資源簡(jiǎn)介

3.2 函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1、函數(shù)零點(diǎn)的概念 2、二次函數(shù)的零點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)方程、不等式解集之間的關(guān)系 3、函數(shù)零點(diǎn)存在定理 1.理解函數(shù)零點(diǎn)的概念以及函數(shù)零點(diǎn)與方程的關(guān)系 2.會(huì)根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù) 3.結(jié)合二次函數(shù)的圖像，會(huì)判斷一元二次方程根的存在性及一元二次不等式的解法 4.了解二分法是求定理近似解的方法，會(huì)用二分法求一個(gè)函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)近似值
知識(shí)點(diǎn)01 函數(shù)的零點(diǎn)
（1）函數(shù)零點(diǎn)的概念
一般地，如果函數(shù)yf(x)在實(shí)數(shù)α處的函數(shù)值等于零，即f(α)0，則稱α為函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)．
（2）函數(shù)零點(diǎn)的意義
不難看出，α是函數(shù)f(x)零點(diǎn)的充分必要條件是，(α，0)是函數(shù)圖像與x軸的公共點(diǎn)．因此，由函數(shù)的圖像可以方便地看出函數(shù)值等于0的方程的解集，以及函數(shù)值與0比較相對(duì)大小的不等式的解集．因此我們有：
方程f(x)0有實(shí)數(shù)根 函數(shù)yf(x)的圖像與x軸有交點(diǎn) 函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)．
注：(1)函數(shù)F(x)f(x)－g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)g(x)的根，也就是函數(shù)y1f(x)與y2g(x)的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
(2)如果方程f(x)0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x，那么x稱為函數(shù)yf(x)的二階零點(diǎn)(二重零點(diǎn)).如x2就是函數(shù)f(x)(x－2)2的二階零點(diǎn)．
【即學(xué)即練1】（2024·江蘇揚(yáng)州·高一揚(yáng)州中學(xué)校考階段練習(xí)）對(duì)于函數(shù)，下列說法中正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為、
B．函數(shù)一定有兩個(gè)零點(diǎn)
C．函數(shù)可能無零點(diǎn)
D．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1或2
【答案】A
【分析】由零點(diǎn)的定義判斷A；討論、確定對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷B、C、D.
【詳解】由函數(shù)的零點(diǎn)是時(shí)對(duì)應(yīng)值，而不是坐標(biāo)，A錯(cuò)；
若時(shí)，顯然只有一個(gè)零點(diǎn)，
若，，此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
所以B、C錯(cuò)，D對(duì).
知識(shí)點(diǎn)02 一元二次不等式與對(duì)應(yīng)函數(shù)、方程
三個(gè)“二次”之間的關(guān)系
從函數(shù)觀點(diǎn)來看，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a>0)的解集，就是二次函數(shù)yax2＋bx＋c(a＞0)在x軸上方的圖像上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是二次函數(shù)yax2＋bx＋c(a＞0)在x軸下方的圖像上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合．一元二次方程ax2＋bx＋c0的解集就是二次函數(shù)yax2＋bx＋c的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合，也就是二次函數(shù)的零點(diǎn)構(gòu)成的集合．
從方程觀點(diǎn)來看，一元二次方程的根是二次函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，就是大于大根或者小于小根的實(shí)數(shù)x的集合；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是大于小根且小于大根的實(shí)數(shù)x的集合．簡(jiǎn)記為“大于取兩邊，小于取中間”．
因此，利用二次函數(shù)的圖像和一元二次方程根的情況就可以解一元二次不等式．具體如下表所示：
Δb2－4ac Δ＞0 Δ0 Δ＜0
yax2＋bx＋c(a＞0)的圖像
ax2＋bx＋c0(a＞0)的根 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(x1＜x2) 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(x1x2－) 無實(shí)數(shù)根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
注：(1)圖表具體表明了一元二次不等式的解集與對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖像、一元二次方程的親密關(guān)系，此圖表是解一元二次不等式的依據(jù)之一．
(2)x1，x2具有三重身份：對(duì)應(yīng)的一元二次方程的實(shí)根；對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的零點(diǎn)；對(duì)應(yīng)的一元二次不等式解集區(qū)間的端點(diǎn)．
【即學(xué)即練2】（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）求下列不等式的解集：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)或
(3)
(4)
【分析】根據(jù)解一元二次不等式的解法求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)椴坏仁降葍r(jià)于，
所以解得，
所以不等式的解集為.
（2）因?yàn)椴坏仁降葍r(jià)于，
所以解得或，
所以不等式的解集為或.
（3）因?yàn)椴坏仁降葍r(jià)于，
所以，解得，
所以不等式的解集為.
（4）因?yàn)椴坏仁降葍r(jià)于，
所以解得，
所以不等式的解集為.
知識(shí)點(diǎn)03 函數(shù)零點(diǎn)存在定理
如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的，并且f(a)f(b)＜0(即在區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào))，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)中至少有一個(gè)零點(diǎn)，即 x0∈(a，b)，f(x0)0.
注：(1)一般地，解析式是多項(xiàng)式的函數(shù)的圖像都是連續(xù)不斷的．需要注意的是，反比例函數(shù)y的圖像不是連續(xù)不斷的．
(2)一個(gè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)必須同時(shí)滿足：①函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線；②f(a)·f(b)＜0.這兩個(gè)條件缺一不可．
(3)若函數(shù)yf(x)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，則由f(a)·f(b)＜0可以推出函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn)；但是，由函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn)不一定能推出f(a)·f(b)＜0.
(4)如果單調(diào)函數(shù)yf(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)0，這個(gè)c也就是方程f(x)0的根．
【即學(xué)即練3】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，由零點(diǎn)的存在性定理，即可求解.
【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又由，
即，
所以根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.
.
知識(shí)點(diǎn)04 二分法
（1）二分法的概念
對(duì)于圖像在區(qū)間[a，b]上不間斷，且滿足f(a)f(b)＜0的函數(shù)yf(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．
（2）用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值
先確定零點(diǎn)的初始區(qū)間(a，b)(依據(jù)是：如果函數(shù)yf(x)的圖像在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的，并且f(a)與f(b)的符號(hào)相反，則f(x)在(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn))，然后多次將區(qū)間(a，b)一分為二，直至找到零點(diǎn)的準(zhǔn)確值或滿足題中的精度要求的零點(diǎn)的近似值．
注：即用區(qū)間中點(diǎn)將區(qū)間(a，b)一分為二，從而得到兩個(gè)區(qū)間和，其中一個(gè)區(qū)間一定包含零點(diǎn)．如果f＞0，f(a)＜0，我們便認(rèn)為區(qū)間包含零點(diǎn)，如下圖所示：
不斷重復(fù)相似步驟，直到找到零點(diǎn)的準(zhǔn)確值或滿足題中的精度要求的零點(diǎn)的近似值．
注：(1)我們把x稱為區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)．在這里，區(qū)間的中點(diǎn)是個(gè)實(shí)數(shù)，而不是點(diǎn)．
(2)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的方法僅對(duì)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)(曲線通過零點(diǎn)，且在零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào))適用，對(duì)函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)(曲線通過零點(diǎn)，且在零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值同號(hào))不適用．如函數(shù)f(x)(x－1)2的零點(diǎn)就不能用二分法求解．
(3)二分法采用逐步逼近的思想，使區(qū)間逐步縮小，即使函數(shù)的零點(diǎn)所在的范圍逐步縮小，也就是逐漸逼近函數(shù)的零點(diǎn)．
【即學(xué)即練4】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，且的部分函數(shù)值數(shù)據(jù)如下：，，，，，，，要使零點(diǎn)的近似值精確度為，則對(duì)區(qū)間的最少等分次數(shù)和近似解分別為（ ）
A．6次， B．6次，
C．7次， D．7次，
【答案】A
【分析】根據(jù)題目條件結(jié)合二分法得到最少等分了7次，并求出近似解.
【詳解】由題中數(shù)據(jù)知，零點(diǎn)區(qū)間變化如下：
，
此時(shí)區(qū)間長(zhǎng)度小于，在區(qū)間內(nèi)取近似值，最少等分了7次，近似解取.
.
難點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用
示例：已知函數(shù)f(x)其中m＞0.若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)b有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是________.
【解析】作出f(x)的圖像如圖所示．
當(dāng)x>m時(shí)，x2－2mx＋4m(x－m)2＋4m－m2，
∴要使方程f(x)b有三個(gè)不同的根，
則4m－m20.
又m>0，解得m>3.
