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第05講 正態分布
課程標準 學習目標
1．通過誤差模型，了解服從正態分布的隨機變量． 2．通過具體實例，借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態分布的特征． 3．了解正態分布的均值、方差及其含義． 1．理解正態分布概念． 2．掌握正態分布的定義，會利用正態分布解決實際問題． 3．了解正態分布與標準正態分布的轉換，能利用標準正態分布表求得標準正態分布在某一區間內取值的概率．
知識點01　正態曲線
1．定義：函數φ(x)的解析式中含有μ和σ兩個參數，其中：μE(X)，即X的均值；σ，即X的標準差．一般地，φ(x)對應的圖像稱為正態曲線(也因形狀之故而被稱為“鐘形曲線”，φ(x)也常常記為φμ，σ(x)).
2．性質
(1)正態曲線關于xμ對稱(即μ決定正態曲線對稱軸的位置)，具有中間高、兩邊低的特點；
(2)正態曲線與x軸所圍成的圖形的面積為1；
(3)σ決定正態曲線的“胖瘦”：σ越大，說明標準差越大，數據的集中程度越弱，所以曲線越“胖”；σ越小，說明標準差越小，數據的集中程度越強，所以曲線越“瘦”．
【解讀】(1)正態曲線位于x軸上方，與x軸不相交；
(2)曲線在xμ時處于最高點，并由此處向左右兩邊延伸時，曲線逐漸降低，其圖像“中間高，兩邊低”；
(3)當σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；
(4)正態曲線完全由變量μ和σ確定，參數μ是反映隨機變量的平均水平的特征數，所以用樣本的均值去估計；σ是衡量隨機變量總體波動大小的特征數，可以用樣本的標準差去估計．
【即學即練1】
（1）若f(x)e，x∈R，則f(x)(　　)
A．有最大值，也有最小值
B．有最大值，但無最小值
C．無最大值，也無最小值
D．有最小值，但無最大值
（2）正態分布密度函數為φμ，σ(x)e，x∈(－∞，＋∞)，則總體的均值和標準差分別是(　　)
A．0和8 B．0和4
C．0和2 D．0和
知識點02　正態分布
1．定義及表示：一般地，如果隨機變量X落在區間[a，b]內的概率，總是等于φμ，σ(x)對應的正態曲線與x軸在區間[a，b]內圍成的面積，則稱X服從參數為μ和σ的正態分布，記作X～N(μ，σ2)，此時φμ，σ(x)稱為X的概率密度函數．更進一步的研究表明，此時μ是X的均值，而σ是X的標準差，σ2是X的方差．
【解讀】參數μ是反映隨機變量取值的平均水平的特征數，可以用樣本的均值去估計；σ是衡量隨機變量總體波動大小的特征數，可以用樣本的標準差去估計．
2．正態分布的幾個常用數據：如果X～N(μ，σ2)，那么
P(X≤μ)P(X≥μ)70%，
P(|X－μ|≤σ)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%，
P(|X－μ|≤2σ)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%，
P(|X－μ|≤3σ)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.
【解讀】式子中X的取值是否包括端點不影響概率的值．一般考試時會給出相關數據，做題目時以題目給出的數據為準．
3.3σ原則
由P(|X－μ|≤3σ)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%可知，X約有99.7%的可能會落在距均值3個標準差的范圍之內，也就是說只有約0.3%的可能會落入這一范圍之外(這樣的事件可看成小概率事件)，這一結論通常稱為正態分布的“3σ原則”．
【解讀】對小概率事件的理解：
(1)小概率事件是針對“一次試驗”來說的，如果試驗次數多了，該事件當然是很有可能發生的；
(2)當我們運用“小概率事件幾乎不可能發生”的原理進行推斷時，也有0.3%犯錯的可能．
【即學即練2】關于正態分布N(μ，σ2)，下列說法正確的是________．(填序號)
①隨機變量落在區間長度為3σ的區間之外是一個小概率事件；
②隨機變量落在區間長度為6σ的區間之外是一個小概率事件；
③隨機變量落在[－3σ，3σ]之外是一個小概率事件；
④隨機變量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一個小概率事件．
知識點03　標準正態分布
1．定義：μ0且σ1的正態分布稱為標準正態分布，其在正態分布中扮演著核心角色，這是因為如果Y～N(μ，σ2)，那么令X，則可以證明X～N(0，1)，即任意正態分布通過變換都可化為標準正態分布．
2．標準正態分布下的概率分布：如果X～N(0，1)，那么對于任意a，通常記Φ(a)P(X3．性質：根據正態曲線的對稱性，可以知道Φ(a)具有性質Φ(－a)＋Φ(a)1.
【即學即練3】若隨機變量X～N(0，1)，則P(x＜0)________．
題型01 正態密度函數
【典例1】函數(其中)的圖象可能為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】已知正態分布密度函數，，則分別是（ ）
A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和
【變式2】設隨機變量，則X的密度函數為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】設隨機變量，X的正態密度函數為，則 .
題型02 正態密度曲線的性質
【典例2】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）某市高中數學統考中，甲、乙、丙三所學校的數學成績分別服從正態分布，，，其正態分布的密度曲線如圖所示，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】已知三個正態密度函數（，）的圖像如圖所示，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【變式2】設，，這兩個正態分布密度曲線如圖所示．下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C．對任意正數， D．對任意正數，
【變式3】如圖分別是甲 乙 丙三種品牌手表日走時誤差分布的正態分布密度曲線，則下列說法不正確的是（ ）
A．三種品牌的手表日走時誤差的均值相等
B．
C．三種品牌的手表日走時誤差的方差從小到大依次為甲 乙 丙
D．三種品牌手表中甲品牌的質量最好
題型03 求指定區間上的概率
【典例3】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知隨機變量服從正態分布，則（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【變式1】（23-24高二下·江蘇南通·階段練習）已知隨機變量，，那么的值為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】（24-25高二上·廣東東莞·階段練習）已知隨機變量服從正態分布，且，則 .(精確到小數點后第五位)
題型04 求特定區間上的概率
【典例4】（23-24高二下·山東聊城·期中）商場出售的袋裝大米，每袋凈重X（單位：kg）服從正態分布．隨機抽取1袋，其凈重在9.95kg與10.10kg之間的概率為（ ）
（注：若，，，）
A．0.8185 B．0.84 C．0.954 D．0.9755
【變式1】（23-24高二下·山西長治·期末）已知，則 .
