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第02講 二項式定理與楊輝三角
課程標準 學習目標
1．能用多項式運算法則和計數原理證明二項式定理，會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題 2．楊輝三角的性質． 1. 利用計數原理分析二項式的展開過程，歸納、猜想出二項式定理，并用計數原理加以證明； 2.通過經歷二項式定理的探究過程，體驗“歸納、猜想、證明”的數學發現過程，提高自己觀察、分析、概括的能力，以及 “從特殊到一般”、“從一般到特殊”等數學思想的應用能力； 3.會應用二項式定理求解二項展開式.
知識點01 二項式定理
1．二項式定理
一般地，對于任意正整數n，都有
=++++++.(*)
公式(*)叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式，其中各項的系數(k∈{0,1,2,
,n})叫做二項式系數，叫做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第k+1項：=.
(2)二項展開式的規律
①二項展開式一共有(n+1)項.
②(n+1)項按a的降冪b的升冪排列.
③每一項中a和b的冪指數之和為n.
【即學即練1】
1.（23-24高二下·北京通州·期中）二項式的展開式為（ ）
A． B．
C． D．
2.(x＋2)n的展開式共有11項，則n等于（ ）
A．9 B．10 C．11 D．8
知識點02 二項式系數的性質
對稱性 與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等(即)
增減性 當時，二項式系數逐漸增大；當時，二項式系數逐漸減小，因此二項式系數在中間取得最大值
最大值 當n是偶數時，展開式的中間一項的二項式系數最大；當n是奇數時，展開式的中間兩項與的二項式系數，相等且最大
各二項式 系數的和
【即學即練2】（24-25高二上·全國·隨堂練習）的展開式中二項式系數最大的項是（ ）
A．第3項 B．第6項 C．第6，7項 D．第5，7項
知識點03二項展開式的應用問題
1．求二項展開式的特定項的解題策略
求二項展開式中的特定項，一般是化簡通項公式后，令字母的指數符合要求(求常數項時，指數為零；
求有理項時，指數為整數等)，解出項數k+1，代回通項公式即可.
2．兩個二項式之積、三項展開式問題的解題策略
(1)對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般都可以根據因式連乘的規律，結合組合思想求解，
但要注意適當地運用分類方法，以免重復或遺漏；也可利用排列組合的知識求解.
(2)對于三項式問題一般先變形化為二項式再解決，或利用展開式的原理求解.
3．二項式系數的和與各項系數的和問題
（1）賦值法
“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展
開式的各項系數之和，常用賦值法.
（2）系數之和問題的解題策略
若，則f(x)展開式中各項系數之和為f(1)，奇數項之和為
，偶數項系數之和為.
（3）展開式的逆用
根據所給式子的特點結合二項式展開式的要求，使之具備二項式定理右邊的結構，然后逆用二項式定
理求解.
4．二項式系數最大項問題
當n為偶數時，展開式中第項的二項式系數最大，最大值為；當n為奇數時，展開式中第
和第項的二項式系數開式中第最大，最大值為或.
【即學即練3】（23-24高二上·北京昌平·期末）若，則（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
知識點04楊輝三角的性質
(1)最外層全是1，第二層(含1)是自然數列1,2,3,4，…，第三層(含1,3)是三角形數列1,3,6,10,15，….
(2)對稱性：每行中與首末兩端“等距離”之數相等，即CC.
(3)遞歸性：除1以外的數都等于肩上兩數之和，即CC＋C.
(4)第n行奇數項之和與偶數項之和相等，即C＋C＋C＋…C＋C＋C＋….
(5)第n行所有數的和為2n，即C＋C＋C＋…＋C2n.
(6)自左(右)腰上的某個1開始平行于右(左)腰的一條線上的連續n個數的和等于最后一個數斜左(右)下方的那個數．
【即學即練4】楊輝是我國南宋的一位杰出的數學家，在他所著的《詳解九章算法》一書中，畫的一張表示二項式展開后的系數構成的三角圖形，稱為“開方做法本源”．現在簡稱為“楊輝三角”．下面是，當時展開式的二項式系數表示形式．
借助上面的表示形式，判斷與的值分別是（ ）
A． B．
C． D．
題型01 二項展開式的應用
【典例1】（22-23高二下·江蘇宿遷·期中）設，化簡（ ）．
A． B． C． D．
【變式1】若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2】24-25高三·上海·課堂例題）計算的值是 ．
【變式3】（24-25高二下·全國·課后作業）若(a，b為有理數)，則a＋b .
【變式4】化簡：.
題型02 求二項展開式的特定項
【典例2】（2024·浙江·三模）的展開式的常數項為（ ）
A． B． C． D．4
【變式1】（23-24高二下·浙江·期中）在 的展開式中，第四項為（ ）
A．240 B． C． D．
【變式2】（2014·山東青島·一模）展開式的常數項為 .
【變式3】的展開式中常數項是 .（用數字作答）
題型03 求二項展開式的特定項系數
【典例3】（2024·北京·模擬預測）在的展開式中，項的系數為（ ）
A． B．20 C． D．40
【變式1】在的展開式中，的系數等于（ ）
A． B． C．10 D．45
【變式2】（23-24高二下·海南·期末）的展開式中，的系數為（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（2023·天津·高考真題）在的展開式中，項的系數為 ．
題型04 求展開式的有理項
【典例4】（2024·河南·模擬預測）已知（其中）的展開式中的第7項為7，則展開式中的有理項共有（ ）
A．6項 B．5項 C．4項 D．3項
【變式1】寫出展開式中的一個有理項為 .
【變式2】在的展開式中，有理項有 項．
【變式3】2024·高三·江西·開學考試）已知的展開式中只有第5項的二項式系數最大，寫出展開式中的一個有理項 ．
題型05 二項式乘積問題
【典例5】（23-24高二下·廣東深圳·階段練習）在的展開式中，的系數為（ ）
A．20 B．25 C．30 D．35
【變式1】（2022·全國·統考高考真題）的展開式中的系數為 （用數字作答）．
【變式2】（2024·西藏·模擬預測）在的展開式中，的系數為（ ）
A． B．4 C． D．8
【變式3】（2024高三·全國·專題練習）已知的展開式中的系數為448，則該展開式中的系數為（ ）
A．580 B． C．106 D．
題型06 三項式問題
【典例6】（2024·遼寧丹東·一模）的展開式中常數項為（ ）
A．24 B．25 C．48 D．49
【變式1】下列各式中，不是的展開式中的項是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2024·全國·模擬預測）在的展開式中常數項為（ ）
A．721 B．-61 C．181 D．-59
【變式3】（2024·河北滄州·二模）在的展開式中，項的系數為（ ）
A． B． C． D．
題型07 已知特定項求參數
【典例7】（23-24高三下·湖南婁底·階段練習）已知，若的展開式中，常數項等于240，則（ ）
A．3 B．2 C．6 D．4
【變式1】（2023·四川瀘州·二模）已知的展開式中存在常數項，則n的可能取值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【變式2】（22-23高二下·廣東揭陽·期中）在的展開式中存在常數項，寫出一個滿足條件的的值是 .
【變式3】（23-24高三下·陜西·階段練習）在的展開式中，的系數為84，則 ．
【變式4】（23-24高三上·上海普陀·期末）的常數項為第3項，求
題型08二項式系數的最值問題
【典例8】已知二項式的展開式中只有第4項的二項式系數最大，且展開式中各項的系數和為64，則正數的值為 .
