資源簡介

3.1.2 函數的單調性
課程標準 學習目標
1、了解函數單調性的概念，會用定義判斷或證明函數的單調性 2、會借助圖像和定義求函數的單調區間 3、理解函數的最大(小)值及其幾何意義，并能借助圖像求函數的最大(小)值 4、會借助函數的單調性求最值 5、會根據函數的單調性求參數或解參數不等式 了解函數單調性的概念，理解函數的最大(小)值及其幾何意義 借助圖像求函數的單調區間和最值 判斷函數區間的單調性和求最值 函數最值在實際生活中的應用
知識點01 增函數、減函數的定義
條件 一般地，設函數yf(x)的定義域為D，且I D，如果對任意x1，x2∈I，當x1f(x1)f(x2)
結論 則稱yf(x)在I上是增函數(也稱在I上單調遞增) 則稱yf(x)在I上是減函數(也稱在I上單調遞減)
圖示 自左向右圖像逐漸上升 自左向右圖像逐漸下降
注：(1)“區間I D”說明函數的單調區間是其定義域的子集，不一定是定義域．
(2)x1，x2的三個特征：
①同區間性，即x1，x2∈I；
②任意性，即不可用區間I上的兩個特殊值代替x1，x2；
③有序性，即需要區分大小，通常規定x1(3)自變量的大小與函數值的大小關系：
①單調遞增：x1＜x2 f(x1)＜f(x2)，x1＞x2 f(x1)＞f(x2).
②單調遞減：x1＜x2 f(x1)＞f(x2)，x1＞x2 f(x1)＜f(x2).
即可以利用單調遞增、單調遞減的定義實現自變量的大小關系與函數值的大小關系的直接轉化．
(4)若f(x)在區間I上為增(減)函數，則函數f(x)的圖像在區間I上的對應部分自左向右逐漸上升(下降).
【即學即練1】（2024·高一課時練習）若函數的定義域為，且滿足，則函數在上（ ）
A．單調遞增 B．單調遞減 C．先增后減 D．不能確定
【答案】A
【解析】根據函數單調性的定義：
必須是給定區間上的任意兩個變量對應的函數值之間都相應恒有的大小關系.
∴由，幾個特殊函數值的大小關系，
不能判斷函數的單調性．
【即學即練2】（2024·高一課時練習）設函數在區間上有意義，任意兩個不相等的實數，下列各式中，能夠確定函數在區間上單調遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】函數在區間上單調遞增，
則任意兩個不相等的實數，與應該同號，
所以，.
知識點02單調性、單調區間、單調函數
如果一個函數在某個區間I上是增函數或是減函數，就說這個函數在這個區間I上具有單調性．區間I稱為函數的單調區間．
如果一個函數在其整個定義域內具有單調性，則稱此函數是單調函數．
注：(1)由于函數在單獨的一個x值處不存在單調性，因此寫單調區間時可以包括區間端點，也可以不包括，但單調區間一定不包括使函數無意義的x的值．
(2)一個函數出現兩個或者兩個以上的單調區間時，不能用“∪”連接，而應該用“和”或逗號連接．
【即學即練3】（2024·高一課時練習）如圖為的圖象，則它的單調遞減區間是 .
【答案】和
【分析】由單調性定義結合函數圖象進行求解.
【詳解】由單調性定義可得的單調遞減區間為和.
故答案為：和
知識點03函數的最大(小)值
名稱 定義 幾何意義
函數的 最大值 一般地，設函數f(x)的定義域為D，且x0∈D：如果對任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，則稱f(x)的最大值為f(x0)，而x0稱為f(x)的最大值點． 函數的最大值對應其圖像最高點的縱坐標．
函數的 最小值 一般地，設函數f(x)的定義域為D，且x0∈D：如果對任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，則稱f(x)的最小值為f(x0)，而x0稱為f(x)的最小值點． 函數的最小值對應其圖像最低點的縱坐標．
說明：　最大值和最小值統稱為最值，最大值點和最小值點統稱為最值點．
注：函數的最值和值域的聯系與區別
(1)聯系：函數的最值和值域反映的都是函數的整體性質，針對的是整個定義域．
(2)區別：
①函數的值域一定存在，而函數的最大(小)值不一定存在；
②若函數的最值存在，則最值一定是值域中的元素；
③若函數的值域是開區間(兩端點都取不到)，則函數無最值；若函數的值域是閉區間，則閉區間的端點值就是函數的最值．
【即學即練4】（2024·高二課時練習）已知，求函數在區間上的最大值與最小值．
【答案】最大值是8，最小值是
【分析】根據二次函數的性質即可求解.
【詳解】可知函數的圖象為開口向下的拋物線，對稱軸為，
比較，，，可知該函數在上的最大值是，最小值是，如圖所示．

知識點04 函數的平均變化率
（1）直線的斜率
一般地，給定平面直角坐標系中的任意兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，當x1≠x2時，稱
為直線AB的斜率；當x1x2時，稱直線AB的斜率不存在．
①直線AB的斜率反映了直線相對于x軸的傾斜程度．
②若記Δxx2－x1，相應的Δyy2－y1，則當Δx≠0時，斜率可記為k.
（2）平均變化率
一般地，當x1≠x2時，稱
為函數yf(x)在區間[x1，x2](x1＜x2時)或[x2，x1](x1＞x2時)上的平均變化率．
利用上述結論，我們可以證明一個函數的單調性．
①Δxx2－x1≠0，但Δx可以為正，也可以為負．
②注意自變量與函數值的對應關系，公式中，若Δxx2－x1，則Δyf(x2)－f(x1)；若Δxx1－x2，則Δyf(x1)－f(x2).
③平均變化率可正可負，也可為零．但是，若函數在某區間上的平均變化率為0，并不能說明該函數在此區間上的函數值都相等．比如，f(x)x2在區間[－2，2]上的平均變化率為0，但f(x)x2在[－2，2]上的圖像先下降后上升，值域是[0，4].
(4)平均變化率的幾何意義是函數yf(x)圖像上的兩點A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))連線所在直線的斜率．
(5)平均變化率是曲線陡峭程度的“數量化”，曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化”．利用平均變化率可以刻畫變量平均變化的趨勢和快慢程度，但效果是“粗糙不精確的”．只有當Δxx2－x1無限變小時，這種量化才由“粗糙”逼近“精確”．
難點：由函數的單調性求參數的取值范圍
示例：已知函數f(x)x2＋2(a－1)x＋2在區間(－∞，4]上是減函數，求實數a的取值范圍．
【解析】∵f(x)x2－2(1－a)x＋2[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，
∴f(x)的減區間是(－∞，1－a].
∵f(x)在(－∞，4]上是減函數，
∴對稱軸x1－a必須在直線x4的右側或與其重合．
∴1－a≥4，解得a≤－3.
故a的取值范圍為(－∞，－3].
【方法小結】“函數的單調區間為I”與“函數在區間I上單調”的區別
單調區間是一個整體概念，說函數的單調遞減區間是I，指的是函數遞減的最大范圍為區間I，而函數在某一區間上單調，則指此區間是相應單調區間的子區間．所以我們在解決函數的單調性問題時，一定要仔細讀題，明確條件含義．
【題型1：單調性的定義理解】
例1.（2024·全國·高一專題練習）若函數在上是增函數，對于任意的，（），則下列結論不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由函數的單調性定義知，
若函數在給定的區間上是增函數，則，與同號，
由此可知，選項A，B，D都正確.
若，則，故選項C不正確..
變式1.（2024·全國·高一專題練習）定義在上的函數對任意兩個不相等的實數，，總有，則必有（ ）
A．函數先增后減 B．函數是上的增函數
C．函數先減后增 D．函數是上的減函數
【答案】C
【解析】若，由得： 在上單調遞增
若，由得：在上單調遞增
綜上所述：在上是增函數
【題型2：利用函數圖象求單調區間】
例2．（2024·全國·高一專題練習）已知的圖象如圖所示，則該函數的單調增區間為（ ）
A． B．和
C． D．和
【答案】C
【分析】根據函數圖象直接確定遞增區間即可.
【詳解】由圖象知：該函數的單調增區間為和.
變式1.（2024·高一課時練習）已知函數的圖象如圖，網格中每個小正方形的邊長為1，則函數的單調遞增區間有 ；函數的單調遞減區間有 ．

【答案】 ， ，
【分析】利用定義結合函數圖象分析可得答案；
【詳解】由圖可知函數的單調遞增區間有，，
函數的單調遞減區間有，.