附：若，則，.
【變式2】（23-24高二下·河南安陽·期中）某次高三統考共有12000名學生參加，若本次考試的數學成績服從正態分布，已知數學成績在70分到130分之間的人數約為總人數的，則此次考試中數學成績不低于130分的學生人數約為（ ）
A．2400 B．1200 C．1000 D．800
【變式3】（23-24高二下·福建三明·期末）現實世界中的很多隨機變量服從正態分布，例如反復測量某一個物理量，其測量誤差通常被認為服從正態分布.若某物理量做次測量，測量結果的誤差，要控制的概率不大于0.0027，至少要測量的次數為（ ）
（參考數據：
A．288 B．188 C．72 D．12
【變式4】（23-24高二下·廣東江門·期末）某校高二級學生參加期末調研考試的數學成績X服從正態分布，將考試成績從高到低，按照16%，34%，34%，16%的比例分為A，B，C，D四個等級．若小明的數學成績為105分，則屬于等級（ ）
（附：，，）
A．A B．B C．C D．D
題型05 根據正態曲線的對稱性求參數
【典例5】（23-24高二下·湖南湘西·期末）（多選）已知隨機變量X服從正態分布，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（23-24高二下·遼寧大連·期末）已知隨機變量服從正態分布，若，則 .
【變式2】（24-25高三上·江蘇鎮江·開學考試）隨機變量服從若
則下列選項一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】（23-24高二下·廣東珠海·階段練習）已知隨機變量，若，則的值為 ．
題型06 標準正態分布問題
【典例6】（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）某省計劃在高考中對政治、地理、化學、生物四門選考科目進行賦分制度計分，即將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為A、B、C、D、E共5個等級，參照正態分布原則，確定各等級人數所占比例分別為10%，35%，35%，18%，2%，選考科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內的考生原始成績，依照等比例轉換原則，分別轉換到，，、、五個分數區間，得到考生的賦分等級成績，如果該省某次高考模擬考試政治科目的原始成績，若一名學生想取得A等的賦分等級，則他的原始分數最低為 分．（分數保留整數）
附：①若，，則；②當時，．
【變式1】（23-24高二下·江蘇淮安·期末）隨機變量，，若，則 .
【變式2】隨機變量服從正態分布，隨機變量服從標準正態分布，若，則 ．（用字母表示）
【變式3】（2024·江蘇宿遷·一模）（多選）設隨機變量，其中，下列說法正確的是（ ）
A．變量的方差為1，均值為0 B．
C．函數在上是單調增函數 D．
題型07 正態分布的實際應用
【典例7】（23-24高二下·內蒙古通遼·階段練習）全面建設社會主義現代化國家，最艱巨最繁重的任務仍然在農村，強國必先強農，農強方能國強.某市為了解當地農村經濟情況，隨機抽取該地2000戶農戶家庭年收入X（單位：萬元）進行調查，并繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求這2000戶農戶家庭年收入的樣本平均數和樣本方差（同一組的數據用該組區間的中點值代表）；
(2)由直方圖可認為農戶家庭年收入X近似服從正態分布，其中μ近似為樣本平均數近似為樣本方差.
①估計這2000戶農戶家庭年收入超過9.06萬元的戶數？（結果保留整數）
②如果用該地區農戶家庭年收入的情況來估計全市農戶家庭年收入的情況，現從全市農戶家庭中隨機抽取4戶，記年收入不超過9.06萬元的農戶家庭數為ξ，求.（結果精確到0.001）
附：①；②若，則③
【變式1】（23-24高二下·安徽蚌埠·期末）書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習慣，每年4月23日為世界讀書日．某市某中學為了了解高一年級學生的閱讀情況，從高一年級全部1000名學生中隨機抽取100名學生，調查他們每周的閱讀時間（單位：小時）并進行統計，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示．
由頻率分布直方圖可以認為該校高一學生每周閱讀時間服從正態分布，其中可以近似為100名學生的每周閱讀時間的平均值（同組數據用該組數據區間的中點值表示），．
(1)試估計高一全體學生中每周閱讀時間不高于6.8小時的人數（四舍五入取整）；
(2)若從高一全體學生中隨機抽取5名學生進行座談，設選出的5人中每周閱讀時間在10.6小時以上的學生人數為Y，求隨機變量Y的分布列，數學期望與方差．
