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第03講 二項分布與超幾何分布
課程標準 學習目標
1.理解n次獨立重復試驗的模型及其意義． 2.會求n次獨立重復試驗及二項分布的概率． 3.掌握超幾何分布的特點,并能簡單的應用． 1.理解n次伯努利試驗. 2.理解二項分布，能利用二項分布解決一些簡單的實際問題． 3.理解超幾何分布的概念，理解超幾何分布與二項分布的關系. 4.會用超幾何分布解決一些簡單的實際問題．
知識點01　n次獨立重復試驗
1．n次獨立重復試驗
在相同條件下重復n次伯努利試驗時，人們總是約定這n次試驗是相互獨立的，此時這n次伯努利試驗也常稱為n次獨立重復試驗．
2．n次獨立重復試驗中事件A發生k次的概率
一般地，事件A在n次獨立重復試驗中發生k次，共有C種情形，由試驗的獨立性知“A在k次試驗中發生，而在其余(n－k)次試驗中不發生”的概率都是pk(1－p)n－k，所以由概率加法公式知，如果在一次試驗中事件A發生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發生k次的概率為Pk(k)Cpk(1－p)n－k(k0，1，2，…，n).
【解讀】(1)上述公式必須在滿足“獨立重復試驗”時才能運用；
(2)使用公式時一定要明確該公式中各量表示的意義：n為獨立重復試驗的次數；p是在1次試驗中事件A發生的概率；1－p是在1次試驗中事件A不發生的概率；k是在n次獨立重復試驗中事件A發生的次數；
(3)獨立重復試驗是相互獨立事件的特例．一般地，有“恰好發生k次”“恰有k次發生”字樣的問題，求概率時，用n次獨立重復試驗概率公式計算更簡便．
【即學即練1】任意拋擲三枚均勻硬幣，恰有2枚正面朝上的概率為(　　 )
A． B． C． D．
知識點02　二項分布
　定義：一般地，如果一次伯努利試驗中，出現“成功”的概率為p，記q1－p，且n次獨立重復試驗中出現“成功”的次數為X，則X的取值范圍是{0，1，…k，…n}，而且P(Xk)Cpk(1－p)n－k，k0，1，2，…，n.
因此X的分布列如下表所示．
X 0 1 … k … n
P Cp0qn Cp1qn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0
注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二次展開式
(q＋p)nCp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0中對應項的值，因此稱X服從參數為n，p的二項分布，記作X～B(n，p)．
【解讀】
(1)二項分布是兩點分布的一般形式，兩點分布是一種特殊的二項分布，即n1的二項分布；
(2)判斷一個隨機變量是否服從二項分布的關鍵在于它是否同時滿足以下三個條件：
①對立性：在一次試驗中，事件A發生與否必居其一．
②重復性：試驗可以獨立重復地進行，且每次試驗事件A發生的概率都是同一常數p.
③X的取值從0到n，中間不間斷．
由上可以發現，兩點分布是一種特殊的二項分布，即n1時的二項分布，所以二項分布可以看成是兩點分布的一般形式，二項分布中的每次試驗的結果都服從兩點分布．
【即學即練2】下列隨機變量X不服從二項分布的是(　　 )
A．投擲一枚均勻的骰子5次，X表示點數為6出現的次數
B．某射手射中目標的概率為p，設每次射擊是相互獨立的，X為從開始射擊到擊中目標所需要的射擊次數
C．實力相等的甲、乙兩選手進行了5局乒乓球比賽，X表示甲獲勝的次數
D．某星期內，每次下載某網站數據被病毒感染的概率為0.3，X表示下載n次數據電腦被病毒感染的次數
知識點03　超幾何分布
1．定義：一般地，若有總數為N件的甲、乙兩類物品，其中甲類有M件(M2．特別地，如果X～H(N，n，M)，且n＋M－N≤0，則X能取所有不大于s的自然數，此時X的分布列如下表所示：
X 0 1 … k … s
P … …
【解讀】對超幾何分布的理解
(1)超幾何分布的模型是不放回抽樣；
(2)超幾何分布中的參數是M，N，n；
(3)超幾何分布可解決產品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同學中的男和女等問題，往往由差異明顯的兩部分組成．
【即學即練3】30件產品中，有15件一等品，10件二等品，5件三等品，現隨機地抽取5件，下列不服從超幾何分布的是(　 )
A．抽取的5件產品中的一等品數
B．抽取的5件產品中的二等品數
C．抽取的5件產品中的三等品數
D．30件產品中的三等品數
知識點04　超幾何分布與二項分布的區別與聯系
(1)超幾何分布需要知道總體的容量，而二項分布不需要；
(2)超幾何分布是不放回抽樣，而二項分布是放回抽樣(獨立重復)，當總體的容量非常大時，超幾何分布近似于二項分布．
題型01 獨立重復試驗概率的求法
【典例1】（23-24高二下·河南·期中）小明騎自行車上學，從家到學校需要經過三個十字路口，已知在十字路口遇到紅燈的概率均為，每次紅燈需要等待一分鐘且在每個路口是否遇到紅燈相互獨立，則紅燈等待時間不少于兩分鐘的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（23-24高一下·安徽馬鞍山·期末）拋擲一枚質地均勻的硬幣次，正面朝上的次數記為X，則（ ）.
A．時，
B．時，
C．時，
D．時，
【變式2】（24-25高二下·全國·課后作業）一袋中有5個白球，3個紅球，現從袋中往外取球，每次任取一個記下顏色后放回，直到紅球出現10次停止，設停止時共取了次球，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（24-25高三上·湖北·期中）英國生物統計學家高爾頓設計了高爾頓釘板來研究隨機現象.如圖是一個高爾頓釘板的設計圖，每一黑點表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆釘子恰好位于下一層兩顆打子的正中間，小球每次下落，將隨機的向兩邊等概率的下落.數學課堂上，老師向學生們介紹了高爾頓釘板放學后，愛動腦的小明設計了一個不一樣的“高爾頓釘板”，它使小球在從釘板上一層的兩顆釘子之間落下后砸到下一層的釘子上時，向左下落的概率為向右下落的概率的2倍.當有大量的小球依次滾下時，最終都落入釘板下面的5個不同位置.若一個小球從正上方落下，經過5層釘板最終落到4號位置的概率是（ ）
A． B． C． D．
【變式4】（23-24高二下·北京·期中）甲、乙兩隊要舉行一場排球比賽，雙方約定采用“五局三勝”制．已知甲隊每局獲勝的概率為，乙隊每局獲勝的概率為．
（1）求乙隊以的比分獲勝的概率；
（2）設確定比賽結果需要比賽局，求的分布列．
題型02 二項分布的概率計算問題
【典例2】（23-24高二下·河南安陽·期中）若隨機變量服從二項分布，且，則（ ）
A．39 B．70 C．63 D．68
【變式1】（23-24高二下·天津西青·期末）某人每次射擊擊中目標的概率均為，此人連續射擊三次，至少有兩次擊中目標的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24高二下·四川綿陽·期末）某市政道路兩旁需要進行綠化，計劃從甲，乙，丙三種樹木中選擇一種進行栽種，通過民意調查顯示，贊成栽種乙樹木的概率為，若從該地市民中隨機選取4人進行訪談，則至少有3人建議栽種乙樹木的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（23-24高二下·河南濮陽·期末）已知隨機變量.若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式4】（23-24高二下·廣東·期中）如圖所示，已知一質點在外力的作用下，從原點O出發，每次向左移動的概率為，向右移動的概率為，若該質點每次移動一個單位長度，設經過5次移動后，該質點位于X的位置，則（ ）
A． B． C． D．
題型03 服從二項分布的概率最值
【典例3】（23-24高三上·湖北荊州·階段練習）已知隨機變量，則概率最大時，的取值為（ ）
A． B． C．或 D．或
【變式1】（23-24高二下·吉林白山·期末）已知隨機變量，當且僅當時，取得最大值，則（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【變式2】（24-25高二下·全國·課后作業）罰球是籃球運動員在籃球比賽時得分的方式之一．已知某籃球運動員經過長期的訓練和比賽，將罰球命中率穩定在70%，若該運動員在某場比賽中獲得了5次罰球的機會，且每罰中一球可得到1分，則該名運動員通過罰球最有可能得 分．
【變式3】（23-24高二上·山東德州·階段練習）如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落過程中，每次碰到小木釘后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率為，向右下落的概率為，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號為，，，，，則小球落入 號格子的概率最大.圖片僅供參考

題型04 二項分布模型的應用
【典例4】（23-24高二下·天津·期中）甲乙兩人進行象棋比賽，約定誰先贏3局誰就直接獲勝，并結束比賽.假設每局甲贏的概率為，和棋的概率為，各局比賽結果相互獨立.