【變式1】若的展開式中只有第5項的二項式系數最大，則展開式中的項為 .
【變式2】已知二項式的展開式中僅有第4項的二項式系數最大，則 .
【變式3】 的展開式中只有第六項的二項式系數最大，則第四項為 .
題型09 系數的最值問題
【典例9】（2024·江西南昌·三模）若的展開式中有且僅有第五項的二項式系數最大，則展開式中系數最大的是（ ）
A．第二項 B．第三項 C．第四項 D．第五項
【變式1】（2024·全國·模擬預測）的展開式中系數最大的項為（ ）
A．70 B．580 C．或 D．
【變式2】二項式的展開式中，系數最大項的是（ ）
A．第項 B．第項和第項
C．第項 D．第項
【變式3】已知的展開式中唯有第5項的系數最大，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型10 展開式系數和問題
【典例10】（多選）（23-24高三下·山東·開學考試）已知的展開式中，各項的二項式系數之和為128，則（ ）
A． B．只有第4項的二項式系數最大
C．各項系數之和為1 D．的系數為5800
【變式1】（多選）（23-24高二下·福建南平·階段練習）設，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】若的展開式中第3項的二項式系數是15，則展開式中所有項系數之和為 ．
【變式3】已知，則（ ）
A．9 B．10
C．19 D．29
【變式4】若，則的值為（ ）
A． B． C．253 D．126
【變式5】已知對任意實數x，，則下列結論不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
題型11 整除與余數問題
【典例11】（2024·湖北荊州·三模）已知，則被3除的余數為（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【變式1】（2024·貴州黔南·二模）我國農歷用“鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬”這12種動物按順序輪流代表各年的生肖年號，今年2024年是龍年.那么從今年起的年后是（ ）
A．虎年 B．馬年 C．龍年 D．羊年
【變式2】（2024·福建三明·三模）各種不同的進制在生活中隨處可見，計算機使用的是二進制，數學運算一般使用的是十進制，任何進制數均可轉換為十進制數，如八進制數轉換為十進制數的算法為．若將八進制數轉換為十進制數，則轉換后的數的末位數字是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式3】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）中國南北朝時期的著作《孫子算經》中，對同余除法有較深的研究，對于兩個整數，若它們除以正整數所得的余數相同，則稱和對模同余，記為．若，則的值可以是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【變式4】（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）若能被7整除，則x，n的一組值可能為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
題型12 近似計算問題
【典例12】（2024·湖南·二模）某銀行在2024年初給出的大額存款的年利率為，某人存入大額存款元，按照復利計算10年后得到的本利和為，下列各數中與最接近的是（ ）
A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34
【變式1】（2024·安徽合肥·三模）某銀行大額存款的年利率為，小張于2024年初存入大額存款10萬元，按照復利計算8年后他能得到的本利和約為（ ）（單位：萬元，結果保留一位小數）
A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9
【變式2】（2024·高三·河北·開學考試）已知二項式的二項式系數的和為，則 .試估算時，的值為 .（精確到）
【變式3】（2024·高三·山西朔州·開學考試）的計算結果精確到0.01的近似值是 ．
題型13 二項式定理與數列的交匯問題
【變式13】（23-24高二·全國·課后作業）已知，展開式中的系數為，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（2024·江西九江·二模）第14屆國際數學教育大會（ICME-International Congreas of Mathematics Education）在我國上海華東師范大學舉行.如圖是本次大會的會標，會標中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦——3、7、4、4，這是中國古代八進制計數符號，換算成現代十進制是，正是會議計劃召開的年份，那么八進制換算成十進制數，則換算后這個數的末位數字是（ ）

A．1 B．3 C．5 D．7
【變式2】（2003·全國·高考真題）已知數列{an}(n為正整數)是首項為a1，公比為q的等比數列．
(1)求和：，；
(2)由（1）的結果歸納概括出關于正整數n的一個結論，并加以證明．
題型14 二項式定理與比較大小問題
【典例14】（2023·湖南株洲·統考一模）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1】下列說法中，不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
題型15 證明組合恒等式
【典例15】（2024高三·全國·專題練習）求證：
【變式1】（2024高三·全國·專題練習）求證：
題型16 楊輝三角
【典例17】（2024高二下·全國·專題練習）楊輝是我國南宋末年的一位杰出的數學家．他在《詳解九章算法》一書中，畫了一個由二項式展開式的系數構成的三角形數陣，稱作“開方作法本源”，這就是著名的“楊輝三角”．在“楊輝三角”中，從第2行開始，除1以外，其他每一個數值都是它上面的兩個數值之和，每一行第個數組成的數列稱為第斜列．該三角形數陣前5行如圖所示，則該三角形數陣前2022行第斜列與第斜列各項之和最大時，的值為（ ）
A．1009 B．1010 C．1011 D．1012
【變式1】（24-25高二上·全國·課后作業）楊輝三角，又稱帕斯卡三角，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，在我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法》（1261年）一書中用如圖所示的三角形解釋二項式乘方展開的系數規律，現把楊輝三角中的數從上到下，從左到右依次排列，得數列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，記作數列．若數列的前n項和為，則等于（ ）

A．235 B．512 C．521 D．1033
【變式2】（多選）定義有n行的“楊輝三角”為n階“楊輝三角”，如圖就是一個8階“楊輝三角”.
給出的下列命題中正確的是（ ）.
A．記第 行中從左到右的第 個數為，則數列的通項公式為
B．第k行各個數的和是
C．n階“楊輝三角”中共有個數
D．n階“楊輝三角”的所有數的和是
【變式3】（多選）（23-24高二下·江蘇南通·期中）南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中畫了一張表示二項式系數構成的三角形數陣（如圖所示），在“楊輝三角”中，下列選項正確的是（ ）
A．第10行所有數字的和為1024
B．
C．第6行所有數字的平方和等于
D．若第行第個數記為，則
【變式4】（23-24高二下·廣東佛山·階段練習）下圖所示的三角形數陣叫“萊布尼茲調和三角形”，它們是由整數的倒數組成的，第n行有n個數且兩端的數均為，每個數是它下一行左右相鄰兩數之和，如，，，則第11行第5個數（從左往右數）為 ．
題型17 新定義問題
【典例17】（22-23高三上·江蘇南京·期末）對于伯努利數，有定義：．則（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（23-24高三上·上海楊浦·階段練習）已知對任意正整數對，定義函數如下：，，，則下列正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（22-23高二下·湖北黃岡·期中）定義：兩個正整數a，b，若它們除以正整數m所得的余數相等，則稱a，b對于模m同余，記作，比如：．已知：，滿足，則p可以是（ ）
A．26 B．31 C．32 D．37
【變式3】（23-24高二下·上海·期末）仿照二項式系數，可以定義“三項式系數”為的展開式中的系數，即其中．
(1)求的值：
(2)對于給定的，計算以下兩式的值：與
(3)對于，記中偶數的個數為，奇數的個數為．是否存在使得？若存在，請給出一個滿足要求的并說明理由；若不存在，請給出證明．
一、單選題
1．（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）已知的展開式共有9項，則（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2023·山西·模擬預測）的展開式中常數項為（ ）
A．112 B．580 C．28 D．16
3．（18-19高二·全國·課后作業）化簡多項式的結果是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二下·新疆克孜勒蘇·期中）若展開式中只有第7項的二項式系數最大，則（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．（2023·廣東江門·一模）已知多項式，則（ ）
A．－980 B．980 C．－480 D．480
6．（23-24高二下·江蘇連云港·期中）被3除的余數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（23-24高二下·新疆克孜勒蘇·期末）已知的二項展開式中二項式系數和為32，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高二下·江蘇揚州·期中）若的展開式中第3項與第7項的系數相等，則展開式中系數最大的項為（ ）
A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7項
二、多選題
9．（23-24高二下·河南鄭州·期末）楊輝是我國古代數學史上一位著述豐富的數學家，著有《詳解九章算法》 《日用算法》和《楊輝算法》，楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》給出了如下圖1所示的表，我們稱這個表為楊輝三角，圖2是楊輝三角的數字表示，楊輝三角的發現要比歐洲早700年左右，由此可見我國古代數學的成就是非常值得中華民族自豪的.根據以上材料，以下說法正確的是（ ）
A．第2024行中，第1012個數最大
B．楊輝三角中第8行的各數之和為2580
C．記第行的第個數為，則
D．在“楊輝三角”中，記每一行第個數組成的數列稱為第斜列，該三角形數陣前2024行中第斜列各項之和為
10．（24-25高三上·重慶·階段練習）若，則下列選項正確的有（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（24-25高三上·重慶·階段練習）已知二項式的展開式中各項系數之和是，則下列說法正確的是（ ）
A．展開式共有6項 B．二項式系數最大的項是第4項
C．展開式的常數項為540 D．展開式含有
三、填空題
12．（19-20高二下·江蘇宿遷·期中）化簡： ．
13．（23-24高三上·山東德州·期末）在的二項展開式中任取一項，則該項系數為有理數的概率為 ．
14．（2024·貴州遵義·模擬預測）在多項式的展開式中，的系數為32，則 .
