資源簡介

3.1.3函數(shù)的奇偶性
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解函數(shù)的奇偶性及其幾何意義；學(xué)會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的生質(zhì)；學(xué)會判斷函數(shù)的奇偶性； 2.通過函數(shù)奇偶性概念的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力，參透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. 3.通過函數(shù)的奇偶性教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的概括歸納問題的能力. 1.奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義； 2.判斷函數(shù)奇偶性的步驟； 3.奇函數(shù)、偶函數(shù)圖象的對稱性；
知識點01 奇、偶函數(shù)的定義
偶函數(shù) 奇函數(shù)
條件 一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為D，如果對D內(nèi)的任意一個x，都有－x∈D，且
f(－x)f(x) f(－x)－f(x)
結(jié)論 則稱yf(x)為偶函數(shù) 則稱yf(x)為奇函數(shù)
定義域特征 定義域關(guān)于原點對稱
等價形式 若f(x)≠0，則－1 f(x)為奇函數(shù)，1 f(x)為偶函數(shù)
注：利用定義法判斷函數(shù)奇偶性的步驟
(1)一看定義域．定義域D要具有對稱性，即對 x∈D，－x∈D，也就是說奇、偶函數(shù)的定義域要關(guān)于原點對稱，定義域不關(guān)于原點對稱時，f(x)是非奇非偶函數(shù)．
(2)二看等式．當(dāng)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱時，要看f(x)與f(－x)的關(guān)系：
①f(－x)f(x) f(x)是偶函數(shù)；
②f(－x)－f(x) f(x)是奇函數(shù)；
③f(－x)≠±f(x) f(x)是非奇非偶函數(shù)；
④f(－x)±f(x) f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，這樣的函數(shù)只有一類，即f(x)0，x∈D，且D關(guān)于原點對稱．
【即學(xué)即練1】（山東省濰坊市國開中學(xué)、日照市莒縣某高中校級聯(lián)考2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期春季高考階段性檢測數(shù)學(xué)試題）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【即學(xué)即練2】（2024·云南昆明·高一校考期中）已知函數(shù)，點，是圖象上的兩點．
(1)求，的值；
(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由．
知識點02奇、偶函數(shù)的圖像特征(幾何意義)
（1）奇函數(shù)的圖像特征(幾何意義)
奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱；反之，結(jié)論也不成立，即圖像關(guān)于原點對稱的函數(shù)一定是奇函數(shù)．
（2）偶函數(shù)的圖像特征(幾何意義)
偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱；反之，結(jié)論也不成立，即圖像關(guān)于y軸對稱的函數(shù)一定是偶函數(shù)．
注：(1)若f(x)是奇函數(shù)，點(x，f(x))在其圖像上，則點(－x，f(－x))，即點(－x，－f(x))也在其圖像上．
(2)若f(x)是偶函數(shù)，點(x，f(x))在其圖像上，則點(－x，f(－x))，即點(－x，f(x))也在其圖像上．
【即學(xué)即練3】（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，.
(1)現(xiàn)已畫出函數(shù)在軸及軸左側(cè)的圖象，如圖所示，請把函數(shù)的圖象補充完整，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)寫出函數(shù)的值域．
易錯 判斷奇偶性時忽略定義域致錯
1．判斷函數(shù)f(x)(1＋x)的奇偶性．
【題型1：函數(shù)奇偶性的判斷】
例1.（2024·青海西寧·高一校考階段練習(xí)）下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）判斷下列函數(shù)的奇偶性，并加以證明：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8).
變式2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的奇偶性是（ ）
A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既奇又偶函數(shù)
變式3．．（2024·江西·高三寧岡中學(xué)校考期中）設(shè)函數(shù)，的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則（ ）
A．是偶函數(shù)
B．是偶函數(shù)
C．是奇函數(shù)
D．是奇函數(shù)
變式4．（2024·新疆烏魯木齊·高一校考期中）已知函數(shù)．
(1)判斷函數(shù)的奇偶性；
(2)用定義法證明：在上單調(diào)遞增；
變式5．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，且．
(1)判斷并證明函數(shù)在其定義域上的奇偶性．
(2)證明函數(shù)在上是增函數(shù)．
(3)畫出在上的圖象，并求在上值域．
【方法技巧與總結(jié)】
函數(shù)奇偶性判斷的方法
(1)定義法：
(2)圖像法：若函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱．則函數(shù)為偶函數(shù)．此法多用在解選擇、填空題中．　　
(3)性質(zhì)法：兩個奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；兩個偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù)；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù).
(4)分段函數(shù)奇偶性的判斷
判斷分段函數(shù)的奇偶性時，通常利用定義法判斷.分段函數(shù)不是幾個函數(shù)，而是一個函數(shù).因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，然后判斷與的關(guān)系.首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達式中，與對應(yīng)不同的表達式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進行比較.
【題型2：函數(shù)奇偶性的圖像特征】
例2．（2024·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
變式1．【多選】（2024·山東棗莊·高三棗莊市第三中學(xué)校考期中）已知定義在上的函數(shù)，對任意實數(shù)滿足，且時，，則下列說法中，正確的是（ ）
A．2是的周期 B．不是圖象的對稱軸
C． D．是圖象的對稱中心
變式2．（2024·湖北黃岡·高一校考期中）已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，．
(1)求函數(shù)在上的表達式；
(2)畫出函數(shù)的大致圖象；
(3)直接寫出函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間．
(4)若方程a有兩個實數(shù)根，直接寫出a的取值范圍．
【方法技巧與總結(jié)】
函數(shù)奇偶性的圖像特征
根據(jù)奇偶函數(shù)在原點一側(cè)的圖像求解與函數(shù)有關(guān)的值域、定義域、不等式問題時，應(yīng)根據(jù)奇偶函數(shù)圖像的對稱性作出函數(shù)在定義域另一側(cè)的圖像，根據(jù)圖像特征求解問題．　　
【題型3：利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)】
例3．（2024·福建泉州·高一校考期中）若是偶函數(shù)，則（ ）
A．2 B．1 C．1 D．3
變式1．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)，求實數(shù)a的值．
變式2．（2024·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，則 ．
變式3．（2023·四川綿陽·高一期中）若函數(shù)為奇函數(shù)，則 .
變式4．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則 ．
變式5．（2024·遼寧·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（ ）
A．1 B． C．0 D．2
變式6．（2023秋·上海松江·高一校考期末）若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則 .
變式7．（2024·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
變式8．（2023春·陜西安康·高三校考階段練習(xí)）若是奇函數(shù)，則（ ）
A．， B．， C．， D．，
變式9．（2023春·云南曲靖·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且．
(1)求的值；
(2)求使不成立的實數(shù)的取值集合．
【方法技巧與總結(jié)】
利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)的解題思路
奇、偶函數(shù)的定義既是判斷函數(shù)是否具有奇偶性的一種方法，也是在已知函數(shù)奇偶性時可以運用的一個性質(zhì)，解題時要注意奇、偶函數(shù)的定義的正用和逆用．利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)一般有如下兩種題型．
(1)定義域含參，需根據(jù)定義域關(guān)于坐標(biāo)原點對稱列式求解．
(2)解析式含參，需根據(jù)f(x)f(－x)或f(x)－f(－x)列式，比較各項的系數(shù)求解．　
【題型4：利用函數(shù)奇偶性求值】
例4．（2024·甘肅蘭州·高三校考階段練習(xí)）已知是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則 .
變式1．（2024·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則 .
變式2．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)為上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則（ ）
A．12 B． C．13 D．
變式3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，則 .