（1）記為3局比賽中甲贏的局數，求的分布列.
（2）求乙在4局以內（含4局）贏得比賽的概率；
（3）求比賽6局結束，且甲贏得比賽的概率
【變式1】（23-24高二下·云南昆明·月考）甲、乙兩人進行乒乓球比賽，比賽規則：每一局比賽中，勝者得1分，負者得0分，且比賽中沒有平局.根據以往戰績，每局比賽甲獲勝的概率為，每局比賽的結果互不影響.
（1）經過3局比賽，記甲的得分為X，求X的分布列；
（2）若比賽采取3局制，試計算3局比賽后，甲的累計得分高于乙的累計得分的概率.
【變式2】為了增加系統的可靠性，人們經常使用“備用冗余設備”（即正在使用的設備出故障時才啟動的設備），已知某計算機網絡的服務器采用的是“一用兩備”（即一臺正常設備，兩臺備用設備）的配置，這三臺設備中，只要有一臺能正常工作，計算機網絡就不會斷掉，如果三臺設備各自能正常工作的概率都為，它們之間相互不影響，設能正常工作的設備數為X．
（1）寫出X的分布列；
（2）求出計算機網絡不會斷掉的概率．
【變式3】（23-24高二下·湖北·月考）一個盒子里有大小相同的5個小球，其中2個白球和3個紅球．
（1）一次性從盒子中抽3個小球，抽出來的是1個白球和2個紅球的概率；
（2）有放回地抽3次小球，每次抽1個，求抽出白球次數的分布列．
題型05 超幾何分布的辨析
【典例5】下列問題中，哪些屬于超幾何分布問題，說明理由．
(1)拋擲三枚骰子，所得向上的數是6的骰子的個數記為X，求X的概率分布；
(2)有一批種子的發芽率為70%，任取10顆種子做發芽試驗，把試驗中發芽的種子的個數記為X，求X的概率分布；
(3)盒子中有紅球3只，黃球4只，藍球5只．任取3只球，把不是紅色的球的個數記為X，求X的概率分布；
(4)某班級有男生25人，女生20人．選派4名學生參加學校組織的活動，班長必須參加，其中女生人數記為X，求X的概率分布；
(5)現有100臺MP3播放器未經檢測，抽取10臺送檢，把檢驗結果為不合格的MP3播放器的個數記為X，求X的概率分布．
【變式1】下列隨機變量中，服從超幾何分布的有________．(填序號)
①在10件產品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到的次品數為X；
②從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任取2臺，記X表示所取的2臺彩電中甲型彩電的臺數；
③一名學生騎自行車上學，途中有6個交通崗，記此學生遇到紅燈的數為隨機變量X.
【變式2】(多選)一袋中有除顏色、編號外完全相同的10個球，其中有6個黑球，編號為1,2,3,4,5,6，還有4個白球，編號為7,8,9,10，現從中任取4個球，則下列結論中正確的是(　 )
A．取出的最大號碼X服從超幾何分布
B．取出的黑球個數Y服從超幾何分布
C．取出2個白球的概率為
D．若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則總得分最大的概率為
題型06 利用超幾何分布求概率
【典例6】（23-24高二下·浙江·期中）一批產品共有7件，其中5件正品，2件次品，現從7件產品中一次性抽取3件，設抽取出的3件產品中次品數為，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（24-25高二下·全國·課后作業）設袋中有8個紅球，4個白球，若從袋中任取4個球，則其中至多3個紅球的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24高二下·山東青島·期中）數學老師從6道題中隨機抽3道讓同學檢測，規定至少要解答正確2道題才能及格．某同學只能正確求解其中的4道題，則該同學能及格的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（23-24高二下·江蘇宿遷·期中）有20個零件，其中16個一等品，其余都是二等品，若從20個零件中任取3個，那么至多有一個是二等品的概率是（ ）
A． B． C． D．以上均不對
題型07 利用超幾何分布求分布列
【典例7】（24-25高三上·江蘇常州·期中）某校由5名教師組成校本課程講師團，其中2人有校本課程開設經驗，3人沒有校本課程開設經驗.先從這5名教師中隨機抽選2名教師開設校本課程，該期校本課程結束后，再從這5名教師中隨機抽選2名教師開設下一期校本課程.
(1)在第一次抽選的2名教師中，有校本課程開設經驗的教師人數記為X，求X的分布列；
(2)求“在第二次抽選的2名教師中，有校本課程開設經驗的教師人數是1”的概率.
【變式1】一個盒子里裝有9個球，其中有4個紅球，3個黃球和2個綠球，這些球除顏色外完全相同．
(1)從盒子中隨機取出2個球，求取出的2個球顏色相同的概率；
(2)從盒子中隨機取出4個球，其中紅球個數記為X，求隨機變量X的分布列．
【變式2】）某校高中數學興趣小組有名同學，其中名男生名女生，現從中選人去參加一項活動．
（1）求選出的人中，恰有名男生的概率；
（2）用表示選出的人中男生的個數，求的分布列．
【變式3】（23-24高二下·廣東梅州·月考）端午節吃粽子是我國的傳統習俗.設一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個.
（1）求三種粽子各取到1個的概率；
（2）設表示取到的豆沙粽個數，求的分布列；
（3）設表示取到的粽子的種類，求的分布列.
