資源簡介

3.1.1函數及其表示方法
課程標準 學習目標
1、在初中用變量之間的依賴關系描述函數的基礎上，用集合語言和對應關系刻畫函數，建立完整的函數概念，體會集合語言和對應關系在刻畫函數概念中的作用。了解構成函數的要素，能求簡單函數的定義域和值域。 在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法（如圖象法、列表法、解析法）表示函數，理解函數圖象的作用。 3、通過具體實例，了解簡單的分段函數，并能簡單應用。 兩個變量關系中提出函數概念. 用圖像法表示函數 對函數的定義域、值域的計算。 函數定義域和應用數據的有效性。
知識點01函數的概念
（1）變量觀點的定義
在一個變化過程中，數值發生變化的量稱為變量；在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么就稱y是x的函數．
（2）集合觀點的定義
一般地，給定兩個非空實數集A與B，以及對應關系f，如果對于集合A中的每一個實數x，在集合B中都有唯一確定的實數y與x對應，則稱f為定義在集合A上的一個函數，記作yf(x)，x∈A，其中x稱為自變量，y稱為因變量，自變量取值的范圍(即數集A)稱為這個函數的定義域，所有函數值組成的集合{y∈B|yf(x)，x∈A},稱為函數的值域．
注：對函數概念的幾點說明
(1)yf(x)是“y是x的函數”的數學表示，不能認為“y等于f與x的乘積”，應理解為：x是自變量，f是對應關系(可以是解析式、圖像、表格或文字描述等).
(2)函數符號f(x)表示的對應關系與字母f無關，也可以用g，F，G等表示；同樣，自變量x也可以用t，m，h等表示．
【即學即練1】（2024·新疆巴音郭楞·高一八一中學校考期中）如圖圖形，其中能表示函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據函數的定義即可得解.
【詳解】由函數的定義可知，對定義域內的任何一個變量有唯一的一個變量與對應，
由圖可知，ACD三個選項不符合函數的定義，B選項符合函數的定義.
.
知識點02函數的三要素
（1）定義域
函數的定義域是函數yf(x)的自變量x的取值范圍．在表示函數時，如果不會產生歧義，函數的定義域有時可以省略，這時就約定這個函數的定義域就是使得這個函數有意義的所有實數組成的集合．在實際問題中，函數的定義域還要受到自變量實際意義的制約．
（2）對應關系
對應關系f是函數的核心，它是對自變量x實施“對應操作”的“程序”或者“方法”．按照這一“程序”，從定義域A中任取一個x，可得到值域{y|yf(x)，x∈A}中唯一的y與之對應．同一“f”可以“操作”不同形式的變量．
（3）值域
函數的值域是函數值的集合，通常一個函數的定義域和對應關系確定了，那么它的值域也就隨之確定了．
注：由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以確定一個函數只需要兩個要素：定義域和對應關系．即要檢驗給定的兩個變量(變量均為數值)之間是否具有函數關系，只要檢驗：
(1)定義域和對應關系是否給出；
(2)根據給出的對應關系，自變量x在其定義域中的每一個值，是否都能確定唯一的函數值y與之對應．
【即學即練2】（2024·甘肅定西·高二統考開學考試）函數的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用函數有意義直接列式求解即得.
【詳解】函數有意義，則，解得，且，
所以函數的定義域是.
【即學即練3】（2024秋·全國·高一專題練習）求下列函數的值域．
(1)；
(2)，；
(3)；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）由可推導得到函數值域；
（2）將的取值代入解析式即可求得結果；
（3）采用分離常數法可求得函數值域；
（4）采用換元法，將問題轉化為關于的二次函數的值域求解問題.
【詳解】（1），，即，的值域為.
（2）當時，；當時，；
當時，；當時，；
當時，；當時，；
，的值域為.
（3），
，，的值域為.
（4）令，則且，，
則當時，，的值域為.
知識點03同一個函數
一般地，如果兩個函數的定義域相同，對應關系也相同(即對自變量的每一個值，兩個函數對應的函數值都相等)，則稱這兩個函數就是同一個函數．
【即學即練4】（2024·甘肅酒泉·高一校考期中）下列各組函數是同一函數的是（ ）
①與. ②與. ③與. ④與.
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
【答案】D
【分析】根據同一函數的判定方法，結合函數的定義域與對應關系，逐個判定，即可求解.
【詳解】①中，函數的定義域為，函數的定義域為，
但與的對應關系不一致，所以①不是同一函數.
②中，函數與的定義域都是，但與的對應關系不一致，所以②不是同一函數.
③中，函數與的定義域都是，且與的對應關系一致，所以③是同一函數.
④中，函數與的定義域和對應關系都一致，所以④是同一函數.
.
知識點04函數的表示方法
1.常用的函數的表示方法有三種：列表法、圖像法和解析法，具體如下．
列表法 圖像法 解析法(公式法)
定義 通過列出自變量與對應函數值的表來表示函數關系的方法． 用“圖形”表示函數的方法． 在函數yf(x)(x∈A)中，f(x)是用代數式(或解析式)來表達的方法．
優點 不需要計算就可以直接看出與自變量的值相對應的函數值． 能直觀、形象地表示出函數值的變化情況． 通過解析式可求出任意一個自變量所對應的函數值，且便于研究函數的性質．
缺點 列表法只能表示自變量取值為有限個的函數，且從表中很難看出函數的性質． 只能近似地求出自變量所對應的函數值，有時誤差較大． 用解析式表示函數時容易漏掉定義域，而且對于一些實際問題，很難找到它的解析式．
2.函數的圖像
（1）函數的圖像
一般地，將函數yf(x)，x∈A中的自變量x和對應的函數值y，分別看成平面直角坐標系中點的橫坐標與縱坐標，則滿足條件的點(x，y)組成的集合F稱為函數的圖像，即
F{(x，y)|yf(x)，x∈A}．
（2）函數圖像的作法
①函數圖像的特征
函數圖像既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等．
②描點法作函數圖像的三個步驟(注意函數的定義域)
③利用常見函數圖像作出所求函數的圖像
【即學即練5】（2024·高一課時練習）下圖是某校高一(1)班三名同學在高一學年度六次數學測試的成績及班級平均分表．

(1)選擇合適的方法表示測試序號與成績的關系；
(2)根據表示出來的函數關系對這三位同學的學習情況進行分析．
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）以測試序號為橫坐標，成績為縱坐標描點即可的函數圖象；
（2）根據各人成績與平均成績比較分析即可.
【詳解】（1）不宜用解析法表示，用圖象法表示為宜．
在同一個坐標系內畫出這四個函數的圖象如下：