參考數據：若隨機變量服從正態分布，則，，．
【變式2】（23-24高三下·山東菏澤·階段練習）襄陽市某中學一研究性學習小組為了了解襄陽市民每年旅游消費支出費用單位：千元，寒假期間對游覽某簽約景區的名襄陽市游客進行隨機問卷調查，并把數據整理成如下表所示的頻數分布表：
組別 支出費用
頻數
(1)從樣本中隨機抽取兩位市民的旅游支出數據，求兩人旅游支出均不低于元的概率
(2)若襄陽市民的旅游支出費用近似服從正態分布，近似為樣本平均數同一組中的數據用該組區間的中間值代表，近似為樣本標準差，并已求得，利用所得正態分布模型解決以下問題：
（i）假定襄陽市常住人口為萬人，試估計襄陽市有多少市民每年旅游費用支出在元以上
（ii）若在襄陽市隨機抽取位市民，設其中旅游費用在元以上的人數為，求隨機變量的分布列和均值．
附：若∽，則，，．
【變式3】某省舉辦了一次高三年級化學模擬考試，其中甲市有10000名學生參考．根據經驗，該省及各市本次模擬考試成績（滿分100分）都近似服從正態分布．
(1)已知本次模擬考試甲市平均成績為65分，87分以上共有228人．甲市學生的成績為76分，試估計學生在甲市的大致名次；
(2)在該省本次模擬考試的參考學生中隨機抽取40人，記表示在本次考試中化學成績在之外的人數，求的概率及的數學期望．
參考數據：
參考公式：若，有，
題型08 3σ原則的應用
【典例8】某工廠一臺設備生產一種特定零件，工廠為了解該設備的生產情況，隨機抽檢了該設備在一個生產周期中的100件產品的關鍵指標（單位：），經統計得到下面的頻率分布直方圖：
(1)由頻率分布直方圖估計抽檢樣本關鍵指標的平均數和方差．（用每組的中點代表該組的均值）
(2)已知這臺設備正常狀態下生產零件的關鍵指標服從正態分布，用直方圖的平均數估計值作為的估計值，用直方圖的標準差估計值作為估計值．
（i）為了監控該設備的生產過程，每個生產周期中都要隨機抽測10個零件的關鍵指標，如果關鍵指標出現了之外的零件，就認為生產過程可能出現了異常，需停止生產并檢查設備．下面是某個生產周期中抽測的10個零件的關鍵指標：
0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83
利用和判斷該生產周期是否需停止生產并檢查設備．
（ⅱ）若設備狀態正常，記表示一個生產周期內抽取的10個零件關鍵指標在之外的零件個數，求及的數學期望．
參考數據：若隨機變量服從正態分布，則，
【變式1】假設某廠包裝食鹽的生產線，正常情況下生產出來的食鹽質量服從正態分布（單位：），該生產線上的檢測員某天隨機抽取了兩包食鹽，稱得其質量均大于.
(1)求正常情況下，任意抽取一包食鹽，質量大于的概率為多少；
(2)檢測員根據抽檢結果，判斷出該生產線出現異常，要求立即停產檢修，檢測員的判斷是否合理？請說明理由.
【變式2】某商場在五一假期間開展了一項有獎闖關活動，并對每一關根據難度進行賦分，競猜活動共五關，規定：上一關不通過則不進入下一關，本關第一次未通過有再挑戰一次的機會，兩次均未通過，則闖關失敗，且各關能否通過相互獨立，已知甲、乙、丙三人都參加了該項闖關活動.
(1)若甲第一關通過的概率為，第二關通過的概率為，求甲可以進入第三關的概率；
(2)已知該闖關活動累計得分服從正態分布，且滿分為470分，現要根據得分給共2700名參加者中得分前400名發放獎勵.
①假設該闖關活動平均分數為171分，351分以上共有57人，已知甲的得分為270分，問甲能否獲得獎勵，請說明理由；
②丙得知他的分數為430分，而乙告訴丙：“這次闖關活動平均分數為201分，351分以上共有57人”，請結合統計學知識幫助丙辨別乙所說信息的真偽.
附：若隨機變量，則；；.
【變式3】（23-24高二下·重慶·期末）國家對化學元素鎵（）相關物項實施出口管制.鎵在高端半導體領域有著非常重要的作用，其應用前景十分廣闊.某鎵合金研制單位為了讓鎵合金中的鎵元素含量百分比穩定在一定范圍內，由質檢員每天17次隨機抽取并檢測鎵元素在鎵合金材料中的含量百分比.設表示一天的17次檢測得到的鎵含量（單位：）的監測數據，并記監測數據的平均數，標準差.設表示鎵合金中鎵含量（單位：），且，當為正整數時，令，根據表中的和值解答：
1 2 3 4
0.6827 0.9545 0.9973 0.9999
0.0015 0.4531 0.9551 0.9983
(1)記表示一天中抽取17次的鎵含量的次數，求及的數學期望；
(2)當一天中至少1次監測鎵含量，就認為該天研制情況異常，須對研制過程作改進.已知某天監測數據的最小值為17，最大值為21，經計算得.若用該天監測數據得的和分別估計為和且，利用估計判斷該天的研制過程是否必須作改進？
(3)若去掉一天中的監測結果，設余下的數據標準差為，請用數據表示.