故答案為：，；，
變式2.（2024·高一課時練習）如圖是函數的圖象，則函數的減區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若函數在區間上單調遞減，則對應的函數圖象為從左到右下降的．
由圖象知，函數的圖象在，上分別是從左到右下降的，
則對應的減區間為，，．
變式3.（2024·高一課時練習）已知函數
(1)在直角坐標系內畫出的圖象；
(2)根據函數的圖象寫出函數的單調區間和值域．
【答案】(1)答案見解析
(2)單調遞增區間為，單調遞減區間為，值域為．
【分析】（1）根據分段函數中兩段函數的解析式，結合二次函數和一次函數的圖象特征，即可畫出函數的圖象；（2）根據圖象直接求函數的單調區間和值域.
【詳解】（1）圖象如圖所示：

（2）由圖可知的單調遞增區間為，單調遞減區間為，值域為．
變式4.（2024·全國·高一專題練習）函數單調減區間是 .
【答案】
【分析】畫出函數的圖像，從圖像上即可得結論.
【詳解】由，
如圖所示：
由圖可知函數單調減區間是：，
故答案為：.
變式5.（2024·遼寧大連·高三大連八中校考階段練習）函數的單調遞減區間是 .
【答案】和
【分析】對函數化簡后，作出函數的圖象，根據圖象可求得結果.
【詳解】當或時，，對稱軸為，
當時，，對稱軸為，
作出的圖象如圖所示，
由圖可知單調遞減區間為，
故答案為：和

變式6.（2024·全國·高一專題練習）已知函數
（1）把寫成分段函數；并在直角坐標系內畫出函數大致圖像；
（2）寫出函數的遞減區間．
【答案】（1），函數圖像見解析；（2）.
【解析】（1），
函數圖像如下圖所示：
（2）由（1）中函數的圖像可知：函數的遞減區間為：.
【方法技巧與總結】
圖像法求函數單調區間的步驟
(1)作圖：作出函數的圖像．
(2)結論：上升圖像對應單調遞增區間，下降圖像對應單調遞減區間．　
【題型3：函數的單調性判斷與證明】
例3．（2024·全國·高一課堂例題）證明：在區間上是單調遞增函數.
【答案】證明見解析.
【分析】利用函數的單調性的定義證明即可.
【詳解】設，且，
則，
因為，所以，，所以，
所以，即.
故在區間上是單調遞增函數.
變式1.（2024·全國·高一專題練習）已知函數.判斷函數在上的單調性，并證明；
【答案】函數在上單調遞減，理由見詳解
【分析】利用定義法即可證明函數的單調性.
【詳解】函數在上單調遞減；理由如下：
取，規定，
則，
因為，，
所以，
所以，
所以函數在上單調遞減.
變式2.（2024·全國·高一專題練習）設函數．用定義證明函數在區間上是單調減函數；
【答案】證明見解析；
【分析】根據定義法證明函數單調性的步驟即可求解.
【詳解】證明：
任取，因為
在上是單調減函數
變式3.（2024·貴州黔東南·高三校考階段練習）已知函數.
(1)求函數的定義域；
(2)用定義法證明：在上單調遞增；
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由函數有意義的條件，求函數的定義域；
（2），證明即可.
【詳解】（1）函數有意義，則，即，
所以函數的定義域為.
（2）任取，，
由，，得，即，
所以在上單調遞增.
變式4.（2024·江西宜春·高三校考開學考試）已知函數
(1)判斷并證明函數在區間上的單調性；
(2)求函數在區間上的值域．
【答案】(1)單調遞增，證明見解析；
(2)
【分析】（1）利用定義法得到函數的單調性；
（2）在（1）的基礎上得到，從而求出函數在上的值域.
【詳解】（1）在上單調遞增，理由如下：
，且，
則
，
因為，且，所以，
故，故，
所以函數在區間上的單調遞增；
（2）由（1）知在區間上的單調遞增，
所以，其中，
所以的值域為.
變式5.（2024·全國·高一專題練習）判斷函數在區間上的單調性，并用單調性的定義證明.
【答案】在區間上單調遞減，證明見解析
【分析】利用定義法證明，按照設元、作差、變形、判斷符號、下結論的步驟完成即可.
【詳解】在區間上單調遞減．
證明：設任意的且，
則．
∵，
∴，，，
∴，即，
∴在區間上單調遞減．
變式6.（2024·全國·高一專題練習）判斷并證明在的單調性.
【答案】函數在單調遞增
【解析】根據函數單調性的定義：
任取，所以
因為，所以，所以
所以原函數單調遞增。
變式7.（2024·全國·高一專題練習）已知，試判斷在區間上的單調性，并加以證明．
【答案】在區間上單調遞增，證明見解析；
【解析】在區間上單調遞增，
證明：設任意的、且，則
，
因為、且，
所以、、，，
所以，即，
所以在區間上單調遞增.
變式8.．（2024·全國·高一專題練習）已知函數f（x）對任意的實數x、y都有f（x＋y）f（x）＋f（y）－1，且當x>0時，f（x）>1.求證：函數f（x）在R上是增函數.
【答案】證明見解析
【分析】根據函數單調性定義，設，則，得證.
【詳解】設，則，
從而，即，
又，
即，
故f（x）在R上是增函數.
【方法技巧與總結】
1.利用定義證明函數單調性的步驟
注：作差變形是解題關鍵　　
2.利用定義證明函數的單調時，常用的變形技巧：
（1）因式分解：當原函數是多項式函數時，作差后的變形通常進行因式分解；
（2）當原函數是分式函數時，作差后往往進行通分，然后對分子進行因式分解；
（3）配方：當原函數是二次函數時，作差后可以考慮配方，便于判斷符號；
（4）分子有理化：當原函數是根式函數時，作差后往往考慮分子有理化。
【題型4：復合函數的單調性】
例4．【多選】（2024·全國·高一專題練習）已知是上的增函數，是上的偶函數，且在上單調遞減，則（ ）
A．在上單調遞增 B．在上單調遞減
C．在上單調遞增 D．在上單調遞減
【答案】AD
【分析】根據復合函數單調性的判斷方法，即可判斷選項.
【詳解】因為函數是上的偶函數，且在上單調遞減，
所以在區間上單調遞增，
根據復合函數單調性“同增異減”的判斷方法，
可知，在上單調遞增，故A正確，B錯誤；
在上單調遞減，故C錯誤，D正確.
D
變式1．（2024·山東泰安·高三統考階段練習）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出函數的定義域，再根據二次函數及復合函數的性質求解即可.
【詳解】由題意可得：，解得：，
即或，
根據二次函數及復合函數的性質可知，
的單調遞增區間為：.
.
變式2．（2024·全國·高一專題練習）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先求出函數的定義域，再根據復合函數的單調性的判斷法則：“同增異減”即可求解.
【詳解】令，解得的定義域為
在上遞增，在上遞減，函數在上為增函數
函數的單調增區間為
變式3．（2024·高一課時練習）函數的單調減區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求解函數的定義域，然后根據二次函數的性質判斷函數的增減區間即可；
【詳解】由函數有意義得，解得.
函數圖象的對稱軸為直線
在上單調遞增，在上單調遞減，
的單調遞減區間是.
.
變式4．（2024·安徽蕪湖·高一安徽省無為襄安中學校考期中）關于函數的結論正確的是（ ）
A．值域是 B．單調遞增區間是
C．值域是 D．單調遞增區間是
【答案】A
【分析】求出的定義域，根據在內的單調性與值域判斷的單調性與值域.
【詳解】因為有意義，所以，解得，即函數的定義域為，
函數，在上單調遞增，在上單調遞減，
根據復合函數的單調性可知在上單調遞增，在上單調遞減，故B錯誤，D正確；
在上有最大值4，最小值故的值域為，故A、C錯誤.
.
變式5.（2024·全國·高一專題練習）已知函數在上單調遞減，則函數的單調遞減區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由是復合函數，則根據復合函數同增異減原則來判斷單調區間即可．
【詳解】令，
則在上為減函數；在上為增函數，
又函數在上單調遞減，
則根據復合函數同增異減原則得的單調遞減區間為．
．
【題型5：由函數的單調性求參數的取值范圍】
例5．（2024·全國·高一專題練習）若函數在區間上是嚴格增函數，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】利用函數在區間上的單調性，結合定義法求實數的取值范圍，
【詳解】函數在區間上是嚴格增函數，則任取，都有，
即，
由，有，，所以，
由，則，即實數的取值范圍是.
