資源簡(jiǎn)介

3.3 函數(shù)的應(yīng)用（一）
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.能夠運(yùn)用一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. （1）能通過(guò)閱讀理解讀懂題目中文字?jǐn)⑹鏊从车膶?shí)際背景，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)道理，弄清題中出現(xiàn)的量及其數(shù)學(xué)含義. （2）能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的具體背景，進(jìn)行數(shù)學(xué)化設(shè)計(jì)，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題（即建立數(shù)學(xué)模型），并運(yùn)用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解決問(wèn)題。 （3）能處理有民生、經(jīng)濟(jì)、物里等方面的實(shí)際問(wèn)題。 2.通過(guò)聯(lián)系實(shí)際的引入問(wèn)題和解決帶有實(shí)際意義的某些問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，也體見(jiàn)了函敞知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，也滲透了訓(xùn)練的價(jià)值. 3.通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的研究解決，滲透了數(shù)學(xué)建模的思想.提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生對(duì)函數(shù)思想等有了進(jìn)一步的了解。 1.在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題，建立模型，最終解決實(shí)際問(wèn)題。 2.會(huì)根據(jù)函數(shù)模型的應(yīng)用的計(jì)算求解，求得參數(shù). 3.對(duì)所求的結(jié)果要進(jìn)行檢驗(yàn)，是否符合實(shí)際條件.
知識(shí)點(diǎn)01 一次函數(shù)模型
形如ykx＋b(k≠0)的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型．應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì)及圖像解題時(shí)，應(yīng)注意：
①一次函數(shù)有單調(diào)遞增(一次項(xiàng)系數(shù)為正)和單調(diào)遞減(一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù))兩種情況；
②一次函數(shù)的圖像是一條直線．
【即學(xué)即練1】（2024·安徽合肥·高一校考期中）車(chē)管站在某個(gè)星期日保管的自行車(chē)和電動(dòng)車(chē)共有輛次，其中電動(dòng)車(chē)保管費(fèi)是每輛一次元，自行車(chē)保管費(fèi)是每輛一次元．
(1)若設(shè)停放的自行車(chē)的輛次為，總的保管費(fèi)收入為元，試寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式
(2)若估計(jì)前來(lái)停放的輛次自行車(chē)和電動(dòng)車(chē)中，電動(dòng)車(chē)的輛次數(shù)不小于，但不大于，試求該車(chē)管站這個(gè)星期日收入保管費(fèi)總數(shù)的范圍．
【答案】(1) 且
(2)
【分析】（1）由總的保管費(fèi)收入等于停放的自行車(chē)保管費(fèi)加停放的電動(dòng)車(chē)保管費(fèi)寫(xiě)出函數(shù)解析式和定義域即可.
（2）根據(jù)題意確定函數(shù)的定義域，在此定義域范圍內(nèi)研究函數(shù)的值域即可.
【詳解】（1）由題意得， 且.
（2）若電動(dòng)車(chē)的輛次數(shù)不小于，但不大于，
則，即且，
∴且
∵ ，
∴在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為1330，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為1225，
∴的值域是，即收入在元至元之間.
知識(shí)點(diǎn)02 二次函數(shù)模型
形如yax2＋bx＋c(a≠0)的函數(shù)模型是二次函數(shù)模型．二次函數(shù)模型是重要的數(shù)學(xué)模型之一，依據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立二次函數(shù)的解析式后，利用配方法求最值簡(jiǎn)單易懂，有時(shí)也可以依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，從而解決利潤(rùn)最大、用料最省等問(wèn)題．
【即學(xué)即練2】（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）某商店進(jìn)了一匹服裝，每件進(jìn)價(jià)為80元．每件售價(jià)為90元，每天售出30件．在一定的范圍內(nèi)這批服裝的售價(jià)每降低1元，每天就多售出1件．請(qǐng)寫(xiě)出每天的利潤(rùn)（單位：元）與售價(jià)（單位：元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)售價(jià)是多少元時(shí)，每天的利潤(rùn)最大．
【答案】，其中，且為正整數(shù)，當(dāng)售價(jià)是90元時(shí)，每天的利潤(rùn)最大.
【分析】根據(jù)題意寫(xiě)出售價(jià)和利潤(rùn)的函數(shù)關(guān)系，利用二次函數(shù)的知識(shí)可求答案.
【詳解】設(shè)售價(jià)為元，利潤(rùn)為元，則由題意，
其中，且為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最大值；
即當(dāng)售價(jià)是90元時(shí)，每天的利潤(rùn)最大.
知識(shí)點(diǎn)03 分段函數(shù)模型
這個(gè)模型的實(shí)質(zhì)是一次函數(shù)、反比例函數(shù)(形如y，k≠0)、二次函數(shù)中兩種及以上的綜合．
【即學(xué)即練3】（2024·山東臨沂·高三校考期中）2023年春節(jié)前后，一場(chǎng)突如其來(lái)的新冠肺炎疫情在武漢出現(xiàn)并很快地傳染開(kāi)來(lái)（己有證據(jù)表明2023年10月、11月國(guó)外已經(jīng)存在新冠肺炎病毒），對(duì)人類(lèi)生命形成巨大危害．在中共中央、國(guó)務(wù)院強(qiáng)有力的組織領(lǐng)導(dǎo)下，全國(guó)人民萬(wàn)眾一心抗擊，防控新冠肺炎，疫情早在3月底已經(jīng)得到了非常好的控制（累計(jì)病亡人數(shù)3869人），然而國(guó)外因國(guó)家體制，思想觀念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越來(lái)越嚴(yán)重．疫情期間造成醫(yī)用防護(hù)用品短缺，某廠家生產(chǎn)醫(yī)用防護(hù)用品需投入年固定成本為170萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)件，需另投入成本為．當(dāng)年產(chǎn)量不足80萬(wàn)件時(shí)，（萬(wàn)元）；當(dāng)年產(chǎn)量不小于80萬(wàn)件時(shí)，（萬(wàn)元）．通過(guò)市場(chǎng)分析，若每件售價(jià)為400元時(shí)，該廠年內(nèi)生產(chǎn)的商品能全部售完．（利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-總成本）
(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式；
(2)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？并求出利潤(rùn)的最大值．
【答案】(1)
(2)年產(chǎn)量為90萬(wàn)件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大，最大值為800萬(wàn)元
【分析】（1）根據(jù)題意列出分段函數(shù)解析式即可；
（2）利用配方法、基本不等式分類(lèi)討論進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，
．
當(dāng)時(shí)，
．
（2）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，取得最大值（萬(wàn)元）
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)不成立．
綜上，當(dāng)時(shí)，取得最大值800萬(wàn)元．
所以年產(chǎn)量為90萬(wàn)件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大，最大值為800萬(wàn)元．
知識(shí)點(diǎn)04 對(duì)勾函數(shù)模型
這個(gè)模型的實(shí)質(zhì)是一次函數(shù)與反比例函數(shù)(形如y，k≠0)模型的綜合．
注：解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟
（1）審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；
（2）建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；
（3）求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；
（4）還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題．
以上過(guò)程用框圖表示如圖：
【即學(xué)即練4】（2024·山東青島·高一青島二中校考階段練習(xí)）為了減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻通常需要建造隔熱層，某地正在建設(shè)一座購(gòu)物中心，現(xiàn)在計(jì)劃對(duì)其建筑物建造可使用40年的隔熱層，已知每厘米厚的隔熱層建造成本為8萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用P（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：．若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為9萬(wàn)元．設(shè)S為隔熱層建造費(fèi)用與40年的能源消耗費(fèi)用之和．
(1)求m的值及用x表示S；
(2)當(dāng)隔熱層的厚度為多少時(shí)，總費(fèi)用S達(dá)到最小，并求最小值．
【答案】(1)，（）；
(2)當(dāng)隔熱層的厚度為6.25cm時(shí)，總費(fèi)用取得最小值110萬(wàn)元.
【分析】（1）利用給定條件，求出的值，進(jìn)而可得能源消耗費(fèi)用與隔熱層建造成本之和.
（2）利用基本不等式即可求最值，根據(jù)等號(hào)不成立的條件可得隔熱層厚度.
【詳解】（1）設(shè)隔熱層厚度x，依題意，每年的能源消耗費(fèi)用為：，而當(dāng)時(shí)，，
則，解得，
顯然建造費(fèi)用為，所以隔熱層建造費(fèi)用與40年的能源消耗費(fèi)用之和為：
（）.
（2）由（1）知
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)隔熱層的厚度為6.25cm時(shí)，總費(fèi)用取得最小值110萬(wàn)元．
難點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用
示例：為了鼓勵(lì)大家節(jié)約用水，自2013年以后，上海市實(shí)行了階梯水價(jià)制度，其中每戶的綜合用水單價(jià)與戶年用水量的關(guān)系如下表所示．
分檔 戶年用水量/m3 綜合用水單價(jià)/(元/m3)
第一階梯 0～220(含) 3.45
第二階梯 220～300(含) 4.83
第三階梯 300以上 5.83
記戶年用水量為x m3時(shí)應(yīng)繳納的水費(fèi)為f(x)元．
(1)寫(xiě)出f(x)的解析式；
(2)假設(shè)居住在上海的張明一家2015年共用水280 m3，則張明一家2015年應(yīng)繳納水費(fèi)多少元？
【解析】　(1)不難看出，f(x)是一個(gè)分段函數(shù)，而且：
當(dāng)0＜x≤220時(shí)，有f(x)3.45x；
當(dāng)220＜x≤300時(shí)，有
f(x)220×3.45＋(x－220)×4.83
4.83x－303.6；
當(dāng)x＞300時(shí)，有
f(x)220×3.45＋(300－220)×4.83＋(x－300)×5.83
5.83x－803.6.
因此f(x)
(2)因?yàn)?20＜280≤300，所以
f(280)4.83×280－303.6952.2，
因此張明一家2015年應(yīng)繳納水費(fèi)952.2元．
【方法小結(jié)】(1)分段函數(shù)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的重要模型，由自變量變化所遵循規(guī)律的不同決定的，函數(shù)的分段表示是建模的關(guān)鍵．
(2)若求分段函數(shù)值域或最值時(shí)，應(yīng)對(duì)分段函數(shù)中的每段函數(shù)分別求出值域或最值，然后再由各段函數(shù)的值域或最值確定本函數(shù)的值域或最值．分類(lèi)討論思想是本類(lèi)問(wèn)題的主要思想方法．
【題型1：一元一次函數(shù)模型】
例1.（2024秋·北京·高一校考期中）果蔬批發(fā)市場(chǎng)批發(fā)某種水果，不少于千克時(shí)，批發(fā)價(jià)為每千克元，小王攜帶現(xiàn)金3000元到市場(chǎng)采購(gòu)這種水果，并以此批發(fā)價(jià)買(mǎi)進(jìn)，如果購(gòu)買(mǎi)的水果為千克，小王付款后剩余現(xiàn)金為元，則與之間的函數(shù)關(guān)系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由題意可知函數(shù)關(guān)系式是，
由題意可知最少買(mǎi)千克，最多買(mǎi)千克，
所以函數(shù)的定義域是.
故；，故選:C.
變式1.（2024·四川眉山·高一眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分別是2023年北京冬奧會(huì)、冬殘奧會(huì)的吉樣物．冬奧會(huì)來(lái)臨之際，冰墩墩、雪容融玩偶暢銷(xiāo)全國(guó)．小雅在某網(wǎng)店選中兩種玩偶，決定從該網(wǎng)店進(jìn)貨并銷(xiāo)售，第一次小雅用1400元購(gòu)進(jìn)了冰墩墩玩偶15個(gè)和雪容融玩偶5個(gè)，已知購(gòu)進(jìn)1個(gè)冰墩墩玩偶和1個(gè)雪容融玩偶共需136元，銷(xiāo)售時(shí)每個(gè)冰墩墩玩偶可獲利28元，每個(gè)雪容融玩偶可獲利20元．

(1)求兩種玩偶的進(jìn)貨價(jià)分別是多少？
(2)第二次小雅進(jìn)貨時(shí)，網(wǎng)店規(guī)定冰墩墩玩偶的進(jìn)貨數(shù)量不得超過(guò)雪容融玩偶進(jìn)貨數(shù)量的1.5倍．小雅計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩種玩偶共40個(gè)，應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少元？
【答案】(1)冰墩墩的進(jìn)貨價(jià)為72元，雪容融的進(jìn)貨價(jià)為64元
(2)冰墩墩進(jìn)貨24個(gè)，雪容融進(jìn)貨16個(gè)；最大利潤(rùn)是992元
【分析】（1）先設(shè)冰墩墩的進(jìn)貨價(jià)為x元，雪容融的進(jìn)貨價(jià)為y元．再根據(jù)題意列出相應(yīng)的二元一次方程組，然后求解即可；
（2）先設(shè)冰墩墩進(jìn)貨a個(gè)，則雪容融進(jìn)貨個(gè)，利潤(rùn)為w元，再根據(jù)題意可以寫(xiě)出w和a的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)題意求得a的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得利潤(rùn)的最大值．
【詳解】（1）設(shè)冰墩墩的進(jìn)貨價(jià)為x元，雪容融的進(jìn)貨價(jià)為y元．
得，解得，
所以冰墩墩的進(jìn)貨價(jià)為72元，雪容融的進(jìn)貨價(jià)為64元．
（2）設(shè)冰墩墩進(jìn)貨a個(gè)，則雪容融進(jìn)貨個(gè)，利潤(rùn)為w元，
則，
因?yàn)椋詗隨a增大而增大，
又因?yàn)楸斩者M(jìn)貨量不能超過(guò)雪容融進(jìn)貨量的1.5倍，
即，解得，
所有當(dāng)時(shí)，w最大，此時(shí)，，
答：冰墩墩進(jìn)貨24個(gè)，雪容融進(jìn)貨16個(gè)時(shí)，獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為992元．
變式2.（2024·上海崇明·高一統(tǒng)考期末）某公司擬投資開(kāi)發(fā)一種新能源產(chǎn)品，估計(jì)公司能獲取不低于100萬(wàn)元且不高于1800萬(wàn)元的投資收益．該公司對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案有如下3條要求：
①獎(jiǎng)金y（單位：萬(wàn)元）隨投資收益x（單位：萬(wàn)元）的增加而增加；
②獎(jiǎng)金不低于10萬(wàn)元且不超過(guò)200萬(wàn)元；
③獎(jiǎng)金不超過(guò)投資收益的20%．
(1)設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)方案函數(shù)模型為，我們可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)模型，比如方案要求③“獎(jiǎng)金不超過(guò)投資收益的20%”可以表述為：“恒不成立”．請(qǐng)你用用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述另外兩條獎(jiǎng)勵(lì)方案；
(2)判斷函數(shù)是否符合公司獎(jiǎng)勵(lì)方案函數(shù)模型的要求，并說(shuō)明理由；
(3)已知函數(shù)符合公司獎(jiǎng)勵(lì)方案函數(shù)模型要求．在該獎(jiǎng)勵(lì)方案函數(shù)模型前提下，科研課題組最多可以獲取多少獎(jiǎng)金？
【答案】(1)答案見(jiàn)解析；
(2)不符合；
(3)195萬(wàn)元.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用函數(shù)單調(diào)性、值域的意義寫(xiě)出方案的前兩個(gè)要求作答.