變式4．（2024·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期中）已知，其中為常數(shù)，若，則 ．
變式5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，則（ ）
A．3 B．1 C．-1 D．-5
變式6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則的值等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
變式7．（2024·山西晉城·高三晉城市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若是奇函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結(jié)】
由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值
由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值時，若所給的函數(shù)具有奇偶性，則直接利用或求解；若所給函數(shù)不具有奇偶性，一般續(xù)利用所給的函數(shù)構(gòu)造一個奇函數(shù)或偶函數(shù)，然后利用其奇偶性求值。
【題型5：利用函數(shù)奇偶性求解析式】
例5．（2024·海南海口·高一海口一中校考期中）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時，則當(dāng)時， ．
變式1．（2024·江蘇鹽城·高一江蘇省射陽中學(xué)校考期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則在上的解析式為 .
變式2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則的解析式為 .
變式3．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，.
(1)求函數(shù)在上的解析式；
(2)若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍.
變式4．（2024·高一課時練習(xí)）已知是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，求的解析式．
變式5．（2024·廣東東莞·高一東莞高級中學(xué)校考期中）已知函數(shù)（）是偶函數(shù)．當(dāng)時，．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)記在區(qū)間上的最小值為，求的表達式．
變式6．（2024·全國·高一專題練習(xí)）（1）函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)時，，求的解析式；
（2）設(shè)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且，求函數(shù)的解析式．
變式7．（2023·全國·高一專課時練習(xí)）若定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足．則 ．
【方法技巧與總結(jié)】
利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式的方法
已知函數(shù)f(x)的奇偶性及函數(shù)f(x)在某區(qū)間上的解析式，求該函數(shù)在整個定義域上的解析式的方法如下：
(1)求哪個區(qū)間上的解析式，x就設(shè)在那個區(qū)間上；
(2)把x對稱轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，代入到已知區(qū)間上的函數(shù)解析式中；
(3)利用f(x)的奇偶性將f(－x)用－f(x)或f(x)表示，從而求出f(x).
注意：若奇函數(shù)定義域包含0，則必有f(0)0.　
【題型6：函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用】
例6．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知定義在上的偶函數(shù)在上是減函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是 .
變式1．（2024·江蘇常州·高三常州市第三中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為 ．
變式2．（2024·廣東深圳·高三校考階段練習(xí)）已知是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)．又，則的解集為（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（2024·江西·高三寧岡中學(xué)校考期中）定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
變式4．（2024·北京東城·高一校考期中）若定義在R上的奇函數(shù)在上是增函數(shù)，又，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
變式5．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，則的解集為（ ）
A． B． C． D．
變式6．（2024·天津·高一校考期中）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，若對于任意不等實數(shù)，不等式恒不成立，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．或
變式7．（2024·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集為 ．
變式8．（2024·河南鄭州·高三校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則使得不成立的x的取值范圍是 .
變式9．（2023春·云南迪慶·高一統(tǒng)考期末）設(shè)定義在上的奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，若，則實數(shù)的取值范圍是 .
變式10．（2023秋·河北石家莊·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)定義域為，且的圖象關(guān)于對稱，當(dāng)時，單調(diào)遞減，則關(guān)于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
變式11．（2023·全國·高一專題練習(xí)）定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有，則、、的大小關(guān)系為（ ）
A． B．
C． D．
變式12．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，恒不成立，設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結(jié)】
1、函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系
(1)若f(x)是奇函數(shù)，且f(x)在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)在[－b，－a]上也為單調(diào)函數(shù)，且具有相同的單調(diào)性．
(2)若f(x)是偶函數(shù)，且f(x)在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)在[－b，－a]上也為單調(diào)函數(shù)，且具有相反的單調(diào)性．
2、利用單調(diào)性和奇偶性解不等式的方法
(1)充分利用已知的條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉(zhuǎn)化為f(x1)>f(x2)或f(x1)(2)在對稱區(qū)間上根據(jù)奇函數(shù)的單調(diào)性一致，偶函數(shù)的單調(diào)性相反，列出不等式或不等式組，求解即可，同時要注意函數(shù)自身定義域?qū)?shù)的影響．
【題型7：抽象函數(shù)的奇偶性】
例7.【多選】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，均為定義在上的奇函數(shù)，且，，則（ ）
A．是奇函數(shù) B．是奇函數(shù)
C．是偶函數(shù) D．是偶函數(shù)
變式1．【多選】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，且對于任意，都有，則（ ）
A． B．
C．為偶函數(shù) D．為奇函數(shù)
變式2．（2023秋·黑龍江牡丹江·高一校考期末）設(shè)函數(shù)是增函數(shù)，對于任意x，都有．
（1）寫一個滿足條件的并證明；
（2）證明是奇函數(shù)；
（3）解不等式．
一、單選題
1．（24-25高三上·山西朔州·階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，當(dāng)時，.若，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測）下列函數(shù)是奇函數(shù)，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·海南省直轄縣級單位·開學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，，則（ ）
A．4070 B．4048 C．4044 D．4036
4．（24-25高一上·全國·隨堂練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則等于（ ）
A． B．1 C．0 D．2
5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，滿足，若，則（ ）
A．－2 B．0 C．2 D．4
6．（23-24高一上·貴州·階段練習(xí)）已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高一上·江蘇·專題練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，若不等式對任意實數(shù)恒不成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高三上·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）已知定義域為R的函數(shù)，滿足，且，則以下選項錯誤的是（ ）
A． B．圖象關(guān)于對稱
C．圖象關(guān)于對稱 D．為偶函數(shù)
9．（24-25高三上·重慶渝中·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若為奇函數(shù)，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、多選題
10．（23-24高一上·福建龍巖·階段練習(xí)）下列函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對稱美”，如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美．在平面直角坐標(biāo)系中，若一個函數(shù)的圖象能夠?qū)⒛硞€圓的周長和面積同時平分，則稱這個函數(shù)為這個圓的“太極函數(shù)”，下列說法中正確的有（ ）
A．對于一個半徑為1的圓，其“太極函數(shù)”僅有1個
B．函數(shù)可以同時是無數(shù)個圓的“太極函數(shù)”
C．函數(shù)不可能是某個圓的“太極函數(shù)”
D．函數(shù)是某個圓的“太極函數(shù)”
12．（2025·吉林長春·一模）定義在的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則（ ）
A．是奇函數(shù) B．在上單調(diào)遞增
C． D．
13．（23-24高一上·河北滄州·階段練習(xí)）已知定義在上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則（ ）
A．的圖像關(guān)于點對稱 B．
C．當(dāng)時， D．在上單調(diào)遞減
14．（24-25高三上·山東菏澤·開學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域均為的圖象關(guān)于對稱，是奇函數(shù)，且，則下列說法正確的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
15．（24-25高三上·海南省直轄縣級單位·開學(xué)考試）已知定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值范圍是 ．
16．（23-24高一上·吉林·階段練習(xí)）若函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，又，則的解集是 .
17．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)若，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
18．（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則 ．
19．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，若對任意的，當(dāng)時，有不成立，則不等式的解集為 ．
20．（23-24高一上·福建龍巖·階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則的解集為 .
四、解答題
21．（24-25高一上·全國·課堂例題）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，.現(xiàn)已畫出函數(shù)在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示.
(1)請補全函數(shù)的圖象；
(2)根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(3)根據(jù)圖象寫出使的x的取值集合.
22．（2024高一上·江蘇·專題練習(xí)）函數(shù)是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，函數(shù)的解析式為.
(1)求的值；
(2)用定義證明在上是減函數(shù)；
(3)當(dāng)時，求函數(shù)的解析式.
23．（2024高一上·江蘇·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中.
(1)當(dāng)函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱時，求的值；
(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；
(3)若，求函數(shù)在區(qū)間上的值域.