（2）王偉同學的數學成績始終高于班級平均水平，學習情況比較穩定而且成績優秀．
張城同學的數學成績不穩定，總是在班級平均水平上下波動，而且波動幅度較大．
趙磊同學的數學成績低于班級平均水平，但他的成績曲線呈上升趨勢，表明他的數學成績在穩步提高．
知識點05分段函數
（1）分段函數的定義
如果一個函數，在其定義域內，對于自變量的不同取值區間，有不同的對應方式，則稱其為分段函數．
（2）分段函數的圖像
分段函數有幾段，它的圖像就由幾條曲線組成．在同一平面直角坐標系中，根據分段函數每段的定義區間和表達式依次畫出圖像，要注意接點處點的虛實，保證不重不漏．
注：(1)分段函數是一個函數，而不是幾個函數．
(2)求分段函數的函數值的關鍵是分段歸類，即自變量的取值屬于哪個區間，就只能用那個區間上的解析式來進行計算．
(3)寫分段函數的定義域時，區間端點應不重不漏．分段函數的定義域是各個自變量取值區間的并集．
【即學即練6】（2024·全國·高一專題練習）已知函數
(1)求,,的值;
(2)若,求實數的值;
(3)若,求實數的取值范圍.
【答案】(1);;
(2)或
(3)
【分析】（1）根據的范圍,分別將代入對應解析式即可求解;
（2）對參數進行分類討論,解方程求解即可;
（3）對參數進行分類討論,解不等式求解即可.
【詳解】（1）由題可得,
,
因為,
所以.
（2）①當時,,
解得,不合題意,舍去;
②當時,,即,
解得或,
因為,,
所以;
③當時,,
解得,符合題意.
綜合①②③知,當時,或.
（3）由,
得或或,
解得或或,
故所求的取值范圍是.
難點：數形結合利用圖像求分段函數的最值
示例：求函數y|x＋1|＋|x－1|的最小值．
【解析】　y|x＋1|＋|x－1|
作出函數圖像如圖所示：
由圖像可知，x∈[－1，1]時，ymin2.
【方法小結】　(1)分段函數是一個函數，其定義域是各段“定義域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．寫定義域時，區間的端點需不重不漏．
(2)求分段函數的函數值時，自變量的取值屬于哪一段，就用哪一段的解析式．
(3)研究分段函數時，應根據“先分后合”的原則，尤其是作分段函數的圖像時，可先將各段的圖像分別畫出來，從而得到整個函數的圖像．
【題型1：函數的概念】
例1．（2024·高一課時練習）下列關系不是函數關系的是 （填序號）．
①乘坐出租車時，所付車費與乘車距離的關系；
②某同學學習時間與其學習成績的關系；
③人的睡眠質量與身體狀況的關系．
【答案】②③
【分析】利用函數的定義即可判斷.
【詳解】對于①，所付車費與乘車距離是一種確定性關系，是函數關系；
而對于②，③中的兩個變量是非確定性關系，不是函數關系．
故答案為：②③
變式1．【多選】（2024·全國·高一專題練習）下列各圖中，可能是函數圖象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【詳解】根據函數的定義，當自變量x在定義域內任意取一個值，都有唯一的一個函數值y與之對應，由此可得結論.
【解答】B選項，x＞0時有兩個y值與之對應，不為函數，B錯誤，
其它均符合函數的定義，
CD.
變式2．【多選】（2024·全國·高一專題練習）已知集合=，集合=，下列能表示從集合到集合的函數關系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根據函數的定義逐一判斷即可.
【詳解】對于選項A：顯然當時，在集合中，沒有與之對應的實數，故不表示從集合到集合的函數關系，所以本選項不符合題意；
對于選項B：當時，任意一個，在集合中，都有唯一與之對應的實數，故表示從集合到集合的函數關系，所以本選項符合題意；
對于選項C：顯然當時，在集合中有兩個數與之對應，故不表示從集合到集合的函數關系，所以本選項不符合題意；
對于選項D：當時，任意一個，在集合中，都有唯一與之對應的實數，故表示從集合到集合的函數關系，所以本選項符合題意，
D
變式3．（2024·高一課時練習）判斷下列對應是不是從集合A到集合B的函數.
(1)，，對應法則f：對集合A中的元素取絕對值與B中元素對應；
(2)，，對應法則，，；
(3)，，對應法則，，；
(4)三角形，，對應法則f：對A中元素求面積與B中元素對應.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根據函數的定義，可依次判斷得解.
【詳解】（1）對于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不屬于B，即A中的元素0在B中沒有元素與之對應，所以不是函數.
（2）對于A中的元素，在f的作用下與B中的1對應，A中的元素，在f的作用下與B中的4對應，所以滿足A中的任一元素與B中唯一元素對應，是“多對一”的對應，故是函數.
（3）對于A中的任一元素，在對應關系f的作用下，B中都有唯一的元素與之對應，如對應1，對應4，所以是函數.
（4）集合A不是數集，故不是函數.
變式4.（2024·高一課時練習）下列變量與的關系式中，不能構成是的函數關系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】對A，由得是函數關系；
對B，由，得是函數關系；
對C，由，得，此時值不唯一，不是函數關系；
對D，由，得是函數關系，
【方法技巧與總結】
函數關系的判斷
(1)判斷一個集合A到集合B的對應關系是不是函數關系的方法：①A，B必須都是非空數集；②A中任意一個數在B中必須有并且是唯一的實數和它對應．
注意　A中元素無剩余，B中元素允許有剩余．
(2)函數的定義中“任意一個x”與“有唯一確定的y”說明函數中兩變量x，y的對應關系是“一對一”或者是“多對一”，而不能是“一對多”．　
【題型2：求函數的定義域】
（一）已知函數的解析式求定義域
例2．（2024·廣西南寧·高一校考階段練習）函數的定義域用區間表示為 .
【答案】
【分析】根據具體函數的定義域求法可得.
【詳解】因為，
所以，
得且，
所以定義域為，
故答案為：
變式1．（2024·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學校考階段練習）函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】由函數有意義，得 ，解得且，
所以原函數的定義域是.
變式2．（2024·新疆烏魯木齊·高一校考期中）函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據開偶數次發根號里的數大于等于零，分母不等于零計算即可.
【詳解】由，
得，解得且，
所以函數的定義域為.
.
變式3.（2024·全國·高一課堂例題）函數的定義域是_______.
【答案】
【解析】由題意知，解得，故定義域是.
變式4.（2024·全國·高一課堂例題）函數的定義域為 _________.
【答案】
【解析】由題可得，解得，，且；
∴的定義域為：．
變式5．（2024·全國·高一課堂例題）確定下列函數的定義域：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據二次根式的性質和分式的性質進行求解即可；
（2）根據分式的性質進行求解即可.
【詳解】（1）因為二次根式的分母不能為零，即，且需，即，
故的定義域為．
（2）因為，
所以且，
故的定義域為；
（二）抽象函數的定義域
例3．（2024·新疆烏魯木齊·高一校考期中）若函數的定義域為，則函數的定義域是 ．
【答案】
【分析】根據復合函數定義域的性質進行求解即可.
【詳解】函數的定義域為，
于是有，
即函數的定義域，
故答案為：
變式1．（2024·山東菏澤·高一菏澤一中校考期中）已知函數的定義域為，則的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意先求出的定義域，再可求出的定義域
【詳解】由，得，
所以的定義域為，
由，得，
所以的定義域為，
變式2.（2024·全國·高一專題練習）已知的定義域為，則的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為的定義域為，所以，
所以，所以的定義域為．
變式3．（2024·全國·高一專題練習）函數的定義域為，則的定義域為 .
【答案】
【分析】利用抽象函數的定義域可得出關于的不等式組，即可求得函數的定義域.
【詳解】因為函數的定義域為，
對于函數，則有，解得.
因此，函數的定義域為.
故答案為：
變式4．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習）若函數的定義域為，則的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函數的定義域，求出的定義域，即可得出答案.
【詳解】由題意可知，所以，所以的定義域為，
從而的定義域為.
.
變式5．（2024·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學校考階段練習）若函數的定義域是，則函數的定義域是 .
【答案】
【分析】根據抽象函數求定義域的方法和的解析式求定義域即可.
【詳解】因為的定義域為，所以函數中，解得，
因為，所以，即，
綜上可得，的定義域為.
故答案為：.
變式6．（2024·黑龍江大慶·高二肇州縣第二中學校考階段練習）已知函數的定義域為 則的定義域為
【答案】
【分析】抽象函數定義域求解，需整體在范圍內，從而 解出的范圍，同時注意需保證，最后求出交集即可得解.
【詳解】由已知，的定義域為，所以對于
需滿足,解得
故答案為：.
【方法技巧與總結】
求函數定義域的一般原則
求函數定義域時，要注意應用下列原則：
(1)如果f(x)是整式，那么函數的定義域是實數集R.
(2)如果f(x)是分式，那么函數的定義域是使分母不等于零的實數的集合．
(3)如果f(x)是偶次根式，那么函數的定義域是使根號內的式子不小于零的實數的集合．
(4)如果f(x)是由幾部分構成的，那么函數的定義域是使各部分都有意義的實數的集合，也就是使各部分有意義的實數的集合的交集．
(5)如果f(x)是根據實際問題列出的，那么函數的定義域是使解析式本身有意義且符合實際意義的實數的集合．
(6)復合函數的定義域就是使所有式子都有意義的自變量的取值范圍，注意相同的對應法則所作用對象的范圍是一致的．
注意：定義域必須用集合或區間表示，若用區間表示數集，不能用“或”連接，而應用并集符號“∪”連接．　　
【題型3：同一函數】
例4.（2024·福建）下列各組函數中，表示同一函數的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【答案】C
【解析】A中，的定義域為，的定義域為R，故A錯誤；
B中，，B正確；
C中，的定義域為R，的定義域為，故C錯誤；
D中，的定義域為，
由可得的定義域為，D錯誤.
變式1．（2024·福建龍巖·高一福建省連城縣第一中學校考階段練習）下列選項中表示同一函數的是（ ）
A．與
B．
C．；
D．.
【答案】A
【詳解】根據函數的對應關系與定義域判斷．
【分析】對于A，的定義域為，而定義域為R，故二者不是同一函數；
對于B.定義域為R，定義域為，∵定義域不同，與不是同一函數.
對于C，定義域為R，定義域為，∵定義域不同，與不是同一函數.
對于D，，與定義域與對應關系都相同，與是同一函數.
變式2．【多選】（2024·云南德宏·高一校考期中）下列四組函數中表示同一個函數的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】CC
【分析】根據函數的定義域和對應關系依次判斷每個選項得到答案.
【詳解】A中，的定義域為，的定義域為，兩函數的定義域不同，所以不是同一函數；
B，C中，函數的解析式相同，定義域也相同，所以為同一函數；
D中，的定義域為，的定義域為，兩函數的定義域不同，所以不是同一函數.
C.
變式3．（2024·云南怒江·高一校考期中）下列各組函數：
①，；② ；
③，；④，；
⑤汽車勻速運動時，路程與時間的函數關系與一次函數．
其中表示相等函數的是 填上所有正確的序號．
【答案】③⑤
【分析】逐個判斷兩個函數的定義域、對應法則是否相同即可．
【詳解】對于①，定義域為，定義域為，
所以定義不相同，所以不是相等的函數；
對于②，的定義域為，的定義域為，
因為兩函數的對應關系不相同，所以兩函數不是相等的函數，
對于③，的定義域為，的定義域為，
所以定義域相同，因為，所以這兩函數是相等的函數，
對于④，兩函數的定義域均為，因為，所以兩函數不是相等的函數，
對于⑤，汽車勻速運動時，路程與時間的函數關系與一次函數是相同的函數，
所以表示相等函數的是③⑤，
故答案為：③⑤．
變式4．【多選】（2024·江西·高一江西師大附中校考期中）中文“函數”一詞，最早是由近代數學家李善蘭翻譯的，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數”，也即函數指一個量隨著另一個量的變化而變化，下列選項中是同一個函數的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】AD
【分析】根據同一函數的概念逐一分析各選項即可判斷.
【詳解】對于A，因為與的定義域均為，對應關系也相同，故為同一函數；
對于B，的定義域為，的定義域為，定義域不同，故不是同一個函數；
對于C，的定義域是，的定義或是，定義域不同，故不是同一個函數；
對于D，，與的定義域都是，且對應關系相同，所以是同一函數.
D.
【方法技巧與總結】
判斷同一函數的三個步驟和兩個注意點
(1)判斷同一函數的三個步驟
(2)兩個注意點：
①在化簡解析式時，必須是等價變形；②與用哪個字母表示無關．　
【題型4：根據解析式求函數值】
例5．（2024·全國·高一專題練習）已知函數，
(1)求的定義域；
(2)求，的值；
(3)當時，求的值.
【答案】(1)；
(2)，；
(3).
【分析】（1）利用函數有意義列出不等式，并求解作答.
（2）（3）代入計算作答.
【詳解】（1）函數有意義，則，解得，且，
所以函數的定義域是.
（2）依題意，，.
（3）當時，，則.
變式1．（2024·浙江杭州·高一杭州市西湖高級中學校考階段練習）已知函數
(1)求函數的定義域；
(2)求的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據函數的具體形式求函數的定義域；
（2）根據函數的解析式，代入數值，即可求解.
【詳解】（1）函數的定義域需滿足，解得：或且，
所以函數的定義域為；
（2），，
所以.
變式2．（2024·全國·高一課堂例題）已知定義域為R的函數．
(1)求，的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)，；
(2)
(3)
【分析】運用代入法對（1）（2）（3）進行求解即可.
【詳解】（1）因為，
所以，；
（2）因為，
所以；
（3）因為，
所以.
變式3.（2024·陜西·高三校聯考階段練習）已知函數，，則______，______．
【答案】，
【解析】由題可知，，則；
，則.
故答案為：；.
變式4．（2024·廣東東莞·高一東莞市東莞中學松山湖學校校考階段練習）已知函數，若，則 .
【答案】
【分析】由題意可得，根據奇函數的定義可知函數為奇函數，結合計算即可求解.
【詳解】∵，
∴令，
則由定義域為R，關于原點對稱且，
∴為奇函數，
∴，
∴，
∵，∴．
故答案為：-13.
變式5．（2024·陜西·高三校聯考階段練習）已知函數的定義域為，，且，則 .
【答案】2023
【分析】通過已知條件得出遞推式即可得出的值.
【詳解】由題意，定義域為，
在函數中，，且，
令，則，，
故答案為：.
【題型5：求函數的值域】
例6．（2024·全國·高一專題練習）作出下列函數的圖象并求出其值域.
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)圖象見解析，
(2)圖象見解析，
(3)圖象見解析，
【分析】通過列表描點連線作出函數圖像，由圖像確定值域.
【詳解】（1）列表
x 0 1 －2 3
y 0 －1 2 －3
函數圖象只是四個點，其值域為．