[方法小結(jié)】已知函數(shù)零點(diǎn)情況求參數(shù)的步驟及方法
(1)步驟：①判斷函數(shù)的單調(diào)性；②利用零點(diǎn)存在性定理，得到參數(shù)所滿足的不等式(組)；③解不等式(組)，即得參數(shù)的取值范圍．
(2)方法：常利用數(shù)形結(jié)合法．
【題型1：利用二次函數(shù)解不等式】
例1．（2024·江蘇泰州·高一泰州中學(xué)校考階段練習(xí)）解不等式
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）利用一元二次不等式的解法即可求解；
（3）利用分式不等式的解法即可求解.
【詳解】（1）由，得，即，解得，
所以不等式的解集為；
（2）由已知：，
，
，解得或，
所以不等式的解集為.
（3）由，得，即，解得或．
所以不等式的解集為：
變式1．（2024·黑龍江雙鴨山·高一雙鴨山一中校考階段練習(xí)）設(shè)，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】先求解一元二次不等式，再由集合的包含關(guān)系得出結(jié)果.
【詳解】設(shè)，
或，
所以，所以是的充分不必要條件.
.
變式2．（2024·湖南常德·高一臨澧縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知的解集是，
(1)求實(shí)數(shù)與的值
(2)求的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，得到和是方程的兩個(gè)，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求解；
（2）由（1）得不等式為，結(jié)合一元二次不等式的解法，即可求解.
【詳解】（1）解：由的解集是，
可得和是方程的兩個(gè)，所以，
解得.
（2）解：由，則不等式，即為，
又由，解得，
所以不等式的解集為.
【方法技巧與總結(jié)】
二次函數(shù)的零點(diǎn)與不等式解集之間的關(guān)系
借助相對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，可提煉出一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)(a≠0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(a≠0)的求解方法．當(dāng)a＞0時(shí)，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分為三步：
①確定對(duì)應(yīng)方程ax2＋bx＋c0的根；
②畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像的簡(jiǎn)圖；
③由圖像得出不等式的解集．
求解過程中，必須考慮對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖像的開口方向(a＞0或a＜0)，對(duì)應(yīng)的一元二次方程的判別式符號(hào)、兩根的大小關(guān)系，不等號(hào)的方向(＞，≥，＜，≤)，即一看(看二次項(xiàng)系數(shù)正負(fù))，二算(求對(duì)應(yīng)一元二次方程的根)，三寫(利用對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的圖像寫出對(duì)應(yīng)不等式的解集).
【題型2：求函數(shù)的零點(diǎn)】
例2．（2024·江蘇常州·高一江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解方程，可得函數(shù)的零點(diǎn).
【詳解】解方程，即，解得或，
因此，函數(shù)的零點(diǎn)為、.
.
變式1．（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的零點(diǎn)：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)無零點(diǎn)
(4)1
【分析】由函數(shù)零點(diǎn)定義可知，在函數(shù)表達(dá)式中令解關(guān)于方程即可.
【詳解】（1）在中令，得，
解得或，
所以函數(shù)的零點(diǎn)為.
（2）在中令，得，
解得或，
所以函數(shù)的零點(diǎn)為.
（3）在中令，得，
又此方程無解，
所以函數(shù)無零點(diǎn).
（4）在中令，得，
解得，
所以函數(shù)的零點(diǎn)為1.
變式2．（2024·廣東梅州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)有 個(gè)．
【答案】2
【分析】根據(jù)給定條件，解方程求出零點(diǎn)作答.
【詳解】由，得，即，解得或，
所以函數(shù)的零點(diǎn)有2個(gè).
故答案為：2
變式3.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)是
【答案】/
【解析】令，
則，解得，故答案為：.
變式4．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是1，則它的另一個(gè)零點(diǎn)是 ．
【答案】3
【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義，求解方程的根即可.
【詳解】由，所以令或，故另一個(gè)零點(diǎn)為3
故答案為：3
變式5．（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）求下列函數(shù)的零點(diǎn)．
(1)；
(2)；
(3)，其圖象如圖所示．

【答案】(1)和
(2)答案見解析
(3)－1和3
【分析】（1）解方程可得結(jié)果；
（2）分類討論，解方程可得結(jié)果；
（3）由圖象可得結(jié)果.
【詳解】（1）由，解得或，
所以函數(shù)的零點(diǎn)為和.
（2）①當(dāng)時(shí)，，由得，所以函數(shù)的零點(diǎn)為.
②當(dāng)時(shí)，由得，
解得或，又，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有唯一的零點(diǎn).
當(dāng)且時(shí)， ，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和.
綜上所述：，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為；
當(dāng)且時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和.
（3）由圖象可知，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和.
變式6.（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若求函數(shù)的零點(diǎn)．
【答案】和1．
【解析】函數(shù)的零點(diǎn)即為方程的根．
當(dāng)時(shí)，方程，
變形為，即，解得或，
因?yàn)椋裕?br/>當(dāng)時(shí)，方程，變形為，符合題意．
綜上，函數(shù)的零點(diǎn)為和1．
【方法技巧與總結(jié)】
函數(shù)零點(diǎn)的求法
(1)代數(shù)法：求出方程f(x)0的實(shí)數(shù)根，即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)．
(2)幾何法：對(duì)于不能用求根公式或分解因式求解的方程，可以將它與對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖像聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質(zhì)求零點(diǎn)．
【題型3：求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)】
例3．（2023春·陜西西安·高二校考期中）直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ．
【答案】4
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖象變換，作圖，可得答案.
【詳解】令，，解得或，
將代入，解得，可作圖如下：

由圖可知，直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.
故答案為：.
變式1．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的對(duì)應(yīng)值表，那么函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)至少有（ ）
x 1 2 3 4 5 6 7
123.5 21.5 －7.82 11.57 －53.7 －126.7 －129.6
A．2個(gè) B．3個(gè)
C．4個(gè) D．5個(gè)
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)值符號(hào)變化，由零點(diǎn)存在性定理可得.
【詳解】由數(shù)表可知，.
則，，，
又函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，
由零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)分別在上至少各一個(gè)零點(diǎn)，
因此在區(qū)間上的零點(diǎn)至少有3個(gè)．
.
變式2．【多選】（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）對(duì)于函數(shù)，下列說法中正確的是（　　）
A．函數(shù)一定有兩個(gè)零點(diǎn)
B．時(shí)，函數(shù)一定有兩個(gè)零點(diǎn)
C．時(shí)，函數(shù)一定有兩個(gè)零點(diǎn)
D．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1或2
【答案】CCD
【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義求解可得答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，故A不正確；
當(dāng)時(shí)，由，，所以函數(shù)一定有兩個(gè)零點(diǎn)，故B、C正確；
所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1或2，故D正確.
CD
變式3．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)作出函數(shù)的圖象；
(2)就a的取值范圍討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【答案】(1)作圖見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）先作出的圖象，然后將其在x軸下方的部分翻折到x軸上方；
（2）數(shù)形集結(jié)合，函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【詳解】（1）先作出的圖象，然后將其在x軸下方的部分翻折到x軸上方，原x軸上及其上方的圖象及翻折上來的圖象便是所要作的圖象．
.
（2）由圖象易知，函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．.
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0；
當(dāng)與時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3.
變式4.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若函數(shù)，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】由，
則可作出函數(shù)的圖象如下：
由方程，得或，
所以方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為3．．
變式5．【多選】（2024·湖北荊門·高一鐘祥市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則（ ）
A．
B．且
C．若，則
D．函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)或兩個(gè)零點(diǎn)
【答案】AC
【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系可判斷A，根據(jù)一元二次方程韋達(dá)定理可判斷BC，根據(jù)特殊情況可判斷D.
【詳解】函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)可知：，故，故A正確；
由韋達(dá)定理可得，由于，故可正可負(fù)可為0，因此無法判斷的正負(fù)，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，則，故C正確；
由，當(dāng)時(shí)，令，可得，此時(shí)有3個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤，
C
變式6．（2024·云南大理·高二云南省下關(guān)第一中學(xué)校考開學(xué)考試）已知，定義域和值域均為的函數(shù)和的圖象如圖所示，給出下列四個(gè)結(jié)論，不正確結(jié)論的是（ ）

A．方程有且僅有三個(gè)解 B．方程有且僅有兩個(gè)解
C．方程有且僅有五個(gè)解 D．方程有且僅有一個(gè)解
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象判斷復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)情況，即可判斷各項(xiàng)的正誤.
