資源簡介

第04講 隨機變量的數字特征
課程標準 學習目標
通過具體實例，了解離散型隨機變量的概念，理解離散型隨機變量分布列及其數字特征(均值、方差). 1.理解離散型隨機變量的數字特征的意義. 2.理解并會求離散型隨機變量的數字特征.
知識點01　離散型隨機變量的均值
1．離散型隨機變量的均值的概念
(1)一般地，若離散型隨機變量X的分布列為
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
則稱E(X)x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數學期望．
【解讀】均值是隨機變量可能取值關于取值概率的加權平均數，它綜合了隨機變量的取值和取值的概率，反映了隨機變量取值的平均水平．
(2)均值的性質
設X的分布列為P（Xxi）pi，i1，2，…，n.
①E（X＋b）E（X）＋b.
②E（aX）aE（X）.
③E（aX＋b）aE（X）＋b.
【即學即練1】 若隨機變量X的分布列為
則E(X)等于(　　)
知識點02　離散型隨機變量的方差、標準差
（1）定義①D（X）（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…＋（xn－E（X））2pn（xi－E（X））2pi為隨機變量X的方差，有時也記為Var（X），并稱為隨機變量X的標準差，記為σ（X）.
②公式：D（X）pi－（E（X））2.
（2）方差的性質
①離散型隨機變量X加上一個常數b，僅僅使X的值產生一個平移，不改變X與其均值的離散程度，方差保持不變，即D（X＋b）D（X）.而離散型隨機變量X乘以一個常數a，其方差變為原方差的a2倍，即D（aX）a2D（X）.
一般地，可以證明下面的結論不成立：D（aX＋b）a2D（X）.
②隨機變量的方差和標準差都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程度.方差或標準差越小，隨機變量的取值越集中；方差或標準差越大，隨機變量的取值越分散.
【解讀】
1．隨機變量的線性關系
若X是隨機變量，YaX＋b，a，b是常數，則Y也是隨機變量．
2．判斷所求離散型隨機變量的分布列是否正確，可用pi≥0，i1，2，…，n及p1＋p2＋…＋pn1檢驗．
3．均值與方差的四個常用性質
(1)E(k)k，D(k)0，其中k為常數．
(2)E(X1＋X2)E(X1)＋E(X2)．
(3)D(X)E(X2)－(E(X))2.
(4)若X1，X2相互獨立，則E(X1X2)E(X1)·E(X2)．
【即學即練2】牧場的10頭牛，因誤食瘋牛病毒污染的飼料被感染，已知該病的發病率為0.02，設發病牛的頭數為X，則D(X)等于________.
知識點03　特殊分布的數字特征
（1）兩點分布
若X～B(1，p)，則E(X)p，D(X)p(1－p)；
（2）二項分布
若X～B(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1－p).
（3）超幾何分布
若離散型隨機變量X服從超幾何分布(N，M，n)，則有若X～H(N，M，n)，則E(X).
【即學即練3】某運動員投籃命中率為p0.6，則
①投籃1次時命中次數X的數學期望為______；
②重復5次投籃時，命中次數Y的數學期望為______.
題型01 求離散型隨機變量的均值
【典例1】（23-24高二下·浙江·期中）從7男3女共10名學生干部中隨機選出5名學生干部，抽到的女生人數的均值為（ ）
A． B． C． D．2
【變式1】（23-24高二下·天津·期中）隨機變量的分布列如下：其中成等差數列，若，則（ ）
0 2
A． B． C． D．1
【變式2】（23-24高二下·河南開封·期末）一批產品中次品率為，隨機抽取1件，定義，則（ ）
A．0.05 B．0.5 C．0.95 D．0.095
【變式3】（23-24高二上·全國·課時練習）某班舉行了一次“心有靈犀”的活動，教師把一張寫有成語的紙條出示給A組的某個同學，這個同學再用身體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學．若小組內同學甲猜對成語的概率是0.4，同學乙猜對成語的概率是0.5，且規定猜對得1分，猜錯得0分，則這兩個同學各猜1次，得分之和X的均值（ ）
A．0.9 B．0.8
C．1.2 D．1.1
【變式4】（23-24高二下·內蒙古赤峰·期末）盒子中有5個大小和形狀均相同的小球，其中白球3個，紅球2個，每次摸出2個球.若摸出的紅球個數為，則（ ）
A． B． C． D．2
題型02 均值性質的應用
【典例2】（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）已知隨機變量的分布列如下:
0 1
設，則的數學期望的值是（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（23-24高二下·山東棗莊·期中）隨機變量的概率分布為
1 2 4
0.4 0.3
則等于（ ）
A．5 B．15 C．45 D．與有關
【變式2】（23-24高二下·安徽·期末）從一批含有8件正品，2件次品的產品中不放回地抽3次，每次抽取1件，設抽取的次品數為，則（ ）
A．2 B．1 C．3 D．4
【變式3】（2024高二上·全國·專題練習）已知隨機變量X的分布列為
X 1 2 3
P
且，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式4】（24-25高二下·全國·課后作業）已知離散型隨機變量的分布列如下，若，則（ ）
0 2
A． B．1 C． D．
題型03 離散型隨機變量的方差與標準差
【典例3】（24-25高二下·全國·課后作業）如圖，一個質點在隨機外力的作用下，從0出發，每次等可能地向左或向右移動一個單位，共移動3次，設質點最終所在位置的坐標為，則 ．
【變式1】已知隨機變量X的分布列如下表（其中a為常數）則下列計算結果正確的是（ ）
X 0 1 2 3
P 0.2 a 0.4 0.1
A． B． C． D．
【變式2】（23-24高二上·遼寧遼陽·期末）小明參加某射擊比賽，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率為，記小明射擊2次的得分為X，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（24-25高二下·全國·課后作業）根據以往的經驗，某工程施工期間的降水量（單位：）對工期的影響如下表所示.
降水量
工期延誤天數 0 2 6 10
若歷史氣象資料表明，該工程施工期間降水量小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9，則工期延誤天數的數學期望是 ，工期延誤天數的方差為 .
題型04 方差的性質
【典例4】（23-24高二下·江蘇無錫·期中）已知隨機變量的分布列如下，則 .
【變式1】（24-25高二下·全國·課后作業）已知隨機變量X的分布列為
0 1 2
0.1 0.2 0.4
則 .
【變式2】（23-24高二下·新疆·期中）（多選）已知，，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】（24-25高二下·全國·課后作業）（多選）已知隨機變量的分布列為．若，則（ ）
A．隨機變量的均值為1 B．隨機變量的均值為2
C．隨機變量的方差為3 D．隨機變量的方差為
題型05 兩點分布的均值與方差
【典例5】（23-24高二下·內蒙古·期末）若X服從分布，且，則（ ）
A．0.75 B．1.25 C．0．25 D．0.5
【變式1】（23-24高二下·四川遂寧·階段練習）已知隨機變量服從兩點分布，且，設，那么的值是（ ）
A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.3
【變式2】3．（23-24高三上·陜西西安·開學考試）已知隨機變量服從兩點分布，且，若，則下列判斷正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】（23-24高二下·河南·期中）若甲同學在某次期中考試中數學成績班級第一的概率為，記該同學在本次期中考試中數學成績班級第一發生的次數為離散型隨機變量，則 .
【變式4】（2024高二下·全國·專題練習）若某事件A發生的概率為，則事件A在一次試驗中發生的次數X的方差的最大值為 ．
題型06 二項分布的均值與方差
【典例6】2．（23-24高二下·廣西南寧·期末）已知隨機變量，，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（23-24高二下·遼寧大連·期末）已知隨機變量，且，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．9
【變式2】（23-24高二下·北京海淀·期末）小明投籃3次，每次投中的概率為，且每次投籃互不影響，若投中一次得2分，沒投中得0分，總得分為，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（23-24高二下·山東臨沂·期末）隨機變量，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4】（23-24高二下·安徽·期末）已知隨機變量，且，則（ ）
A． B． C． D．
題型07 超幾何分布的均值與方差
【典例7】（23-24高二下·河南信陽·期末）2024年5月中國郵政發行了《巢湖》特種郵票3枚，巢湖是繼《太湖》（5枚）、《鄱陽湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四個登上特種郵票的五大淡水湖.現從15枚郵票中隨機抽取2枚，記抽取郵票《巢湖》的枚數為，則（ ）
A． B． C．1 D．
【變式1】（23-24高二下·吉林長春·階段練習）2024年“與輝同行”直播間開播，董宇輝領銜7位主播從“心”出發，其中男性5人，女性3人，現需排班晚8：00黃金檔，隨機抽取兩人，則男生人數的期望為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】）（22-23高二下·江蘇連云港·階段練習）已知6件產品中有2件次品，4件正品，檢驗員從中隨機抽取3件進行檢測，記取到的正品數為，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】（23-24高二下·浙江·期中）一個不透明的袋子有10個除顏色不同外，大小、質地完全相同的球，其中有6個黑球，4個白球．現進行如下兩個試驗，試驗一：逐個不放回地隨機摸出3個球，記取到白球的個數為，期望方差分別為；試驗二：逐個有放回地隨機摸出3個球，記取到白球的個數為，期望和方差分別為，則下列判斷正確的是（ ）
A． B．
C． D．
題型08 實際問題中的均值問題
【典例8】（24-25高二上·黑龍江齊齊哈爾·期中）4月23日是聯合國教科文組織確定的“世界讀書日”．為了解某地區高一學生閱讀時間的分配情況，從該地區隨機抽取了700名高一學生進行在線調查，得到了這700名學生的日平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數據分成，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)從這700名學生中隨機抽取一人，日平均閱讀時間在內的概率；
(2)為進一步了解這700名學生數字媒體閱讀時間和紙質圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在，，三組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現從這10人中隨機抽取3人，記日平均閱讀時間在內的學生人數為X，求X的分布列和數學期望和方差；
(3)以樣本的頻率估計概率，從該地區所有高一學生中隨機抽取10名學生，用表示這10名學生中恰有k名學生日平均閱讀時間在內的概率，其中，1，2，…，10．當最大時，寫出k的值．（寫出證明）
【變式1】（23-24高二下·天津北辰·階段練習）2024年世界羽聯賽已經開始，同時，也是奧運年，4年一度最精彩賽事即將來臨！為了激發同學們的奧運精神，某校組織同學們參加羽毛球比賽，若甲、乙兩位同學相約打一場羽毛球比賽，采用五局三勝制，無論哪一方先勝三局則比賽結束，假設在每局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結果相互獨立.