一、單選題
1．（23-24高二下·山東威海·期末）已知隨機變量，設隨機變量，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二下·遼寧沈陽·期中）若隨機變量服從正態分布，且，則（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·山東聊城·期末）設隨機變量，，這兩個正態分布密度曲線如圖所示，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高二下·河南濮陽·期末）已知隨機變量，則（ ）
參考數據：若隨機變量服從正態分布，則．
A．0.97725 B．0.84135 C．0.7786 D．0.34135
5．（23-24高二下·廣西·期中）若，且，則（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二下·云南保山·階段練習）某工廠5月份生產7000個燈泡，實驗得知燈泡使用壽命（單位：小時）服從正態分布，已知，則工廠該月生產燈泡壽命在800小時及其以上的個數約為（ ）
A．4400 B．4700 C．4800 D．4900
7．（23-24高二下·吉林長春·階段練習）某校高二年級男生的身高（單位：cm）近似服從正態分布，若X的值在內的概率約為0.84，則n的值約為（ ）
參考數據：①；②；③
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（23-24高二下·重慶·期末）某次高二質量抽測中，學生的數學成績服從正態分布．已知參加本次考試的學生約有10000人，如果小明在這次考試中數學成績為120分，則小明的數學成績在本次抽測的名次大約是（　　）
附：若，則，
A．第228名 B．第455名 C．第1587名 D．第3173名
二、多選題
9．（23-24高二下·山西大同·期中）“70米跑”是《國家學生體質健康標準》測試項目中的一項，某地區高三男生的“70米跑”測試成績(單位:秒)服從正態分布，且.從該地區高三男生的“70米跑”測試成績中隨機抽取5個，其中成績在內的個數記，則下列說法正確的有（ ）
A． B．
C． D．
10．（23-24高二下·貴州安順·期末）已知隨機變量服從正態分布，定義函數為取值不超過的概率，即，則下列說法正確的有（ ）
A． B．
C．在上是增函數 D．，使得
11．（23-24高二下·陜西咸陽·期末）甲、乙兩類水果的質量（單位：kg）分別服從正態分布、，其正態分布的密度曲線如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．甲類水果的平均質量
B．甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右
C．甲類水果的平均質量比乙類水果的平均質量小
D．乙類水果的質量服從正態分布的參數
三、填空題
12．（23-24高二下·浙江寧波·期中）已知隨機變量X服從二項分布，且隨機變量Y服從正態分布．若，則 ．
13．（23-24高二下·河北承德·階段練習）設隨機變量X服從正態分布，即，若，則 ．
14．（23-24高二下·廣東佛山·期末）某廠家生產的產品質量指標服從正態分布.質量指標介于162至180之間的產品為良品，為使這種產品的良品率達到99.73%，則需調整生產工藝，使得至多為 .（若，則）
四、解答題
15．（23-24高二下·山西長治·期中）某種香梨的重量（單位：）服從正態分布，將該種香梨按照其重量及對應的售價進行分揀，分為4類依次記為.已知，售價最高，為10元；，售價為8元；，售價為6元；其余的為，售價為5元.
(1)任選1個香梨，求其重量大于的概率；
(2)以表示香梨的售價（單位：元），寫出的分布列，并估計該種香梨售價的平均值.
附：若，則，，.
16．（23-24高二下·青海海東·階段練習）某公司采購了一批零件，為了檢測這批零件是否合格，從中隨機抽測了120個零件的長度（單位：分米），按數據分成，，，，，這6組，得到如下的頻數分布表：
分組
頻數 5 15 40 40 15 5
以這120個零件的長度在各組的頻率作為整批零件的長度在各組的概率．
(1)若從這批零件中隨機抽取3個，記X為抽取的零件的長度在中的個數，求X的分布列和數學期望；
(2)若變量S滿足，且，則稱變量S滿足近似于正態分布的概率分布，如果這批零件的長度Y（單位：分米）滿足近似于正態分布的概率分布，則認為這批零件是合格的，將順利被簽收，否則，公司將拒絕簽收，試問該批零件能否被簽收？
17．（23-24高二下·陜西西安·期末）某新能源汽車制造企業為了了解產品質量﹐對現有的一條新能源零部件產品生產線進行抽樣調查．該企業質檢人員從該條生產線所生產的新能源零部件產品中隨機抽取了1000件．檢測產品的某項質量指標值，根據檢測數據整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，其分組為，，，，，，．
(1)從質量指標值在內的兩組檢測產品中，采用分層抽樣的方法隨機抽取5件，現從這5件中隨機抽取2件作為樣品展示，求抽取的2件產品不在同一組的概率．
(2)若該項質量指標值X近似服從正態分布，近似為樣本平均數（同一組中的數據用該組區間的中間值代表），近似為樣本標準差s，并已求得，利用所得正態分布模型解決以下問題：
①該項質量指標值低于30或高于92為不合格，若該生產線生產100萬件零部件，試估計有多少件零部件不合格；
②若從該生產線上隨機抽取3件零部件，設其中該項質量指標值不低于的零部件個數為Y，求隨機變量Y的分布列與數學期望．
參考數據：，，．
18．（2024·陜西商洛·模擬預測）隨著網絡技術的迅速發展，各種購物群成為網絡銷售的新渠道.2023年11月某地臍橙開始采摘上市，一臍橙基地隨機抽查了100個購物群的銷售情況，各購物群銷售臍橙的情況如下：
臍橙數量/盒
購物群數量/個 12 18 32 18
(1)求實數的值.并用組中值（每組的中點值）估計這100個購物群銷售臍橙總量的平均數；
(2)假設所有購物群銷售臍橙的數量，其中為（1）中的平均數，.若該臍橙基地參與銷售的購物群約有1000個，銷售的臍橙在（單位：盒）內的群為“級群”，銷售數量小于2580盒的購物群為“級群”，銷售數量不小于616盒的購物群為“特級群”，該臍橙基地對每個“特級群”獎勵800元，每個“級群”獎勵100，對“級群”不獎勵，則該臍橙基地大約需要準備多少獎金？（群的個數按四舍五入取整數）
附：若，則，，.