【詳解】A：由題意時(shí)，或或，
故時(shí)，則或或，
，則，又在上單調(diào)遞減，
故都有唯一解，即有且僅有三個(gè)解，正確；
B：由圖知時(shí)，故時(shí)，而，
由圖象知有一個(gè)解，即有且僅有一個(gè)解，不正確；
C：時(shí)，或或，
由得：或或，而，
，故和各有唯一解，有3個(gè)解，
故有且僅有五個(gè)解，正確；
D：時(shí)，由得，而在上單調(diào)遞減，
故有唯一解，故有且僅有一個(gè)解，正確.
變式7．【多選】（2024·全國(guó)·高一課堂例題）已知，關(guān)于的方程，則下列四個(gè)命題是真命題的為（ ）
A．存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解
B．存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解
C．存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解
D．存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)解
【答案】CCD
【分析】令（），則原方程可化為，作出的圖象和（）的圖象，兩函數(shù)圖象結(jié)合分析判斷即可.
【詳解】（1）令（），則原方程可化為．作出的圖象如圖所示，結(jié)合圖象可知：

①當(dāng)或時(shí)，方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；
②當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；
③當(dāng)時(shí)，方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．
（2）作出函數(shù)（）的圖象如圖所示．

①當(dāng)，即時(shí)，方程有1個(gè)實(shí)數(shù)解，且．
②當(dāng)，即時(shí)，方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，（），則，．
③當(dāng)，即時(shí)，方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，（），則．
④當(dāng)，即時(shí)，方程有1個(gè)實(shí)數(shù)解，且．
⑤當(dāng)，即時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解．
綜合（1）（2）可知，
當(dāng)時(shí)，原方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；
當(dāng)時(shí)，原方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；
當(dāng)時(shí)，原方程有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；
當(dāng)時(shí)，原方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；
當(dāng)時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)解．
所以B，C，D都是真命題．
CD
【方法技巧與總結(jié)】
判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的三種方法
(1)方程法：若方程f(x)0的解可求或能判斷解的個(gè)數(shù)，可通過方程的解來判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)或判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
(2)圖像法：由f(x)g(x)－h(huán)(x)0，得g(x)h(x)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y1g(x)和y2h(x)的圖像，根據(jù)兩個(gè)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來判定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
(3)定理法：函數(shù)yf(x)的圖像在區(qū)間[a，b]上是一條連續(xù)不斷的曲線，由f(a)·f(b)<0即可判斷函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)．
【題型4：判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間】
例4.（2023秋·北京·高一校考期中）函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間存在零點(diǎn)（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函數(shù)定義域?yàn)?
當(dāng)時(shí)恒不成立，
當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增且大于零恒不成立，單調(diào)遞增，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，
又，，
即，所以的零點(diǎn)位于區(qū)間內(nèi).
變式1．（2024秋·四川廣安·高三四川省廣安友誼中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)，另一個(gè)零點(diǎn)在（ ）內(nèi).
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意結(jié)合零點(diǎn)存在性定理列不等式組求解即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)，
所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在連續(xù)不斷，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理另一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi).
.
變式2．（2024·高一校考課時(shí)練習(xí)）函數(shù)與圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)的大致區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的零點(diǎn)的大致區(qū)間，然后利用零點(diǎn)存在性定理求解即可.
【詳解】根據(jù)題意令，則問題轉(zhuǎn)化為求該函數(shù)零點(diǎn)的大致區(qū)間，
因?yàn)椋?br/>，，，
所以，
因?yàn)榈膱D象在上連續(xù)，所以的零點(diǎn)大致在區(qū)間，
即函數(shù)與圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)的大致區(qū)間為，
變式3．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知唯一的零點(diǎn)同時(shí)在區(qū)間和內(nèi)，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn) B．函數(shù)在內(nèi)無零點(diǎn)
C．函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn) D．函數(shù)在內(nèi)無零點(diǎn)
【答案】A
【分析】利用零點(diǎn)所在的區(qū)間之間的關(guān)系，將唯一的零點(diǎn)所在的區(qū)間確定出，進(jìn)行選項(xiàng)的正誤篩選即可．
【詳解】因?yàn)槲ㄒ坏牧泓c(diǎn)同時(shí)在區(qū)間和內(nèi)，
則該函數(shù)唯一的零點(diǎn)同時(shí)在區(qū)間內(nèi)，可知B，C，D正確，
對(duì)于A，函數(shù)唯一的零點(diǎn)可能在內(nèi)，也可能在內(nèi)，故A錯(cuò)誤.
變式4．【多選】（2024·新疆·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對(duì)應(yīng)值表：
1 3 5 7
24 13 1
則一定包含的零點(diǎn)的區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CCD
【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理結(jié)合表中的數(shù)據(jù)分析判斷即可
【詳解】因?yàn)榈膱D象是一條連續(xù)不斷的曲線，
且，
所以一定包含的零點(diǎn)的區(qū)間是．
CD
【方法技巧與總結(jié)】
判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的三個(gè)步驟
(1)代入：將區(qū)間端點(diǎn)值代入函數(shù)求出函數(shù)值．
(2)判斷：把所得的函數(shù)值相乘，并進(jìn)行符號(hào)判斷．
(3)結(jié)論：若符號(hào)為正且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則在該區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，若符號(hào)為負(fù)且函數(shù)連續(xù)，則在該區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．　
【題型5：根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)范圍】
例5．（2024·上海浦東新·高一上海市進(jìn)才中學(xué)校考期末）已知函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，常數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理即可解決問題.
【詳解】∵函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，
∴，
∴，
故答案為：.
變式1．（2024·廣西北海·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .
【答案】
【分析】先列出關(guān)于實(shí)數(shù)m的不等式，解之即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【詳解】由函數(shù)在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，則.
即，解之得，
故答案為：
變式2．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）方程在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)在區(qū)間端點(diǎn)的正負(fù)列式求解即可.
【詳解】考查，因?yàn)椋议_口向上，
故在區(qū)間上最多有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得，若方程在區(qū)間上有解，
則，即，解得.
故答案為：
變式3．（2024·江蘇南通·高一校考期中）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】令 ，解得，，即可求得m的取值范圍．
【詳解】令，即，解得，，
又因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，，所以，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是．
．
變式4．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】配方后得到函數(shù)的單調(diào)性，從而結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得到不等式組，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由題意得：為連續(xù)函數(shù)，
且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，，，
所以只需或，
解得：，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
變式5．（2024·安徽淮北·高一淮北一中校考期末）已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)都在內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】把函數(shù)兩點(diǎn)零點(diǎn)都在轉(zhuǎn)化為函數(shù)值正負(fù),列不等式求解即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)都在內(nèi)，
所以即
解得，所以的取值范圍為
故答案為:
變式6．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，由零點(diǎn)的存在性定理知要使在上存在零點(diǎn)，需要滿足，求得的取值范圍.
【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且的圖象是連續(xù)不斷的，
所以，解得．
.
變式7．（2024·廣西梧州·校考一模）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)判別式結(jié)合零點(diǎn)存在原理分類討論即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，符合題意，
當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的判別式為：，
若，此時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)為，符合題意；
當(dāng)時(shí)，只需，所以且；
當(dāng)時(shí)，，經(jīng)驗(yàn)證符合題意；當(dāng)時(shí)，，經(jīng)驗(yàn)證符合題意；
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故答案為：
變式8．（2024·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】等價(jià)于在區(qū)間上有解，設(shè)，，求出函數(shù)的最值即得解.
【詳解】函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，
即在區(qū)間上有解，
所以在區(qū)間上有解，
設(shè)，，
由于在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，，
所以
所以，即
故答案為：
變式9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)零點(diǎn)的意義轉(zhuǎn)化為求方程根的問題，再分類討論求解作答.
【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)，即方程的根，
當(dāng)時(shí)，方程化為：，當(dāng)時(shí)，方程化為：，
依題意，方程有3個(gè)不等的負(fù)根，而方程兩根之積為負(fù)，必有一正根一負(fù)根，
于是得在上有一個(gè)負(fù)根，在上有兩個(gè)相異負(fù)根，因此，即，
由在上有兩個(gè)相異負(fù)根得，，解得，
在中，，即方程在上有且只有一個(gè)負(fù)根，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：
變式10．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知二次函數(shù)，求下列條件下，實(shí)數(shù)的取值范圍．
(1)零點(diǎn)均大于1；
(2)一個(gè)零點(diǎn)大于1，一個(gè)零點(diǎn)小于1；
(3)一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)，另一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意只需對(duì)稱軸大于1，即可，
（2）根據(jù)題意只需即可，
（3）根據(jù)題意結(jié)合零點(diǎn)存在性定理列不等式組求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)均大于1，
所以，解得，
（2）因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)大于1，一個(gè)零點(diǎn)小于1，
所以，解得，
（3）因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)，另一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)，
所以，解得.
