資源簡介

第01講 排列與組合
課程標準 學習目標
通過實例，總結出分類加法計數原理、分步乘法計數原理，理解并掌握兩個計數原理，并會利用計數原理解決一些簡單的問題． 理解排列組合的概念、掌握排列數、組合數公式，并能解決有關的實際問題. 通過對計數原理的學習，掌握兩個計數原理的應用，培養數學抽象等核心素養； 理解排列、組合的概念及公式的推導過程，掌握排列、組合在實際問題中的應用.
知識點01 兩個計數原理
1.分類加法計數原理
完成一件事，如果有n類辦法，且：第一類辦法中有m1種不同的方法，第二類辦法中有m2種不同的方法……第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.
2.分步乘法計數原理
完成一件事，如果需要分成n個步驟，且：做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.
【即學即練】（多選）下列命題正確的是( )
A從書架上任取數學書、語文書各1本是分類問題．(　　)
B分步乘法計數原理是指完成其中一步就完成了整件事情．(　　)
C分類加法計數原理可用來求完成一件事有若干類方法這類問題．(　　)
D從甲地經丙地到乙地是分步問題．(　　)
【答案】DD
知識點02 排列與排列數
1.排列的定義
一般地，從n個不同元素中取出m個元素，并按照一定的順序排一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。
2.排列數的定義
從n個不同對象中取出m個對象的所有排列的個數，稱為從n個不同對象中取出m個對象的排列數，用符號表示.=n(n-1)(n-2)…(n-m+1).
（1）排列數公式的階乘表示
全排列數公式的階乘表示:=n!=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1.
①規定:1!=1，0!=1，=1.②排列數公式的階乘表示:.
（2）排列數的性質
①=n;②=m.
辨析： “排列”和“排列數”是兩個不同的概念.排列是指“從n個不同對象中，任取m個對象，按照一定順序排成一列”，它不是一個數，而是具體的一個排列(也就是具體的一件事);排列數是指“從n個不同的對象中取出m個對象的所有排列的個數”，它是一個數.
【即學即練】
1．（24-25高二上·全國·課前預習）下列問題是排列問題的是（ ）
A．從8名同學中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法
B．會場中有30個座位，任選3個安排3位客人入座，有多少種坐法
C．平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線
D．從1，2，3，4四個數字中，任選兩個相乘，其結果共有多少種
【答案】C
【分析】根據排列的定義逐項判斷即可.
【詳解】對于A，8名同學中選取2名，不涉及順序問題，不是排列問題，A錯誤；
對于B，“入座問題”，與順序有關，是排列問題，B正確；
對于C，確定直線不涉及順序問題，不是排列問題，C錯誤；
對于D，4個數字中任取2個，根據乘法交換律知，結果不涉及順序問題，不是排列問題，D錯誤．
2.（24-25高三·上海·課堂例題）由1、2、5、7、9任取兩個數作除法，可得到不同的商的個數為（ ）
A．20 B．25 C．30 D．21
【答案】A
【分析】除法是有序的，故直接利用排列數求解即可.
【詳解】任意兩個數作除法，可得到不同的商的個數為.
.
知識點03 組合與組合數
組合
一般地，從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象并成一組，稱為從n個不同對象中取出m個對象的一個組合．
組合數
從n個不同對象中取出m個對象的所有組合的個數，稱為從n個不同對象中取出m個對象的組合數，用符號表示．
（1）排列與組合的區別與聯系
①共同點：兩者都是從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象．
②不同點：排列與對象的順序有關，組合與對象的順序無關．
③只有兩個組合中的對象完全相同，不論對象的順序如何，都是相同的組合，只有當兩個組合中對象不完全相同時，才是不同的組合．
（2）組合與組合數的區別
一個組合是具體的一件事，它不是一個數；而組合數是指所有組合的個數，它是一個數．
3．組合數的性質
（1）．
（2）．
點睛：（1）計算時，若m>，通常不直接計算，而是根據性質（1）改為計算．
（2）要注意公式的正用、逆用、變形．尤其是當m，n都是具體自然數時的應用．正用時是“合二為一”，即將化為；逆用則是將組合數拆開；變形則為．
【即學即練3】
1．（23-24高二下·陜西西安·期中）下列選項中，屬于組合問題的是（ ）
A．從六名學生中選三名學生參加數學、物理、化學競賽，共有多少種選法
B．有十二名學生參加植樹活動，要求三人一組，共有多少種分組方案
C．從3，5，7，9中任選兩個數做指數運算，可以得到多少個冪
D．從1，2，3，4中任取兩個數作為點的坐標，可以得到多少個不同的點
【答案】C
【分析】根據排列、組合的定義判斷即可.
【詳解】對于A：從六名學生中選三名學生參加數學、物理、化學競賽，因為學科不一樣，且學生各不相同，所以為排列問題，故A錯誤；
對于B：有十二名學生參加植樹活動，要求三人一組，可分為四組，三人一組無先后順序，屬于組合問題，故B正確；
對于C：從，，，中任取兩個數進行指數運算，底數與指數有順序，所以為排列問題，故C錯誤；
對于D：從，，，中任取兩個數作為點的坐標，橫、縱坐標與順序有關，所以為排列問題，故D錯誤.
2．（23-24高二下·山東臨沂·期中）（ ）
A．24 B．26 C．30 D．32
【答案】C
【分析】利用排列數公式、組合數公式計算可得答案.
【詳解】.
.
3．（23-24高二下·江蘇徐州·期中）一個口袋內裝有大小相同的5個白球和2個黑球，從中取3個球，則不同的取法種數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依題意由組合數公式計算可得.
【詳解】根據題意，一個口袋內裝有大小相同的個白球和個黑球，共個球，
從中取個球，則有種取法．
．
題型01 分類加法計數原理的應用
【典例1】家住廣州的小明同學準備周末去深圳旅游，從廣州到深圳一天中動車組有30個班次，特快列車有20個班次，汽車有40個不同班次．則小明乘坐這些交通工具去深圳不同的方法有(　　)
A．240種　　　　　　　　 B．180種
C．120種 D．90種
【答案】A
【解析】由加法計數原理可得小明乘坐這些交通工具去深圳不同的方法有30＋20＋4090種．
【變式1】三角形的三邊均為整數，且最長的邊為11，則這樣的三角形有(　　)
A．25個 B．26個
C．32個 D．36個
【答案】A
【解析】　11是最長邊，另一邊是11時：第三邊可能是11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1，共11個；另一邊是10時：第三邊可能是10,9,8,7,6,5,4,3,2，共9個；同理，9時：9,8,7,6,5,4,3，共7個；8時：8,7,6,5,4，共5個；7時：7,6,5，共3個；6時：6，即1個．一共有1＋3＋5＋7＋9＋1136(個)．
【變式2】在所有的兩位數中，個位數字大于十位數字的兩位數的個數是(　　)
A．18　　　　　　　　　 B．36
C．72 D．48
【答案】C
【解析】　解法一　按十位上的數字分別是1,2,3,4,5,6,7,8分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數分別有8個、7個、6個、5個、4個、3個、2個、1個．由分類加法計數原理知，滿足條件的兩位數共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋136個．
解法二　按個位上的數字分別是2,3,4,5,6,7,8,9分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數分別有1個、2個、3個、4個、5個、6個、7個、8個．由分類加法計數原理知，滿足條件的兩位數共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋836個．
解法三　考慮兩位數的個位數字與十位數字的大小關系，利用對應思想解決．
所有的兩位數共有90個，其中，個位數字等于十位數字的兩位數為11,22,33，…，99，共9個；有10,20,30，…，90共9個兩位數的個位數字與十位數字不能調換位置，則剩余的兩位數有90－1872個．在這72個兩位數中，每一個個位數字(a)小于十位數字(b)的兩位數都有一個十位數字(a)小于個位數字(b)的兩位數與之對應，故滿足條件的兩位數的個數是72÷236.
題型02 分步乘法計數原理的應用
【典例2】有且僅有語文、數學、英語、物理4科老師布置了作業，同一時刻3名學生都在做作業，則這3名學生做作業的可能情況有 種．
【答案】64
【分析】
根據分步乘法，每個學生做作業的情況都是4，相乘即可.
【詳解】
因為4科老師布置了作業，在同一時刻每個學生做作業的情況有4種可能，
所以3名學生都做作業的可能情況種．
故答案為:64.
【變式1】某省新高考采用“”模式：“3”為全國統考科目語文、數學、外語，所有學生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史科目中選擇1個科目；“2”為再選科目，考生可在思想政治、地理、化學、生物4個科目中選擇2個科目．已知小明同學必選化學，那么他可選擇的方案共有（ ）
A．4種 B．6種 C．8種 D．12種
【答案】C
【分析】應用分步乘法求小明選擇方案的方法數.
【詳解】根據題意，分2步進行分析：
①小明必選化學，則須在思想政治、地理、生物中再選出1個科目，選法有3種；
②小明在物理、歷史科目中選出1個，選法有2種．
由分步乘法計數原理知，小明可選擇的方案共有（種）．
【變式2】已知某居民小區附近設有A，B，C，D4個核酸檢測點，居民可以選擇任意一個點位去做核酸檢測，現該小區的3位居民要去做核酸檢測，則檢測點的選擇共有（ ）
A．64種 B．81種 C．7種 D．12種
【答案】A
【分析】由分步計數原理計算．
【詳解】3位居民依次選擇檢測點，方法數為．
．
【變式3】體育場南側有4個大門，北側有3個大門，某學生到該體育場練跑步，則他進出門的方案有（ ）
A．14種 B．7種 C．24種 D．49種
【答案】A
【分析】根據乘法原理即可得出．
【詳解】解： 學生進門有7種選擇，同樣出門也有7種選擇，由分步乘法計數原理，該學生的進出門方案有種．
故選:D.
【變式4】在2024年某市運動會選手選拔賽上，8名男運動員參加100米決賽．其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數號跑道上，則安排這8名運動員比賽的方式共有________種．
【答案】　2 880
【解析】第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四條跑道可安排．所以安排方式有4×3×224種．
第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一條奇數號跑道安排，所以安排方式有5×4×3×2×1120種．
所以安排這8人的方式有24×1202 880種．
題型03 兩個原理的綜合應用
【典例3】（24-25高二上·全國·課后作業）古代中國的太極八卦圖是以同圓內的圓心為界，畫出形狀相同的兩個陰陽魚，陽魚的頭部有個陰眼，陰魚的頭部有個陽眼，表示萬物都在相互轉化，互相滲透，陰中有陽，陽中有陰，陰陽相合，相生相克，蘊含現代哲學中的矛盾對立統一規律．由八卦模型圖可抽象得到正八邊形，從該正八邊形的8個頂點中任意取出4個構成四邊形，其中梯形的個數為 ．

【答案】24
【分析】首先分情況，先確定兩個頂點，再確定其他頂點，即可求解.