題型08 二項分布與超幾何分布的綜合問題
【典例8】某批N件產品的次品率為1%，現在從中隨機抽出2件進行檢驗，問：
(1)當N100,1 000,10 000時，分別以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率各是多少？(精確到0.000 01)
(2)根據(1)，談談你對超幾何分布與二項分布關系的認識．
【變式1】袋中有6個白球、3個黑球，從中隨機地連續抽取2次，每次取1個球．
(1)若每次抽取后都放回，設取到黑球的次數為X，求X的分布列；
(2)若每次抽取后都不放回，設取到黑球的個數為Y，求Y的分布列．
一、單選題
1．（23-24高二下·上海·期末）某班級共有 40 名同學， 其中 15 人是團員． 現從該班級通過抽簽選擇 10 名同學參加活動，定義隨機變量 為其中團員的人數，則 服從 （ ）
A．二項分布 B．超幾何分布 C．正態分布 D．伯努利分布
2．（23-24高二下·山東青島·期中）已知隨機變量，則（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·湖北武漢·期末）從含有3件正品，2件次品的產品中隨機抽取2件產品，則抽取出的2件產品中恰有1件次品的概率為（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·甘肅天水·階段練習）產品的質量是企業的根本，產品檢測是生產中不可或缺的重要工作，某工廠為了保證產品質量，利用兩種不同方法進行檢測，兩位員工隨機從生產線上各抽取數量相同的一批產品，已知在兩人抽取的一批產品中均有5件次品，員工甲從這一批產品中有放回地隨機抽取3件產品，員工乙從這一批產品中無放回地隨機抽取3件產品，設員工甲抽取到的3件產品中次品數量為，員工乙抽取到的3件產品中次品數量為，，則下列判斷不正確的是（ ）（參考：超幾何分布其均值）
A．隨機變量服從二項分布 B．隨機變量服從超幾何分布
C． D．
5．（25-26高三上·上?！て谀┘住⒁覂蓚€籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球2次均未命中的概率為.若甲、乙兩人各投球2次，則共命中2次的概率為（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二上·湖北武漢·期中）概率論起源于博弈游戲17世紀，曾有一個“賭金分配”的問題：博弈水平相當的甲、乙兩人進行博弈游戲，每局比賽都能分出勝負，沒有平局．雙方約定：各出賭金210枚金幣，先贏3局者可獲得全部贖金．但比賽中途因故終止了，此時甲贏了2局，乙贏了1局，問這420枚金幣的賭金該如何分配？數學家費馬和帕斯卡都用了現在稱之為“概率”的知識，合理地給出了賭金分配方案．該分配方案是（ ）
A．甲315枚，乙105枚 B．甲280枚，乙140枚
C．甲210枚，乙210枚 D．甲336枚，乙84枚
7．（22-23高二下·上海浦東新·期末）經檢測一批產品中每件產品的合格率為，現從這批產品中任取5件，設取得合格產品的件數為，則以下選項正確的是（ ）
A．的可能取值為1，2，3，4，5 B．
C．的概率最大 D．服從超幾何分布
8．（23-24高二下·山西大同·期中）數軸上一個質點在隨機外力的作用下，從原點出發，每隔秒向左或向右移動一個單位，已知向右移動的概率為，向左移動的概率為，共移動次，則質點位于的位置的概率是（ ）

A． B． C． D．
二、多選題
9．（24-25高三上·江蘇南京·階段練習）現有甲、乙兩個盒子，甲盒裝有6個白球3個紅球，乙盒裝有5個白球5個紅球，則下列說法正確的是（ ）
A．甲盒中一次取出3個球，至少取到一個紅球的概率是
B．乙盒有放回地取3次球，每次取一個，取到2個白球和1個紅球的概率是
C．甲盒不放回地取2次球，每次取一個，第二次取到紅球的概率是
D．甲盒不放回地多次取球，每次取一個，則在第一、二次都取到白球的條件下，第三次也取到白球的概率是
10．（24-25高二下·全國·課后作業）（多選）袋中有10個大小相同的球，其中6個黑球，4個白球，現從中任取4個球，則下列結論中正確的是（ ）
A．取出的白球個數X服從二項分布
B．取出的黑球個數Y服從超幾何分布
C．取出2個白球的概率為
D．若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則總得分最大的概率為
11．（23-24高二下·新疆烏魯木齊·期末）下列說法正確的有（ ）
A．已知事件，且，，，則
B．設火箭發射失敗的概率為0.01，若發射10次，其中失敗的次數為，則
C．若從名男生 名女生中選取人，則其中至少有名女生的概率為
D．設甲乘汽車 動車前往某目的地的概率分別為0.3 0.5，汽車和動車正點到達目的地的概率分別為0.6 0.8，則甲正點到達目的地的概率為0.58
三、填空題
12．（25-26高三上·上海·單元測試）已知隨機變量X服從二項分布B（4，p），，那么一次試驗成功的概率p等于 ．
13．（24-25高二下·全國·課后作業）某校舉行“書香讀書節”讀書征文活動，高一年級和高二年級合計上交了9篇文章．學校通過評比后，評出4篇文章獲得優勝獎．若這4篇文章恰有3篇是高一年級上交的概率為，則高一年級上交的文章有 篇．
14．（23-24高二下·陜西寶雞·期中）在20件產品中可能存在次品，從中抽取2件檢查，其次品數為，已知，且該產品的次品率不超過，則這20件產品的次品率為 ．
四、解答題
15．（24-25高二下·全國·課后作業）高三某班的聯歡會上設計了一項游戲：在一個口袋中裝有10個紅球，20個白球，這些球除顏色外完全相同，現依次從中摸出5個球．規定摸到4個紅球，1個白球的就中一等獎．
(1)若摸出后放回，求中一等獎的概率；
(2)若摸出后不放回，①求中一等獎的概率；②若至少摸到3個紅球就中獎，求中獎的概率．
16．（23-24高二下·重慶九龍坡·期中）近期重慶市育才中學校舉行了“探‘樂’計劃”校園歌手大賽和“想玩就‘趣’FUN肆到底”育才達人甲、乙、丙三人均依次參加兩個比賽，三人進入校園歌手大賽決賽的概率均是，進入達人秀決賽的概率均是，且每個人是否進入歌手大賽決賽和達人秀決賽互不影響．
(1)求甲兩個比賽都進入決賽的概率；
(2)記三人中兩個比賽均進入決賽的人數為．求隨機變量的概率分布.
17．（23-24高三上·江蘇南通·月考）某班為了慶祝我國傳統節日中秋節，設計了一個小游戲：在一個不透明箱中裝有4個黑球，3個紅球，1個黃球，這些球除顏色外完全相同.每位學生從中一次隨機摸出3個球，觀察顏色后放回.若摸出的球中有個紅球，則分得個月餅；若摸出的球中有黃球，則需要表演一個節目.
（1）求一學生既分得月餅又要表演節目的概率；
（2）求每位學生分得月餅數的概率分布.
18．（23-24高二下·北京海淀·期末）為了調研某地區學生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項活動的參與情況，在該地區隨機選取了10所學校進行研究，得到如下數據：
(1)從這10所學校中隨機選取1所，已知這所學校參與“自由式滑雪”人數超過40人，求該校參與“單板滑雪”超過30人的概率；
(2)已知參與“自由式滑雪”人數超過40人的學校評定為“基地學?！?現在從這10所學校中隨機選取2所，設“基地學校”的個數為，求的分布列；
(3)現在有一個“單板滑雪”集訓營，對“滑行、轉彎、停止”這3個動作技巧進行集訓，并專門對這3個動作進行了多輪測試.規定：在一輪測試中，這3個動作中至少有2個動作達到“優秀”，則該輪測試記為“優秀”.在此集訓測試中，李華同學3個動作中每個動作達到“優秀”的概率均為，每個動作互不影響，每輪測試也互不影響.如果李華同學在集訓測試中想獲得“優秀”的次數的均值達到5次，那么至少要進行多少輪測試？（結果不要求證明）
19．（23-24高二下·寧夏銀川·階段練習）為了讓人民群眾度過一個平安健康快樂祥和的新春佳節，甲公司和乙公司在某購物平臺上同時開啟了打折促銷，直播帶年貨活動，甲公司和乙公司所售商品類似，存在競爭關系．
(1)若小李連續兩天每天選擇在甲、乙其中一個直播間進行購物，第一天等可能他從甲、乙兩家中選一家直播間購物，如果第一天去甲直播間購物，那么第二天去甲直播間購物的概率為0.7；如果第一天去乙直播間購物，那么第二天去甲直播間購物的概率為0.8，求小李第二天去乙直播間購物的概率；
(2)元旦期間，甲公司購物平臺直播間進行“秒殺”活動，假設直播間每人下單成功的概率均為，每人下單成功與否互不影響，若從直播間中隨機抽取五人，記五人中恰有2人下單成功的概率為，求的最大值點．
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課程標準 學習目標
1.理解n次獨立重復試驗的模型及其意義． 2.會求n次獨立重復試驗及二項分布的概率． 3.掌握超幾何分布的特點,并能簡單的應用． 1.理解n次伯努利試驗. 2.理解二項分布，能利用二項分布解決一些簡單的實際問題． 3.理解超幾何分布的概念，理解超幾何分布與二項分布的關系. 4.會用超幾何分布解決一些簡單的實際問題．
知識點01　n次獨立重復試驗
1．n次獨立重復試驗
在相同條件下重復n次伯努利試驗時，人們總是約定這n次試驗是相互獨立的，此時這n次伯努利試驗也常稱為n次獨立重復試驗．
2．n次獨立重復試驗中事件A發生k次的概率
一般地，事件A在n次獨立重復試驗中發生k次，共有C種情形，由試驗的獨立性知“A在k次試驗中發生，而在其余(n－k)次試驗中不發生”的概率都是pk(1－p)n－k，所以由概率加法公式知，如果在一次試驗中事件A發生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發生k次的概率為Pk(k)Cpk(1－p)n－k(k0，1，2，…，n).