19．材料一：2018年，全國逾半省份將從秋季入學的高一年級開始實行新的學業水平考試和高考制度．所有省級行政區域均突破文理界限，由學生跨文理選科，均設 置“”的考試科目．前一個“3”為必考科目，為統一高考科目語文、數學、外語.除個別省級行政區域仍執行教育部委托的分省命題任務外，絕大部分省級行政區域均由教育部考試中心統一命題；后一個“3”為高中學業水平考試（簡稱“學考”）選考科目，由各省級行政區域自主命題．材料二：2019年4月，河北、遼寧、江蘇、福建、湖北、湖南、廣東、重慶等8省市發布高考綜合改革實施方案，方案決定從2018年秋季入學的高中一年級學生開始實施高考綜合改革．考生總成績由全國統一高考的語文、數學、外語3個科目成績和考生選擇的3科普通高中學業水平選擇性考試科目成績組成，滿分為770分．即通常所說的“”模式，所謂“”，即“3”是三門主科，分別是語文、數學、外語，這三門科目是必選的．“1”指的是要在物理、歷史里選一門，按原始分計入成績．“2”指考生要在生物、化學、思想政治、地理4門中選擇2門．但是這幾門科目不以原始分計入成績，而是等級賦分．等級賦分指的是把考生的原始成績根據人數的比例分為、、、、五個等級，五個等級分別對應著相應的分數區間，然后再用公式換算，轉換得出分數．
（1）若按照“”模式選科，求選出的六科中含有“語文，數學，外語，物理，化學”的概率．
（2）某教育部門為了調查學生語數外三科成績與選科之間的關系，現從當地不同層次的學校中抽取高一學生2700名參加語數外的網絡測試，滿分470分，并給前400名頒發榮譽證書，假設該次網絡測試成績服從正態分布，且滿分為470分；
①考生甲得知他的成績為270分，考試后不久了解到如下情況：“此次測試平均成績為171分，351分以上共有57人”，問甲能否獲得榮譽證書，請說明理由；
②考生丙得知他的實際成績為430分，而考生乙告訴考生丙：“這次測試平均成績為201分，351分以上共有57人”，請結合統計學知識幫助丙同學辨別乙同學 信息的真偽．
附：；；.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第05講 正態分布
課程標準 學習目標
1．通過誤差模型，了解服從正態分布的隨機變量． 2．通過具體實例，借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態分布的特征． 3．了解正態分布的均值、方差及其含義． 1．理解正態分布概念． 2．掌握正態分布的定義，會利用正態分布解決實際問題． 3．了解正態分布與標準正態分布的轉換，能利用標準正態分布表求得標準正態分布在某一區間內取值的概率．
知識點01　正態曲線
1．定義：函數φ(x)的解析式中含有μ和σ兩個參數，其中：μE(X)，即X的均值；σ，即X的標準差．一般地，φ(x)對應的圖像稱為正態曲線(也因形狀之故而被稱為“鐘形曲線”，φ(x)也常常記為φμ，σ(x)).
2．性質
(1)正態曲線關于xμ對稱(即μ決定正態曲線對稱軸的位置)，具有中間高、兩邊低的特點；
(2)正態曲線與x軸所圍成的圖形的面積為1；
(3)σ決定正態曲線的“胖瘦”：σ越大，說明標準差越大，數據的集中程度越弱，所以曲線越“胖”；σ越小，說明標準差越小，數據的集中程度越強，所以曲線越“瘦”．
【解讀】(1)正態曲線位于x軸上方，與x軸不相交；
(2)曲線在xμ時處于最高點，并由此處向左右兩邊延伸時，曲線逐漸降低，其圖像“中間高，兩邊低”；
(3)當σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；
(4)正態曲線完全由變量μ和σ確定，參數μ是反映隨機變量的平均水平的特征數，所以用樣本的均值去估計；σ是衡量隨機變量總體波動大小的特征數，可以用樣本的標準差去估計．
【即學即練1】
（1）若f(x)e，x∈R，則f(x)(　　)
A．有最大值，也有最小值
B．有最大值，但無最小值
C．無最大值，也無最小值
D．有最小值，但無最大值
【答案】C
【解析】當x1時，f(x)有最大值f(1).無最小值．
（2）正態分布密度函數為φμ，σ(x)e，x∈(－∞，＋∞)，則總體的均值和標準差分別是(　　)
A．0和8 B．0和4
C．0和2 D．0和
【答案】D　
【解析】由條件可知μ0，σ2.
知識點02　正態分布
1．定義及表示：一般地，如果隨機變量X落在區間[a，b]內的概率，總是等于φμ，σ(x)對應的正態曲線與x軸在區間[a，b]內圍成的面積，則稱X服從參數為μ和σ的正態分布，記作X～N(μ，σ2)，此時φμ，σ(x)稱為X的概率密度函數．更進一步的研究表明，此時μ是X的均值，而σ是X的標準差，σ2是X的方差．
【解讀】參數μ是反映隨機變量取值的平均水平的特征數，可以用樣本的均值去估計；σ是衡量隨機變量總體波動大小的特征數，可以用樣本的標準差去估計．
2．正態分布的幾個常用數據：如果X～N(μ，σ2)，那么
P(X≤μ)P(X≥μ)70%，
P(|X－μ|≤σ)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%，
P(|X－μ|≤2σ)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%，
P(|X－μ|≤3σ)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.
【解讀】式子中X的取值是否包括端點不影響概率的值．一般考試時會給出相關數據，做題目時以題目給出的數據為準．
3.3σ原則
由P(|X－μ|≤3σ)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%可知，X約有99.7%的可能會落在距均值3個標準差的范圍之內，也就是說只有約0.3%的可能會落入這一范圍之外(這樣的事件可看成小概率事件)，這一結論通常稱為正態分布的“3σ原則”．
【解讀】對小概率事件的理解：
(1)小概率事件是針對“一次試驗”來說的，如果試驗次數多了，該事件當然是很有可能發生的；
(2)當我們運用“小概率事件幾乎不可能發生”的原理進行推斷時，也有0.3%犯錯的可能．
【即學即練2】關于正態分布N(μ，σ2)，下列說法正確的是________．(填序號)
①隨機變量落在區間長度為3σ的區間之外是一個小概率事件；
②隨機變量落在區間長度為6σ的區間之外是一個小概率事件；
③隨機變量落在[－3σ，3σ]之外是一個小概率事件；
④隨機變量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一個小概率事件．
【答案】④　
【解析】∵P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)0.997，∴P(X＞μ＋3σ或X＜μ－3σ)1－P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)1－0.997 0.003，∴隨機變量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一個小概率事件．
知識點03　標準正態分布
1．定義：μ0且σ1的正態分布稱為標準正態分布，其在正態分布中扮演著核心角色，這是因為如果Y～N(μ，σ2)，那么令X，則可以證明X～N(0，1)，即任意正態分布通過變換都可化為標準正態分布．
2．標準正態分布下的概率分布：如果X～N(0，1)，那么對于任意a，通常記Φ(a)P(X3．性質：根據正態曲線的對稱性，可以知道Φ(a)具有性質Φ(－a)＋Φ(a)1.