（2）列表
x 2 3 4 5 …
y 1 …
當時，圖象是反比例函數的一部分，觀察圖象可知其值域為．

（3）列表
x －2 －1 0 1 2
y 0 －1 0 3 8
畫圖象，圖象是拋物線在之間的部分．

由圖可得函數的值域為．
變式1．（2024·全國·高一專題練習）求函數的值域.
【答案】
【分析】利用換元法根據二次函數性質即可求出函數值域.
【詳解】由題意可知，所以可得，即函數定義域為，
令，可得；
則，當時，；
故函數值域為.
變式2．（2024·高一課時練習）作出下列函數的圖象，并寫出其值域．
(1)；
(2).
【答案】(1)圖像見解析，.
(2)圖像見解析，.
【分析】描點，連線即可的圖象，根據圖象即可的值域.
【詳解】（1）當時，；
當時，；當時，.
函數圖象過點.
圖象如下圖所示．

由圖可知，函數的值域為.
（2）當時，；當時，；
當時，.圖象如下圖所示．

由圖可知，函數的值域為.
變式3．（2024·全國·高一專題練習）求下列函數的值域：
(1)；
(2)；
(3)（）；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】分別利用直接法，分離常數法，基本不等式法，換元法求解函數的值域.
【詳解】（1）∵，∴,
∴的值域為.
（2），顯然,所以,
故函數的值域為.
（3）由,知.
則,
當且僅當,即時,上式取“”．
∴（）的最小值為8.
故函數（）的值域為.
（4）設,則,且,
所以，
由,結合函數的圖象得原函數的值域為.

變式4．（2024·高一課時練習）求下列函數的值域．
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）采用分離常數法可知即可得其值域為；
（2）利用換元法，將原函數表示為，根據二次函數單調性可求得結果；
（3）求得函數定義域為，求出二次函數最值即可求得其值域.
【詳解】（1）由于，且；
所以可得，
因此函數的值域是．
（2）令，所以，
即，
當時，，
即函數的值域為.
（3）易知需滿足，即，即函數定義域為；
，
由二次函數性質可得，
所以的值域為．
變式5．（2024·高一課時練習）求下列函數的值域．
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)且
(4)
【分析】（1）由，進而求得函數的值域；
（2）根據二次函數的圖象與性質，結合函數的單調性，求得函數的最值，即可求解；
（3）化簡函數，結合反比例函數的性質，即可求解；
（4）令，則，結合二次函數的圖象與性質，即可求解.
【詳解】（1）解：因為，所以，所以函數的值域為.
（2）解：由，可得其對稱軸為，
所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
所以當時，函數取得最小值，最小值為，
又由當時，；當時，，所以函數的最大值為，
所以函數在區間上的值域為.
（3）解：由函數，可得其定義域為，
則，即，所以函數的值域為且.
（4）解：令，則，
則，
根據二次函數的性質，可得函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，
當時，函數取得最大值，最大值為，
當時，，所以函數的值域為.
變式6．（2024·全國·高一課堂例題）求下列函數的值域：
(1)，；
(2)，；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)．
【分析】（1）可由觀察法求解；（2）函數是二次函數，可采用配方法結合圖像求解；（3）函數是一個分式型函數，可采用分離常數法將其整理為一個常數加一個分式，或用表示出，由求解；（4）利用變量的代換，即換元法求值域；（5）通過變形，利用基本不等式求最值；（6）通過變形，利用基本不等式求最值；（7）通過變形利用判別式法求解．
【詳解】（1）（觀察法）由，分別代入求值，可得函數的值域為．
（2）（配方法），由，再結合函數的圖像，可得函數的值域為．