（2）根據(jù)給定函數(shù)，逐一判斷方案中的3個(gè)要求是否都滿足作答.
（3）根據(jù)給定的函數(shù)模型，求出a的取值范圍，再求出最多可以獲取的獎(jiǎng)金作答.
【詳解】（1）“獎(jiǎng)金y（單位：萬(wàn)元）隨投資收益x（單位：萬(wàn)元）的增加而增加”可以表述為：當(dāng)時(shí)，是的增函數(shù)；
“獎(jiǎng)金不低于10萬(wàn)元且不超過(guò)200萬(wàn)元”表述為：函數(shù)值.
（2）函數(shù)在上是增函數(shù)，，
函數(shù)的值域，
由得：，解得，因此對(duì)，不不成立，
即對(duì)，不等式不恒不成立，
所以函數(shù)不符合公司獎(jiǎng)勵(lì)方案函數(shù)模型的要求.
（3）因?yàn)楹瘮?shù)符合公司獎(jiǎng)勵(lì)方案函數(shù)模型要求，則函數(shù)在上是增函數(shù)，有，
，，解得，
由，不等式恒不成立，得，
顯然，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
于是，解得，從而，
因此當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào)，且，
所以在該獎(jiǎng)勵(lì)方案函數(shù)模型前提下，科研課題組最多可以獲取195萬(wàn)元獎(jiǎng)金.
變式3.（2024·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）由于受到手機(jī)更新?lián)Q代的影響，某手機(jī)店經(jīng)銷(xiāo)的Iphone6手機(jī)二月售價(jià)比一月每臺(tái)降價(jià)700元，如果賣(mài)出相同數(shù)量的Iphone6手機(jī)，那么一月銷(xiāo)售額為9萬(wàn)元，二月銷(xiāo)售額只有8萬(wàn)元.
(1)一月Iphone6手機(jī)每臺(tái)售價(jià)為多少元
(2)為了提高利潤(rùn)，該店計(jì)劃三月購(gòu)進(jìn)Iphone6s手機(jī)銷(xiāo)售，已知Iphone6每臺(tái)進(jìn)價(jià)為3700元，Iphone6s每臺(tái)進(jìn)價(jià)為4000元，預(yù)計(jì)用不多于7.6萬(wàn)元且不少于7.4萬(wàn)元的資金購(gòu)進(jìn)這兩種手機(jī)共20臺(tái)，請(qǐng)問(wèn)有幾種進(jìn)貨方案
(3)該店計(jì)劃4月對(duì)Iphone6的尾貨進(jìn)行銷(xiāo)售，決定在二月售價(jià)基礎(chǔ)上每售出一臺(tái)Iphone6手機(jī)再返還顧客現(xiàn)金元，而Iphone6s按銷(xiāo)售價(jià)4400元銷(xiāo)售，如要使（2）中所有方案獲利相同，應(yīng)取何值
【答案】(1)一月Iphone4每臺(tái)售價(jià)為4700元
(2)有5種進(jìn)貨方案
(3)
【分析】（1）設(shè)一月Iphone6手機(jī)的每臺(tái)售價(jià)為元，根據(jù)題意得到，即可求解；
（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)Iphone6手機(jī)為臺(tái)，由題意得到，求得的范圍，即可求解；
（3）設(shè)總獲利元，得到，結(jié)合，即可求解.
【詳解】（1）解：設(shè)一月Iphone6手機(jī)的每臺(tái)售價(jià)為元，則二月Iphone6手機(jī)的售價(jià)為元，
根據(jù)題意，可得，解得（元），
即一月Iphone6手機(jī)每臺(tái)售價(jià)為元.
（2）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)Iphone6手機(jī)為臺(tái)，則購(gòu)進(jìn)的Iphone6手機(jī)為臺(tái)，
根據(jù)題意，可得，解得，
因?yàn)椋缘娜≈禐椋灿蟹N進(jìn)貨方案.
（3）解：二月Iphone6手機(jī)每臺(tái)售價(jià)為（元），
設(shè)總獲利元，則，
令，可得，
即當(dāng)時(shí)，（2）中所有的方案獲利相同.
【方法技巧與總結(jié)】
利用一次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，需注意以下兩點(diǎn)：
(1)待定系數(shù)法是求一次函數(shù)解析式的常用方法．
(2)當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，一次函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，一次函數(shù)為減函數(shù)．　　
【題型2：一元二次函數(shù)模型】
例2.（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本（萬(wàn)元）與年產(chǎn)量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為噸.
(1)求年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，總成本最低，并求最低成本
(2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為萬(wàn)元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)最大利潤(rùn)是多少
【答案】(1)當(dāng)年產(chǎn)量為噸時(shí)，其生產(chǎn)的總成本最低，最低成本為萬(wàn)元
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為噸時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)萬(wàn)元
【分析】（1）根據(jù)已知條件求得總成本的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得總成本的最小值并求得此時(shí)對(duì)應(yīng)的年產(chǎn)量.
（2）利用求得總利潤(rùn)的表達(dá)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大利潤(rùn)以及此時(shí)對(duì)應(yīng)的年產(chǎn)量.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以當(dāng)年產(chǎn)量為噸時(shí)，其生產(chǎn)的總成本最低，最低成本為萬(wàn)元.
（2）設(shè)該工廠年獲得總利潤(rùn)為萬(wàn)元，
則.
因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，
所以當(dāng)時(shí)，有最大值為.
故當(dāng)年產(chǎn)量為噸時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)萬(wàn)元.
變式1.（2024·安徽阜陽(yáng)·高二校考期中）某化學(xué)試劑廠以千克/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求），每小時(shí)可獲得的利潤(rùn)是萬(wàn)元.
(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于30萬(wàn)元，求的取值范圍；
(2)要使生產(chǎn)120千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)最大，則該工廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求出最大利潤(rùn).
【答案】(1)
(2)應(yīng)以千克/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)，且最大利潤(rùn)為610萬(wàn)元.
【分析】（1）根據(jù)題意，列不等式求出x的范圍即可；
（2）設(shè)總利潤(rùn)為，得出關(guān)于x的函數(shù)解析式，配方得出最大值即可．
【詳解】（1）根據(jù)題意，
有，
得，得或，
又，得．
（2）生產(chǎn)120千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)為
，，
記，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，
則獲得的最大利潤(rùn)為（萬(wàn)元），
變式2.（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）在距A城市45km的B地發(fā)現(xiàn)金屬礦．現(xiàn)知由A至某方向有一條直線鐵路AX，B到該鐵路的距離為27km．欲運(yùn)物資于A，B之間，擬定在鐵路線AX上的某一地點(diǎn)C筑一公路到B．已知公路運(yùn)費(fèi)是鐵路運(yùn)費(fèi)的2倍，則地點(diǎn)C到A地的距離為多少時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最低？
【答案】km
【分析】先設(shè)出鐵路每公里運(yùn)費(fèi)為m和公路每公里運(yùn)輸費(fèi)用為2m（m>0），然后列出解析式，最后求出取得最值時(shí)AC的距離即可.
【詳解】設(shè)鐵路每公里運(yùn)費(fèi)為m,則公路每公里運(yùn)輸費(fèi)用為2m（m>0）.
作于D，設(shè)C到D的距離為xkm.
因?yàn)椋裕?br/>則，.
所以總費(fèi)用
.
要使總費(fèi)用最低，只需最小即可.
設(shè)，則，
兩邊平方得有解，
則，因?yàn)椋獾?
所以當(dāng)時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最低，此時(shí)為，
解得，所以.
即地點(diǎn)C到A地的距離為km時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最低.
變式3.（河南省安陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期階段性測(cè)試（一）數(shù)學(xué)試題）某人投資180萬(wàn)元建成一座海水養(yǎng)殖場(chǎng)用于海參養(yǎng)殖，建成后每年可獲得銷(xiāo)售收入130萬(wàn)元，同時(shí)，經(jīng)過(guò)預(yù)算可知年內(nèi)須另外投入萬(wàn)元的經(jīng)營(yíng)成本．
(1)該海水養(yǎng)殖場(chǎng)從第幾年起開(kāi)始盈利（總利潤(rùn)為正）
(2)該海水養(yǎng)殖場(chǎng)總利潤(rùn)達(dá)到最大時(shí)是第幾年 請(qǐng)求出總利潤(rùn)的最大值．
(3)該海水養(yǎng)殖場(chǎng)年平均利潤(rùn)達(dá)到最大時(shí)是第幾年 請(qǐng)求出年平均利潤(rùn)的最大值．（注：總利潤(rùn)銷(xiāo)售總收入-經(jīng)營(yíng)成本-投資費(fèi)用）
【答案】(1)第3年起至第17年結(jié)束，該海水養(yǎng)殖場(chǎng)盈利
(2)總利潤(rùn)達(dá)到最大時(shí)是第10年，總利潤(rùn)的最大值為萬(wàn)元
(3)年平均利潤(rùn)達(dá)到最大時(shí)是第6年，年平均利潤(rùn)的最大值為萬(wàn)元/年
【分析】（1）先求得該海水養(yǎng)殖場(chǎng)總利潤(rùn)的解析式，利用一元二次不等式即可求得海水養(yǎng)殖場(chǎng)從第3年起開(kāi)始盈利；
（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得該海水養(yǎng)殖場(chǎng)總利潤(rùn)達(dá)到最大時(shí)是第10年，總利潤(rùn)的最大值為萬(wàn)元.
（3）利用均值不等式即可求得該海水養(yǎng)殖場(chǎng)年平均利潤(rùn)達(dá)到最大時(shí)是第6年，年平均利潤(rùn)的最大值為（萬(wàn)元/年）．
【詳解】（1）設(shè)該海水養(yǎng)殖場(chǎng)總利潤(rùn)為y，
則，
由，可得，則，
則第3年起至第17年結(jié)束，該海水養(yǎng)殖場(chǎng)盈利.
（2）由，
可得當(dāng)時(shí)，y取得最大值萬(wàn)元.
故該海水養(yǎng)殖場(chǎng)總利潤(rùn)達(dá)到最大時(shí)是第10年，總利潤(rùn)的最大值為萬(wàn)元.
（3）
（萬(wàn)元/年），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)不成立）
故該海水養(yǎng)殖場(chǎng)年平均利潤(rùn)達(dá)到最大時(shí)是第6年，年平均利潤(rùn)的最大值為（萬(wàn)元/年）．
【方法技巧與總結(jié)】
二次函數(shù)模型主要用來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題中的利潤(rùn)最大、用料最省等問(wèn)題，是高考考查的重點(diǎn)．解題時(shí)，建立二次函數(shù)解析式后，可以利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等來(lái)求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問(wèn)題．
【題型3：分段函數(shù)模型】
例3.（湖北省云學(xué)新高考聯(lián)盟學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）年，月日，華為在華為商城正式上線，成為全球首款支持衛(wèi)星通話的大眾智能手機(jī).其實(shí)在年月日，華為被美國(guó)列入實(shí)體名單，以所謂科技網(wǎng)絡(luò)安全為借口，對(duì)華為施加多輪制裁.為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，華為公司計(jì)劃在年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機(jī)，通過(guò)市場(chǎng)分析，生產(chǎn)此款手機(jī)全年需投入固定成本萬(wàn)，每生產(chǎn)千部手機(jī)，需另投入成本萬(wàn)元，且由市場(chǎng)調(diào)研知此款手機(jī)售價(jià)萬(wàn)元，且每年內(nèi)生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年能全部銷(xiāo)售完.
(1)求出年的利潤(rùn)萬(wàn)元關(guān)于年產(chǎn)量千部的表達(dá)式
(2)年年產(chǎn)量為多少千部時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大最大利潤(rùn)是多少
【答案】(1)；
(2)年年產(chǎn)量為千部時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是萬(wàn)元
【分析】（1）通過(guò)討論的范圍，得出的解析式；
（2）分別求出在和上的最大值即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，，
；
（2）若，，
當(dāng)時(shí)，萬(wàn)元；
若，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，萬(wàn)元，
因?yàn)椋?br/>年年產(chǎn)量為千部時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是萬(wàn)元．
變式1.（2024·江西·高一江西師大附中校考期中）隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展、醫(yī)療消費(fèi)需求增長(zhǎng)、人們健康觀念轉(zhuǎn)變以及人口老齡化進(jìn)程加快等因素的影響，醫(yī)療器械市場(chǎng)近年來(lái)一直保持了持續(xù)增長(zhǎng)的趨勢(shì).某醫(yī)療器械公司為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為200萬(wàn)元，最大產(chǎn)能為100臺(tái).每生產(chǎn)x臺(tái)，需另投入成本萬(wàn)元，且，由市場(chǎng)調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺(tái)的售價(jià)為200萬(wàn)元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷(xiāo)售完.