【即學即練3】若隨機變量X～N(0，1)，則P(x＜0)________．
【答案】　
【解析】　由標準正態曲線關于y軸對稱可知P(x＜0).
題型01 正態密度函數
【典例1】函數(其中)的圖象可能為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】函數圖象的對稱軸為直線，由判斷各選項..
【詳解】函數圖象的對稱軸為直線，因為，所以排除B，D；
又正態曲線位于x軸上方，因此排除C，所以A正確.
.
【變式1】已知正態分布密度函數，，則分別是（ ）
A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和
【答案】C
【分析】
將化為正態密度函數的定義形式，即可求出.
【詳解】，
.
.
【變式2】設隨機變量，則X的密度函數為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據正態分布的定義可求得，從而可求X的密度函數.
【詳解】因為，所以，即，
所以X的密度函數為A.
【變式3】設隨機變量，X的正態密度函數為，則 .
【答案】0
【分析】由正態密度函數結構直接可得.
【詳解】由正態密度函數結構特征可知，.
故答案為：0
題型02 正態密度曲線的性質
【典例2】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）某市高中數學統考中，甲、乙、丙三所學校的數學成績分別服從正態分布，，，其正態分布的密度曲線如圖所示，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據給定的曲線，利用正態分布的密度曲線的特征判斷即得.
【詳解】觀察曲線知，.
【變式1】已知三個正態密度函數（，）的圖像如圖所示，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】由正態分布的圖像中對稱軸位置比較均值大小，圖像胖瘦判斷標準差的大小.
【詳解】由題圖中的對稱軸知：，
與(一樣)瘦高，而胖矮，
所以.
【變式2】設，，這兩個正態分布密度曲線如圖所示．下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C．對任意正數， D．對任意正數，
【答案】D
【分析】由正態密度曲線的性質結合圖像可得，可判斷AB，由密度曲線與橫軸所圍成的圖形的面積的意義可判斷CD.
【詳解】A選項：、的密度曲線分別關于、對稱，
因此結合所給圖像可得，所以，故A錯誤；
B選項：又的密度曲線較的密度曲線“瘦高”，
所以，所以，故B錯誤；
CD選項：由密度曲線與橫軸所圍成的圖形的面積的意義可知：
對任意正數，．,故C正確，D錯誤．
．
【變式3】如圖分別是甲 乙 丙三種品牌手表日走時誤差分布的正態分布密度曲線，則下列說法不正確的是（ ）
A．三種品牌的手表日走時誤差的均值相等
B．
C．三種品牌的手表日走時誤差的方差從小到大依次為甲 乙 丙
D．三種品牌手表中甲品牌的質量最好
【答案】C
【分析】根據三種品牌手表誤差的正態分布曲線的圖象，結合正態分布曲線的性質，逐項判定，即可求解.
【詳解】根據正態分布曲線的性質和圖象可得，三種品牌的手表日走時的誤差對應的正態分布曲線的對稱軸都是軸，所以三種品牌的手表日走時誤差的均值相等，所以A正確；
乙品牌對應點的正態分布曲線在區間之間與圍成的面積與丙品牌對應點的正態分布曲線在區間之間與圍成的面積相等，所以B不正確；
由正態分布曲線的形狀，可得，所以三種品牌的手表日走時誤差的方差從小到大依次為甲 乙 丙，所以C正確；
由，可得甲種品牌手表的最穩定，質量最好，所以D正確.
.
題型03 求指定區間上的概率
【典例3】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知隨機變量服從正態分布，則（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】C
【分析】根據正態分布的對稱性即可求解.
【詳解】由于服從正態分布，則，
故.
【變式1】（23-24高二下·江蘇南通·階段練習）已知隨機變量，，那么的值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據已知條件得出，且有，進而根據對稱性求得即可.
【詳解】已知隨機變量，，
則，，
根據正態密度曲線的對稱性得出
.
【變式3】（24-25高二上·廣東東莞·階段練習）已知隨機變量服從正態分布，且，則 .(精確到小數點后第五位)
【答案】0.15865
【分析】根據正態分布的對稱性結合題意求解即可.
【詳解】由于服從正態分布，所以正態曲線的對稱軸為直線，
所以，
故．
故答案為：0.15865.
題型04 求特定區間上的概率
【典例4】（23-24高二下·山東聊城·期中）商場出售的袋裝大米，每袋凈重X（單位：kg）服從正態分布．隨機抽取1袋，其凈重在9.95kg與10.10kg之間的概率為（ ）
（注：若，，，）
A．0.8185 B．0.84 C．0.954 D．0.9755
【答案】A
【分析】根據題意，由正態分布的對稱性以及代入計算，即可求解.
【詳解】由題意可知，，可得，
則凈重在9.95kg與10.10kg之間的概率為，
由正態分布的對稱性可知，
.
【變式1】（23-24高二下·山西長治·期末）已知，則 .
附：若，則，.
【答案】
【分析】根據已知條件，利用正態曲線的對稱性，即可求得答案.
【詳解】，
.
故答案為：
【變式2】（23-24高二下·河南安陽·期中）某次高三統考共有12000名學生參加，若本次考試的數學成績服從正態分布，已知數學成績在70分到130分之間的人數約為總人數的，則此次考試中數學成績不低于130分的學生人數約為（ ）
A．2400 B．1200 C．1000 D．800
【答案】C
【分析】利用正態分布的對稱性求出即可計算得解.
【詳解】依題意，，，
因此，
所以此次考試中數學成績不低于130分的學生人數約為.