(1)求甲以的比分獲勝的概率；
(2)設表示比賽結束時進行的總局數，求的分布列及數學期望.
【變式2】（23-24高二下·廣西貴港·期末）某種資格證考試分為筆試和面試兩部分，考試流程如下：每位考生一年內最多有兩次筆試的機會，最多有兩次面試的機會．考生先參加筆試，一旦某次筆試通過，不再參加以后的筆試，轉而參加面試；一旦某次面試通過，不再參加以后的面試，便可領取資格證書，否則就繼續參加考試．若兩次筆試均未通過或通過了筆試但兩次面試均未通過，則考試失敗．甲決定參加考試，直至領取資格證書或考試失敗，他每次參加筆試通過的概率均為，每次參加面試通過的概率均為，且每次考試是否通過相互獨立．
(1)求甲在一年內考試失敗的概率；
(2)求甲在一年內參加考試次數的分布列及期望．
【變式3】（23-24高二下·貴州遵義·期中）隨著科技的不斷發展，人工智能技術的應用越來越廣泛．某科技公司發明了一套人機交互軟件，它會從數據庫中檢索最貼切的結果進行應答．該人機交互軟件測試階段，共測試了1000個問題，測試結果如下表．
回答正確 回答錯誤
問題中存在語法錯誤 100 300
問題中沒有語法錯誤 700 100
結果顯示問題中是否存在語法錯誤會影響該軟件回答問題的正確率，依據測試結果，用頻率近似概率，解決下列問題．
(1)測試2個問題，在該軟件都回答正確的情況下，求測試的2個問題中恰有1個問題存在語法錯誤的概率；
(2)現輸入3個問題，每個問題能否被軟件正確回答相互獨立，記軟件正確回答的問題個數為X，求X的分布列與數學期望．
題型09 均值方差在生活決策中的應用
【典例9】（23-24高二下·安徽蚌埠·階段練習）在氣象預報中，過往的統計數據至關重要，如圖所示是根據甲地過去70年的氣象記錄所繪制的每年的高溫天數（若某天氣溫達到35℃及以上，則稱之為高溫天）的頻率分布直方圖.若某年的高溫天數達到15天及以上，則稱該年為高溫年.假設每年是否為高溫年相互獨立，以這70年中每年高溫天數的頻率作為今后每年是否為高溫年的概率.
(1)求今后4年中，甲地至少有3年為高溫年的概率；
(2)某同學在位于甲地的大學里勤工儉學，成為了校內奶茶店（消費區在戶外）的店長，為了減少高溫年帶來的損失，該同學現在有兩種方案選擇.方案一：不購買遮陽傘，一旦某年為高溫年，則預計當年的收入會減少8000元；方案二：購買一些遮陽傘，費用為7000元，可使用4年，一旦某年為高溫年，則預計當年的收入會增加1000元.以4年為期，試分析該同學是否應該購買遮陽傘.
【變式1】（23-24高二下·江蘇南京·階段練習）在一次知識競賽中，參賽選手應從8個不同的題目中隨機抽取3個題目進行作答.已知這8個題目中，選手甲只能正確作答其中的6個，而選手乙正確作答每個題目的概率均為，且甲、乙兩位選手對每個題目作答都是相互獨立的.
(1)記選手甲正確作答的題目的個數為，乙正確作答的題目個數為，求，概率分布；
(2)結合你所學過的概率知識說明：甲乙兩名選手誰更優秀.
【變式2】（23-24高二下·甘肅臨夏·期末）某種藥材的種植加工過程，受天氣、施肥、管理等因素影響，農民按照藥材色澤、大小等將藥材分為上等藥材、中等藥材、普通藥材，并分類裝箱，已知去年生產了8箱藥材，其中上等藥材2箱，中等藥材2箱，其他為普通藥材.
(1)若在去年生產的藥材中隨機抽取4箱，設X為上等藥材的箱數，求X的分布列和數學期望；
(2)已知每箱藥材的利潤如表：
等級 上等藥材 中等藥材 普通藥材
利潤（元/箱） 4000 2000 -1200
今年市場需求增加，某農戶計劃增加產量，且生產的上等藥材、中等藥材、普通藥材所占比例不變，但需要的人力成本增加，每增加m箱，成本相應增加元，假設你為該農戶決策，你覺得目前應不應該增加產量？如果需要增加產量，增加多少箱最好？如果不需要增加產量，請說明理由.
【變式3】（23-24高二下·重慶九龍坡·期中）某健身館為預估2024年2月份客戶投入的健身消費金額，隨機抽樣統計了2024年1月份100名客戶的消費金額，分組如下：，，，…，（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖：
(1)若消費金額不少于800元的客戶稱為健身衛士，不少于1000元的客戶稱為健身達人，現利用分層隨機抽樣的方法從健身衛士中抽取6人，再從這6人中抽取2人做進一步調查，求抽到的2人中至少1人為健身達人的概率；
(2)為吸引顧客，在健身項目之外，該健身館特推出健身配套營養品的銷售，現有兩種促銷方案.
方案一：每滿800元可立減100元；
方案二：金額超過800元可抽獎三次，每次中獎的概率為，且每次抽獎互不影響，中獎1次打9折，中獎2次打8折，中獎3次打7折.
若某人打算購買1000元的營養品，請您幫他分析應該選擇哪種促銷方案.
題型10 均值方差中的遞推問題
【典例10】（23-24高二下·江西南昌·階段練習）某中學舉辦學生體育技能測試，共有兩輪測試，第一輪是籃球定點投籃測試，每位學生投兩次籃，每次投籃若投中得2分，沒投中得0分；第二輪是四個人踢毽子，互相傳遞測試．
(1)已知某位學生定點投籃投中的概率為，求該學生在第一輪得分的分布列和數學期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四個人參加第二輪踢毽子互相傳遞測試，第一次由甲踢出，每次傳遞時，踢出者都等可能將毽子踢給另外三個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳遞都能被接到.記第n次甲踢到毽子的概率為，則．
①證明：數列為等比數列；
②比較第k次與第次踢到毽子者是甲的可能性大小．
【變式1】（23-24高二下·河北邢臺·期中）“布朗運動”是指懸浮在液體或氣體中的微小顆粒所做的永不停息的無規則運動，在如圖所示的試驗容器中，容器由三個倉組成，某粒子做布朗運動時每次會從所在倉的通道口中等可能隨機選擇一個到達相鄰倉，且粒子經過次隨機選擇后到達2號倉的概率為，已知該粒子的初始位置在2號倉.
(1)求；
(2)證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；
(3)粒子經過4次隨機選擇后，記粒子在1號倉出現的次數為，求的分布列與數學期望.
【變式2】（23-24高二下·廣東廣州·期末）甲口袋中裝有2個黑球和3個白球，乙口袋中裝有5個白球. 現從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復 次這樣的操作. 記甲口袋中黑球個數為 ，恰有1個黑球的概率為 ，恰有2個黑球的概率為 .
(1)求 與 ；
(2)設 ，求證：數列是等比數列；
(3)求 的數學期望 （用 表示）.
題型11 均值方差中的最值問題
【典例11】（23-24高二下·廣東梅州·階段練習）假設某同學每次投籃命中的概率均為．
(1)若該同學投籃4次，求恰好投中2次的概率；
(2)該同學參加投籃訓練，訓練計劃如下：先投個球，若這個球都投進，則訓練結束，否則額外再投個．試問為何值時，該同學投籃次數的期望值最大？
【變式1】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）甲乙兩名選手進行象棋比賽，規定每局比賽勝者得1分，負者得0分，平局雙方均得0分，比賽一直到一方比另一方多2分為止，多得2分的一方贏得比賽，已知每局比賽中，甲獲勝的概率為a，乙獲勝的概率為b，雙方平局概率為c，，且每局比賽結果相互獨立.
(1)若，求甲選手恰好在第4局比賽后贏得比賽的概率.
(2)若，若比賽最多進行5局，求比賽結束時比賽局數X的分布列及期望的最大值.
【變式2】（2024·廣東廣州·模擬預測）小張參加某項專業能力考試.該考試有，，三類問題，考生可以自行決定三類問題的答題次序，回答問題時按答題次序從某一類問題中隨機抽取一個問題回答，若回答正確則考試通過，若回答錯誤則繼續從下一類問題中再隨機抽取一個問題回答，依此規則，直到三類問題全部答完，仍沒有答對，則考試不通過.已知小張能正確回答，，三類問題的概率分別為，，，且每個問題的回答結果相互獨立.
(1)若小張按照在先，次之，最后的順序回答問題，記為小張的累計答題數目，求的分布列；
(2)小張考試通過的概率會不會受答題次序的影響，請作出判斷并說明理由；
(3)設，為使累計答題數目的均值最小，小張應如何安排答題次序？并說明理由.