（3）（分離常數法） ，因為，所以，所以故函數的值域為．
（4）（換元法） 設，則，且，
所以，由，再結合函數的圖像，可得函數的值域為．

（5）因為，所以，當且僅當，即時，等號不成立．
故函數的值域為．
（6）因為，所以，令，則，當且僅當，即時，等號不成立，所以，，故函數的值域為．
（7）由知，
整理得．
當時，方程無解；當時，，即．
故所求函數的值域為．
【點睛】方法點睛：本題主要考查求函數得值域，常見的方法有：
（1）觀察法，對解析式簡單變形觀察，利用熟知的初等函數的值域，求解；
（2）配方法，函數是二次函數，可采用配方法結合圖像或單調性求解；
（3）分離常數法，反解法，函數是一個分式型函數，可采用分離常數法將其整理為一個常數加一個分式，或用表示出，求解；
（4）換元法，通過對函數解析式進行適當換元，將復雜的函數化為幾個簡單的函數，從而求值域；
（5）通過對解析式變形，利用基本不等式求最值；
（6）通過對解析式變形，將看成自變量，看成常數，關于的方程有解，利用判別式法求解．
變式7．（2024·江蘇南通·高三統考開學考試）已知函數，的值域是，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】畫出函數圖象，根據二次函數性質和圖象可得值域為時，實數的取值范圍是.
【詳解】畫出函數的圖象，如下圖所示：
易知，；
若時的值域是，由圖可知.
變式8．【多選】（2024·海南·高一校考期中）函數的值域為，則下列選項中滿足條件的實數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根據給定條件，按是否為0分類，結合一次函數、二次函數的性質求出的范圍作答.
【詳解】由函數的值域為，得函數的值域包含，
當時，函數的值域是R，包含，則，
當時，要函數的值域包含，當且僅當，解得，
所以實數的取值范圍是，顯然選項ABD滿足，C不滿足.
BD
【方法技巧與總結】
求函數值域的常用方法
(1)觀察法：對于一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察法得到．
(2)配方法：是求“二次函數”類值域的基本方法．　　
(3)換元法：運用新元代換，將所給函數化成值域易確定的函數，從而求得原函數的值域．對于f(x)ax＋b＋(其中a，b，c，d為常數，且ac≠0)型的函數常用換元法．
(4)分離常數法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉化為“反比例函數類”的形式，便于求值域.
【題型6：函數的表示方法】
例7．（2024·高一課時練習）某商場為反饋顧客，規定凡購買某品牌商品兩件，贈兒童玩具一個，一顧客購買此品牌商品的件數為x件，獲贈兒童玩具y個，分別用列表法、解析法、圖象法將y表示成的函數．
【答案】答案見解析
【分析】由題意利用列表法和解析法得到函數，再畫出函數圖象.
【詳解】列表法：
x/件 2 4 6 8
y/個 1 2 3 4
解析法：；
圖象法：

變式1．（2024·浙江臺州·高一校聯考期中）已知函數，，，

(1)畫出函數，的圖象；
(2)，用表示，中的較小者，記為，請分別用圖象法和解析法表示函數.
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）結合二次函數與一次函數圖象分別為拋物線和直線，畫出函數圖象；
（2）先根據（1）中兩函數圖象得到的圖象，再寫出的解析式.
【詳解】（1）與的圖象如下，

（2）圖象法表示，如圖，

解析法表示函數.
變式2．（2024·高一課時練習）下圖所示為某市一天24小時內的氣溫變化圖，根據圖象回答下列問題.