24．（23-24高一上·浙江寧波·期中）黎曼函數(shù)是一個特殊的函數(shù)，是德國著名數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用．黎曼函數(shù)定義在上，．
(1)請用描述法寫出滿足方程的解集；（直接寫出答案即可）
(2)解不等式；
(3)探究是否存在非零實數(shù)，使得為偶函數(shù)？若存在，求k，b應(yīng)滿足的條件；若不存在，請說明理由．
25．（23-24高一上·重慶沙坪壩·期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，函數(shù)在軸左側(cè)的圖象如圖所示，請根據(jù)圖象；
(1)畫出在軸右側(cè)的圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)寫出函數(shù)的解析式；
(3)若函數(shù)，求函數(shù)的最小值.
26．（23-24高二下·河南安陽·期末）世界上海拔最高的天然“心形湖”位于四川省康定縣的情歌木格措景區(qū)，被譽為藏在川西的“天空之心”.這個湖泊位于青藏高原，呈現(xiàn)出明亮的藍綠色，水質(zhì)清澈宛如明鏡.湖泊周圍環(huán)抱著雪山和梅花峰，景色優(yōu)美迷人.下圖1是這個“心形湖”的輪廓，其形狀如一顆愛心.圖2是由此抽象出來的一個“心形”圖形，這個圖形可看作由兩個函數(shù)的圖象構(gòu)成，則“心形”在軸上方的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式可能為（ ）
A． B．
C． D．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)3.1.3函數(shù)的奇偶性
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解函數(shù)的奇偶性及其幾何意義；學(xué)會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的生質(zhì)；學(xué)會判斷函數(shù)的奇偶性； 2.通過函數(shù)奇偶性概念的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力，參透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. 3.通過函數(shù)的奇偶性教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的概括歸納問題的能力. 1.奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義； 2.判斷函數(shù)奇偶性的步驟； 3.奇函數(shù)、偶函數(shù)圖象的對稱性；
知識點01 奇、偶函數(shù)的定義
偶函數(shù) 奇函數(shù)
條件 一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為D，如果對D內(nèi)的任意一個x，都有－x∈D，且
f(－x)f(x) f(－x)－f(x)
結(jié)論 則稱yf(x)為偶函數(shù) 則稱yf(x)為奇函數(shù)
定義域特征 定義域關(guān)于原點對稱
等價形式 若f(x)≠0，則－1 f(x)為奇函數(shù)，1 f(x)為偶函數(shù)
注：利用定義法判斷函數(shù)奇偶性的步驟
(1)一看定義域．定義域D要具有對稱性，即對 x∈D，－x∈D，也就是說奇、偶函數(shù)的定義域要關(guān)于原點對稱，定義域不關(guān)于原點對稱時，f(x)是非奇非偶函數(shù)．
(2)二看等式．當(dāng)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱時，要看f(x)與f(－x)的關(guān)系：
①f(－x)f(x) f(x)是偶函數(shù)；
②f(－x)－f(x) f(x)是奇函數(shù)；
③f(－x)≠±f(x) f(x)是非奇非偶函數(shù)；
④f(－x)±f(x) f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，這樣的函數(shù)只有一類，即f(x)0，x∈D，且D關(guān)于原點對稱．
【即學(xué)即練1】（山東省濰坊市國開中學(xué)、日照市莒縣某高中校級聯(lián)考2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期春季高考階段性檢測數(shù)學(xué)試題）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)增減的性質(zhì)，逐個選項進行判斷可得答案.
【詳解】A選項，為奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，故A正確；
B選項，是奇函數(shù)，在，上遞減，故B錯誤；
C選項，偶函數(shù)，故C錯誤；
D選項，是奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，故D錯誤，．
故洗：A
【即學(xué)即練2】（2024·云南昆明·高一校考期中）已知函數(shù)，點，是圖象上的兩點．
(1)求，的值；
(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由．
【答案】(1)
(2)為奇函數(shù)，理由見解析
【分析】（1）分別代入兩點坐標(biāo)聯(lián)立求解即可；
（2）根據(jù)奇偶函數(shù)的定義判斷即可.
【詳解】（1）由題意，，解得.
（2）由（1），易得定義域關(guān)于原點對稱.
又，故為奇函數(shù).
知識點02奇、偶函數(shù)的圖像特征(幾何意義)
（1）奇函數(shù)的圖像特征(幾何意義)
奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱；反之，結(jié)論也不成立，即圖像關(guān)于原點對稱的函數(shù)一定是奇函數(shù)．
（2）偶函數(shù)的圖像特征(幾何意義)
偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱；反之，結(jié)論也不成立，即圖像關(guān)于y軸對稱的函數(shù)一定是偶函數(shù)．
注：(1)若f(x)是奇函數(shù)，點(x，f(x))在其圖像上，則點(－x，f(－x))，即點(－x，－f(x))也在其圖像上．
(2)若f(x)是偶函數(shù)，點(x，f(x))在其圖像上，則點(－x，f(－x))，即點(－x，f(x))也在其圖像上．
【即學(xué)即練3】（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，.
(1)現(xiàn)已畫出函數(shù)在軸及軸左側(cè)的圖象，如圖所示，請把函數(shù)的圖象補充完整，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)寫出函數(shù)的值域．
【答案】(1)作圖見解析，單調(diào)遞增區(qū)間是
(2)
【分析】（1）利用偶函數(shù)的對稱性即可補全圖象，根據(jù)圖象可看出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)時的解析式可求得，由對稱性可得的值域即為.
【詳解】（1）由為偶函數(shù)可知，其圖象關(guān)于軸對稱，
作出已知圖象關(guān)于y軸對稱的圖象，即得該函數(shù)的完整圖象，如下圖所示：

由圖可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．
（2）由題意知，當(dāng)時，的最小值為；
由偶函數(shù)的性質(zhì)可得，即函數(shù)的值域為.
易錯 判斷奇偶性時忽略定義域致錯
1．判斷函數(shù)f(x)(1＋x)的奇偶性．
正解：　(1＋x)有意義時必須滿足≥0，解得－1＜x≤1，即函數(shù)f(x)的定義域是{x|－1＜x≤1}．
因為函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點不對稱，
所以該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
[易錯探因]　解答本題時易忽略函數(shù)的定義域得到如下錯解：
∵f(x)(1＋x)，
∴f(－x)f(x)，
∴f(x)(1＋x)是偶函數(shù)．
[誤區(qū)警示]　因為函數(shù)的定義域是否關(guān)于坐標(biāo)原點對稱是判斷函數(shù)奇偶性的前提，所以判斷函數(shù)的奇偶性時，應(yīng)先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于坐標(biāo)原點對稱．
【題型1：函數(shù)奇偶性的判斷】
例1.（2024·青海西寧·高一校考階段練習(xí)）下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】對于A，二次函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，不關(guān)于原點對稱，A錯誤；
對于B，是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)；
對于C，設(shè)，定義域為，且，
即為奇函數(shù)；
對于D，二次函數(shù)關(guān)于直線對稱,不關(guān)于原點對稱，D錯誤；
變式1．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）判斷下列函數(shù)的奇偶性，并加以證明：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8).
【答案】(1)奇函數(shù)，證明見解析
(2)非奇非偶函數(shù)，證明見解析
(3)非奇非偶函數(shù)，證明見解析
(4)奇函數(shù)，證明見解析
(5)偶函數(shù)，證明見解析
(6)奇函數(shù)，證明見解析
(7)偶函數(shù)，證明見解析
(8)奇函數(shù)，證明見解析
【分析】先求出各個函數(shù)的定義域，若定義域不關(guān)于原點對稱，則為非奇非偶函數(shù)；若關(guān)于原點對稱，求出，與比較，即可得出答案.
【詳解】（1）為奇函數(shù)
定義域為R，關(guān)于原點對稱，
且，
所以為奇函數(shù).