(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)萬(wàn)元關(guān)于年產(chǎn)量x臺(tái)的函數(shù)解析式（利潤(rùn)銷(xiāo)售收入成本）；
(2)當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
【答案】(1)
(2)綜上可知，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為70臺(tái)時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1780萬(wàn)元.
【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-成本的公式，分，兩種情況討論，即可求解．
（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式，分別求解分段函數(shù)的最大值，再通過(guò)比較大小，即可求解．
【詳解】（1）由題意可得：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故．
（2）當(dāng)時(shí)，，
得時(shí)萬(wàn)元；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)不成立，
此時(shí)萬(wàn)元.
綜上可知，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為70臺(tái)時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1780萬(wàn)元.
變式2.（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）麻城市某社區(qū)為鼓勵(lì)大家節(jié)約用電，與供電公司約定兩種電費(fèi)收取方案供用戶選擇：
方案一：每戶每月收取管理費(fèi)元，月用電量不超過(guò)度時(shí)，每度元；超過(guò)度時(shí)，超過(guò)部分按每度元收取：
方案二：不收取管理費(fèi)，每度元．
(1)彭湃家上月比較節(jié)約，只用了90度電，分別按照這兩種方案，計(jì)算應(yīng)繳多少電費(fèi)？并比較那種方案更合適．
(2)求方案一的收費(fèi)元與用電量度間的函數(shù)關(guān)系．若徐格拉底家九月份按方案一繳費(fèi)80元，問(wèn)徐格拉底家該月用電多少度？
(3)該月用電量在什么范圍內(nèi)，選擇方案一比選擇方案二好？
【答案】(1)第一種方案：元；第二種方案：元.應(yīng)選擇第一種方案．
(2)度．
(3)該月用電量在度到度不含度與度范圍內(nèi)，選擇方案一比選擇方案二好．
【分析】（1）分別按兩種方案計(jì)算，比較后選擇費(fèi)用較少的方案即可；
（2）方案一的收費(fèi)元與用電量度間的函數(shù)關(guān)系為分段函數(shù)，分段求出函數(shù)的各段解析式，再應(yīng)用求解實(shí)際問(wèn)題；
（3）兩種方案的費(fèi)用作差比較，判斷符號(hào)即可.
【詳解】（1）第一種方案：元，
第二種方案：元，
由，故應(yīng)選擇第一種方案．
（2）當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
綜上，.
當(dāng)時(shí)，令，解得舍去．
當(dāng)時(shí)，令，解得．
答：徐格拉底家該月用電度．
（3）令，
當(dāng)時(shí)，令，即，解得，．
當(dāng)時(shí)，令，即，解得，．
綜上可得：．
即該月用電量在度到度不含度與度范圍內(nèi)，選擇方案一比選擇方案二好．
變式3.（2024·重慶九龍坡·高一重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）第 19 屆亞運(yùn)會(huì) 2023 年 9 月在杭州市舉辦，本屆亞運(yùn)會(huì)以 “綠色、智能、節(jié)儉、文明” 為辦會(huì)理念，展示杭州生態(tài)之美、文化之韻，充分發(fā)揮國(guó)際重大賽事對(duì)城市發(fā)展的牽引作用，從而促進(jìn)經(jīng)濟(jì)快速 發(fā)展，籌備期間，某公司帶來(lái)了一種智能設(shè)備供采購(gòu)商洽談采購(gòu)，并決定大量投放當(dāng)?shù)厥袌?chǎng)，已知 該種設(shè)備年固定研發(fā)成本為 70 萬(wàn)元，每生產(chǎn)一萬(wàn)臺(tái)需另投入 80 萬(wàn)元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該設(shè)備 萬(wàn)臺(tái)且全部售完. 當(dāng) 時(shí)，每萬(wàn)臺(tái)的年銷(xiāo)售收入 （萬(wàn)元） 與年產(chǎn)量 （萬(wàn)臺(tái)）滿足關(guān)系式: ; 當(dāng) 時(shí)，每萬(wàn)臺(tái)的年銷(xiāo)售收入 （萬(wàn)元）與年產(chǎn)量 （萬(wàn)臺(tái)）滿足關(guān)系式:
(1)寫(xiě)出年利潤(rùn) （萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量 （萬(wàn)臺(tái)）的函數(shù)解析式（利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入一成本）;
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)臺(tái)時(shí)，該公司獲得的年利潤(rùn)最大 并求最大利潤(rùn).
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）由題意，利用年銷(xiāo)售收入減去固定成本及可變成本即可寫(xiě)出利潤(rùn)y（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x(萬(wàn)臺(tái)）的函數(shù)解析式.
（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式分別求出、上的最值，進(jìn)而確定年利潤(rùn)最大時(shí)對(duì)應(yīng)生產(chǎn)的臺(tái)數(shù)及最大利潤(rùn)值.
【詳解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，年收入為，
當(dāng)時(shí)，年收入為，
故年利潤(rùn)為，
即.
（2）當(dāng)時(shí)，，
由函數(shù)圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸方程為可知函數(shù)單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)不成立，
因?yàn)椋援?dāng)年產(chǎn)量為29萬(wàn)臺(tái)時(shí)，該公司獲得年利潤(rùn)最大為1380萬(wàn)元.
變式4.（山東省普通高中大聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）今年中秋國(guó)慶雙節(jié)假期“合體”，人們的出游意愿進(jìn)一步增強(qiáng)，國(guó)內(nèi)長(zhǎng)線游預(yù)訂人次占比為.數(shù)據(jù)顯示，中秋國(guó)慶假期，長(zhǎng)線游預(yù)訂占比近六成預(yù)訂出游平均時(shí)長(zhǎng)在5天以上.某旅游平臺(tái)上，跨省游訂單占比達(dá)，較2023年同期提升10個(gè)百分點(diǎn).秋高氣爽最適合登高爬山，某戶外登山運(yùn)動(dòng)裝備生產(chǎn)企業(yè)，2023年的固定成本為1000萬(wàn)元，每生產(chǎn)x千件裝備，需另投入資金（萬(wàn)元）.經(jīng)計(jì)算與市場(chǎng)評(píng)估得，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)生產(chǎn)10千件裝備時(shí)需另投入資金萬(wàn)元.每千件裝備的市場(chǎng)售價(jià)為300萬(wàn)元，從市場(chǎng)調(diào)查來(lái)看，2023年最多能售出170千件.
(1)寫(xiě)出2023年利潤(rùn)W（萬(wàn)元）關(guān)于產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)；（利潤(rùn)銷(xiāo)售總額－總成本）
(2)當(dāng)2023年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該企業(yè)所獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
【答案】(1)
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為100千件時(shí)，該企業(yè)的年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)為1570萬(wàn)元.
【分析】（1）由題可得，進(jìn)而結(jié)合條件可得利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式分段求函數(shù)的最值即得.
【詳解】（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
所以；
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為1700；
當(dāng)時(shí)，由基本不等式，得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為1570；
因?yàn)椋援?dāng)年產(chǎn)量為100千件時(shí)，該企業(yè)的年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)為1570萬(wàn)元.
【方法技巧與總結(jié)】
分段函數(shù)模型的應(yīng)用
(1)分段函數(shù)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的重要模型，由自變量變化所遵循規(guī)律的不同決定的，函數(shù)的分段表示是建模的關(guān)鍵．
(2)若求分段函數(shù)值域或最值時(shí)，應(yīng)對(duì)分段函數(shù)中的每段函數(shù)分別求出值域或最值，然后再由各段函數(shù)的值域或最值確定本函數(shù)的值域或最值．分類(lèi)討論思想是本類(lèi)問(wèn)題的主要思想方法．
【題型4：對(duì)勾函數(shù)模型】
例4.（2024·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）工廠需要圍建一個(gè)面積為512的矩形堆料場(chǎng)，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁．我們知道，砌起的新墻的總長(zhǎng)度y（單位：m）是利用原有墻壁長(zhǎng)度x（單位：m）的函數(shù)．
(1)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并確定x的取值范圍；
(2)隨著x的變化，y的變化有何規(guī)律？
(3)當(dāng)堆料場(chǎng)的長(zhǎng)、寬比為多少時(shí)，需要砌起的新墻用的材料最省？
【答案】(1)
(2)見(jiàn)解析；
(3).
【分析】（1）利用題意建立函數(shù)關(guān)系即可；
（2）根據(jù)函數(shù)關(guān)系利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可；
（3）根據(jù)（2）求函數(shù)的極值、最值即可.
【詳解】（1）由題意可知與原有墻壁垂直的新墻長(zhǎng)度為：，
則，
所以y關(guān)于x的函數(shù)解析式為，；
（2）由（1），
顯然當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)隨著x的增大，y也增大；
當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)隨著x的增大，y減小；
（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，y可取得極小值也是最小值，此時(shí)，
所以長(zhǎng)和寬分別為32，16時(shí)最省料，此時(shí)長(zhǎng)寬比為.
變式1.（2024·江蘇常州·高一常州市北郊高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）近日，隨著假期來(lái)臨，常州市政府積極制定政策，決定政企聯(lián)動(dòng)，決定為某制衣有限公司在假期間加班生產(chǎn)提供（萬(wàn)元）的專(zhuān)項(xiàng)補(bǔ)貼．該制衣有限公司在收到市政府（萬(wàn)元）補(bǔ)貼后，產(chǎn)量將增加到（萬(wàn)件）．同時(shí)該制衣有限公司生產(chǎn)（萬(wàn)件）產(chǎn)品需要投入成本為（萬(wàn)元），并以每件元的價(jià)格將其生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出．注：收益=銷(xiāo)售金額政府專(zhuān)項(xiàng)補(bǔ)貼成本．
(1)求該制衣有限公司假期間，加班生產(chǎn)所獲收益（萬(wàn)元）關(guān)于專(zhuān)項(xiàng)補(bǔ)貼（萬(wàn)元）的表達(dá)式，并求當(dāng)加班生產(chǎn)所獲收益不低于35萬(wàn)元時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)常州市政府的專(zhuān)項(xiàng)補(bǔ)貼為多少萬(wàn)元時(shí)，該制衣有限公司假期間加班生產(chǎn)所獲收益（萬(wàn)元）最大？
【答案】(1)，
(2)3萬(wàn)元
【分析】（1）根據(jù)題意寫(xiě)出解析式，解不等式可得實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）化簡(jiǎn)解析式，利用均值不等式求最值即可得解.
【詳解】（1）由題意可得．
因?yàn)椋裕?br/>由，得，即，
所以，又，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
（2）因?yàn)?．
又因?yàn)椋裕?br/>所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”），
所以，即當(dāng)萬(wàn)元時(shí)，取最大值36萬(wàn)元．
答：常州市政府的專(zhuān)項(xiàng)補(bǔ)貼為3萬(wàn)元時(shí)，該制衣有限公司假期間加班生產(chǎn)所獲收益最大．
變式2.（2024·江蘇南京·高一南京市燕子磯中學(xué)校考階段練習(xí)）某廠家擬在2023年舉行某產(chǎn)品的促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)用m萬(wàn)元滿足（k為常數(shù)），如果不搞促銷(xiāo)活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量只能是4萬(wàn)件.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為24萬(wàn)元，每生產(chǎn)一萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入18萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（此處每件產(chǎn)品年平均成本按元來(lái)計(jì)算）
(1)計(jì)算k的值為多少，并將2023年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷(xiāo)費(fèi)用m萬(wàn)元的函數(shù)：
(2)該廠家2023年的促銷(xiāo)費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大 最大利潤(rùn)是多少
【答案】(1)，；
(2)促銷(xiāo)費(fèi)用投入5萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為73萬(wàn)元.
【分析】（1）由，可求得的值，結(jié)合題意可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.
（2）利用基本不等式可求出的最大值及其對(duì)應(yīng)的值，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）依題意，當(dāng)時(shí)，，得，則，
所以，，其中，
所以，.
（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以該廠家2023年的促銷(xiāo)費(fèi)用投入5萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為73萬(wàn)元．
變式3.（2024·湖南長(zhǎng)沙·高一湖南師大附中校考階段練習(xí)）某健身器材廠研制了一種足浴氣血生機(jī)，具體原理是：在足浴盆右側(cè)離中心厘米處安裝臭氧發(fā)生孔，產(chǎn)生的臭氧對(duì)雙腳起保健作用．根據(jù)檢測(cè)發(fā)現(xiàn)，該臭氧發(fā)生孔工作時(shí)會(huì)對(duì)泡腳的舒適程度起到干擾作用．已知臭氧發(fā)生孔工作時(shí)，對(duì)左腳的干擾度與成反比，比例系數(shù)為4；對(duì)右腳的干擾度與成反比，比例系數(shù)為k，且當(dāng)時(shí)，對(duì)左腳和右腳的干擾度之和為
(1)求臭氧發(fā)生孔工作時(shí)對(duì)左腳和右腳的干擾度之和y關(guān)于x的表達(dá)式；
(2)求臭氧發(fā)生孔對(duì)左腳和右腳的干擾度之和y的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意得，當(dāng)時(shí)，，代入上式，得，可得表達(dá)式．
（2）化簡(jiǎn)函數(shù)y，利用基本不等式求解最小值即可.
【詳解】（1）由題意得，
當(dāng)時(shí)，，代入上式，得
所以
（2）
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”．
所以臭氧發(fā)生孔對(duì)左腳和右腳的干擾度之和y的最小值為
變式4.（2024·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）為了安全起見(jiàn)，高速公路同一車(chē)道上行駛的前后兩輛汽車(chē)之間的距離不得小于（單位：m），其中x（單位：km/h）是車(chē)速，k為比例系數(shù)．經(jīng)測(cè)定，當(dāng)車(chē)速為80km/h時(shí)，安全車(chē)距為40m．假設(shè)每輛車(chē)的平均車(chē)長(zhǎng)為5m．
(1)寫(xiě)出在安全許可的情況下，某路口同一車(chē)道的車(chē)流量y（單位：輛/min）關(guān)于車(chē)速x的函數(shù)；
(2)如果只考慮車(chē)流量，規(guī)定怎樣的車(chē)速可以使得高速公路上的車(chē)流量最大？這種規(guī)定可行嗎？
【答案】(1)
(2)詳見(jiàn)解析；
【分析】（1）先求出從前一輛車(chē)通過(guò)開(kāi)始，下一輛車(chē)通過(guò)路口用時(shí)，進(jìn)而達(dá)到每小時(shí)通過(guò)的車(chē)輛求解；
（2）由（1）的函數(shù)，利用基本不等式求解.