變式11．（2024·全國(guó)·高一期末）已知函數(shù)，.若存在，，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出與值域，由題意可知，由此即可求解
【詳解】時(shí)單調(diào)遞增函數(shù)，
的值域是，
的對(duì)稱軸是，在上，函數(shù)單調(diào)遞減，
的值域是，
因?yàn)榇嬖冢沟茫?br/>所以,
若，則或，
解得或，
所以當(dāng)時(shí)，，
變式12.（2023秋·北京·高一校考期中）已知函數(shù)若關(guān)于的函數(shù)有且只有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)殛P(guān)于的函數(shù)有且只有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
所以函數(shù)與函數(shù)圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，畫出圖象，如圖：
由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【題型6：用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值(方程的近似解)】
例6.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）以下每個(gè)圖象表示的函數(shù)都有零點(diǎn)，但不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據(jù)二分法的思想，函數(shù)在區(qū)間上的圖象連續(xù)不斷，且，
即函數(shù)的零點(diǎn)是變號(hào)零點(diǎn)，才能將區(qū)間一分為二，逐步得到零點(diǎn)的近似值．
對(duì)各選項(xiàng)的函數(shù)圖象分析可知，A，B，D都符合條件，
而選項(xiàng)C不符合，因?yàn)閳D象經(jīng)過零點(diǎn)時(shí)函數(shù)值的符號(hào)沒有發(fā)生變化，
因此不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)．.
變式1．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）求方程在區(qū)間內(nèi)的實(shí)根，取區(qū)間中點(diǎn)，那么下一個(gè)有根區(qū)間是 ．
【答案】
【分析】利用零點(diǎn)存在定理可得出結(jié)果.
【詳解】令，則，，
由因?yàn)椋?br/>因此，下一個(gè)有根的區(qū)間為.
故答案為：.
變式2．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列是函數(shù)在區(qū)間上一些點(diǎn)的函數(shù)值. 由此可判斷：方程的一個(gè)近似解為 (精確度0.1)．
x 1 1.25 1.375 1.4065 1.438
0.165
x 1.5 1.625 1.75 1.875 2
0.625 1.982 2.645 4.35 6
【答案】1.438(答案不唯一)
【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理及二分法求解即可.
【詳解】由題設(shè)有，于是，
所以，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，此時(shí)，
取區(qū)間的中點(diǎn)，又，
因?yàn)椋裕藭r(shí)，
再取的中點(diǎn)，又，
因?yàn)椋裕藭r(shí)，
再取的中點(diǎn)，又，
因?yàn)椋裕藭r(shí)，
再取的中點(diǎn)，又，
因?yàn)椋裕藭r(shí)，
再取的中點(diǎn)，又，
因?yàn)椋裕?br/>所以，當(dāng)精確度為0.1時(shí)，方程的一個(gè)近似解為1.438．
故答案為：1.438．(答案不唯一)
變式3．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若函數(shù)的一個(gè)正零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算，其參考數(shù)據(jù)如下：
那么方程的一個(gè)近似根（精確度0.1）為（ ）
A．1.2 B．1.4 C．1.3 D．1.5
【答案】C
【分析】根據(jù)二分法求零點(diǎn)的步驟以及精確度可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋裕院瘮?shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，
因?yàn)椋圆粷M足精確度；
因?yàn)椋裕院瘮?shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，
因?yàn)椋圆粷M足精確度；
因?yàn)椋裕院瘮?shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，
因?yàn)椋圆粷M足精確度；
因?yàn)椋裕院瘮?shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，
因?yàn)椋詽M足精確度；
所以方程的一個(gè)近似根（精確度）是區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)值（包括端點(diǎn)值），根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)可知選B .
【方法技巧與總結(jié)】
1.二分法求函數(shù)的近似零點(diǎn)的步驟
在函數(shù)零點(diǎn)存在定理的條件滿足時(shí)，給定近似的精度，用二分法求零點(diǎn)的近似值，使得的一般步驟如下：
第一步：檢查是否不成立。
如果不成立，取，計(jì)算結(jié)果；如果不不成立，轉(zhuǎn)到第二步；
第二步：計(jì)算區(qū)間的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，
若，則取，計(jì)算結(jié)束；若，轉(zhuǎn)到第三步；
第三步：若，將的值賦值給（用表示，下同），回到第一步；
否則必有，將將的值賦值給，回到第一步.
【注意】用可知，令，與函數(shù)的零點(diǎn)之間的誤差一定小于，
原因是，
也可以是
2.用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值應(yīng)遵循的原則
①需依據(jù)圖像估計(jì)零點(diǎn)所在的初始區(qū)間[m，n](一般采用估計(jì)值的方法完成).
②取區(qū)間端點(diǎn)的平均數(shù)c，計(jì)算f(c)，確定有解區(qū)間是[m，c]還是[c，n]，逐步縮小區(qū)間的“長(zhǎng)度”，直到區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)符合精確度要求，終止計(jì)算，得到函數(shù)零點(diǎn)的近似值．
3.二分法求函數(shù)零點(diǎn)步驟的記憶口訣
定區(qū)間，找中點(diǎn)，中值計(jì)算兩邊看．
同號(hào)丟，異號(hào)算，零點(diǎn)落在異號(hào)間．
重復(fù)做，何時(shí)止，精確度來把關(guān)口．
一、單選題
1．（22-23高一上·北京·期末）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】分解因式求解方程的根即可.
【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)，即方程的實(shí)數(shù)根.
由解得，或.
故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.
2．（21-22高三下·四川德陽·期末）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的充分不必要條件是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】A
【分析】由題意求出a的取值范圍，結(jié)合選項(xiàng)判斷哪個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)集合為其真子集，即可確定答案.
【詳解】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則有2個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
即或，
由于，
故為函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的充分不必要條件，
顯然，均不能推出或，不符合題意；
或是函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的充分必要條件，
3．（24-25高一上·全國(guó)·課堂例題）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判斷方程的一個(gè)根所在的區(qū)間是（ ）
x -1 0 1 2 3
0.37 1 2.72 7.39 20.09
1 2 3 4 5
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)零點(diǎn)概念及零點(diǎn)存在定理判斷即可.
【詳解】設(shè)，由表格中的數(shù)據(jù)得，
，，
，，，
所以，
又的圖象是連續(xù)不斷的，
所以在內(nèi)有零點(diǎn)．
故選：.
4．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)，若存在m使得關(guān)于x的方程有兩不同的根，則t的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，利用冪函數(shù)的性質(zhì)，得到函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，結(jié)合題意，列出不等式，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，可得函數(shù)在，上為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
若存在m使得關(guān)于x的方程有兩不同的根，只需，
解得或，所以t的取值范圍為.
．
5．（23-24高一上·浙江杭州·期中）在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石.布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾（L·E·J·Brouwer），簡(jiǎn)單的講就是對(duì)于滿足一定條件的圖象不間斷的函數(shù)，存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù).下列為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由題，若方程在函數(shù)定義域內(nèi)有解，則函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，據(jù)此可判斷選項(xiàng)正誤.
【詳解】A選項(xiàng)，，方程無解，則不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，，方程判別式，方程無解，
則不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，，方程無解，則不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，，方程有兩解，則是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，D正確.
6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：轉(zhuǎn)化成一元二次方程在上有兩個(gè)不同的解的問題；法二：分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖像在上有兩個(gè)交點(diǎn)的問題.
【詳解】法一：因?yàn)椋矣袃蓚€(gè)零點(diǎn)，
所以方程在上有兩個(gè)不同的解，
所以解得．
法二：由得，
因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)．
函數(shù)的圖像如圖，由圖可知．
．
7．（2024·上海松江·二模）已知某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為、及，其中.若，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由a，b為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)可得，即可得、，由兩邊之和大于第三邊，結(jié)合題意可得.
【詳解】由為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，故有，
即恒不成立，
故，，則，，
由a，b，c為某三角形的三邊長(zhǎng)，且，
故，且，則， 因?yàn)楸厝徊怀闪ⅲ?br/>所以，即，解得，
所以，
故的取值范圍是：.
.
8．（2024高三下·全國(guó)·競(jìng)賽）當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分別作出，，的圖象，找到取得最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，建立方程求解即可．
【詳解】解：分別作出，，的圖象，
根據(jù)，如下圖：
由圖象可得取得最小值時(shí)，點(diǎn)為，即為和的交點(diǎn)，
，解得：，
由圖可知點(diǎn)在第二象限，，
．
9．（23-24高三下·河南鄭州·階段練習(xí)）若定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】運(yùn)用奇函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合周期函數(shù)性質(zhì)，賦值即可求解.