四、解答題
15．（24-25高三上·吉林白城·階段練習）若，其中.
(1)求的值；
(2)求.
16．（23-24高二下·廣東中山·期末）已知的展開式中，第項與第項的二項式系數之比為．
(1)求的值及展開式中的常數項；
(2)求展開式中系數最大項．
17．（2024高三·全國·專題練習）在等式（）的兩邊求導，得：，由求導法則，得，化簡得等式：．
(1)利用上題的想法（或其他方法），結合等式 （，正整數），證明：．
(2)對于正整數，求證：
（i）；
（ii）；
18．（24-25高二上·上海奉賢·階段練習）已知（n為正整數）.
(1)若，求該式的展開式中所有項的系數之和；
(2)若，求該式的展開式中無理項的個數；
(3)若，求該式的展開式中系數最大的項.
19．（2025·四川內江·模擬預測）楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數學家 教育家，楊輝三角是楊輝的一項重要研究成果.楊輝三角中蘊藏了許多優美的規律，它的許多性質與組合數的性質有關，圖1為楊輝三角的部分內容，圖2為楊輝三角的改寫形式
(1)求圖2中第10行的各數之和；
(2)從圖2第2行開始，取每一行的第3個數一直取到第15行的第3個數，求取出的所有數之和；
(3)在楊輝三角中是否存在某一行，使該行中三個相鄰的數之比為？若存在，試求出這三個數；若不存在，請說明理由.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第02講 二項式定理與楊輝三角
課程標準 學習目標
1．能用多項式運算法則和計數原理證明二項式定理，會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題 2．楊輝三角的性質． 1. 利用計數原理分析二項式的展開過程，歸納、猜想出二項式定理，并用計數原理加以證明； 2.通過經歷二項式定理的探究過程，體驗“歸納、猜想、證明”的數學發現過程，提高自己觀察、分析、概括的能力，以及 “從特殊到一般”、“從一般到特殊”等數學思想的應用能力； 3.會應用二項式定理求解二項展開式.
知識點01 二項式定理
1．二項式定理
一般地，對于任意正整數n，都有
=++++++.(*)
公式(*)叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式，其中各項的系數(k∈{0,1,2,
,n})叫做二項式系數，叫做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第k+1項：=.
(2)二項展開式的規律
①二項展開式一共有(n+1)項.
②(n+1)項按a的降冪b的升冪排列.
③每一項中a和b的冪指數之和為n.
【即學即練1】
1.（23-24高二下·北京通州·期中）二項式的展開式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由二項式定理求解.
【詳解】二項式，
.
2.(x＋2)n的展開式共有11項，則n等于（ ）
A．9 B．10 C．11 D．8
【答案】C
【分析】利用二項式定理的知識即可求解.
【詳解】因為(x＋2)n的展開式共有n＋1項，而(x＋2)n的展開式共有11項，所以n10.
故選:B.
知識點02 二項式系數的性質
對稱性 與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等(即)
增減性 當時，二項式系數逐漸增大；當時，二項式系數逐漸減小，因此二項式系數在中間取得最大值
最大值 當n是偶數時，展開式的中間一項的二項式系數最大；當n是奇數時，展開式的中間兩項與的二項式系數，相等且最大
各二項式 系數的和
【即學即練2】（24-25高二上·全國·隨堂練習）的展開式中二項式系數最大的項是（ ）
A．第3項 B．第6項 C．第6，7項 D．第5，7項
【答案】D
【分析】根據n11為奇數，結合二項式系數的性質，由展開式中第項和第項相等且最大求解.
【詳解】因為n11為奇數，
所以的展開式中第項和項，
即第6，7項的二項式系數相等，且最大．
知識點03二項展開式的應用問題
1．求二項展開式的特定項的解題策略
求二項展開式中的特定項，一般是化簡通項公式后，令字母的指數符合要求(求常數項時，指數為零；
求有理項時，指數為整數等)，解出項數k+1，代回通項公式即可.
2．兩個二項式之積、三項展開式問題的解題策略
(1)對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般都可以根據因式連乘的規律，結合組合思想求解，
但要注意適當地運用分類方法，以免重復或遺漏；也可利用排列組合的知識求解.
(2)對于三項式問題一般先變形化為二項式再解決，或利用展開式的原理求解.
3．二項式系數的和與各項系數的和問題
（1）賦值法
“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展
開式的各項系數之和，常用賦值法.
（2）系數之和問題的解題策略
若，則f(x)展開式中各項系數之和為f(1)，奇數項之和為
，偶數項系數之和為.
（3）展開式的逆用
根據所給式子的特點結合二項式展開式的要求，使之具備二項式定理右邊的結構，然后逆用二項式定
理求解.
4．二項式系數最大項問題
當n為偶數時，展開式中第項的二項式系數最大，最大值為；當n為奇數時，展開式中第
和第項的二項式系數開式中第最大，最大值為或.
【即學即練3】（23-24高二上·北京昌平·期末）若，則（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】D
【分析】根據給定條件，利用賦值法計算作答.
【詳解】因為，
所以當時，，
.
知識點04楊輝三角的性質
(1)最外層全是1，第二層(含1)是自然數列1,2,3,4，…，第三層(含1,3)是三角形數列1,3,6,10,15，….
(2)對稱性：每行中與首末兩端“等距離”之數相等，即CC.
(3)遞歸性：除1以外的數都等于肩上兩數之和，即CC＋C.
(4)第n行奇數項之和與偶數項之和相等，即C＋C＋C＋…C＋C＋C＋….
(5)第n行所有數的和為2n，即C＋C＋C＋…＋C2n.