【解讀】(1)上述公式必須在滿足“獨立重復試驗”時才能運用；
(2)使用公式時一定要明確該公式中各量表示的意義：n為獨立重復試驗的次數；p是在1次試驗中事件A發生的概率；1－p是在1次試驗中事件A不發生的概率；k是在n次獨立重復試驗中事件A發生的次數；
(3)獨立重復試驗是相互獨立事件的特例．一般地，有“恰好發生k次”“恰有k次發生”字樣的問題，求概率時，用n次獨立重復試驗概率公式計算更簡便．
【即學即練1】任意拋擲三枚均勻硬幣，恰有2枚正面朝上的概率為(　　 )
A． B． C． D．
【答案】C　
【解析】拋一枚硬幣，正面朝上的概率為，則拋三枚硬幣，恰有2枚朝上的概率為.
知識點02　二項分布
　定義：一般地，如果一次伯努利試驗中，出現“成功”的概率為p，記q1－p，且n次獨立重復試驗中出現“成功”的次數為X，則X的取值范圍是{0，1，…k，…n}，而且P(Xk)Cpk(1－p)n－k，k0，1，2，…，n.
因此X的分布列如下表所示．
X 0 1 … k … n
P Cp0qn Cp1qn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0
注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二次展開式
(q＋p)nCp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0中對應項的值，因此稱X服從參數為n，p的二項分布，記作X～B(n，p)．
【解讀】
(1)二項分布是兩點分布的一般形式，兩點分布是一種特殊的二項分布，即n1的二項分布；
(2)判斷一個隨機變量是否服從二項分布的關鍵在于它是否同時滿足以下三個條件：
①對立性：在一次試驗中，事件A發生與否必居其一．
②重復性：試驗可以獨立重復地進行，且每次試驗事件A發生的概率都是同一常數p.
③X的取值從0到n，中間不間斷．
由上可以發現，兩點分布是一種特殊的二項分布，即n1時的二項分布，所以二項分布可以看成是兩點分布的一般形式，二項分布中的每次試驗的結果都服從兩點分布．
【即學即練2】下列隨機變量X不服從二項分布的是(　　 )
A．投擲一枚均勻的骰子5次，X表示點數為6出現的次數
B．某射手射中目標的概率為p，設每次射擊是相互獨立的，X為從開始射擊到擊中目標所需要的射擊次數
C．實力相等的甲、乙兩選手進行了5局乒乓球比賽，X表示甲獲勝的次數
D．某星期內，每次下載某網站數據被病毒感染的概率為0.3，X表示下載n次數據電腦被病毒感染的次數
【答案】C　
【解析】選項A，試驗出現的結果只有兩種：點數為6和點數不為6，且點數為6的概率在每一次試驗中都為，每一次試驗都是獨立的，故隨機變量X服從二項分布；選項B，雖然隨機變量在每一次試驗中的結果只有兩種，每一次試驗事件相互獨立，且概率不發生變化，但隨機變量的取值不確定，故隨機變量X不服從二項分布；選項C，甲、乙的獲勝率相等，進行5次比賽，相當于進行了5次獨立重復試驗，故X服從二項分布；選項D，由二項分布的定義，可知被感染次數X～B(n，0.3).
知識點03　超幾何分布
1．定義：一般地，若有總數為N件的甲、乙兩類物品，其中甲類有M件(M2．特別地，如果X～H(N，n，M)，且n＋M－N≤0，則X能取所有不大于s的自然數，此時X的分布列如下表所示：
X 0 1 … k … s
P … …
【解讀】對超幾何分布的理解
(1)超幾何分布的模型是不放回抽樣；
(2)超幾何分布中的參數是M，N，n；
(3)超幾何分布可解決產品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同學中的男和女等問題，往往由差異明顯的兩部分組成．
【即學即練3】30件產品中，有=一等品，10件二等品，5件三等品，現隨機地抽取5件，下列不服從超幾何分布的是(　 )
A．抽取的5件產品中的一等品數
B．抽取的5件產品中的二等品數
C．抽取的5件產品中的三等品數
D．30件產品中的三等品數
【答案】　D
【解析】　選項A、B、C中的產品數都是變量，且滿足超幾何分布的形式和特點，而選項D中的三等品數是常數，不是變量．故選D.
知識點04　超幾何分布與二項分布的區別與聯系
(1)超幾何分布需要知道總體的容量，而二項分布不需要；
(2)超幾何分布是不放回抽樣，而二項分布是放回抽樣(獨立重復)，當總體的容量非常大時，超幾何分布近似于二項分布．
題型01 獨立重復試驗概率的求法
【典例1】（23-24高二下·河南·期中）小明騎自行車上學，從家到學校需要經過三個十字路口，已知在十字路口遇到紅燈的概率均為，每次紅燈需要等待一分鐘且在每個路口是否遇到紅燈相互獨立，則紅燈等待時間不少于兩分鐘的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【變式1】（23-24高一下·安徽馬鞍山·期末）拋擲一枚質地均勻的硬幣次，正面朝上的次數記為X，則（ ）.
A．時，
B．時，
C．時，
D．時，
【答案】D
對于選項，，故正確；
對于選項，，故錯誤.
故選：
【變式2】（24-25高二下·全國·課后作業）一袋中有5個白球，3個紅球，現從袋中往外取球，每次任取一個記下顏色后放回，直到紅球出現10次停止，設停止時共取了次球，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據二項分布的定義即可得到答案.
【詳解】由題意知第12次取到紅球，前11次中恰有9次取到紅球，2次取到白球，由于每次取到紅球的概率為．
由二項分布知識可知，
．
【變式3】（24-25高三上·湖北·期中）英國生物統計學家高爾頓設計了高爾頓釘板來研究隨機現象.如圖是一個高爾頓釘板的設計圖，每一黑點表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆釘子恰好位于下一層兩顆打子的正中間，小球每次下落，將隨機的向兩邊等概率的下落.數學課堂上，老師向學生們介紹了高爾頓釘板放學后，愛動腦的小明設計了一個不一樣的“高爾頓釘板”，它使小球在從釘板上一層的兩顆釘子之間落下后砸到下一層的釘子上時，向左下落的概率為向右下落的概率的2倍.當有大量的小球依次滾下時，最終都落入釘板下面的5個不同位置.若一個小球從正上方落下，經過5層釘板最終落到4號位置的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】向左下落的概率為向右下落的概率的2倍，所以向左下落的概率為，向右下落的概率為，由二項分布的性質計算概率即可.
【詳解】向左下落的概率為向右下落的概率的2倍.
所以向左下落的概率為，向右下落的概率為，
則下落的過程中向左一次，向右三次才能最終落到4號位置，
故此時概率為：.
【變式4】（23-24高二下·北京·期中）甲、乙兩隊要舉行一場排球比賽，雙方約定采用“五局三勝”制．已知甲隊每局獲勝的概率為，乙隊每局獲勝的概率為．
（1）求乙隊以的比分獲勝的概率；
（2）設確定比賽結果需要比賽局，求的分布列．
【答案】（1）；（2）分布列見解析
【解析】（1）乙隊以的比分獲勝，這表明在前四局比賽中甲、乙隊雙方各勝兩局，且第五局乙隊勝，
故乙隊以的比分獲勝的概率．
（2）由題意，的可能取值為、、，
所以；
；
．
所以的分布列為
題型02 二項分布的概率計算問題
【典例2】（23-24高二下·河南安陽·期中）若隨機變量服從二項分布，且，則（ ）
A．39 B．70 C．63 D．68
【答案】D
【分析】先利用二項分布的概率公式求出的值，再利用排列數公式和組合數公式求解．
【詳解】隨機變量服從二項分布，且，
，
，
，
．
．
【變式1】（23-24高二下·天津西青·期末）某人每次射擊擊中目標的概率均為，此人連續射擊三次，至少有兩次擊中目標的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二項分布計算公式可求得結果為.