【詳解】梯形的上、下底平行且不相等，如圖，

若以AB為底邊，則可構成2個梯形，根據對稱性可知此類梯形有（個），
若以AC為底邊，則可構成1個梯形，此類梯形共有（個），
所以梯形的個數是（個）．
故答案為：24
【變式1】（23-24高二下·廣東中山·期末）用數字，，，，，組成的有重復數字的三位數且是偶數的個數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】組成有重復數字的三位數，且是偶數,按個位是和不是進行分類; 個位不是時要注意選中的數有和不是情況求解.
【詳解】由題意可知，這三位數是偶數，則說明其個位數為偶數，即0，2，4，有3種選擇，
而由于這是一個三位數，所以百位數不能是0，有5種選擇，因為存在重復數字，由此分類討論:
①當個位數為0時，則百位數有5種選擇，十位數有兩種情況，
與百位數一樣，只有一種選擇，
與個位數一樣，也只有一種選擇;
②當個位數為2時，
如果百位數為2，則十位數有6種選擇，
如果百位數不為2，則百位數有4種選擇，此時十位數可以與百位數或個位數相同，有2種選擇:
當個位數為4時，
如果百位數為4，則十位數有6種選擇，
如果百位數不為4，則百位數有4種選擇，十位數可以與百位數或個位數相同，有2種選擇
綜上所述，.
.
【變式2】（24-25高三上·上海·開學考試）已知集合，若且互不相等，則使得指數函數，對數函數，冪函數中至少有兩個函數在上嚴格增函數的有序數對的個數是
【答案】24
【分析】滿足各個函數在上嚴格增函數的參數的取值均為，由于且互不相等，可分情況進行分類討論，再利用分類加法計數原理計算可得結果.
【詳解】由題意可知，滿足指數函數且，
對數函數且的取值只有4個，分別為；
而使它們在上嚴格增函數的取值都只有兩個，分別是；
而滿足冪函數的的取值有6個（全部），
使得冪函數在上是嚴格增函數的取值有4個，即；
由于且互不相等，有三種情況：
第一種：指數函數，對數函數在上是嚴格增函數，
而冪函數不滿足，共有種；
第二種：指數函數，冪函數在上是嚴格增函數，
而對數函數不滿足，共有種；
第三種：對數函數，冪函數在上是嚴格增函數，
而指數函數不滿足，共有種；
第四種：三個函數在上都是嚴格增函數，共有種；
利用分類加法計數原理可得共有種；
故答案為：24
【變式3】某校數學課外活動小組有高一學生10人，高二學生8人，高三學生7人．
①選其中1人為總負責人，有多少種不同的選法？
②每一年級各選1名組長，有多少種不同的選法？
③推選出其中2人去外校參觀學習，要求這2人來自不同年級，有多少種不同的選法？
【解析】①若從高一學生中選，則有10種不同的選法；
若從高二學生中選，則有8種不同的選法；
若從高三學生中選，則有7種不同的選法；
所以由分類加法計數原理知，共有10＋8＋725種不同的選法．
②三個年級分別有10種，8種，7種不同選法，
由分步乘法計數原理知，共有10×8×75800種不同選法．
③選法可分三類：一類是1人選自高一，1人選自高二，有10×880種選法；
第二類是1人選自高一，1人選自高三，有10×770種選法；
第三類是1人選自高二，1人選自高三，有8×7580種選法，
所以共有80＋70＋580206種不同選法．
題型04 排列及排列數公式
【典例4】（24-25高三·上海·課堂例題）計算的值是（ ）
A．1 B．0.6 C．0.8 D．1.2
【答案】D
【分析】根據排列數的公式即可求解.
【詳解】
【變式1】（23-24高二下·山東菏澤·期中），，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據給定條件利用排列數公式的意義即可得解.
【詳解】因且，表示80個連續正整數的乘積，
其中最大因數為，最小因數為，由排列數公式的意義得結果為，
所以.
【變式2】（23-24高二下·四川南充·階段練習）已知，那么n（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】根據排列數的計算求解即可.
【詳解】∵，
∴，
∴或（舍去）.
.
【變式3】（23-24高二下·寧夏吳忠·期中）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用排列數公式化簡并求解不等式.
【詳解】不等式中，，化為，
整理得，解得，因此，
所以不等式的解集是.
【變式4】已知，則x等于（ ）
A．6 B．13 C．6或13 D．12
【答案】A
【分析】根據排列數公式，化簡計算，結合x的范圍，即可得答案.
【詳解】由題意得，
化簡可得，解得或6，
因為，所以且，故.
.
題型05 組合及組合數公式
【典例5】（24-25高三上·江蘇蘇州·開學考試）下列數中，與不相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】運用排列數和組合數公式計算即可.
【詳解】
對于A，；
對于B,
對于C, ，
對于D，，
【變式1】（24-25高二下·全國·課后作業）（ ）
A．315 B．330 C．345 D．380
【答案】A
【分析】根據組合數的性質即可求解.
【詳解】．
【變式2】（多選）（23-24高二下·陜西西安·期末）已知，，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根據排列數、組合數的計算公式及性質逐項判斷即可.
【詳解】對于A，，故A正確；
對于B，由組合數的性質可得，故B正確；
對于C，因為，，
又，所以，故C錯誤；
對于D，，，故D正確.
BD.
【變式3】（24-25高三上·重慶·階段練習）若，則的值為
【答案】69
【分析】根據組合數的性質及參數范圍得出參數m，再計算組合數即可.
【詳解】因為，所以或，解得或,
因為，所以,可得,
所以.
故答案為：69.
【變式4】（24-25高三上·河北承德·開學考試）若，則 .
【答案】
【分析】根據題意，結合組合數的計算公式，準確計算，即可求解.
【詳解】由組合數的計算公式，可得，解得.
故答案為：.
【變式5】（24-25高二上·全國·課后作業）若，則 .
【答案】3
【分析】利用排列數與組合數的公式即可得解.
【詳解】因為，
所以，
則，即，解得或（舍去），
所以.
故答案為：3.
題型06 涂色問題
【典例6】（23-24高二下·江西贛州·期中）提供6種不同顏色的顏料給圖中A，B，C，D，E，F六個區域涂色，要求相鄰區域不能涂相同顏色，則不同的涂色方法共有 種.
【答案】6120
【分析】根據和、和同色或者不同色分類，每一種情況中用分步乘法計數原理，最后利用分類加法計數原理得到涂色方法的數量.
【詳解】假定涂色順序為
若、涂相同顏色，則有種涂法；
若、涂不同顏色，、涂相同顏色，則有種涂法；
若、涂不同顏色，、涂不同顏色，則有種涂法；
故由分類加法計數原理得不同的涂色方法共有種.
故答案為：6120.
【變式1】（23-24高三下·重慶·開學考試）用四種不同的顏色給如圖所示的六塊區域A，B，C，D，E，F涂色，要求相鄰區域涂不同顏色，則涂色方法的總數是（ ）
A．120 B．72 C．48 D．24
【答案】A
【分析】
利用兩個計數原理，先分類再分步即可求解．
【詳解】
先涂，有4種選擇，接下來涂，有3種選擇，再涂,有2種選擇，
① 當,顏色相同時涂色方法數是：，
② 當,顏色不相同時涂色方法數是：，
滿足題意的涂色方法總數是：．
．
【變式2】（2024·重慶·模擬預測）重慶位于中國西南部、長江上游地區，地跨青藏高原與長江中下游平原的過渡地帶．東鄰湖北、湖南，南靠貴州，西接四川，北連陜西．現用4種顏色標注6個省份的地圖區域，相鄰省份地圖顏色不相同，則共有 種涂色方式．
【答案】
【分析】根據題意，得到這4中顏色全部都用上，其中必有兩個不相鄰的地區涂同一中顏色，利用窮舉法，結合排列數公式，即可求解.
【詳解】根據題意，用4種顏色標注6個省份的地圖區域，相鄰省份地圖顏色不相同，
則這4中顏色全部都用上，其中必有兩個不相鄰的地區涂同一中顏色，
共有：{“四川和湖南”且“貴州和湖北”}、{“四川和湖南”且“貴州和陜西”}、{“四川和湖北”且“貴州和陜西”、{“四川和湖北”且“湖南和陜西”、{“貴州和湖北”且“湖南和陜西”，共有5種情況，
所以不同的涂色共有種.
故答案為：.
【變式3】（2024高二下·全國·專題練習）一個同心圓形花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植草坪和綠色灌木，周圍的圓環分為n（，）等份，種植紅、黃、藍三種顏色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花．
（1）如圖（1），圓環分成3等份，分別為，，，則有 種不同的種植方法；
（2）如圖（2），圓環分成4等份，分別為，，，，則有 種不同的種植方法．
【答案】 6 18
【分析】第一空：直接由分步乘法計數原理即可得解，第二空：分，是否同色討論，結合分類加法計數原理以及分步乘法計數原理即可得解.
【詳解】（1）先種植部分，有3種不同的種植方法，再種植，部分．
因為，與的顏色不同，，的顏色也不同，
所以由分步乘法計數原理得，不同的種植方法有（種）．
（2）當，不同色時，有種種植方法，
當，同色時，有種種植方法，
由分類加法計數原理得，共有種種植方法．
故答案為：6；18.
題型07 數字排列問題
【典例7】（23-24高三上·上海虹口·期中）在由數字1，2，3，4，5組成的數字不重復的五位數中，小于70000的奇數有 個．
【答案】
【分析】小于70000的奇數萬位只能是1，2，3，4，分萬位為和，分別求出其方法總數，由分類加法計數原理求解即可.
【詳解】小于70000的奇數萬位只能是1，2，3，4，個位只能為1，3，5，
①萬位為或，則萬位有種方法，個位有種方法，
其余各位為種方法，則種方法；
②萬位為或，則萬位有種方法，個位有種方法，
其余各位為種方法，則種方法；
共有：種方法.
故答案為：.
【變式1】（23-24高二下·廣東深圳·階段練習）我們把各位數字之和為8的四位數稱為“八合數”(如2 024是“八合數”)，則“八合數”共有（ ）個.
A．35 B．580 C．120 D．165
【答案】D
【分析】分含有三個0，兩個0，一個0和不含0四種情況分類討論，求出每種情況下的個數相加得到答案.
