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第三章 排列、組合與二項式定理章末測試
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：170分）
注意事項：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．
2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．
第Ⅰ卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共80分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24高二下·廣東肇慶·階段練習）（ ）
A．24 B．80 C．48 D．72
2．（23-24高二下·廣東中山·期末）用數字，，，，，組成的有重復數字的三位數且是偶數的個數為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·湖南益陽·期末）已知，那么的值為（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二下·福建南平·期末）將分別標有數字1，2，3，4，5的五個小球放入A，B，C三個盒子，每個小球只能放入一個盒子，每個盒子至少放一個小球．若標有數字1和2的小球不放入同一個盒子，則不同方法有（ ）
A．72種 B．42種 C．114種 D．36種
5．（23-24高二下·山東菏澤·期末）若能被25整除，則正整數的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（23-24高二下·山西呂梁·期末）若的展開式中常數項是20，則（ ）
A．-2 B．-3 C．2 D．3
7．（23-24高二下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）2024年第二屆貴州“村超”總決賽階段的比賽正式拉開帷幕某校足球社的6名學生準備分成三組前往村超球隊所在的平地村 口寨村 忠誠村3個村寨進行調研，每個村各有一組來調研，每個組至多3名學生，則不同的安排方法種數為（ ）
A．900 B．800 C．470 D．170
8．（23-24高二下·江蘇泰州·期末）已知的展開式中，僅有第5項的二項式系數最大，則展開式中系數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．（24-25高二上·福建龍巖·期中）傳承紅色文化，宣揚愛國精神，湖洋中學國旗隊在高一年級招收新成員，現(xiàn)有小明、小紅、小華等7名同學加入方陣參加訓練，則下列說法正確的是（ ）
A．7名同學站成一排，小明、小紅、小華必須按從左到右的順序站位，則不同的站法種數為840
B．7名同學站成一排，小明、小紅兩人相鄰，則不同的排法種數為720
C．7名同學站成一排，小明、小紅兩人不相鄰，則不同的排法種數為480
D．7名同學分成三組（每組至少有兩人），進行三種不同的訓練，則有630種不同的訓練方法
10．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知展開式的二項式系數和為，，下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高二下·江蘇揚州·期中）“楊輝三角”是中國數學史上的一個偉大成就，激發(fā)起一批又一批數學愛好者的探究欲望．如圖，由“楊輝三角”，下列敘述正確的是（ ）

A．
B．第2023行中從左往右第1013個數與第1014個數相等
C．記第n行的第i個數為，則
D．第20行中第8個數與第9個數之比為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（23-24高二下·河北石家莊·期末）的展開式中的系數為 ．（用數字作答）
13．（23-24高二下·重慶·期末）如圖，為我國數學家趙爽驗證勾股定理的示意圖，用五種顏色（其中一種為黃色）對圖中四個區(qū)域進行染色，每個區(qū)域只能用一種染色.若必須使用黃色，則四個區(qū)域中有且只有一組相鄰區(qū)域同色的染色方法有 種；若不使用黃色，則四個區(qū)域中所有相鄰區(qū)域都不同色的染色方法有 種.
14．（23-24高二下·上海寶山·期末）設集合A是由所有滿足下面條件的有序實數組構成的：每一個元素等于0、1、中之一，其中，2，3，4，5.那么集合A中滿足條件“”的元素個數為 .
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）（23-24高二下·北京豐臺·期末）2024年春節(jié)期間，全國各大影院熱映《第二十條》、《飛馳人生2》、《熱辣滾燙》、《．逆轉時空》4部優(yōu)秀的影片．現(xiàn)有4名同學，每人選擇這4部影片中的1部觀看．
(1)如果這4名同學選擇觀看的影片均不相同，那么共有多少種不同的選擇方法？
(2)如果這4名同學中的甲、乙2名同學分別選擇觀看影片《第二十條》、《飛馳人生2》，那么共有多少種不同的選擇方法？
(3)如果這4名同學中恰有2名同學選擇觀看同一部影片，那么共有多少種不同的選擇方法？
16．（15分）（23-24高二下·新疆克孜勒蘇·期末）已知（其中）的展開式中前3項的二項式系數之和等于16.
(1)求的值；
(2)若展開式中的系數為，求實數的值.