【詳解】記“至少有兩次擊中目標”為事件，連續射擊三次擊中目標的次數為，
由每次射擊擊中目標的概率均為，則未擊中目標的概率均為；
則.
【變式2】（23-24高二下·四川綿陽·期末）某市政道路兩旁需要進行綠化，計劃從甲，乙，丙三種樹木中選擇一種進行栽種，通過民意調查顯示，贊成栽種乙樹木的概率為，若從該地市民中隨機選取4人進行訪談，則至少有3人建議栽種乙樹木的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】運用二項分布知識求解即可
【詳解】贊成栽種乙樹木的人數設為X，則.
根據二項分布概率公式知道至少有3人建議栽種乙樹木的概率為.
.
【變式3】（23-24高二下·河南濮陽·期末）已知隨機變量.若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用二項分布的概率公式探討的取值，再將等價為求解即得.
【詳解】由，則，
，
且，
構造函數，其導函數為，
由于，，故函數在區間上單調遞增；
當時，取最小值；當時，函數值為；
所以；
.
【變式4】（23-24高二下·廣東·期中）如圖所示，已知一質點在外力的作用下，從原點O出發，每次向左移動的概率為，向右移動的概率為，若該質點每次移動一個單位長度，設經過5次移動后，該質點位于X的位置，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意設該質點向右移動的次數為，則，所以，再根據二項分布的概率公式計算即可求解.
【詳解】設該質點向右移動的次數為，則，，
而，所以的可能取值為，
所以
.
．
題型03 服從二項分布的概率最值
【典例3】（23-24高三上·湖北荊州·階段練習）已知隨機變量，則概率最大時，的取值為（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】根據二項分布的隨機變量取值的概率公式建立不等關系，可得最大值時的．
【詳解】依題意，
由，
即，解得或.
.
【變式1】（23-24高二下·吉林白山·期末）已知隨機變量，當且僅當時，取得最大值，則（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】由二項分布的概念，根據二項式系數的對稱性即可求解.
【詳解】由題得，
由題知在中，最大值只有，
即在中，最大值只有，由二項式系數的對稱性可知.
故選：.
【變式2】（24-25高二下·全國·課后作業）罰球是籃球運動員在籃球比賽時得分的方式之一．已知某籃球運動員經過長期的訓練和比賽，將罰球命中率穩定在70%，若該運動員在某場比賽中獲得了5次罰球的機會，且每罰中一球可得到1分，則該名運動員通過罰球最有可能得 分．
【答案】4
【分析】設最有可能得分，根據獨立重復試驗的概率公式，得到，求得的值，即可求解.
【詳解】設該名運動員通過罰球命中的次數為，則，
則，
再設最有可能得分，其中，
則，即，
解得，所以則，所以該名運動員通過罰球最有可能得分．
故答案為：.
【變式3】（23-24高二上·山東德州·階段練習）如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落過程中，每次碰到小木釘后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率為，向右下落的概率為，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號為，，，，，則小球落入 號格子的概率最大.圖片僅供參考

【答案】7
【分析】小球下落需要次碰撞，每次向左落下的概率為，向右下落的概率為，歸納出小球掉入號格子，需要向左次，向右次，概率為，然后由小球落入號格子的概率最大，列不等式組求解．
【詳解】小球下落需要次碰撞，每次向左落下的概率為，向右下落的概率為，
小球掉入號格子，需要向左次，概率為，
小球掉入號格子，需要向左次，向右次，概率為，
小球掉入號格子，需要向左次，向右次，概率為，
小球掉入號格子，需要向左次，向右次，概率為，
依此類推，小球掉入號格子，需要向左次，向右次，
概率為，
設小球落入號格子的概率最大，顯然，，
則解得，又為整數，所以，
所以小球落入號格子的概率最大．
故答案為：．
題型04 二項分布模型的應用
【典例4】（23-24高二下·天津·期中）甲乙兩人進行象棋比賽，約定誰先贏3局誰就直接獲勝，并結束比賽.假設每局甲贏的概率為，和棋的概率為，各局比賽結果相互獨立.
（1）記為3局比賽中甲贏的局數，求的分布列.
（2）求乙在4局以內（含4局）贏得比賽的概率；
（3）求比賽6局結束，且甲贏得比賽的概率
【答案】（1）分布列見解析，；（2）；（3）
【解析】（1）由題知甲每局贏的概率為，甲不贏的概率為，
則，的可能取值為，，，，
所以，，
，，
則的分布列為：
0 1 2 3
（2）由題知乙每局贏的概率為，乙不贏的概率為，
因為乙在4局以內（含4局）贏得比賽，
則分兩種情況：乙前3局全勝和前3局只有一局不勝，第四局乙勝，
所以乙在4局以內（含4局）贏得比賽的概率；
（3）由題知比賽局結束，且甲贏得比賽，
應要滿足：前局甲只贏局且其他三局中至少和棋一局，第六局甲贏，
又每局甲贏的概率為，和棋的概率為，乙贏的概率為，
故所求概率為．
【變式1】（23-24高二下·云南昆明·月考）甲、乙兩人進行乒乓球比賽，比賽規則：每一局比賽中，勝者得1分，負者得0分，且比賽中沒有平局.根據以往戰績，每局比賽甲獲勝的概率為，每局比賽的結果互不影響.
（1）經過3局比賽，記甲的得分為X，求X的分布列；
（2）若比賽采取3局制，試計算3局比賽后，甲的累計得分高于乙的累計得分的概率.
【答案】（1）分布列見解析，2；（2）
【解析】（1）由題意得，，X的取值可能為0，1，2，3，
則，，
，.
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
（2）第3局比賽后，甲的累計得分高于乙的累計得分有兩種情況：甲獲勝2局，甲獲勝3局，
所以所求概率為.
【變式2】為了增加系統的可靠性，人們經常使用“備用冗余設備”（即正在使用的設備出故障時才啟動的設備），已知某計算機網絡的服務器采用的是“一用兩備”（即一臺正常設備，兩臺備用設備）的配置，這三臺設備中，只要有一臺能正常工作，計算機網絡就不會斷掉，如果三臺設備各自能正常工作的概率都為，它們之間相互不影響，設能正常工作的設備數為X．
（1）寫出X的分布列；
（2）求出計算機網絡不會斷掉的概率．
【答案】（1）分布列見解析；（2）0.999
【解析】（1）可以看出，X服從參數為3，0.9的二項分布，即．
因此，，
，，
從而X的分布列為
X 0 1 2 3
P 0.001 0.027 0.243 0.729
（2）要使得計算機網絡不會斷掉，也就是要求能正常工作的設備至少有一臺，即，
因此所求概率為．
【變式3】（23-24高二下·湖北·月考）一個盒子里有大小相同的5個小球，其中2個白球和3個紅球．
（1）一次性從盒子中抽3個小球，抽出來的是1個白球和2個紅球的概率；
（2）有放回地抽3次小球，每次抽1個，求抽出白球次數的分布列．
【答案】（1）；（2）分布列見解析，
【解析】（1）設抽出來的是1個白球和2個紅球的事件為，
則隨機試驗一次性從盒子中抽3個小球的樣本空間中的樣本點的個數：，
事件包含的樣本點個數為：，．
（2）每一次抽出白球的概率為．
的所有可能取值為0，1，2，3，則，
所以，，
，，
的分布列為：
0 1 2 3
題型05 超幾何分布的辨析
【典例5】下列問題中，哪些屬于超幾何分布問題，說明理由．
(1)拋擲三枚骰子，所得向上的數是6的骰子的個數記為X，求X的概率分布；
(2)有一批種子的發芽率為70%，任取10顆種子做發芽試驗，把試驗中發芽的種子的個數記為X，求X的概率分布；
(3)盒子中有紅球3只，黃球4只，藍球5只．任取3只球，把不是紅色的球的個數記為X，求X的概率分布；
(4)某班級有男生25人，女生20人．選派4名學生參加學校組織的活動，班長必須參加，其中女生人數記為X，求X的概率分布；
(5)現有100臺MP3播放器未經檢測，抽取10臺送檢，把檢驗結果為不合格的MP3播放器的個數記為X，求X的概率分布．
【分析】根據超幾何分布的特點判斷即可．
【解析】(1)(2)中樣本沒有分類，不是超幾何分布問題，是重復試驗問題．
(3)(4)符合超幾何分布的特征，樣本都分為兩類．隨機變量X表示抽取n件樣本中某類樣本被抽取的件數，是超幾何分布．
(5)中沒有給出不合格品數，無法計算X的概率分布，所以不屬于超幾何分布問題．
【變式1】下列隨機變量中，服從超幾何分布的有________．(填序號)
①在10件產品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到的次品數為X；
②從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任取2臺，記X表示所取的2臺彩電中甲型彩電的臺數；
③一名學生騎自行車上學，途中有6個交通崗，記此學生遇到紅燈的數為隨機變量X.