（2）為非奇非偶函數(shù)，
定義域為R，關(guān)于原點對稱，
，且，
所以，為非奇非偶函數(shù).
（3）為非奇非偶函數(shù)，
定義域為，不關(guān)于原點對稱，
所以，為非奇非偶函數(shù).
（4）為奇函數(shù)，
定義域為，關(guān)于原點對稱，
，
所以為奇函數(shù).
（5）為偶函數(shù)，
定義域為，關(guān)于原點對稱，
，
所以為偶函數(shù).
（6）為奇函數(shù)，
定義域為，關(guān)于原點對稱，
，
所以為奇函數(shù).
（7）為偶函數(shù)，
定義域為R，關(guān)于原點對稱.
對于，都有，且.
對于，，
有，.
同理可推得，，.
綜上所述，，都有，
所以為偶函數(shù).
（8）為奇函數(shù)，
定義域為R，關(guān)于原點對稱.
對于，都有，且.
對于，，
有，.
同理可推得，，.
綜上所述，，都有，
所以為奇函數(shù).
變式2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的奇偶性是（ ）
A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既奇又偶函數(shù)
【答案】A
【解析】若，則，則；
若，則，則.
又，滿足.
所以，又函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，
因此，函數(shù)為奇函數(shù)..
變式3．．（2024·江西·高三寧岡中學(xué)校考期中）設(shè)函數(shù)，的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則（ ）
A．是偶函數(shù)
B．是偶函數(shù)
C．是奇函數(shù)
D．是奇函數(shù)
【答案】C
【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義逐個選項判斷即可.
【詳解】對A，，故是奇函數(shù)，故A錯誤；
對B，，故是偶函數(shù)，故B正確；
對C，，故是偶函數(shù)，故C錯誤；
對D，，故是偶函數(shù)，故D錯誤.
變式4．（2024·新疆烏魯木齊·高一校考期中）已知函數(shù)．
(1)判斷函數(shù)的奇偶性；
(2)用定義法證明：在上單調(diào)遞增；
【答案】(1)非奇非偶函數(shù)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可得解；
（2）利用作差法計算即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）由，得，則，
所以函數(shù)的定義域為不關(guān)于原點對稱，
所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；
（2），
令，
則，
因為，所以，
所以，即，
所以在上單調(diào)遞增.
變式5．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，且．
(1)判斷并證明函數(shù)在其定義域上的奇偶性．
(2)證明函數(shù)在上是增函數(shù)．
(3)畫出在上的圖象，并求在上值域．
【答案】(1)奇函數(shù)，證明見解析．
(2)證明見解析
(3)圖象見解析，值域
【分析】（1）先將代入，求出的值代入后再判斷函數(shù)的奇偶性，并用定義證明；
（2）利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；
（3）結(jié)合第（2）問單調(diào)性的結(jié)果，判斷該函數(shù)在上的單調(diào)性，再求最值．
【詳解】（1）在其定義域上為奇函數(shù)，
，定義域為，
由，
解得，，
，
在定義域上為奇函數(shù)．
（2）任取，且，
，
，，則
又，，
，即，
在上為增函數(shù)．
（3）在上的圖象如圖.
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
,又，則
故函數(shù)值域為.

【方法技巧與總結(jié)】
函數(shù)奇偶性判斷的方法
(1)定義法：
(2)圖像法：若函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱．則函數(shù)為偶函數(shù)．此法多用在解選擇、填空題中．　　
(3)性質(zhì)法：兩個奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；兩個偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù)；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù).
(4)分段函數(shù)奇偶性的判斷
判斷分段函數(shù)的奇偶性時，通常利用定義法判斷.分段函數(shù)不是幾個函數(shù)，而是一個函數(shù).因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，然后判斷與的關(guān)系.首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達式中，與對應(yīng)不同的表達式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進行比較.
【題型2：函數(shù)奇偶性的圖像特征】
例2．（2024·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除C，根據(jù)特殊值法可排除BD，即可求解.
【詳解】由于定義域為，所以，
故，為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，C錯誤；
，B錯誤，，D錯誤，
．
變式1．【多選】（2024·山東棗莊·高三棗莊市第三中學(xué)校考期中）已知定義在上的函數(shù)，對任意實數(shù)滿足，且時，，則下列說法中，正確的是（ ）
A．2是的周期 B．不是圖象的對稱軸
C． D．是圖象的對稱中心
【答案】AC
【分析】由周期性、對稱性的定義判斷．
【詳解】時，，
由知2是的一個周期，A正確；
由得是圖象的一條對稱軸，從而也是圖象的一條對稱軸，時，，BD錯誤；
，C正確；
C．
變式2．（2024·湖北黃岡·高一校考期中）已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，．
(1)求函數(shù)在上的表達式；
(2)畫出函數(shù)的大致圖象；
(3)直接寫出函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間．
(4)若方程a有兩個實數(shù)根，直接寫出a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)值域為，單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，；
(4)∪（0，1）
【分析】先設(shè)，則代入已知函數(shù)的解析式，從而求出的函數(shù)解析式，進而可以求解；
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可畫出函數(shù)的圖像；
根據(jù)圖像即可求出函數(shù)的值域研究單調(diào)區(qū)間．
（4）數(shù)型結(jié)合根據(jù)圖像求解即可.
【詳解】（1）設(shè)，則，所以，
又函數(shù)是奇函數(shù)，則，
所以，
又，則，
所以函數(shù)在上的解析式為；
（2）函數(shù)的圖像如圖所示：
（3）由圖象可得函數(shù)的值域為，
單調(diào)遞增區(qū)間為，，
單調(diào)遞減區(qū)間為，．
（4）∪（0，1）.
【方法技巧與總結(jié)】
函數(shù)奇偶性的圖像特征
根據(jù)奇偶函數(shù)在原點一側(cè)的圖像求解與函數(shù)有關(guān)的值域、定義域、不等式問題時，應(yīng)根據(jù)奇偶函數(shù)圖像的對稱性作出函數(shù)在定義域另一側(cè)的圖像，根據(jù)圖像特征求解問題．　　
【題型3：利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)】
例3．（2024·福建泉州·高一校考期中）若是偶函數(shù)，則（ ）
A．2 B．1 C．1 D．3
【答案】A
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)計算可得.
【詳解】因為是偶函數(shù)，
所以，即，
所以，則，解得.
變式1．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)，求實數(shù)a的值．
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可代入求解.
【詳解】由可得，
由于為偶函數(shù)，所以，
所以，故，
變式2．（2024·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，則 ．
【答案】2
【分析】由題意，可解出，定義域關(guān)于原點對稱，可解出.
【詳解】函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，
得，所以，解得，
且定義域關(guān)于原點對稱，所以，解得，
所以．
故答案為：2.
變式3．（2023·四川綿陽·高一期中）若函數(shù)為奇函數(shù)，則 .
【答案】
【解析】顯然函數(shù)的定義域為R，
由是奇函數(shù)，得，即，
即，而不恒為0，
則，解得，所以.
變式4．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱可得，進而代入即可求解.
【詳解】由題意可知，即.
又是奇函數(shù)，故，即，
∴對任意都不成立，則，
∴.所以，
故答案為：
變式5．（2024·遼寧·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（ ）
A．1 B． C．0 D．2
【答案】D
【分析】利用偶函數(shù)的定義，建立方程，可得答案.
【詳解】由題意可得，則，可得.
.
變式6．（2023秋·上海松江·高一校考期末）若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則 .
【答案】1
【解析】因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)
所以，解得.
因為，
所以，解得.
所以.
變式7．（2024·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】化簡函數(shù)為，根據(jù)，列出方程，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，
因為函數(shù)為偶函數(shù)，可得，
即，所以，解得.
.