故答案為：
變式1．（2024·江西·高三寧岡中學校考期中）已知函數在上單調遞減，則實數a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據分式函數的單調性求解即可.
【詳解】，故若函數在上單調遞減，則，即.
故答案為：
變式2.（2024·全國·高一專題練習）若在上單調遞減，則實數滿足 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】函數的圖象是開口向上，且以為對稱軸，則，解不等式即可得出答案.
【詳解】函數的圖象是開口向上，
且以為對稱軸，若在上單調遞減，
所以，解得：.
.
變式3.（2024·高一課時練習）已知函數.若函數在區間上單調，求實數a的取值范圍.
【答案】.
【分析】根據給定條件，利用二次函數單調性列式求解作答.
【詳解】函數的單調區間是，
因為函數在區間上單調，則有或，
即有或，解得或，
所以實數a的取值范圍是.
變式4.（2024·遼寧丹東·高一鳳城市第一中學校考期末）若函數在區間上是減函數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據二次函數的性質即可求解.
【詳解】已知是二次函數，其對稱軸為，開口向上，
要使得函數在區間上是減函數，
則必須，即，
所以實數的取值范圍是.
.
變式5.（2024·江蘇南京·高一校考期末）若函數在區間上為單調減函數，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據二次函數的開口方向，對稱軸方程，得到不等式，求出答案.
【詳解】開口向上，對稱軸為，
要想在區間上為單調減函數，則.
變式6.（2024·江蘇）若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】當時，函數在R上單調遞增，即在上遞增，則，
當時，函數是二次函數，
又在上單調遞增，由二次函數性質知，，
則有，解得，
所以實數的取值范圍是.
變式7.（2024·安徽亳州·高三蒙城第一中學校考階段練習）若函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據復合函數單調性求解即可.
【詳解】解：根據復合函數單調性可知，函數在區間上單調遞減,
因此可知對稱軸，且，
解得.
故答案為：
變式8.（2024·廣東惠州·高三統考階段練習）是函數在單調遞減的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】先化簡函數，可得函數的單調遞減區間為，進而結合充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】，
顯然函數的單調遞減區間為，
所以時，函數在單調遞減；
若函數在單調遞減，則，
所以是函數在單調遞減的充分不必要條件.
.
變式9.（2024·全國·高一專題練習）已知是上的增函數，那么的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據是R上的增函數，列出不等式組，解該不等式組即可得答案．
【詳解】因為函數是上的增函數，
所以，解得，
所以實數的取值范圍是，
.
變式10.【多選】（2024·海南海口·高一海口一中校考期中）已知函數是上的增函數，則a的值可以是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】CC
【分析】由二次函數的性質及分段函數的單調性即可得，即可得解.
【詳解】由題意，函數的圖象開口朝下，對稱軸為，
因為函數是上的增函數，
所以，解得.
所以實數的取值可以是，.
C.
變式11.（2024·湖北鄂州·高一校聯考期中）若函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】要求分段函數每一段上均單調遞增，且分段處，右端函數值大于等于左端函數值，從而得到不等式組，求出實數的取值范圍.
【詳解】根據題意得，解得，
所以實數的取值范圍是.
故答案為：
變式12.（2024·湖北）若函數，在R上單調遞增，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意得，解得．
變式13．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯考期中）函數在R上單調遞減，則實數a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】由分段函數單調性列不等式組求解.
【詳解】當時，
，根據其是由函數向右平移1個單位再向上平移1個單位得到，
則在上單調遞減，
由題意得，解得，則的取值范圍為.
故答案為：.
【題型6：利用單調性解不等式】
例6．（2024·高一課時練習）已知為上的減函數，則滿足的實數的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根據函數的單調性得到，從而得到，即可求解.
【詳解】因為為上的減函數，
所以由，得：，
即，即，解得：，
所以實數的取值范圍為，
.
變式1.（2024·高一課時練習）已知函數是上的增函數，且對一切x∈R都不成立，則實數a的取值范圍是________.
【答案】
【解析】由于是上的增函數，，
所以，即對任意恒不成立.
，所以，
所以的取值范圍是.
變式2.（2024·山西太原·高一校考階段練習）已知函數為定義在上的增函數，且，求a的取值范圍．
【答案】
【分析】結合定義域與單調性求解即可.
【詳解】由題意，，解得，
又函數為定義在上的增函數，且，
則，解得，
故a的取值范圍為.
變式3.（2024·高一課時練習）已知函數的定義域，，且，．若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意得是定義在上的增函數，
由，得解得．
所以的取值范圍為，選項A正確，.
變式4.（2024·全國·高一專題練習）已知是定義在上的增函數，且，則滿足的x的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據函數的單調性進行求解即可.
【詳解】因為，所以由，
因為是定義在上的增函數，
所以有，
變式5.（2024·全國·高一專題練習）已知函數，．
(1)判斷函數的單調性，并利用定義證明；
(2)若，求實數m的取值范圍．
【答案】(1)在上單調遞增；證明見解析
(2)．
【分析】（1）由單調性的定義直接證明即可；
（2）結合單調性構造關于m的不等式求解．
【詳解】（1）證明：，，
任取，可知，
因為，所以，，，
所以，即，
故在上單調遞增；
（2）由（1）知：在上單調遞增，
所以，可得，解得
故實數m的范圍是．
變式6.（2024·高一單元測試）已知函數，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據二次函數圖象與性質得到函數在上單調遞減，從而得到，即可求解.
【詳解】由題意得：當時，，
則函數在上單調遞減，且
當時，，則函數在上單調遞減，
且，
所以函數在上是減函數，
又，
所以，解得：，
實數的取值范圍是.
.
變式7.（2024·江蘇連云港·高一統考期中）已知定義在上的函數，對任意的，，若，都有不成立，若，則滿足不等式的的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】構造函數，根據可知在上單調遞增，根據單調性解不等式.
【詳解】由，得，
又，
設函數，
則在上單調遞增，
又，即，
所以，
即，解得，
故答案為：.
變式8.（2024·高一單元測試）定義在上的函數滿足，且，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，不妨設，
故，即，
令，則，
故在上單調遞減，，
不等式兩邊同除以得：，
因為，所以，即，
根據在上單調遞減，故，
綜上：
【題型7：利用單調性比較大小】
例7．（2024·全國·高一專題練習）若函數在上是減函數，則與的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由為減函數可得，再利用函數為減函數可得結論.
【詳解】因為函數在上是減函數，
所以，得，
因為在上是減函數，所以，
變式1.（2024·全國·高一專題練習）已知是函數的增區間，則下列結論不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據單調性的定義判斷即可.
【詳解】因為是函數的增區間，所以，故A正確；
由于無法確定、的取值情況，故無法判斷的符號，故B、C、D錯誤；
變式2.（2024·全國·高一專題練習）已知函數是區間內的減函數，則與的大小關系為（　　）
A． B．
C． D．不確定
【答案】C
【分析】由已知結合二次函數的性質及函數的單調性即可比較大小．
【詳解】因為，
又是區間內的減函數，
所以.
．
變式3.【多選】（2024·高一課時練習）（多選）設函數在上為減函數，則（ ）
A．
B．
C．
D．
E．
【答案】CE
【分析】取特殊值，可判斷ACD選項；利用作差法比較和、和的大小，進而結合函數單調性即可判斷BE選項.
【詳解】由題意，函數在上為減函數.
當時，，，，
則，，，故ACD錯誤；
對于B，因為，所以，
所以，故B正確；
對于E，因為，所以，故E正確.
E.
變式4.（2024·全國·高一專題練習）已知函數在上是遞減函數，且，則有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據單調性求解.
【詳解】是減函數，，；
.
變式5.（2024·全國·高一專題練習）已知函數，若，則，，的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題目中式子結構，構造函數，
函數在上單調遞增，
所以..
【題型8：圖像法求函數的最值】
例8．（2024·寧夏銀川·高三寧夏育才中學校考階段練習）給定函數.

(1)在同一坐標系中畫出函數的圖像，
(2)若表示中的較小者，例如.記.
（i）請分別用圖像法和解析法表示函數，并指出函數的單調區間，
（ii）當時，求的最大值和最小值
【答案】(1)答案見解析
(2)（i），圖象答案見解析，的單調遞增區間為和，的單調遞減區間為；（ii），
【分析】（1）根據解析式直接畫一次函數和二次函數的圖象即可，
（2）（i）結合（1）作出的圖象求解即可，（ii）結合圖象求出，比較可求出其最值.