【詳解】（1）解：從前一輛車(chē)通過(guò)開(kāi)始，下一輛車(chē)通過(guò)路口用時(shí)小時(shí)，
則每小時(shí)通過(guò)的車(chē)輛為輛，
又因?yàn)楫?dāng)車(chē)速為80km/h時(shí)，安全車(chē)距為40m．
所以，解得，
所以某路口同一車(chē)道的車(chē)流量y（單位：輛/min）關(guān)于車(chē)速x的函數(shù)為：
，
（2）由，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)不成立，
顯然不行，因?yàn)闆](méi)有達(dá)到高速公路提速的目的.
【方法技巧與總結(jié)】
應(yīng)用函數(shù)yx＋模型的關(guān)鍵點(diǎn)
(1)明確對(duì)勾函數(shù)是正比例函數(shù)f(x)ax與反比例函數(shù)f(x)疊加而成的．
(2)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)一般可以直接建立f(x)ax＋的模型，有時(shí)可以將所列函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為f(x)ax＋的形式．
[提醒]　(1)解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)一定要關(guān)注函數(shù)的定義域．
(2)利用模型f(x)ax＋求解最值時(shí)，注意取得最值時(shí)等號(hào)不成立的條件．　
一、單選題
1．（24-25高三上·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）某旅游旺地出租車(chē)的費(fèi)用按下列規(guī)則制定：
①行程在3以內(nèi)的（含3），車(chē)費(fèi)10元；
②行程在3以上且不超過(guò)10的，前3車(chē)費(fèi)10元，以后每增加1車(chē)費(fèi)增加2元（不足1的按1計(jì)算）；
③行程超過(guò)10，則超過(guò)的部分每公里車(chē)費(fèi)3元（不足1的按1計(jì)算）.
小明某天乘坐該地的出租車(chē)，共花費(fèi)39元，那么他的行程大約為（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】D
【分析】首先設(shè)行程為km，車(chē)費(fèi)為元，得到分段函數(shù)的解析式，再根據(jù)共花費(fèi)39元求解即可.
【詳解】設(shè)行程為km，車(chē)費(fèi)為元，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，.
小明某天乘坐該地的出租車(chē)，共花費(fèi)39元，
所以，解得km.
2．（23-24高一下·江西贛州·期中）春天，時(shí)令水果草莓上市了，某水果店統(tǒng)計(jì)了草莓上市以來(lái)前兩周的銷(xiāo)售價(jià)格（元/盒）與時(shí)間t（天）的關(guān)系：一位顧客在這兩周里在該水果店購(gòu)買(mǎi)了若干盒草莓，總共消費(fèi)212元，其中在后6天買(mǎi)了4盒，則前8天一共買(mǎi)了（ ）
A．7盒 B．6盒 C．5盒 D．4盒
【答案】C
【分析】設(shè)前3天共買(mǎi)了m盒，第4天到第8天共買(mǎi)了n盒，列式得，結(jié)合m，n均為非負(fù)整數(shù)，求得.
【詳解】設(shè)前3天共買(mǎi)了m盒，第4天到第8天共買(mǎi)了n盒，則，整理得，
因?yàn)閙，n均為非負(fù)整數(shù)，所以是11的整數(shù)倍，當(dāng)時(shí)，，得．
．
3．（2024·北京朝陽(yáng)·二模）假設(shè)某飛行器在空中高速飛行時(shí)所受的阻力滿足公式 ，其中是空氣密度，是該飛行器的迎風(fēng)面積，是該飛行器相對(duì)于空氣的速度， 是空氣阻力系數(shù)（其大小取決于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率. 當(dāng)不變，比原來(lái)提高時(shí)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若不變，則比原來(lái)提高不超過(guò)
B．若不變，則比原來(lái)提高超過(guò)
C．為使不變，則比原來(lái)降低不超過(guò)
D．為使不變，則比原來(lái)降低超過(guò)
【答案】D
【分析】由題意可得，，結(jié)合選項(xiàng)，依次判斷即可.
【詳解】由題意，，所以，，
A：當(dāng)，不變，比原來(lái)提高時(shí)，
則，
所以比原來(lái)提高超過(guò)，故A錯(cuò)誤；
B：由選項(xiàng)A的分析知，，
所以比原來(lái)提高不超過(guò)，故B錯(cuò)誤；
C：當(dāng)，不變，比原來(lái)提高時(shí)，，
所以比原來(lái)降低不超過(guò)，故C正確；
D：由選項(xiàng)C的分析知，比原來(lái)降低不超過(guò)，故D錯(cuò)誤.
4．（23-24高二下·山東濱州·期末）如圖，等腰梯形ABCD 的上底CD=1，下底AB=3，高為1．記等腰梯形ABCD 位于直線x=t(0≤t≤3)左側(cè)的圖形的面積為 f(t)，則f(t)隨t變化時(shí)的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)面積公式得出每段的函數(shù)解析式，進(jìn)而得出答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，是過(guò)原點(diǎn)，且開(kāi)口向上的拋物線的一部分，故排除D；
當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞增的一次函數(shù)的一部分，故排除BC；
當(dāng)時(shí)，，是開(kāi)口向下的拋物線的一部分；
5．（2024高二下·浙江·學(xué)業(yè)考試）有一支隊(duì)伍長(zhǎng)，以的速度前行，傳令員傳令需要從排尾跑到排頭，再立即返回排尾，速度為，若傳令員回到排尾時(shí)，隊(duì)伍正好前進(jìn)了，則（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】計(jì)算隊(duì)伍前進(jìn)的總時(shí)間，傳令兵從排頭到排尾的時(shí)間及從排尾到排頭的時(shí)間，根據(jù)傳令兵往返總時(shí)間與隊(duì)伍前進(jìn)時(shí)間相等即可求解.
【詳解】設(shè)總時(shí)間為，傳令員從排頭到排尾所用時(shí)間為，從排尾到排頭所用時(shí)間為，
所以，所以，
解得，即，
所以.
.
6．（23-24高一上·天津·期末）近年來(lái)，人們對(duì)健康環(huán)境、生態(tài)環(huán)境的關(guān)注越來(lái)越高，因此，低碳環(huán)保、城市可持續(xù)發(fā)展已經(jīng)成為各方關(guān)注的熱點(diǎn)話題.某市對(duì)居民計(jì)費(fèi)方法如下表：若某戶居民本月繳納的電費(fèi)為170元，則此戶居民本月的用電量為（ ）
生活用電實(shí)行分段計(jì) 電價(jià)
0~200度用電量 0.3元/度
201~400度用電量 0.6元/度
401度以上用電量 0.9元/度
A．270度 B．370度 C．470度 D．700度
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，得到本月繳納的電費(fèi)和居民用電量的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合題意，列出方程，即可求解.
【詳解】由題意，設(shè)某戶居民用電量為度，本月繳納的電費(fèi)為，
可得，
當(dāng)某戶居民本月繳納的電費(fèi)為170元時(shí)，可得，
解得，即居民本月的用電量為度.
.
7．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）薯?xiàng)l作為一種油炸食品，風(fēng)味是決定其接受程度的基礎(chǔ).米其林三星餐廳大廚Heston Blumenthal對(duì)餐飲門(mén)店的不同油炸批次的薯?xiàng)l進(jìn)行整體品質(zhì)的感官評(píng)價(jià)并提出了“油炸質(zhì)量曲線”（圖1），將油炸過(guò)程劃分為五個(gè)階段：誘導(dǎo)、新鮮、最佳、降解和廢棄階段，以解釋食物品質(zhì)與油炸時(shí)間之間的關(guān)系.

在特定條件下，薯?xiàng)l品質(zhì)得分與煎炸時(shí)間（單位：min）滿足函數(shù)關(guān)系（a、b、c是常數(shù)），圖2記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳煎炸時(shí)間為（ ）
A．2.25min B．2.75min C．3.25min D．3.75min
【答案】D
【分析】將三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式求出參數(shù)，然后根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)性可得.
【詳解】由圖2知，解得，，，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.
.
8．（21-22高一上·浙江·階段練習(xí)）如圖，在中，于D，，矩形的頂點(diǎn)E與A點(diǎn)重合，，將矩形沿AB平移，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，停止平移，設(shè)點(diǎn)E平移的距離為x，矩形與重合部分的面積為y，則y關(guān)于x 的函數(shù)圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分類(lèi)討論重合部分的形狀，然后利用面積公式將y關(guān)于x 的函數(shù)表示出來(lái)即可.
【詳解】于D，，
,,
且
故當(dāng)時(shí)，重合部分為三角形，
三角形的高，
面積，函數(shù)圖像為開(kāi)口向上的二次函數(shù)，故排除A選項(xiàng)；
當(dāng)時(shí)，重合部分為直角梯形，
上底長(zhǎng)為，
下底長(zhǎng)為，高為4，
故，
函數(shù)圖像為一條直線，故排除D選項(xiàng)；
當(dāng)時(shí)，重合部分可以看作兩個(gè)直角梯形，
左邊直角梯形的上底長(zhǎng)為，
高為
兩個(gè)梯形下底長(zhǎng)均為，
右邊直角梯形上底長(zhǎng)為，
高為，
故，
圖像為開(kāi)口下的二次函數(shù)，且對(duì)稱(chēng)軸為，故排除B選項(xiàng)；
二、多選題
9．（22-23高一上·河北保定·期末）在大草原放牧的老楊要建個(gè)羊圈，羊圈既需要四周都用鐵絲網(wǎng)圍成長(zhǎng)方形又要達(dá)到平均每一頭羊占地不小于6平方米．他買(mǎi)了100m固定高為2m的鐵絲網(wǎng)，建造羊圈時(shí)鐵絲網(wǎng)高度2m不能改變，請(qǐng)問(wèn)老楊養(yǎng)的羊數(shù)可為（ ）
A．80 B．90 C．100 D．140
【答案】ABC
【分析】設(shè)長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)為m，則另一邊長(zhǎng)為()m,求出長(zhǎng)方形面積的最大值即可得答案.
【詳解】解：設(shè)長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)為m，則另一邊長(zhǎng)為()m,
則長(zhǎng)方形的面積，
所以當(dāng)時(shí)，取最大值為.
所以可養(yǎng)羊的只數(shù)，又，
所以.
BC.
10．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知某出租車(chē)司機(jī)為升級(jí)服務(wù)水平，購(gòu)入了一輛豪華轎車(chē)投入營(yíng)運(yùn)，據(jù)之前的市場(chǎng)分析得出每輛車(chē)的營(yíng)運(yùn)總利潤(rùn)y（萬(wàn)元）與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x的關(guān)系為，則下列判斷正確的是（ ）
A．車(chē)輛營(yíng)運(yùn)年數(shù)越多，收入越高
B．車(chē)輛在第6年時(shí)，總收入最高
C．車(chē)輛在前5年的平均收入最高
D．車(chē)輛每年都能盈利
【答案】CC
【分析】由題可知二次函數(shù)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為6，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可以判斷；平均收入為，利用基本不等式即可求最大值，由此判斷C.
【詳解】由題意，，是開(kāi)口向下的二次函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)稱(chēng)軸，故B正確；
平均收入，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)不成立，故C正確；
當(dāng)x1時(shí)，y－14，故D錯(cuò)誤．
C
11．（23-24高一上·貴州黔東南·期末）某工廠對(duì)員工的計(jì)件工資標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行改革，現(xiàn)制訂了，兩種計(jì)件工資核算方案，員工的計(jì)件工資（單位：千元）與其生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)（單位：百件）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．當(dāng)某員工生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為800時(shí)，該員工采用，方案核算的計(jì)件工資相同
B．當(dāng)某員工生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為700時(shí)，該員工采用方案核算的計(jì)件工資更多
C．當(dāng)某員工生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為200時(shí)，該員工采用方案核算的計(jì)件工資更多
D．當(dāng)某員工生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為1000時(shí)，該員工的計(jì)件工資最多為14200元
【答案】ACD
【分析】根據(jù)圖象可直接判斷A，B選項(xiàng)；對(duì)C，計(jì)算出采用A，B方案核算的計(jì)件工資可判斷；對(duì)D，由圖可知產(chǎn)品件數(shù)為1000時(shí)，A方案核算的計(jì)件工資最多，求出函數(shù)關(guān)系式運(yùn)算得解.
【詳解】從圖中可得，A正確，B錯(cuò)誤；
若某員工生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為200，則該員工采用A方案核算的計(jì)件工資為3000元，采用方案核算的計(jì)件工資為元，
因?yàn)椋栽搯T工采用方案核算的計(jì)件工資更多，C正確；
從圖中易得當(dāng)時(shí)，員工采用A方案核算的計(jì)件工資（單位：千元）
與生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)（單位：百件）的函數(shù)關(guān)系式為，
則當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)某員工生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為1000時(shí)，
該員工的計(jì)件工資最多為14200元，D正確.
CD.
三、填空題
12．（23-24高一上·北京·期中）國(guó)慶期間，某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游，若每團(tuán)人數(shù)不超過(guò)30，游客需付給旅行社飛機(jī)票每張900元；若每團(tuán)人數(shù)多于30，則給予優(yōu)惠：每多1人，機(jī)票每張減少10元，直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)75為止.寫(xiě)出飛機(jī)票的價(jià)格y(單位：元)關(guān)于人數(shù)x(單位：人)的函數(shù)關(guān)系式；
【答案】答案見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)題意，函數(shù)是分段函數(shù)，分段求出關(guān)系式，再寫(xiě)成分段函數(shù)的形式即得.
【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
則機(jī)票的價(jià)格y(單位：元)關(guān)于人數(shù)x(單位：人)的函數(shù)關(guān)系式為：.