【變式3】（23-24高二下·福建三明·期末）現實世界中的很多隨機變量服從正態分布，例如反復測量某一個物理量，其測量誤差通常被認為服從正態分布.若某物理量做次測量，測量結果的誤差，要控制的概率不大于0.0027，至少要測量的次數為（ ）
（參考數據：
A．288 B．188 C．72 D．12
【答案】D
【分析】根據題意得，可得，然后根據正態分布的概率求法可求得結果.
【詳解】因為，所以，
根據題意得，則，
即，
因為，所以，
所以，所以，解得，
所以至少要測量的次數為72次，
【變式4】（23-24高二下·廣東江門·期末）某校高二級學生參加期末調研考試的數學成績X服從正態分布，將考試成績從高到低，按照16%，34%，34%，16%的比例分為A，B，C，D四個等級．若小明的數學成績為105分，則屬于等級（ ）
（附：，，）
A．A B．B C．C D．D
【答案】A
【分析】根據正態分布的性質即可求解.
【詳解】數學測試成績服從正態分布，則，，
由于等級的概率之和為，
所以
，而即
故為A等級，為B等級，為C等級， 為D等級，
故105分為A等級．
.
題型05 根據正態曲線的對稱性求參數
【典例5】（23-24高二下·湖南湘西·期末）（多選）已知隨機變量X服從正態分布，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根據正態分布曲線的對稱性即可求解.
【詳解】隨機變量X服從正態分布，
所以正態分布的對稱軸為 ，
根據對稱性可知：，得，A正確，B錯誤；
則，C錯誤，D正確.
D
【變式1】（23-24高二下·遼寧大連·期末）已知隨機變量服從正態分布，若，則 .
【答案】
【分析】利用正態曲線的特點即可求解.
【詳解】由題意可知，正態曲線關于直線對稱，
又因為，
所以，解得.
故答案為：.
【變式2】（24-25高三上·江蘇鎮江·開學考試）隨機變量服從若
則下列選項一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由正態分布的性質逐項判定即可.
【詳解】因為
由正態分布的對稱性，可得，正態分布方差無法判斷，
，，
所以ABD錯誤.
故選:：C
【變式3】（23-24高二下·廣東珠海·階段練習）已知隨機變量，若，則的值為 ．
【答案】/
【分析】由條件結合正態分布的性質可得，，再結合條件可求結論.
【詳解】因為，，
所以，
所以，
所以，
故答案為：.
題型06 標準正態分布問題
【典例6】（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）某省計劃在高考中對政治、地理、化學、生物四門選考科目進行賦分制度計分，即將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為A、B、C、D、E共5個等級，參照正態分布原則，確定各等級人數所占比例分別為10%，35%，35%，18%，2%，選考科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內的考生原始成績，依照等比例轉換原則，分別轉換到，，、、五個分數區間，得到考生的賦分等級成績，如果該省某次高考模擬考試政治科目的原始成績，若一名學生想取得A等的賦分等級，則他的原始分數最低為 分．（分數保留整數）
附：①若，，則；②當時，．
【答案】71
【分析】設A等級的原始分最低為，由原始成績，令，則，即可求解.
【詳解】由題意知：從高到低，即A等級人數所占比例為，
若A等級的原始分最低為，又原始成績，
，令，則，
又，所以，
即，可得分,
則他的原始分數最低為71.
故答案為：71.
【變式1】（23-24高二下·江蘇淮安·期末）隨機變量，，若，則 .
【答案】/
【分析】分析可知，結合正態分布的對稱性運算求解.
【詳解】因為，可知，
若，
可得，
所以.
故答案為：.
【變式2】隨機變量服從正態分布，隨機變量服從標準正態分布，若，則 ．（用字母表示）
【答案】
【分析】根據隨機變量服從標準正態分布，得到，再結合隨機變量服從正態分布可得答案.
【詳解】隨機變量服從標準正態分布，根據對稱性可知，
因為，所以，即，
隨機變量服從正態分布，根據對稱性可知，
，則，即.
故答案為：.
【變式3】（2024·江蘇宿遷·一模）（多選）設隨機變量，其中，下列說法正確的是（ ）
A．變量的方差為1，均值為0 B．
C．函數在上是單調增函數 D．
【答案】ACD
【分析】由正態分布的表示可判斷A；由正態曲線及可判斷B，根據正態曲線的性質可判斷C，根據正態曲線的對稱性可判斷D.
【詳解】隨機變量，則A正確；
，則B錯誤；
隨機變量，結合正態曲線易得函數在上是單調增函數，則C正確；
正態分布的曲線關于對稱，，則D正確，
CD．
題型07 正態分布的實際應用
【典例7】（23-24高二下·內蒙古通遼·階段練習）全面建設社會主義現代化國家，最艱巨最繁重的任務仍然在農村，強國必先強農，農強方能國強.某市為了解當地農村經濟情況，隨機抽取該地2000戶農戶家庭年收入X（單位：萬元）進行調查，并繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求這2000戶農戶家庭年收入的樣本平均數和樣本方差（同一組的數據用該組區間的中點值代表）；
(2)由直方圖可認為農戶家庭年收入X近似服從正態分布，其中μ近似為樣本平均數近似為樣本方差.
①估計這2000戶農戶家庭年收入超過9.06萬元的戶數？（結果保留整數）
②如果用該地區農戶家庭年收入的情況來估計全市農戶家庭年收入的情況，現從全市農戶家庭中隨機抽取4戶，記年收入不超過9.06萬元的農戶家庭數為ξ，求.（結果精確到0.001）
附：①；②若，則③
【答案】(1)，；
(2)①317戶；②0.499.
【分析】（1）利用頻率分布直方圖求平均數和方差的計算公式求解即可.