【詳解】含有三個0時，只能為，即1種選擇；
含有兩個0時，另外兩個數為或或或，
當另外兩個數為時，從百位，十位，個位選擇兩個位置放0，
和剩余的兩個位置進行全排列，故有種選擇，
當另外兩個數為或時，同理可得有種選擇，
當另外兩個數為時，從百位，十位，個位選擇兩個位置放0，
剩余的兩個位置放4，故有種選擇，
故含有兩個0時，共有種選擇，
含一個0，其他三個數可以為或或或或，
當三個數為時，先從百位，十位，個位選擇一個位置放0，
再從剩余的三個位置選擇一個位置放6，剩余的兩個位置放1，故有種選擇，
同理當三個數為或時，均有種選擇；
當三個數為或時，先從百位，十位，個位選擇一個位置放0，
剩余的三個數進行全排列，故有種選擇，
所以，當四個數中有一個0時，共有種選擇，
當不含0時，四個數可以為或或或或，
當四個數分別為，從四個位置選擇1個放5，其他三個位置放1，故有種，
當四個數分別為，從四個位置選擇2個放，且有順序，其他兩個位置放1，故有種，
當四個數分別為時，同理可得有種，
當四個數分別為時，從四個位置選擇2個放，且無順序，其他兩個位置放3，故有種，
當四個數為時，只有1種選擇，
故不含0時，共有種選擇，
綜上，共有個“八合數”.
【變式2】（多選）用到這個數字，可以組成沒有重復數字的三位數的個數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根據最高位不能為，利用間接法、分步、分類法計算可得.
【詳解】用到這個數字組成沒有重復數字的三位數，
若不考慮最高位是否為，則有個，又最高位不能為，故當最高位為時有個，
故可以組成沒有重復數字的三位數的個，故C正確；
首先排最高位，有種，再排十位、個位，有種，故共有個沒有重復數字的三位數，故B正確；
若選到的數字沒有，則有個，若選到的數字有，先排，有種方法，
再從其余個數字選個排到其余位置，故有個，
綜上可得共有個沒有重復數字的三位數，故C正確；
BC
【變式3】已知0，1，2，3，4，5，6共7個數字．
(1)可以組成多少個沒有重復數字的四位數？
(2)可以組成多少個沒有重復數字的四位偶數？
(3)可以組成多少個沒有重復數字且能被5整除的四位數？（結果用數字作答）
【答案】(1)720
(2)420
(3)220
【分析】（1）分兩步，先排最高位，其余的3個位置沒有限制任意排；
（2）分末尾是0，和末尾是2，4，6排列；
（3）分末尾是0和5排列.
【詳解】（1）解：先排最高位有6種方法，其余的3個位置沒有限制，任意排，有種方法．
根據分步計數原理，可組成沒有重復數字的四位數的個數為；
（2）末尾是0，則有120個；末尾不是0，則末尾是2，4，6，有個，
共有120+300420個．
（3）5的倍數末尾是0，則有120個；末尾是5，有個．
共有120+100220．
題型08 相鄰問題
【典例8】（24-25高三上·福建泉州·階段練習）七位漁民各駕駛一輛漁船依次進湖捕魚，甲 乙漁船要排在一起出行，丙必須在最中間出行，則不同的排法有（ ）
A．96種 B．120種 C．192種 D．240種
【答案】D
【分析】先將甲乙捆綁成一個單元，再討論其所排位置，運算求解.
【詳解】由題意可知，丙排在第4位，則甲乙兩人可能在第1、2或2、3或5、6或6、7位，
故不同的排法有種.
.
【變式1】（23-24高二下·青海·期末）10人（含甲、乙、丙）隨機站成一排，則甲、乙、丙3人站在一起的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】用捆綁法求出甲、乙、丙3人站在一起的方法數，除以10的全排列數可得．
【詳解】由捆綁法可得，甲、乙、丙站在一起的概率為.
．
【變式2】（23-24高二下·內蒙古·期末）有本不同的書，其中語文書本，數學書本，物理書本．若將其隨機擺放到書架的同一層上，則相同科目的書相鄰的排法有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】D
【分析】利用捆綁法可求得結果.
【詳解】將本語文書捆綁、本數學書捆綁，
則相同科目的書相鄰的排法種數為種.
.
【變式3】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）用0、1、2、3、4、5組成沒有重復數字的六位數，要求數字1和4相鄰，則這樣的六位數的個數為（ ）
A．192 B．240 C．380 D．720
【答案】A
【分析】根據題意和首位非零的要求，將六位數分成三類，在每一類中，再運用相鄰元素捆綁法求出方法數，最后根據分類加法計數原理即可求得.
【詳解】依題意，可將這樣的六位數分成三類：
第一類，首位是1，則第二位必須是4，其余四個數位可將另外四個數字全排即可，有種方法；
第二類，首位是4，則第二位必須是1，其余四個數位可將另外四個數字全排即可，有種方法；
第三類，首位從中人去一個，有種，再將看成一個元素，與另外三個數字在四個位置上全排有種，
再考慮的順序，有種，故由分步乘法計數原理，有種方法.
由分類加法計數原理可知，這樣的六位數共有個.
.
【變式4】某校畢業典禮由6個節目組成，節目甲必須排在前三位，且節目丙，丁必須排在一起，則該校畢業典禮節目演出順序的編排方案共有（ ）
A．120種 B．1580種 C．188種 D．240種
【答案】A
【分析】對甲的位置分三種情況討論，依次分析丙丁的位置以及其他三個節目的安排方法，由分步計數原理可得每種情況的編排方案數目，由加法原理計算可得答案．
【詳解】根據題意，由于節目甲必須排在前三位，分3種情況討論：
①、甲排在第一位，節目丙、丁必須排在一起，則丙丁相鄰的位置有個，
考慮兩者順序，有種情況，將剩下的個節目全排列,安排在其他三個位置，
有種安排方法，則此時有種編排方法；
②、甲排在第二位，節目丙、丁必須排在一起，則丙丁相鄰的位置有個，
考慮兩者的順序，有種情況，將剩下的個節目全排列，
安排在其他三個位置，有種安排方法，則此時有種編排方法；
③、甲排在第三位，節目丙、丁必須排在一起，則丙丁相鄰的位置有個，
考慮兩者的順序，有種情況，將剩下的個節目全排列，
安排在其他三個位置，有種安排方法，則此時有種編排方法；
則符合題意要求的編排方法有種；
.
題型09 不相鄰問題
【典例9】（2024·四川成都·模擬預測）象棋作為一種古老的傳統棋類益智游戲，具有深遠的意義和價值．它具有紅黑兩種陣營，將、車、馬、炮、兵等均為象棋中的棋子，現將3個紅色的“將”“車”“馬”棋子與2個黑色的“將”“車”棋子排成一列，則同色棋子不相鄰的排列方式有（ ）
A．120種 B．24種 C．36種 D．12種
【答案】A
【分析】先排紅色棋子，再將黑色棋子插空，求出答案.
【詳解】先將3個紅色的“將”“車”“馬”棋子進行全排列，有種選擇，
3個紅色棋子中間有2個空，將2個黑色的“將”“車”棋子進行插空，有種選擇，
則同色棋子不相鄰的排列方式有種.
【變式1】四名男生和兩名女生排一行進行合影，若要求男生甲與男生乙不相鄰，且女生A和女生B相鄰，則不同排法的種數有（ ）
A．288種 B．144種 C．96種 D．72種
【答案】C
【分析】利用插空法和捆綁法求解即可.
【詳解】第一步：先對2名女生進行排隊，有種排法；
第二步：將除甲和乙之外的人進行排隊，有種排法；
第三步：甲、乙采用插空的方式，有種排法．所以共有種．
.
【變式2】（24-25高二下·全國·課后作業）一位語文老師在網上購買了四書五經各一套，四書指《大學》《中庸》《論語》《孟子》，五經指《詩經》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》，他將9本書整齊地放在同一層書架上，若四書，五經必須分別排在一起，且《大學》和《春秋》不能相鄰，則不同方式的排列種數為（ ）
A．5780 B．58080 C．58042 D．5472
【答案】A
【分析】計算出所有情況后減去《大學》和《春秋》相鄰的情況即可得.
【詳解】四書、五經必須分別排在一起，共有種，
若《大學》和《春秋》相鄰，則不符合條件，共有種，
則共有種．
.
【變式3】（24-25高三上·海南省直轄縣級單位·開學考試）小明將1，4，0，3，2，2這六個數字的一種排列設為自己的六位數字的銀行卡密碼，若兩個2不相鄰，且1與4相鄰，則可以設置的密碼種數為（ ）
A．144 B．72 C．36 D．24
【答案】C
【分析】根據相鄰問題用捆綁法和不相鄰問題用插空法即可求解.
【詳解】由題意知可將當成一個整體來計算，和總計有種排法，
再根據插空法可得總排法有.
【變式4】（24-25高三上·江蘇無錫·階段練習）隨著杭州亞運會的舉辦，吉祥物“琮琮”、蓮蓮”、宸宸”火遍全國.現有甲、乙、丙3位運動員要與“琮琮”、蓮蓮”、宸宸”站成一排拍照留念，則這3個吉祥物互不相鄰的排隊方法數為 .（用數字作答）
【答案】144
【分析】先將甲、乙、丙3位運動員站成一排，有種不同的排法，再利用分步計數原理和不相鄰問題插空法，即可求出結果.
【詳解】由題意，甲、乙、丙3位運動員站成一排，有種不同的排法，
在三位運動員形成的4個空隙中選3個，插入3個吉祥物，共有種排法.
故答案為：144．
題型10 元素（位置）有限制的排列問題
【典例11】中國古代 的五經指《詩經》 《尚書》 《禮記》 《周易》 《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊5名同學分別選取了其中一本書作為課外興趣研讀，且5名同學選取的書均不相同．若甲選《詩經》，乙不選《春秋》，則這5名同學所有可能的選擇方法有（ ）
A．18種 B．24種 C．36種 D．54種
【答案】A
【分析】若甲選《詩經》，乙不選《春秋》，余下的三人中的一人選《春秋》，還有三人全排列即可.
【詳解】由題知，余下的三人中的一人選《春秋》，還有三人全排列即可.
即.
【變式1】某臺小型晚會由6個節目組成，演出順序有如下要求：節目甲必須排在前兩位，節目乙必須排在最后一位，該臺晚會節目演出順序的編排方案共有（ ）
A．36種 B．42種 C．48種 D．54種
【答案】D
【分析】根據元素分析法即可解出．
【詳解】因為節目甲必須排在前兩位，節目乙必須排在最后一位，
所以該臺晚會節目演出順序的編排方案共有．
．
【變式2】4人隨機排成一排，甲不在排頭且乙不在排尾的排法有多少種（ ）
A．14種 B．16種 C．10種 D．13種
【答案】A
【分析】分兩類：甲在排尾，另一種甲不在排頭也不在排尾，然后利用分類加法原理求解即可.
【詳解】根據題意分兩類：
第一類：甲在排尾，其它3人全排列，有，
第二類：甲不在排頭也不在排尾，則甲排在中間兩個位置中的一個，然后從剩余的除乙外的2人中選一人排在排尾，最后剩下的2人排在剩余的2個位置，則有種，
所以由分類加法原理可得共有種，
.