故答案為：.
13．（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）某輛汽車(chē)以的速度在高速公路上勻速行駛（考慮到高速公路行車(chē)安全，要求）時(shí)，每小時(shí)的油耗（所需要的汽油量）為，其中k為常數(shù)．若汽車(chē)以110 km/h的速度行駛時(shí)，每小時(shí)的油耗為13L，欲使每小時(shí)的油耗不超過(guò)11L，則速度x的取值范圍為 km/h．（結(jié)果保留整數(shù)）
【答案】
【分析】首先求出的值，再解不等式即可求得答案.
【詳解】由，解得，
所以，
所以，故．
故答案為：.
14．（23-24高三上·浙江金華·期末）某地區(qū)上年度電價(jià)為0.8元，年用電量為，本年度計(jì)劃將電價(jià)下降到之間，而用戶期望電價(jià)為．經(jīng)測(cè)算下調(diào)電價(jià)后的新增用電量，和實(shí)際電價(jià)與用戶的期望電價(jià)的差成反比（比例系數(shù)為）．該地區(qū)的電力成本價(jià)為．已知，為保證電力部門(mén)的收益比上年至少增長(zhǎng)，則最低的電價(jià)可定為 ．
【答案】0.6/
【分析】設(shè)出電價(jià)定為元，由題意可得不等式，解出后結(jié)合即可得.
【詳解】設(shè)電價(jià)定為元，，
則由題意可得，
整理可得，又，
故，即，故最低的電價(jià)可定為.
故答案為：.
15．（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）某地區(qū)上年度電價(jià)為0.8元/kw·h，年用電量為akw·h，本年度計(jì)劃將電價(jià)降到0.55元/kw·h至0.75元/kw·h之間，而用戶期望電價(jià)為0.40元/kw·h.經(jīng)測(cè)算，下調(diào)電價(jià)后新增用電量與實(shí)際電價(jià)和用戶期望電價(jià)的差成反比（比例系數(shù)為k），該地區(qū)電力的成本價(jià)為0.30元/kw·h.本年度電價(jià)下調(diào)后，試用實(shí)際電價(jià)x表示電力部門(mén)的收益 ，（指出x的范圍），設(shè)，當(dāng)電價(jià)最低為 時(shí)仍可保證電力部門(mén)的收益比上年至少增長(zhǎng).注：收益=實(shí)際用電量（實(shí)際電價(jià)-成本價(jià)）
【答案】 0.6元/kw·h
【分析】第一空，依題意先求出本年度實(shí)際用電量，再表示本年度電力部門(mén)的收益即得；第二空，分別表示出上年度電力部門(mén)實(shí)際收益和本年度預(yù)收益，根據(jù)題意列出不等式，在給定區(qū)間內(nèi)求出不等式的解集即得.
【詳解】第一空，由題意得：本年度實(shí)際用電量為：，
所以；
第二空，上年度電力部門(mén)實(shí)際收益為：，
本年度電力部門(mén)預(yù)收益為，
依題意，知：，
化簡(jiǎn)得，即，解得或，
又因?yàn)椋裕?br/>即當(dāng)電價(jià)最低為0.80元/kw·h時(shí)，仍可保證電力部門(mén)的收益比上年至少增長(zhǎng).
故答案為：；0.6元/kw·h.
四、解答題
16．（23-24高一上·浙江臺(tái)州·開(kāi)學(xué)考試）某公司生產(chǎn)的某種時(shí)令商品每件成本為22元，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來(lái)40天內(nèi)的日銷(xiāo)售量（件）與（天）的關(guān)系如表：
時(shí)間（天） 1 3 6 10 36
日銷(xiāo)售量（件） 94 90 84 76 24
未來(lái)40天內(nèi)，前20天每天的價(jià)格（且為整數(shù)），后20天每天的價(jià)格（且為整數(shù)）．
(1)請(qǐng)利用一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)的知識(shí)，直接寫(xiě)出日銷(xiāo)售量與時(shí)間（天）之間的關(guān)系式；
(2)請(qǐng)預(yù)測(cè)示來(lái)40天中哪一天的日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少
(3)在實(shí)際銷(xiāo)售的前20天中，該公司決定每銷(xiāo)售一件商品就捐贈(zèng)元利潤(rùn)（）給希望工程．公司通過(guò)銷(xiāo)售記錄發(fā)現(xiàn)，前20天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷(xiāo)售利潤(rùn)隨時(shí)間（天）的增大而增大，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)第18天的日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)為470元；
(3)
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）分和兩種情況，根據(jù)“總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷(xiāo)售量”列出函數(shù)解析式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得；
（3）根據(jù)前20天的售價(jià)由“總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷(xiāo)售量”列出函數(shù)解析式，并配方成頂點(diǎn)式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和即可.
【詳解】（1）通過(guò)表格可知m與x之間的關(guān)系為一次函數(shù)，
設(shè)一次函數(shù)為，把和代入，
解得，
∴；
把代入檢驗(yàn)，，符合題意，
∴日銷(xiāo)售量m與時(shí)間x（天）之間的關(guān)系式為；
（2）設(shè)銷(xiāo)售利潤(rùn)為W元，
①當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，W有最大值470，
②當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，W隨x增大而減小，
∴時(shí)，，
∵，
∴未來(lái)40天中第18天日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)為470元；
（3）由題意知
二次函數(shù)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸是，
要使日銷(xiāo)售利潤(rùn)隨時(shí)間x的增大而增大，則，
∴，
又，
∴．
17．（24-25高一上·四川綿陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）我市某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶進(jìn)行小龍蝦養(yǎng)殖，已知小龍蝦養(yǎng)殖成本為8元/千克，在整個(gè)銷(xiāo)售旺季的80天里，銷(xiāo)售單價(jià)（元/千克）與時(shí)間第（天）之間的函數(shù)關(guān)系為：，為整數(shù)，日銷(xiāo)售量（千克）與時(shí)間第（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示：
(1)求日銷(xiāo)售量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式？并注明的取值范圍.
(2)哪一天的日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
(3)該養(yǎng)殖戶有多少天日銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于2280元？
【答案】(1)，是整數(shù)；
(2)28，2312元；
(3)17
【分析】（1）設(shè)解析式為，代入 求解即可；
（2）分、結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）法一：根據(jù)（2）的結(jié)論可得，求解即可；
法二：根據(jù)（2）的結(jié)論令，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】（1）解：設(shè)解析式為，
將 代入，
得：，
解得：，
，其中是整數(shù)；
（2）解：日銷(xiāo)售利潤(rùn)，則，
①當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，；
②當(dāng)時(shí)，，
在時(shí)隨的增大函數(shù)值反而減小
當(dāng)時(shí)，；
第28天的日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為2312元；
（3）解：法一：由（2）知：
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
由，得，，
又是整數(shù)，
.
故該養(yǎng)殖戶有17天日銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于2280元；
法二：由（2）知：
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
由，得.
由函數(shù)的圖象可知，
當(dāng)時(shí)，日銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于2280元.
又是整數(shù)，.
故該養(yǎng)殖戶有17天日銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于2280元.
18．（23-24高一上·江蘇南通·開(kāi)學(xué)考試）如圖，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告牌，該廣告牌含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm，設(shè)廣告牌的高為，寬為.
(1)試用表示，并求的取值范圍；
(2)用表示廣告牌的面積；
(3)廣告牌的高取多少時(shí)，可使廣告牌的面積最小？
【答案】(1)
(2)
(3)140cm
【分析】（1）運(yùn)用面積之和得到等式，再寫(xiě)成函數(shù)表達(dá)式即可；
（2）矩形面積公式寫(xiě)函數(shù)表達(dá)式；
（3）運(yùn)用換元，結(jié)合基本不等式解題即可.
【詳解】（1）每欄的高和寬分別為，其中兩欄面積之和為：，
整理得，.
（2）；
（3）令，
則；
當(dāng)時(shí)，取最小值為24700，此時(shí)；
答：當(dāng)廣告牌的高取140cm時(shí)，可使廣告的面積S最小.
19．（2024高一上·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）已知某公司某產(chǎn)品去年的年產(chǎn)量為70萬(wàn)件，每件產(chǎn)品的售價(jià)為10元，固定成本為6元，今年公司第一次投入70萬(wàn)元科技成本，并計(jì)劃以后每年比上一年多投入70萬(wàn)元科技成本，預(yù)計(jì)年產(chǎn)量每年遞增5萬(wàn)件，第次投入后，每件產(chǎn)品的固定成本為（為常數(shù)，），若產(chǎn)品的售價(jià)保持不變，第次投入后的年利潤(rùn)為萬(wàn)元.
(1)求的表達(dá)式；
(2)從今年起第幾年的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元？
【答案】(1)
(2)第6年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為280萬(wàn)元
【分析】（1）根據(jù)每只產(chǎn)品的固定成本為6元及關(guān)系式為，可求的值，利用第次投入后的年利潤(rùn)為萬(wàn)元，可建立函數(shù)關(guān)系式；
（2）先由（1）可得利潤(rùn)函數(shù)，再用基本不等式求最大利潤(rùn).
【詳解】（1）由，當(dāng)時(shí)，有，得，
則.
第次投入后，年產(chǎn)量為萬(wàn)件，銷(xiāo)售價(jià)格為10元，
每件產(chǎn)品的固定成本為元，科技成本投入為萬(wàn)元，
；
（2）由
.
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
故第6年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為280萬(wàn)元.
20．（24-25高一上·云南昆明·開(kāi)學(xué)考試）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)，作該函數(shù)軸右側(cè)部分關(guān)于軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，與原函數(shù)軸的交點(diǎn)及軸右側(cè)部分共同構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)的圖象，則這個(gè)新函數(shù)叫做原函數(shù)的“新生函數(shù)”例如：圖①是函數(shù)的圖象，則它的“新生函數(shù)”的圖象如圖②所示，且它的“新生函數(shù)”的解析式為，也可以寫(xiě)成．
(1)在圖③中畫(huà)出函數(shù)的“新生函數(shù)”的圖象．
(2)函數(shù)的“新生函數(shù)”與直線有三個(gè)公共點(diǎn)，求的值．
(3)已知，，，，函數(shù)的“新生函數(shù)”圖象與矩形的邊恰好有4個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)或
(3)或
【分析】（1）利用對(duì)稱(chēng)性，結(jié)合題意，畫(huà)出函數(shù)的圖象；
（2）利用數(shù)形結(jié)合，分直線與相切，以及過(guò)點(diǎn)兩種情況求解的取值；
（3）利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，列式求解.
【詳解】（1）與軸的交點(diǎn)是，且過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是,
首先作出以點(diǎn)為端點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的射線，再作出以點(diǎn)為端點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的射線，
如圖畫(huà)出函數(shù)的圖象，
（2）首先利用對(duì)稱(chēng)性，作出函數(shù)的“新生函數(shù)”，
如圖，①當(dāng)與函數(shù)相切時(shí)，此時(shí)有3個(gè)交點(diǎn)，
聯(lián)立和，得，
令，得；
②當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，有3個(gè)交點(diǎn)，此時(shí).
綜上可知，或
（3）函數(shù)的“新生函數(shù)”的解析式為，，
情形一：如圖所示，
當(dāng)時(shí)，，所以，解得：，
情形二：如圖所示，
當(dāng)時(shí)，，所以，解得：，
綜上可知，的取值范圍是或.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵理解“新生函數(shù)”的定義，畫(huà)出函數(shù)的圖象，第二個(gè)關(guān)鍵是會(huì)利用數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題.
21．（24-25高三上·北京順義·階段練習(xí)）《中華人民共和國(guó)鄉(xiāng)村振興促進(jìn)法》中指出：全面實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，開(kāi)展促進(jìn)鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)振興、人才振興、文化振興、生態(tài)振興、組織振興，推進(jìn)城鄉(xiāng)融合發(fā)展，為深入踐行習(xí)近平總書(shū)記提出“綠水青山就是金山銀山”的理念，圍繞產(chǎn)業(yè)發(fā)展生態(tài)化，生態(tài)建設(shè)產(chǎn)業(yè)化”思路，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為全力打造成“生態(tài)特色小鎮(zhèn)”，調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某種農(nóng)作物的單株產(chǎn)量（單位：）與肥料費(fèi)用（單位：元）滿足如下關(guān)系：其他總成本為（單位：元），已知這種農(nóng)作物的市場(chǎng)售價(jià)為每5元/，且供不應(yīng)求，記該單株農(nóng)作物獲得的利潤(rùn)為（單位：元）
(1)求的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少元時(shí)，該農(nóng)作物單株獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？
【答案】(1)
(2)當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為6元時(shí)，該農(nóng)作物單株獲得的利潤(rùn)最大，為42元
【分析】（1）代入售價(jià)和成本即可得到利潤(rùn)結(jié)果.
（2）由函數(shù)圖像的性質(zhì)即可得到最大值點(diǎn)和最大值.
【詳解】（1）解：由題意可得，
所以函數(shù)的關(guān)系式為
（2）當(dāng)時(shí)，的圖象為開(kāi)口向上的拋物線，
對(duì)稱(chēng)軸為，
所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)不成立，此時(shí).
綜上：當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為6元時(shí)，該農(nóng)作物單株獲得的利潤(rùn)最大，為42元.