一、單選題
1．（2024高二下·全國·專題練習）某射手射擊所得環數的分布列如下:
7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
若成等差數列，則（ ）
A．7.3 B．8.9 C．9 D．9.4
2．（23-24高二下·山東東營·期末）已知一批產品的次品率為0.02，從這批產品中每次隨機取一件，有放回地抽取70次，假設抽出的產品需要專門檢測，檢測費用Y元與抽到的次品數X有關，且，則（ ）
A．97 B．98 C．99 D．100
3．（23-24高二下·黑龍江牡丹江·階段練習）已知隨機變量滿足，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高二下·湖北武漢·期末）若隨機變量，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二下·甘肅慶陽·期末）若是離散型隨機變量，，又已知，則的值為（ ）
A． B．1 C．2 D．
6．（23-24高二下·安徽淮南·期中）如圖，某考古隊在挖掘一古墓群，古墓外面是一個正方形復雜空間，且有4個形狀、大小均相同的入口1，2，3，4，其中只有1個入口可以打開，其他的是關閉的．現讓一個機器狗從點出發探路，從4條路線中任選一條尋找打開的入口，找到后直接進入古墓，若未找到，則沿原路返回到出發點，繼續重新尋找．若該機器狗是有記憶的，它在出發點選擇各條路線的嘗試均不多于1次，且每次選哪條路線是等可能的，則它能夠進入古墓的總嘗試次數的數學期望是（ ）

A． B．2 C． D．
7．（23-24高二下·遼寧沈陽·期中）設隨機變量，若，則的最大值為（ ）
A．4 B．3 C． D．
8．（23-24高二下·廣東廣州·期末）某計算機程序每運行一次都隨機出現一個五位二進制數（例如01001），其中出現0的概率為，出現1的概率為，記，則當程序運行一次時，下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．五位二進制數與出現的概率相同
二、多選題
9．（23-24高二下·甘肅臨夏·期末）離散型隨機變量X的分布列如表所示，則（ ）
X 0 1 2 4
P a
A． B． C． D．
10．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）已知隨機變量滿足，且，且，則（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高二下·江蘇泰州·階段練習）袋中有6個大小相同的球，其中4個黑球，2個白球，現從中任取3個球，記隨機變量為其中白球的個數，隨機變量為其中黑球的個數，若取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分，隨機變量為取出3個球的總得分，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
12．（23-24高二下·寧夏吳忠·階段練習）已知隨機變量X的分布列為.又X的均值，則 .
13．（23-24高二下·重慶·階段練習）如圖，一個質點在隨機外力作用下，從原點0出發，每隔1秒等可能的向左或向右移動一個單位，移動次之后的質點位于，則 ．
14．（23-24高二下·黑龍江大慶·期末）全期望公式是條件數學期望的一個非常重要的性質。全期望公式具有廣泛的應用.例如，小明按照如下規則扔一個骰子：如果扔到1點，就再扔一次并規則不變，如果扔到其他點數則停止.設為小明停止扔骰子后扔骰子的總次數，則根據全期望公式可得，解得，其中表示小明投一次1點后，再投骰子停止后次數期望仍為，加上之前投的一次總次數為.參考以上方法完成下列問題：一只小白鼠陷入一個有三扇門的迷宮中，它每次都是等可能得選擇其中一扇門，如選擇第一扇門，小白鼠2分鐘后到達安全區；如選擇第二扇門，小白鼠3分鐘后回到迷宮起點；如選擇第三扇門，小白鼠5分鐘后回到迷宮起點.設小白鼠達到安全區所需的時間為，則 分鐘.
四、解答題
15．（23-24高二下·山東棗莊·期中）一批筆記本電腦共有10臺，其中品牌3臺，品牌7臺，如果從中隨機挑選2臺，設挑選的2臺電腦中品牌的臺數為.
(1)求的分布列；
(2)求的均值和方差.
16．（23-24高二下·河北石家莊·期末）某大學數理教學部為提高學生的身體素質，并加強同學間的交流，特組織以“讓心靈沐浴陽光，讓快樂充滿胸膛”為主題的趣味運動比賽，其中A、B兩名學生進入趣味運動比賽的關鍵階段，該比賽采取累計得分制，規則如下：每場比賽不存在平局，獲勝者得1分，失敗者不得分，其中累計得分領先對方2分即可贏得最終勝利，但本次比賽最多進行6場．假設每場比賽中A同學獲勝的概率均為，且各場比賽的結果相互獨立．
(1)求趣味比賽進行到第2場時比賽就結束的概率；
(2)此次趣味比賽中記比賽停止時已比賽的場數為X，求X的分布列及數學期望．
17．（23-24高二下·天津濱海新·期末）某校團委為加強學生對垃圾分類意義的認識以及養成垃圾分類的習慣，組織了知識競賽活動，現高一和高二兩個年級各派一位學生代表參加決賽，決賽的規則如下：
決賽一共五輪，在每一輪中，兩位學生各回答一次題目，累計答對題目數量多者勝；若五輪答滿，分數持平，則并列為冠軍；
如果在答滿5輪前，其中一方答對題目數量已經多于另一方答滿5次題可能答對的題目數量，則不需再答題，譬如：第3輪結束時，雙方答對題目數量比為3∶0，則不需再答第4輪了；
設高一年級的學生代表甲答對比賽題目的概率是，高二年級的學生代表乙答對比賽題目的概率是，每輪答題比賽中，答對與否互不影響，各輪結果也互不影響．
(1)在一次賽前訓練中，學生代表甲同學答了3輪題，且每次答題互不影響，記為答對題目的數量，求的分布列及數學期望；
(2)求在第4輪結束時，學生代表甲答對3道題并剛好勝出的概率．
18．（23-24高二下·北京通州·期末）某農產品經銷商計劃分別在甲、乙兩個市場銷售某種農產品（兩個市場的銷售互不影響），為了了解該種農產品的銷售情況，現分別調查了該農產品在甲、乙兩個市場過去10個銷售周期內的銷售情況，得下表：
銷售量 銷售周期個數 市場 3噸 4噸 5噸
甲 3 4 3
乙 2 5 3
(1)從過去10個銷售周期中隨機抽取一個銷售周期，求甲市場銷售量為4噸的概率；
(2)以市場銷售量的頻率代替銷售量的概率．設（單位：噸）表示下個銷售周期兩個市場的總銷售量，求隨機變量概率分布列；
(3)在（2）的條件下，設該經銷商計劃在下個銷售周期購進噸該產品，在甲、乙兩個市場同時銷售，已知該產品每售出1噸獲利1000元，未售出的產品降價處理，每噸虧損200元．以銷售利潤的期望作為決策的依據，判斷與應選用哪一個．
19．（23-24高二下·河南漯河·階段練習）為不斷改進勞動教育，進一步深化勞動教育改革，現從某單位全體員工中隨機抽取3人做問卷調查.已知某單位有N名員工，其中是男性，是女性.
(1)當時，求出3人中男性員工人數X的分布列和數學期望；
(2)我們知道，當總量N足夠大而抽出的個體足夠小時，超幾何分布近似為二項分布.現在全市范圍內考慮，從N名員工(男女比例不變)中隨機抽取3人，在超幾何分布中男性員工恰有2人的概率記作，在二項分布中，即男性員工的人數男性員工恰有2人的概率記作.那么當N至少為多少時，我們可以在誤差不超過0.001（即）的前提下認為超幾何分布近似為二項分布(參考數據:)
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第04講 隨機變量的數字特征
課程標準 學習目標
通過具體實例，了解離散型隨機變量的概念，理解離散型隨機變量分布列及其數字特征(均值、方差). 1.理解離散型隨機變量的數字特征的意義. 2.理解并會求離散型隨機變量的數字特征.
知識點01　離散型隨機變量的均值
1．離散型隨機變量的均值的概念
(1)一般地，若離散型隨機變量X的分布列為
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
則稱E(X)x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數學期望．
【解讀】均值是隨機變量可能取值關于取值概率的加權平均數，它綜合了隨機變量的取值和取值的概率，反映了隨機變量取值的平均水平．
(2)均值的性質
設X的分布列為P（Xxi）pi，i1，2，…，n.
①E（X＋b）E（X）＋b.
②E（aX）aE（X）.
③E（aX＋b）aE（X）＋b.
【即學即練1】 若隨機變量X的分布列為
則E(X)等于(　　)
【答案】A
【解析】E(X)=1×0.55+4×0.3+6×0.15=2.65.
知識點02　離散型隨機變量的方差、標準差
（1）定義①D（X）（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…＋（xn－E（X））2pn（xi－E（X））2pi為隨機變量X的方差，有時也記為Var（X），并稱為隨機變量X的標準差，記為σ（X）.
②公式：D（X）pi－（E（X））2.
（2）方差的性質
①離散型隨機變量X加上一個常數b，僅僅使X的值產生一個平移，不改變X與其均值的離散程度，方差保持不變，即D（X＋b）D（X）.而離散型隨機變量X乘以一個常數a，其方差變為原方差的a2倍，即D（aX）a2D（X）.
一般地，可以證明下面的結論不成立：D（aX＋b）a2D（X）.
②隨機變量的方差和標準差都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程度.方差或標準差越小，隨機變量的取值越集中；方差或標準差越大，隨機變量的取值越分散.
【解讀】
1．隨機變量的線性關系
若X是隨機變量，YaX＋b，a，b是常數，則Y也是隨機變量．
2．判斷所求離散型隨機變量的分布列是否正確，可用pi≥0，i1，2，…，n及p1＋p2＋…＋pn1檢驗．
3．均值與方差的四個常用性質
(1)E(k)k，D(k)0，其中k為常數．
(2)E(X1＋X2)E(X1)＋E(X2)．
(3)D(X)E(X2)－(E(X))2.
(4)若X1，X2相互獨立，則E(X1X2)E(X1)·E(X2)．
【即學即練2】牧場的10頭牛，因誤食瘋牛病毒污染的飼料被感染，已知該病的發病率為0.02，設發病牛的頭數為X，則D(X)等于________.