變式8．（2023春·陜西安康·高三校考階段練習(xí)）若是奇函數(shù)，則（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】利用題給條件列出關(guān)于實數(shù)的方程組，解之即可求得實數(shù)的值.
【詳解】是奇函數(shù)，則，，
即，解之得，
則，經(jīng)檢驗是奇函數(shù).
變式9．（2023春·云南曲靖·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且．
(1)求的值；
(2)求使不成立的實數(shù)的取值集合．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由列式求出m，n，再檢驗奇偶性即可得解；
（2）先根據(jù)函數(shù)定義域可得，再判斷的單調(diào)性，由奇偶性和單調(diào)性將原不等式化簡，求解關(guān)于a的不等式組即可．
【詳解】（1）由題意可得：，解得，
則，
可得，則符合題意，
所以.
（2）因為的定義域為，則，解得，
又因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
由，可得，則或，
解得或，
綜上所述：或，
所以能使不成立的實數(shù)的取值集合為.
【方法技巧與總結(jié)】
利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)的解題思路
奇、偶函數(shù)的定義既是判斷函數(shù)是否具有奇偶性的一種方法，也是在已知函數(shù)奇偶性時可以運用的一個性質(zhì)，解題時要注意奇、偶函數(shù)的定義的正用和逆用．利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)一般有如下兩種題型．
(1)定義域含參，需根據(jù)定義域關(guān)于坐標(biāo)原點對稱列式求解．
(2)解析式含參，需根據(jù)f(x)f(－x)或f(x)－f(－x)列式，比較各項的系數(shù)求解．　
【題型4：利用函數(shù)奇偶性求值】
例4．（2024·甘肅蘭州·高三校考階段練習(xí)）已知是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則 .
【答案】1
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案.
【詳解】由題意是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，
則，
故答案為：1
變式1．（2024·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則 .
【答案】9
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合，代入即可求解.
【詳解】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，
則.
故答案為：.
變式2．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)為上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則（ ）
A．12 B． C．13 D．
【答案】D
【解析】因為為上的奇函數(shù)，所以，，
所以.
變式3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，則 .
【答案】
【解析】由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，
則，，
由，則.
故答案為：.
變式4．（2024·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期中）已知，其中為常數(shù)，若，則 ．
【答案】
【分析】構(gòu)造奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的定義求解．
【詳解】設(shè)，，是奇函數(shù)，
，則，又，所以．
故答案為：．
變式5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，則（ ）
A．3 B．1 C．-1 D．-5
【答案】C
【解析】設(shè)，定義域為，
則，故為奇函數(shù)，
又，則，
所以.
變式6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則的值等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】，設(shè)，函數(shù)定義域為，
，函數(shù)為奇函數(shù)，，
，，故..
變式7．（2024·山西晉城·高三晉城市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若是奇函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)奇偶性求參數(shù)，然后求函數(shù)值即可.
【詳解】由已知可得，則．
因為是奇函數(shù)，
所以，即，
因為，解得，所以，
所以.
．
【方法技巧與總結(jié)】
由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值
由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值時，若所給的函數(shù)具有奇偶性，則直接利用或求解；若所給函數(shù)不具有奇偶性，一般續(xù)利用所給的函數(shù)構(gòu)造一個奇函數(shù)或偶函數(shù)，然后利用其奇偶性求值。
【題型5：利用函數(shù)奇偶性求解析式】
例5．（2024·海南海口·高一海口一中校考期中）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時，則當(dāng)時， ．
【答案】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.
【詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù)，
所以當(dāng)時，，
故答案為：
變式1．（2024·江蘇鹽城·高一江蘇省射陽中學(xué)校考期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則在上的解析式為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合奇函數(shù)的定義與性質(zhì)運算求解.
【詳解】因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，
當(dāng)時，則，可得，
所以.
故答案為：.
變式2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則的解析式為 .
【答案】（或）
【詳解】根據(jù)題意可知，當(dāng)時，，則，
又函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，
因此當(dāng)時，，所以的解析式為.
故答案為：
變式3．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，.
(1)求函數(shù)在上的解析式；
(2)若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由奇函數(shù)的定義和已知區(qū)間上的解析式，可得所求解析式；
（2）作出函數(shù)的圖象，從而得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，根據(jù)題意列不等式，即可得答案.
【詳解】（1）解：設(shè)，則，所以，
因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，
所以，
又因函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，可得，
所以函數(shù)在上的解析式為.
（2）解：作出函數(shù)的圖象，如圖所示，
由函數(shù)圖象可知，在上單調(diào)遞增，
要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則滿足，解得，
所以實數(shù)的取值范圍為.
變式4．（2024·高一課時練習(xí)）已知是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，求的解析式．
【答案】
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義結(jié)合已知的解析式可求出當(dāng)時的解析式，從而可求出函數(shù)解析式
【詳解】因為當(dāng)時，，所以
因為是R上的偶函數(shù)，
所以，，
所以.
變式5．（2024·廣東東莞·高一東莞高級中學(xué)校考期中）已知函數(shù)（）是偶函數(shù)．當(dāng)時，．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)記在區(qū)間上的最小值為，求的表達式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件令，得到，從而求出，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（2）根據(jù)區(qū)間和分段函數(shù)的臨界值，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性分類討論即可.
【詳解】（1）令，則，
因為時，，
所以，
又因為為偶函數(shù)，所以時，
故.
（2）∵在區(qū)間上的最小值為，
又由（1）得：，
可得：在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴①當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，
則；
②當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
所以；
③當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，
當(dāng)時，此時，所以；
當(dāng)時，此時，所以；
④當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以；
⑤當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
所以；
綜上，.
變式6．（2024·全國·高一專題練習(xí)）（1）函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)時，，求的解析式；
（2）設(shè)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且，求函數(shù)的解析式．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解析式即可；
（2）利用奇偶函數(shù)的性質(zhì)列方程組求解解析式即可.
【詳解】（1）設(shè)，則，
∴，
又∵函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，
∴，
∴當(dāng)時，.
又時，，
所以；
（2）∵是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，，
∴．
則
即，解之得.
變式7．（2023·全國·高一專課時練習(xí)）若定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足．則 ．
【答案】
【解析】由題意，，
則由
可得，即
由，可得
【方法技巧與總結(jié)】
利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式的方法
已知函數(shù)f(x)的奇偶性及函數(shù)f(x)在某區(qū)間上的解析式，求該函數(shù)在整個定義域上的解析式的方法如下：
(1)求哪個區(qū)間上的解析式，x就設(shè)在那個區(qū)間上；
(2)把x對稱轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，代入到已知區(qū)間上的函數(shù)解析式中；
(3)利用f(x)的奇偶性將f(－x)用－f(x)或f(x)表示，從而求出f(x).
注意：若奇函數(shù)定義域包含0，則必有f(0)0.　
【題型6：函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用】
例6．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知定義在上的偶函數(shù)在上是減函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，即可列出不等關(guān)系求解.
【詳解】由于在上是減函數(shù)，且為偶函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，
若，則，平方可得，
解得，
故答案為：
變式1．（2024·江蘇常州·高三常州市第三中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】先確定函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，再將不等式等價變形，即可得到結(jié)論．
【詳解】若的定義域為，則，不合題意；
若的定義域為，顯然不合題意；
奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，
所以在上單調(diào)遞減，且，
可得：當(dāng)或時，，當(dāng)或時，，
因為等價于或，可得或，
所以不等式的解集為.
故答案為：.
變式2．（2024·廣東深圳·高三校考階段練習(xí)）已知是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)．又，則的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由題意在上是增函數(shù)且，再結(jié)合是奇函數(shù)，可以先求得的符號隨的變化情況，然后列表即可求解.