【變式3】甲，乙，丙，丁，戊共5名同學進行勞動技能比賽，決出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且乙不是最后1名，則5人的名次排列的所有可能情況共有（ ）
A．30種 B．54種 C．84種 D．120種
【答案】C
【分析】根據題意先排乙，再排甲，再排其他人即可
【詳解】根據題意先排乙，再排甲，再排其他人，則所有排列的情況有
題型11 定序問題
【典例4】（23-24高二下·云南昆明·期中）甲、乙、丙、丁、戊五名同學站一排，若甲在乙的左邊，則不同的站隊方式共有 種.
【答案】80
【分析】定序問題采用倍縮法進行求解即可.
【詳解】甲、乙、丙、丁、戊五名同學站一排，共有種排法，
其中甲在乙的左邊和乙在甲的左邊一樣多，
所以甲在乙的左邊的不同的站隊方式共有.
故答案為：.
【變式1】（23-24高二下·福建福州·期中），等6人排成一列，則在的前面的排法種數是 種．（用數字作答）
【答案】380
【分析】首先將個人全排列，固定順序問題，再除以兩人的全排列.
【詳解】依題意在的前面的排法有種．
故答案為：
【變式2】（23-24高二下·安徽六安·期中）高三年級某班組織元旦晚會，共準備了甲、乙、丙、丁、戊五個節目，出場時要求甲、乙、丙三個節目順序為“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相鄰），則這樣的出場排序有 種（用數字作答）
【答案】40
【分析】先排除甲、乙、丙三個節目剩余的2個節目有，再排甲、乙、丙，由分步計數乘法原理可得結果.
【詳解】先排除甲、乙、丙三個節目剩余的2個節目有,
因甲、乙、丙的排序為定序，只有2種排法，
則根據分步計數乘法原理滿足條件的出場順序共有種，
故答案為：40.
【變式3】（23-24高二下·西藏拉薩·期末）4名男生和3名女生站成一排.
(1)甲不在中間也不在兩端的站法有多少種？
(2)男生甲和男生乙不相鄰，女生甲和女生乙相鄰，排在一起的站法有多少種？
(3)甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種？
【答案】(1)2880
(2)980
(3)840
【分析】（1）根據題意先排甲，然后剩余的進行全排列即可；
（2）利用捆綁法，將女生甲和女生乙捆綁在一起，與除去男生甲和男生乙的其他人進行全排列，然后男生甲和乙插空即可；
（3）7個全排列后，除以甲、乙、丙的全排列數即可.
【詳解】（1）分兩步，先排甲有種，其余有種，
所以根據分步乘法原理知共有種排法.
（2）分三步：
① 捆綁法，現將女生甲與女生乙捆綁在一起，有（種）；
②將女生甲和女生乙看成整體，與其他人（除去男生甲和男生乙）排列，有（種）；
③插空法，在其他人排好的基礎上，將男生甲和乙插空（共有5個空位置），有（種），
所以根據分步乘法原理可知共有（種）.
（3）7人共有種排法，其中甲、乙、丙三人有種排法，
因而在種排法中每種對應一種符合條件的排法，
故共有種排法
【變式4】（23-24高二下·河北唐山·期中）某學習小組共6人，其中男生3名，女生3名.
(1)將6人排成一排，3名男生從左到右的順序一定（不一定相鄰），不同排法有多少種？
(2)從6人中選出4人，女生甲和女生乙至少1人在內的不同選法共有多少種？
【答案】(1)120
(2)14
【分析】（1）先將6人進行全排，再除以可得答案；
（2）利用間接法，即可求解.
【詳解】（1）男生3名，女生3名站成一排，共有種，又因為3名男生從左到右的順序一定，
所以不同的排法種數為種；
（2）從6人中出4人，女生甲和女生乙至少1人在內的不同選法共有種.
題型12 分組分配問題
【典例13】（24-25高三上·河北邯鄲·開學考試）在第33屆夏季奧運會期間，中國中央電視臺體育頻道在某比賽日安排甲、乙、丙、丁4個人參加當天A，B，C三個比賽場地的現場報道，且每個場地至少安排一人，甲不在A場地的不同安排方法數為（ ）
A．32 B．24 C．18 D．12
【答案】C
【分析】按照A場地安排人數分類討論，結合分類加法原理，利用排列組合知識求解即可.
【詳解】按照A場地安排人數，可以分以下兩類：
第一類，A場地安排1人，共種安排方法，
第二類，A場地安排2人，共種安排方法，
由分類加法計數原理得，共有（種）不同安排方法.
【變式1】（22-23高三下·河北·階段練習）6名大學生分配到4所學校實習，每名大學生只分配到一所學校，每所學校至少分配1名大學生，則不同的分配方案共有（ ）
A．65 B．15800 C．2640 D．45800
【答案】C
【分析】先將6名大學生分四組，再將四組對應到四個學校，計算可得最后方案種數.
【詳解】分兩種情況：
把6名大學生分為3，1，1，1四組，有種分法，再將4組對應四個學校，
有種情況，由分步乘法計數原理得，共有種安排方法；
把6名大學生分為2，2，1，1四組，有種分法，再將4組對應四個學校，
有種情況，由分步乘法計數原理得，共有種安排方法；
綜上，不同的分配方案共有種.
.
【變式2】（23-24高二下·河北·階段練習）暑期將至，甲 乙 丙等六名學生準備各自從四個景點中選一個景點去旅游.已知每個景點都有人選，且甲沒有選景點，則所有不同的選法種數為（ ）
A．540 B．720 C．1080 D．1170
【答案】A
【分析】根據排列組合知識結合分組問題求解即可.
【詳解】因為甲沒有選景點，所以甲有種選法，
其余5名學生可以選3個景點或4個景點.
當其余5名學生選3個景點時，有種選法；
當其余5名學生選4個景點時，有種選法.
故共有種不同的選法.
.
【變式3】（24-25高三上·貴州貴陽·階段練習）為貫徹落實國家關于開展中小學研學旅行的文件精神，搭建中學與高校交流的平臺，拓展學生視野，今年某中學計劃開展暑期“雙高互動”之旅夏令營活動，學生可自愿報名.其中有4名教師和6名學生報名，將報名的教師和學生分成2個組，分別安排到兩所高校，要求每個組由2名老師和3名同學組成，則學生甲和學生乙不去同一所高校的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由分組分配法計算事件個數，再由古典概型概率計算公式即可求解.
【詳解】將4名教師和6名學生分成2個組，再將兩組分別安排到兩所高校共有：
種分配方式；
甲和乙不去同一所高校共有：種方法，
所以，學生甲和乙不去同一所高校的概率為：.
【變式4】（多選）（24-25高三上·吉林白城·階段練習）現安排甲 乙 丙 丁 戊這5名同學參加志愿者服務活動，有翻譯、導游、禮儀、司機四項工作可以安排，且每人只安排一個工作，則下列說法正確的是（ ）
A．不同安排方案的種數為
B．若每項工作至少有1人參加，則不同安排方案的種數為
C．若司機工作不安排，其余三項工作至少有1人參加，則不同安排方案的種數為
D．若每項工作至少有1人參加，甲不能從事司機工作，則不同安排方案的種數為
【答案】CD
【分析】根據分步計數原理可判斷A；先分組，然后再分配可判斷BCD.
【詳解】對A，若每人都安排一項工作，每人有4種安排方法，則不同安排方案的種數為，故A錯誤；
對B，先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排4項工作，
則不同安排方案的種數為，故B正確；
對C，先將5人分為3組，有種分組方法，
將分好的三組安排翻譯 導游 禮儀三項工作，有種情況，
則不同安排方案的種數是，故C錯誤；
對D，第一類，先從乙，丙，丁，戊中選出1人從事司機工作，再將剩下的4人分成三組，
安排翻譯 導游 禮儀三項工作，則不同安排方案的種數為；
第二類，先從乙，丙，丁，戊中選出2人從事司機工作，
再將剩下的3人安排翻譯、導游、禮儀三項工作，
則不同安排方案的種數為.所以不同安排方案的種數是，故D正確.
D.
題型13 隔板法的應用
【典例14】（23-24高二下·貴州遵義·期末）方程的非負整數解個數為（ ）．
A．220 B．120 C．84 D．24
【答案】A
【分析】將問題轉化為：將排成一列的13個完全相同的小球分成部分，利用隔板法即可得解.
【詳解】依題意，可知為非負整數，
因為，
所以，
從而將問題轉化為：將排成一列的13個完全相同的小球分成部分，每部分至少一個球，
一共有12個間隔，利用4個隔板插入即可，故共有種.
【變式1】（23-24高三下·云南昆明·階段練習）把分別寫有1，2，3，4，5，6的六張卡片全部分給甲、乙、丙三個人，每人至少一張，若分得的卡片超過一張，則必須是連號，那么不同的分法種數為（ ）
A．80 B．36 C．30 D．12
【答案】A
【分析】分析可知原題意相當于將，，，，，這六個數用兩個隔板隔開，在五個空位插上兩個隔板，再對應到具體三個人，利用隔板法分析求解.
【詳解】先將卡片分為符合條件的三份，
由題意知：三人分六張卡片，且每人至少一張，至多四張，
若分得的卡片超過一張，則必須是連號，
相當于將，，，，，這六個數用兩個隔板隔開，在五個空位插上兩個隔板，共種情況，
再對應到三個人有種情況，則共有種法.
．
【變式2】（22-23高二下·北京·期末）個相同的籃球，分給甲、乙、丙三位同學（每人至少分得一個），不同分法的總數為 ．
【答案】
【分析】在個相同的籃球中間形成的個空位中插入兩塊板，結合隔板法可得出結果.
【詳解】問題等價于：在個相同的籃球中間形成的個空位中插入兩塊板，
所以，不同的分法種數為種.
故答案為：.
【變式3】（1）將個不同的小球放入個不同的盒子中，沒有空盒子，共有多少種不同的放法
（2）將個不同的小球放入個不同的盒子中，盒子可空，共有多少種不同的放法
（3）將個相同的小球放入個不同的盒子中，沒有空盒子，共有多少種不同的放法
（4）將個相同的小球放入個不同的盒子中，盒子可空，共有多少種不同的放法
（注：要寫出算式，結果用數字表示）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】（1）先將個不同的小球分為三組，確定每組小球的數量，然后將三組小球放入三個盒子，結合分步計數原理可得結果；
（2）確定每個小球的放法種數，利用分步乘法計數原理可得結果；
（3）只需在個相同的小球中間所形成的個空位中插入塊板即可，利用隔板法可求得結果；
（4）問題等價于在個相同的小球中間所形成的個空位中插入塊板即可，利用隔板法可求得結果.