【答案】①②
【解析】根據超幾何分布模型定義可知①中隨機變量X服從超幾何分布．②中隨機變量X服從超幾何分布．而③中顯然不能看作一個不放回抽樣問題，故隨機變量X不服從超幾何分布．
【變式2】(多選)一袋中有除顏色、編號外完全相同的10個球，其中有6個黑球，編號為1,2,3,4,5,6，還有4個白球，編號為7,8,9,10，現從中任取4個球，則下列結論中正確的是(　 )
A．取出的最大號碼X服從超幾何分布
B．取出的黑球個數Y服從超幾何分布
C．取出2個白球的概率為
D．若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則總得分最大的概率為
【答案】CD
【解析】由超幾何分布的概念知A錯誤、B正確；對于C，取出2個白球的概率為P，故C錯誤；對于D，若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則取出四個黑球的總得分最大，所以總得分最大的概率為P，故D正確．
題型06 利用超幾何分布求概率
【典例6】（23-24高二下·浙江·期中）一批產品共有7件，其中5件正品，2件次品，現從7件產品中一次性抽取3件，設抽取出的3件產品中次品數為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用組合數分別求出恰好取出一件不合格產品的基本事件數和從7件產品中取出3件產品的基本事件數，再利用古典概型概率計算公式即可求解.
【詳解】恰好取出一件不合格產品的基本事件數為：，
從7件產品中取出3件產品的基本事件數為：，
【變式1】（24-25高二下·全國·課后作業）設袋中有8個紅球，4個白球，若從袋中任取4個球，則其中至多3個紅球的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，摸出的紅球個數服從超幾何分布，根據超幾何分布的概率分布列計算即可.
【詳解】從袋中任取4個球，其中紅球的個數服從參數為的超幾何分布，
故至多有3個紅球的概率為.
.
【變式2】（23-24高二下·山東青島·期中）數學老師從6道題中隨機抽3道讓同學檢測，規定至少要解答正確2道題才能及格．某同學只能正確求解其中的4道題，則該同學能及格的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用超幾何分布的概率公式計算即可.
【詳解】由題意知抽取3道題該同學不及格的情況只有：只對一道題一種情況，
則只答對一道題的概率為，所以該同學及格的概率為.
【變式3】（23-24高二下·江蘇宿遷·期中）有20個零件，其中16個一等品，其余都是二等品，若從20個零件中任取3個，那么至多有一個是二等品的概率是（ ）
A． B． C． D．以上均不對
【答案】D
【分析】利用超幾何分布求概率即可.
【詳解】至多有一個是二等品即沒有二等品或者只有一個二等品，
故概率為：.
題型07 利用超幾何分布求分布列
【典例7】（24-25高三上·江蘇常州·期中）某校由5名教師組成校本課程講師團，其中2人有校本課程開設經驗，3人沒有校本課程開設經驗.先從這5名教師中隨機抽選2名教師開設校本課程，該期校本課程結束后，再從這5名教師中隨機抽選2名教師開設下一期校本課程.
(1)在第一次抽選的2名教師中，有校本課程開設經驗的教師人數記為X，求X的分布列；
(2)求“在第二次抽選的2名教師中，有校本課程開設經驗的教師人數是1”的概率.
【答案】(1)分布列見解析，數學期望為
(2)
【分析】（1）根據超幾何分布的知識求得分布列并求得數學期望.
（2）利用全概率公式來求得正確答案.
【詳解】（1）的可能取值為0,1,2，
，
所以隨機變量的分布列為
0 1 2
（2）用表示事件“在第二次抽選的2名教師中，有校本課程開設經驗的教師人數是”，
用表示事件“第一次抽選的2名教師中，有校本課程開設經驗的教師人數是”，
兩兩互斥，，
由(1)知，
由全概率公式得，
，
所以在第二次抽選的2名教師中，有校本課程開設經驗的教師人數是的概率為.
【變式1】一個盒子里裝有9個球，其中有4個紅球，3個黃球和2個綠球，這些球除顏色外完全相同．
(1)從盒子中隨機取出2個球，求取出的2個球顏色相同的概率；
(2)從盒子中隨機取出4個球，其中紅球個數記為X，求隨機變量X的分布列．
【解析】　(1)一個盒子里裝有9個球，其中有4個紅球，3個黃球和2個綠球，這些球除顏色外完全相同，從盒子中隨機取出2個球，樣本點總數nC36，取出的2個球顏色相同包含的樣本點個數mC＋C＋C10，
∴取出的2個球顏色相同的概率P.
(2)從盒子中隨機取出4個球，其中紅球個數記為X，則X的取值范圍是{0，1，2，3，4}，X服從參數為9，4，4的超幾何分布，即X～H(9，4，4)，因此P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，∴隨機變量X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
【變式2】）某校高中數學興趣小組有名同學，其中名男生名女生，現從中選人去參加一項活動．
（1）求選出的人中，恰有名男生的概率；
（2）用表示選出的人中男生的個數，求的分布列．
【答案】（1）；（2）分布列見解析
【解析】（1）選出的2人中恰有1名男生的概率是.
（2）的值可取，
則，， .
所以的分布列如下：
【變式3】（23-24高二下·廣東梅州·月考）端午節吃粽子是我國的傳統習俗.設一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個.
（1）求三種粽子各取到1個的概率；
（2）設表示取到的豆沙粽個數，求的分布列；
（3）設表示取到的粽子的種類，求的分布列.
【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）答案見解析
【解析】（1）令表示事件“三種粽子各取到1個”，則；
（2）的所有可能值為，
且
綜上知，的分布列為
1 2 3
（3）由題意知的所有可能值為，
且
.
綜上知，的分布列為
1 2 3
題型08 二項分布與超幾何分布的綜合問題
【典例8】某批N件產品的次品率為1%，現在從中隨機抽出2件進行檢驗，問：
(1)當N100,1 000,10 000時，分別以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率各是多少？(精確到0.000 01)
(2)根據(1)，談談你對超幾何分布與二項分布關系的認識．
【解析】(1)當N100時，
如果放回抽取，則是二項分布，抽到的2件產品中恰有1件次品的概率為C×0.01×0.990.019 80；
如果不放回抽取，則是超幾何分布，100件產品中次品數為1，正品數是99，從100件產品里抽2件，恰有1件次品的概率為≈0.020 00.
當N1 000時，如果放回抽取，則是二項分布，抽到的2件產品中恰有1件次品的概率為C×0.01×0.990.019 80；
如果不放回抽取，則是超幾何分布，1 000件產品中次品數為10，正品數是990，從1 000件產品里抽2件，恰有1件次品的概率為≈0.019 82.
當N10 000時，如果放回抽取，則是二項分布，抽到的2件產品中恰有1件次品的概率為C×0.01×0.990.019 80；
如果不放回抽取，則是超幾何分布，10 000件產品中次品數為100，正品數是9 900，從10 000件產品里抽2件，恰有1件次品的概率為≈0.019 80.