【詳解】由題意在上是增函數(shù)且，
所以當(dāng)時，有，
當(dāng)時，有，
又因為是奇函數(shù)，
所以當(dāng)時，有，，所以，
當(dāng)時，有，，所以，
所以的符號隨的變化情況如下表：
由表可知不等式的解集為.
.
變式3．（2024·江西·高三寧岡中學(xué)校考期中）定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，解不等式即可得出答案.
【詳解】因為偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以可得：，
所以，即，解得：.
.
變式4．（2024·北京東城·高一校考期中）若定義在R上的奇函數(shù)在上是增函數(shù)，又，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函數(shù)的單調(diào)性以及奇偶性先得出的符號隨的變化情況，然后列表即可求解.
【詳解】因為是定義在R上的奇函數(shù)，又，所以，
注意到在上是增函數(shù)，
所以當(dāng)時，有，當(dāng)時，有，
又是定義在R上的奇函數(shù)，
所以當(dāng)時，有，，
當(dāng)時，有，，
所以的符號隨的變化情況如下表：
由上表可知：不等式的解集為
.
變式5．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，則的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及在上單調(diào)遞增，判斷出的值的正負情況，解不等式即可得答案.
【詳解】由題意得，，在，上為增函數(shù)，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
由可得，或，
解得或，
綜上所述，或．
．
變式6．（2024·天津·高一校考期中）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，若對于任意不等實數(shù)，不等式恒不成立，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【分析】由已知判斷出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合奇偶性可得，再解不等式可得答案.
【詳解】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，
對于任意不等實數(shù)，不等式恒不成立，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，解得.
.
變式7．（2024·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集為 ．
【答案】/
【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性，即可求解抽象不等式.
【詳解】，且定義域為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，
且在上為增函數(shù)，
，，
解得：，
所以不等式的解集為.
故答案為：
變式8．（2024·河南鄭州·高三校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則使得不成立的x的取值范圍是 .
【答案】
【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】函數(shù)的定義域為，
因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，
當(dāng)時，因為都是增函數(shù)，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由，
得，兩邊平方得，
解得，即x的取值范圍為.
故答案為：.
變式9．（2023春·云南迪慶·高一統(tǒng)考期末）設(shè)定義在上的奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，若，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由于為奇函數(shù)，所以，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，故在區(qū)間上也單調(diào)遞減，
故在單調(diào)遞減，
由得，
所以，解得，
故答案為：
變式10．（2023秋·河北石家莊·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)定義域為，且的圖象關(guān)于對稱，當(dāng)時，單調(diào)遞減，則關(guān)于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，
令，則，即，
即，所以，，
故函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則，解得，
所以，函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，
由題意可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
由可得，
所以，，解得.
因此，不等式的解集為..
變式11．（2023·全國·高一專題練習(xí)）定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有，則、、的大小關(guān)系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因為對任意的，有，
所以當(dāng)時，，所以在上是減函數(shù)，
又是偶函數(shù)，所以，，
因為，所以，即．．
變式12．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，恒不成立，設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵當(dāng)時，恒不成立，
∴當(dāng)時，，即，
∴函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，
∵函數(shù)是偶函數(shù)，即，
∴函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，∴，
又函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，∴，
即，∴，.
【方法技巧與總結(jié)】
1、函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系
(1)若f(x)是奇函數(shù)，且f(x)在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)在[－b，－a]上也為單調(diào)函數(shù)，且具有相同的單調(diào)性．
(2)若f(x)是偶函數(shù)，且f(x)在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)在[－b，－a]上也為單調(diào)函數(shù)，且具有相反的單調(diào)性．
2、利用單調(diào)性和奇偶性解不等式的方法
(1)充分利用已知的條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉(zhuǎn)化為f(x1)>f(x2)或f(x1)(2)在對稱區(qū)間上根據(jù)奇函數(shù)的單調(diào)性一致，偶函數(shù)的單調(diào)性相反，列出不等式或不等式組，求解即可，同時要注意函數(shù)自身定義域?qū)?shù)的影響．
【題型7：抽象函數(shù)的奇偶性】
例7.【多選】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，均為定義在上的奇函數(shù)，且，，則（ ）
A．是奇函數(shù) B．是奇函數(shù)
C．是偶函數(shù) D．是偶函數(shù)
【答案】ABC
【解析】因為函數(shù)，均為定義在上的奇函數(shù)，
所以，，
對于A選項，設(shè)，則，
所以為奇函數(shù)，故A正確；
對于B選項，設(shè)，則，
所以為奇函數(shù)，故B正確；
對于C選項，設(shè)，則，
所以為偶函數(shù)，故C正確；
對于D選項，設(shè)，則，
所以是奇函數(shù)，故D錯誤.BC.
變式1．【多選】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，且對于任意，都有，則（ ）
A． B．
C．為偶函數(shù) D．為奇函數(shù)
【答案】CCD
【解析】由為奇函數(shù)，可得，即，
又因為，所以，即,
所以，所以，故選項A錯誤；
由，得，由，得，
所以，故選項B正確；
由，，得，
所以為偶函數(shù)，故選項C正確；
由，，可得，
所以，
即，故為奇函數(shù)，故選項D正確.CD
變式2．（2023秋·黑龍江牡丹江·高一校考期末）設(shè)函數(shù)是增函數(shù)，對于任意x，都有．
（1）寫一個滿足條件的并證明；
（2）證明是奇函數(shù)；
（3）解不等式．
【答案】（1），證明見解析；（2）證明見解析；（3）
【解析】（1）因為函數(shù)是增函數(shù)，對于任意x，都有，
這樣的函數(shù)很多，其中一種為：．
證明如下：函數(shù)滿足是增函數(shù)，
因為，
所以滿足題意．
（2）證明：令，則由，得，即；
令，則由，得，
即，故是奇函數(shù)．
（3）因為，所以，
則，即，
因為，所以，
所以，
又因為函數(shù)是增函數(shù)，所以，所以或．
所以不等式的解集為.
一、單選題
1．（24-25高三上·山西朔州·階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，當(dāng)時，.若，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞增，即可得求解.
【詳解】當(dāng)時，的對稱軸為，故在上單調(diào)遞增.
函數(shù)在處連續(xù)，又是定義域為的奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞增.
因為，由，可得，
又因為在上單調(diào)遞增，所以，解得.
2．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測）下列函數(shù)是奇函數(shù)，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性逐項判斷即可.
【詳解】對于A，為偶函數(shù)，故A錯誤；
對于B，設(shè)，所以
故在定義域上不是單調(diào)遞增，故B錯誤；
對于C，，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，
所以在定義域上不是單調(diào)遞增，故C錯誤；
對于D，，由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)為奇函數(shù)，且在定義域上單調(diào)遞增，故D正確.
3．（24-25高三上·海南省直轄縣級單位·開學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，，則（ ）
A．4070 B．4048 C．4044 D．4036
【答案】A
【分析】根據(jù)題中為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，從而可得出為周期為4的函數(shù)，從而可求解.
【詳解】由為奇函數(shù)，所以，
即，所以函數(shù)關(guān)于點中心對稱，
由為偶函數(shù)，則，即，
即，所以函數(shù)關(guān)于對稱，
所以，即，可得，
所以，所以函數(shù)為周期為4的函數(shù)，
由，所以，則，
所以，且，即，
又，所以，
所以，
所以.
.
4．（24-25高一上·全國·隨堂練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則等于（ ）
A． B．1 C．0 D．2
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)的定義求出值即可.
【詳解】依題意，當(dāng)時，，則，
而當(dāng)時，，因此，則，，
當(dāng)時，，則，
又，于是，，
所以，所以.
5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，滿足，若，則（ ）
A．－2 B．0 C．2 D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)及函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱可得函數(shù)周期為8，再求出一個周期內(nèi)函數(shù)值的和，即可得解.