【詳解】（1）函數，圖象如下：

（2）（i）由，得，解得或，
則由題意可知：，
的圖象如下：
由圖象可知：的單調遞增區間為和；
的單調遞減區間為；

（ii）因為，結合圖象可知在上連續，
且，，
，，
所以，，
變式1.（2024·河南洛陽·高一統考期中）給定函數，，．，用表示，中的最小者，記為．
(1)請用圖象法和解析法表示函數；
(2)根據圖象說出函數的單調區間及在每個單調區間上的單調性，并求此時函數的最大值和最小值．
【答案】(1)答案見解析；
(2)答案見解析.
【分析】（1）求得的交點坐標，根據的定義，將其寫成分段函數即可，再根據常見函數的圖象，畫圖即可；
（2）數形結合，即可求得單調區間，結合函數單調性和區間端點處的函數值，即可求得最值.
【詳解】（1）令，即，解得，或．
根據題意，
故其函數圖象如下所示：
.
（2）數形結合可知，函數的單調區間是；
函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．
由，，，知，
當時，取得最大值，最大值為8，
當時，取得最小值，最小值為-1．
【方法技巧與總結】
圖像法求最值的一般步驟
【題型9：利用單調性求函數的最大(小)值】
例9.（2024·高一課時練習）求函數在上的最大值與最小值．
【答案】最小值為4，最大值為5.
【分析】根據函數單調性的定義即可求解單調性，由單調性即可求解最值.
【詳解】設，
則，
又因為，所以，
當時，，則，
所以，故在上是減函數．
當時，，則，
所以，
所以在上是增函，故的最小值為,
又因為，
所以的最大值為5.
變式1.（2024·全國·高一專題練習）已知
(1)函數的值域；
(2)用定義證明在區間上是增函數；
(3)求函數在區間上的最大值與最小值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)最大值，最小值
【分析】（1）對函數化簡變形后利用分式的性質可求得答案，
（2）任取，，且，然后作差變形，判斷符號，從而可證得結論，
（3）由在上遞增，可求得其最值.
【詳解】（1）由題意，函數，
因為，所以，
所以的值域為．
（2）任取，，且，
則，
，
，，
，
即，
故函數在區間上是增函數．
（3）由知函數在區間上是增函數，
，．
變式2.（2024·全國·高一專題練習）已知二次函數，，的最大值為16；
(1)求函數的解析式；
(2)求函數在區間的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意可設，結合進而可得的解析式；
（2）由（1）知，對稱軸為，分情況討論對稱軸和區間的關系即可求解.
【詳解】（1）由已知函數是二次函數，且，
∴函數圖象的對稱軸為，
又的最大值為16，設，
又，
∴．
∴；
（2）由（1）知，圖象的對稱軸為，開口朝下，
若，則在上是減函數，最大值；
若，即，則在上是增函數，；
若，即，則；
綜上所述，當時，；
當時，；
當時，．
【方法技巧與總結】
1.利用單調性求函數的最大(小)值的一般步驟
(1)判斷函數的單調性．
(2)利用單調性求出最大(小)值．
2.函數的最大(小)值與單調性的關系
(1)若函數f(x)在區間[a，b]上是增(減)函數，則f(x)在區間[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b).
(2)若函數f(x)在區間[a，b]上是增(減)函數，在區間[b，c]上是減(增)函數，則f(x)在區間[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)與f(c)中較小(大)的那一個．
【題型10：根據函數的最值求參數】
例10.（2024·全國·高一專題練習）二次函數的最大值是3，則（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】根據題意得到，然后再根據二次函數的最大值可求出的值．
【詳解】因為二次函數有最大值，
所以．
又二次函數的最大值為，
由題意得或，
因為，所以
.
變式1．（2024·全國·高一專題練習）已知函數在閉區間上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據題意結合二次函數的性質運算求解.
【詳解】因為，可知開口向上，對稱軸為，
則在上單調遞減，在上單調遞增，
又因為，且在閉區間有最大值3，最小值2，
所以.
.
變式2.（2023春·浙江嘉興·高二校考期中）函數的最大值為負值，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C．或 D．a＞4
【答案】C
【分析】根據二次函數的性質即得.
【詳解】∵的二次項系數為，
∴函數圖象開口向下，
∵函數的最大值為負值，
∴，
∴.
．
變式3.（2024·全國·高一專題練習）函數在時有最大值為，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式求出，得出函數的最大值為，從而求出和的值．
【詳解】解：因為時，，當且僅當，即時取“”，
所以函數，解得，，
所以．
．
變式4.（2024·廣東茂名·高三校考階段練習）若二次函數的圖象的對稱軸為，最小值為，且．
(1)求的解析式；
(2)若關于x的不等式在區間上恒不成立，求實數m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據已知條件列方程組來求得，也即求得.
（2）由分離常數，進而求得的取值范圍.
【詳解】（1）由為二次函數，可設
∵圖象的對稱軸為，最小值為-1，且，
∴，∴，
∴．
（2）∵，即在上恒不成立，
又∵當時，有最小值0，
∴，
∴實數m的取值范圍為．
變式5.（2024·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中學校考階段練習）已知函數.
(1)判斷函數在的單調性，并用定義證明.
(2)若時函數的最大值與最小值的差為，求的值.
【答案】(1)函數在上單調遞增，證明見解析
(2)
【分析】（1）利用定義法按照設元、作差、變形、判斷符號、下結論的步驟完成即可；
（2）由（1）知函數在上單調遞增，則最大值為，最小值為，即可得到方程，解得即可.
【詳解】（1）函數在上單調遞增，證明如下：
任取，且，
因為，
則，
因為，所以，，，
所以，即，所以函數在上單調遞增.
（2）由（1）知函數在上單調遞增，
所以函數的最大值為，最小值為，
所以，即，解得.
【題型11：函數不等式恒不成立、能不成立問題】
例11．（2023春·江蘇南京·高二南京市中華中學校考階段練習）條件，，則的一個必要不充分條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】對于命題，由參變量分離法可得，求出函數在上的最大值，可得出實數的取值范圍，再利用必要不充分條件的定義可得出合適的選項.
【詳解】若，使得，則，可得，則，
因為函數在上單調遞減，在上單調遞增，
且，
故當時，，即，
所以，的一個必要不充分條件是.
.
變式1.（2024·天津寧河·高一天津市寧河區蘆臺第一中學校考階段練習），使得不等式不成立，則的范圍是 .
【答案】
【分析】，使得不等式，其中，即可得答案.
【詳解】，使得不等式，其中.
又，當且僅當時取等號，即.
故答案為：.
變式2.（2024·廣東東莞·高一東莞市東莞中學松山湖學校校考階段練習）設，當時，恒不成立，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】結合二次函數的圖象，列出不等式組，解之即可求解.
【詳解】由題意知，當時恒不成立，如圖，
則有，即，
解得或，
即實數a的取值范圍為.
故答案為：.
變式3.（2024·四川樂山·高一校考階段練習）設命題，不等式恒不成立；命題，使得不等式不成立.
(1)若p為真命題，求實數m的取值范圍；
(2)若命題有且只有一個是真命題，求實數m的取值范圍.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）將問題轉化為恒不成立，解不等式即可；
（2）分類討論結合集合的關系計算即可.
【詳解】（1），由題意可知，解得；
（2）當為真命題時，對于二次函數，其圖象對稱軸為，在區間上有，則，
故，不成立等價于，
即，
若命題真假，結合（1）可知且，故，
若命題真假，結合（1）可知且，故，
綜上，.
變式4.（2024·廣東惠州·高三統考階段練習）若二次函數對任意都滿足且最小值為-1，．
(1)求的解析式；
(2)若關于的不等式在區間上恒不成立，求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）法一：可設，由得到，結合二次函數的最小值和，求出，求出答案；
法二：可設，由得到圖象的對稱軸，求出，結合二次函數的最小值和，求出，求出答案；
（2）轉化為在上恒不成立，求出的最小值大于即可，求出的單調性，進而求出的最小值，從而得到實數的取值范圍.
【詳解】（1）法一：由為二次函數，可設，
∵，則代入得，
化簡：，
因為其對任意都不成立，所以，
即．
又因為最小值為-1，且，
∴，解得，
∴；
法二：由為二次函數，可設，
∵函數滿足，
∴圖象的對稱軸為，即，
最小值為-1，且，
∴，∴
∴；
（2）∵，即在上恒不成立，
即滿足函數的最小值大于．
又∵當時，對稱軸為，
故在單調遞減，單調遞增．
∴在的最小值在取得，
即
∴，
故的取值范圍是.