【詳解】由是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)可得，
再由可得函數(shù)周期為1,，
中取得，
所以，，，，
所以在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少為7．
．
10．（24-25高三上·廣東廣州·開學(xué)考試）已知函數(shù)，若方程有3個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)m取值范圍值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求解二次方程，即可求得的結(jié)果，根據(jù)的圖像，數(shù)形結(jié)合，即可容易求得參數(shù)的范圍，屬中檔題.
【詳解】由，
得或，作出的圖象，如圖所示，
由圖可知，要使方程有3個(gè)不同的實(shí)根，
當(dāng)，即時(shí)，，符合題意，
當(dāng)，即時(shí)，，符合題意，
所以所求范圍是.
.
二、多選題
11．（23-24高一下·云南曲靖·期中）已知不等式的解集為，則以下選項(xiàng)正確的有（ ）
A．
B．
C．函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)2和3
D．的解集為或
【答案】ACD
【分析】由題意，方程的根為和，由韋達(dá)定理可知，，判斷；結(jié)合二次函數(shù)的圖象知當(dāng)時(shí)，，判斷；由不等式的解集為，判斷；由韋達(dá)定理可知，，代入，求解不等式即可.
【詳解】不等式的解集為，
所以根據(jù)一元二次不等式解法可知，
且，，，，則，正確；
由二次函數(shù)的圖象知當(dāng)時(shí)，，故，錯(cuò)誤；
方程的根為和，顯然正確；
由,可知:，，
代入，得，
由可得，解得或，
故的解集為或，正確；
故選：.
12．（23-24高二下·河北滄州·期末）已知函數(shù)關(guān)于的方程有從小到大排列的四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，若，則（ ）
A． B．
C．的最小值為 D．的最大值為
【答案】AC
【分析】對(duì)于A和B，根據(jù)題意畫出分段函數(shù)的圖像，將方程的根的問題轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)即可，通過觀察圖象直接判斷；對(duì)于C和D，可以借助二次函數(shù)的對(duì)稱性，得到運(yùn)用將未知數(shù)減少，轉(zhuǎn)化為函數(shù)后用基本不等式可求出的范圍即可解決.
【詳解】
在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象，如圖.
關(guān)于的方程有從小到大排列的四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,
等價(jià)于與有四個(gè)不同交點(diǎn),則，顯然正確.
令，則或，所以或，
所以，當(dāng)時(shí)最小，數(shù)形結(jié)合有，故B不正確.
運(yùn)用二次函數(shù)對(duì)稱性，可知
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確.
根據(jù)圖象，則無最大值，故D不正確.
C.
13．（24-25高三上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足不恒為零，且，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．是奇函數(shù)
C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
D．在上有6個(gè)零點(diǎn)
【答案】AB
【分析】根據(jù)題設(shè)確定函數(shù)的周期和對(duì)稱中心，利用這兩個(gè)條件可得推出B正確；結(jié)合函數(shù)定義域，可得A正確；利用函數(shù)性質(zhì)可得函數(shù)在上有8個(gè)零點(diǎn)，排除D項(xiàng)；對(duì)于C，結(jié)合D的結(jié)果，通過舉例說明排除即可.
【詳解】由①可得，函數(shù)的周期為6；
由可得，②，
即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱；
又由②式可得，，結(jié)合①式可得，，故B正確；
又因是定義域?yàn)镽的函數(shù)，故，即得，，故A正確；
對(duì)于D，由上分析，，，
由的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，是定義域?yàn)镽的函數(shù)可知，，
，，，，，
故函數(shù)在上有8個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因，且，
而的值不能確定，即得不到，故C錯(cuò)誤.
B.
14．（23-24高一上·陜西寶雞·期末）若函數(shù)在時(shí)，值域也為，則稱為的“保值區(qū)間”.下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)不存在保值區(qū)間
B．函數(shù)有無數(shù)多個(gè)保值區(qū)間
C．若函數(shù)存在保值區(qū)間，則
D．若函數(shù)存在保值區(qū)間，則
【答案】CCD
【分析】對(duì)于A，結(jié)合的單調(diào)性，令，解方程即可；
對(duì)于B，由題可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)可能存在保值區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可得，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的保值區(qū)間為，最后由的任意性即可判斷；
對(duì)于C，分和兩種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解；
對(duì)于D，由函數(shù)的單調(diào)性知，即方程在上有兩解，令，換元得在上有兩解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象即可得解.
【詳解】對(duì)于A，在和上單調(diào)遞增，
令，得，
解得或，
故存在保值區(qū)間，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由，
可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)可能存在保值區(qū)間，
因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞減，
則有，
可得，即，解得，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的保值區(qū)間為，
由的任意性，可知函數(shù)有無數(shù)多個(gè)保值區(qū)間，故B正確；
對(duì)于C，若存在保值區(qū)間，
①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
故，解得；
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋裕?br/>解得（舍去），
綜上，，故C正確；
對(duì)于D，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
若存在保值區(qū)間，
則，
可知方程在上有兩解，
令，有，
則方程可化為，
所以在上有兩解，
令，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，
所以函數(shù)的大致圖象如圖所示，
因?yàn)樵谏嫌袃山猓?br/>所以在上有兩解，
即函數(shù)的圖象與有兩個(gè)交點(diǎn)，
由圖可知，，故D正確.
CD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了新定義問題與函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是充分理解“保值區(qū)間”的概念，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與值域，結(jié)合換元法求解即可.
三、填空題
15．（23-24高一上·上海·期末）若函數(shù)在區(qū)間的一個(gè)零點(diǎn)的近似值用二分法逐次計(jì)算列表如下：
那么方程的一個(gè)近似解為 （精確到0.1）
【答案】
【分析】根據(jù)題意，由表格中的數(shù)據(jù)，結(jié)合二分法的規(guī)則，由近似解的要求分析，即可求解.
【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)，可得函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間之間，
結(jié)合題設(shè)要求，可得方程的一個(gè)近似解為.
故答案為：.
16．（23-24高一上·江西撫州·期末）在用二分法求方程的正實(shí)數(shù)跟的近似解（精確度）時(shí)，若我們選取初始區(qū)間是，為達(dá)到精確度要求至少需要計(jì)算的次數(shù)是 ．
【答案】7
【分析】利用二分法的定義列出不等式求解即可.
【詳解】設(shè)至少需要計(jì)算次，則滿足，即，
由于，故要達(dá)到精確度要求至少需要計(jì)算7次.
故答案為：7
17．（23-24高一上·海南海口·階段練習(xí)）已知，在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)，則 .若用二分法求的近似值（精確度0.1），則至少需要將區(qū)間等分 次.
【答案】 1 4
【分析】根據(jù)零點(diǎn)、二分法等知識(shí)求得正確答案.
【詳解】在上為減函數(shù)，
又，
∴的零點(diǎn)，故.
設(shè)至少需等分次，則且，
解得，故至少需等分4次.
故答案為：；
18．（23-24高一上·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的，并且是上的增函數(shù)，有如下的對(duì)應(yīng)值表
1 2 3 4
①；②在上存在零點(diǎn)；
③有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；④可能無零點(diǎn)則正確的序號(hào)為________．
【答案】①③
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)和利用零點(diǎn)存在性定理判斷.
【詳解】對(duì)于①，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以，故①正確；
對(duì)于②，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，且，即，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)在區(qū)間的零點(diǎn)，故③正確；
對(duì)于④，因?yàn)楹瘮?shù)連續(xù)，且，即，所以函數(shù)在區(qū)間上一定存在零點(diǎn)，故④錯(cuò)誤，
故答案為：①③
19．（20-21高一上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為
【答案】
【分析】根據(jù)題中條件，列出不等式組，解出即可.
【詳解】因?yàn)樵谏嫌袃蓚€(gè)零點(diǎn)，
所以，，解得.
故答案為：.
20．（24-25高三上·山西呂梁·開學(xué)考試）已知函數(shù)在區(qū)間有零點(diǎn)，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】函數(shù)的零點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化為與函數(shù)放入圖象有交點(diǎn)即可，因此只需確定再區(qū)間的范圍即可.
【詳解】令，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，
且，
所以若在區(qū)間有零點(diǎn)，只需與函數(shù)有交點(diǎn)即可,
所以的取值范圍是.