【詳解】因為是奇函數(shù)，，所以的圖象關(guān)于直線對稱，
所以，
故，所以是周期為8的周期函數(shù)．
由奇函數(shù)知，，
，，
，，，
所以，
由于，所以，
6．（23-24高一上·貴州·階段練習(xí)）已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)確認函數(shù)零點，再根據(jù)已知單調(diào)性可以求出函數(shù)在各個區(qū)間符號，由不等式性質(zhì)可得解.
【詳解】因為為定義在上的奇函數(shù)，所以，且
又因，所以，
又因在為增函數(shù)，在上，
在上，
又因在為減函數(shù)，所以上，
綜上，當(dāng)時，，當(dāng)時，
當(dāng)時，則，所以，則，
當(dāng)時，則，所以，則，
不等式可化簡變形為，
綜上所述可知當(dāng)時，.
7．（2024高一上·江蘇·專題練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，若不等式對任意實數(shù)恒不成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)奇函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，脫去“”，利用不等式恒不成立列出不等式組得解.
【詳解】根據(jù)題意，是定義在上的奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，
則在上也是增函數(shù)，
因為不等式對任意實數(shù)恒不成立
所以對任意實數(shù)恒不成立，
即對任意實數(shù)恒不成立，
當(dāng)時，不恒不成立，
當(dāng)時，可得，解可得.
即的取值范圍是，
8．（24-25高三上·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）已知定義域為R的函數(shù)，滿足，且，則以下選項錯誤的是（ ）
A． B．圖象關(guān)于對稱
C．圖象關(guān)于對稱 D．為偶函數(shù)
【答案】C
【分析】由賦值法令可判斷A；由賦值法令可判斷B；由賦值法令，結(jié)合對稱性的性質(zhì)可判斷C；由賦值法令結(jié)合偶函數(shù)的定義可判斷D.
【詳解】對于A，令，則，所以，故A正確；
對于B，令，則，即，
解得：或，因為，所以，
令，，所以，
所以圖象不關(guān)于對稱，故B錯誤；
對于C，令，則有
即，故圖象關(guān)于對稱，故C正確.
對于D，令，則有
即，即，
即，因為函數(shù)的定義域為R，
所以為偶函數(shù)，故D正確.
.
9．（24-25高三上·重慶渝中·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若為奇函數(shù)，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義可得恒不成立，化簡可求.
【詳解】因為為奇函數(shù)，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，，
所以，，
.
二、多選題
10．（23-24高一上·福建龍巖·階段練習(xí)）下列函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CC
【分析】根據(jù)給定條件，利用偶函數(shù)定義及函數(shù)單調(diào)性逐項判斷即得.
【詳解】對于A，函數(shù)定義域為，不是偶函數(shù)，A不是；
對于B，函數(shù)定義域為R，，是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，B是；
對于C，函數(shù)定義域為R，，是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，C是；
對于D，函數(shù)定義域為R，而，不是偶函數(shù)，D不是.
C
11．（23-24高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對稱美”，如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美．在平面直角坐標(biāo)系中，若一個函數(shù)的圖象能夠?qū)⒛硞€圓的周長和面積同時平分，則稱這個函數(shù)為這個圓的“太極函數(shù)”，下列說法中正確的有（ ）
A．對于一個半徑為1的圓，其“太極函數(shù)”僅有1個
B．函數(shù)可以同時是無數(shù)個圓的“太極函數(shù)”
C．函數(shù)不可能是某個圓的“太極函數(shù)”
D．函數(shù)是某個圓的“太極函數(shù)”
【答案】CD
【分析】若函數(shù)有對稱中心且圓的圓心在對稱中心時，該函數(shù)一定是該圓的“太極函數(shù)”，根據(jù)這一性質(zhì)判斷各個選項，D項需要證明奇函數(shù).
【詳解】A項，對于任意一條過圓心的一次函數(shù)的圖象都能夠?qū)⒃搱A的周長和面積同時平分，所以有無數(shù)個，所以A項錯誤；
B項，若函數(shù)經(jīng)過圓的圓心，則該函數(shù)是“太極函數(shù)”，因為可以有無數(shù)個圓的圓心均在函數(shù)上，所以B項正確；
C項，函數(shù)滿足，奇函數(shù)，對稱中心為，當(dāng)某個圓的圓心為時，則該函數(shù)是“太極函數(shù)”，所以C項錯誤；
D項，函數(shù)，
因為，
所以對稱中心為，同理是“太極函數(shù)”，所以D項正確.
D.
12．（2025·吉林長春·一模）定義在的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則（ ）
A．是奇函數(shù) B．在上單調(diào)遞增
C． D．
【答案】ABC
【分析】根據(jù)奇偶性的定義分析判斷A，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義分析判斷B，利用賦值法分析判斷C，根據(jù)選項C及函數(shù)單調(diào)性判斷D.
【詳解】對于A，令，可得，再令，可得，且函數(shù)定義域為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故A正確；
對B，令，則，，可得，所以，
由函數(shù)性質(zhì)可得，即，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；
對于C，令，可得，所以，即，故C正確；
對D，因為函數(shù)為增函數(shù)，所以，由C可知，故D錯誤.
BC
13．（23-24高一上·河北滄州·階段練習(xí)）已知定義在上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則（ ）
A．的圖像關(guān)于點對稱 B．
C．當(dāng)時， D．在上單調(diào)遞減
【答案】ABC
【分析】利用函數(shù)的對稱性判斷A，利用賦值法判斷B，利用偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題中條件求得的解析式判斷C，舉反例判斷D，從而得解.
【詳解】對于A，由題設(shè)，可知的圖象關(guān)于點對稱，A正確；
對于B，因為是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，
在中，令，得，B正確；
對于C，當(dāng)時，，所以，
又，所以，
即當(dāng)時，，
而為偶函數(shù)，所以當(dāng)時，，則，
綜上可知，當(dāng)時，，C正確；
對于D，由B的解析可知，故D錯誤．
BC．
14．（24-25高三上·山東菏澤·開學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域均為的圖象關(guān)于對稱，是奇函數(shù)，且，則下列說法正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】A選項，根據(jù)的圖象關(guān)于對稱，所以關(guān)于軸對稱，故，A正確；B選項，由奇函數(shù)性質(zhì)得到，故，B錯誤；CD選項，由題目條件得到，結(jié)合得到，故，推出，得到周期，賦值法得到，，并利用周期求出.
【詳解】A選項，因為的圖象關(guān)于對稱，所以關(guān)于軸對稱，
故是偶函數(shù)，則，故A正確；
B選項，因為是奇函數(shù)，所以，即，故B錯誤；
CD選項，由得，
又，所以，又，
即，即，則，
所以，所以①，
即②，
②-①得，所以函數(shù)的周期為4，
令，由，得，
再令，則，所以，
又，由，
所以
，故C，D正確.
CD.
【點睛】函數(shù)的對稱性：
若，則函數(shù)關(guān)于中心對稱，
若，則函數(shù)關(guān)于對稱，
函數(shù)的周期性：設(shè)函數(shù)，，，．
（1）若，則函數(shù)的周期為2a；
（2）若，則函數(shù)的周期為2a；
（3）若，則函數(shù)的周期為2a；
（4）若，則函數(shù)的周期為2a；
（5）若，則函數(shù)的周期為；
（6）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線與對稱，則函數(shù)的周期為；
（7）若函數(shù)的圖象既關(guān)于點對稱，又關(guān)于點對稱，則函數(shù)的周期為；
三、填空題
15．（24-25高三上·海南省直轄縣級單位·開學(xué)考試）已知定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意作出示意圖，結(jié)合圖形可求不等式的解集.
【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，
作出示意圖如圖所示：

由圖形可知滿足不等式的的取值范圍是.