變式5.（2023春·遼寧朝陽·高二建平縣實驗中學校考階段練習）函數.
(1)若當時，恒不成立，求實數a的取值范圍；
(2)若存在，使不成立，求實數a的取值范圍；
(3)若當時，恒不成立，求實數x的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）將問題轉化為恒不成立的問題，然后根據判別式即可得到答案；
（2）由題意可轉化為在上有解，構造函數，然后對參數分類討論，利用二次函數的圖像和性質使即可得到答案；
（3）令，在時，有恒不成立，由此列出不等式組，即可得到答案.
【詳解】（1）∵當時，恒不成立，
需，即，
解得，
∴實數a的取值范圍是.
（2）由題意可轉化為在上有解，
令，當時，需，
函數圖象的對稱軸方程為，且拋物線的開口向上，
當時，，解得，
當時，，解得，
綜上可得，滿足條件的實數a的取值范圍是.
（3）令，可知函數的圖象為一條直線，
當時，有恒不成立，
只需，即，
解得或.
所以實數x的取值范圍是.
變式6.（2024·云南曲靖·高一校考階段練習）已知函數．
(1)判斷并且證明函數在上的單調性；
(2)當時，恒不成立，求的取值范圍．
【答案】(1)在上單調遞減，證明見解析
(2)
【分析】（1）利用定義法按照設元、作差、變形、判斷符號、下結論的步驟完成即可；
（2）由及（1）中函數的單調性，求出的取值范圍，即可得解.
【詳解】（1）函數在上單調遞減．
證明如下：設任意的且，
，
，所以，，，
，
在上單調遞減．
（2）由（1）可知在上單調遞減，
且，，
當時且當時，所以且當時，
又當時，恒不成立，
所以.
一、單選題
1．（23-24高一上·吉林·階段練習）如果函數在區間上單調遞增.那么實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據二次函數的開口方向和對稱軸得到不等式，求出答案.
【詳解】開口向上，對稱軸為，
要想函數在區間上單調遞增，則需，解得，
故實數的取值范圍是
2．（22-23高一下·吉林長春·開學考試）已知函數滿足對任意實數，都有不成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意可知函數在R上遞減，結合分段函數單調性列式求解即可.
【詳解】因為函數滿足對任意實數，都有 不成立，
不妨假設，則，可得，即，
可知函數在R上遞減，
則，解得：，
所以的取值范圍是.
.
3．（2025·四川巴中·模擬預測）設函數；若，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】作出函數圖象，判斷函數單調性，結合解一元二次不等式，即得答案.
【詳解】作出函數的圖象，如圖：

可知函數在R上為單調遞增函數，
故由可得，即，
解得或，
即實數a的取值范圍是,
4．（22-23高一上·江蘇鎮江·期中）已知函數，下列結論正確的是（ ）
A．函數的減區間
B．函數在上單調遞減
C．函數在上單調遞增
D．函數的增區間是
【答案】D
【分析】利用圖象的變換知識作出的圖象，可得單調區間，進而可得答案.
【詳解】由，作出函數的圖象，
利用圖象的變換可得，如圖所示：
所以函數在和上單調遞減，在和上單調遞增.
.
5．（24-25高三上·四川瀘州·開學考試）已知分段函數在區間上單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】通過分段函數的單調性，結合區間，轉化求解的取值范圍即可.
【詳解】分段函數的圖象如下：

函數的單調增區間為：，，
所以分段函數在區間上單調遞增，
則或，解得：或，
6．（24-25高三上·山東青島·開學考試）設，若是的最小值，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據分段函數的最值，結合二次函數和基本不等式，二次不等式求解.
【詳解】由于，當，，由于是的最小值，
則為減區間，即有，則恒不成立.
由，當且僅當時取等號，所以 ，解得.
綜上，a的取值范圍為.
.
7．（2024高一上·江蘇·專題練習）對于中的任意，不等式恒不成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】法一：由題意，可以采用分離參數法．，分，，，結合進行討論并求解不等即可得．
法二：構造函數法，構造關于的函數，，即，對于中的任意恒不成立，從而求解不等式組即可得．
【詳解】法一：由題意，恒不成立，
等價于，
當時，即，，則恒不成立，
，，解得：，
當時，即時，不等式不不成立，
當時，即，，則，
，，解得：，
綜上所述：的取值范圍是或；
法二：由，即，
令函數，
，即，對于中的任意恒不成立，
則有且，即，解得或，
所以的取值范圍是或.
．
8．（2024高一上·江蘇·專題練習）設函數，，若對任意的，存在，使得，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意可得函數的值域的值域為函數的值域的子集，計算出函數的值域后，分、及計算出函數的值域，再借助子集定義計算即可得.
【詳解】由題意可得函數的值域的值域為函數的值域的子集，
當時，，即的值域為，
若，則，即的值域為，而，符合要求；
若，則由一次函數的性質可得，
則有，解得，又，故；
若，則由一次函數的性質可得，
則有，解得，又，故；
綜上所述，.
.
二、多選題
9．（23-24高一下·全國·隨堂練習）如圖是函數的圖象，則下列說法正確的是（ ）
A．在上單調遞減
B．在上單調遞增
C．在區間上的最大值為3，最小值為
D．在上有最大值3，有最小值
【答案】CD
【分析】根據函數圖象，結合函數的基本性質，逐項判斷，即可得出結果．
【詳解】對于A，B選項，由函數圖象可得，在和上單調遞減，在上單調遞增，故A錯誤，B正確；
對于C選項，由圖象可得，函數在區間上的最大值為，無最小值，故C錯誤；
對于D選項，由圖象可得，函數在上有最大值，有最小值，故D正確；
D．
10．（2024高三·全國·專題練習）若二次函數在區間上的最大值為6，則a等于（ ）
A． B． C． D．5
【答案】CC
【分析】對實數的取值進行分類討論，分析函數在區間上單調性，結合可求得實數的值.
【詳解】由題意可知：，
當時，二次函數圖象的對稱軸為直線，
所以，函數在上單調遞減，在上單調遞增，
且，
所以，，解得，合乎題意；
當時，二次函數圖象的對稱軸為直線，
所以，函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，，解得，合乎題意.
C.
11．（2024高三·全國·專題練習）已知函數在上的最大值比最小值大，則的值可以是（ ）
A．4 B．12 C． D．
【答案】AD
【分析】根據對勾函數的單調性，對進行分類討論，從而得到的可能取值.
【詳解】依題意可得在上單調遞減，在上單調遞增，
當，即時在上單調遞增，所以，
，
所以，解得；
當，即時，在上單調遞減，所以，
，
所以，解得，不符合題意，故舍去；
當，即時在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，，
若且，即，，
所以，解得或，兩個解均舍去；
若且，即，，
所以，解得或（舍去）；
綜上可得或.
D
12．（24-25高一上·江西上饒·開學考試）下列說法能判斷函數在區間上單調遞增有（ ）
A．對于任意的，當時，都有恒不成立；
B．對于任意的，都有恒不成立；
C．存在，使得不成立；
D．對于任意的，都有恒不成立，并且對于任意的，都有也恒不成立
【答案】AB
【分析】對于AB：根據函數單調性的定義分析判斷；對于CD：舉反例說明即可.
【詳解】對于選項A：由題意可得當時，都有恒不成立，
所以函數在區間上單調遞增，故A正確；
對于選項B：因為，且時，恒不成立，
可得或恒不成立，
即或恒不成立，
所以函數在上是增函數，故B正確；
對于選項C：不能，例如時，
，且，
但函數在上不是單調遞增的，而是先減后增，故C錯誤；
對于選項D：由選項B可知：在內單調遞增，
例如如圖：

滿足在內單調遞增，但在內不單調，故D錯誤；
B.
三、填空題
13．（24-25高三上·江蘇南通·開學考試）對于實數a，b，定義新運算：設函數，當時，函數的值域為 ．
【答案】
【分析】先分、去掉的絕對值，再作差判斷的范圍，進而得到的解析式，進而求值域.
【詳解】當時,,
則，
令,，
則,對稱軸為，開口向下，
所以在上單調遞減，此時
所以，
此時
當時,,
則，
令，
則,對稱軸為，開口向上，
所以在上單調遞增，
此時，
所以,
此時；
終上所述，.
故答案為：.