22．（24-25高三上·上海青浦·階段練習(xí)）汽車(chē)智能輔助駕駛已得到廣泛應(yīng)用，其自動(dòng)剎車(chē)的工作原理是用雷達(dá)測(cè)出車(chē)輛與前方障礙物之間的距離（并結(jié)合車(chē)速轉(zhuǎn)化為所需時(shí)間），當(dāng)此距離等于報(bào)警距離時(shí)就開(kāi)始報(bào)警提醒，等于危險(xiǎn)距離時(shí)就自動(dòng)剎車(chē).某種算法（如下圖所示）將報(bào)警時(shí)間劃分為4段，分別為準(zhǔn)備時(shí)間、人的反應(yīng)時(shí)間、系統(tǒng)反應(yīng)時(shí)間、制動(dòng)時(shí)間，相應(yīng)的距離分別為、、、.當(dāng)車(chē)速為v（米/秒），且時(shí)，通過(guò)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析得到下表（其中系數(shù)k隨地面濕滑程度等路面情況而變化，）
階段 0、準(zhǔn)備 1、人的反應(yīng) 2、系統(tǒng)反應(yīng) 3、制動(dòng)
時(shí)間 秒 秒
距離 米 米
(1)請(qǐng)寫(xiě)出報(bào)警距離d（米）與車(chē)速v（米/秒）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求時(shí)，若汽車(chē)達(dá)到報(bào)警距離時(shí)人和系統(tǒng)均不采取任何制動(dòng)措施，仍以此速度行駛，則汽車(chē)撞上固定障礙物的最短時(shí)間.（精確到0.1秒）
(2)若要求汽車(chē)不論在何種路面情況下行駛，報(bào)警距離均小于80米，則汽車(chē)的行駛速度應(yīng)限制在多少米/秒以下？合多少千米/小時(shí)〈精確到1千米/小時(shí)〉？
【答案】(1)，3.1（秒）
(2)汽車(chē)的行駛速度應(yīng)限制在20米/秒以下，合72千米/小時(shí)．
【分析】（1）根據(jù)題意可得的表達(dá)式，利用基本不等式即可求出所求最短時(shí)間；
（2）由題意可列出相應(yīng)不等式，化為一元二次不等式即可求得答案.
【詳解】（1）由題意得，，
當(dāng)時(shí)，，
若汽車(chē)達(dá)到報(bào)警距離時(shí)人和系統(tǒng)均不采取任何制動(dòng)措施，仍以此速度行駛，
則汽車(chē)撞上固定障礙物的時(shí)間（秒），
即最短時(shí)間為3.1秒；
（2）根據(jù)題意，要求對(duì)于任意，恒不成立，
即對(duì)于任意，，即恒不成立，
由得，，即，
解得，（米/秒），（千米/小時(shí)），
汽車(chē)的行駛速度應(yīng)限制在20米/秒以下，合72千米/小時(shí)．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)3.3 函數(shù)的應(yīng)用（一）
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.能夠運(yùn)用一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. （1）能通過(guò)閱讀理解讀懂題目中文字?jǐn)⑹鏊从车膶?shí)際背景，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)道理，弄清題中出現(xiàn)的量及其數(shù)學(xué)含義. （2）能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的具體背景，進(jìn)行數(shù)學(xué)化設(shè)計(jì)，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題（即建立數(shù)學(xué)模型），并運(yùn)用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解決問(wèn)題。 （3）能處理有民生、經(jīng)濟(jì)、物里等方面的實(shí)際問(wèn)題。 2.通過(guò)聯(lián)系實(shí)際的引入問(wèn)題和解決帶有實(shí)際意義的某些問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，也體見(jiàn)了函敞知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，也滲透了訓(xùn)練的價(jià)值. 3.通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的研究解決，滲透了數(shù)學(xué)建模的思想.提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生對(duì)函數(shù)思想等有了進(jìn)一步的了解。 1.在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題，建立模型，最終解決實(shí)際問(wèn)題。 2.會(huì)根據(jù)函數(shù)模型的應(yīng)用的計(jì)算求解，求得參數(shù). 3.對(duì)所求的結(jié)果要進(jìn)行檢驗(yàn)，是否符合實(shí)際條件.
知識(shí)點(diǎn)01 一次函數(shù)模型
形如ykx＋b(k≠0)的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型．應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì)及圖像解題時(shí)，應(yīng)注意：
①一次函數(shù)有單調(diào)遞增(一次項(xiàng)系數(shù)為正)和單調(diào)遞減(一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù))兩種情況；
②一次函數(shù)的圖像是一條直線．
【即學(xué)即練1】（2024·安徽合肥·高一校考期中）車(chē)管站在某個(gè)星期日保管的自行車(chē)和電動(dòng)車(chē)共有輛次，其中電動(dòng)車(chē)保管費(fèi)是每輛一次元，自行車(chē)保管費(fèi)是每輛一次元．
(1)若設(shè)停放的自行車(chē)的輛次為，總的保管費(fèi)收入為元，試寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式
(2)若估計(jì)前來(lái)停放的輛次自行車(chē)和電動(dòng)車(chē)中，電動(dòng)車(chē)的輛次數(shù)不小于，但不大于，試求該車(chē)管站這個(gè)星期日收入保管費(fèi)總數(shù)的范圍．
知識(shí)點(diǎn)02 二次函數(shù)模型
形如yax2＋bx＋c(a≠0)的函數(shù)模型是二次函數(shù)模型．二次函數(shù)模型是重要的數(shù)學(xué)模型之一，依據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立二次函數(shù)的解析式后，利用配方法求最值簡(jiǎn)單易懂，有時(shí)也可以依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，從而解決利潤(rùn)最大、用料最省等問(wèn)題．
【即學(xué)即練2】（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）某商店進(jìn)了一匹服裝，每件進(jìn)價(jià)為80元．每件售價(jià)為90元，每天售出30件．在一定的范圍內(nèi)這批服裝的售價(jià)每降低1元，每天就多售出1件．請(qǐng)寫(xiě)出每天的利潤(rùn)（單位：元）與售價(jià)（單位：元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)售價(jià)是多少元時(shí)，每天的利潤(rùn)最大．
知識(shí)點(diǎn)03 分段函數(shù)模型
這個(gè)模型的實(shí)質(zhì)是一次函數(shù)、反比例函數(shù)(形如y，k≠0)、二次函數(shù)中兩種及以上的綜合．
【即學(xué)即練3】（2024·山東臨沂·高三校考期中）2023年春節(jié)前后，一場(chǎng)突如其來(lái)的新冠肺炎疫情在武漢出現(xiàn)并很快地傳染開(kāi)來(lái)（己有證據(jù)表明2023年10月、11月國(guó)外已經(jīng)存在新冠肺炎病毒），對(duì)人類(lèi)生命形成巨大危害．在中共中央、國(guó)務(wù)院強(qiáng)有力的組織領(lǐng)導(dǎo)下，全國(guó)人民萬(wàn)眾一心抗擊，防控新冠肺炎，疫情早在3月底已經(jīng)得到了非常好的控制（累計(jì)病亡人數(shù)3869人），然而國(guó)外因國(guó)家體制，思想觀念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越來(lái)越嚴(yán)重．疫情期間造成醫(yī)用防護(hù)用品短缺，某廠家生產(chǎn)醫(yī)用防護(hù)用品需投入年固定成本為170萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)件，需另投入成本為．當(dāng)年產(chǎn)量不足80萬(wàn)件時(shí)，（萬(wàn)元）；當(dāng)年產(chǎn)量不小于80萬(wàn)件時(shí)，（萬(wàn)元）．通過(guò)市場(chǎng)分析，若每件售價(jià)為400元時(shí)，該廠年內(nèi)生產(chǎn)的商品能全部售完．（利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-總成本）
(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式；
(2)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？并求出利潤(rùn)的最大值．
知識(shí)點(diǎn)04 對(duì)勾函數(shù)模型
這個(gè)模型的實(shí)質(zhì)是一次函數(shù)與反比例函數(shù)(形如y，k≠0)模型的綜合．
注：解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟
（1）審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；
（2）建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；
（3）求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；
（4）還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題．
以上過(guò)程用框圖表示如圖：
【即學(xué)即練4】（2024·山東青島·高一青島二中校考階段練習(xí)）為了減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻通常需要建造隔熱層，某地正在建設(shè)一座購(gòu)物中心，現(xiàn)在計(jì)劃對(duì)其建筑物建造可使用40年的隔熱層，已知每厘米厚的隔熱層建造成本為8萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用P（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：．若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為9萬(wàn)元．設(shè)S為隔熱層建造費(fèi)用與40年的能源消耗費(fèi)用之和．
(1)求m的值及用x表示S；
(2)當(dāng)隔熱層的厚度為多少時(shí)，總費(fèi)用S達(dá)到最小，并求最小值．
難點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用
示例：為了鼓勵(lì)大家節(jié)約用水，自2013年以后，上海市實(shí)行了階梯水價(jià)制度，其中每戶的綜合用水單價(jià)與戶年用水量的關(guān)系如下表所示．
分檔 戶年用水量/m3 綜合用水單價(jià)/(元/m3)
第一階梯 0～220(含) 3.45
第二階梯 220～300(含) 4.83
第三階梯 300以上 5.83
記戶年用水量為x m3時(shí)應(yīng)繳納的水費(fèi)為f(x)元．
(1)寫(xiě)出f(x)的解析式；
(2)假設(shè)居住在上海的張明一家2015年共用水280 m3，則張明一家2015年應(yīng)繳納水費(fèi)多少元？
【題型1：一元一次函數(shù)模型】
例1.（2024秋·北京·高一校考期中）果蔬批發(fā)市場(chǎng)批發(fā)某種水果，不少于千克時(shí)，批發(fā)價(jià)為每千克元，小王攜帶現(xiàn)金3000元到市場(chǎng)采購(gòu)這種水果，并以此批發(fā)價(jià)買(mǎi)進(jìn)，如果購(gòu)買(mǎi)的水果為千克，小王付款后剩余現(xiàn)金為元，則與之間的函數(shù)關(guān)系為（ ）
A． B．
C． D．
變式1.（2024·四川眉山·高一眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分別是2023年北京冬奧會(huì)、冬殘奧會(huì)的吉樣物．冬奧會(huì)來(lái)臨之際，冰墩墩、雪容融玩偶暢銷(xiāo)全國(guó)．小雅在某網(wǎng)店選中兩種玩偶，決定從該網(wǎng)店進(jìn)貨并銷(xiāo)售，第一次小雅用1400元購(gòu)進(jìn)了冰墩墩玩偶15個(gè)和雪容融玩偶5個(gè)，已知購(gòu)進(jìn)1個(gè)冰墩墩玩偶和1個(gè)雪容融玩偶共需136元，銷(xiāo)售時(shí)每個(gè)冰墩墩玩偶可獲利28元，每個(gè)雪容融玩偶可獲利20元．

(1)求兩種玩偶的進(jìn)貨價(jià)分別是多少？
(2)第二次小雅進(jìn)貨時(shí)，網(wǎng)店規(guī)定冰墩墩玩偶的進(jìn)貨數(shù)量不得超過(guò)雪容融玩偶進(jìn)貨數(shù)量的1.5倍．小雅計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩種玩偶共40個(gè)，應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少元？
變式2.（2024·上海崇明·高一統(tǒng)考期末）某公司擬投資開(kāi)發(fā)一種新能源產(chǎn)品，估計(jì)公司能獲取不低于100萬(wàn)元且不高于1800萬(wàn)元的投資收益．該公司對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案有如下3條要求：
①獎(jiǎng)金y（單位：萬(wàn)元）隨投資收益x（單位：萬(wàn)元）的增加而增加；
②獎(jiǎng)金不低于10萬(wàn)元且不超過(guò)200萬(wàn)元；
③獎(jiǎng)金不超過(guò)投資收益的20%．
(1)設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)方案函數(shù)模型為，我們可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)模型，比如方案要求③“獎(jiǎng)金不超過(guò)投資收益的20%”可以表述為：“恒不成立”．請(qǐng)你用用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述另外兩條獎(jiǎng)勵(lì)方案；
(2)判斷函數(shù)是否符合公司獎(jiǎng)勵(lì)方案函數(shù)模型的要求，并說(shuō)明理由；
(3)已知函數(shù)符合公司獎(jiǎng)勵(lì)方案函數(shù)模型要求．在該獎(jiǎng)勵(lì)方案函數(shù)模型前提下，科研課題組最多可以獲取多少獎(jiǎng)金？
變式3.（2024·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）由于受到手機(jī)更新?lián)Q代的影響，某手機(jī)店經(jīng)銷(xiāo)的Iphone6手機(jī)二月售價(jià)比一月每臺(tái)降價(jià)700元，如果賣(mài)出相同數(shù)量的Iphone6手機(jī)，那么一月銷(xiāo)售額為9萬(wàn)元，二月銷(xiāo)售額只有8萬(wàn)元.
(1)一月Iphone6手機(jī)每臺(tái)售價(jià)為多少元
(2)為了提高利潤(rùn)，該店計(jì)劃三月購(gòu)進(jìn)Iphone6s手機(jī)銷(xiāo)售，已知Iphone6每臺(tái)進(jìn)價(jià)為3700元，Iphone6s每臺(tái)進(jìn)價(jià)為4000元，預(yù)計(jì)用不多于7.6萬(wàn)元且不少于7.4萬(wàn)元的資金購(gòu)進(jìn)這兩種手機(jī)共20臺(tái)，請(qǐng)問(wèn)有幾種進(jìn)貨方案
(3)該店計(jì)劃4月對(duì)Iphone6的尾貨進(jìn)行銷(xiāo)售，決定在二月售價(jià)基礎(chǔ)上每售出一臺(tái)Iphone6手機(jī)再返還顧客現(xiàn)金元，而Iphone6s按銷(xiāo)售價(jià)4400元銷(xiāo)售，如要使（2）中所有方案獲利相同，應(yīng)取何值
【方法技巧與總結(jié)】
利用一次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，需注意以下兩點(diǎn)：
(1)待定系數(shù)法是求一次函數(shù)解析式的常用方法．
(2)當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，一次函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，一次函數(shù)為減函數(shù)．　　
【題型2：一元二次函數(shù)模型】
例2.（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本（萬(wàn)元）與年產(chǎn)量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為噸.
(1)求年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，總成本最低，并求最低成本
(2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為萬(wàn)元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)最大利潤(rùn)是多少
變式1.（2024·安徽阜陽(yáng)·高二校考期中）某化學(xué)試劑廠以千克/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求），每小時(shí)可獲得的利潤(rùn)是萬(wàn)元.
(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于30萬(wàn)元，求的取值范圍；
(2)要使生產(chǎn)120千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)最大，則該工廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求出最大利潤(rùn).