故答案為：.
16．（23-24高一上·吉林·階段練習(xí)）若函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，又，則的解集是 .
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性得到當(dāng)或時，，當(dāng)或時，，從而得到不等式的解集.
【詳解】因為為R上的奇函數(shù)，則，在上是增函數(shù)，則在上也單調(diào)遞增，
又，故，
當(dāng)或時，，當(dāng)或時，，
故當(dāng)時，，滿足，
當(dāng)時，，滿足，
綜上，的解集為.
故答案為：
17．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)若，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性去即可求解.
【詳解】因為開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，，,
所以.
又當(dāng)時，，，
所以.
又 ，所以為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，
則可得：
，即，
解得，
故答案為：
18．（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則 ．
【答案】
【分析】由進行求解．
【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，
即，
即，
兩邊平方，化簡可得．
要使上式恒不成立，則，即．
故答案為：
19．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，若對任意的，當(dāng)時，有不成立，則不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，再利用性質(zhì)解不等式.
【詳解】令，由是定義在R上的奇函數(shù)，得，則為偶函數(shù)，
由對任意的，當(dāng)時，有不成立，
得在上單調(diào)遞減，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，
不等式，因此，解得或，
所以不等式的解集為.
故答案為：
20．（23-24高一上·福建龍巖·階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則的解集為 .
【答案】
【分析】當(dāng)時，可得，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，由可得，進而可得.
【詳解】當(dāng)時，得，
又函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，
故當(dāng)時，由可得，
綜上的解集為，
故答案為：
四、解答題
21．（24-25高一上·全國·課堂例題）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，.現(xiàn)已畫出函數(shù)在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示.
(1)請補全函數(shù)的圖象；
(2)根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(3)根據(jù)圖象寫出使的x的取值集合.
【答案】(1)作圖見解析
(2)
(3)或
【分析】（1）奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，據(jù)此補全圖象即可；
（2）（3）由圖象寫出單調(diào)遞增區(qū)間和寫出使的x的取值集合即可；
【詳解】（1）由題意作出函數(shù)圖象如圖所示.
（2）由圖可知，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（3）由圖可知，使的x的取值集合為或.
22．（2024高一上·江蘇·專題練習(xí)）函數(shù)是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，函數(shù)的解析式為.
(1)求的值；
(2)用定義證明在上是減函數(shù)；
(3)當(dāng)時，求函數(shù)的解析式.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）先求，然后結(jié)合奇函數(shù)定義可求；
（2）設(shè)，然后利用作差法比較與的大小即可判斷；
（3）先設(shè)時，，根據(jù)已知函數(shù)式及奇函數(shù)定義可求.
【詳解】（1）因為時，函數(shù)的式為，
所以，
因為為上的奇函數(shù)，
所以；
（2）證明：設(shè)，則，
所以，
因為時，，
則，
所以，
所以在上是減函數(shù)；
（3）當(dāng)時，，
則，
所以.
23．（2024高一上·江蘇·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中.
(1)當(dāng)函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱時，求的值；
(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；
(3)若，求函數(shù)在區(qū)間上的值域.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，是奇函數(shù)，求出的值；
（2）化簡函數(shù)，根據(jù)在上的單調(diào)性，求出的取值范圍；
（3）根據(jù)時的單調(diào)性，求出在區(qū)間上的值域.
【詳解】（1） “函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱”的充要條件為：
“函數(shù)是奇函數(shù)”，
當(dāng)?shù)膱D象關(guān)于點成中心對稱時，
是奇函數(shù)，
，解得；
（2）函數(shù)
，
當(dāng)在上單調(diào)遞減時，
，
解得，
的取值范圍是；
（3）當(dāng)時，，
函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，
，
即，
函數(shù)的值域是.
24．（23-24高一上·浙江寧波·期中）黎曼函數(shù)是一個特殊的函數(shù)，是德國著名數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用．黎曼函數(shù)定義在上，．
(1)請用描述法寫出滿足方程的解集；（直接寫出答案即可）
(2)解不等式；
(3)探究是否存在非零實數(shù)，使得為偶函數(shù)？若存在，求k，b應(yīng)滿足的條件；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)為大于1的正整數(shù)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根據(jù)黎曼函數(shù)的定義，分類討論求解；
（2）根據(jù)黎曼函數(shù)的定義，分類討論求解；
（3）根據(jù)黎曼函數(shù)的定義，分類討論可證得，則關(guān)于對稱，即，則為偶函數(shù)，即可得解.
【詳解】（1）依題意，，
當(dāng)時，，則方程無解，
當(dāng)為內(nèi)的無理數(shù)時，，則方程無解，
當(dāng)(為既約真分?jǐn)?shù))時，則，為大于1的正整數(shù)，
則由方程，解得，為大于1的正整數(shù)，
綜上，方程的解集為為大于1的正整數(shù).
（2）若或或為內(nèi)無理數(shù)時，，
而，此時，
若(為既約真分?jǐn)?shù))，則，為大于1的正整數(shù)，
由，得，解得，
又因為(為既約真分?jǐn)?shù))，所以，
綜上，不等式的解為.
（3）存在非零實數(shù)，使得為偶函數(shù)，即為偶函數(shù)，證明如下：
當(dāng)或時，有不成立，滿足，
當(dāng)為內(nèi)的無理數(shù)時，也為內(nèi)的無理數(shù)，所以，滿足，
當(dāng)(為既約真分?jǐn)?shù))，則為既約真分?jǐn)?shù)，
所以，滿足，
綜上，對任意，都有，
所以關(guān)于對稱，即，則為偶函數(shù)，
所以，存在非零實數(shù)，使得為偶函數(shù).
25．（23-24高一上·重慶沙坪壩·期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，函數(shù)在軸左側(cè)的圖象如圖所示，請根據(jù)圖象；
(1)畫出在軸右側(cè)的圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)寫出函數(shù)的解析式；
(3)若函數(shù)，求函數(shù)的最小值.
【答案】(1)答案見解析
(2)
(3).
【分析】（1）利用關(guān)于原點中心對稱作出圖象，由圖象得單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)奇函數(shù)定義求解析式；
（3）用二次函數(shù)性質(zhì)分類討論即可求得最小值．
【詳解】（1）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，即函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，
則函數(shù)圖象如圖所示．
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）根據(jù)題意，
令，則，則，
又因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，
所以，
即，
所以.
（3）當(dāng)時，，
則，
其對稱軸為，
當(dāng)時，即，則，
當(dāng)時，即，則，
故.
26．（23-24高二下·河南安陽·期末）世界上海拔最高的天然“心形湖”位于四川省康定縣的情歌木格措景區(qū)，被譽為藏在川西的“天空之心”.這個湖泊位于青藏高原，呈現(xiàn)出明亮的藍綠色，水質(zhì)清澈宛如明鏡.湖泊周圍環(huán)抱著雪山和梅花峰，景色優(yōu)美迷人.下圖1是這個“心形湖”的輪廓，其形狀如一顆愛心.圖2是由此抽象出來的一個“心形”圖形，這個圖形可看作由兩個函數(shù)的圖象構(gòu)成，則“心形”在軸上方的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式可能為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式可求得，知A錯誤；由時，可知B錯誤；根據(jù)、圖象中的特殊點及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可知C正確；根據(jù)函數(shù)定義域可知D錯誤.
【詳解】對于A，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），
在上的最大值為，與圖象不符，A錯誤；
對于B，當(dāng)時，，與圖象不符，B錯誤；
對于C，，當(dāng)時，；
又過點；
由得：，解得：，即函數(shù)定義域為；
又，
為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱；
當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上所述：與圖象相符，C正確；
對于D，由得：，不存在部分的圖象，D錯誤.
.
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