14．（2024高一·全國·專題練習）已知函數，若時不等式恒不成立，則實數a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】將不等式在上恒不成立，轉化為在上恒不成立，求出函數在 上的最小值即可求出的取值范圍.
【詳解】，由可得，
，整理得，，
不等式在上恒不成立，
在上恒不成立，即在上恒不成立，
設，，
根據對勾函數性質易得函數在上單調遞減，在上單調遞增，
故
，即的取值范圍是.
故答案為：.
15．（2024高一上·江蘇·專題練習）已知函數是定義在上的單調函數，且對都有，則 .
【答案】
【分析】根據函數的單調性進行換元、列方程，從而求得的解析式.
【詳解】因為函數是定義在上的單調函數，所以為一個常數.
令，則，且，
所以，即，解得：.
故.
故答案為：
16．（24-25高三上·甘肅白銀·階段練習）記為，，中最小的數.設，，則中的最大值為 .
【答案】
【分析】設，由題意知可得，，結合，即可求得答案.
【詳解】設，由題意知，，，
則，，則，
由，得，當且僅當時取等號.
故答案為：
17．（24-25高三上·內蒙古包頭·開學考試）俄國數學家切比雪夫是研究直線逼近函數理論的先驅．對定義在非空集合I上的函數，以及函數，切比雪夫將函數，的最大值稱為函數與的“偏差”．若，，則函數與的“偏差”取得最小值時，m的值為 ．
【答案】
【分析】結合所給條件，可得函數與的“偏差”為，結合絕對值不等式，求出即可得.
【詳解】令，
令，
因為，所以，，
由，則，
令，即，解得，
則，
故當且僅當時，有.
故函數與的“偏差”取得最小值時，m的值為.
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點在于結合題意得到，從而可得出取最小值時，的值.
四、解答題
18．（23-24高一上·黑龍江大慶·階段練習）已知函數.
(1)證明:函數在區間上單調遞減;
(2)當時，求函數的值域.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）利用函數單調性定義，推理論證即可.
（2）利用（1）的結論，利用單調性求出函數值域.
【詳解】（1）函數，，
則，
當時，，則，即，
所以函數在區間上單調遞減.
（2）由（1）知，函數在上單調遞減，則，
而，所以函數的值域為.
19．（22-23高一上·廣東惠州·階段練習）已知二次函數.
(1)當時，若在上的值域為，求m的取值范圍；
(2)求在上的最小值的解析式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）結合二次函數的對稱軸及端點值，即可求解參數范圍.
（2）根據對稱軸與區間的位置關系分類討論求解最小值即可.
【詳解】（1）當時，，所以，
又因為，，
所以在上的值域為時，；
（2）由題意可知，的對稱軸為，且圖象開口向上，
①當時，在上單調遞增，
故；
②當時，在上單調遞減，在上單調遞增，
故；
③當時，在上單調遞減，
故．
綜上所述，．
20．（24-25高二上·四川南充·開學考試）定義在上的函數滿足，且，有，且，，則不等式的解集為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根據以及求出，再根據函數的單調性以及定義域即可求解.
【詳解】解：
，
即，
，
，可轉化為：，
即，
即，
滿足，且，有，
在上單調遞增，
即 ，
解得：，
即不等式的解集為：.
.
21．（24-25高三上·四川成都·開學考試）已知函數.
(1)若，求不等式的解集；
(2)若，對，使得不成立，求的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析；
(2).
【分析】（1）利用分類討論的思想求解含有參數的不等式的解集.
（2）利用函數的思想構造函數，借助二次函數分類討論求函數的值域，進而列出不等式組求解即得.
【詳解】（1）令，解得或，
①當時，，不等式的解集為，
②當時，，不等式的解集為，
③當時，，不等式的解集為，
所以當時，不等式的解集為，
當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為.
（2）由，得，
令，依題意，，取值集合包含于，
而，當，即時，在上單調遞增，則，無解；
當，即時，則，解得，
所以實數的取值范圍是.
22．（24-25高一上·湖南邵陽·開學考試）已知定義在上的函數滿足：①；②，均有，函數，若曲線與恰有一個交點且交點橫坐標為1，令.
(1)求實數的值及；
(2)判斷函數在區間上的單調性，不用說明理由；
(3)已知，且，證明：.
【答案】(1)，
(2)在上單調遞增，在上單調遞減
(3)證明見解析
【分析】（1）根據題意，令和，得到，再由二次函數的性質，求得，得到，進而得到的解析式；
（2）根據題意，利用函數單調性的定義和判定方法，即可求解；
（3）由，化簡得到，結合基本不等式，即可得證.
【詳解】（1）解：由，均有且，
令，可得，
令，可得.
因為曲線與恰有一個交點且交點橫坐標為，所以，
又因為曲線與恰有一個交點，所以有兩個相等的實數根，
則，
因為，可得，解得，
所以，則.
（2）函數在上單調遞增，在上單調遞減.
設且，
則
，
其中
當時，，則，即，
此時函數在上單調遞增；
當時，，則，即，
此時函數在上單調遞減，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減.
（3）證明：因為，
由，可得，即，
所以，整理得，
又因為，由基本不等式，可得.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)3.1.2 函數的單調性
課程標準 學習目標
1、了解函數單調性的概念，會用定義判斷或證明函數的單調性 2、會借助圖像和定義求函數的單調區間 3、理解函數的最大(小)值及其幾何意義，并能借助圖像求函數的最大(小)值 4、會借助函數的單調性求最值 5、會根據函數的單調性求參數或解參數不等式 了解函數單調性的概念，理解函數的最大(小)值及其幾何意義 借助圖像求函數的單調區間和最值 判斷函數區間的單調性和求最值 函數最值在實際生活中的應用
知識點01 增函數、減函數的定義
條件 一般地，設函數yf(x)的定義域為D，且I D，如果對任意x1，x2∈I，當x1f(x1)f(x2)
結論 則稱yf(x)在I上是增函數(也稱在I上單調遞增) 則稱yf(x)在I上是減函數(也稱在I上單調遞減)
圖示 自左向右圖像逐漸上升 自左向右圖像逐漸下降
注：(1)“區間I D”說明函數的單調區間是其定義域的子集，不一定是定義域．
(2)x1，x2的三個特征：
①同區間性，即x1，x2∈I；
②任意性，即不可用區間I上的兩個特殊值代替x1，x2；
③有序性，即需要區分大小，通常規定x1(3)自變量的大小與函數值的大小關系：
①單調遞增：x1＜x2 f(x1)＜f(x2)，x1＞x2 f(x1)＞f(x2).
②單調遞減：x1＜x2 f(x1)＞f(x2)，x1＞x2 f(x1)＜f(x2).
即可以利用單調遞增、單調遞減的定義實現自變量的大小關系與函數值的大小關系的直接轉化．
(4)若f(x)在區間I上為增(減)函數，則函數f(x)的圖像在區間I上的對應部分自左向右逐漸上升(下降).
【即學即練1】（2024·高一課時練習）若函數的定義域為，且滿足，則函數在上（ ）
A．單調遞增 B．單調遞減 C．先增后減 D．不能確定
【即學即練2】（2024·高一課時練習）設函數在區間上有意義，任意兩個不相等的實數，下列各式中，能夠確定函數在區間上單調遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
知識點02單調性、單調區間、單調函數
如果一個函數在某個區間I上是增函數或是減函數，就說這個函數在這個區間I上具有單調性．區間I稱為函數的單調區間．
如果一個函數在其整個定義域內具有單調性，則稱此函數是單調函數．
注：(1)由于函數在單獨的一個x值處不存在單調性，因此寫單調區間時可以包括區間端點，也可以不包括，但單調區間一定不包括使函數無意義的x的值．
(2)一個函數出現兩個或者兩個以上的單調區間時，不能用“∪”連接，而應該用“和”或逗號連接．
【即學即練3】（2024·高一課時練習）如圖為的圖象，則它的單調遞減區間是 .