(6)自左(右)腰上的某個1開始平行于右(左)腰的一條線上的連續n個數的和等于最后一個數斜左(右)下方的那個數．
【即學即練4】楊輝是我國南宋的一位杰出的數學家，在他所著的《詳解九章算法》一書中，畫的一張表示二項式展開后的系數構成的三角圖形，稱為“開方做法本源”．現在簡稱為“楊輝三角”．下面是，當時展開式的二項式系數表示形式．
借助上面的表示形式，判斷與的值分別是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用“楊輝三角”中的數的特點求解即可.
【詳解】觀察分析出“楊輝三角”中的數的特點：
1.每一行有個數字，每一行兩端的數字均為1，
2.從第二行起，每一行中間的數字等于它上一行對應（即兩肩上）的兩個數字的和，
所以.
.
題型01 二項展開式的應用
【典例1】（22-23高二下·江蘇宿遷·期中）設，化簡（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據二項式定理化簡即可．
【詳解】，
．
【變式1】若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用二項式定理可得答案.
【詳解】
.
【變式2】24-25高三·上海·課堂例題）計算的值是 ．
【答案】
【分析】利用二項式定理得解.
【詳解】由二項式定理可得，.
故答案為：.
【變式3】（24-25高二下·全國·課后作業）若(a，b為有理數)，則a＋b .
【答案】44
【分析】根據二項式定理將展開，根據a，b為有理數對應相等求得的值即得解.
【詳解】因為，
所以，
因為，且a，b為有理數，
所以a28，
所以.
故答案為：44
【變式4】化簡：.
【答案】
【分析】逆用二項式定理進行合并即可.
【詳解】原式
.
題型02 求二項展開式的特定項
【典例2】（2024·浙江·三模）的展開式的常數項為（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】先求出展開式的通項，令指數等于0，求得，即可求解.
【詳解】通項為常數項，
令可得，
所以，
．
【變式1】（23-24高二下·浙江·期中）在 的展開式中，第四項為（ ）
A．240 B． C． D．
【答案】A
【分析】根據二項展開式的通項公式可得，令計算即可求解.
【詳解】由題意知，展開式的通項公式為，
令，得，
即第四項為.
【變式2】（2014·山東青島·一模）展開式的常數項為 .
【答案】15
【分析】利用二項式的展開式通項公式求解.
【詳解】展開式的通項公式為，
令，解得，
所以常數項為，
故答案為：15.
【變式3】的展開式中常數項是 .（用數字作答）
【答案】
【分析】根據的展開式的通項公式可求出結果.
【詳解】的展開式的通項為，
令，得，
所以的展開式中常數項是.
故答案為：.
題型03 求二項展開式的特定項系數
【典例3】（2024·北京·模擬預測）在的展開式中，項的系數為（ ）
A． B．20 C． D．40
【答案】A
【分析】由題意寫出展開式通項并化簡，令，解得，回代展開通項計算即可得解.
【詳解】在的展開式通項為，
由題意令，解得，所以項的系數為.
.
【變式1】在的展開式中，的系數等于（ ）
A． B． C．10 D．45
【答案】A
【分析】由二項式展開式的通項公式即可求出的系數.
【詳解】的通項為，
令，解得，
所以項的系數為：.
.
【變式2】（23-24高二下·海南·期末）的展開式中，的系數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二項式展開式通項公式來求指定項系數.
【詳解】由，
當，解得，
所以的系數為，
.
【變式3】（2023·天津·高考真題）在的展開式中，項的系數為 ．
【答案】
【分析】
由二項式展開式的通項公式寫出其通項公式，令確定的值，然后計算項的系數即可.
【詳解】
展開式的通項公式，
令可得，，
則項的系數為.
故答案為：80.
題型04 求展開式的有理項
【典例4】（2024·河南·模擬預測）已知（其中）的展開式中的第7項為7，則展開式中的有理項共有（ ）
A．6項 B．5項 C．4項 D．3項
【答案】A
【分析】運用二項展開式的通項公式可得、的值，結合有理項的定義賦值求解即可.
【解答】展開式的第7項為，
由題意，得，，（），所以，，
則展開式的通項為，，
令，則，所以展開式中的有理項共有3項.
.
【變式1】寫出展開式中的一個有理項為 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】展開式的通項公式為
（），
所以展開式中的有理項分別為：時，；
時，；時，；
時，.
故答案為：（四個有理項任寫其一均可）.
【變式2】在的展開式中，有理項有 項．
【答案】
【解析】的展開式的通項為，
令為整數，則，共項.
故答案為：.
【變式3】2024·高三·江西·開學考試）已知的展開式中只有第5項的二項式系數最大，寫出展開式中的一個有理項 ．
【答案】（或，或，寫出其中一個即可）
【解析】由題意知展開式中共有9項，所以，
所以的展開式的通項為，，．
若為有理項，則，所以，4，8，
故展開式中所有的有理項為，，．
故答案為：（或，或，寫出其中一個即可）
題型05 二項式乘積問題
【典例5】（23-24高二下·廣東深圳·階段練習）在的展開式中，的系數為（ ）
A．20 B．25 C．30 D．35
【答案】C
【分析】寫出后面括號的通項，再分時分別求出系數，最后求和即可.
【詳解】因為的通項為，
當內取時，，
則，此時系數為；
當內取時，，
則，此時系數為；
所以系數為.
.
【變式1】（2022·全國·統考高考真題）的展開式中的系數為 （用數字作答）．
【答案】-28
【分析】可化為，結合二項式展開式的通項公式求解.
【詳解】因為，
所以的展開式中含的項為，
的展開式中的系數為-28
故答案為：-28
【變式2】（2024·西藏·模擬預測）在的展開式中，的系數為（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】A
【分析】根據展開式通項公式得到，的系數分別為，，從而得到的系數為．
【解答】在的展開式中，通項公式為，
故，的系數分別為，，
所以在的展開式中，的系數為．
．
【變式3】（2024高三·全國·專題練習）已知的展開式中的系數為448，則該展開式中的系數為（ ）
A．580 B． C．106 D．
【答案】A
【分析】求出二項式的展開式的通項，由給定系數求出，再求出的系數.
【解答】依題意，，
二項式的展開式的通項，
于是，解得，
所以的展開式中的系數為.
.
題型06 三項式問題
【典例6】（2024·遼寧丹東·一模）的展開式中常數項為（ ）
A．24 B．25 C．48 D．49
【答案】A
【分析】利用二項式定理連續展開兩次，然后令，從而滿足題意的數組可以是：，將這些數組回代入通項公式即可運算求解.
【詳解】的展開式通項為
，
令，得滿足題意的數組可以是：，
規定，
故所求為.
.
【變式1】下列各式中，不是的展開式中的項是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意多項式展開式中，有一個因式選，有2個因式選，其余的2個因式選，有1個因式選，剩下的3個因式選，分別計算所得項，即可得到結果.
【詳解】表示4個因式的乘積，在這4個因式中，有一個因式選，其余的3個因式選，所得的項為，所以是的展開式中的項，在這4個因式中，有2個因式選，其余的2個因式選，所得的項為，所以是的展開式中的項，在這4個因式中，有1個因式選，剩下的3個因式選，所得的項為，所以是的展開式中的項，在這4個因式中，有2個因式選，其余的2個因式中有一個選，剩下的一個因式選，所得的項為，所以不是的展開式中的項.
故選:D.