【詳解】解：（1）將個不同的小球分為三組，每組的小球數量分別為、、或、、，
然后再將這三組小球放入三個盒子中，
因此，不同的放法種數為種；
（2）每個小球有種方法，由分步乘法計數原理可知，
將個不同的小球放入個不同的盒子中，盒子可空，不同的放法種數為種；
（3）將個相同的小球放入個不同的盒子中，沒有空盒子，
只需在個相同的小球中間所形成的個空位中插入塊板即可，
所以，不同的放法種數為種；
（4）將個相同的小球放入個不同的盒子中，盒子可空，
等價于將個相同的小球放入個不同的盒子中，每個盒子不空，
只需在個相同的小球中間所形成的個空位中插入塊板即可，
所以，不同的放法種數為種.
【變式4】將10個優秀指標分配給3個班級：
(1)每班至少一個，則共有多少種分配方法？
(2)任意分配共有多少種分配方法？
(3)若班級為一、二、三班，名額數不少于班級數，則共有多少種分配方法？
【答案】(1)36
(2)66
(3)15
【詳解】由于10個優秀指標是相同的，該題等價于10個相同的小球放入3個不同盒子的模型，可采用“隔板法”．
（1）插隔板，即9個空格中插入2個隔板，共有種分配方法．
（2）排隔板，即10個指標和2個隔板．從12個位置中選2個放隔板，共有種分配方法．
（3）先給一班0個優秀名額，二班1個優秀名額，三班2個優秀名額，再對剩下的7個優秀名額用插隔板法，共有種分配方法．
總之，凡是處理“相同元素有序分組”模型時，我們都可采用“隔板法”．若每組元素數目至少一個時，可用插“隔板”，若出現每組元素數目可為0個時，可用排“隔板”．
一、單選題
1．（23-24高二下·廣東肇慶·階段練習）（ ）
A．24 B．80 C．48 D．72
【答案】A
【分析】根據組合數以及排列數的計算即可求解.
【詳解】,
2．（24-25高三上·廣東·開學考試）從2023年伊始，各地旅游業爆火，少林寺是河南省旅游勝地．某大學一個寢室6位同學慕名而來，游覽結束后，在門前站一排合影留念，要求相鄰，在的左邊，則不同的站法共有（ ）
A．480種 B．240種 C．120種 D．80種
【答案】D
【分析】結合捆綁法與全排列，并消除和的順序即可求解.
【詳解】站在一起有種，
將看成一個整體與進行全排列，共有種，
同時要求在的左邊，共有種．
故選：.
3．（23-24高三上·四川內江·階段練習）從甲、乙等名志愿者中隨機選名參加社區服務工作，則甲、乙都入選的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用組合計數問題，結合古典概率的意義計算即得.
【詳解】依題意，試驗的基本事件總數為種，它們等可能，
甲、乙都入選的事件含有的基本事件數為，
所以甲、乙都入選的概率.
4．（21-22高二下·江蘇淮安·階段練習）學校有個優秀學生名額，要求分配到高一、高二、高三，每個年級至少個名額，則有（ ）種分配方案.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】問題等價于將個完全相同的小球，放入個不同的盒子，每個盒子至少個球，結合隔板法可得結果.
【詳解】問題等價于將個完全相同的小球，放入個不同的盒子，每個盒子至少個球，
由隔板法可知，不同的分配方案種數為.
.
5．（24-25高三上·重慶涪陵·開學考試）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行數學建模比賽，決出了第1名到第5名的名次(無并列情況).甲、乙、丙去詢問成績.老師對甲說：“你不是最差的.”對乙說：“很遺憾，你和甲都沒有得到冠軍.”對丙說：“你不是第2名.”從這三個回答分析，5名同學可能的名次排列情況種數為（ ）
A．44 B．46 C．48 D．54
【答案】C
【分析】解法一：分析可知甲的排位有可能是第二、三、四3種情況，分類討論結合組合數分析求解；解法二：利用間接法，根據題意先排甲不排首尾，再排除不符合題意的情況，結合組合數分析求解.
【詳解】解法一：多重限制的排列問題：
甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名，且丙不是第二名，即甲的限制最多，故以甲為優先元素分類計數，
甲的排位有可能是第二、三、四3種情況：
①甲排第二位，乙排第三、四、五位，包含丙的余下3人有種排法，則有；
②甲排第三、四位，乙排第二位，包含丙的余下3人有種排法，則有；
③甲排第三、四位，乙不排第一、二位，即有2種排法，丙不排第二位，有2種排法，余下2人有種排法，則有；
綜上，該5名同學可能的名次排情況種數為種.
解法二：間接法：
甲不排首尾，有三種情況，再排乙，也有3種情況，包含丙的余下3人有種排法，共有種不同的情況；
但如果丙是第二名，則甲有可能是第三、四名2種情況；再排乙，也有2種情況；余下2人有種排法，故共有種不同的情況；
從而該5名同學可能的名次排情況種數為種.
.
6．（23-24高二下·廣東·期中）某種產品的加上需要經過A，B，C，D，E，F，G七道工序，要求A，B兩道工序必須相鄰，C，D兩道工序不能相鄰，則不同的加工順序有（ ）
A．980種 B．836種
C．816種 D．720種
【答案】A
【分析】先捆綁，再全排列后插空得出加工順序.
【詳解】先捆綁再和排列，然后插入
共有種排法．
.
7．（24-25高三上·重慶·階段練習）如圖，無人機光影秀中，有架無人機排列成如圖所示，每架無人機均可以發出種不同顏色的光，至號的無人機顏色必須相同，、號無人機顏色必須相同，號無人機與其他無人機顏色均不相同，則這架無人機同時發光時，一共可以有（ ）種燈光組合.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】對、號無人機顏色與至號的無人機顏色是否相同進行分類討論，再由分類加法和分步乘法計數原理計算可得結果.
【詳解】根據題意可知，至號的無人機顏色有4種選擇；
當、號無人機顏色與至號的無人機顏色相同時，號無人機顏色有3種選擇；
當、號無人機顏色與至號的無人機顏色不同時，、號無人機顏色有3種選擇，號無人機顏色有2種選擇；
再由分類加法和分步乘法計數原理計算可得共有種.
8．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習）某物流公司需要安排四個區域的快遞運送，公司現有甲、乙、丙三位快遞員可選派，要求每個區域只能有一個快遞員負責，每位快遞員至多負責兩個區域，則不同的安排方案共有（ ）
A．80種 B．54種 C．48種 D．36種
【答案】C
【分析】分選派2名快遞員和選派3名快遞員兩種情況討論.
【詳解】第一：選派2名快遞員的時候：
首先，快遞員的選法有種不同選法，其中一名快遞員從四個區域中選2個區域，有種選法，剩余快遞員的選法只有1種，
所以不同安排方案有：種；
第二：選派3名快遞員的時候：
先從四個區域中選2個區域，有種選法，將其看做一個區域，現在3個區域安排給三個人有種方法，
所以不同安排方案有：種.
綜上，不同安排方案有：種.
二、多選題
9．（23-24高二下·江蘇徐州·階段練習）用0、1、2、3、4、5組成沒有重復數字的四位數，則下列說法正確的是（ ）
A．可組成300個不重復的四位數
B．可組成1580個不重復的四位偶數
C．可組成120個能被5整除的不重復四位數
D．若將組成的不重復的四位數按從小到大的順序排列，則第85個數字為2301
【答案】ABD
【分析】應用分類分步原理，結合分組討論的方法研究不同選項中的計算問題：A中6個數中選4個全排列再排除首位為0的情況或首位在1、2、3、4、5任選一個數再從剩余數中選3個數全排；B中分末位為0，為2、4兩種情況分別計數再求和；B中分末位為0，為5兩種情況分別計數再求和；D中分首位為1、2、依次計數，找到第85個數字的位置再確定數字即可.
【詳解】A選項，有個，故A正確；
B選項，分為兩類：在末位，則有種；
不在末位，則有種，
所以共有種，故B正確；
C選項，分為兩類：在末位，則有種；
5在末位，則有種，
所以共有種，故C錯誤；
D選項，首位為的有個；前兩位為的有個；前兩位為的有個，
所以第個數字是前兩位為的最小數，即為，故D正確；
BD.
10．（24-25高二下·全國·課后作業）學校要安排一場文藝晚會的11個節目的演出順序，第1個節目和最后1個節目已確定，其余9個節目中有4個音樂節目，3個舞蹈節目，2個曲藝節目，則（ ）
A．若要求4個音樂節目排在一起，則有種不同的排法
B．若要求曲藝節目甲必須在曲藝節目乙的前邊，則有種不同的排法
C．若要求3個舞蹈節目不能排在一起，則有種不同的排法
D．若要求音樂節目、舞蹈節目、曲藝節目分別相鄰演出，則有種不同的排法
【答案】CC
【分析】對于排列問題，相鄰問題捆綁法，不相鄰問題插空法，定序問題倍縮法，逐項分析判斷即可.
【詳解】對A：先將4個音樂節目全排列，有種排法；
再把音樂節目捆綁和舞蹈、曲藝看作6個節目，進行全排列，有種排法，
所以共有種排法，A錯誤；
對B：先從9個位置中選7個位置排好音樂和舞蹈節目，有種排法；
再排曲藝節目，只有一種排法，所以共有種排法，B正確；
對C：先排音樂和曲藝節目，有種排法；
再把3個舞蹈節目排在空位中，有種排法，所以共有種排法，C正確；
對D：先把它們各自排列并捆綁，各自有種排法，
再把它們看做三個元素進行全排列，有種排法，所以共有種排法，D錯誤．
C
11．（22-23高三下·重慶南岸·階段練習）中國的五岳是指在中國境內的五座名山，坐落于東西南北中五個方位，分別是東岳泰山、西岳華山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山．小明與其父母共3人計劃在假期出游，每人選一個地方，則（ ）
A．3人選擇的地點均不同的方法總數為20
B．恰有2人選一個地方的方法總數為80
C．恰有1人選泰山的概率是
D．已知小明已選擇去泰山的情況下，其父母至少有一人選擇去泰山的概率為
【答案】CCD
【分析】由排列及排列數的計算即可判斷A；由分步計數乘法原理及組合即可判斷B；由古典概型概率公式即可判斷C；由對立事件的概率即可判斷D．
【詳解】對于A，3人選擇的地點均不同的方法總數為，故A錯誤；
對于B，恰有2人選一個地方的方法總數為，故B正確；
對于C，恰有1人選泰山的方法總數為，所有的方法數為，所以恰有1人選泰山的概率是，故C正確；
對于D，父母都不選擇去泰山的概率為，所以小明已選擇去泰山的情況下，其父母至少有一人選擇去泰山的概率，故D正確；
CD．
三、填空題
12．（22-23高二下·安徽阜陽·階段練習）若，則= .
【答案】3
【分析】列出關于x的方程，解之即可求得x的值.