17．（15分）（23-24高二下·河北邢臺·期末）達活泉月季園位于河北省邢臺市達活泉公園東部，占地面積4700平方米，共收集6大類23個月季品種萬株，是集觀光、科普、研究、展示及繁育等多種功能于一體的花卉展園．某天，甲游客計劃按照一定的先后順序去該月季園觀賞北京紅、紅從容、黃從容、醉紅顏、白佳人、金鳳凰這6種月季花，且甲第一個觀賞的不是北京紅．
(1)求甲不同的觀賞方案數；
(2)若甲上午和下午均觀賞3種月季花，且觀賞紅從容和黃從容的時間一個在上午，一個在下午，求甲不同的觀賞方案數．
18．（17分）（23-24高二下·河南信陽·期末）已知5名同學站成一排，要求甲站在正中間，乙與丙相鄰，記滿足條件的所有不同的排列種數為.
(1)求的值；
(2)設，
①求的值；
②求奇次項的系數和.
19．（17分）（23-24高二下·黑龍江齊齊哈爾·期末）萊布尼茨（德國數學家）三角（如圖1所示）是與楊輝（南宋數學家）三角數陣（如圖2所示）相似的一種幾何排列，但與楊輝三角不同的是，萊布尼茨三角每個三角形數組頂端的數等于底邊兩數之和. 現(xiàn)記萊布尼茨三角第1行的第2個數字為，第2行的第2個數字為，第行的第2個數字為.
(1)求的值；
(2)將楊輝三角中的每一個數都換成就得到了萊布尼茨三角.我們知道楊輝三角的最基本的性質，也是二項式系數和組合數性質，請你類比這個性質寫出萊布尼茨三角的性質，并證明你的結論.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第三章 排列、組合與二項式定理章末測試
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：170分）
注意事項：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．
2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．
第Ⅰ卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共80分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24高二下·廣東肇慶·階段練習）（ ）
A．24 B．80 C．48 D．72
【答案】A
【分析】根據組合數以及排列數的計算即可求解.
【詳解】,
2．（23-24高二下·廣東中山·期末）用數字，，，，，組成的有重復數字的三位數且是偶數的個數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】組成有重復數字的三位數，且是偶數,按個位是和不是進行分類; 個位不是時要注意選中的數有和不是情況求解.
【詳解】由題意可知，這三位數是偶數，則說明其個位數為偶數，即0，2，4，有3種選擇，
而由于這是一個三位數，所以百位數不能是0，有5種選擇，因為存在重復數字，由此分類討論:
①當個位數為0時，則百位數有5種選擇，十位數有兩種情況，
與百位數一樣，只有一種選擇，
與個位數一樣，也只有一種選擇;
②當個位數為2時，
如果百位數為2，則十位數有6種選擇，
如果百位數不為2，則百位數有4種選擇，此時十位數可以與百位數或個位數相同，有2種選擇:
當個位數為4時，
如果百位數為4，則十位數有6種選擇，
如果百位數不為4，則百位數有4種選擇，十位數可以與百位數或個位數相同，有2種選擇
綜上所述，.
.
3．（23-24高二下·湖南益陽·期末）已知，那么的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令可得，令可得，即可求出，，再利用展開式的通項求出，即可求出，從而得解.
【詳解】因為，
令可得，
令可得，
所以，，
又，
其中展開式的通項為（且），
所以，
所以，
所以.
4．（23-24高二下·福建南平·期末）將分別標有數字1，2，3，4，5的五個小球放入A，B，C三個盒子，每個小球只能放入一個盒子，每個盒子至少放一個小球．若標有數字1和2的小球不放入同一個盒子，則不同方法有（ ）
A．72種 B．42種 C．114種 D．36種
【答案】D
【分析】可先將小球分組去掉1和2在一組的分法，再將三組小球放入三個盒子中即可.
【詳解】5個不同的小球，先分成3組，可分為1,1,3,或者是1,2,2，
共種，
將每一種分法放到3個盒子中，共有種不同方法，
根據分步乘法計數原理得：種.
.
5．（23-24高二下·山東菏澤·期末）若能被25整除，則正整數的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】利用二項式定理展開，并對討論即可得到答案
【詳解】因為能被25整除，
所以當時，，此時，，
當時，；
當時，
，
因此只需能夠被整除即可，可知最小正整數的值為，
綜上所述，正整數的最小值為，
6．（23-24高二下·山西呂梁·期末）若的展開式中常數項是20，則（ ）
A．-2 B．-3 C．2 D．3
【答案】A
【分析】由，寫出展開式的通項，從而得到展開式中常數項，即可得解.