【變式2】（2024·全國·模擬預測）在的展開式中常數項為（ ）
A．721 B．-61 C．181 D．-59
【答案】A
【分析】先求出展開式的通項公式 =,其中的展開式的通項公式為 ，令x的冪指數等于0，求得r，k的值，即可求得展開式中的常數項的值.
【解答】=的展開式的通項公式為
=，
其中的展開式的通項公式為 ，
當時，，，常數項為；
當時，，，常數項為；
當時，，，常數項為；
故常數項為++.
.
【變式3】（2024·河北滄州·二模）在的展開式中，項的系數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據條件，利用組合知識，即可求出結果.
【解答】相當于6個因式相乘，其中一個因式取，有種取法，
余下5個因式中有2個取，有種取法，最后3個因式中全部取，有種取法，故展開式中的系數為.
.
題型07 已知特定項求參數
【典例7】（23-24高三下·湖南婁底·階段練習）已知，若的展開式中，常數項等于240，則（ ）
A．3 B．2 C．6 D．4
【答案】C
【分析】根據二項展開式的通項公式求出常數項，建立方程得解.
【詳解】由二項展開式的通項公式可得，
令，解得，
即常數項為，解得.
【變式1】（2023·四川瀘州·二模）已知的展開式中存在常數項，則n的可能取值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】D
【分析】首先寫出二項式展開的通式，根據題意存在常數項，可得，進而得到的可能取值.
【詳解】二項式的展開式的通項為，
令，即，由于，故必為的倍數，即的可能取值為.
【變式2】（22-23高二下·廣東揭陽·期中）在的展開式中存在常數項，寫出一個滿足條件的的值是 .
【答案】4（答案不唯一，滿足即可）
【分析】求出展開式的通項公式，然后令的指數為，根據的范圍即可求解.
【詳解】展開式的通項公式為
令，得,故
令則
故答案為：.
【變式3】（23-24高三下·陜西·階段練習）在的展開式中，的系數為84，則 ．
【答案】7
【分析】先求出通項公式，再結合已知條件建立等量關系求解即可.
【詳解】由題意知二項式展開式通項公式為，
又因為的系數為84，所以，
所以.
故答案為：7.
【變式4】（23-24高三上·上海普陀·期末）的常數項為第3項，求
【答案】
【分析】展開式的第項是常數項，即得指數為，求出的值即可．
【詳解】因為的常數項為第3項，
所以，，
所以，即.
故答案為：.
題型08二項式系數的最值問題
【典例8】已知二項式的展開式中只有第4項的二項式系數最大，且展開式中各項的系數和為64，則正數的值為 .
【答案】3
【解析】因為的展開式中只有第4項的二項式系數最大，
所以展開式一共有項，即，令，得展開式中所有項的系數和為，
所以或（舍去），所以正數的值為3.
故答案為：3.
【變式1】若的展開式中只有第5項的二項式系數最大，則展開式中的項為 .
【答案】
【解析】由題意，只有第5項的二項式系數最大知，
展開式中有共項，則，
所以的展開式的通項為
，
令，解得，
故展開式中的項為.
故答案為：.
【變式2】已知二項式的展開式中僅有第4項的二項式系數最大，則 .
【答案】
【解析】因為二項式的展開式中僅有第4項的二項式系數最大，
根據二項展開式的性質，可得中間項的二項式系數最大，所以展開式一共有7項，
所以為偶數且，可得.
故答案為：.
【變式3】 的展開式中只有第六項的二項式系數最大，則第四項為 .
【答案】/
【解析】因為展開式中只有第六項的二項式系數最大，即，所以，
所以.
故答案為：
題型09 系數的最值問題
【典例9】（2024·江西南昌·三模）若的展開式中有且僅有第五項的二項式系數最大，則展開式中系數最大的是（ ）
A．第二項 B．第三項 C．第四項 D．第五項
【答案】C
【解析】因為的展開式中有且僅有第五項的二項式系數最大，
所以，解得，
則的展開式通項為，
當為奇數時，系數為負數，當為偶數時，系數為正數，
所以展開式中系數最大時，為偶數，
由展開式通項可知，，，
，，
所以展開式中系數最大的是第三項，
【變式1】（2024·全國·模擬預測）的展開式中系數最大的項為（ ）
A．70 B．580 C．或 D．
【答案】A
【解析】的展開式的通項公式為，，由二項式系數中，最大，此時該二項展開式中第5項的系數最大，∴的展開式中系數最大的項為，
．
【變式2】二項式的展開式中，系數最大項的是（ ）
A．第項 B．第項和第項
C．第項 D．第項
【答案】A
【解析】由二項展開式的通項公式，
可知系數為，與二項式系數相比只是符號的區別，
二項式系數最大的項為第項和第項，
又由第項系數為，
第項系數為，
故系數最大項為第項.
.
【變式3】已知的展開式中唯有第5項的系數最大，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的展開式的通項為，
由題可知，解得．
題型10 展開式系數和問題
【典例10】（多選）（23-24高三下·山東·開學考試）已知的展開式中，各項的二項式系數之和為128，則（ ）
A． B．只有第4項的二項式系數最大
C．各項系數之和為1 D．的系數為5800
【答案】AD
【分析】
根據二項式系數之和為運算求解，進而判斷A；根據二項式系數的性質分析判斷B；令，求各項系數之和，進而判斷C；對于D：結合二項式系數的通項分析判斷.
【詳解】對于A：由題意可知：各項的二項式系數之和為，解得，故A正確；
可得，
對于B：因為，則第4項和第5項的二項式系數最大，故B錯誤；
對于C：令，可得各項系數之和為，故C錯誤；
對于D：因為二項展開式的通項為，
令，解得，
所以的系數為，故D正確；
D.
【變式1】（多選）（23-24高二下·福建南平·階段練習）設，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】
令，則，將原式變形，對于，為第二項的系數，由二項式定理即可求解；對于，令，即可得；對于，令，可求，令，即可求解；對于，令，即可求解.
【詳解】令，所以，
所以原式可變形為，
所以，故正確；
令，則，故正確；
令，則，
令，則，所以，故不正確；
令，則，
所以，故不正確.
故選：.
【變式2】若的展開式中第3項的二項式系數是15，則展開式中所有項系數之和為 ．
【答案】
【分析】利用第3項的二項式系數是求，然后將代入可求展開式中所有項系數之和.
【詳解】的展開式中第3項的二項式系數為，，
解得，所以.
令，得到展開式中所有項系數之和為.
故答案為：.
【變式3】已知，則（ ）
A．9 B．10
C．19 D．29
【答案】D
【解析】因為，
所以
分別對兩邊進行求導得 ，
令，得，
所以，
【變式4】若，則的值為（ ）
A． B． C．253 D．126
【答案】D
【解析】令，
得，
，
∴.
.
【變式5】已知對任意實數x，，則下列結論不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因（*）
對于A項，當時，代入（*）可得，當時，代入（*）可得，所以，故A項錯誤；
對于B項，當時，代入（*）可得，
又，所以，故B項錯誤；
對于C項，當時，代入（*）可得，故C項正確；
對于D項，對（*）兩邊求導可得，
，當時，，故D項錯誤.
.
題型11 整除與余數問題
【典例11】（2024·湖北荊州·三模）已知，則被3除的余數為（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【解析】令，得，令，得，
兩式相減，，
因為，
其中被3整除，所以被3除的余數為1，
綜上，能被3整除．
.