(1)全天的最高氣溫、最低氣溫分別是多少？
(2)大約在什么時刻，氣溫為？
(3)大約在什么時刻內，氣溫在以上？
(4)變量Q是關于變量t的函數嗎？
【答案】(1)最高氣溫大約是，最低氣溫大約是
(2)在0時、8時和22時
(3)在8時到22時之間
(4)Q是t的函數
【分析】（1）（2）（3）認真觀察函數的圖像，根據時間與溫度的關系解答，（4）根據函數的定義可判斷.
【詳解】（1）觀察圖像可知：全天最高氣溫大約是，在14時達到.全天最低氣溫大約是.
（2）觀察圖像可知：大約在0時、8時和22時，氣溫為.
（3）觀察圖像可知：在8時到22時之間，氣溫在以上.
（4）根據函數定義，由圖像可知對于時間t的每個取值，都有唯一的氣溫Q與之對應，
所以氣溫Q是時間t的函數.
變式3．（2024·全國·高一專題練習）已知函數由以下表格給出，則等于 .
x 1 2 3 4
－1 1 2 1
【答案】1
【分析】根據函數的對應關系，求得，即可求得答案.
【詳解】由題意得，故，
故答案為：1
變式4．（2024·高一課前預習）函數與的對應關系如下表
1 3 3
1 2 3
則的值為（ ）
A．0 B．3 C．1 D．－1
【答案】A
【詳解】由列表法表示的函數可知，，則的值為0
【方法技巧與總結】
理解函數的表示法應關注三點
(1)列表法、圖像法、解析法均是函數的表示方法，無論用哪種方式表示函數，都必須滿足函數的概念．
(2)判斷所給圖像、表格、解析式是否表示函數的關鍵在于是否滿足函數的定義．
(3)函數的三種表示方法互相兼容或補充，許多函數是可以用三種方法表示的，但在實際操作中，仍以解析法為主．　
【題型7：求函數的解析式】
例8．【多選】（2024·全國·高一專題練習）設函數為一次函數，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】設，代入，通過對比系數列方程組，求得，進而求得.
【詳解】設，由于，
所以，
所以，解得或，
所以或.
D
變式1．（2024·全國·高一專題練習）回答下面問題
(1)已知，求；
(2)已知函數是一次函數，若，求.
(3)已知，求的解析式；
(4)已知是一次函數，且滿足，求的解析式.
【答案】(1)
(2)或
(3)
(4)
【分析】（1）根據配湊法或換元法求解即可；
（2）設，再代入求解即可；
（3）令換元求解即可；
（4）設，再代入求解即可.
【詳解】（1）方法一　（配湊法）：∵
，
∴．
方法二　（換元法）：令，則，
∴，
即．
（2）設，
則．
又，∴，
，解得或，
∴或．
（3）令，則，，
因為，
所以，
所以；
（4）由題可設，則
，，
所以
，
所以，
所以，
所以.
變式2．（2024·全國·高一專題練習）（1）已知是二次函數，且滿足，，求解析式；
（2）已知，求的解析式.
（3）若對任意實數x，均有，求的解析式.
【答案】（1） ；（2）．（3）
【分析】（1）利用待定系數法即可得到解析式；
（2）利用配湊法或換元法即可得到解析式；
（3）利用方程組法即可得到解析式.
【詳解】（1）令 ，
因為，所以，則．
由題意可知：
，
得，所以．
所以.
（2）法一：配湊法
根據．
可以得到．
法二：換元法
令，則，
．
.
（3）因為①，
所以②，
由①②得：，
解得：.
變式3．（2024·全國·高一專題練習）（1）已知是二次函數，且，，求的解析式；
（2）已知函數的定義域為（0，＋∞），且，求的解析式．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用待定系數法進行求解即可；
（2）用代替x，利用代入法進行求解即可.
【詳解】（1）設，
因為，所以有，
因為，所以有
，
所以，解得．
所以；
（2）在中，
用代替x，得，
將代入中，
可求得．
變式4．（2024·四川成都·高一校考開學考試）（1）已知函數，求；
（2）已知，求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據題意，利用換元法，即可求解；
（2）根據題意，用代替，得到，聯立方程組，即可求解.
【詳解】（1）解：由函數，
令，則，所以，
所以函數的解析式為 .
（2）解：由函數，
用代替，可得，
聯立方程組，解得，
所以函數的解析式為.
變式5．（2024·全國·高一專題練習）（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求函數的解析式；
（3）已知是二次函數，且滿足，，求函數的解析式；
（4）已知，求的解析式．
（5）已知是定義在R上的函數，，且對任意的實數x，y都有，求函數的解析式．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
【分析】（1）用代中的計算可得；
（2）用換元法，設，解出后代入可得，注意的取值范圍；
（3）設，代入已知條件解方程組可得；
（4）用－x替換中的x，兩式組成方程組后解之可得；
（5）在已知式中令代入求解．
【詳解】（1）因為，所以．
（2） 設，則，，即，
所以，所以．
（3）因為是二次函數，所以設．由，得c1．
由，得，
整理得，
所以，所以，所以．
（4）用－x替換中的x，得，
由，解得．
（5）令，則，所以．
【方法技巧與總結】
函數解析式的求法
(1)待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數)，可用待定系數法．
(2)換元法：已知復合函數f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍．
(3)配湊法：由已知條件f(g(x))F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．　　
(4)解方程法：已知f(x)與f或f(－x)之間的關系式，可根據已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x).
(5)賦值法：根據抽象函數的解析式的特征，進行對變量賦特殊值.
【題型8：分段函數的問題】
例9．（江蘇省南通市2023-2024學年高一上學期10月質量監測數學試題）已知函數，則（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】根據分段函數的解析式先求出的值，在求出的值即可.
【詳解】因為，
所以，
所以，
.
變式1．（2024·山西太原·高一校考階段練習）已知函數，則 ．
【答案】5
【分析】由題，先求出的值，再根據分段函數判斷求解.
【詳解】由題意，可得，
.
故答案為：5.
變式2．（2024·江蘇連云港·高一統考期中）已知函數，若，實數（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根據分段函數解析式計算可得.
【詳解】因為，所以，
所以，解得.
變式3．（2024·寧夏銀川·高三銀川一中校考階段練習）已知，滿足，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據自變量的范圍，代入解析式，即可由一元二次不等式求解.
【詳解】若，則，故，
由可得，
當，則，故，
由可得，
當時，則不符合要求，
綜上可知：的取值范圍為
故答案為：
變式4.（2024·高一課時練習）已知函數若，則實數________，________．
【答案】，
【解析】由題意得，，
所以，解得，
所以.
故答案為：；.
變式5．（2024·高一課時練習）已知函數則使不成立的的值組成的集合為 .
【答案】
【分析】分段函數分段解一元二次不等式即可得解集.
【詳解】由題意可得或
由解得；
由解得.
綜上所述，使不成立的的值組成的集合為.
故答案為：.
變式6．【多選】（2024·全國·高一專題練習）已知函數，關于函數的結論正確的是（ ）
A．的定義域為 B．的值域為
C． D．若，則的值是2
【答案】CCD
【分析】對A：根據解析式判斷定義域；對B：結合一次函數、二次函數求出值域；對C：代值即可求出結果；對D：利用函數值分段討論求出變量的值.
【詳解】對A：由題意知函數的定義域為，故A錯誤；
對B：當時，；當時，；
則的值域為，故B正確；
對C：當時，，故C正確；
對D：當時，，解得，不合題意；
當時，，解得或（舍去）；
綜上所述：若，則的值是2，故D正確；
CD．
變式7．（2024·甘肅酒泉·高一校考期中）已知函數
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)當時，求的值域．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）利用代入法進行求解即可；
（2）根據平方數的性質，運用代入法進行求解即可；
（3）根據二次函數和一次函數的單調性進行求解即可.
【詳解】（1）；
（2）因為，
所以；
（3）當時，因為，所以；
當時，因為；
當時，因為，所以，
故當時，函數的值域是.
變式8．（2024·江西宜春·高三校考階段練習）已知函數
(1)若，求實數的值；
(2)若，求實數的取值范圍.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）由分段函數，分別和解即可.
（2）由分段函數，分別和解即可.
【詳解】（1）當時，，解得或（舍去）；
當時，，解得.
所以的值為或
（2）當時，，不符合題意，
，且，
解得.
所以的取值集合是.
【方法技巧與總結】
求分段函數的函數值
(1)分段函數求值，一定要注意所給自變量的值所在的范圍，代入相應的解析式求得．
(2)像本題中含有多層“f”的問題，要按照“由里到外”的順序，層層處理．
(3)已知函數值求相應的自變量值時，應在各段中分別求解．　
一、單選題
1．（23-24高一上·福建龍巖·階段練習）函數的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據給定條件，利用函數有意義列出不等式組求解即得.
【詳解】函數有意義，則，解得且，
所以所求定義域為.
2．（2024高三·北京·專題練習）下列四個圖形中，不是函數圖象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函數的定義一一分析選項即可.
【詳解】對于A，B，C選項中的圖象，每一個的取值均有唯一的一個值與其對應，
符合函數定義，則A，B，C中圖象均為函數圖象；
對于D選項，每一個的取值，都有兩個值與其對應，不符合函數的定義，
則D中圖象不是函數圖象．
3．（23-24高二下·廣東深圳·期中）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用換元法可得答案.
【詳解】令，則，
所以，
即.
.
4．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習）對于函數，部分與的對應關系如下表：
則值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據表格先求，再求的值.
【詳解】由表格可得，，
所以.
.
5．（23-24高一下·全國·課堂例題）已知函數滿足，若，則（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【分析】利用賦值法，即令代入已知等式，即可求得答案.
【詳解】由題意取，
可得
即.
.
6．（22-23高一上·江蘇鎮江·期中）如圖所示，圓柱形水槽內放了一個圓柱形燒杯，向放在水槽底部的燒杯注水（流量一定），注滿燒杯后，繼續注水，直至注滿水槽，水槽中水面上升高度與注水時間之間的函數關系，大致是（ ）
B．
C．D．
【答案】A
【分析】分析水槽內水面上升的高度的速度，可得問題答案.
【詳解】開始注水時，水注入燒杯中，水槽內無水，高度不變；
燒杯內注滿水后，繼續注水，水槽內水面開始上升，且上升速度較快；
當水槽內水面和燒杯水面持平以后，繼續注水，水槽內水面繼續上升，且上升速度減慢.
7．（2024高三·北京·專題練習）下列各組中的兩個函數是同一函數的是（ ）
①，；②，；③，；④，．
A．①② B．②③ C．③ D．③④
【答案】D
【分析】根據題意，結合同一函數的概念，逐個判定，即可求解.
【詳解】對于①中，函數與，
則兩個函數的定義域不同，所以不是同一函數；
對于②中，函數，與的對應關系不同，所以不是同一函數；
對于③中，函數，與，
可得兩函數的的定義域相同，對應關系也相同，所以是同一函數；
對于④中，函數，與，
可得兩函數的的定義域不同，所以不是同一函數．
綜上，是同一函數的只有③．
．
8．（24-25高一上·廣東梅州·開學考試）已知函數的定義域是，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】函數的定義域是，等價于不等式對任意恒不成立，分和兩種情況求出實數的取值范圍即可.