【答案】0.1965
知識點03　特殊分布的數字特征
（1）兩點分布
若X～B(1，p)，則E(X)p，D(X)p(1－p)；
（2）二項分布
若X～B(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1－p).
（3）超幾何分布
若離散型隨機變量X服從超幾何分布(N，M，n)，則有若X～H(N，M，n)，則E(X).
【即學即練3】某運動員投籃命中率為p0.6，則
①投籃1次時命中次數X的數學期望為______；
②重復5次投籃時，命中次數Y的數學期望為______.
【答案】0.6 3
【解析】①投籃1次，命中次數X的分布列如下表：
X 0 1
P 0.4 0.6
則E(X)0.6.
②由題意，重復5次投籃，命中的次數Y服從二項分布，即Y～B(5,0.6)，則E(Y)np5×0.63.
題型01 求離散型隨機變量的均值
【典例1】（23-24高二下·浙江·期中）從7男3女共10名學生干部中隨機選出5名學生干部，抽到的女生人數的均值為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根據超幾何分布的概率公式求解概率，即可由期望公式求解.
【詳解】抽到的女生人數可能為0，1，2，3，
，，
，，
所以．
【變式1】（23-24高二下·天津·期中）隨機變量的分布列如下：其中成等差數列，若，則（ ）
0 2
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】根據分布列的性質，以及概率公式，等差數列的性質，即可列式求解.
【詳解】由題意可知，，得，
所以.
【變式2】（23-24高二下·河南開封·期末）一批產品中次品率為，隨機抽取1件，定義，則（ ）
A．0.05 B．0.5 C．0.95 D．0.095
【答案】A
【分析】由均值的性質即可求解.
【詳解】.
.
【變式3】（23-24高二上·全國·課時練習）某班舉行了一次“心有靈犀”的活動，教師把一張寫有成語的紙條出示給A組的某個同學，這個同學再用身體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學．若小組內同學甲猜對成語的概率是0.4，同學乙猜對成語的概率是0.5，且規定猜對得1分，猜錯得0分，則這兩個同學各猜1次，得分之和X的均值（ ）
A．0.9 B．0.8
C．1.2 D．1.1
【答案】A
【分析】按步驟寫出分布列，再利用均值公式即可.
【詳解】依題意得，的可能取值為0，1，2，
，
，
．
可得X的分布列如表所示：
0 1 2
0.3 0.5 0.2
.
．
【變式4】（23-24高二下·內蒙古赤峰·期末）盒子中有5個大小和形狀均相同的小球，其中白球3個，紅球2個，每次摸出2個球.若摸出的紅球個數為，則（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】由題意可知的可能取值為0，1，2，然后求出相應的概率，從而可求出期望.
【詳解】由題意可知的可能取值為0，1，2，則
，，，
所以.
題型02 均值性質的應用
【典例2】（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）已知隨機變量的分布列如下:
0 1
設，則的數學期望的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根據期望公式求出，再根據期望的性質即可得到正確答案.
【詳解】，
所以.
.
【變式1】（23-24高二下·山東棗莊·期中）隨機變量的概率分布為
1 2 4
0.4 0.3
則等于（ ）
A．5 B．15 C．45 D．與有關
【答案】C
【分析】根據概率分步圖求得，再根據期望運算可求得,再根據期望運算法則可求得.
【詳解】根據題意知，，
，
，
【變式2】（23-24高二下·安徽·期末）從一批含有8件正品，2件次品的產品中不放回地抽3次，每次抽取1件，設抽取的次品數為，則（ ）
A．2 B．1 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根據題意，得到變量的取值分別為，求得相應的概率，得到,再結合，即可求解.
【詳解】由題意，隨機變量的取值分別為，
可得；
，
所以,可得.
.
【變式3】（2024高二上·全國·專題練習）已知隨機變量X的分布列為
X 1 2 3
P
且，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】結合題意，先計算出，再表示，建立等式，解出即可.
【詳解】結合題意：，
因為，所以，解得：，
.
【變式4】（24-25高二下·全國·課后作業）已知離散型隨機變量的分布列如下，若，則（ ）
0 2
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根據概率之和等于建立等式求解出，再利用期望的性質及算法建立等式求解，即可求解．
【詳解】由題意知，
解得，
因為，所以，即，則，
解得，所以，
．
題型03 離散型隨機變量的方差與標準差
【典例3】（24-25高二下·全國·課后作業）如圖，一個質點在隨機外力的作用下，從0出發，每次等可能地向左或向右移動一個單位，共移動3次，設質點最終所在位置的坐標為，則 ．
【答案】3
【分析】利用概率乘法公式求解概率，即可根據方差的計算公式求解.
【詳解】的可能取值為，
所以，
，
，
，
則，
所以．
故答案為：3
【變式1】已知隨機變量X的分布列如下表（其中a為常數）則下列計算結果正確的是（ ）
X 0 1 2 3
P 0.2 a 0.4 0.1
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】A.根據分布列由概率之和為1求解判斷；B.由求解判斷；C.由期望公式求解判斷；D.由方差公式求解判斷.
【詳解】因為，解得，故A錯誤；
由分布列知，故B錯誤；
，故C正確；
，故D錯誤．
．
【變式2】（23-24高二上·遼寧遼陽·期末）小明參加某射擊比賽，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率為，記小明射擊2次的得分為X，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先找出X的取值可能，計算每種可能的概率后結合方差定義計算即可得.
【詳解】由題意可知，X的取值可能為，，，
因為，
，
，
所以，
故．
.
【變式3】（24-25高二下·全國·課后作業）根據以往的經驗，某工程施工期間的降水量（單位：）對工期的影響如下表所示.
降水量
工期延誤天數 0 2 6 10
若歷史氣象資料表明，該工程施工期間降水量小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9，則工期延誤天數的數學期望是 ，工期延誤天數的方差為 .
【答案】 3 9.8
【分析】根據題意可得的可能取值為0，2，6，10，然后求出相應的概率，從而可求出的數學期望和方差.
【詳解】由已知條件和概率的加法公式知，，
，
，
.
所以隨機變量的分布列為
0 2 6 10
0.3 0.4 0.2 0.1
故；
.
故工期延誤天數的方差為9.8.
故答案為：3，9.8.
題型04 方差的性質
【典例4】（23-24高二下·江蘇無錫·期中）已知隨機變量的分布列如下，則 .
【答案】9
【分析】先根據期望和方差公式求出，再根據方差的性質即可得解.
【詳解】，
，
所以.
故答案為：.
【變式1】（24-25高二下·全國·課后作業）已知隨機變量X的分布列為
0 1 2
0.1 0.2 0.4
則 .
【答案】
【分析】先根據分布列概率和為1得出，再計算分布列的數學期望及方差，最后應用方差性質得出，再計算標準差即可.
【詳解】由，得，
所以，
，，
所以.
故答案為：.
【變式2】（23-24高二下·新疆·期中）（多選）已知，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根據離散型隨機變量的均值、方差的性質即可求解.
【詳解】由，得，A正確．
由，得，C正確．
C.
【變式3】（24-25高二下·全國·課后作業）（多選）已知隨機變量的分布列為．若，則（ ）
A．隨機變量的均值為1 B．隨機變量的均值為2
C．隨機變量的方差為3 D．隨機變量的方差為
【答案】AD
【分析】根據題意，由隨機變量的期望的計算公式即可判斷A，再由期望的性質即可B，由隨機變量方差的計算公式即可判斷C，再由方差的性質即可判斷D
【詳解】由題可得，，
，，
故，A正確；
，B錯誤；
，C錯誤；
，D正確．
D
題型05 兩點分布的均值與方差
【典例5】（23-24高二下·內蒙古·期末）若X服從分布，且，則（ ）
A．0.75 B．1.25 C．0．25 D．0.5
【答案】D
【分析】根據分布的概念可知，結合可求，再求期望即可.
【詳解】因為X服從分布，所以，因為，
所以，，故．
【變式1】（23-24高二下·四川遂寧·階段練習）已知隨機變量服從兩點分布，且，設，那么的值是（ ）
A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.3
【答案】A
【分析】由已知結合兩點分布的方差公式和方差性質即可求解.
【詳解】因為隨機變量服從兩點分布，
所以由題，又，
所以.
.
【變式2】3．（23-24高三上·陜西西安·開學考試）已知隨機變量服從兩點分布，且，若，則下列判斷正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據兩點分布的期望和方差公式、二次函數的知識求得正確答案.
【詳解】∵，，∴，
∵，，
二次函數在區間上單調遞減，
∴，，且.
【變式3】（23-24高二下·河南·期中）若甲同學在某次期中考試中數學成績班級第一的概率為，記該同學在本次期中考試中數學成績班級第一發生的次數為離散型隨機變量，則 .
【答案】/
【分析】利用兩點分布的方差公式計算即可.
【詳解】由題意可得服從兩點分布，故，
故.
故答案為：
【變式4】（2024高二下·全國·專題練習）若某事件A發生的概率為，則事件A在一次試驗中發生的次數X的方差的最大值為 ．
【答案】/0.25
【分析】由兩點分布的方程公式得方程關于是二次函數，由此即可得解.
【詳解】事件A在一次試驗中發生的次數X服從兩點分布，
故，，
所以當時，方差取得最大值．
故答案為：.
題型06 二項分布的均值與方差
【典例6】2．（23-24高二下·廣西南寧·期末）已知隨機變量，，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二項分布期望和方差的公式求解即可.
【詳解】隨機變量，
由得：，解得．
【變式1】（23-24高二下·遼寧大連·期末）已知隨機變量，且，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．9
【答案】A
【分析】直接由二項分布的方差公式以及方差的性質即可求解.
