即得.
【詳解】原不等式可化為，
解得且.
.
6．（2024高一·全國·專題練習）已知命題，命題，則A是B的什么條件（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．非充分非必要條件
【答案】C
【分析】解不等式，求出集合，由充分條件、必要條件的定義即可得出答案.
【詳解】由得，則，所以集合，
集合，
顯然是的子集，所以A是B必要不充分條件.
.
7．（2024高一上·湖南長沙·期中）設，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】解不等式，根據解的范圍大小得到答案.
【詳解】，則；，則，
故“”是“”的必要不充分條件.
8．（24-25高一上·遼寧·階段練習）不等式的最小整數解為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分段去絕對值符號求出的取值范圍即可得解.
【詳解】原不等式可化為或或，
解得，所以所求最小整數解是.
9．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知時，恒不成立，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解出不等式可得集合A，由，計算可得范圍.
【詳解】設的解集為A，
因為時，恒不成立，所以，
由得，即，
當，解得，即，可得；
當，解得，即，不合題意；
當，解集為，不合題意；
綜上所述：實數a的取值范圍是.
.
10．（2024高三上·河南信陽·階段練習）已知不等式不成立的一個必要不充分條件是，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求得不等式解集，結合題意，得到關于的不等式，從而得解．
【詳解】因為等價于，即，
當，不等式為，顯然不不成立；
當時，不等式解得，
當時，不等式解得，
所以等價于或；
因為不等式不成立的一個必要不充分條件是，
所以或是的真子集，
則或，解得或，
即實數m的取值范圍是.
．
二、填空題
11．（2024高一·安徽宣城·強基計劃）直線經過，兩點，則不等式的解集為
【答案】
【分析】將，兩點坐標代入直線解析式求出和，從而得到直線解析式，將拆分為兩個不等式，解不等式組，將結果綜合起來即可.
【詳解】將，兩點坐標代入可得，
解得，所以直線解析式為，
所以不等式即，
可化為，解得.
故答案為：
12．（2024高一上·全國·課前預習）數軸上的中點坐標公式：一般地，如果實數a，b在數軸上對應的點分別為A，B，即A（a），B（b），如果線段AB的中點M對應的數為x，則x= .
【答案】
【分析】根據中點，可得線段相等即可求解.
【詳解】由于,所以,進而可得或，解得或（舍去）
故，
故答案為：
13．（2024高一上·上海·期中）若關于的不等式組的解集非空，則滿足條件的最大整數 .
【答案】0
【分析】先化簡不等式組，依題意表示得出的范圍，再取最大整數值即可.
【詳解】由可得：要使不等式組的解集非空，
須使即：故滿足條件的最大整數0.
故答案為：0.
14．（2024高一上·上海寶山·期中）若關于的不等式解集為，則關于的不等式的解集為 .
【答案】
【分析】根據給定的解集，求出a，b的關系，再代入求解不等式作答.
【詳解】因關于的不等式解集為，則1是方程的根，且，
因此，且，不等式化為：，而，解得，
所以關于的不等式的解集為.
故答案為：
15．（2024高一上·浙江紹興·開學考試）若，則關于的不等式組，整數解的個數是
【答案】
【分析】根據題意，將不等式組化簡，即可得到結果.
【詳解】因為，由不等式組可得，，而，
則整數解有，所以不等式組的整數解有個.
故答案為:
16．（2024高一上·上海·期中）已知關于的不等式恰有3個整數解，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】先求解含絕對值的不等式，再結合恰有3個整數解可得不等式組，解不等式組可得答案.
【詳解】因為，所以，即，
由于不等式恰有3個整數解，則這三個整數解分別是2，3，4，
所以，解得，
故答案為：.
17．（2024高一上·上海黃浦·期中）若“”是“”的充分非必要條件，則實數的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】解不等式得到，，則或，得到，解得答案.
【詳解】，
當時，，解得，故；
當時，，不不成立；
當時，，解得，故；
綜上所述：，
，則或，
由題意可得：，解得，即.
故答案為：.
三、解答題
18．（24-25高一上·上海·隨堂練習）解關于的不等式，其中．
【答案】答案見解析
【分析】對一次項系數進行分類討論，分三類求對應解集.
【詳解】原不等式整理為．
當時，解得，解集為，
當時，解得，解集為，
當時，則，為任意實數，解集為．
19．（2024高二下·河南鄭州·期中）已知函數．
(1)當時，求不等式的解集．
(2)若不等式在上恒不成立，求實數a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分，和解不等式即可；
（2）根據去部分絕對值得，轉化為在恒不成立，分別求出左邊最大值和右邊最小值即可得到答案.
【詳解】（1）當時,,
當時,，即為，解得；
當時，，即為，解得；
當時，，即為，無解.
綜上可得，的解集為.