【變式1】（2024·貴州黔南·二模）我國農歷用“鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬”這12種動物按順序輪流代表各年的生肖年號，今年2024年是龍年.那么從今年起的年后是（ ）
A．虎年 B．馬年 C．龍年 D．羊年
【答案】C
【解析】由
，
故除以的余數為，故除以的余數為，
故年后是馬年.
.
【變式2】（2024·福建三明·三模）各種不同的進制在生活中隨處可見，計算機使用的是二進制，數學運算一般使用的是十進制，任何進制數均可轉換為十進制數，如八進制數轉換為十進制數的算法為．若將八進制數轉換為十進制數，則轉換后的數的末位數字是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】
因為是的倍數，
所以換算后這個數的末位數字即為的末位數字，
由，末位數字為3，
．
【變式3】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）中國南北朝時期的著作《孫子算經》中，對同余除法有較深的研究，對于兩個整數，若它們除以正整數所得的余數相同，則稱和對模同余，記為．若，則的值可以是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】C
【分析】根據給定條件，利用二項式定理變形，求出除以8的余數即可得解.
【解答】依題意，
，
顯然是8的整數倍，因此除以8的余數是6，
而2021，2022，2023，2024除以8的余數分別為5，6，7，0，
所以的值可以是2022.
.
【變式4】（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）若能被7整除，則x，n的一組值可能為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】利用二項式定理得展開式，對選項一一判斷即可得出答案.
【解答】，
當，時，能被7整除；
當，時，不能被7整除；
當，時，不能被7整除；
當，時，不能被7整除．
．
題型12 近似計算問題
【典例12】（2024·湖南·二模）某銀行在2024年初給出的大額存款的年利率為，某人存入大額存款元，按照復利計算10年后得到的本利和為，下列各數中與最接近的是（ ）
A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34
【答案】A
【分析】利用等比數列的通項公式、二項展開式計算可得答案.
【解答】存入大額存款元，按照復利計算，
可得每年末本利和是以為首項，為公比的等比數列，
所以，
可得，
.
【變式1】（2024·安徽合肥·三模）某銀行大額存款的年利率為，小張于2024年初存入大額存款10萬元，按照復利計算8年后他能得到的本利和約為（ ）（單位：萬元，結果保留一位小數）
A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9
【答案】C
【分析】根據復利可知每年末本息和構成等比數列，利用等比數列通項公式及二項式定理求解即可.
【解答】存入大額存款10萬元，按照復利計算，
每年末本利和是以10為首項，為公比的等比數列，
所以本利和．
．
【變式2】（2024·高三·河北·開學考試）已知二項式的二項式系數的和為，則 .試估算時，的值為 .（精確到）
【答案】
【解析】二項式的二項式系數的和為，解得，
當時，
.
故答案為：；.
【變式3】（2024·高三·山西朔州·開學考試）的計算結果精確到0.01的近似值是 ．
【答案】1.34
【解析】
故答案為：
題型13 二項式定理與數列的交匯問題
【變式13】（23-24高二·全國·課后作業）已知，展開式中的系數為，則等于（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題知，進而整理化簡，并根據裂項求和法計算即可得答案.
【解答過程】∵，展開式中的系數為，
∴則
，
．
【變式1】（2024·江西九江·二模）第14屆國際數學教育大會（ICME-International Congreas of Mathematics Education）在我國上海華東師范大學舉行.如圖是本次大會的會標，會標中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦——3、7、4、4，這是中國古代八進制計數符號，換算成現代十進制是，正是會議計劃召開的年份，那么八進制換算成十進制數，則換算后這個數的末位數字是（ ）

A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【分析】換算后由等比數列求和得，改寫成，利用二項式定理展開即可求解.
【詳解】由進位制的換算方法可知，八進制換算成十進制得：
，
因為是10的倍數，
所以，換算后這個數的末位數字即為的末尾數字，
由可得，末尾數字為3.
【變式2】（2003·全國·高考真題）已知數列{an}(n為正整數)是首項為a1，公比為q的等比數列．
(1)求和：，；
(2)由（1）的結果歸納概括出關于正整數n的一個結論，并加以證明．
【答案】(1)，；
(2)答案見解析
【分析】
（1）根據等比數列性質、組合數及二項式定理逆運用計算即可；
（2）根據（1）歸納總結，由二項式定理逆運用證明即可.
【詳解】（1），
；
（2）
歸納概括的結論為：
若數列{an}是首項為a1，公比為q的等比數列，則
，n為正整數．
證明：
.
題型14 二項式定理與比較大小問題
【典例14】（2023·湖南株洲·統考一模）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據對數運算以及作差法，整理代數式，構造函數，利用函數單調性，可得的大小關系；根據二項式定理以及中間值法，整理，可得答案.
【詳解】由，，則，
令，，
當時，，則單調遞增，即，
故，可得，即；
由，
且，則，即.
綜上，.
.
【變式1】下列說法中，不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用二項式定理展開進行放縮，可以判斷選項A、B，利用二倍角公式和不等式性質判斷選項C，利用導數的性質判斷選項D.
【詳解】對于A，因為
，所以A正確;
對于B，因為
所以，所以B正確;
對于C，，所以C不正確;
對于D，構造函數,
則,
故單調遞增，則,
則，所以D正確.
.
題型15 證明組合恒等式
【典例15】（2024高三·全國·專題練習）求證：
【答案】證明見解析
【分析】證法一：根據并記，，構造方程組即可得結論‘
證法二：由組合數的計算公式直接可得，再結合二項式系數性質計算化簡可得結論.
【詳解】證法一：
若記，，
則由典例11知道，
所以
又有
⑥和⑦相加，即得 ，這就是要證明的恒等式．
證法二：
根據組合數的計算公式直接可得
于是
；
由此即得
【變式1】（2024高三·全國·專題練習）求證：
【答案】證明見解析
【分析】根據二項式系數性質利用倒序相加求和即可得出結論.
【詳解】證明：
令，則；
兩式相加可得,
所以；
可得.
【變式2】（2024高三·全國·專題練習）求證：.
【答案】證明見解析
【分析】根據，利用二項式定理分別求出等式左右兩邊含的項的系數即可證明.
【詳解】證明：，
當時，展開式中的系數為，
又，
當時，展開式中的系數為，
，
.
題型16 楊輝三角
【典例17】（2024高二下·全國·專題練習）楊輝是我國南宋末年的一位杰出的數學家．他在《詳解九章算法》一書中，畫了一個由二項式展開式的系數構成的三角形數陣，稱作“開方作法本源”，這就是著名的“楊輝三角”．在“楊輝三角”中，從第2行開始，除1以外，其他每一個數值都是它上面的兩個數值之和，每一行第個數組成的數列稱為第斜列．該三角形數陣前5行如圖所示，則該三角形數陣前2022行第斜列與第斜列各項之和最大時，的值為（ ）
A．1009 B．1010 C．1011 D．1012
【答案】D
【分析】根據題意可得第斜列各項之和為，第斜列各項之和為，則可求出.
【詳解】當時，第斜列各項之和為
，
同理，第斜列各項之和為，所以，
所以第斜列與第斜列各項之和最大時，，則.
．
【變式1】（24-25高二上·全國·課后作業）楊輝三角，又稱帕斯卡三角，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，在我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法》（1261年）一書中用如圖所示的三角形解釋二項式乘方展開的系數規律，現把楊輝三角中的數從上到下，從左到右依次排列，得數列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，記作數列．若數列的前n項和為，則等于（ ）

A．235 B．512 C．521 D．1033
【答案】D
【分析】前47項的和為楊輝三角前9行的和再加第10行的前兩個數1和9，再結合楊輝三角形的性質求解.