【詳解】因為隨機變量，且，則.
.
【變式2】（23-24高二下·北京海淀·期末）小明投籃3次，每次投中的概率為，且每次投籃互不影響，若投中一次得2分，沒投中得0分，總得分為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意隨機變量投中次數服從二項分布，再由變量間的函數關系與二項分布的期望、方差公式可求.
【詳解】設小明投中次數為，則由題意可知，
則，，
因為投中一次得2分，沒投中得0分，所以，
則，.
.
【變式3】（23-24高二下·山東臨沂·期末）隨機變量，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據二項分布的期望和方差公式可求，進而根據二項分布的概率公式即可求解.
【詳解】因為，所以，
解得，所以.
.
【變式4】（23-24高二下·安徽·期末）已知隨機變量，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正態分布的對稱性、二項分布的期望公式列式計算即得.
【詳解】由，，得，
由，得，因此，解得.
題型07 超幾何分布的均值與方差
【典例7】（23-24高二下·河南信陽·期末）2024年5月中國郵政發行了《巢湖》特種郵票3枚，巢湖是繼《太湖》（5枚）、《鄱陽湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四個登上特種郵票的五大淡水湖.現從15枚郵票中隨機抽取2枚，記抽取郵票《巢湖》的枚數為，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】利用超幾何分布概率公式，分別求出，再求.
【詳解】依題意，的可能取值有0，1，2.
則，，，
則.
故選:A.
【變式1】（23-24高二下·吉林長春·階段練習）2024年“與輝同行”直播間開播，董宇輝領銜7位主播從“心”出發，其中男性5人，女性3人，現需排班晚8：00黃金檔，隨機抽取兩人，則男生人數的期望為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先將男生人數設為隨機變量，再求得概率，代入期望公式，即可求解.
【詳解】設男生人數為，且，
，，,
則.
【變式2】）（22-23高二下·江蘇連云港·階段練習）已知6件產品中有2件次品，4件正品，檢驗員從中隨機抽取3件進行檢測，記取到的正品數為，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據題意可知，X可能取1，2，3，且服從超幾何分布，求出對應的概率，根據數學期望，方差的公式及性質計算即可．
【詳解】根據題意可知，X可能取1，2，3，且服從超幾何分布，
故
所以
，
，
．
【變式3】（23-24高二下·浙江·期中）一個不透明的袋子有10個除顏色不同外，大小、質地完全相同的球，其中有6個黑球，4個白球．現進行如下兩個試驗，試驗一：逐個不放回地隨機摸出3個球，記取到白球的個數為，期望方差分別為；試驗二：逐個有放回地隨機摸出3個球，記取到白球的個數為，期望和方差分別為，則下列判斷正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用超幾何分布和二項分布知識分別計算從中隨機地無放回摸出3個球、從中隨機地有放回摸出3個球的期望、方差，再做比較可得答案．
【詳解】試驗一：從中隨機地無放回摸出3個球，記白球的個數為，
則的可能取值是0，1，2，3，
則，
，，
故隨機變量的概率分布列為：
0 1 2 3
則數學期望為：，
方差為：；
試驗二：從中隨機地有放回摸出3個球，則每次摸到白球的概率為，
則，
故，，
故，．
．
題型08 實際問題中的均值問題
【典例8】（24-25高二上·黑龍江齊齊哈爾·期中）4月23日是聯合國教科文組織確定的“世界讀書日”．為了解某地區高一學生閱讀時間的分配情況，從該地區隨機抽取了700名高一學生進行在線調查，得到了這700名學生的日平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數據分成，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)從這700名學生中隨機抽取一人，日平均閱讀時間在內的概率；
(2)為進一步了解這700名學生數字媒體閱讀時間和紙質圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在，，三組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現從這10人中隨機抽取3人，記日平均閱讀時間在內的學生人數為X，求X的分布列和數學期望和方差；
(3)以樣本的頻率估計概率，從該地區所有高一學生中隨機抽取10名學生，用表示這10名學生中恰有k名學生日平均閱讀時間在內的概率，其中，1，2，…，10．當最大時，寫出k的值．（寫出證明）
【答案】(1)
(2)分布列見解析，，
(3)，證明見解析
【分析】（1）根據頻率分布直方圖的性質可求得，從而可得日平均閱讀時間在內的概率；
（2）求得的可能取值及對應概率，完成分布列，根據期望公式計算即可；
（3）由題意得，，則，利用組合數的性質求最大值即可．
【詳解】（1）由頻率分布直方圖得：
，
解得，，所以日平均閱讀時間在內的概率為0.20；
（2）由頻率分布直方圖得：
這700名學生中日平均閱讀時間在，，，三組內的學生人數分別為：人，人，人，
若采用分層抽樣的方法抽取了10人，
則從日平均閱讀時間在，內的學生中抽取：人，
現從這10人中隨機抽取3人，則X的可能取值為0，1，2，3，
，，，，
的分布列為：
X 0 1 2 3
P
∴數學期望，.
（3），理由如下：
由頻率分布直方圖得學生日平均閱讀時間在內的概率為0.70，
從該地區所有高一學生中隨機抽取10名學生，
恰有k名學生日平均閱讀時間在內的分布列服從二項分布，
，
由組合數的性質可得，且當時遞增，故當時最大.
【變式1】（23-24高二下·天津北辰·階段練習）2024年世界羽聯賽已經開始，同時，也是奧運年，4年一度最精彩賽事即將來臨！為了激發同學們的奧運精神，某校組織同學們參加羽毛球比賽，若甲、乙兩位同學相約打一場羽毛球比賽，采用五局三勝制，無論哪一方先勝三局則比賽結束，假設在每局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結果相互獨立.
(1)求甲以的比分獲勝的概率；
(2)設表示比賽結束時進行的總局數，求的分布列及數學期望.
【答案】(1)
(2)分布列見詳解，
【分析】（1）分析可知甲在前3局勝2局輸1局，第4局勝利，結合獨立重復性實驗的概率公式運算求解；
（2）由題意可知：X可能的取值為3，4，5，進而求分布列和期望.
【詳解】（1）因為以的比分獲勝，則甲在前3局勝2局輸1局，第4局勝利，
所以甲以的比分獲勝的概率為：.
（2）由題意可知：X可能的取值為3，4，5，則有：
；；
；
所以的分布列
X 3 4 5
P
的數學期望.
【變式2】（23-24高二下·廣西貴港·期末）某種資格證考試分為筆試和面試兩部分，考試流程如下：每位考生一年內最多有兩次筆試的機會，最多有兩次面試的機會．考生先參加筆試，一旦某次筆試通過，不再參加以后的筆試，轉而參加面試；一旦某次面試通過，不再參加以后的面試，便可領取資格證書，否則就繼續參加考試．若兩次筆試均未通過或通過了筆試但兩次面試均未通過，則考試失敗．甲決定參加考試，直至領取資格證書或考試失敗，他每次參加筆試通過的概率均為，每次參加面試通過的概率均為，且每次考試是否通過相互獨立．
(1)求甲在一年內考試失敗的概率；
(2)求甲在一年內參加考試次數的分布列及期望．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，．
【分析】（1）由一年內考試失敗對應的筆試面試結果，分類討論考試失敗的概率；
（2）由可能的取值，計算相應的概率，寫出分布列，由公式計算期望
【詳解】（1）甲每次參加筆試未通過的概率均為，每次參加面試未通過的概率均為．
甲兩次筆試均未通過的概率為，
甲通過了第一次筆試，但兩次面試均未通過的概率為，
甲未通過第一次筆試，通過了第二次筆試，但兩次面試均未通過的概率為
所以甲在一年內考試失敗的概率為．
（2）由題意得的可能取值為，
所以的分布列為
2 3 4
故．
【變式3】（23-24高二下·貴州遵義·期中）隨著科技的不斷發展，人工智能技術的應用越來越廣泛．某科技公司發明了一套人機交互軟件，它會從數據庫中檢索最貼切的結果進行應答．該人機交互軟件測試階段，共測試了1000個問題，測試結果如下表．
回答正確 回答錯誤
問題中存在語法錯誤 100 300
問題中沒有語法錯誤 700 100
結果顯示問題中是否存在語法錯誤會影響該軟件回答問題的正確率，依據測試結果，用頻率近似概率，解決下列問題．
(1)測試2個問題，在該軟件都回答正確的情況下，求測試的2個問題中恰有1個問題存在語法錯誤的概率；
(2)現輸入3個問題，每個問題能否被軟件正確回答相互獨立，記軟件正確回答的問題個數為X，求X的分布列與數學期望．
【答案】(1)；
(2)分布列見解析，．
【分析】（1）根據題意結合全概率公式運算求解；
（2）由題意可知：且，求解分布列和數學期望
【詳解】（1）記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件A，“回答正確”為事件B，
由測試結果知，
所以．
記“測試的2個問題都回答正確”為事件，“測試的2個問題中恰有1個存在語法錯誤”為事件．
則，，
所以．
（2）易知，
，
，
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
故．
題型09 均值方差在生活決策中的應用
【典例9】（23-24高二下·安徽蚌埠·階段練習）在氣象預報中，過往的統計數據至關重要，如圖所示是根據甲地過去70年的氣象記錄所繪制的每年的高溫天數（若某天氣溫達到35℃及以上，則稱之為高溫天）的頻率分布直方圖.若某年的高溫天數達到15天及以上，則稱該年為高溫年.假設每年是否為高溫年相互獨立，以這70年中每年高溫天數的頻率作為今后每年是否為高溫年的概率.