知識點03函數的最大(小)值
名稱 定義 幾何意義
函數的 最大值 一般地，設函數f(x)的定義域為D，且x0∈D：如果對任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，則稱f(x)的最大值為f(x0)，而x0稱為f(x)的最大值點． 函數的最大值對應其圖像最高點的縱坐標．
函數的 最小值 一般地，設函數f(x)的定義域為D，且x0∈D：如果對任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，則稱f(x)的最小值為f(x0)，而x0稱為f(x)的最小值點． 函數的最小值對應其圖像最低點的縱坐標．
說明：　最大值和最小值統稱為最值，最大值點和最小值點統稱為最值點．
注：函數的最值和值域的聯系與區別
(1)聯系：函數的最值和值域反映的都是函數的整體性質，針對的是整個定義域．
(2)區別：
①函數的值域一定存在，而函數的最大(小)值不一定存在；
②若函數的最值存在，則最值一定是值域中的元素；
③若函數的值域是開區間(兩端點都取不到)，則函數無最值；若函數的值域是閉區間，則閉區間的端點值就是函數的最值．
【即學即練4】（2024·高二課時練習）已知，求函數在區間上的最大值與最小值．
知識點04 函數的平均變化率
（1）直線的斜率
一般地，給定平面直角坐標系中的任意兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，當x1≠x2時，稱
為直線AB的斜率；當x1x2時，稱直線AB的斜率不存在．
①直線AB的斜率反映了直線相對于x軸的傾斜程度．
②若記Δxx2－x1，相應的Δyy2－y1，則當Δx≠0時，斜率可記為k.
（2）平均變化率
一般地，當x1≠x2時，稱
為函數yf(x)在區間[x1，x2](x1＜x2時)或[x2，x1](x1＞x2時)上的平均變化率．
利用上述結論，我們可以證明一個函數的單調性．
①Δxx2－x1≠0，但Δx可以為正，也可以為負．
②注意自變量與函數值的對應關系，公式中，若Δxx2－x1，則Δyf(x2)－f(x1)；若Δxx1－x2，則Δyf(x1)－f(x2).
③平均變化率可正可負，也可為零．但是，若函數在某區間上的平均變化率為0，并不能說明該函數在此區間上的函數值都相等．比如，f(x)x2在區間[－2，2]上的平均變化率為0，但f(x)x2在[－2，2]上的圖像先下降后上升，值域是[0，4].
(4)平均變化率的幾何意義是函數yf(x)圖像上的兩點A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))連線所在直線的斜率．
(5)平均變化率是曲線陡峭程度的“數量化”，曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化”．利用平均變化率可以刻畫變量平均變化的趨勢和快慢程度，但效果是“粗糙不精確的”．只有當Δxx2－x1無限變小時，這種量化才由“粗糙”逼近“精確”．
難點：由函數的單調性求參數的取值范圍
示例：已知函數f(x)x2＋2(a－1)x＋2在區間(－∞，4]上是減函數，求實數a的取值范圍．
【題型1：單調性的定義理解】
例1.（2024·全國·高一專題練習）若函數在上是增函數，對于任意的，（），則下列結論不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
變式1.（2024·全國·高一專題練習）定義在上的函數對任意兩個不相等的實數，，總有，則必有（ ）
A．函數先增后減 B．函數是上的增函數
C．函數先減后增 D．函數是上的減函數
【題型2：利用函數圖象求單調區間】
例2．（2024·全國·高一專題練習）已知的圖象如圖所示，則該函數的單調增區間為（ ）
A． B．和
C． D．和
變式1.（2024·高一課時練習）已知函數的圖象如圖，網格中每個小正方形的邊長為1，則函數的單調遞增區間有 ；函數的單調遞減區間有 ．

變式2.（2024·高一課時練習）如圖是函數的圖象，則函數的減區間是（ ）
A． B． C． D．
變式3.（2024·高一課時練習）已知函數
(1)在直角坐標系內畫出的圖象；
(2)根據函數的圖象寫出函數的單調區間和值域．
變式4.（2024·全國·高一專題練習）函數單調減區間是 .
變式5.（2024·遼寧大連·高三大連八中校考階段練習）函數的單調遞減區間是 .
變式6.（2024·全國·高一專題練習）已知函數
（1）把寫成分段函數；并在直角坐標系內畫出函數大致圖像；
（2）寫出函數的遞減區間．
【方法技巧與總結】
圖像法求函數單調區間的步驟
(1)作圖：作出函數的圖像．
(2)結論：上升圖像對應單調遞增區間，下降圖像對應單調遞減區間．　
【題型3：函數的單調性判斷與證明】
例3．（2024·全國·高一課堂例題）證明：在區間上是單調遞增函數.
變式1.（2024·全國·高一專題練習）已知函數.判斷函數在上的單調性，并證明；
變式2.（2024·全國·高一專題練習）設函數．用定義證明函數在區間上是單調減函數；
變式3.（2024·貴州黔東南·高三校考階段練習）已知函數.
(1)求函數的定義域；
(2)用定義法證明：在上單調遞增；
變式4.（2024·江西宜春·高三校考開學考試）已知函數
(1)判斷并證明函數在區間上的單調性；
(2)求函數在區間上的值域．
變式5.（2024·全國·高一專題練習）判斷函數在區間上的單調性，并用單調性的定義證明.
變式6.（2024·全國·高一專題練習）判斷并證明在的單調性.
變式7.（2024·全國·高一專題練習）已知，試判斷在區間上的單調性，并加以證明．
變式8.．（2024·全國·高一專題練習）已知函數f（x）對任意的實數x、y都有f（x＋y）f（x）＋f（y）－1，且當x>0時，f（x）>1.求證：函數f（x）在R上是增函數.
【方法技巧與總結】
1.利用定義證明函數單調性的步驟
注：作差變形是解題關鍵　　
2.利用定義證明函數的單調時，常用的變形技巧：
（1）因式分解：當原函數是多項式函數時，作差后的變形通常進行因式分解；
（2）當原函數是分式函數時，作差后往往進行通分，然后對分子進行因式分解；
（3）配方：當原函數是二次函數時，作差后可以考慮配方，便于判斷符號；
（4）分子有理化：當原函數是根式函數時，作差后往往考慮分子有理化。
【題型4：復合函數的單調性】
例4．【多選】（2024·全國·高一專題練習）已知是上的增函數，是上的偶函數，且在上單調遞減，則（ ）
A．在上單調遞增 B．在上單調遞減
C．在上單調遞增 D．在上單調遞減
變式1．（2024·山東泰安·高三統考階段練習）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2024·全國·高一專題練習）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
變式3．（2024·高一課時練習）函數的單調減區間是（ ）
A． B． C． D．
變式4．（2024·安徽蕪湖·高一安徽省無為襄安中學校考期中）關于函數的結論正確的是（ ）
A．值域是 B．單調遞增區間是
C．值域是 D．單調遞增區間是
變式5.（2024·全國·高一專題練習）已知函數在上單調遞減，則函數的單調遞減區間是（ ）
A． B． C． D．
【題型5：由函數的單調性求參數的取值范圍】
例5．（2024·全國·高一專題練習）若函數在區間上是嚴格增函數，則實數的取值范圍是 .
變式1．（2024·江西·高三寧岡中學校考期中）已知函數在上單調遞減，則實數a的取值范圍是 .
變式2.（2024·全國·高一專題練習）若在上單調遞減，則實數滿足 （ ）
A． B． C． D．
變式3.（2024·高一課時練習）已知函數.若函數在區間上單調，求實數a的取值范圍.
變式4.（2024·遼寧丹東·高一鳳城市第一中學校考期末）若函數在區間上是減函數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式5.（2024·江蘇南京·高一校考期末）若函數在區間上為單調減函數，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
變式6.（2024·江蘇）若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是__________.
變式7.（2024·安徽亳州·高三蒙城第一中學校考階段練習）若函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍為 .
變式8.（2024·廣東惠州·高三統考階段練習）是函數在單調遞減的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要
變式9.（2024·全國·高一專題練習）已知是上的增函數，那么的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式10.【多選】（2024·海南海口·高一海口一中校考期中）已知函數是上的增函數，則a的值可以是（ ）
A． B． C． D．1
變式11.（2024·湖北鄂州·高一校聯考期中）若函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是 .
變式12.（2024·湖北）若函數，在R上單調遞增，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
變式13．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯考期中）函數在R上單調遞減，則實數a的取值范圍是 .
【題型6：利用單調性解不等式】
例6．（2024·高一課時練習）已知為上的減函數，則滿足的實數的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．
變式1.（2024·高一課時練習）已知函數是上的增函數，且對一切x∈R都不成立，則實數a的取值范圍是________.