【詳解】，
的展開式的通項公式為，
令，解得，則的展開式的常數項為；
令，解得，則的展開式的常數項為，
因為的展開式中常數項是20，所以，解得.
.
7．（23-24高二下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）2024年第二屆貴州“村超”總決賽階段的比賽正式拉開帷幕某校足球社的6名學生準備分成三組前往村超球隊所在的平地村 口寨村 忠誠村3個村寨進行調研，每個村各有一組來調研，每個組至多3名學生，則不同的安排方法種數為（ ）
A．900 B．800 C．470 D．170
【答案】D
【分析】按1，2，3或2，2，2將6人分成三組，再把分成的三組分到3個村寨即可.
【詳解】由題意可知6個人分成三組且每組最多3名學生，
所以可以分成1，2，3或2，2，2兩類，
當6人分成1，2，3三組，有種分法，
當6人分成2，2，2三組，有種分法，
所以不同的安排方法種數為種，
8．（23-24高二下·江蘇泰州·期末）已知的展開式中，僅有第5項的二項式系數最大，則展開式中系數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由的展開式中，僅有第5項的二項式系數最大，得到，從而求出展開式中系數的最小值.
【詳解】因為的展開式中，僅有第5項的二項式系數最大，所以，
所以展開式的通項公式為，要使展開式中系數的最小值，則為奇數，取值為1，3，5，7，所以當或5時，系數最小，則展開式中系數的最小值為，
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．（24-25高二上·福建龍巖·期中）傳承紅色文化，宣揚愛國精神，湖洋中學國旗隊在高一年級招收新成員，現(xiàn)有小明、小紅、小華等7名同學加入方陣參加訓練，則下列說法正確的是（ ）
A．7名同學站成一排，小明、小紅、小華必須按從左到右的順序站位，則不同的站法種數為840
B．7名同學站成一排，小明、小紅兩人相鄰，則不同的排法種數為720
C．7名同學站成一排，小明、小紅兩人不相鄰，則不同的排法種數為480
D．7名同學分成三組（每組至少有兩人），進行三種不同的訓練，則有630種不同的訓練方法
【答案】AD
【分析】A先從7個位置中選3個排小明等3人，隨后排列剩下4人，可得排法總數；
B將小明，小紅兩人捆綁為1人，隨后與剩下5人一起排列，可得排法總數；
C先排剩下5人，隨后將小明小紅排進5人的空隙中，可得排法總數；
D先將7人按2+2+3形式分為3組，再給每組安排訓練，可得安排總數.
【詳解】A選項，先從7個位置中選3個排小明等3人，有種方法，
隨后排列剩下4人，有種方法，則共有種方法，故A正確；
B選項，將小明，小紅兩人捆綁為1人，有2種排列方法，隨后與剩下5人一起排列，
有種方法，則共有種方法，故B錯誤；
C選項，先排剩下5人，有種方法，再將小明小紅排進5人產生的6個空隙中，
有種方法，則共有種方法，故C錯誤；
D選項，由題分組情況為2人的2組，3人的一組，則有種方法，
隨后安排訓練，有種方法，則共有種方法，故D正確.
D
10．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知展開式的二項式系數和為，，下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CCD
【分析】先用題目條件得到，然后取特殊值即可驗證A，對表達式求導即可驗證B，換元并使用二項式定理即可驗證C，考查每一項系數的符號并取特殊值即可驗證D．
【詳解】由已知有，故，．
所以．
對于A，取得，取得，
所以，A錯誤；
對于B，對求導得，
取得，B正確；
對于C，，
后一項即為余數1，C正確．
對于D，由有．
在中取得，
所以，D正確．
CD．
11．（23-24高二下·江蘇揚州·期中）“楊輝三角”是中國數學史上的一個偉大成就，激發(fā)起一批又一批數學愛好者的探究欲望．如圖，由“楊輝三角”，下列敘述正確的是（ ）

A．
B．第2023行中從左往右第1013個數與第1014個數相等
C．記第n行的第i個數為，則
D．第20行中第8個數與第9個數之比為
【答案】DD
【分析】利用圖象及二項式系數計算可得A，利用組合數性質可判定B，利用二項式定理可判定C，利用組合數的計算可判定D.
【詳解】由圖象可知為第行第三個數，
所以，故A錯誤；
易知第n行的第i個數為，
則第2023行中從左往右第1013個數與第1014個數分別為，
由組合數的性質知，故B錯誤；
易知，所以
，故C正確；
第20行中第8個數與第9個數之比為，故D正確.