【詳解】由，可得，
即，整理得，
解之得或（舍）
故答案為：3
13．（24-25高二下·全國·課后作業）現有10人排隊，其中要求甲、乙、丙、丁、戊五人的先后順序固定，則共有不同排法 種．
【答案】30240
【分析】根據定序元素的個數進行計算即所有人的全排列除以定序男生人數的全排列.
【詳解】先將10人全排，即為，再將甲、乙、丙、丁、戊五人全排，即為，
故有種排法．
故答案為：30240.
14．（24-25高三上·云南昆明·階段練習）如圖是某城區的街道平面網格，它由24個全等的小正方形構成，每個小正方形的邊界都是能通行的街道道路，而小正方形的內部都有樓房建筑（不能跨越通行）．小張家居住在街道網格的M處，她的工作單位在街道網格的N處，每天早上她從家出發，沿著街道道路去單位上班，若她要選擇最短路徑前往，則小張上班一共有 種走法；若小張某天早上從家出發前往單位上班，途中要先到達街道P處吃早餐，吃完早餐再前往單位，則她一共有 種最短路徑的走法．
【答案】
【分析】小張從處出發選擇最短路徑前往處，需要向右走條街道和向上走條街道，共走條街道．因此只需從條街道里面選擇條街道向右走和條街道向上走即可；同理先求出從處出發選擇最短路徑前往處的種數，再求從處出發選擇最短路徑前往處的種數，根據分布乘法計數原理求解即可.
【詳解】小張從處出發選擇最短路徑前往處，需要向右走條街道和向上走條街道，共走條街道．
所以從處出發選擇最短路徑到達處一共有種走法；
同理，從處到達處有種走法，從處到達處有種走法，
所以根據分步乘法計數原理，小張每天早上上班途經街道處的最短路徑走法有種．
故答案為：210，90
四、解答題
15．（24-25高二下·全國·課后作業）一名同學有4本不同的數學書，5本不同的物理書，3本不同的化學書，準備分給甲、乙、丙三人，每人4本，要求甲恰好分配到2本數學書，則不同的分配方法共有多少種？
【答案】11780
【分析】先分別給甲兩本數學書和兩本非數學書，剩下8本乙和丙平均分即可.
【詳解】解：先給甲分配2本數學書，有種方法，再給甲分配2本非數學書，有種方法，最后乙、丙隨機分配剩余8本書有種方法，
根據分步乘法計數原理，
則有種方法．
故答案為：11780
16．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習）為迎接端午節，某社區準備參加市里舉行的龍舟比賽，計劃從6名男選手和5名女選手中隨機選出男、女選手各2名參加此次比賽，并需要安排好龍舟上選手的座位順序，有如下方案：
(1)男選手小王必須參加，并且坐在第四個位置上；
(2)男選手小李和女選手小趙都要參加，并且座位不相鄰；
(3)男選手小錢和男選手小周至少一人參加.
【答案】(1)300
(2)240
(3)2180
【分析】根據先選后排的原則，結合排列數、組合數運算求解.
【詳解】（1）因為男選手小王必須參加，并且坐在第四個位置上，所以只需再在剩余的5男5女中，選1男2女，排在前3個位置即可，
所以排法種數為：種.
（2）完成這件事可以分兩步：
第一步：先選人，有種選法；
第二步：再排列，4人排列，小李和小趙不相鄰的排法種數為：.
由分步計數乘法原理得：不同的排法種數為：.
（3）完成這件事的方法可以分兩類：
第一類：小錢和小周只有一人參加，方法有：種；
第二類：小錢和小趙都參加，方法有.
由分類加法計數原理得：不同的排法種數為：.
17．（24-25高二下·全國·課后作業）從5個男生和4個女生中選出5人去擔任英語、數學、物理、化學、生物的課代表．分別求出符合下列條件的安排方法種數：
(1)有女生但不少于男生；
(2)女生甲不擔任物理課代表；
(3)女生乙入選且不擔任生物課代表，男生甲若入選，只擔任數學或物理課代表．
【答案】(1)5400
(2)13440
(3)4620
【分析】（1）分類討論有3個女生2個男生或有4個女生1個男生，利用排列組合結合分類計數原理即可求解；
（2）從除女生甲外的其他8人中選取1人擔任除物理課代表，再從剩下的8個人中選其余4科課代表，結合排列組合即可求解；
（3）分類討論男生甲入選和不入選，利用排列組合結合分類計數原理即可求解.
【詳解】（1）由女生人數不少于男生可知，有3個女生2個男生或有4個女生1個男生，
①有4個女生的選法有：種；
②有3個女生的選法有：種；
不同的安排方法種數有種．
（2）因為女生甲不擔任物理課代表，從除女生甲外的其他8人中選取1人擔任除物理課代表，
再從剩下的8個人中選其余4科課代表，所以不同的安排種數有種；
（3）因為女生乙人選且不擔任生物課代表，男生甲若入選，只擔任數學或物理課代表，
①男生甲入選的選法有：種；
②男生甲不入選的選法有：種；
所以不同的安排方法種數有種．
18．（24-25高二下·全國·課后作業）結合排列組合，解決下列問題．
(1)將6封不同的信放到7個不同的信箱中，有多少種放法？
(2)將6封不同的信放到5個不同的信箱中，每個信箱至少有一封信，有多少種放法？
(3)將6封相同的信放到3個不同的信箱中，每個信箱至少有一封信，有多少種放法？
(4)將4封標有序號A，B，C，D的信放到四個標有A，B，C，D的信箱中，恰有一組序號相同，則有多少種放法？
【答案】(1)
(2)1800
(3)10
(4)8
【分析】（1）根據題意，由分步乘法計數原理代入計算，即可求解；
（2）根據題意，先選后排，結合分步乘法計數原理，代入計算，即可求解；
（3）根據題意，由隔板法代入計算，即可求解；
（4）根據題意，結合分步乘法計數原理與分類加法計數原理，代入計算，即可求解.
【詳解】（1）以信的角度去看第一封信有7個選擇，第二封信有7個選擇，…，所以共有種放法；
（2）先選后排，必然有一個信箱放兩封信，則從6封信中選取2個看成一個整體，即種，再將其進行排列，即種排法．故共有種放法；
（3）相同元素隔板法，6封信排成一列，中間有5個空位，選取其中2個插入隔板，故有種放法；
（4）若組的序號相同，則信封此時有兩個選擇（信箱），從而信封只剩下1種信箱的選擇，即共有種放法．
19．（24-25高二下·全國·課后作業）現有名師生站成一排照相，其中老師人，男學生人，女學生人，在下列情況下，各有多少種不同的站法？
(1)老師站在最中間，名女學生分別在老師的兩邊且相鄰，名男學生兩邊各人；
(2)名男學生互不相鄰，男學生甲不能在兩端；
(3)名老師之間必要有男女學生各人．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據特殊元素優先安排求解即可.
（2）利用插空法，先排老師和女學生，再排男學生甲，最后排剩余的名男學生即可.
（3）先任選一男學生一女學生站兩位老師中間，再排老師，最后利用捆綁法排列即可.
【詳解】（1）由題意可得共種不同的站法．
（2）先排老師和女學生共有種站法，再排男學生甲有種站法，
最后排剩余的名男學生有種站法，
所以共有種不同的站法．
（3）先任選一男學生一女學生站兩位老師中間，有種站法，
兩老師的站法有種，
再將一男學生一女學生兩位老師進行捆綁與剩余的4個人進行全排列有種，
所以共有種不同的站法．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第01講 排列與組合
課程標準 學習目標
通過實例，總結出分類加法計數原理、分步乘法計數原理，理解并掌握兩個計數原理，并會利用計數原理解決一些簡單的問題． 理解排列組合的概念、掌握排列數、組合數公式，并能解決有關的實際問題. 通過對計數原理的學習，掌握兩個計數原理的應用，培養數學抽象等核心素養； 理解排列、組合的概念及公式的推導過程，掌握排列、組合在實際問題中的應用.
知識點01 兩個計數原理
1.分類加法計數原理
完成一件事，如果有n類辦法，且：第一類辦法中有m1種不同的方法，第二類辦法中有m2種不同的方法……第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.
2.分步乘法計數原理
完成一件事，如果需要分成n個步驟，且：做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.
【即學即練】（多選）下列命題正確的是( )
A從書架上任取數學書、語文書各1本是分類問題．(　　)
B分步乘法計數原理是指完成其中一步就完成了整件事情．(　　)
C分類加法計數原理可用來求完成一件事有若干類方法這類問題．(　　)
D從甲地經丙地到乙地是分步問題．(　　)
知識點02 排列與排列數
1.排列的定義
一般地，從n個不同元素中取出m個元素，并按照一定的順序排一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。
2.排列數的定義
從n個不同對象中取出m個對象的所有排列的個數，稱為從n個不同對象中取出m個對象的排列數，用符號表示.=n(n-1)(n-2)…(n-m+1).
（1）排列數公式的階乘表示
全排列數公式的階乘表示:=n!=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1.
①規定:1!=1，0!=1，=1.②排列數公式的階乘表示:.
（2）排列數的性質
①=n;②=m.
辨析： “排列”和“排列數”是兩個不同的概念.排列是指“從n個不同對象中，任取m個對象，按照一定順序排成一列”，它不是一個數，而是具體的一個排列(也就是具體的一件事);排列數是指“從n個不同的對象中取出m個對象的所有排列的個數”，它是一個數.