變式2.（2024·山西太原·高一校考階段練習）已知函數為定義在上的增函數，且，求a的取值范圍．
變式3.（2024·高一課時練習）已知函數的定義域，，且，．若，則的取值范圍是（ ）A． B． C． D．
變式4.（2024·全國·高一專題練習）已知是定義在上的增函數，且，則滿足的x的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
變式5.（2024·全國·高一專題練習）已知函數，．
(1)判斷函數的單調性，并利用定義證明；
(2)若，求實數m的取值范圍．
變式6.（2024·高一單元測試）已知函數，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式7.（2024·江蘇連云港·高一統考期中）已知定義在上的函數，對任意的，，若，都有不成立，若，則滿足不等式的的取值范圍是 ．
變式8.（2024·高一單元測試）定義在上的函數滿足，且，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【題型7：利用單調性比較大小】
例7．（2024·全國·高一專題練習）若函數在上是減函數，則與的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
變式1.（2024·全國·高一專題練習）已知是函數的增區間，則下列結論不成立的是（ ）
A． B． C． D．
變式2.（2024·全國·高一專題練習）已知函數是區間內的減函數，則與的大小關系為（　　）
A． B．
C． D．不確定
變式3.【多選】（2024·高一課時練習）（多選）設函數在上為減函數，則（ ）
A．
B．
C．
D．
E．
變式4.（2024·全國·高一專題練習）已知函數在上是遞減函數，且，則有（ ）
A． B．
C． D．
變式5.（2024·全國·高一專題練習）已知函數，若，則，，的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【題型8：圖像法求函數的最值】
例8．（2024·寧夏銀川·高三寧夏育才中學校考階段練習）給定函數.

(1)在同一坐標系中畫出函數的圖像，
(2)若表示中的較小者，例如.記.
（i）請分別用圖像法和解析法表示函數，并指出函數的單調區間，
（ii）當時，求的最大值和最小值
變式1.（2024·河南洛陽·高一統考期中）給定函數，，．，用表示，中的最小者，記為．
(1)請用圖象法和解析法表示函數；
(2)根據圖象說出函數的單調區間及在每個單調區間上的單調性，并求此時函數的最大值和最小值．
【方法技巧與總結】
圖像法求最值的一般步驟
【題型9：利用單調性求函數的最大(小)值】
例9.（2024·高一課時練習）求函數在上的最大值與最小值．
變式1.（2024·全國·高一專題練習）已知
(1)函數的值域；
(2)用定義證明在區間上是增函數；
(3)求函數在區間上的最大值與最小值．
變式2.（2024·全國·高一專題練習）已知二次函數，，的最大值為16；
(1)求函數的解析式；
(2)求函數在區間的最大值.
【方法技巧與總結】
1.利用單調性求函數的最大(小)值的一般步驟
(1)判斷函數的單調性．
(2)利用單調性求出最大(小)值．
2.函數的最大(小)值與單調性的關系
(1)若函數f(x)在區間[a，b]上是增(減)函數，則f(x)在區間[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b).
(2)若函數f(x)在區間[a，b]上是增(減)函數，在區間[b，c]上是減(增)函數，則f(x)在區間[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)與f(c)中較小(大)的那一個．
【題型10：根據函數的最值求參數】
例10.（2024·全國·高一專題練習）二次函數的最大值是3，則（ ）
A． B．1 C． D．
變式1．（2024·全國·高一專題練習）已知函數在閉區間上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式2.（2023春·浙江嘉興·高二校考期中）函數的最大值為負值，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C．或 D．a＞4
變式3.（2024·全國·高一專題練習）函數在時有最大值為，則的值為（ ）
A． B． C． D．
變式4.（2024·廣東茂名·高三校考階段練習）若二次函數的圖象的對稱軸為，最小值為，且．
(1)求的解析式；
(2)若關于x的不等式在區間上恒不成立，求實數m的取值范圍．
變式5.（2024·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中學校考階段練習）已知函數.
(1)判斷函數在的單調性，并用定義證明.
(2)若時函數的最大值與最小值的差為，求的值.
【題型11：函數不等式恒不成立、能不成立問題】
例11．（2023春·江蘇南京·高二南京市中華中學校考階段練習）條件，，則的一個必要不充分條件是（ ）
A． B． C． D．
變式1.（2024·天津寧河·高一天津市寧河區蘆臺第一中學校考階段練習），使得不等式不成立，則的范圍是 .
變式2.（2024·廣東東莞·高一東莞市東莞中學松山湖學校校考階段練習）設，當時，恒不成立，則的取值范圍是 .
變式3.（2024·四川樂山·高一校考階段練習）設命題，不等式恒不成立；命題，使得不等式不成立.
(1)若p為真命題，求實數m的取值范圍；
(2)若命題有且只有一個是真命題，求實數m的取值范圍.
變式4.（2024·廣東惠州·高三統考階段練習）若二次函數對任意都滿足且最小值為-1，．
(1)求的解析式；
(2)若關于的不等式在區間上恒不成立，求實數的取值范圍．
變式5.（2023春·遼寧朝陽·高二建平縣實驗中學校考階段練習）函數.
(1)若當時，恒不成立，求實數a的取值范圍；
(2)若存在，使不成立，求實數a的取值范圍；
(3)若當時，恒不成立，求實數x的取值范圍.
變式6.（2024·云南曲靖·高一校考階段練習）已知函數．
(1)判斷并且證明函數在上的單調性；
(2)當時，恒不成立，求的取值范圍．
一、單選題
1．（23-24高一上·吉林·階段練習）如果函數在區間上單調遞增.那么實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高一下·吉林長春·開學考試）已知函數滿足對任意實數，都有不成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·四川巴中·模擬預測）設函數；若，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
4．（22-23高一上·江蘇鎮江·期中）已知函數，下列結論正確的是（ ）
A．函數的減區間
B．函數在上單調遞減
C．函數在上單調遞增
D．函數的增區間是
5．（24-25高三上·四川瀘州·開學考試）已知分段函數在區間上單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·山東青島·開學考試）設，若是的最小值，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·江蘇·專題練習）對于中的任意，不等式恒不成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．或
8．（2024高一上·江蘇·專題練習）設函數，，若對任意的，存在，使得，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（23-24高一下·全國·隨堂練習）如圖是函數的圖象，則下列說法正確的是（ ）
A．在上單調遞減
B．在上單調遞增
C．在區間上的最大值為3，最小值為
D．在上有最大值3，有最小值
10．（2024高三·全國·專題練習）若二次函數在區間上的最大值為6，則a等于（ ）
A． B． C． D．5
11．（2024高三·全國·專題練習）已知函數在上的最大值比最小值大，則的值可以是（ ）
A．4 B．12 C． D．
12．（24-25高一上·江西上饒·開學考試）下列說法能判斷函數在區間上單調遞增有（ ）
A．對于任意的，當時，都有恒不成立；
B．對于任意的，都有恒不成立；
C．存在，使得不成立；
D．對于任意的，都有恒不成立，并且對于任意的，都有也恒不成立
三、填空題
13．（24-25高三上·江蘇南通·開學考試）對于實數a，b，定義新運算：設函數，當時，函數的值域為 ．
14．（2024高一·全國·專題練習）已知函數，若時不等式恒不成立，則實數a的取值范圍是 .
15．（2024高一上·江蘇·專題練習）已知函數是定義在上的單調函數，且對都有，則 .
16．（24-25高三上·甘肅白銀·階段練習）記為，，中最小的數.設，，則中的最大值為 .
17．（24-25高三上·內蒙古包頭·開學考試）俄國數學家切比雪夫是研究直線逼近函數理論的先驅．對定義在非空集合I上的函數，以及函數，切比雪夫將函數，的最大值稱為函數與的“偏差”．若，，則函數與的“偏差”取得最小值時，m的值為 ．
四、解答題
18．（23-24高一上·黑龍江大慶·階段練習）已知函數.
(1)證明:函數在區間上單調遞減;
(2)當時，求函數的值域.
19．（22-23高一上·廣東惠州·階段練習）已知二次函數.
(1)當時，若在上的值域為，求m的取值范圍；
(2)求在上的最小值的解析式.
20．（24-25高二上·四川南充·開學考試）定義在上的函數滿足，且，有，且，，則不等式的解集為（ ）.
A． B． C． D．
21．（24-25高三上·四川成都·開學考試）已知函數.
(1)若，求不等式的解集；
(2)若，對，使得不成立，求的取值范圍.
22．（24-25高一上·湖南邵陽·開學考試）已知定義在上的函數滿足：①；②，均有，函數，若曲線與恰有一個交點且交點橫坐標為1，令.
(1)求實數的值及；
(2)判斷函數在區間上的單調性，不用說明理由；
(3)已知，且，證明：.
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