D
【點睛】思路點睛：利用二項式系數與“楊輝三角”的關系結合組合數的性質與運算法則一一判定選項即可.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（23-24高二下·河北石家莊·期末）的展開式中的系數為 ．（用數字作答）
【答案】80
【分析】利用二項式定理可得的展開式通項，令即可求解．
【詳解】，
的展開式通項為，，
因為的展開式每一項次數為，且展開式每一項次數為，
所以展開式中不含，
令，則，
所以的展開式中的系數為，
故答案為：80．
13．（23-24高二下·重慶·期末）如圖，為我國數學家趙爽驗證勾股定理的示意圖，用五種顏色（其中一種為黃色）對圖中四個區(qū)域進行染色，每個區(qū)域只能用一種染色.若必須使用黃色，則四個區(qū)域中有且只有一組相鄰區(qū)域同色的染色方法有 種；若不使用黃色，則四個區(qū)域中所有相鄰區(qū)域都不同色的染色方法有 種.
【答案】
【分析】按同色區(qū)域用黃色和不用黃色分類，再結合分步乘法計數原理列式計算即得；按用色多少分成3類，再在每一類中采用先取后排的方法列式計算即得.
【詳解】根據題意，要求四個區(qū)域中有且只有一組相鄰區(qū)域同色，而同色的相鄰區(qū)域共有4種，不妨假設為同色，
①若同時染黃色，則另外兩個區(qū)域共有種染色方法，因此這種情況共有種染色方法；
②若同時染的不是黃色，則它們的染色有4種，另外兩個區(qū)域一個必須染黃色，
所以這兩個區(qū)域共有，因此這種情況共有種染色方法，
綜上可知有且只有一組相鄰區(qū)域同色的染色方法的種數為種；
根據題意，因為不用黃色，則只有四種顏色可選，分3種情況討論：
①若一共使用了四種顏色，則共有種染色方法；
②若只使用了三種顏色，則必有一種顏色使用了兩次，且染在相對的區(qū)域，所以一共有種染色方法；
③若只使用了兩種顏色，則兩種顏色都使用了兩次，且各自染在一組相對區(qū)域，所以共有種染色方法，
綜上可知所有相鄰區(qū)域都不同色的染色方法的種數為84種.
故答案為：；
【點睛】思路點睛：染色問題，可以按用色多少分類，再在每一類中找同色方案，并結合排列組合綜合問題求解.
14．（23-24高二下·上海寶山·期末）設集合A是由所有滿足下面條件的有序實數組構成的：每一個元素等于0、1、中之一，其中，2，3，4，5.那么集合A中滿足條件“”的元素個數為 .
【答案】130
【分析】從條件入手，由于只能取0或1，因此5個數值的有2個0，3個0，或4個0，討論這三種情況，即可求解.
【詳解】因為，，集合中元素滿足條件，
由于只能取0或1，因此5個數值中有2個0，3個0或4個0的三種情況，
①中有2個取值為0，另外3個從中取，共有方法數：，
②中有3個取值為0，另外2個從中取，共有方法數：，
③中有4個取值為0，另外1個從中取，共有方法數：，
所以總共方法數為，
即集合中滿足條件的元素個數有個.
故答案為：130
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）（23-24高二下·北京豐臺·期末）2024年春節(jié)期間，全國各大影院熱映《第二十條》、《飛馳人生2》、《熱辣滾燙》、《．逆轉時空》4部優(yōu)秀的影片．現(xiàn)有4名同學，每人選擇這4部影片中的1部觀看．
(1)如果這4名同學選擇觀看的影片均不相同，那么共有多少種不同的選擇方法？
(2)如果這4名同學中的甲、乙2名同學分別選擇觀看影片《第二十條》、《飛馳人生2》，那么共有多少種不同的選擇方法？
(3)如果這4名同學中恰有2名同學選擇觀看同一部影片，那么共有多少種不同的選擇方法？
【答案】(1)24；
(2)16；
(3)144.
【分析】（1）直接全排列可得；
（2）另外2人觀影4部電影，用乘法原理計算可得；
（3）先選2人觀看同一部電影，然后再安排另外2人觀看其余的3部電影．
【詳解】（1）因為4名同學觀看的影片均不相同，
所以不同的選擇方法共有種．
（2）因為甲、乙2名同學選擇觀看的影片已確定，
所以不同的選擇方法共有種．
（3）因為恰有2名同學選擇觀看同一部影片，
所以不同的選擇方法共有種．
16．（15分）（23-24高二下·新疆克孜勒蘇·期末）已知（其中）的展開式中前3項的二項式系數之和等于16.