【即學即練】
1．（24-25高二上·全國·課前預習）下列問題是排列問題的是（ ）
A．從8名同學中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法
B．會場中有30個座位，任選3個安排3位客人入座，有多少種坐法
C．平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線
D．從1，2，3，4四個數字中，任選兩個相乘，其結果共有多少種
2.（24-25高三·上海·課堂例題）由1、2、5、7、9任取兩個數作除法，可得到不同的商的個數為（ ）
A．20 B．25 C．30 D．21
知識點03 組合與組合數
組合
一般地，從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象并成一組，稱為從n個不同對象中取出m個對象的一個組合．
組合數
從n個不同對象中取出m個對象的所有組合的個數，稱為從n個不同對象中取出m個對象的組合數，用符號表示．
（1）排列與組合的區別與聯系
①共同點：兩者都是從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象．
②不同點：排列與對象的順序有關，組合與對象的順序無關．
③只有兩個組合中的對象完全相同，不論對象的順序如何，都是相同的組合，只有當兩個組合中對象不完全相同時，才是不同的組合．
（2）組合與組合數的區別
一個組合是具體的一件事，它不是一個數；而組合數是指所有組合的個數，它是一個數．
3．組合數的性質
（1）．
（2）．
點睛：（1）計算時，若m>，通常不直接計算，而是根據性質（1）改為計算．
（2）要注意公式的正用、逆用、變形．尤其是當m，n都是具體自然數時的應用．正用時是“合二為一”，即將化為；逆用則是將組合數拆開；變形則為．
【即學即練3】
1．（23-24高二下·陜西西安·期中）下列選項中，屬于組合問題的是（ ）
A．從六名學生中選三名學生參加數學、物理、化學競賽，共有多少種選法
B．有十二名學生參加植樹活動，要求三人一組，共有多少種分組方案
C．從3，5，7，9中任選兩個數做指數運算，可以得到多少個冪
D．從1，2，3，4中任取兩個數作為點的坐標，可以得到多少個不同的點
2．（23-24高二下·山東臨沂·期中）（ ）
A．24 B．26 C．30 D．32
3．（23-24高二下·江蘇徐州·期中）一個口袋內裝有大小相同的5個白球和2個黑球，從中取3個球，則不同的取法種數是（ ）
A． B． C． D．
題型01 分類加法計數原理的應用
【典例1】家住廣州的小明同學準備周末去深圳旅游，從廣州到深圳一天中動車組有30個班次，特快列車有20個班次，汽車有40個不同班次．則小明乘坐這些交通工具去深圳不同的方法有(　　)
A．240種　　　　　　　　 B．180種
C．120種 D．90種
【變式1】三角形的三邊均為整數，且最長的邊為11，則這樣的三角形有(　　)
A．25個 B．26個
C．32個 D．36個
【變式2】在所有的兩位數中，個位數字大于十位數字的兩位數的個數是(　　)
A．18　　　　　　　　　 B．36
C．72 D．48
題型02 分步乘法計數原理的應用
【典例2】有且僅有語文、數學、英語、物理4科老師布置了作業，同一時刻3名學生都在做作業，則這3名學生做作業的可能情況有 種．
【變式1】某省新高考采用“”模式：“3”為全國統考科目語文、數學、外語，所有學生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史科目中選擇1個科目；“2”為再選科目，考生可在思想政治、地理、化學、生物4個科目中選擇2個科目．已知小明同學必選化學，那么他可選擇的方案共有（ ）
A．4種 B．6種 C．8種 D．12種
【變式2】已知某居民小區附近設有A，B，C，D4個核酸檢測點，居民可以選擇任意一個點位去做核酸檢測，現該小區的3位居民要去做核酸檢測，則檢測點的選擇共有（ ）
A．64種 B．81種 C．7種 D．12種
【變式3】體育場南側有4個大門，北側有3個大門，某學生到該體育場練跑步，則他進出門的方案有（ ）
A．14種 B．7種 C．24種 D．49種
【變式4】在2024年某市運動會選手選拔賽上，8名男運動員參加100米決賽．其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數號跑道上，則安排這8名運動員比賽的方式共有________種．
題型03 兩個原理的綜合應用
【典例3】（24-25高二上·全國·課后作業）古代中國的太極八卦圖是以同圓內的圓心為界，畫出形狀相同的兩個陰陽魚，陽魚的頭部有個陰眼，陰魚的頭部有個陽眼，表示萬物都在相互轉化，互相滲透，陰中有陽，陽中有陰，陰陽相合，相生相克，蘊含現代哲學中的矛盾對立統一規律．由八卦模型圖可抽象得到正八邊形，從該正八邊形的8個頂點中任意取出4個構成四邊形，其中梯形的個數為 ．

【變式1】（23-24高二下·廣東中山·期末）用數字，，，，，組成的有重復數字的三位數且是偶數的個數為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（24-25高三上·上海·開學考試）已知集合，若且互不相等，則使得指數函數，對數函數，冪函數中至少有兩個函數在上嚴格增函數的有序數對的個數是
【變式3】某校數學課外活動小組有高一學生10人，高二學生8人，高三學生7人．
①選其中1人為總負責人，有多少種不同的選法？
②每一年級各選1名組長，有多少種不同的選法？
③推選出其中2人去外校參觀學習，要求這2人來自不同年級，有多少種不同的選法？
題型04 排列及排列數公式
【典例4】（24-25高三·上海·課堂例題）計算的值是（ ）
A．1 B．0.6 C．0.8 D．1.2
【變式1】（23-24高二下·山東菏澤·期中），，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24高二下·四川南充·階段練習）已知，那么n（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【變式3】（23-24高二下·寧夏吳忠·期中）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【變式4】已知，則x等于（ ）
A．6 B．13 C．6或13 D．12
題型05 組合及組合數公式
【典例5】（24-25高三上·江蘇蘇州·開學考試）下列數中，與不相等的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（24-25高二下·全國·課后作業）（ ）
A．315 B．330 C．345 D．380
【變式2】（多選）（23-24高二下·陜西西安·期末）已知，，且，則（ ）
A． B．
【變式3】（24-25高三上·重慶·階段練習）若，則的值為
【變式4】（24-25高三上·河北承德·開學考試）若，則 .
【變式5】（24-25高二上·全國·課后作業）若，則 .
題型06 涂色問題
【典例6】（23-24高二下·江西贛州·期中）提供6種不同顏色的顏料給圖中A，B，C，D，E，F六個區域涂色，要求相鄰區域不能涂相同顏色，則不同的涂色方法共有 種.
【變式1】（23-24高三下·重慶·開學考試）用四種不同的顏色給如圖所示的六塊區域A，B，C，D，E，F涂色，要求相鄰區域涂不同顏色，則涂色方法的總數是（ ）
A．120 B．72 C．48 D．24
【變式2】（2024·重慶·模擬預測）重慶位于中國西南部、長江上游地區，地跨青藏高原與長江中下游平原的過渡地帶．東鄰湖北、湖南，南靠貴州，西接四川，北連陜西．現用4種顏色標注6個省份的地圖區域，相鄰省份地圖顏色不相同，則共有 種涂色方式．
【變式3】（2024高二下·全國·專題練習）一個同心圓形花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植草坪和綠色灌木，周圍的圓環分為n（，）等份，種植紅、黃、藍三種顏色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花．
（1）如圖（1），圓環分成3等份，分別為，，，則有 種不同的種植方法；
（2）如圖（2），圓環分成4等份，分別為，，，，則有 種不同的種植方法．
題型07 數字排列問題
【典例7】（23-24高三上·上海虹口·期中）在由數字1，2，3，4，5組成的數字不重復的五位數中，小于70000的奇數有 個．
【變式1】（23-24高二下·廣東深圳·階段練習）我們把各位數字之和為8的四位數稱為“八合數”(如2 024是“八合數”)，則“八合數”共有（ ）個.
A．35 B．580 C．120 D．165
【變式2】（多選）用到這個數字，可以組成沒有重復數字的三位數的個數為（ ）
A． B． C． D．
【變式3】已知0，1，2，3，4，5，6共7個數字．
(1)可以組成多少個沒有重復數字的四位數？
(2)可以組成多少個沒有重復數字的四位偶數？
(3)可以組成多少個沒有重復數字且能被5整除的四位數？（結果用數字作答）
題型08 相鄰問題
【典例8】（24-25高三上·福建泉州·階段練習）七位漁民各駕駛一輛漁船依次進湖捕魚，甲 乙漁船要排在一起出行，丙必須在最中間出行，則不同的排法有（ ）
A．96種 B．120種 C．192種 D．240種
【變式1】（23-24高二下·青海·期末）10人（含甲、乙、丙）隨機站成一排，則甲、乙、丙3人站在一起的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24高二下·內蒙古·期末）有本不同的書，其中語文書本，數學書本，物理書本．若將其隨機擺放到書架的同一層上，則相同科目的書相鄰的排法有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【變式3】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）用0、1、2、3、4、5組成沒有重復數字的六位數，要求數字1和4相鄰，則這樣的六位數的個數為（ ）
A．192 B．240 C．380 D．720
【變式4】某校畢業典禮由6個節目組成，節目甲必須排在前三位，且節目丙，丁必須排在一起，則該校畢業典禮節目演出順序的編排方案共有（ ）
A．120種 B．1580種 C．188種 D．240種
題型09 不相鄰問題
【典例9】（2024·四川成都·模擬預測）象棋作為一種古老的傳統棋類益智游戲，具有深遠的意義和價值．它具有紅黑兩種陣營，將、車、馬、炮、兵等均為象棋中的棋子，現將3個紅色的“將”“車”“馬”棋子與2個黑色的“將”“車”棋子排成一列，則同色棋子不相鄰的排列方式有（ ）
A．120種 B．24種 C．36種 D．12種
【變式1】四名男生和兩名女生排一行進行合影，若要求男生甲與男生乙不相鄰，且女生A和女生B相鄰，則不同排法的種數有（ ）
A．288種 B．144種 C．96種 D．72種
【變式2】（24-25高二下·全國·課后作業）一位語文老師在網上購買了四書五經各一套，四書指《大學》《中庸》《論語》《孟子》，五經指《詩經》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》，他將9本書整齊地放在同一層書架上，若四書，五經必須分別排在一起，且《大學》和《春秋》不能相鄰，則不同方式的排列種數為（ ）
A．5780 B．58080 C．58042 D．5472
【變式3】（24-25高三上·海南省直轄縣級單位·開學考試）小明將1，4，0，3，2，2這六個數字的一種排列設為自己的六位數字的銀行卡密碼，若兩個2不相鄰，且1與4相鄰，則可以設置的密碼種數為（ ）
A．144 B．72 C．36 D．24
【變式4】（24-25高三上·江蘇無錫·階段練習）隨著杭州亞運會的舉辦，吉祥物“琮琮”、蓮蓮”、宸宸”火遍全國.現有甲、乙、丙3位運動員要與“琮琮”、蓮蓮”、宸宸”站成一排拍照留念，則這3個吉祥物互不相鄰的排隊方法數為 .（用數字作答）
題型10 元素（位置）有限制的排列問題
【典例11】中國古代 的五經指《詩經》 《尚書》 《禮記》 《周易》 《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊5名同學分別選取了其中一本書作為課外興趣研讀，且5名同學選取的書均不相同．若甲選《詩經》，乙不選《春秋》，則這5名同學所有可能的選擇方法有（ ）
A．18種 B．24種 C．36種 D．54種
【變式1】某臺小型晚會由6個節目組成，演出順序有如下要求：節目甲必須排在前兩位，節目乙必須排在最后一位，該臺晚會節目演出順序的編排方案共有（ ）
A．36種 B．42種 C．48種 D．54種
【變式2】4人隨機排成一排，甲不在排頭且乙不在排尾的排法有多少種（ ）
A．14種 B．16種 C．10種 D．13種
【變式3】甲，乙，丙，丁，戊共5名同學進行勞動技能比賽，決出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且乙不是最后1名，則5人的名次排列的所有可能情況共有（ ）
A．30種 B．54種 C．84種 D．120種
題型11 定序問題
【典例4】（23-24高二下·云南昆明·期中）甲、乙、丙、丁、戊五名同學站一排，若甲在乙的左邊，則不同的站隊方式共有 種.