(2)對超幾何分布與二項分布關系的認識：
①超幾何分布是不放回抽取，二項分布是放回抽取；②超幾何分布需要知道總體的容量，二項分布不需要知道總體容量；③當總體容量很大時，超幾何分布近似于二項分布．
【變式1】袋中有6個白球、3個黑球，從中隨機地連續抽取2次，每次取1個球．
(1)若每次抽取后都放回，設取到黑球的次數為X，求X的分布列；
(2)若每次抽取后都不放回，設取到黑球的個數為Y，求Y的分布列．
【解析】(1)由題意，每次抽取后都放回，取得黑球的次數X的可能取值為0,1,2，其中每次抽取到黑球的概率均為，所以2次取球可以看成2次獨立重復試驗，則X～B，可得P(X0)，P(X1)，P(X2)，
所以隨機變量X的分布列為
X 0 1 2
P
(2)若每次抽取后都不放回，取到黑球的個數Y的可能取值為0,1,2，可得P(Y0)，P(Y1)，P(Y2)，
所以隨機變量Y的分布列為
Y 0 1 2
P
一、單選題
1．（23-24高二下·上?！て谀┠嘲嗉壒灿?40 名同學， 其中 15 人是團員． 現從該班級通過抽簽選擇 10 名同學參加活動，定義隨機變量 為其中團員的人數，則 服從 （ ）
A．二項分布 B．超幾何分布 C．正態分布 D．伯努利分布
【答案】C
【分析】由二項分布、超幾何分布、正態分布、伯努利分布定義判斷即可.
【詳解】一次試驗只包含兩個試驗結果，則稱此試驗分布為伯努利分布；
將一個伯努利試驗重復做次，叫做重伯努利試驗，
一般地，在重伯努利試驗中，每次試驗事件發生的概率記為，
在次試驗中事件發生的次數記為，則服從二項分布；
件產品中包含件次品，從中抽取件產品，記件產品中次品數為，
則服從超幾何分布；
若隨機變量的概率分布密度曲線滿足正態密度函數，則稱機變量服從正態分布；
所以某班級共有40名同學，其中15人是團員，現從該班級通過抽簽選擇10名同學參加活動，
設隨機變量為其中團員的人數，則隨機變量服從超幾何分布.
2．（23-24高二下·山東青島·期中）已知隨機變量，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二項分布的概率公式計算即可.
【詳解】由題意可知：.
.
3．（23-24高二下·湖北武漢·期末）從含有3件正品，2件次品的產品中隨機抽取2件產品，則抽取出的2件產品中恰有1件次品的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，結合超幾何分布的概率計算公式，即可求解.
【詳解】由題意，從含有3件正品，2件次品的產品中隨機抽取2件產品，
則抽取出的2件產品中恰有1件次品的概率為.
.
4．（23-24高一下·甘肅天水·階段練習）產品的質量是企業的根本，產品檢測是生產中不可或缺的重要工作，某工廠為了保證產品質量，利用兩種不同方法進行檢測，兩位員工隨機從生產線上各抽取數量相同的一批產品，已知在兩人抽取的一批產品中均有5件次品，員工甲從這一批產品中有放回地隨機抽取3件產品，員工乙從這一批產品中無放回地隨機抽取3件產品，設員工甲抽取到的3件產品中次品數量為，員工乙抽取到的3件產品中次品數量為，，則下列判斷不正確的是（ ）（參考：超幾何分布其均值）
A．隨機變量服從二項分布 B．隨機變量服從超幾何分布
C． D．
【答案】A
【分析】由二項分布的定義判斷A；由超幾何分布的定義判斷B；通過計算判斷CD.
【詳解】對于A，員工甲從這一批產品中有放回地隨機抽取3件產品，則隨機變量服從二項分布，A正確；
對于B，員工乙從這一批產品中無放回地隨機抽取3件產品，則隨機變量服從超幾何分布，B正確；
對于C，該批產品有件，則，
，C正確；
對于D，，，若，
則，與選項C矛盾，D錯誤．
5．（25-26高三上·上海·期末）甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球2次均未命中的概率為.若甲、乙兩人各投球2次，則共命中2次的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，先列方程算出，因甲、乙兩人各投球2次，可設兩個隨機變量,可得，，將所求事件分成“甲命中2次、甲乙各命中一次和乙命中2次”三類情況，利用二項分布概率公式計算即得.
【詳解】依題意，，解得，
記甲投球2次，命中次數為隨機變量，則，乙投球2次，命中次數為隨機變量，則,
則甲、乙兩人各投球2次，則共命中2次可表示為:
.
.
6．（24-25高二上·湖北武漢·期中）概率論起源于博弈游戲17世紀，曾有一個“賭金分配”的問題：博弈水平相當的甲、乙兩人進行博弈游戲，每局比賽都能分出勝負，沒有平局．雙方約定：各出賭金210枚金幣，先贏3局者可獲得全部贖金．但比賽中途因故終止了，此時甲贏了2局，乙贏了1局，問這420枚金幣的賭金該如何分配？數學家費馬和帕斯卡都用了現在稱之為“概率”的知識，合理地給出了賭金分配方案．該分配方案是（ ）
A．甲315枚，乙105枚 B．甲280枚，乙140枚
C．甲210枚，乙210枚 D．甲336枚，乙84枚
【答案】A
【分析】根據題意，求得甲乙獲勝的概率均為，且游戲最多再進行2局即可分出勝負，求得甲獲勝的概率，進而得到答案.
【詳解】由題可知，對單獨每一局游戲，甲乙獲勝的概率均為，若游戲繼續進行，最多再進行2局即可分出勝負，
①第四局甲贏，比賽結束，甲勝出，概率為；
②第四局乙贏，第五局甲贏，比賽結束，甲勝出，概率為；
③第四局乙贏，第五局乙贏，比賽結束，乙勝出，概率為；
所以甲勝出的概率為，甲應該分得賭金的，即甲分得賭金枚，乙分得賭金枚.
.
7．（22-23高二下·上海浦東新·期末）經檢測一批產品中每件產品的合格率為，現從這批產品中任取5件，設取得合格產品的件數為，則以下選項正確的是（ ）
A．的可能取值為1，2，3，4，5 B．
C．的概率最大 D．服從超幾何分布
【答案】D
【分析】的可能取值包括0可判斷A；可判斷B；隨機變量，，若取得最大值時,則有，，求出的值可判斷C；服從二項分布可判斷D.
【詳解】對于A，的可能取值為0，1，2，3，4，5，故A錯誤；
對于B，，故B錯誤；
對于D，由題意，隨機變量，故D不正確；
對于C，隨機變量，，
若取得最大值時，則:
，
則，解得，則．
故的概率最大，所以C正確；
.
8．（23-24高二下·山西大同·期中）數軸上一個質點在隨機外力的作用下，從原點出發，每隔秒向左或向右移動一個單位，已知向右移動的概率為，向左移動的概率為，共移動次，則質點位于的位置的概率是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依題意質點需向右移動次，向左移動次，根據獨立重復試驗的概率公式計算可得.
【詳解】依題意此實驗滿足重伯努利實驗，設向左移動次數為，則，
從原點出發，共移動次，最后質點位于，則需向右移動次，向左移動次，
所以質點位于的位置的概率為.
二、多選題
9．（24-25高三上·江蘇南京·階段練習）現有甲、乙兩個盒子，甲盒裝有6個白球3個紅球，乙盒裝有5個白球5個紅球，則下列說法正確的是（ ）
A．甲盒中一次取出3個球，至少取到一個紅球的概率是
B．乙盒有放回地取3次球，每次取一個，取到2個白球和1個紅球的概率是
C．甲盒不放回地取2次球，每次取一個，第二次取到紅球的概率是
D．甲盒不放回地多次取球，每次取一個，則在第一、二次都取到白球的條件下，第三次也取到白球的概率是
【答案】CC
【分析】A選項利用超幾何分布求概率公式即可計算；B根據二項分布求概率公式計算即可；C選項、D選項利用全概率公式與條件概率公式即可求解.