故答案為：
四、解答題
21．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)m為何值時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、一個(gè)零點(diǎn)、無零點(diǎn)；
(2)若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn)處，求m的值；
(3)若有兩個(gè)根，且一個(gè)根大于2，一個(gè)根小于2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)；
(2)
(3)
【分析】（1）函數(shù)的零點(diǎn)即為對(duì)應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根，由零點(diǎn)個(gè)數(shù)利用判別式可得到的取值范圍；
（2）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn)，說明0是對(duì)應(yīng)方程的根，解方程求m的值；
（3）由二次方程根的分布，有，解不等式可得實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【詳解】（1）函數(shù)，
若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則有，解得．
若函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
則有，解得；
若函數(shù)無零點(diǎn)，則方程沒有實(shí)數(shù)根，
則有，解得．
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)．
（2）由題意知0是方程的根，
故有，解得.
（3）由題意可得，即，解得，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
22．（23-24高一上·福建龍巖·階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)判斷的奇偶性并證明；
(2)解方程.
【答案】(1)偶函數(shù)，詳細(xì)見解析
(2)
【分析】(1)根據(jù)奇偶性的定義即可證明；
(2)討論的符號(hào)，列出方程組即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)榍叶x域?yàn)镽，所以是偶函數(shù).
（2）當(dāng)時(shí)，，
去絕對(duì)值符號(hào)可得，化簡(jiǎn)可得，
解之可得或(舍)，
當(dāng)時(shí)，，
去絕對(duì)值符號(hào)可得，化簡(jiǎn)可得（舍），
綜上，的解為.
23．（19-20高三下·廣西·階段練習(xí)）已知函數(shù).
（1）若，求不等式的解集；
（2）若方程有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.
【答案】（1）（2）
【分析】（1），函數(shù)等價(jià)變形為分段函數(shù)，由列不等式可解.
（2）方程等價(jià)變形得，作出兩函數(shù)圖形，由圖象得解.
【詳解】解：（1）因?yàn)椋裕?br/>由， ，得，或得，
綜上有
故不等式的解集為.
（2）由，得，
令，則，
作出的圖象，如圖所示.
直線過原點(diǎn)，當(dāng)此直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，；
當(dāng)此直線與直線平行時(shí)，.
由圖可知，當(dāng)或時(shí)，的圖象與直線有公共點(diǎn).
從而有實(shí)數(shù)根，所以的取值范圍為.

【點(diǎn)睛】本題考查含有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式解法. 含有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式常用解法可用零點(diǎn)分區(qū)間法去掉絕對(duì)值符號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式(組)求解.
利用函數(shù)圖象可以解決很多與函數(shù)有關(guān)的問題，如利用函數(shù)的圖象解決函數(shù)性質(zhì)問題，函數(shù)的零點(diǎn)、方程根的問題，有關(guān)不等式的問題等.解決上述問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出相應(yīng)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.
24．（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）已知函數(shù)，其中．
(1)直接寫出的零點(diǎn)；
(2)討論關(guān)于x的方程的解的個(gè)數(shù)；
(3)若方程有四個(gè)不同的根，，，，直接寫出這四個(gè)根的和．
【答案】(1)－1和3；
(2)答案見解析
(3)．
【分析】（1）利用函數(shù)零點(diǎn)的定義直接解方程求解即可；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫出的圖象，結(jié)合圖象求解即可；
（3）由圖象可知，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，從而可求得結(jié)果.
【詳解】（1）解方程，即，
解得或，
所以，函數(shù)的零點(diǎn)為－1和3；
（2）則函數(shù)的圖象如下圖所示：
方程的解的個(gè)數(shù)等于函數(shù)和圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如下圖所示：
當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)根；
當(dāng)或時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)根；
當(dāng)時(shí)，方程有4個(gè)實(shí)根；
當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)實(shí)根．
（3）由圖象可知，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
因此．
25．（20-21高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)，求滿足下列條件的a的取值范圍.
（1）函數(shù)f(x)沒有零點(diǎn)；
（2）函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；
（3）函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)；
（4）函數(shù)f(x)有四個(gè)零點(diǎn).
【答案】（1）a＜0；（2）a0或a＞1；（3）a1；（4）0＜a＜1.
【分析】令，畫出圖象，根據(jù)直線ya與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可求解.
【詳解】令，函數(shù)的圖象如圖所示，
（1）函數(shù)f(x)沒有零點(diǎn)，即直線ya與g(x)|x2－2x|的圖象沒有交點(diǎn)，觀察圖象可知，此時(shí)a＜0；
（2）函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，即直線ya與g(x)|x2－2x|的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，觀察圖象可知此時(shí)a0或a＞1；
（3）函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，即直線ya與g(x)|x2－2x|的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，由圖象易知a1；
（4）函數(shù)f(x)有四個(gè)零點(diǎn)，即直線ya與g(x)|x2－2x|的圖像有四個(gè)交點(diǎn)，由圖像易知0＜a＜1.
【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)圖象交點(diǎn)求參數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題.
26．（20-21高一上·浙江嘉興·期中）設(shè)常數(shù)，函數(shù)．
（1）若，寫出的單調(diào)遞減區(qū)間（不必證明）；
（2）若，且關(guān)于的不等式對(duì)所有恒不成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，若方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．且，求實(shí)數(shù)的值．
【答案】（1），；（2）；（3）．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)， ，再求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）不等式可化為對(duì)任意恒不成立，利用單調(diào)性求函數(shù)的最大值，即求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，去絕對(duì)值后寫成分段函數(shù)，再求的三個(gè)實(shí)數(shù)根，根據(jù)條件列式求的值.
【詳解】（1）時(shí)，，
的單調(diào)遞減區(qū)間為，．
（2）∵，∴，
∴不等式可化為對(duì)任意恒不成立．
∵在上遞增，所以其最大值為，
∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
（3）時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，由得，
當(dāng)時(shí)，由得，
解得．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查含絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是去絕對(duì)值，利用分段函數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)問題.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)3.2 函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1、函數(shù)零點(diǎn)的概念 2、二次函數(shù)的零點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)方程、不等式解集之間的關(guān)系 3、函數(shù)零點(diǎn)存在定理 1.理解函數(shù)零點(diǎn)的概念以及函數(shù)零點(diǎn)與方程的關(guān)系 2.會(huì)根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù) 3.結(jié)合二次函數(shù)的圖像，會(huì)判斷一元二次方程根的存在性及一元二次不等式的解法 4.了解二分法是求定理近似解的方法，會(huì)用二分法求一個(gè)函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)近似值
知識(shí)點(diǎn)01 函數(shù)的零點(diǎn)
（1）函數(shù)零點(diǎn)的概念
一般地，如果函數(shù)yf(x)在實(shí)數(shù)α處的函數(shù)值等于零，即f(α)0，則稱α為函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)．
（2）函數(shù)零點(diǎn)的意義
不難看出，α是函數(shù)f(x)零點(diǎn)的充分必要條件是，(α，0)是函數(shù)圖像與x軸的公共點(diǎn)．因此，由函數(shù)的圖像可以方便地看出函數(shù)值等于0的方程的解集，以及函數(shù)值與0比較相對(duì)大小的不等式的解集．因此我們有：
方程f(x)0有實(shí)數(shù)根 函數(shù)yf(x)的圖像與x軸有交點(diǎn) 函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)．
注：(1)函數(shù)F(x)f(x)－g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)g(x)的根，也就是函數(shù)y1f(x)與y2g(x)的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
(2)如果方程f(x)0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x，那么x稱為函數(shù)yf(x)的二階零點(diǎn)(二重零點(diǎn)).如x2就是函數(shù)f(x)(x－2)2的二階零點(diǎn)．
【即學(xué)即練1】（2024·江蘇揚(yáng)州·高一揚(yáng)州中學(xué)校考階段練習(xí)）對(duì)于函數(shù)，下列說法中正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為、
B．函數(shù)一定有兩個(gè)零點(diǎn)
C．函數(shù)可能無零點(diǎn)
D．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1或2
知識(shí)點(diǎn)02 一元二次不等式與對(duì)應(yīng)函數(shù)、方程
三個(gè)“二次”之間的關(guān)系
從函數(shù)觀點(diǎn)來看，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a>0)的解集，就是二次函數(shù)yax2＋bx＋c(a＞0)在x軸上方的圖像上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是二次函數(shù)yax2＋bx＋c(a＞0)在x軸下方的圖像上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合．一元二次方程ax2＋bx＋c0的解集就是二次函數(shù)yax2＋bx＋c的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合，也就是二次函數(shù)的零點(diǎn)構(gòu)成的集合．
從方程觀點(diǎn)來看，一元二次方程的根是二次函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，就是大于大根或者小于小根的實(shí)數(shù)x的集合；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是大于小根且小于大根的實(shí)數(shù)x的集合．簡(jiǎn)記為“大于取兩邊，小于取中間”．
因此，利用二次函數(shù)的圖像和一元二次方程根的情況就可以解一元二次不等式．具體如下表所示：
Δb2－4ac Δ＞0 Δ0 Δ＜0
yax2＋bx＋c(a＞0)的圖像
ax2＋bx＋c0(a＞0)的根 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(x1＜x2) 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(x1x2－) 無實(shí)數(shù)根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
注：(1)圖表具體表明了一元二次不等式的解集與對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖像、一元二次方程的親密關(guān)系，此圖表是解一元二次不等式的依據(jù)之一．
(2)x1，x2具有三重身份：對(duì)應(yīng)的一元二次方程的實(shí)根；對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的零點(diǎn)；對(duì)應(yīng)的一元二次不等式解集區(qū)間的端點(diǎn)．
【即學(xué)即練2】（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）求下列不等式的解集：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
知識(shí)點(diǎn)03 函數(shù)零點(diǎn)存在定理
如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的，并且f(a)f(b)＜0(即在區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào))，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)中至少有一個(gè)零點(diǎn)，即 x0∈(a，b)，f(x0)0.