(1)求的值；
(2)若展開式中的系數為，求實數的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）直接利用已知列出關于的等式，求解即可；
（2）利用（1）的結論，寫出展開式的通項，得到關于的等式，求解即可.
【詳解】（1），
解得或（舍），
故的值為5.
（2）由（1）可知，展開式的通項為
當時，，則為含的項，
所以，又因為，解得.
故實數的值為2.
17．（15分）（23-24高二下·河北邢臺·期末）達活泉月季園位于河北省邢臺市達活泉公園東部，占地面積4700平方米，共收集6大類23個月季品種萬株，是集觀光、科普、研究、展示及繁育等多種功能于一體的花卉展園．某天，甲游客計劃按照一定的先后順序去該月季園觀賞北京紅、紅從容、黃從容、醉紅顏、白佳人、金鳳凰這6種月季花，且甲第一個觀賞的不是北京紅．
(1)求甲不同的觀賞方案數；
(2)若甲上午和下午均觀賞3種月季花，且觀賞紅從容和黃從容的時間一個在上午，一個在下午，求甲不同的觀賞方案數．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據甲第一個觀賞的不是北京紅，則甲第一個觀賞的是剩余5個中的其中一個，再將剩余5種月季花全排列，根據分步乘法原理可求得結果；
（2）根據題意分兩種情況：當黃從容在上午觀賞時，紅從容只能在下午觀賞，另一種是當紅從容在上午觀賞時，黃從容只能在下午觀賞，然后根據分類加法原理求解.
【詳解】（1）甲第一個觀賞的不是北京紅，則甲第一個觀賞的是剩余5個中的其中一個，有種，
剩下5種月季花甲依次的方案有種，
所以由分步乘法原理可知甲不同的觀賞方案數為種．
（2）當黃從容在上午第一個觀賞時，紅從容地下午觀賞，其余4種月季花在上午和下午可以任意選擇，
所以方案有種，
當黃從容在上午第二或第三個觀賞時，則上午第一個需從醉紅顏、白佳人和金鳳凰選一個，紅從容在下午觀賞，
其余3種月季花在上午和下午可以任選擇，所以方案有，
所以由分類加法原理可知，上午安排黃從容，下午安排紅從容的方案數為種，
同理當紅從容在上午觀賞，黃從容在下午觀賞時，也有180種，
所以甲不同的觀賞方案數為種.
18．（17分）（23-24高二下·河南信陽·期末）已知5名同學站成一排，要求甲站在正中間，乙與丙相鄰，記滿足條件的所有不同的排列種數為.
(1)求的值；
(2)設，
①求的值；
②求奇次項的系數和.
【答案】(1)8
(2)①255，②（也正確）
【分析】（1）首先排甲，再將乙丙安排再甲的左右兩位置中的一個，按照分步乘法計數原理計算可得；
（2）①令，，根據二項展開式的系數和即可求解；
②令即可求解；
【詳解】（1）首先排甲，再將乙丙安排再甲的左右兩位置中的一個，則所有不同的排法種數有；
（2）在，
令，得；
令，得①；
.
令，得②；
②，得.（也正確）
19．（17分）（23-24高二下·黑龍江齊齊哈爾·期末）萊布尼茨（德國數學家）三角（如圖1所示）是與楊輝（南宋數學家）三角數陣（如圖2所示）相似的一種幾何排列，但與楊輝三角不同的是，萊布尼茨三角每個三角形數組頂端的數等于底邊兩數之和. 現(xiàn)記萊布尼茨三角第1行的第2個數字為，第2行的第2個數字為，第行的第2個數字為.
(1)求的值；
(2)將楊輝三角中的每一個數都換成就得到了萊布尼茨三角.我們知道楊輝三角的最基本的性質，也是二項式系數和組合數性質，請你類比這個性質寫出萊布尼茨三角的性質，并證明你的結論.
【答案】(1)
(2)，證明見解析
【分析】（1）由萊布尼茨三角每個三角形數組頂端的數等于底邊兩數之和求出，再由裂項相消法求和可得；
（2）結合題意代換寫出和式，再利用組合公式運算證明可得.
【詳解】（1）由圖1可知：
由每個三角形數組頂端的數等于底邊兩數之和，可得 ，
故，同理，
故
；
（2）萊布尼茨三角的性質：
證明：
.
.
故結論正確.
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