【詳解】因為函數的定義域是，
所以不等式對任意恒不成立，
當時，，對任意恒不成立，符合題意；
當時，，即，解得：，
綜上，實數的取值范圍是;
二、多選題
9．（21-22高一·全國·課后作業）如果某函數的定義域與其值域的交集是，則稱該函數為“交匯函數”．下列函數是“交匯函數”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】分別計算各選項函數的定義域與值域，再根據“交匯函數”的定義可判斷各選項.
【詳解】由“交匯函數”定義可知，“交匯函數”表示函數的定義域與值域的交集為，
A選項：的定義域，值域，
則，A選項錯誤；
B選項：的定義域，值域，
則，B選項正確；
C選項：的定義域，值域，
則，C選項錯誤；
D選項：的定義域，值域，
則，D選項正確；
D.
10．（23-24高一上·黑龍江齊齊哈爾·期中）若函數的值域為，則的可能取值為（ ）
A． B． C． D．0
【答案】CCD
【分析】對進行分類討論，結合判別式求得的取值范圍.
【詳解】①時，，值域為，滿足題意；
②時，若的值域為，
則；
綜上，．
CD
11．（23-24高一上·山西·期中）已知一次函數滿足，則的解析式可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根據題意，由待定系數法代入計算，即可得到結果.
【詳解】設，則，
所以，解得或，
則或．
D.
三、填空題
12．（23-24高一上·上海長寧·期末）已知，若，則 .
【答案】或
【分析】分別令分段函數中的每一段解析式的函數值為列方程，由此解得的值.
【詳解】由，得；
由， 得；
由，得（舍）；
綜上或.
故答案為：或.
13．（2024·上海·高考真題）已知，求的的取值范圍 .
【答案】
【分析】分與兩段求解二次不等式可得.
【詳解】根據題意知.
當時，,即，解得，則有；
當時，,即，，即時，不等式都不成立.
綜上所述，的的取值范圍為.
故答案為：.
14．（24-25高一上·全國·單元測試）函數的值域是 ．
【答案】
【分析】分離常數，求得值域.
【詳解】，
因為，所以，所以值域為.
故答案為：.
四、解答題
15．（2024高一·全國·專題練習）已知，求的表達式
【答案】
【分析】在原式中用替換，得，與原式聯立方程組，求解即可.
【詳解】在原式中用替換，得，
于是有，
消去，得．
∴所求函數的表達式為.
16．（23-24高二下·陜西西安·期中）設．
(1)求的值；
(2)若，求t值.
【答案】(1)0
(2)或或
【分析】（1）根據分段函數的特征可計算；
（2）就的不同取值范圍構建不同的方程后可求的值.
【詳解】（1）.
（2）當時，，∴；
當時，，解得：；
當時，，∴，
綜上所述：或或．
17．（23-24高一上·天津·期末）函數，
(1)若的解集是或，求實數，的值；
(2)當時，若，求實數的值；
(3)，若，求的解集.
【答案】(1)，
(2)
(3)答案見解析
【分析】（1）根據三個二次的關系可求參數的值.
（2）先求出，再根據代數式恒相等可求的值.
（3）原不等式即為，就不同情形分類討論后可得不等式的解.
【詳解】（1）不等式的解集為或，
，且的兩根為，，
，，，.
（2），
得，.
（3），，
即，
（1）當時，
（2）當時，則，
①當時，；
②當時，若，即時，或 ，
若，即時， ；
若，即時，或 ；
綜上所述：當時，不等式的解集為或；
當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為或；
當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為.
18．（24-25高三上·江蘇鹽城·開學考試）已知二次函數滿足，且圖像被軸截得的線段長度是.
(1)求的解析式；
(2)若，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設出的解析式，然后利用待定系數法求得正確答案.
（2）利用基本不等式求得的最大值.
【詳解】（1）設，
依題意，則，
由于，所以，
整理得，所以，
所以，
設方程的兩個根為，
則，即，
解得，則，所以.
（2）若，則
，
當且僅當時等號不成立.
19．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函數的值域：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（3）根據題意結合基本不等式求值域；
（2）換元令，結合二次函數求值域.
【詳解】（1）因為，則，
可得，
當且僅當，即時，等號不成立，
所以函數的值域為.
（2）令，則，
可得，
當時，等號不成立，
所以函數的值域為.
（3）因為，則，
可得，
當且僅當，即時，等號不成立，
即，所以函數的值域為.
20．（23-24高一上·貴州六盤水·期末）近年來，中美貿易摩擦不斷，特別是美國對我國華為的限制．盡管美國對華為極力封鎖，百般刁難，并不斷加大對各國的施壓，拉攏他們抵制華為，但這并沒有讓華為怯步．2023年8月30日，據華為官網披露，上半年華為營收3082.90億元，上年同期為2986.80億元，凈利潤為465.23億元，上年同期為146.29億元．為了進一步提升市場競爭力，再創新高，華為旗下某一子公司計劃在2024年利用新技術生產某款新手機．通過市場分析，2024年生產此款手機（單位：千部）需要投入兩項成本，其中固定成本為200萬元，其它成本為（單位：萬元），且假設每部手機售價0.65萬元，全年生產的手機當年能全部售完．
(1)寫出此款手機的年利潤（單位：萬元）關于年產量（單位：千部）的函數解析式；（利潤=銷售額-成本）
(2)根據（1）中模型預測2024年此款手機產量為多少（單位：千部）時，所獲利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】(1)
(2)產量100（千部），最大利潤9080（萬元）
【分析】（1）由已知條件，根據銷售額和成本計算利潤；
（2）由利潤的函數解析式，結合函數性質和基本不等式，求最大值.
【詳解】（1）由題意可得
即.
（2）當時，，
當時，取最大值，（萬元）；
當時，，
，
（萬元），當且僅當，即時，等號不成立，
因為，
故當年產量為100（千部）時所獲利潤最大，最大利潤為9080（萬元）.
21．（24-25高一上·全國·課后作業）已知函數，．
(1)作出，的圖像；
(2)對任意，用表示、中的較小者，記作，請用圖像法和解析法表示．
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）根據絕對值的性質去絕對值，即可得函數表達式，進而根據一次函數的性質作出圖象即可，
（2）根據的定義，即可結合函數圖象求解.
【詳解】（1）
圖像如圖．
（2）函數的圖像如圖．
表達式為
22．（23-24高三下·西藏拉薩·階段練習）設函數.
(1)若，求實數的取值范圍；
(2)當時，函數有兩個零點，且滿足，求實數的值.
【答案】(1).
(2)3
【分析】（1）由，代入函數得，再兩邊平方即可求解；
（2）根據，分析函數的單調性，并計算，當時，分別討論和兩種情況，并計算對應的.
【詳解】（1）若，則，
即
兩邊平方，得，即，
解得，
所以實數的取值范圍是.
（2）因為，
所以函數.
觀察圖象，知函數在上單調遞減，
在和上單調遞增，且，
①當時，.
由，解得；
②當時，，
此時，與矛盾，舍去.
綜上，實數的值為3.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)3.1.1函數及其表示方法
課程標準 學習目標
1、在初中用變量之間的依賴關系描述函數的基礎上，用集合語言和對應關系刻畫函數，建立完整的函數概念，體會集合語言和對應關系在刻畫函數概念中的作用。了解構成函數的要素，能求簡單函數的定義域和值域。 在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法（如圖象法、列表法、解析法）表示函數，理解函數圖象的作用。 3、通過具體實例，了解簡單的分段函數，并能簡單應用。 兩個變量關系中提出函數概念. 用圖像法表示函數 對函數的定義域、值域的計算。 函數定義域和應用數據的有效性。
知識點01函數的概念
（1）變量觀點的定義
在一個變化過程中，數值發生變化的量稱為變量；在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么就稱y是x的函數．
（2）集合觀點的定義
一般地，給定兩個非空實數集A與B，以及對應關系f，如果對于集合A中的每一個實數x，在集合B中都有唯一確定的實數y與x對應，則稱f為定義在集合A上的一個函數，記作yf(x)，x∈A，其中x稱為自變量，y稱為因變量，自變量取值的范圍(即數集A)稱為這個函數的定義域，所有函數值組成的集合{y∈B|yf(x)，x∈A},稱為函數的值域．
注：對函數概念的幾點說明
(1)yf(x)是“y是x的函數”的數學表示，不能認為“y等于f與x的乘積”，應理解為：x是自變量，f是對應關系(可以是解析式、圖像、表格或文字描述等).
(2)函數符號f(x)表示的對應關系與字母f無關，也可以用g，F，G等表示；同樣，自變量x也可以用t，m，h等表示．
【即學即練1】（2024·新疆巴音郭楞·高一八一中學校考期中）如圖圖形，其中能表示函數的是（ ）
A． B．
C． D．
知識點02函數的三要素
（1）定義域
函數的定義域是函數yf(x)的自變量x的取值范圍．在表示函數時，如果不會產生歧義，函數的定義域有時可以省略，這時就約定這個函數的定義域就是使得這個函數有意義的所有實數組成的集合．在實際問題中，函數的定義域還要受到自變量實際意義的制約．
（2）對應關系
對應關系f是函數的核心，它是對自變量x實施“對應操作”的“程序”或者“方法”．按照這一“程序”，從定義域A中任取一個x，可得到值域{y|yf(x)，x∈A}中唯一的y與之對應．同一“f”可以“操作”不同形式的變量．
（3）值域
函數的值域是函數值的集合，通常一個函數的定義域和對應關系確定了，那么它的值域也就隨之確定了．
注：由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以確定一個函數只需要兩個要素：定義域和對應關系．即要檢驗給定的兩個變量(變量均為數值)之間是否具有函數關系，只要檢驗：
(1)定義域和對應關系是否給出；
(2)根據給出的對應關系，自變量x在其定義域中的每一個值，是否都能確定唯一的函數值y與之對應．
【即學即練2】（2024·甘肅定西·高二統考開學考試）函數的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
【即學即練3】（2024秋·全國·高一專題練習）求下列函數的值域．
(1)；
(2)，；
(3)；
(4).
知識點03同一個函數
一般地，如果兩個函數的定義域相同，對應關系也相同(即對自變量的每一個值，兩個函數對應的函數值都相等)，則稱這兩個函數就是同一個函數．
【即學即練4】（2024·甘肅酒泉·高一校考期中）下列各組函數是同一函數的是（ ）
①與. ②與. ③與. ④與.
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
知識點04函數的表示方法
1.常用的函數的表示方法有三種：列表法、圖像法和解析法，具體如下．
列表法 圖像法 解析法(公式法)
定義 通過列出自變量與對應函數值的表來表示函數關系的方法． 用“圖形”表示函數的方法． 在函數yf(x)(x∈A)中，f(x)是用代數式(或解析式)來表達的方法．
優點 不需要計算就可以直接看出與自變量的值相對應的函數值． 能直觀、形象地表示出函數值的變化情況． 通過解析式可求出任意一個自變量所對應的函數值，且便于研究函數的性質．
缺點 列表法只能表示自變量取值為有限個的函數，且從表中很難看出函數的性質． 只能近似地求出自變量所對應的函數值，有時誤差較大． 用解析式表示函數時容易漏掉定義域，而且對于一些實際問題，很難找到它的解析式．
2.函數的圖像
（1）函數的圖像
一般地，將函數yf(x)，x∈A中的自變量x和對應的函數值y，分別看成平面直角坐標系中點的橫坐標與縱坐標，則滿足條件的點(x，y)組成的集合F稱為函數的圖像，即
F{(x，y)|yf(x)，x∈A}．
（2）函數圖像的作法
①函數圖像的特征
函數圖像既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等．
②描點法作函數圖像的三個步驟(注意函數的定義域)
③利用常見函數圖像作出所求函數的圖像
【即學即練5】（2024·高一課時練習）下圖是某校高一(1)班三名同學在高一學年度六次數學測試的成績及班級平均分表．