(1)求今后4年中，甲地至少有3年為高溫年的概率；
(2)某同學在位于甲地的大學里勤工儉學，成為了校內奶茶店（消費區在戶外）的店長，為了減少高溫年帶來的損失，該同學現在有兩種方案選擇.方案一：不購買遮陽傘，一旦某年為高溫年，則預計當年的收入會減少8000元；方案二：購買一些遮陽傘，費用為7000元，可使用4年，一旦某年為高溫年，則預計當年的收入會增加1000元.以4年為期，試分析該同學是否應該購買遮陽傘.
【答案】(1)0.0272
(2)該同學應該購買遮陽傘．
【分析】（1）先求出某年為高溫年的概率為0.2，再根據，求出今后4年中，甲地至少有3年為高溫年的概率；
（2）求出兩種方案損失的收入的期望，再決定是否應該購買遮陽傘.
【詳解】（1）由題意知某年為高溫年的概率為：，
設今后4年中高溫年出現X年，則，
所以．
所以今后4年中，甲地至少有3年為高溫年的概率0.0272；
（2）若選擇方案一，設今后4年共損失元，則（元），
若選擇方案二，設今后4年共損失元，則（元），
，所以該同學應該購買遮陽傘．
【變式1】（23-24高二下·江蘇南京·階段練習）在一次知識競賽中，參賽選手應從8個不同的題目中隨機抽取3個題目進行作答.已知這8個題目中，選手甲只能正確作答其中的6個，而選手乙正確作答每個題目的概率均為，且甲、乙兩位選手對每個題目作答都是相互獨立的.
(1)記選手甲正確作答的題目的個數為，乙正確作答的題目個數為，求，概率分布；
(2)結合你所學過的概率知識說明：甲乙兩名選手誰更優秀.
【答案】(1)分布列見解析
(2)甲選手更優秀
【分析】（1）先求出兩個變量的取值及對應的概率，然后根據概率分布的概念列出概率分布.
（2）分別求，的期望和方差，分析甲乙的平均水平和穩定性，可得結論.
【詳解】（1）對甲：的值可能為：1，2，3.
且，，.
所以的概率分布為：
1 2 3
對乙：的值可能為：0,1,2,3.
且，，
，.
所以的概率分布為：
0 1 2 3
（2）由（1）得：
，.
所以.
又，
.
因為，所以甲選手的發揮更穩定，所以，甲選手更優秀些.
【變式2】（23-24高二下·甘肅臨夏·期末）某種藥材的種植加工過程，受天氣、施肥、管理等因素影響，農民按照藥材色澤、大小等將藥材分為上等藥材、中等藥材、普通藥材，并分類裝箱，已知去年生產了8箱藥材，其中上等藥材2箱，中等藥材2箱，其他為普通藥材.
(1)若在去年生產的藥材中隨機抽取4箱，設X為上等藥材的箱數，求X的分布列和數學期望；
(2)已知每箱藥材的利潤如表：
等級 上等藥材 中等藥材 普通藥材
利潤（元/箱） 4000 2000 -1200
今年市場需求增加，某農戶計劃增加產量，且生產的上等藥材、中等藥材、普通藥材所占比例不變，但需要的人力成本增加，每增加m箱，成本相應增加元，假設你為該農戶決策，你覺得目前應不應該增加產量？如果需要增加產量，增加多少箱最好？如果不需要增加產量，請說明理由.
【答案】(1)分布列見解析，
(2)需要增加產量，增加20箱最好.
【分析】（1）寫出隨機變量的所有可能取值，利用古典概型的概率計算公式求出對應概率，即可得分布列，再根據期望公式求期望即可；
（2）先求出按原計劃生產藥材每箱平均利潤，進而可得出增加件產品，利潤增加量和成本的提高量，進而可得出凈利潤，再利用導數求出其最大值即可.
【詳解】（1）X的可能取值為0，1，2，
，，，
X的分布列如表：
X 0 1 2
P
.
（2）按原計劃生產藥材每箱平均利潤為（元），
則增加箱藥材，利潤增加為元，成本相應增加元，
所以增加凈利潤為.
設（或），則，
當時，，
當時，，且，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
當時，取得最大值，
所以需要增加產量，增加20箱最好.
【變式3】（23-24高二下·重慶九龍坡·期中）某健身館為預估2024年2月份客戶投入的健身消費金額，隨機抽樣統計了2024年1月份100名客戶的消費金額，分組如下：，，，…，（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖：
(1)若消費金額不少于800元的客戶稱為健身衛士，不少于1000元的客戶稱為健身達人，現利用分層隨機抽樣的方法從健身衛士中抽取6人，再從這6人中抽取2人做進一步調查，求抽到的2人中至少1人為健身達人的概率；
(2)為吸引顧客，在健身項目之外，該健身館特推出健身配套營養品的銷售，現有兩種促銷方案.
方案一：每滿800元可立減100元；
方案二：金額超過800元可抽獎三次，每次中獎的概率為，且每次抽獎互不影響，中獎1次打9折，中獎2次打8折，中獎3次打7折.
若某人打算購買1000元的營養品，請您幫他分析應該選擇哪種促銷方案.
【答案】(1)
(2)第二種方案
【分析】（1）首先根據頻率確定消費金額在和的頻率比，從而確定兩組的人數，再按照古典概型概率公式，即可求解；
（2）首先確定第一種方案的消費，以及第二種方案的分布列和數學期望，再比較大小，即可選擇.
【詳解】（1）消費金額在的頻率為，在的頻率為，
頻率之比為，所以按照分層抽樣，抽取的6人中消費金額在的有4人，消費金額在的有2人，
所以抽到的2人中至少1人為健身達人的概率；
（2）若選擇方案一，則實際消費元，
若選擇方案二，若不中獎，則消費元，概率為，
若中獎1次，則消費元，概率為，
若中獎2次，則消費元，概率為，
若中獎3次，則消費元，概率為，
設消費金額為，分布列如下，
期望,
因為，說明第二種方案平均消費少，
所以選擇第二種方案.
題型10 均值方差中的遞推問題
【典例10】（23-24高二下·江西南昌·階段練習）某中學舉辦學生體育技能測試，共有兩輪測試，第一輪是籃球定點投籃測試，每位學生投兩次籃，每次投籃若投中得2分，沒投中得0分；第二輪是四個人踢毽子，互相傳遞測試．
(1)已知某位學生定點投籃投中的概率為，求該學生在第一輪得分的分布列和數學期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四個人參加第二輪踢毽子互相傳遞測試，第一次由甲踢出，每次傳遞時，踢出者都等可能將毽子踢給另外三個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳遞都能被接到.記第n次甲踢到毽子的概率為，則．
①證明：數列為等比數列；
②比較第k次與第次踢到毽子者是甲的可能性大小．
【答案】(1)分布列見解析，
(2)①證明見解析；②答案見解析
【分析】（1）求得第一輪得分的所有可能取值，并計算出對應概率即可求得其分布列和期望值；
（2）①寫出的遞推關系式，通過數列構造即可證明；
②根據①中的通項公式利用作差法即可比較得出與的大小.
【詳解】（1）設該學生的得分為，則所有可能取值為0，2，4．
故的分布列為
0 2 4
則數學期望
（2）①第n次甲踢到建子的概率為，
當時，第次甲踢到建子的概率為，甲未能踢到建子的概率為；
所以，
所以，
因為，
所以數列是以為首項，為公比的等比數列．
②由①可知，，即；
，
當k為奇數時，為偶數，即；
當k為偶數時，奇數，即；
綜上，當k為奇數時，，當k為偶數時.
【變式1】（23-24高二下·河北邢臺·期中）“布朗運動”是指懸浮在液體或氣體中的微小顆粒所做的永不停息的無規則運動，在如圖所示的試驗容器中，容器由三個倉組成，某粒子做布朗運動時每次會從所在倉的通道口中等可能隨機選擇一個到達相鄰倉，且粒子經過次隨機選擇后到達2號倉的概率為，已知該粒子的初始位置在2號倉.
(1)求；
(2)證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；
(3)粒子經過4次隨機選擇后，記粒子在1號倉出現的次數為，求的分布列與數學期望.
【答案】(1)
(2)證明見解析，
(3)分布列見解析，
【分析】（1）根據題意分別求出即可；
（2）根據題意得出數列的遞推公式，再根據等比數列的定義證明為等比數列即可；
（3）依題意可得的可能取值有，再計算其概率分布列和數學期望即可.
【詳解】（1）由題意可得：.
（2）記粒子經過次隨機選擇后到達1號倉的概率為，粒子經過次隨機選擇后到達3號倉的概率為，
所以
所以，所以，
又，
所以是公比為的等比數列.
所以.
（3）結合題意易得可取，
，
，
，
所以的分布列為
0 1 2
的數學期望
【變式2】（23-24高二下·廣東廣州·期末）甲口袋中裝有2個黑球和3個白球，乙口袋中裝有5個白球. 現從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復 次這樣的操作. 記甲口袋中黑球個數為 ，恰有1個黑球的概率為 ，恰有2個黑球的概率為 .
(1)求 與 ；
(2)設 ，求證：數列是等比數列；
(3)求 的數學期望 （用 表示）.
【答案】(1)，，，
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）結合獨立事件乘法公式求，利用全概率公式求；
（2）利用全概率公式求得、與、的關系，從而得到與的關系，證明數列是等比數列；
（3）由（2）得到，再由數學期望的公式得到.
【詳解】（1）為“進行1次操作后甲口袋中恰有1個黑球”的概率，則，
為“進行1次操作后甲口袋中恰有2個黑球”的概率，則，
為“進行2次操作后甲口袋中恰有1個黑球”的概率，與進行1次操作后甲口袋中黑球的個數有關，則，
為“進行2次操作后甲口袋中恰有2個黑球”的概率，則.