【變式1】（23-24高二下·福建福州·期中），等6人排成一列，則在的前面的排法種數是 種．（用數字作答）
【變式2】（23-24高二下·安徽六安·期中）高三年級某班組織元旦晚會，共準備了甲、乙、丙、丁、戊五個節目，出場時要求甲、乙、丙三個節目順序為“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相鄰），則這樣的出場排序有 種（用數字作答）
【變式3】（23-24高二下·西藏拉薩·期末）4名男生和3名女生站成一排.
(1)甲不在中間也不在兩端的站法有多少種？
(2)男生甲和男生乙不相鄰，女生甲和女生乙相鄰，排在一起的站法有多少種？
(3)甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種？
【變式4】（23-24高二下·河北唐山·期中）某學習小組共6人，其中男生3名，女生3名.
(1)將6人排成一排，3名男生從左到右的順序一定（不一定相鄰），不同排法有多少種？
(2)從6人中選出4人，女生甲和女生乙至少1人在內的不同選法共有多少種？
題型12 分組分配問題
【典例13】（24-25高三上·河北邯鄲·開學考試）在第33屆夏季奧運會期間，中國中央電視臺體育頻道在某比賽日安排甲、乙、丙、丁4個人參加當天A，B，C三個比賽場地的現場報道，且每個場地至少安排一人，甲不在A場地的不同安排方法數為（ ）
A．32 B．24 C．18 D．12
【變式1】（22-23高三下·河北·階段練習）6名大學生分配到4所學校實習，每名大學生只分配到一所學校，每所學校至少分配1名大學生，則不同的分配方案共有（ ）
A．65 B．15800 C．2640 D．45800
【變式2】（23-24高二下·河北·階段練習）暑期將至，甲 乙 丙等六名學生準備各自從四個景點中選一個景點去旅游.已知每個景點都有人選，且甲沒有選景點，則所有不同的選法種數為（ ）
A．540 B．720 C．1080 D．1170
【變式3】（24-25高三上·貴州貴陽·階段練習）為貫徹落實國家關于開展中小學研學旅行的文件精神，搭建中學與高校交流的平臺，拓展學生視野，今年某中學計劃開展暑期“雙高互動”之旅夏令營活動，學生可自愿報名.其中有4名教師和6名學生報名，將報名的教師和學生分成2個組，分別安排到兩所高校，要求每個組由2名老師和3名同學組成，則學生甲和學生乙不去同一所高校的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式4】（多選）（24-25高三上·吉林白城·階段練習）現安排甲 乙 丙 丁 戊這5名同學參加志愿者服務活動，有翻譯、導游、禮儀、司機四項工作可以安排，且每人只安排一個工作，則下列說法正確的是（ ）
A．不同安排方案的種數為
B．若每項工作至少有1人參加，則不同安排方案的種數為
C．若司機工作不安排，其余三項工作至少有1人參加，則不同安排方案的種數為
D．若每項工作至少有1人參加，甲不能從事司機工作，則不同安排方案的種數為
題型13 隔板法的應用
【典例14】（23-24高二下·貴州遵義·期末）方程的非負整數解個數為（ ）．
A．220 B．120 C．84 D．24
【變式1】（23-24高三下·云南昆明·階段練習）把分別寫有1，2，3，4，5，6的六張卡片全部分給甲、乙、丙三個人，每人至少一張，若分得的卡片超過一張，則必須是連號，那么不同的分法種數為（ ）
A．80 B．36 C．30 D．12
【變式2】（22-23高二下·北京·期末）個相同的籃球，分給甲、乙、丙三位同學（每人至少分得一個），不同分法的總數為 ．
【變式3】（1）將個不同的小球放入個不同的盒子中，沒有空盒子，共有多少種不同的放法
（2）將個不同的小球放入個不同的盒子中，盒子可空，共有多少種不同的放法
（3）將個相同的小球放入個不同的盒子中，沒有空盒子，共有多少種不同的放法
（4）將個相同的小球放入個不同的盒子中，盒子可空，共有多少種不同的放法
（注：要寫出算式，結果用數字表示）
【變式4】將10個優秀指標分配給3個班級：
(1)每班至少一個，則共有多少種分配方法？
(2)任意分配共有多少種分配方法？
(3)若班級為一、二、三班，名額數不少于班級數，則共有多少種分配方法？
一、單選題
1．（23-24高二下·廣東肇慶·階段練習）（ ）
A．24 B．80 C．48 D．72
2．（24-25高三上·廣東·開學考試）從2023年伊始，各地旅游業爆火，少林寺是河南省旅游勝地．某大學一個寢室6位同學慕名而來，游覽結束后，在門前站一排合影留念，要求相鄰，在的左邊，則不同的站法共有（ ）
A．480種 B．240種 C．120種 D．80種
3．（23-24高三上·四川內江·階段練習）從甲、乙等名志愿者中隨機選名參加社區服務工作，則甲、乙都入選的概率為（ ）
A． B． C． D．
4．（21-22高二下·江蘇淮安·階段練習）學校有個優秀學生名額，要求分配到高一、高二、高三，每個年級至少個名額，則有（ ）種分配方案.
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·重慶涪陵·開學考試）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行數學建模比賽，決出了第1名到第5名的名次(無并列情況).甲、乙、丙去詢問成績.老師對甲說：“你不是最差的.”對乙說：“很遺憾，你和甲都沒有得到冠軍.”對丙說：“你不是第2名.”從這三個回答分析，5名同學可能的名次排列情況種數為（ ）
A．44 B．46 C．48 D．54
6．（23-24高二下·廣東·期中）某種產品的加上需要經過A，B，C，D，E，F，G七道工序，要求A，B兩道工序必須相鄰，C，D兩道工序不能相鄰，則不同的加工順序有（ ）
A．980種 B．836種
C．816種 D．720種
7．（24-25高三上·重慶·階段練習）如圖，無人機光影秀中，有架無人機排列成如圖所示，每架無人機均可以發出種不同顏色的光，至號的無人機顏色必須相同，、號無人機顏色必須相同，號無人機與其他無人機顏色均不相同，則這架無人機同時發光時，一共可以有（ ）種燈光組合.
A． B． C． D．
8．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習）某物流公司需要安排四個區域的快遞運送，公司現有甲、乙、丙三位快遞員可選派，要求每個區域只能有一個快遞員負責，每位快遞員至多負責兩個區域，則不同的安排方案共有（ ）
A．80種 B．54種 C．48種 D．36種
二、多選題
9．（23-24高二下·江蘇徐州·階段練習）用0、1、2、3、4、5組成沒有重復數字的四位數，則下列說法正確的是（ ）
A．可組成300個不重復的四位數
B．可組成1580個不重復的四位偶數
C．可組成120個能被5整除的不重復四位數
D．若將組成的不重復的四位數按從小到大的順序排列，則第85個數字為2301
10．（24-25高二下·全國·課后作業）學校要安排一場文藝晚會的11個節目的演出順序，第1個節目和最后1個節目已確定，其余9個節目中有4個音樂節目，3個舞蹈節目，2個曲藝節目，則（ ）
A．若要求4個音樂節目排在一起，則有種不同的排法
B．若要求曲藝節目甲必須在曲藝節目乙的前邊，則有種不同的排法
C．若要求3個舞蹈節目不能排在一起，則有種不同的排法
D．若要求音樂節目、舞蹈節目、曲藝節目分別相鄰演出，則有種不同的排法
11．（22-23高三下·重慶南岸·階段練習）中國的五岳是指在中國境內的五座名山，坐落于東西南北中五個方位，分別是東岳泰山、西岳華山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山．小明與其父母共3人計劃在假期出游，每人選一個地方，則（ ）
A．3人選擇的地點均不同的方法總數為20
B．恰有2人選一個地方的方法總數為80
C．恰有1人選泰山的概率是
D．已知小明已選擇去泰山的情況下，其父母至少有一人選擇去泰山的概率為
三、填空題
12．（22-23高二下·安徽阜陽·階段練習）若，則= .
13．（24-25高二下·全國·課后作業）現有10人排隊，其中要求甲、乙、丙、丁、戊五人的先后順序固定，則共有不同排法 種．
14．（24-25高三上·云南昆明·階段練習）如圖是某城區的街道平面網格，它由24個全等的小正方形構成，每個小正方形的邊界都是能通行的街道道路，而小正方形的內部都有樓房建筑（不能跨越通行）．小張家居住在街道網格的M處，她的工作單位在街道網格的N處，每天早上她從家出發，沿著街道道路去單位上班，若她要選擇最短路徑前往，則小張上班一共有 種走法；若小張某天早上從家出發前往單位上班，途中要先到達街道P處吃早餐，吃完早餐再前往單位，則她一共有 種最短路徑的走法．
四、解答題
15．（24-25高二下·全國·課后作業）一名同學有4本不同的數學書，5本不同的物理書，3本不同的化學書，準備分給甲、乙、丙三人，每人4本，要求甲恰好分配到2本數學書，則不同的分配方法共有多少種？
16．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習）為迎接端午節，某社區準備參加市里舉行的龍舟比賽，計劃從6名男選手和5名女選手中隨機選出男、女選手各2名參加此次比賽，并需要安排好龍舟上選手的座位順序，有如下方案：
(1)男選手小王必須參加，并且坐在第四個位置上；
(2)男選手小李和女選手小趙都要參加，并且座位不相鄰；
(3)男選手小錢和男選手小周至少一人參加.
17．（24-25高二下·全國·課后作業）從5個男生和4個女生中選出5人去擔任英語、數學、物理、化學、生物的課代表．分別求出符合下列條件的安排方法種數：
(1)有女生但不少于男生；
(2)女生甲不擔任物理課代表；
(3)女生乙入選且不擔任生物課代表，男生甲若入選，只擔任數學或物理課代表．
18．（24-25高二下·全國·課后作業）結合排列組合，解決下列問題．
(1)將6封不同的信放到7個不同的信箱中，有多少種放法？
(2)將6封不同的信放到5個不同的信箱中，每個信箱至少有一封信，有多少種放法？
(3)將6封相同的信放到3個不同的信箱中，每個信箱至少有一封信，有多少種放法？
(4)將4封標有序號A，B，C，D的信放到四個標有A，B，C，D的信箱中，恰有一組序號相同，則有多少種放法？
19．（24-25高二下·全國·課后作業）現有名師生站成一排照相，其中老師人，男學生人，女學生人，在下列情況下，各有多少種不同的站法？
(1)老師站在最中間，名女學生分別在老師的兩邊且相鄰，名男學生兩邊各人；
(2)名男學生互不相鄰，男學生甲不能在兩端；
(3)名老師之間必要有男女學生各人．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