(1)選擇合適的方法表示測試序號與成績的關系；
(2)根據表示出來的函數關系對這三位同學的學習情況進行分析．
知識點05分段函數
（1）分段函數的定義
如果一個函數，在其定義域內，對于自變量的不同取值區間，有不同的對應方式，則稱其為分段函數．
（2）分段函數的圖像
分段函數有幾段，它的圖像就由幾條曲線組成．在同一平面直角坐標系中，根據分段函數每段的定義區間和表達式依次畫出圖像，要注意接點處點的虛實，保證不重不漏．
注：(1)分段函數是一個函數，而不是幾個函數．
(2)求分段函數的函數值的關鍵是分段歸類，即自變量的取值屬于哪個區間，就只能用那個區間上的解析式來進行計算．
(3)寫分段函數的定義域時，區間端點應不重不漏．分段函數的定義域是各個自變量取值區間的并集．
【即學即練6】（2024·全國·高一專題練習）已知函數
(1)求,,的值;
(2)若,求實數的值;
(3)若,求實數的取值范圍.
難點：數形結合利用圖像求分段函數的最值
示例：求函數y|x＋1|＋|x－1|的最小值．
【題型1：函數的概念】
例1．（2024·高一課時練習）下列關系不是函數關系的是 （填序號）．
①乘坐出租車時，所付車費與乘車距離的關系；
②某同學學習時間與其學習成績的關系；
③人的睡眠質量與身體狀況的關系．
變式1．【多選】（2024·全國·高一專題練習）下列各圖中，可能是函數圖象的是（ ）
A． B．
C． D．
變式2．【多選】（2024·全國·高一專題練習）已知集合=，集合=，下列能表示從集合到集合的函數關系的是（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（2024·高一課時練習）判斷下列對應是不是從集合A到集合B的函數.
(1)，，對應法則f：對集合A中的元素取絕對值與B中元素對應；
(2)，，對應法則，，；
(3)，，對應法則，，；
(4)三角形，，對應法則f：對A中元素求面積與B中元素對應.
變式4.（2024·高一課時練習）下列變量與的關系式中，不能構成是的函數關系的是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
函數關系的判斷
(1)判斷一個集合A到集合B的對應關系是不是函數關系的方法：①A，B必須都是非空數集；②A中任意一個數在B中必須有并且是唯一的實數和它對應．
注意　A中元素無剩余，B中元素允許有剩余．
(2)函數的定義中“任意一個x”與“有唯一確定的y”說明函數中兩變量x，y的對應關系是“一對一”或者是“多對一”，而不能是“一對多”．　
【題型2：求函數的定義域】
（一）已知函數的解析式求定義域
例2．（2024·廣西南寧·高一校考階段練習）函數的定義域用區間表示為 .
變式1．（2024·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學校考階段練習）函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（2024·新疆烏魯木齊·高一校考期中）函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
變式3.（2024·全國·高一課堂例題）函數的定義域是_______.
變式4.（2024·全國·高一課堂例題）函數的定義域為 _________.
變式5．（2024·全國·高一課堂例題）確定下列函數的定義域：
(1)；
(2)．
（二）抽象函數的定義域
例3．（2024·新疆烏魯木齊·高一校考期中）若函數的定義域為，則函數的定義域是 ．
變式1．（2024·山東菏澤·高一菏澤一中校考期中）已知函數的定義域為，則的定義域為（ ）
A． B． C． D．
變式2.（2024·全國·高一專題練習）已知的定義域為，則的定義域為（ ）
A． B． C． D．
變式3．（2024·全國·高一專題練習）函數的定義域為，則的定義域為 .
變式4．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習）若函數的定義域為，則的定義域為（ ）
A． B． C． D．
變式5．（2024·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學校考階段練習）若函數的定義域是，則函數的定義域是 .
變式6．（2024·黑龍江大慶·高二肇州縣第二中學校考階段練習）已知函數的定義域為 則的定義域為
【方法技巧與總結】
求函數定義域的一般原則
求函數定義域時，要注意應用下列原則：
(1)如果f(x)是整式，那么函數的定義域是實數集R.
(2)如果f(x)是分式，那么函數的定義域是使分母不等于零的實數的集合．
(3)如果f(x)是偶次根式，那么函數的定義域是使根號內的式子不小于零的實數的集合．
(4)如果f(x)是由幾部分構成的，那么函數的定義域是使各部分都有意義的實數的集合，也就是使各部分有意義的實數的集合的交集．
(5)如果f(x)是根據實際問題列出的，那么函數的定義域是使解析式本身有意義且符合實際意義的實數的集合．
(6)復合函數的定義域就是使所有式子都有意義的自變量的取值范圍，注意相同的對應法則所作用對象的范圍是一致的．
注意：定義域必須用集合或區間表示，若用區間表示數集，不能用“或”連接，而應用并集符號“∪”連接．　　
【題型3：同一函數】
例4.（2024·福建）下列各組函數中，表示同一函數的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
變式1．（2024·福建龍巖·高一福建省連城縣第一中學校考階段練習）下列選項中表示同一函數的是（ ）
A．與
B．
C．；
D．.
變式2．【多選】（2024·云南德宏·高一校考期中）下列四組函數中表示同一個函數的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
變式3．（2024·云南怒江·高一校考期中）下列各組函數：
①，；② ；
③，；④，；
⑤汽車勻速運動時，路程與時間的函數關系與一次函數．
其中表示相等函數的是 填上所有正確的序號．
變式4．【多選】（2024·江西·高一江西師大附中校考期中）中文“函數”一詞，最早是由近代數學家李善蘭翻譯的，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數”，也即函數指一個量隨著另一個量的變化而變化，下列選項中是同一個函數的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【方法技巧與總結】
判斷同一函數的三個步驟和兩個注意點
(1)判斷同一函數的三個步驟
(2)兩個注意點：
①在化簡解析式時，必須是等價變形；②與用哪個字母表示無關．　
【題型4：根據解析式求函數值】
例5．（2024·全國·高一專題練習）已知函數，
(1)求的定義域；
(2)求，的值；
(3)當時，求的值.
變式1．（2024·浙江杭州·高一杭州市西湖高級中學校考階段練習）已知函數
(1)求函數的定義域；
(2)求的值；
變式2．（2024·全國·高一課堂例題）已知定義域為R的函數．
(1)求，的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
變式3.（2024·陜西·高三校聯考階段練習）已知函數，，則______，______．
變式4．（2024·廣東東莞·高一東莞市東莞中學松山湖學校校考階段練習）已知函數，若，則 .
變式5．（2024·陜西·高三校聯考階段練習）已知函數的定義域為，，且，則 .
【題型5：求函數的值域】
例6．（2024·全國·高一專題練習）作出下列函數的圖象并求出其值域.
(1)；
(2)；
(3).
變式1．（2024·全國·高一專題練習）求函數的值域.
變式2．（2024·高一課時練習）作出下列函數的圖象，并寫出其值域．
(1)；
(2).
變式3．（2024·全國·高一專題練習）求下列函數的值域：
(1)；
(2)；
(3)（）；
(4).
變式4．（2024·高一課時練習）求下列函數的值域．
(1)；
(2)；
(3).
變式5．（2024·高一課時練習）求下列函數的值域．
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
變式6．（2024·全國·高一課堂例題）求下列函數的值域：
(1)，；
(2)，；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)．
變式7．（2024·江蘇南通·高三統考開學考試）已知函數，的值域是，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式8．【多選】（2024·海南·高一校考期中）函數的值域為，則下列選項中滿足條件的實數為（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
求函數值域的常用方法
(1)觀察法：對于一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察法得到．
(2)配方法：是求“二次函數”類值域的基本方法．　　
(3)換元法：運用新元代換，將所給函數化成值域易確定的函數，從而求得原函數的值域．對于f(x)ax＋b＋(其中a，b，c，d為常數，且ac≠0)型的函數常用換元法．
(4)分離常數法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉化為“反比例函數類”的形式，便于求值域.
【題型6：函數的表示方法】
例7．（2024·高一課時練習）某商場為反饋顧客，規定凡購買某品牌商品兩件，贈兒童玩具一個，一顧客購買此品牌商品的件數為x件，獲贈兒童玩具y個，分別用列表法、解析法、圖象法將y表示成的函數．
變式1．（2024·浙江臺州·高一校聯考期中）已知函數，，，