（2）是“重復次操作后，甲口袋中有1個黑球”的概率，與次操作后甲口袋中黑球的個數有關，
分為有2個、1個、0個3種情況，所以
是“重復次操作后，甲口袋中有2個黑球”的概率，與次操作后甲口袋中黑球的個數有關，
分為有2個、1個2種情況，所以，
所以，
從而數列是以為首項，以為公比的等比數列.
（3）由（2）知，即，，
的取值范圍為，所以
題型11 均值方差中的最值問題
【典例11】（23-24高二下·廣東梅州·階段練習）假設某同學每次投籃命中的概率均為．
(1)若該同學投籃4次，求恰好投中2次的概率；
(2)該同學參加投籃訓練，訓練計劃如下：先投個球，若這個球都投進，則訓練結束，否則額外再投個．試問為何值時，該同學投籃次數的期望值最大？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據給定條件，利用獨立重復試驗的概率公式計算即得．
（2）該同學投籃的次數為，求出的可能值及對應的概率，求出期望的函數關系，作差結合數列單調性推理即得．
【詳解】（1）依題意，該同學投籃4次，恰好投中2次的概率．
（2）設該同學投籃的次數為，則的可能值為，，
于是，
數學期望，
令，
則，
，
顯然數列是遞減的，
當時，，，
當時，，，
即有，因此最大，
所以當時，該同學投籃次數的期望值最大．
【變式1】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）甲乙兩名選手進行象棋比賽，規定每局比賽勝者得1分，負者得0分，平局雙方均得0分，比賽一直到一方比另一方多2分為止，多得2分的一方贏得比賽，已知每局比賽中，甲獲勝的概率為a，乙獲勝的概率為b，雙方平局概率為c，，且每局比賽結果相互獨立.
(1)若，求甲選手恰好在第4局比賽后贏得比賽的概率.
(2)若，若比賽最多進行5局，求比賽結束時比賽局數X的分布列及期望的最大值.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，最大值為
【分析】（1）由甲選手恰好在第4局贏得比賽可得各場比賽結果，即可得答案；
（2）由題可得X的值可能為2，4，5，據此可得分布列及，后由基本不等式結合二次函數單調性可得最大值.
【詳解】（1）若比賽中甲勝，計比賽結果為甲；比賽中乙勝，計比賽結果為乙；比賽平局，計比賽結果為平.
若4局比賽中沒有平局，則比賽結果按比賽順序分別為：甲乙甲甲，乙甲甲甲.
對應概率為：；
若4局比賽中有平局，則比賽結果按比賽順序分別為：平平甲甲，平甲平甲，甲平平甲.
對應概率為：.
綜上，甲選手恰好在第4局比賽后贏得比賽的概率為；
（2）因，則比賽結果只有甲乙兩種，且.
又比賽最多進行5局，則X的值可能為2，4，5.
時，比賽結果按比賽順序分別為甲甲，乙乙，
則；
時，比賽結果按比賽順序分別為甲乙甲甲，乙甲甲甲，乙甲乙乙，甲乙乙乙，
則；
時，說明前4場比賽沒有結束比賽，即前4場甲乙打平，
則對應比賽結果按比賽順序分別為甲乙乙甲甲，乙甲甲乙甲，乙甲乙甲甲，甲乙甲乙甲，
甲乙乙甲乙，乙甲甲乙乙，乙甲乙甲乙，甲乙甲乙乙，
則.
則對應分布列為：
X 2 4 5
則.
注意到，
則，
因為，所以，當且僅當時等號不成立，
因為函數在上單調遞增，
所以，
故的最大值為.
【變式2】（2024·廣東廣州·模擬預測）小張參加某項專業能力考試.該考試有，，三類問題，考生可以自行決定三類問題的答題次序，回答問題時按答題次序從某一類問題中隨機抽取一個問題回答，若回答正確則考試通過，若回答錯誤則繼續從下一類問題中再隨機抽取一個問題回答，依此規則，直到三類問題全部答完，仍沒有答對，則考試不通過.已知小張能正確回答，，三類問題的概率分別為，，，且每個問題的回答結果相互獨立.
(1)若小張按照在先，次之，最后的順序回答問題，記為小張的累計答題數目，求的分布列；
(2)小張考試通過的概率會不會受答題次序的影響，請作出判斷并說明理由；
(3)設，為使累計答題數目的均值最小，小張應如何安排答題次序？并說明理由.
【答案】(1)答案見解析
(2)不會，理由見解析
(3)應按的順序答題，理由見解析
【分析】（1）根據相互獨立事件概率計算公式求得分布列.
（2）計算通過的概率，從而作出判斷.
（3）計算按的順序、的順序、的順序、的順序答題時，累計答題數目的均值，從而作出判斷.
【詳解】（1）按的順序答題，的可能取值為，
則,，，
所以的分布列為：
（2）小張考試通過的概率不受答題次序的影響，理由如下：
由題意，小張沒有通過考試的情況只有三題全部答錯，
所以小張考試通過的概率均為
（3）應按的順序答題，理由如下：
設，，
.
若按的順序答題，設為此時小張的累計答題數目，
由（1）得
.
若按的順序答題，設為此時小張的累計答題數目，
則，
所以
，
則
，
則.
若按的順序答題，設為此時小張的累計答題數目，
同理可得.
若按的順序答題，設為此時小張的累計答題數目，
同理可得.
，
若按的順序答題，設為此時小張的累計答題數目，
同理可得.
若按的順序答題，設為此時小張的累計答題數目，
同理可得.
.
所以累計答題數目的均值最小的，是、、中最小的一個，
，
，
所以，
，
，
所以，
所以最小的是，
所以應按的順序答題.
一、單選題
1．（2024高二下·全國·專題練習）某射手射擊所得環數的分布列如下:
7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
若成等差數列，則（ ）
A．7.3 B．8.9 C．9 D．9.4
【答案】C
【分析】根據隨機變量的分布列特征及題設條件列出方程組，求出的值，代入均值公式計算即得.
【詳解】由題意可得：，解得，
故.
.
2．（23-24高二下·山東東營·期末）已知一批產品的次品率為0.02，從這批產品中每次隨機取一件，有放回地抽取70次，假設抽出的產品需要專門檢測，檢測費用Y元與抽到的次品數X有關，且，則（ ）
A．97 B．98 C．99 D．100
【答案】C
【分析】先由二項分布的方差公式求出，再根據方差的性質即可求出.
【詳解】由題意抽到的次品數X服從二項分布，方差，
而，
所以.
.
3．（23-24高二下·黑龍江牡丹江·階段練習）已知隨機變量滿足，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據已知條件利用期望和方差的性質求解即可.
【詳解】因為，
所以，
解得.
4．（23-24高二下·湖北武漢·期末）若隨機變量，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據二項分布求方差公式得到方程，求出，從而得到.
【詳解】由題意得，解得，
.
5．（23-24高二下·甘肅慶陽·期末）若是離散型隨機變量，，又已知，則的值為（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】先得到隨機變量的值只能為，根據期望和方差得到方程組，求出方程的解，得到答案.
【詳解】，故隨機變量的值只能為，
，解得或，
所以.
6．（23-24高二下·安徽淮南·期中）如圖，某考古隊在挖掘一古墓群，古墓外面是一個正方形復雜空間，且有4個形狀、大小均相同的入口1，2，3，4，其中只有1個入口可以打開，其他的是關閉的．現讓一個機器狗從點出發探路，從4條路線中任選一條尋找打開的入口，找到后直接進入古墓，若未找到，則沿原路返回到出發點，繼續重新尋找．若該機器狗是有記憶的，它在出發點選擇各條路線的嘗試均不多于1次，且每次選哪條路線是等可能的，則它能夠進入古墓的總嘗試次數的數學期望是（ ）

A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】設機器狗能夠進入古墓的總嘗試次數為，則的所有可能取值為1，2，3，4，利用古典概型的概率公式求出相應的概率，再結合期望公式求解即可．
【詳解】設機器狗能夠進入古墓的總嘗試次數為，則的所有可能取值為1，2，3，4，
所以，，，，
所以．
.
7．（23-24高二下·遼寧沈陽·期中）設隨機變量，若，則的最大值為（ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】根據二項分布的期望得的范圍，再根據二項分布方差運算公式結合二次函數的性質求得的最大值.
【詳解】隨機變量，由，得，解得，
，則當時，取得最大值，
所以的最大值為.
8．（23-24高二下·廣東廣州·期末）某計算機程序每運行一次都隨機出現一個五位二進制數（例如01001），其中出現0的概率為，出現1的概率為，記，則當程序運行一次時，下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．五位二進制數與出現的概率相同
【答案】A
【分析】依題意可得，根據二項分布的概率公式及期望、方差公式判斷即可.
【詳解】由二進制數的特點知，每一個數位上的數字只能為或，且每個數位上的數字互不影響，
故的可能取值有0，1，2，3，4，5，
且的取值表示出現的次數，由二項分布的定義，可得，
故，故A錯誤；
因為，所以，故B錯誤；
，故C錯誤，
五位二進制數與出現的概率均為，故D正確．
．
二、多選題
9．（23-24高二下·甘肅臨夏·期末）離散型隨機變量X的分布列如表所示，則（ ）
X 0 1 2 4
P a
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根據概率和為1，可求a的值，判斷A；由互斥事件的概率加法公式判斷B；根據期望，方差的公式進行計算，判斷C，D.
【詳解】根據題意，，所以，A正確；
，B錯誤；
，C正確；
，D正確.
CD
10．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）已知隨機變量滿足，且，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根據題意，利用二項分布的期望與方差的公式，以及期望與方差的運算性質，逐項判定，即可求解.
【詳解】由隨機變量滿足，且，可得，解得，
對于A中，由，所以A正確；
對于B中，因為，即，可得，所以B錯誤；
對于C中，由，所以C錯誤；
對于D中，由，可得，所以D正確.