【詳解】根據題意，楊輝三角前9行共有（項）．
故前47項的和為楊輝三角前9行的和再加第10行的前兩個數1和9，
又楊輝三角的第行的所有數的和為，
所以前47項的和．
【變式2】（多選）定義有n行的“楊輝三角”為n階“楊輝三角”，如圖就是一個8階“楊輝三角”.
給出的下列命題中正確的是（ ）.
A．記第 行中從左到右的第 個數為，則數列的通項公式為
B．第k行各個數的和是
C．n階“楊輝三角”中共有個數
D．n階“楊輝三角”的所有數的和是
【答案】CCD
【分析】明確第i行各個數是的展開式的二項式系數，即可判斷A;
各行的所有數的和是各行對應的二項式系數和,由此判斷B;
根據楊輝三角每行的數的個數，可計算n階“楊輝三角”中共有個數，判斷C;
計算“楊輝三角”的所有數的和，即可判斷D.
【詳解】第i行各個數是的展開式的二項式系數，
則數列的通項公式為，故A錯誤；
各行的所有數的和是各行相應的二項式系數和，第k行各個數的和是，故B正確；
第k行共有（k+1）個數，從而n階“楊輝三角”共有個數，故C正確；
“楊輝三角”的所有數的和是，故D正確.,
CD
【變式3】（多選）（23-24高二下·江蘇南通·期中）南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中畫了一張表示二項式系數構成的三角形數陣（如圖所示），在“楊輝三角”中，下列選項正確的是（ ）
A．第10行所有數字的和為1024
B．
C．第6行所有數字的平方和等于
D．若第行第個數記為，則
【答案】ACD
【分析】根據第行數學特征確定二項式，結合二項式系數和公式、組合數公式、二項式定理逐一判斷即可.
【詳解】A：第10行所有數字是二項式系數，因此第10行所有數字的和為，因此本選項正確；
B：
，所以本選項不正確；
C：所求的和表達式為：，
因為
，
所以展開式中的系數為，即，
而，
因此有，
于是有，所以本選項正確；
D：因為，所以本選項正確，
CD
【變式4】（23-24高二下·廣東佛山·階段練習）下圖所示的三角形數陣叫“萊布尼茲調和三角形”，它們是由整數的倒數組成的，第n行有n個數且兩端的數均為，每個數是它下一行左右相鄰兩數之和，如，，，則第11行第5個數（從左往右數）為 ．
【答案】
【分析】根據題意分析可知：第行第5個數（從左往右數）是，代入即可得結果.
【詳解】由題可知，第行第5個數（從左往右數）是，
所以第11行第5個數（從左往右數）為．
故答案為：.
題型17 新定義問題
【典例17】（22-23高三上·江蘇南京·期末）對于伯努利數，有定義：．則（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根據伯努利數的定義以及二項式定理，將寫成遞推公式的形式，逐一代入計算即可判斷選項.
【詳解】由得，
，
所以，，
同理，，
所以，，
其中第項為
即可得
令，得；
令，得；
令，得
同理，可得；
即可得選項AC正確，B錯誤；
對于D，由上述前12項的值可知，當為奇數時，除了之外其余都是0，
即，也即；所以D正確.
CD.
【變式1】（23-24高三上·上海楊浦·階段練習）已知對任意正整數對，定義函數如下：，，，則下列正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據新定義得，令，可判斷A，對累乘結合組合數的階乘形式化簡即可判斷B，根據二項式系數和公式判斷C，結合等比數列前n項和公式根據分組求和求解判斷D.
【詳解】因為，所以，
令，則，所以，故選項A錯誤；
因為，
所以累乘得，
因為，所以，故選項B錯誤；
因為，所以，
所以，故選項C正確；
故選項D錯誤.
.
【變式2】（22-23高二下·湖北黃岡·期中）定義：兩個正整數a，b，若它們除以正整數m所得的余數相等，則稱a，b對于模m同余，記作，比如：．已知：，滿足，則p可以是（ ）
A．26 B．31 C．32 D．37
【答案】A
【分析】根據二項式定理求得除以的余數，再結合選項即可求得結果.
【詳解】因為，
而，
因此除以的余數為除以的余數2，
而26，31，32除以7的余數分別為5，3，4，不符合題意，37除以7的余數為2，即D滿足.
【變式3】（23-24高二下·上海·期末）仿照二項式系數，可以定義“三項式系數”為的展開式中的系數，即其中．
(1)求的值：
(2)對于給定的，計算以下兩式的值：與
(3)對于，記中偶數的個數為，奇數的個數為．是否存在使得？若存在，請給出一個滿足要求的并說明理由；若不存在，請給出證明．
【答案】(1)；；
(2)；
(3)
【分析】（1）直接展開計算即可；
（2）賦值，再兩邊同時求導，再次賦值即可；
（3）利用構造法證明引理，再賦值即可.
【詳解】（1）因為，
所以,，.
（2），取得：
.
兩邊同時求導于是有
取得：.
（3）引理：.
當時，不成立.
若時命題不成立，則當時，
.
引理得證.
則取有
于是當時，有，，是奇數，其余時是偶數.
所以，，所以.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是對二項式定義的遷移與推廣，需要充分理解題意并合理賦值.
一、單選題
1．（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）已知的展開式共有9項，則（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【分析】根據的展開式的項數特點易得答案.
【詳解】因的展開式有項，故，解得.
.
2．（2023·山西·模擬預測）的展開式中常數項為（ ）
A．112 B．580 C．28 D．16
【答案】A
【分析】由二項展開式的通項公式即可得到常數項.
【詳解】由題意知，通項公式為，
所以常數項為.
.
3．（18-19高二·全國·課后作業）化簡多項式的結果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知，將多項式的每一項都變成二項式展開式的結構，觀察結構變化，即可進行合并，完成求解.
【詳解】依題意可知，多項式的每一項都可看作，
故該多項式為的展開式，
化簡．
.
4．（23-24高二下·新疆克孜勒蘇·期中）若展開式中只有第7項的二項式系數最大，則（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【分析】根據給定條件，利用二項式系數的性質求解即得.
【詳解】由的展開式中只有第7項的二項式系數最大，得展開式共有13項，
所以.
5．（2023·廣東江門·一模）已知多項式，則（ ）
A．－980 B．980 C．－480 D．480
【答案】A
【分析】將寫為，是第8項的系數，計算即可.
【詳解】解：因為，所以第8項為，
所以.
6．（23-24高二下·江蘇連云港·期中）被3除的余數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用二項式定理賦值化簡，再將寫成形式展開后可求余數.
【詳解】由二項式定理得，
令得，①，
令得，②，
①②得，，
解得，，
由
，
故被3除的余數為.
.
7．（23-24高二下·新疆克孜勒蘇·期末）已知的二項展開式中二項式系數和為32，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二項式系數和，解出，再以為整體，利用二項式定理求解系數即可.
【詳解】由題意知，解得，
又
，
則.
.
8．（23-24高二下·江蘇揚州·期中）若的展開式中第3項與第7項的系數相等，則展開式中系數最大的項為（ ）
A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7項
【答案】C
【分析】根據二項式展開式中二項式系數的性質求解．
【詳解】由題意，二項式的展開式的系數與二項式系數相同，即，解得，
則展開式中共有9項，系數最大的項為第5項．
.