(1)畫出函數，的圖象；
(2)，用表示，中的較小者，記為，請分別用圖象法和解析法表示函數.
變式2．（2024·高一課時練習）下圖所示為某市一天24小時內的氣溫變化圖，根據圖象回答下列問題.

(1)全天的最高氣溫、最低氣溫分別是多少？
(2)大約在什么時刻，氣溫為？
(3)大約在什么時刻內，氣溫在以上？
(4)變量Q是關于變量t的函數嗎？
變式3．（2024·全國·高一專題練習）已知函數由以下表格給出，則等于 .
x 1 2 3 4
－1 1 2 1
變式4．（2024·高一課前預習）函數與的對應關系如下表
1 3 3
1 2 3
則的值為（ ）
A．0 B．3 C．1 D．－1
【方法技巧與總結】
理解函數的表示法應關注三點
(1)列表法、圖像法、解析法均是函數的表示方法，無論用哪種方式表示函數，都必須滿足函數的概念．
(2)判斷所給圖像、表格、解析式是否表示函數的關鍵在于是否滿足函數的定義．
(3)函數的三種表示方法互相兼容或補充，許多函數是可以用三種方法表示的，但在實際操作中，仍以解析法為主．　
【題型7：求函數的解析式】
例8．【多選】（2024·全國·高一專題練習）設函數為一次函數，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2024·全國·高一專題練習）回答下面問題
(1)已知，求；
(2)已知函數是一次函數，若，求.
(3)已知，求的解析式；
(4)已知是一次函數，且滿足，求的解析式.
變式2．（2024·全國·高一專題練習）（1）已知是二次函數，且滿足，，求解析式；
（2）已知，求的解析式.
（3）若對任意實數x，均有，求的解析式.
變式3．（2024·全國·高一專題練習）（1）已知是二次函數，且，，求的解析式；
（2）已知函數的定義域為（0，＋∞），且，求的解析式．
變式4．（2024·四川成都·高一校考開學考試）（1）已知函數，求；
（2）已知，求.
變式5．（2024·全國·高一專題練習）（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求函數的解析式；
（3）已知是二次函數，且滿足，，求函數的解析式；
（4）已知，求的解析式．
（5）已知是定義在R上的函數，，且對任意的實數x，y都有，求函數的解析式．
【方法技巧與總結】
函數解析式的求法
(1)待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數)，可用待定系數法．
(2)換元法：已知復合函數f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍．
(3)配湊法：由已知條件f(g(x))F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．　　
(4)解方程法：已知f(x)與f或f(－x)之間的關系式，可根據已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x).
(5)賦值法：根據抽象函數的解析式的特征，進行對變量賦特殊值.
【題型8：分段函數的問題】
例9．（江蘇省南通市2023-2024學年高一上學期10月質量監測數學試題）已知函數，則（ ）
A．8 B． C． D．
變式1．（2024·山西太原·高一校考階段練習）已知函數，則 ．
變式2．（2024·江蘇連云港·高一統考期中）已知函數，若，實數（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
變式3．（2024·寧夏銀川·高三銀川一中校考階段練習）已知，滿足，則的取值范圍是 ．
變式4.（2024·高一課時練習）已知函數若，則實數________，________．
變式5．（2024·高一課時練習）已知函數則使不成立的的值組成的集合為 .
變式6．【多選】（2024·全國·高一專題練習）已知函數，關于函數的結論正確的是（ ）
A．的定義域為 B．的值域為
C． D．若，則的值是2
變式7．（2024·甘肅酒泉·高一校考期中）已知函數
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)當時，求的值域．
變式8．（2024·江西宜春·高三校考階段練習）已知函數
(1)若，求實數的值；
(2)若，求實數的取值范圍.
【方法技巧與總結】
求分段函數的函數值
(1)分段函數求值，一定要注意所給自變量的值所在的范圍，代入相應的解析式求得．
(2)像本題中含有多層“f”的問題，要按照“由里到外”的順序，層層處理．
(3)已知函數值求相應的自變量值時，應在各段中分別求解．　
一、單選題
1．（23-24高一上·福建龍巖·階段練習）函數的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高三·北京·專題練習）下列四個圖形中，不是函數圖象的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二下·廣東深圳·期中）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習）對于函數，部分與的對應關系如下表：
則值為（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一下·全國·課堂例題）已知函數滿足，若，則（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
6．（22-23高一上·江蘇鎮江·期中）如圖所示，圓柱形水槽內放了一個圓柱形燒杯，向放在水槽底部的燒杯注水（流量一定），注滿燒杯后，繼續注水，直至注滿水槽，水槽中水面上升高度與注水時間之間的函數關系，大致是（ ）
B．
C．D．
7．（2024高三·北京·專題練習）下列各組中的兩個函數是同一函數的是（ ）
①，；②，；③，；④，．
A．①② B．②③ C．③ D．③④
8．（24-25高一上·廣東梅州·開學考試）已知函數的定義域是，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（21-22高一·全國·課后作業）如果某函數的定義域與其值域的交集是，則稱該函數為“交匯函數”．下列函數是“交匯函數”的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（23-24高一上·黑龍江齊齊哈爾·期中）若函數的值域為，則的可能取值為（ ）
A． B． C． D．0
11．（23-24高一上·山西·期中）已知一次函數滿足，則的解析式可能為（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
12．（23-24高一上·上海長寧·期末）已知，若，則 .
13．（2024·上海·高考真題）已知，求的的取值范圍 .
14．（24-25高一上·全國·單元測試）函數的值域是 ．
四、解答題
15．（2024高一·全國·專題練習）已知，求的表達式
16．（23-24高二下·陜西西安·期中）設．
(1)求的值；
(2)若，求t值.
17．（23-24高一上·天津·期末）函數，
(1)若的解集是或，求實數，的值；
(2)當時，若，求實數的值；
(3)，若，求的解集.
18．（24-25高三上·江蘇鹽城·開學考試）已知二次函數滿足，且圖像被軸截得的線段長度是.
(1)求的解析式；
(2)若，求的最大值.
19．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函數的值域：
(1)
(2)
(3)
20．（23-24高一上·貴州六盤水·期末）近年來，中美貿易摩擦不斷，特別是美國對我國華為的限制．盡管美國對華為極力封鎖，百般刁難，并不斷加大對各國的施壓，拉攏他們抵制華為，但這并沒有讓華為怯步．2023年8月30日，據華為官網披露，上半年華為營收3082.90億元，上年同期為2986.80億元，凈利潤為465.23億元，上年同期為146.29億元．為了進一步提升市場競爭力，再創新高，華為旗下某一子公司計劃在2024年利用新技術生產某款新手機．通過市場分析，2024年生產此款手機（單位：千部）需要投入兩項成本，其中固定成本為200萬元，其它成本為（單位：萬元），且假設每部手機售價0.65萬元，全年生產的手機當年能全部售完．
(1)寫出此款手機的年利潤（單位：萬元）關于年產量（單位：千部）的函數解析式；（利潤=銷售額-成本）
(2)根據（1）中模型預測2024年此款手機產量為多少（單位：千部）時，所獲利潤最大？最大利潤是多少？
21．（24-25高一上·全國·課后作業）已知函數，．
(1)作出，的圖像；
(2)對任意，用表示、中的較小者，記作，請用圖像法和解析法表示．
22．（23-24高三下·西藏拉薩·階段練習）設函數.
(1)若，求實數的取值范圍；
(2)當時，函數有兩個零點，且滿足，求實數的值.
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