【詳解】對于A，記“甲盒中取3球至少一個紅球”，
則，故A錯誤；
對于B，記“乙盒有放回的取3次球，取到2個白球”，
則，故B正確；
對于C，記“甲盒不放回第i次取到紅球”，
則
，故C正確.
對于D，，故D不正確.
C.
10．（24-25高二下·全國·課后作業）（多選）袋中有10個大小相同的球，其中6個黑球，4個白球，現從中任取4個球，則下列結論中正確的是（ ）
A．取出的白球個數X服從二項分布
B．取出的黑球個數Y服從超幾何分布
C．取出2個白球的概率為
D．若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則總得分最大的概率為
【答案】CD
【分析】根據超幾何分布的定義即可求解AB，根據超幾何的概率公式即可求解CD.
【詳解】對于A，B，取出的白球個數X，黑球個數Y均服從超幾何分布，故A錯誤，B正確；
對于C，取出2個白球的概率為，故C錯誤；
對于D，若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則取出4個黑球的總得分最大，∴總得分最大的概率為，故D正確．
D．
11．（23-24高二下·新疆烏魯木齊·期末）下列說法正確的有（ ）
A．已知事件，且，，，則
B．設火箭發射失敗的概率為0.01，若發射10次，其中失敗的次數為，則
C．若從名男生 名女生中選取人，則其中至少有名女生的概率為
D．設甲乘汽車 動車前往某目的地的概率分別為0.3 0.5，汽車和動車正點到達目的地的概率分別為0.6 0.8，則甲正點到達目的地的概率為0.58
【答案】ABD
【分析】由條件概率判斷出選項A正確，由二項分布即可判斷選項B正確，由超幾何分布求解概率即可判斷選項C錯誤，由全概率公式求解判斷選項D正確．
【詳解】A．由條件概率公式知：，
則，故A正確，符合題意；
B．因為，故，故B正確，符合題意；
C．至少有一名女生的概率，故C錯誤，不符合題意；
D．設事件表示甲正點到達目的地，事件表示甲乘動車前往目的地，事件表示甲乘汽車前往目的地，
由題意知，，，．
由全概率公式得，故D正確，符合題意．
BD．
三、填空題
12．（25-26高三上·上?！卧獪y試）已知隨機變量X服從二項分布B（4，p），，那么一次試驗成功的概率p等于 ．
【答案】或
【分析】根據二項分布的概率公式求解即可.
【詳解】，
即，解得或．
故答案為：或.
13．（24-25高二下·全國·課后作業）某校舉行“書香讀書節”讀書征文活動，高一年級和高二年級合計上交了9篇文章．學校通過評比后，評出4篇文章獲得優勝獎．若這4篇文章恰有3篇是高一年級上交的概率為，則高一年級上交的文章有 篇．
故答案為：5
14．（23-24高二下·陜西寶雞·期中）在20件產品中可能存在次品，從中抽取2件檢查，其次品數為，已知，且該產品的次品率不超過，則這20件產品的次品率為 ．
【答案】
【分析】設這20件產品的次品數為，從中抽取2件檢查，其次品數為，，由此能求出這20件產品的次品率．
【詳解】設20件產品中有x件次品，
則，
解得或．
因為次品率不超過，
所以，
所以次品率為，
故答案為：．
四、解答題
15．（24-25高二下·全國·課后作業）高三某班的聯歡會上設計了一項游戲：在一個口袋中裝有10個紅球，20個白球，這些球除顏色外完全相同，現依次從中摸出5個球．規定摸到4個紅球，1個白球的就中一等獎．
(1)若摸出后放回，求中一等獎的概率；
(2)若摸出后不放回，①求中一等獎的概率；②若至少摸到3個紅球就中獎，求中獎的概率．
【答案】(1)
根據公式可得至少摸到3個紅球的概率為
，
故中獎的概率約為．
16．（23-24高二下·重慶九龍坡·期中）近期重慶市育才中學校舉行了“探‘樂’計劃”校園歌手大賽和“想玩就‘趣’FUN肆到底”育才達人甲、乙、丙三人均依次參加兩個比賽，三人進入校園歌手大賽決賽的概率均是，進入達人秀決賽的概率均是，且每個人是否進入歌手大賽決賽和達人秀決賽互不影響．
(1)求甲兩個比賽都進入決賽的概率；
(2)記三人中兩個比賽均進入決賽的人數為．求隨機變量的概率分布.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，.
故隨機變量的分布列為：
17．（23-24高三上·江蘇南通·月考）某班為了慶祝我國傳統節日中秋節，設計了一個小游戲：在一個不透明箱中裝有4個黑球，3個紅球，1個黃球，這些球除顏色外完全相同.每位學生從中一次隨機摸出3個球，觀察顏色后放回.若摸出的球中有個紅球，則分得個月餅；若摸出的球中有黃球，則需要表演一個節目.
（1）求一學生既分得月餅又要表演節目的概率；
（2）求每位學生分得月餅數的概率分布.
【答案】（1）；（2）分布列見解析，數學期望為
【解析】（1）記“一學生既分得月餅又要表演節目”為事件A，
可知有兩種可能：“2個紅球1個黃球”和“1個黑球，1個紅球，1個黃球”，
所以.
（2）由題意可知的可能取值為：0，1，2，3，則有：
，
，
可得的分布列為
0 1 2 3
18．（23-24高二下·北京海淀·期末）為了調研某地區學生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項活動的參與情況，在該地區隨機選取了10所學校進行研究，得到如下數據：
(1)從這10所學校中隨機選取1所，已知這所學校參與“自由式滑雪”人數超過40人，求該校參與“單板滑雪”超過30人的概率；
(2)已知參與“自由式滑雪”人數超過40人的學校評定為“基地學?！?現在從這10所學校中隨機選取2所，設“基地學校”的個數為，求的分布列；
(3)現在有一個“單板滑雪”集訓營，對“滑行、轉彎、停止”這3個動作技巧進行集訓，并專門對這3個動作進行了多輪測試.規定：在一輪測試中，這3個動作中至少有2個動作達到“優秀”，則該輪測試記為“優秀”.在此集訓測試中，李華同學3個動作中每個動作達到“優秀”的概率均為，每個動作互不影響，每輪測試也互不影響.如果李華同學在集訓測試中想獲得“優秀”的次數的均值達到5次，那么至少要進行多少輪測試？（結果不要求證明）
故已知這所學校參與“自由式滑雪”人數超過40人，
該校參與“單板滑雪”超過30人的概率為.
（2）參與“自由式滑雪”人數在40人以上的學校共4所，的所有可能取值為，
所以，，，
所以的分布列如下表：
0 1 2
（3）記“李華在一輪測試中獲得“優秀””為事件，則，
由題意，甲同學在集訓測試中獲得“優秀”的次數服從二項分布，
由題意列式，得，
因為，所以的最小值為，故至少要進行輪測試.
19．（23-24高二下·寧夏銀川·階段練習）為了讓人民群眾度過一個平安健康快樂祥和的新春佳節，甲公司和乙公司在某購物平臺上同時開啟了打折促銷，直播帶年貨活動，甲公司和乙公司所售商品類似，存在競爭關系．
(1)若小李連續兩天每天選擇在甲、乙其中一個直播間進行購物，第一天等可能他從甲、乙兩家中選一家直播間購物，如果第一天去甲直播間購物，那么第二天去甲直播間購物的概率為0.7；如果第一天去乙直播間購物，那么第二天去甲直播間購物的概率為0.8，求小李第二天去乙直播間購物的概率；
(2)元旦期間，甲公司購物平臺直播間進行“秒殺”活動，假設直播間每人下單成功的概率均為，每人下單成功與否互不影響，若從直播間中隨機抽取五人，記五人中恰有2人下單成功的概率為，求的最大值點．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用全概率公式結合條件即得；
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