變式2.（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）在距A城市45km的B地發(fā)現(xiàn)金屬礦．現(xiàn)知由A至某方向有一條直線鐵路AX，B到該鐵路的距離為27km．欲運(yùn)物資于A，B之間，擬定在鐵路線AX上的某一地點(diǎn)C筑一公路到B．已知公路運(yùn)費(fèi)是鐵路運(yùn)費(fèi)的2倍，則地點(diǎn)C到A地的距離為多少時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最低？
變式3.（河南省安陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期階段性測(cè)試（一）數(shù)學(xué)試題）某人投資180萬(wàn)元建成一座海水養(yǎng)殖場(chǎng)用于海參養(yǎng)殖，建成后每年可獲得銷(xiāo)售收入130萬(wàn)元，同時(shí)，經(jīng)過(guò)預(yù)算可知年內(nèi)須另外投入萬(wàn)元的經(jīng)營(yíng)成本．
(1)該海水養(yǎng)殖場(chǎng)從第幾年起開(kāi)始盈利（總利潤(rùn)為正）
(2)該海水養(yǎng)殖場(chǎng)總利潤(rùn)達(dá)到最大時(shí)是第幾年 請(qǐng)求出總利潤(rùn)的最大值．
(3)該海水養(yǎng)殖場(chǎng)年平均利潤(rùn)達(dá)到最大時(shí)是第幾年 請(qǐng)求出年平均利潤(rùn)的最大值．（注：總利潤(rùn)銷(xiāo)售總收入-經(jīng)營(yíng)成本-投資費(fèi)用）
【方法技巧與總結(jié)】
二次函數(shù)模型主要用來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題中的利潤(rùn)最大、用料最省等問(wèn)題，是高考考查的重點(diǎn)．解題時(shí)，建立二次函數(shù)解析式后，可以利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等來(lái)求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問(wèn)題．
【題型3：分段函數(shù)模型】
例3.（湖北省云學(xué)新高考聯(lián)盟學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）年，月日，華為在華為商城正式上線，成為全球首款支持衛(wèi)星通話的大眾智能手機(jī).其實(shí)在年月日，華為被美國(guó)列入實(shí)體名單，以所謂科技網(wǎng)絡(luò)安全為借口，對(duì)華為施加多輪制裁.為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，華為公司計(jì)劃在年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機(jī)，通過(guò)市場(chǎng)分析，生產(chǎn)此款手機(jī)全年需投入固定成本萬(wàn)，每生產(chǎn)千部手機(jī)，需另投入成本萬(wàn)元，且由市場(chǎng)調(diào)研知此款手機(jī)售價(jià)萬(wàn)元，且每年內(nèi)生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年能全部銷(xiāo)售完.
(1)求出年的利潤(rùn)萬(wàn)元關(guān)于年產(chǎn)量千部的表達(dá)式
(2)年年產(chǎn)量為多少千部時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大最大利潤(rùn)是多少
變式1.（2024·江西·高一江西師大附中校考期中）隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展、醫(yī)療消費(fèi)需求增長(zhǎng)、人們健康觀念轉(zhuǎn)變以及人口老齡化進(jìn)程加快等因素的影響，醫(yī)療器械市場(chǎng)近年來(lái)一直保持了持續(xù)增長(zhǎng)的趨勢(shì).某醫(yī)療器械公司為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為200萬(wàn)元，最大產(chǎn)能為100臺(tái).每生產(chǎn)x臺(tái)，需另投入成本萬(wàn)元，且，由市場(chǎng)調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺(tái)的售價(jià)為200萬(wàn)元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷(xiāo)售完.
(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)萬(wàn)元關(guān)于年產(chǎn)量x臺(tái)的函數(shù)解析式（利潤(rùn)銷(xiāo)售收入成本）；
(2)當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
變式2.（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）麻城市某社區(qū)為鼓勵(lì)大家節(jié)約用電，與供電公司約定兩種電費(fèi)收取方案供用戶選擇：
方案一：每戶每月收取管理費(fèi)元，月用電量不超過(guò)度時(shí)，每度元；超過(guò)度時(shí)，超過(guò)部分按每度元收取：
方案二：不收取管理費(fèi)，每度元．
(1)彭湃家上月比較節(jié)約，只用了90度電，分別按照這兩種方案，計(jì)算應(yīng)繳多少電費(fèi)？并比較那種方案更合適．
(2)求方案一的收費(fèi)元與用電量度間的函數(shù)關(guān)系．若徐格拉底家九月份按方案一繳費(fèi)80元，問(wèn)徐格拉底家該月用電多少度？
(3)該月用電量在什么范圍內(nèi)，選擇方案一比選擇方案二好？
變式3.（2024·重慶九龍坡·高一重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）第 19 屆亞運(yùn)會(huì) 2023 年 9 月在杭州市舉辦，本屆亞運(yùn)會(huì)以 “綠色、智能、節(jié)儉、文明” 為辦會(huì)理念，展示杭州生態(tài)之美、文化之韻，充分發(fā)揮國(guó)際重大賽事對(duì)城市發(fā)展的牽引作用，從而促進(jìn)經(jīng)濟(jì)快速 發(fā)展，籌備期間，某公司帶來(lái)了一種智能設(shè)備供采購(gòu)商洽談采購(gòu)，并決定大量投放當(dāng)?shù)厥袌?chǎng)，已知 該種設(shè)備年固定研發(fā)成本為 70 萬(wàn)元，每生產(chǎn)一萬(wàn)臺(tái)需另投入 80 萬(wàn)元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該設(shè)備 萬(wàn)臺(tái)且全部售完. 當(dāng) 時(shí)，每萬(wàn)臺(tái)的年銷(xiāo)售收入 （萬(wàn)元） 與年產(chǎn)量 （萬(wàn)臺(tái)）滿足關(guān)系式: ; 當(dāng) 時(shí)，每萬(wàn)臺(tái)的年銷(xiāo)售收入 （萬(wàn)元）與年產(chǎn)量 （萬(wàn)臺(tái)）滿足關(guān)系式:
(1)寫(xiě)出年利潤(rùn) （萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量 （萬(wàn)臺(tái)）的函數(shù)解析式（利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入一成本）;
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)臺(tái)時(shí)，該公司獲得的年利潤(rùn)最大 并求最大利潤(rùn).
變式4.（山東省普通高中大聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）今年中秋國(guó)慶雙節(jié)假期“合體”，人們的出游意愿進(jìn)一步增強(qiáng)，國(guó)內(nèi)長(zhǎng)線游預(yù)訂人次占比為.數(shù)據(jù)顯示，中秋國(guó)慶假期，長(zhǎng)線游預(yù)訂占比近六成預(yù)訂出游平均時(shí)長(zhǎng)在5天以上.某旅游平臺(tái)上，跨省游訂單占比達(dá)，較2023年同期提升10個(gè)百分點(diǎn).秋高氣爽最適合登高爬山，某戶外登山運(yùn)動(dòng)裝備生產(chǎn)企業(yè)，2023年的固定成本為1000萬(wàn)元，每生產(chǎn)x千件裝備，需另投入資金（萬(wàn)元）.經(jīng)計(jì)算與市場(chǎng)評(píng)估得，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)生產(chǎn)10千件裝備時(shí)需另投入資金萬(wàn)元.每千件裝備的市場(chǎng)售價(jià)為300萬(wàn)元，從市場(chǎng)調(diào)查來(lái)看，2023年最多能售出170千件.
(1)寫(xiě)出2023年利潤(rùn)W（萬(wàn)元）關(guān)于產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)；（利潤(rùn)銷(xiāo)售總額－總成本）
(2)當(dāng)2023年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該企業(yè)所獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
【方法技巧與總結(jié)】
分段函數(shù)模型的應(yīng)用
(1)分段函數(shù)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的重要模型，由自變量變化所遵循規(guī)律的不同決定的，函數(shù)的分段表示是建模的關(guān)鍵．
(2)若求分段函數(shù)值域或最值時(shí)，應(yīng)對(duì)分段函數(shù)中的每段函數(shù)分別求出值域或最值，然后再由各段函數(shù)的值域或最值確定本函數(shù)的值域或最值．分類(lèi)討論思想是本類(lèi)問(wèn)題的主要思想方法．
【題型4：對(duì)勾函數(shù)模型】
例4.（2024·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）工廠需要圍建一個(gè)面積為512的矩形堆料場(chǎng)，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁．我們知道，砌起的新墻的總長(zhǎng)度y（單位：m）是利用原有墻壁長(zhǎng)度x（單位：m）的函數(shù)．
(1)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并確定x的取值范圍；
(2)隨著x的變化，y的變化有何規(guī)律？
(3)當(dāng)堆料場(chǎng)的長(zhǎng)、寬比為多少時(shí)，需要砌起的新墻用的材料最省？
變式1.（2024·江蘇常州·高一常州市北郊高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）近日，隨著假期來(lái)臨，常州市政府積極制定政策，決定政企聯(lián)動(dòng)，決定為某制衣有限公司在假期間加班生產(chǎn)提供（萬(wàn)元）的專(zhuān)項(xiàng)補(bǔ)貼．該制衣有限公司在收到市政府（萬(wàn)元）補(bǔ)貼后，產(chǎn)量將增加到（萬(wàn)件）．同時(shí)該制衣有限公司生產(chǎn)（萬(wàn)件）產(chǎn)品需要投入成本為（萬(wàn)元），并以每件元的價(jià)格將其生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出．注：收益=銷(xiāo)售金額政府專(zhuān)項(xiàng)補(bǔ)貼成本．
(1)求該制衣有限公司假期間，加班生產(chǎn)所獲收益（萬(wàn)元）關(guān)于專(zhuān)項(xiàng)補(bǔ)貼（萬(wàn)元）的表達(dá)式，并求當(dāng)加班生產(chǎn)所獲收益不低于35萬(wàn)元時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)常州市政府的專(zhuān)項(xiàng)補(bǔ)貼為多少萬(wàn)元時(shí)，該制衣有限公司假期間加班生產(chǎn)所獲收益（萬(wàn)元）最大？
變式2.（2024·江蘇南京·高一南京市燕子磯中學(xué)校考階段練習(xí)）某廠家擬在2023年舉行某產(chǎn)品的促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)用m萬(wàn)元滿足（k為常數(shù)），如果不搞促銷(xiāo)活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量只能是4萬(wàn)件.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為24萬(wàn)元，每生產(chǎn)一萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入18萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（此處每件產(chǎn)品年平均成本按元來(lái)計(jì)算）
(1)計(jì)算k的值為多少，并將2023年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷(xiāo)費(fèi)用m萬(wàn)元的函數(shù)：
(2)該廠家2023年的促銷(xiāo)費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大 最大利潤(rùn)是多少
變式3.（2024·湖南長(zhǎng)沙·高一湖南師大附中校考階段練習(xí)）某健身器材廠研制了一種足浴氣血生機(jī)，具體原理是：在足浴盆右側(cè)離中心厘米處安裝臭氧發(fā)生孔，產(chǎn)生的臭氧對(duì)雙腳起保健作用．根據(jù)檢測(cè)發(fā)現(xiàn)，該臭氧發(fā)生孔工作時(shí)會(huì)對(duì)泡腳的舒適程度起到干擾作用．已知臭氧發(fā)生孔工作時(shí)，對(duì)左腳的干擾度與成反比，比例系數(shù)為4；對(duì)右腳的干擾度與成反比，比例系數(shù)為k，且當(dāng)時(shí)，對(duì)左腳和右腳的干擾度之和為
(1)求臭氧發(fā)生孔工作時(shí)對(duì)左腳和右腳的干擾度之和y關(guān)于x的表達(dá)式；
(2)求臭氧發(fā)生孔對(duì)左腳和右腳的干擾度之和y的最小值．
變式4.（2024·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）為了安全起見(jiàn)，高速公路同一車(chē)道上行駛的前后兩輛汽車(chē)之間的距離不得小于（單位：m），其中x（單位：km/h）是車(chē)速，k為比例系數(shù)．經(jīng)測(cè)定，當(dāng)車(chē)速為80km/h時(shí)，安全車(chē)距為40m．假設(shè)每輛車(chē)的平均車(chē)長(zhǎng)為5m．
(1)寫(xiě)出在安全許可的情況下，某路口同一車(chē)道的車(chē)流量y（單位：輛/min）關(guān)于車(chē)速x的函數(shù)；
(2)如果只考慮車(chē)流量，規(guī)定怎樣的車(chē)速可以使得高速公路上的車(chē)流量最大？這種規(guī)定可行嗎？
【方法技巧與總結(jié)】
應(yīng)用函數(shù)yx＋模型的關(guān)鍵點(diǎn)
(1)明確對(duì)勾函數(shù)是正比例函數(shù)f(x)ax與反比例函數(shù)f(x)疊加而成的．
(2)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)一般可以直接建立f(x)ax＋的模型，有時(shí)可以將所列函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為f(x)ax＋的形式．
[提醒]　(1)解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)一定要關(guān)注函數(shù)的定義域．
(2)利用模型f(x)ax＋求解最值時(shí)，注意取得最值時(shí)等號(hào)不成立的條件．　
一、單選題
1．（24-25高三上·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）某旅游旺地出租車(chē)的費(fèi)用按下列規(guī)則制定：
①行程在3以內(nèi)的（含3），車(chē)費(fèi)10元；
②行程在3以上且不超過(guò)10的，前3車(chē)費(fèi)10元，以后每增加1車(chē)費(fèi)增加2元（不足1的按1計(jì)算）；
③行程超過(guò)10，則超過(guò)的部分每公里車(chē)費(fèi)3元（不足1的按1計(jì)算）.