（2）若在上恒不成立,
可得在上恒不成立,
化為,即，
可得，即在恒不成立,
則，，則，
，，則，
則的范圍是.
20．（2024·陜西榆林·模擬預測）已加．
(1)解不等式；
(2)令，若的圖象與軸所圍成的圖形的面積為，求實數的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）去絕對值，結合一元一次不等式即可求解；（2）結合圖像平移即可求解.
【詳解】（1），
當時，，解得，無解；
當時，，解得，所以；
當時，，解得，所以．
綜上所述，不等式的解集為．
（2）畫出的圖象，由（1）知，陰影部分的面積為，
所以的圖象向下平移至陰影部分的上沿與軸重合時，圖形與軸所圍成圖形的面積恰為陰影部分的面積，即為，
此時函數的圖象向下平移的距離為3，故．

21．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如果關于的不等式組的解集，且關于的分式方程有非負數解，則所有符合條件的整數的值之和是
A． B．0 C．3 D．5
【答案】A
【分析】不等式組變形后，根據解集確定出m的范圍，再表示出分式方程的解，由分式方程有非負數解，確定出滿足條件m的值，進而求出之和．
【詳解】解不等式，得，
解不等式，得，
不等式組的解集為，
，解得.
解分式方程得，
分式方程有非負數解，
且，解得且，
.且，
則所有符合條件的整數的值之和是.
故選A.
【點睛】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式組，熟練掌握解分式方程和一元一次不等式組的方法是解題的關鍵．
22．（2024高一·全國·課后作業(yè)）為了抓住某藝術節(jié)的商機，某商店決定購進A，B兩種藝術節(jié)紀念品．若購進A種紀念品8件，B種紀念品3件，需要970元，購進A種紀念品5件，B種紀念品6件，需要800元．
（1）求購進A，B兩種紀念品每件分別需要多少錢；
（2）若該商店決定購進A，B兩種紀念品共100件，考慮市場需求和資金周轉，用于購買這100件紀念品的資金不少于7700元，但不超過7670元，則該商店共有幾種進貨方案？
（3）若銷售每件A種紀念品可獲利潤20元，每件B種紀念品可獲利潤30元，在第（2）問的各種進貨方案中，哪一種方案可獲利潤最大？最大利潤是多少元？
【答案】（1）100元、70元；（2）答案見解析；（3）方案一可獲利潤最大，最大利潤為2700元.
【分析】（1）設購進A種紀念品每件x元，B種紀念品每件y元，列方程組求解；
（2）設購進A種紀念品x件，則購進B種紀念品(100－x)件，根據資金列一元一次不等式組求解；
（3）根據（2）求出各方案的利潤，比較可得．
【詳解】（1）設購進A種紀念品每件x元，B種紀念品每件y元．
根據題意，得解得
所以購進A，B兩種紀念品每件分別需要100元、70元．
（2）設購進A種紀念品x件，則購進B種紀念品(100－x)件．根據題意，得
7 700≤100x＋70(100－x)≤7 670，
解得70≤x≤53.
因為x是正整數，
所以x可以取70，51，52，53.
所以共有四種進貨方案，
方案一：購進A種紀念品70件，B種紀念品70件；
方案二：購進A種紀念品51件，B種紀念品49件；
方案三：購進A種紀念品52件，B種紀念品48件；
方案四：購進A種紀念品53件，B種紀念品47件．
（3）方案一獲利：70×20＋70×302 700(元)；
方案二獲利：51×20＋49×302 490(元)；
方案三獲利：52×20＋48×302 480(元)；
方案四獲利：53×20＋47×302 470(元)；
所以方案一可獲利潤最大，最大利潤為2 700元．
【點睛】本題考查用方程組和不等式解應用題，解題關鍵是設出未知數，根據已知條件列出方程組或不等式求解．
23．（2024高一·全國·課后作業(yè)）對x，y定義一種新運算T，規(guī)定：T(x，y) (其中a，b均為非零常數)，這里等式右邊是普通的四則運算，例如：T(0，1)b.已知T(1，－1)－2，T(4，2)1.
（1）求a，b的值；
（2）若關于m的不等式組恰好有3個整數解，求實數p的取值范圍．
【答案】（1）；（2）－2≤p＜－.
【分析】（1）根據新定義運算列方程組可解得；
（2）利用新定義運算把新不等式組轉化為一元一次不等式組，然后解之，再利用不等式組的解恰好有3個整數可得的不等關系，從而得出結論．
【詳解】（1）由T(1，－1)－2，T(4，2)1，得
即
解得
（2）由（1），得T(x，y)，則不等式組可化為
解得－≤m＜.
因為不等式組恰好有3個整數解，所以2＜≤3，解得－2≤p＜－.
【點睛】本題考查新定義運算，解題關鍵是正確理解新定義，利用新定義把問題轉化為我們熟知的一元一次不等式組求解．
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