D.
11．（23-24高二下·江蘇泰州·階段練習）袋中有6個大小相同的球，其中4個黑球，2個白球，現從中任取3個球，記隨機變量為其中白球的個數，隨機變量為其中黑球的個數，若取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分，隨機變量為取出3個球的總得分，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】確定，均服從于超幾何分布，且，，計算，可判斷A，根據判斷B，由判斷C，根據及超幾何分布方差公式判斷D正確.
【詳解】，均服從于超幾何分布，且，，
，，
對選項A：，，正確；
對選項B：，錯誤；
對選項C：，正確；
對選項D：，正確；
CD.
三、填空題
12．（23-24高二下·寧夏吳忠·階段練習）已知隨機變量X的分布列為.又X的均值，則 .
【答案】
【分析】根據隨機變量概率和為1及數學期望公式計算求參即可.
【詳解】因為，所以,
又因為,
所以,
所以.
故答案為：.
13．（23-24高二下·重慶·階段練習）如圖，一個質點在隨機外力作用下，從原點0出發，每隔1秒等可能的向左或向右移動一個單位，移動次之后的質點位于，則 ．
【答案】0
【分析】利用二項分布和數學期望的性質求解即可.
【詳解】設質點次移動中向右移動的次數為，
由題意可知每次移動向右的概率為，則，
所以，
對應位置，
所以，
故答案為：0
14．（23-24高二下·黑龍江大慶·期末）全期望公式是條件數學期望的一個非常重要的性質。全期望公式具有廣泛的應用.例如，小明按照如下規則扔一個骰子：如果扔到1點，就再扔一次并規則不變，如果扔到其他點數則停止.設為小明停止扔骰子后扔骰子的總次數，則根據全期望公式可得，解得，其中表示小明投一次1點后，再投骰子停止后次數期望仍為，加上之前投的一次總次數為.參考以上方法完成下列問題：一只小白鼠陷入一個有三扇門的迷宮中，它每次都是等可能得選擇其中一扇門，如選擇第一扇門，小白鼠2分鐘后到達安全區；如選擇第二扇門，小白鼠3分鐘后回到迷宮起點；如選擇第三扇門，小白鼠5分鐘后回到迷宮起點.設小白鼠達到安全區所需的時間為，則 分鐘.
【答案】10
【分析】根據全期望公式及離散型隨機變量的期望的性質即可求解.
【詳解】由全期望公式可知，，解得分鐘.
故答案為：.
四、解答題
15．（23-24高二下·山東棗莊·期中）一批筆記本電腦共有10臺，其中品牌3臺，品牌7臺，如果從中隨機挑選2臺，設挑選的2臺電腦中品牌的臺數為.
(1)求的分布列；
(2)求的均值和方差.
【答案】(1)分布列見解析
(2);
【分析】（1）確定隨機變量的可能取值，利用超幾何分布概率公式求出概率；
（2）利用（1）中的分布列，代入數學期望公式和方差公式計算即得.
【詳解】（1）依題意，的可能值有.
則，，.
則的分布列為：
（2）由（1）中的分布列，可得
.
另解：因
則
16．（23-24高二下·河北石家莊·期末）某大學數理教學部為提高學生的身體素質，并加強同學間的交流，特組織以“讓心靈沐浴陽光，讓快樂充滿胸膛”為主題的趣味運動比賽，其中A、B兩名學生進入趣味運動比賽的關鍵階段，該比賽采取累計得分制，規則如下：每場比賽不存在平局，獲勝者得1分，失敗者不得分，其中累計得分領先對方2分即可贏得最終勝利，但本次比賽最多進行6場．假設每場比賽中A同學獲勝的概率均為，且各場比賽的結果相互獨立．
(1)求趣味比賽進行到第2場時比賽就結束的概率；
(2)此次趣味比賽中記比賽停止時已比賽的場數為X，求X的分布列及數學期望．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【分析】（1）根據獨立重復試驗的概率公式計算即可；
（2）的取值可能是，分別求出概率，即可寫出分布列，根據數學期望的公式計算即可．
【詳解】（1）由題可知，A同學連勝2場或連敗2場，則其概率．
（2）由題可知，的取值可能是，
由（1）知，，
當時，前2場打平，后兩場連勝或連敗，
則，
，
所以分布列為：
2 4 6
所以數學期望．
17．（23-24高二下·天津濱海新·期末）某校團委為加強學生對垃圾分類意義的認識以及養成垃圾分類的習慣，組織了知識競賽活動，現高一和高二兩個年級各派一位學生代表參加決賽，決賽的規則如下：
決賽一共五輪，在每一輪中，兩位學生各回答一次題目，累計答對題目數量多者勝；若五輪答滿，分數持平，則并列為冠軍；
如果在答滿5輪前，其中一方答對題目數量已經多于另一方答滿5次題可能答對的題目數量，則不需再答題，譬如：第3輪結束時，雙方答對題目數量比為3∶0，則不需再答第4輪了；
設高一年級的學生代表甲答對比賽題目的概率是，高二年級的學生代表乙答對比賽題目的概率是，每輪答題比賽中，答對與否互不影響，各輪結果也互不影響．
(1)在一次賽前訓練中，學生代表甲同學答了3輪題，且每次答題互不影響，記為答對題目的數量，求的分布列及數學期望；
(2)求在第4輪結束時，學生代表甲答對3道題并剛好勝出的概率．
【答案】(1)分布列見解析，
(2)
【分析】（1）分析可知，利用二項分布可得出隨機變量的分布列，利用二項分布的期望公式可求得的值；
（2）將“在第輪結束時，學生代表甲答對道題并剛好勝出”記為事件，“在第輪結束時，學生代表乙答對道題”記為事件，“在第輪結束時，學生代表乙答對道題”記為事件，則、互斥，且，分別計算出、的值，利用互斥事件的概率公式可求得的值.
【詳解】（1）由題可得，的可能取值為、、、，
所以，，
，，
所以，的分布列為：
所以.
（2）將“在第輪結束時，學生代表甲答對道題并剛好勝出”記為事件，
“在第輪結束時，學生代表乙答對道題”記為事件，
“在第輪結束時，學生代表乙答對道題”記為事件，則、互斥，且，
則，
，
所以.
因此，在第輪結束時，學生代表甲答對道題并剛好勝出的概率為.
18．（23-24高二下·北京通州·期末）某農產品經銷商計劃分別在甲、乙兩個市場銷售某種農產品（兩個市場的銷售互不影響），為了了解該種農產品的銷售情況，現分別調查了該農產品在甲、乙兩個市場過去10個銷售周期內的銷售情況，得下表：
銷售量 銷售周期個數 市場 3噸 4噸 5噸
甲 3 4 3
乙 2 5 3
(1)從過去10個銷售周期中隨機抽取一個銷售周期，求甲市場銷售量為4噸的概率；
(2)以市場銷售量的頻率代替銷售量的概率．設（單位：噸）表示下個銷售周期兩個市場的總銷售量，求隨機變量概率分布列；
(3)在（2）的條件下，設該經銷商計劃在下個銷售周期購進噸該產品，在甲、乙兩個市場同時銷售，已知該產品每售出1噸獲利1000元，未售出的產品降價處理，每噸虧損200元．以銷售利潤的期望作為決策的依據，判斷與應選用哪一個．
【答案】(1)0.4；
(2)分布列見解析；
(3)應選.
【分析】（1）利用古典概率求得結果.
（2）求出的可能及各個值對應的概率，列出分布列.
（3）分別求出與時銷售利潤的期望，再比較大小即得結果.
【詳解】（1）設甲市場銷售量為4噸的事件為A，則.
（2）設甲市場銷售量為噸的概率為，乙市場銷售量為噸的概率為，
則由題意得，，；
，，，
設兩個市場總需求量為的概率為，所有可能的取值為6，7，8，9，10，
，
，
，
，
，
所以的分布列如下表：
6 7 8 9 10
0.06 0.23 0.35 0.27 0.09
（3）由（2）知，，，
當時，銷售利潤，當時，，當時，，
因此的分布列為：
0.06
則元；
當時，，，，
銷售利潤，當時，，
當時，，當時，，
因此的分布列為：
0.06 0.71
則元；
因為，所以應選.
19．（23-24高二下·河南漯河·階段練習）為不斷改進勞動教育，進一步深化勞動教育改革，現從某單位全體員工中隨機抽取3人做問卷調查.已知某單位有N名員工，其中是男性，是女性.
(1)當時，求出3人中男性員工人數X的分布列和數學期望；
(2)我們知道，當總量N足夠大而抽出的個體足夠小時，超幾何分布近似為二項分布.現在全市范圍內考慮，從N名員工(男女比例不變)中隨機抽取3人，在超幾何分布中男性員工恰有2人的概率記作，在二項分布中，即男性員工的人數男性員工恰有2人的概率記作.那么當N至少為多少時，我們可以在誤差不超過0.001（即）的前提下認為超幾何分布近似為二項分布(參考數據:)
【答案】(1)分布列見解析，
(2)N至少為145
【分析】（1）利用超幾何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求數學期望；
（2）利用二項分布概率模型和超幾何分布概率模型即可求解.
【詳解】（1）由題意，當時，男性員工有4人，女性員工有6人，
服從超幾何分布，，
，，
，，
則的分布列為
0 1 2 3
所以數學期望為.
（2）由題意，男性員工有人，女性員工有人，
則，
，
由于，則，
即，
即，
由題意易知，
從而，
化簡得，
又，于是.
由于函數在上單調遞增，且，
從而在時單調遞增，
又，.
因此當時，符合題意，
而又考慮到和都是整數，則一定是5的整數倍，
則N至少為145時，我們可以在誤差不超過0.001（即）的前提下認為超幾何分布近似為二項分布.
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