注：(1)一般地，解析式是多項(xiàng)式的函數(shù)的圖像都是連續(xù)不斷的．需要注意的是，反比例函數(shù)y的圖像不是連續(xù)不斷的．
(2)一個(gè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)必須同時(shí)滿足：①函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線；②f(a)·f(b)＜0.這兩個(gè)條件缺一不可．
(3)若函數(shù)yf(x)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，則由f(a)·f(b)＜0可以推出函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn)；但是，由函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn)不一定能推出f(a)·f(b)＜0.
(4)如果單調(diào)函數(shù)yf(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)0，這個(gè)c也就是方程f(x)0的根．
【即學(xué)即練3】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為( )
A． B． C． D．
知識(shí)點(diǎn)04 二分法
（1）二分法的概念
對(duì)于圖像在區(qū)間[a，b]上不間斷，且滿足f(a)f(b)＜0的函數(shù)yf(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．
（2）用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值
先確定零點(diǎn)的初始區(qū)間(a，b)(依據(jù)是：如果函數(shù)yf(x)的圖像在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的，并且f(a)與f(b)的符號(hào)相反，則f(x)在(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn))，然后多次將區(qū)間(a，b)一分為二，直至找到零點(diǎn)的準(zhǔn)確值或滿足題中的精度要求的零點(diǎn)的近似值．
注：即用區(qū)間中點(diǎn)將區(qū)間(a，b)一分為二，從而得到兩個(gè)區(qū)間和，其中一個(gè)區(qū)間一定包含零點(diǎn)．如果f＞0，f(a)＜0，我們便認(rèn)為區(qū)間包含零點(diǎn)，如下圖所示：
不斷重復(fù)相似步驟，直到找到零點(diǎn)的準(zhǔn)確值或滿足題中的精度要求的零點(diǎn)的近似值．
注：(1)我們把x稱為區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)．在這里，區(qū)間的中點(diǎn)是個(gè)實(shí)數(shù)，而不是點(diǎn)．
(2)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的方法僅對(duì)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)(曲線通過零點(diǎn)，且在零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào))適用，對(duì)函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)(曲線通過零點(diǎn)，且在零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值同號(hào))不適用．如函數(shù)f(x)(x－1)2的零點(diǎn)就不能用二分法求解．
(3)二分法采用逐步逼近的思想，使區(qū)間逐步縮小，即使函數(shù)的零點(diǎn)所在的范圍逐步縮小，也就是逐漸逼近函數(shù)的零點(diǎn)．
【即學(xué)即練4】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，且的部分函數(shù)值數(shù)據(jù)如下：，，，，，，，要使零點(diǎn)的近似值精確度為，則對(duì)區(qū)間的最少等分次數(shù)和近似解分別為（ ）
A．6次， B．6次，
C．7次， D．7次，
難點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用
示例：已知函數(shù)f(x)其中m＞0.若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)b有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是________.
【題型1：利用二次函數(shù)解不等式】
例1．（2024·江蘇泰州·高一泰州中學(xué)校考階段練習(xí)）解不等式
(1)；
(2)；
(3)
變式1．（2024·黑龍江雙鴨山·高一雙鴨山一中校考階段練習(xí)）設(shè)，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
變式2．（2024·湖南常德·高一臨澧縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知的解集是，
(1)求實(shí)數(shù)與的值
(2)求的解集．
【方法技巧與總結(jié)】
二次函數(shù)的零點(diǎn)與不等式解集之間的關(guān)系
借助相對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，可提煉出一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)(a≠0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(a≠0)的求解方法．當(dāng)a＞0時(shí)，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分為三步：
①確定對(duì)應(yīng)方程ax2＋bx＋c0的根；
②畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像的簡(jiǎn)圖；
③由圖像得出不等式的解集．
求解過程中，必須考慮對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖像的開口方向(a＞0或a＜0)，對(duì)應(yīng)的一元二次方程的判別式符號(hào)、兩根的大小關(guān)系，不等號(hào)的方向(＞，≥，＜，≤)，即一看(看二次項(xiàng)系數(shù)正負(fù))，二算(求對(duì)應(yīng)一元二次方程的根)，三寫(利用對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的圖像寫出對(duì)應(yīng)不等式的解集).
【題型2：求函數(shù)的零點(diǎn)】
例2．（2024·江蘇常州·高一江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的零點(diǎn)：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
變式2．（2024·廣東梅州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)有 個(gè)．
變式3.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)是
變式4．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是1，則它的另一個(gè)零點(diǎn)是 ．
變式5．（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）求下列函數(shù)的零點(diǎn)．
(1)；
(2)；
(3)，其圖象如圖所示．

變式6.（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若求函數(shù)的零點(diǎn)．
【方法技巧與總結(jié)】
函數(shù)零點(diǎn)的求法
(1)代數(shù)法：求出方程f(x)0的實(shí)數(shù)根，即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)．
(2)幾何法：對(duì)于不能用求根公式或分解因式求解的方程，可以將它與對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖像聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質(zhì)求零點(diǎn)．
【題型3：求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)】
例3．（2023春·陜西西安·高二校考期中）直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ．
變式1．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的對(duì)應(yīng)值表，那么函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)至少有（ ）
x 1 2 3 4 5 6 7
123.5 21.5 －7.82 11.57 －53.7 －126.7 －129.6
A．2個(gè) B．3個(gè)
C．4個(gè) D．5個(gè)
變式2．【多選】（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）對(duì)于函數(shù)，下列說法中正確的是（　　）
A．函數(shù)一定有兩個(gè)零點(diǎn)
B．時(shí)，函數(shù)一定有兩個(gè)零點(diǎn)
C．時(shí)，函數(shù)一定有兩個(gè)零點(diǎn)
D．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1或2
變式3．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)作出函數(shù)的圖象；
(2)就a的取值范圍討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
變式4.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若函數(shù)，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
變式5．【多選】（2024·湖北荊門·高一鐘祥市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則（ ）
A．
B．且
C．若，則
D．函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)或兩個(gè)零點(diǎn)
變式6．（2024·云南大理·高二云南省下關(guān)第一中學(xué)校考開學(xué)考試）已知，定義域和值域均為的函數(shù)和的圖象如圖所示，給出下列四個(gè)結(jié)論，不正確結(jié)論的是（ ）

A．方程有且僅有三個(gè)解 B．方程有且僅有兩個(gè)解
C．方程有且僅有五個(gè)解 D．方程有且僅有一個(gè)解
變式7．【多選】（2024·全國(guó)·高一課堂例題）已知，關(guān)于的方程，則下列四個(gè)命題是真命題的為（ ）
A．存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解
B．存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解
C．存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解
D．存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)解
【方法技巧與總結(jié)】
判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的三種方法
(1)方程法：若方程f(x)0的解可求或能判斷解的個(gè)數(shù)，可通過方程的解來判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)或判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
(2)圖像法：由f(x)g(x)－h(huán)(x)0，得g(x)h(x)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y1g(x)和y2h(x)的圖像，根據(jù)兩個(gè)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來判定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
(3)定理法：函數(shù)yf(x)的圖像在區(qū)間[a，b]上是一條連續(xù)不斷的曲線，由f(a)·f(b)<0即可判斷函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)．
【題型4：判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間】
例4.（2023秋·北京·高一校考期中）函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間存在零點(diǎn)（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2024秋·四川廣安·高三四川省廣安友誼中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)，另一個(gè)零點(diǎn)在（ ）內(nèi).