小明某天乘坐該地的出租車(chē)，共花費(fèi)39元，那么他的行程大約為（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
2．（23-24高一下·江西贛州·期中）春天，時(shí)令水果草莓上市了，某水果店統(tǒng)計(jì)了草莓上市以來(lái)前兩周的銷(xiāo)售價(jià)格（元/盒）與時(shí)間t（天）的關(guān)系：一位顧客在這兩周里在該水果店購(gòu)買(mǎi)了若干盒草莓，總共消費(fèi)212元，其中在后6天買(mǎi)了4盒，則前8天一共買(mǎi)了（ ）
A．7盒 B．6盒 C．5盒 D．4盒
3．（2024·北京朝陽(yáng)·二模）假設(shè)某飛行器在空中高速飛行時(shí)所受的阻力滿足公式 ，其中是空氣密度，是該飛行器的迎風(fēng)面積，是該飛行器相對(duì)于空氣的速度， 是空氣阻力系數(shù)（其大小取決于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率. 當(dāng)不變，比原來(lái)提高時(shí)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若不變，則比原來(lái)提高不超過(guò)
B．若不變，則比原來(lái)提高超過(guò)
C．為使不變，則比原來(lái)降低不超過(guò)
D．為使不變，則比原來(lái)降低超過(guò)
4．（23-24高二下·山東濱州·期末）如圖，等腰梯形ABCD 的上底CD=1，下底AB=3，高為1．記等腰梯形ABCD 位于直線x=t(0≤t≤3)左側(cè)的圖形的面積為 f(t)，則f(t)隨t變化時(shí)的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高二下·浙江·學(xué)業(yè)考試）有一支隊(duì)伍長(zhǎng)，以的速度前行，傳令員傳令需要從排尾跑到排頭，再立即返回排尾，速度為，若傳令員回到排尾時(shí)，隊(duì)伍正好前進(jìn)了，則（ ）
A．2 B．3 C． D．
6．（23-24高一上·天津·期末）近年來(lái)，人們對(duì)健康環(huán)境、生態(tài)環(huán)境的關(guān)注越來(lái)越高，因此，低碳環(huán)保、城市可持續(xù)發(fā)展已經(jīng)成為各方關(guān)注的熱點(diǎn)話題.某市對(duì)居民計(jì)費(fèi)方法如下表：若某戶居民本月繳納的電費(fèi)為170元，則此戶居民本月的用電量為（ ）
生活用電實(shí)行分段計(jì) 電價(jià)
0~200度用電量 0.3元/度
201~400度用電量 0.6元/度
401度以上用電量 0.9元/度
A．270度 B．370度 C．470度 D．700度
7．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）薯?xiàng)l作為一種油炸食品，風(fēng)味是決定其接受程度的基礎(chǔ).米其林三星餐廳大廚Heston Blumenthal對(duì)餐飲門(mén)店的不同油炸批次的薯?xiàng)l進(jìn)行整體品質(zhì)的感官評(píng)價(jià)并提出了“油炸質(zhì)量曲線”（圖1），將油炸過(guò)程劃分為五個(gè)階段：誘導(dǎo)、新鮮、最佳、降解和廢棄階段，以解釋食物品質(zhì)與油炸時(shí)間之間的關(guān)系.

在特定條件下，薯?xiàng)l品質(zhì)得分與煎炸時(shí)間（單位：min）滿足函數(shù)關(guān)系（a、b、c是常數(shù)），圖2記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳煎炸時(shí)間為（ ）
A．2.25min B．2.75min C．3.25min D．3.75min
8．（21-22高一上·浙江·階段練習(xí)）如圖，在中，于D，，矩形的頂點(diǎn)E與A點(diǎn)重合，，將矩形沿AB平移，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，停止平移，設(shè)點(diǎn)E平移的距離為x，矩形與重合部分的面積為y，則y關(guān)于x 的函數(shù)圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
9．（22-23高一上·河北保定·期末）在大草原放牧的老楊要建個(gè)羊圈，羊圈既需要四周都用鐵絲網(wǎng)圍成長(zhǎng)方形又要達(dá)到平均每一頭羊占地不小于6平方米．他買(mǎi)了100m固定高為2m的鐵絲網(wǎng)，建造羊圈時(shí)鐵絲網(wǎng)高度2m不能改變，請(qǐng)問(wèn)老楊養(yǎng)的羊數(shù)可為（ ）
A．80 B．90 C．100 D．140
10．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知某出租車(chē)司機(jī)為升級(jí)服務(wù)水平，購(gòu)入了一輛豪華轎車(chē)投入營(yíng)運(yùn)，據(jù)之前的市場(chǎng)分析得出每輛車(chē)的營(yíng)運(yùn)總利潤(rùn)y（萬(wàn)元）與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x的關(guān)系為，則下列判斷正確的是（ ）
A．車(chē)輛營(yíng)運(yùn)年數(shù)越多，收入越高
B．車(chē)輛在第6年時(shí)，總收入最高
C．車(chē)輛在前5年的平均收入最高
D．車(chē)輛每年都能盈利
11．（23-24高一上·貴州黔東南·期末）某工廠對(duì)員工的計(jì)件工資標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行改革，現(xiàn)制訂了，兩種計(jì)件工資核算方案，員工的計(jì)件工資（單位：千元）與其生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)（單位：百件）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．當(dāng)某員工生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為800時(shí)，該員工采用，方案核算的計(jì)件工資相同
B．當(dāng)某員工生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為700時(shí)，該員工采用方案核算的計(jì)件工資更多
C．當(dāng)某員工生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為200時(shí)，該員工采用方案核算的計(jì)件工資更多
D．當(dāng)某員工生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為1000時(shí)，該員工的計(jì)件工資最多為14200元
三、填空題
12．（23-24高一上·北京·期中）國(guó)慶期間，某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游，若每團(tuán)人數(shù)不超過(guò)30，游客需付給旅行社飛機(jī)票每張900元；若每團(tuán)人數(shù)多于30，則給予優(yōu)惠：每多1人，機(jī)票每張減少10元，直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)75為止.寫(xiě)出飛機(jī)票的價(jià)格y(單位：元)關(guān)于人數(shù)x(單位：人)的函數(shù)關(guān)系式；
13．（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）某輛汽車(chē)以的速度在高速公路上勻速行駛（考慮到高速公路行車(chē)安全，要求）時(shí)，每小時(shí)的油耗（所需要的汽油量）為，其中k為常數(shù)．若汽車(chē)以110 km/h的速度行駛時(shí)，每小時(shí)的油耗為13L，欲使每小時(shí)的油耗不超過(guò)11L，則速度x的取值范圍為 km/h．（結(jié)果保留整數(shù)）
14．（23-24高三上·浙江金華·期末）某地區(qū)上年度電價(jià)為0.8元，年用電量為，本年度計(jì)劃將電價(jià)下降到之間，而用戶期望電價(jià)為．經(jīng)測(cè)算下調(diào)電價(jià)后的新增用電量，和實(shí)際電價(jià)與用戶的期望電價(jià)的差成反比（比例系數(shù)為）．該地區(qū)的電力成本價(jià)為．已知，為保證電力部門(mén)的收益比上年至少增長(zhǎng)，則最低的電價(jià)可定為 ．
15．（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）某地區(qū)上年度電價(jià)為0.8元/kw·h，年用電量為akw·h，本年度計(jì)劃將電價(jià)降到0.55元/kw·h至0.75元/kw·h之間，而用戶期望電價(jià)為0.40元/kw·h.經(jīng)測(cè)算，下調(diào)電價(jià)后新增用電量與實(shí)際電價(jià)和用戶期望電價(jià)的差成反比（比例系數(shù)為k），該地區(qū)電力的成本價(jià)為0.30元/kw·h.本年度電價(jià)下調(diào)后，試用實(shí)際電價(jià)x表示電力部門(mén)的收益 ，（指出x的范圍），設(shè)，當(dāng)電價(jià)最低為 時(shí)仍可保證電力部門(mén)的收益比上年至少增長(zhǎng).注：收益=實(shí)際用電量（實(shí)際電價(jià)-成本價(jià)）
四、解答題16．（23-24高一上·浙江臺(tái)州·開(kāi)學(xué)考試）某公司生產(chǎn)的某種時(shí)令商品每件成本為22元，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來(lái)40天內(nèi)的日銷(xiāo)售量（件）與（天）的關(guān)系如表：
時(shí)間（天） 1 3 6 10 36
日銷(xiāo)售量（件） 94 90 84 76 24
未來(lái)40天內(nèi)，前20天每天的價(jià)格（且為整數(shù)），后20天每天的價(jià)格（且為整數(shù)）．
(1)請(qǐng)利用一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)的知識(shí)，直接寫(xiě)出日銷(xiāo)售量與時(shí)間（天）之間的關(guān)系式；
(2)請(qǐng)預(yù)測(cè)示來(lái)40天中哪一天的日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少
(3)在實(shí)際銷(xiāo)售的前20天中，該公司決定每銷(xiāo)售一件商品就捐贈(zèng)元利潤(rùn)（）給希望工程．公司通過(guò)銷(xiāo)售記錄發(fā)現(xiàn)，前20天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷(xiāo)售利潤(rùn)隨時(shí)間（天）的增大而增大，求的取值范圍．
17．（24-25高一上·四川綿陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）我市某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶進(jìn)行小龍蝦養(yǎng)殖，已知小龍蝦養(yǎng)殖成本為8元/千克，在整個(gè)銷(xiāo)售旺季的80天里，銷(xiāo)售單價(jià)（元/千克）與時(shí)間第（天）之間的函數(shù)關(guān)系為：，為整數(shù)，日銷(xiāo)售量（千克）與時(shí)間第（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示：
(1)求日銷(xiāo)售量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式？并注明的取值范圍.
(2)哪一天的日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
(3)該養(yǎng)殖戶有多少天日銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于2280元？
18．（23-24高一上·江蘇南通·開(kāi)學(xué)考試）如圖，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告牌，該廣告牌含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm，設(shè)廣告牌的高為，寬為.
(1)試用表示，并求的取值范圍；
(2)用表示廣告牌的面積；
(3)廣告牌的高取多少時(shí)，可使廣告牌的面積最小？
19．（2024高一上·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）已知某公司某產(chǎn)品去年的年產(chǎn)量為70萬(wàn)件，每件產(chǎn)品的售價(jià)為10元，固定成本為6元，今年公司第一次投入70萬(wàn)元科技成本，并計(jì)劃以后每年比上一年多投入70萬(wàn)元科技成本，預(yù)計(jì)年產(chǎn)量每年遞增5萬(wàn)件，第次投入后，每件產(chǎn)品的固定成本為（為常數(shù)，），若產(chǎn)品的售價(jià)保持不變，第次投入后的年利潤(rùn)為萬(wàn)元.
(1)求的表達(dá)式；
(2)從今年起第幾年的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元？
20．（24-25高一上·云南昆明·開(kāi)學(xué)考試）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)，作該函數(shù)軸右側(cè)部分關(guān)于軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，與原函數(shù)軸的交點(diǎn)及軸右側(cè)部分共同構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)的圖象，則這個(gè)新函數(shù)叫做原函數(shù)的“新生函數(shù)”例如：圖①是函數(shù)的圖象，則它的“新生函數(shù)”的圖象如圖②所示，且它的“新生函數(shù)”的解析式為，也可以寫(xiě)成．
(1)在圖③中畫(huà)出函數(shù)的“新生函數(shù)”的圖象．
(2)函數(shù)的“新生函數(shù)”與直線有三個(gè)公共點(diǎn)，求的值．
(3)已知，，，，函數(shù)的“新生函數(shù)”圖象與矩形的邊恰好有4個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．
21．（24-25高三上·北京順義·階段練習(xí)）《中華人民共和國(guó)鄉(xiāng)村振興促進(jìn)法》中指出：全面實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，開(kāi)展促進(jìn)鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)振興、人才振興、文化振興、生態(tài)振興、組織振興，推進(jìn)城鄉(xiāng)融合發(fā)展，為深入踐行習(xí)近平總書(shū)記提出“綠水青山就是金山銀山”的理念，圍繞產(chǎn)業(yè)發(fā)展生態(tài)化，生態(tài)建設(shè)產(chǎn)業(yè)化”思路，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為全力打造成“生態(tài)特色小鎮(zhèn)”，調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某種農(nóng)作物的單株產(chǎn)量（單位：）與肥料費(fèi)用（單位：元）滿足如下關(guān)系：其他總成本為（單位：元），已知這種農(nóng)作物的市場(chǎng)售價(jià)為每5元/，且供不應(yīng)求，記該單株農(nóng)作物獲得的利潤(rùn)為（單位：元）
(1)求的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少元時(shí)，該農(nóng)作物單株獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？
22．（24-25高三上·上海青浦·階段練習(xí)）汽車(chē)智能輔助駕駛已得到廣泛應(yīng)用，其自動(dòng)剎車(chē)的工作原理是用雷達(dá)測(cè)出車(chē)輛與前方障礙物之間的距離（并結(jié)合車(chē)速轉(zhuǎn)化為所需時(shí)間），當(dāng)此距離等于報(bào)警距離時(shí)就開(kāi)始報(bào)警提醒，等于危險(xiǎn)距離時(shí)就自動(dòng)剎車(chē).某種算法（如下圖所示）將報(bào)警時(shí)間劃分為4段，分別為準(zhǔn)備時(shí)間、人的反應(yīng)時(shí)間、系統(tǒng)反應(yīng)時(shí)間、制動(dòng)時(shí)間，相應(yīng)的距離分別為、、、.當(dāng)車(chē)速為v（米/秒），且時(shí)，通過(guò)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析得到下表（其中系數(shù)k隨地面濕滑程度等路面情況而變化，）
階段 0、準(zhǔn)備 1、人的反應(yīng) 2、系統(tǒng)反應(yīng) 3、制動(dòng)
時(shí)間 秒 秒
距離 米 米
(1)請(qǐng)寫(xiě)出報(bào)警距離d（米）與車(chē)速v（米/秒）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求時(shí)，若汽車(chē)達(dá)到報(bào)警距離時(shí)人和系統(tǒng)均不采取任何制動(dòng)措施，仍以此速度行駛，則汽車(chē)撞上固定障礙物的最短時(shí)間.（精確到0.1秒）
(2)若要求汽車(chē)不論在何種路面情況下行駛，報(bào)警距離均小于80米，則汽車(chē)的行駛速度應(yīng)限制在多少米/秒以下？合多少千米/小時(shí)〈精確到1千米/小時(shí)〉？
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開(kāi)更多......

收起↑