二、多選題
9．（23-24高二下·河南鄭州·期末）楊輝是我國古代數學史上一位著述豐富的數學家，著有《詳解九章算法》 《日用算法》和《楊輝算法》，楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》給出了如下圖1所示的表，我們稱這個表為楊輝三角，圖2是楊輝三角的數字表示，楊輝三角的發現要比歐洲早700年左右，由此可見我國古代數學的成就是非常值得中華民族自豪的.根據以上材料，以下說法正確的是（ ）
A．第2024行中，第1012個數最大
B．楊輝三角中第8行的各數之和為2580
C．記第行的第個數為，則
D．在“楊輝三角”中，記每一行第個數組成的數列稱為第斜列，該三角形數陣前2024行中第斜列各項之和為
【答案】CC
【分析】利用的展開式的二項式系數的性質可判斷AB；求出，再利用展開式的特征可判斷C；利用可判斷D.
【詳解】對于A，因為楊輝三角的第行就是的展開式的二項式系數，
即，當為偶數時中間一項最大，因為，
所以中間一項最大，且為第個數最大，故A錯誤；
對于B，楊輝三角中第8行的各數之和為，故B正確；
對于C，記第行的第個數為，則，
則，故C正確；
對于D，因為
，
所以時，該三角形數陣前2024行中第斜列各項之和為
，
時，該三角形數陣前2024行中第1斜列各項之和為2024，而，
所以只適用于，故D錯誤.
C.
【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是利用的展開式的二項式系數性質解題.
10．（24-25高三上·重慶·階段練習）若，則下列選項正確的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】利用賦值判斷AC，去絕對值后，賦值判斷B，兩邊求導后，再賦值，判斷D.
【詳解】A.令，得，故A正確；
B.，令
令展開式中的，得，故B錯誤；
C.令展開式中的，得，
所以，故C正確；
D.展開式的兩邊求導，得，
令，得，故D正確.
CD
11．（24-25高三上·重慶·階段練習）已知二項式的展開式中各項系數之和是，則下列說法正確的是（ ）
A．展開式共有6項 B．二項式系數最大的項是第4項
C．展開式的常數項為540 D．展開式含有
【答案】CC
【分析】由二項式的展開式中各項系數之和是，求出，得到二項展開式的通項公式，逐項判斷即可.
【詳解】由于二項式的展開式中各項系數之和是，
所以令，則，所以，
所以二項式，所以展開后有項，故A錯誤；
二項式系數最大的項是第4項，故B正確；
二項式展開式的通項公式為，
所以當時，常數項為，故C正確；
當時，解得不是整數，所以展開式不含有項，故D錯誤.
C
三、填空題
12．（19-20高二下·江蘇宿遷·期中）化簡： ．
【答案】
【分析】
逆用二項式定理結合已知條件求解
【詳解】
，
故答案為：
13．（23-24高三上·山東德州·期末）在的二項展開式中任取一項，則該項系數為有理數的概率為 ．
【答案】
【分析】由題可得的二項展開式共有7項，通項為：，則該項系數為有理數時，為偶數，即可得答案.
【詳解】的二項展開式共有7項，通項為：，
其中，要使項系數為有理數，則為偶數，即時，
項系數為有理數，則相應概率為：.
故答案為：.
14．（2024·貴州遵義·模擬預測）在多項式的展開式中，的系數為32，則 .
【答案】
【分析】首先展開得，再分別計算兩部分含的系數，即可求解.
【詳解】，
中含的系數為，中含的系數為，所以中的系數為，
所以，得
故答案為：
四、解答題
15．（24-25高三上·吉林白城·階段練習）若，其中.
(1)求的值；
(2)求.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）求出二項式展開式的通項公式，利用給定系數求出.
（2）由（1）的結論，利用賦值法分別求出即可得解.
【詳解】（1）二項式展開式的通項為，
依題意，，解得，
所以的值為.
（2）由（1）知，，
令，得，
令，得，
則
所以.
16．（23-24高二下·廣東中山·期末）已知的展開式中，第項與第項的二項式系數之比為．
(1)求的值及展開式中的常數項；
(2)求展開式中系數最大項．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）求得展開式的通項為，根據題意，列出方程求得，進而求得展開式的常數項；
（2）設展開式第項的系數最大，得出不等式組，結合，求得的值，代入即可求解.
【詳解】（1）解：由題意，可得二項式展開式的通項為，
因為第項與第項的二項式系數之比為，可得，即，解得（負值舍），
所以，令，得，所以展開式的常數項為.
（2）解：設展開式中第項的系數最大，
則，可得，解得，
因為，所以，所以系數最大的項為
17．（2024高三·全國·專題練習）在等式（）的兩邊求導，得：，由求導法則，得，化簡得等式：．
(1)利用上題的想法（或其他方法），結合等式 （，正整數），證明：．
(2)對于正整數，求證：
（i）；
（ii）；
【答案】(1)證明見解析
(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析
【分析】（1）對二項式定理的展開式兩邊求導數，移項得到恒等式；
（2）（i）對（1）中的賦值-1，整理得到恒等式；
（ii）對二項式的定理的兩邊對求導數，再對得到的等式對兩邊求導數，給賦值-1化簡即得證．
【詳解】（1）證明：
在等式兩邊對求導，
得，
移項得 .
（2）（i）證明：
在中令，
整理得 ，∴ ．
（ii）證明：
由（1）知，
兩邊對求導，得，
在上式中，令，得，
即 ，亦即 ①，
又由（i）知 ②，
由①②，得．
18．（24-25高二上·上海奉賢·階段練習）已知（n為正整數）.
(1)若，求該式的展開式中所有項的系數之和；
(2)若，求該式的展開式中無理項的個數；
(3)若，求該式的展開式中系數最大的項.
【答案】(1)1
(2)15
(3)
【分析】（1）由求出，再令可得答案；
（2）由求出，求出展開式的通項公式，再由的指數不為整數可得答案；
（3）求出展開式的通項公式由解不等式可得答案．
【詳解】（1）由可得，
令可得，
所以展開式中所有項的系數之和為1；
（2）若，則，解得，或舍去，
設的通項為，
且，
所以當時可得展開式中的無理項，所以共有15個無理項；
（3）設的通項為，
且，
最大的項為偶數，
則，解得，
，
所以展開式中系數最大的項為．
19．（2025·四川內江·模擬預測）楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數學家 教育家，楊輝三角是楊輝的一項重要研究成果.楊輝三角中蘊藏了許多優美的規律，它的許多性質與組合數的性質有關，圖1為楊輝三角的部分內容，圖2為楊輝三角的改寫形式
(1)求圖2中第10行的各數之和；
(2)從圖2第2行開始，取每一行的第3個數一直取到第15行的第3個數，求取出的所有數之和；
(3)在楊輝三角中是否存在某一行，使該行中三個相鄰的數之比為？若存在，試求出這三個數；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)5800
(3)存在，
【分析】（1）根據二項式系數的性質求和即可；
（2）根據組合數的性質化簡求值即可；
（3）假設存在，根據條件建立方程組求解，即可得解.
【詳解】（1）第10行的各數之和為：.
（2）楊輝三角中第2行到第15行各行第3個數之和為：
.
（3）存在，理由如下：
設在第行存在連續三項，其中且且，
有且，化簡得且，
即，解得，
所以，
故這三個數依次是.
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