A． B． C． D．
變式2．（2024·高一校考課時(shí)練習(xí)）函數(shù)與圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)的大致區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
變式3．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知唯一的零點(diǎn)同時(shí)在區(qū)間和內(nèi)，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn) B．函數(shù)在內(nèi)無零點(diǎn)
C．函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn) D．函數(shù)在內(nèi)無零點(diǎn)
變式4．【多選】（2024·新疆·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對(duì)應(yīng)值表：
1 3 5 7
24 13 1
則一定包含的零點(diǎn)的區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結(jié)】
判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的三個(gè)步驟
(1)代入：將區(qū)間端點(diǎn)值代入函數(shù)求出函數(shù)值．
(2)判斷：把所得的函數(shù)值相乘，并進(jìn)行符號(hào)判斷．
(3)結(jié)論：若符號(hào)為正且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則在該區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，若符號(hào)為負(fù)且函數(shù)連續(xù)，則在該區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．　
【題型5：根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)范圍】
例5．（2024·上海浦東新·高一上海市進(jìn)才中學(xué)校考期末）已知函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，常數(shù)的取值范圍為 .
變式1．（2024·廣西北海·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .
變式2．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）方程在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ．
變式3．（2024·江蘇南通·高一校考期中）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式4．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
變式5．（2024·安徽淮北·高一淮北一中校考期末）已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)都在內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
變式6．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
變式7．（2024·廣西梧州·校考一模）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
變式8．（2024·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
變式9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .
變式10．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知二次函數(shù)，求下列條件下，實(shí)數(shù)的取值范圍．
(1)零點(diǎn)均大于1；
(2)一個(gè)零點(diǎn)大于1，一個(gè)零點(diǎn)小于1；
(3)一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)，另一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)．
變式11．（2024·全國(guó)·高一期末）已知函數(shù)，.若存在，，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式12.（2023秋·北京·高一校考期中）已知函數(shù)若關(guān)于的函數(shù)有且只有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型6：用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值(方程的近似解)】
例6.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）以下每個(gè)圖象表示的函數(shù)都有零點(diǎn)，但不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）求方程在區(qū)間內(nèi)的實(shí)根，取區(qū)間中點(diǎn)，那么下一個(gè)有根區(qū)間是 ．
變式2．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列是函數(shù)在區(qū)間上一些點(diǎn)的函數(shù)值. 由此可判斷：方程的一個(gè)近似解為 (精確度0.1)．
x 1 1.25 1.375 1.4065 1.438
0.165
x 1.5 1.625 1.75 1.875 2
0.625 1.982 2.645 4.35 6
變式3．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若函數(shù)的一個(gè)正零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算，其參考數(shù)據(jù)如下：
那么方程的一個(gè)近似根（精確度0.1）為（ ）
A．1.2 B．1.4 C．1.3 D．1.5
【方法技巧與總結(jié)】
1.二分法求函數(shù)的近似零點(diǎn)的步驟
在函數(shù)零點(diǎn)存在定理的條件滿足時(shí)，給定近似的精度，用二分法求零點(diǎn)的近似值，使得的一般步驟如下：
第一步：檢查是否不成立。
如果不成立，取，計(jì)算結(jié)果；如果不不成立，轉(zhuǎn)到第二步；
第二步：計(jì)算區(qū)間的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，
若，則取，計(jì)算結(jié)束；若，轉(zhuǎn)到第三步；
第三步：若，將的值賦值給（用表示，下同），回到第一步；
否則必有，將將的值賦值給，回到第一步.
【注意】用可知，令，與函數(shù)的零點(diǎn)之間的誤差一定小于，
原因是，
也可以是
2.用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值應(yīng)遵循的原則
①需依據(jù)圖像估計(jì)零點(diǎn)所在的初始區(qū)間[m，n](一般采用估計(jì)值的方法完成).
②取區(qū)間端點(diǎn)的平均數(shù)c，計(jì)算f(c)，確定有解區(qū)間是[m，c]還是[c，n]，逐步縮小區(qū)間的“長(zhǎng)度”，直到區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)符合精確度要求，終止計(jì)算，得到函數(shù)零點(diǎn)的近似值．
3.二分法求函數(shù)零點(diǎn)步驟的記憶口訣
定區(qū)間，找中點(diǎn)，中值計(jì)算兩邊看．
同號(hào)丟，異號(hào)算，零點(diǎn)落在異號(hào)間．
重復(fù)做，何時(shí)止，精確度來把關(guān)口．
一、單選題
1．（22-23高一上·北京·期末）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（21-22高三下·四川德陽·期末）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的充分不必要條件是（ ）
A． B．
C．或 D．
3．（24-25高一上·全國(guó)·課堂例題）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判斷方程的一個(gè)根所在的區(qū)間是（ ）
x -1 0 1 2 3
0.37 1 2.72 7.39 20.09
1 2 3 4 5
A． B． C． D．
4．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)，若存在m使得關(guān)于x的方程有兩不同的根，則t的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高一上·浙江杭州·期中）在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石.布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾（L·E·J·Brouwer），簡(jiǎn)單的講就是對(duì)于滿足一定條件的圖象不間斷的函數(shù)，存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù).下列為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·上海松江·二模）已知某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為、及，其中.若，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高三下·全國(guó)·競(jìng)賽）當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24高三下·河南鄭州·階段練習(xí)）若定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（24-25高三上·廣東廣州·開學(xué)考試）已知函數(shù)，若方程有3個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)m取值范圍值是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
11．（23-24高一下·云南曲靖·期中）已知不等式的解集為，則以下選項(xiàng)正確的有（ ）
A．
B．
C．函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)2和3
D．的解集為或
12．（23-24高二下·河北滄州·期末）已知函數(shù)關(guān)于的方程有從小到大排列的四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，若，則（ ）
A． B．
C．的最小值為 D．的最大值為
13．（24-25高三上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足不恒為零，且，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．是奇函數(shù)
C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
D．在上有6個(gè)零點(diǎn)
14．（23-24高一上·陜西寶雞·期末）若函數(shù)在時(shí)，值域也為，則稱為的“保值區(qū)間”.下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)不存在保值區(qū)間
B．函數(shù)有無數(shù)多個(gè)保值區(qū)間
C．若函數(shù)存在保值區(qū)間，則
D．若函數(shù)存在保值區(qū)間，則
三、填空題
15．（23-24高一上·上海·期末）若函數(shù)在區(qū)間的一個(gè)零點(diǎn)的近似值用二分法逐次計(jì)算列表如下：
那么方程的一個(gè)近似解為 （精確到0.1）
16．（23-24高一上·江西撫州·期末）在用二分法求方程的正實(shí)數(shù)跟的近似解（精確度）時(shí)，若我們選取初始區(qū)間是，為達(dá)到精確度要求至少需要計(jì)算的次數(shù)是 ．
17．（23-24高一上·海南海口·階段練習(xí)）已知，在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)，則 .若用二分法求的近似值（精確度0.1），則至少需要將區(qū)間等分 次.
18．（23-24高一上·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的，并且是上的增函數(shù)，有如下的對(duì)應(yīng)值表
1 2 3 4
①；②在上存在零點(diǎn)；
③有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；④可能無零點(diǎn)則正確的序號(hào)為________．
19．（20-21高一上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為
20．（24-25高三上·山西呂梁·開學(xué)考試）已知函數(shù)在區(qū)間有零點(diǎn)，則的取值范圍是 .
四、解答題
21．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)m為何值時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、一個(gè)零點(diǎn)、無零點(diǎn)；
(2)若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn)處，求m的值；
(3)若有兩個(gè)根，且一個(gè)根大于2，一個(gè)根小于2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
22．（23-24高一上·福建龍巖·階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)判斷的奇偶性并證明；
(2)解方程.
23．（19-20高三下·廣西·階段練習(xí)）已知函數(shù).
（1）若，求不等式的解集；
（2）若方程有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.
24．（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）已知函數(shù)，其中．
(1)直接寫出的零點(diǎn)；
(2)討論關(guān)于x的方程的解的個(gè)數(shù)；
(3)若方程有四個(gè)不同的根，，，，直接寫出這四個(gè)根的和．
25．（20-21高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)，求滿足下列條件的a的取值范圍.
（1）函數(shù)f(x)沒有零點(diǎn)；
（2）函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；
（3）函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)；
（4）函數(shù)f(x)有四個(gè)零點(diǎn).
26．（20-21高一上·浙江嘉興·期中）設(shè)常數(shù)，函數(shù)．
（1）若，寫出的單調(diào)遞減區(qū)間（不必證明）；
（2）若，且關(guān)于的不等式對(duì)所有恒不成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，若方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．且，求實(shí)數(shù)的值．
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