（2）①根據正態分布的對稱性得出，進而得出所求戶數；②年收入不超過萬元的農戶家庭數服從二項分布，根據二項分布的概率公式求解即可.
【詳解】（1）這2000戶農戶家庭年收入的樣本平均數
；
這2000戶農戶家庭年收入的樣本方差
.
（2）①由（1）知，，，農戶家庭年收入近似服從正態分布，
所以，
而，
所以這2000戶農戶家庭年收入超過萬元的戶數約為317.
②年收入不超過萬元的農戶家庭數服從二項分布，
所以.
【變式1】（23-24高二下·安徽蚌埠·期末）書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習慣，每年4月23日為世界讀書日．某市某中學為了了解高一年級學生的閱讀情況，從高一年級全部1000名學生中隨機抽取100名學生，調查他們每周的閱讀時間（單位：小時）并進行統計，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示．
由頻率分布直方圖可以認為該校高一學生每周閱讀時間服從正態分布，其中可以近似為100名學生的每周閱讀時間的平均值（同組數據用該組數據區間的中點值表示），．
(1)試估計高一全體學生中每周閱讀時間不高于6.8小時的人數（四舍五入取整）；
(2)若從高一全體學生中隨機抽取5名學生進行座談，設選出的5人中每周閱讀時間在10.6小時以上的學生人數為Y，求隨機變量Y的分布列，數學期望與方差．
參考數據：若隨機變量服從正態分布，則，，．
【答案】(1)159人
(2)分布列見解析，，．
【分析】（1）利用正態分布相關知識即可求解；
（2）因為，所以每周閱讀時間在10.6小時以上的概率為，可得，然后求出對應的概率即可得解．
【詳解】（1）樣本中100名學生每周閱讀時間的均值為：
，
即，又，所以，
所以，
所以全年級學生中每周閱讀時間不高于6.8小時的人數大約為：（人）
（2）因為，所以每周閱讀時間在10.6小時以上的概率為，可得，
故，，，
，，，
隨機變量Y的分布列為：
0 1 2 3 4 5
故，．
【變式2】（23-24高三下·山東菏澤·階段練習）襄陽市某中學一研究性學習小組為了了解襄陽市民每年旅游消費支出費用單位：千元，寒假期間對游覽某簽約景區的名襄陽市游客進行隨機問卷調查，并把數據整理成如下表所示的頻數分布表：
組別 支出費用
頻數
(1)從樣本中隨機抽取兩位市民的旅游支出數據，求兩人旅游支出均不低于元的概率
(2)若襄陽市民的旅游支出費用近似服從正態分布，近似為樣本平均數同一組中的數據用該組區間的中間值代表，近似為樣本標準差，并已求得，利用所得正態分布模型解決以下問題：
（i）假定襄陽市常住人口為萬人，試估計襄陽市有多少市民每年旅游費用支出在元以上
（ii）若在襄陽市隨機抽取位市民，設其中旅游費用在元以上的人數為，求隨機變量的分布列和均值．
附：若∽，則，，．
【答案】(1)
(2)（i）11.375萬；（ii）分布列見解析，
【分析】（1）根據題意可得旅游支出不低于元的有人，結合古典概型概率公式即可求解；
（2） （i） 根據題意可得，，結合正態曲線的對稱性即可求解；（ii）根據題意可得所有可能取值為結合二項分布求概率和均值即可求解．
【詳解】（1）樣本中總共人，其中旅游支出不低于元的有人，
所以從中隨機抽取兩位市民的旅游支出數據，
兩人旅游支出均不低于元的概率為；
（2）（i）計算，
所以，，服從正態分布，
，
萬，
估計襄陽市有萬市民每年旅游費用支出在元以上；
（ii）由（i）知，，則，
的所有可能取值為
， ，
， ；
所以隨機變量的分布列為：
均值為
【變式3】某省舉辦了一次高三年級化學模擬考試，其中甲市有10000名學生參考．根據經驗，該省及各市本次模擬考試成績（滿分100分）都近似服從正態分布．
(1)已知本次模擬考試甲市平均成績為65分，87分以上共有228人．甲市學生的成績為76分，試估計學生在甲市的大致名次；
(2)在該省本次模擬考試的參考學生中隨機抽取40人，記表示在本次考試中化學成績在之外的人數，求的概率及的數學期望．
參考數據：
參考公式：若，有，
【答案】(1)1587名
(2)0.0989；期望為
【分析】（1）由本次模擬考試成績都近似服從正態分布，，87分以上共有228人，結合原則，求得，再由甲市學生在該次考試中成績為76分，且求解；
（2）由隨機變量服從二項分布，即求解．
【詳解】（1）解：已知本次模擬考試成績都近似服從正態分布，
由題意可得．
即，解得．
甲市學生在該次考試中成績為76分，且，
又，即．
學生在甲市本次考試的大致名次為1587名．
（2）在本次考試中，抽取1名化學成績在之內的概率為0.9974．
抽取1名化學成績在之外的概率為0.0026．
隨機變量服從二項分布，即．
．
的數學期望為．
題型08 3σ原則的應用
【典例8】某工廠一臺設備生產一種特定零件，工廠為了解該設備的生產情況，隨機抽檢了該設備在一個生產周期中的100件產品的關鍵指標（單位：），經統計得到下面的頻率分布直方圖：
(1)由頻率分布直方圖估計抽檢樣本關鍵指標的平均數和方差．（用每組的中點代表該組的均值）
(2)已知這臺設備正常狀態下生產零件的關鍵指標服從正態分布，用直方圖的平均數估計值作為的估計值，用直方圖的標準差估計值作為估計值．
（i）為了監控該設備的生產過程，每個生產周期中都要隨機抽測10個零件的關鍵指標，如果關鍵指標出現了之外的零件，就認為生產過程可能出現了異常，需停止生產并檢查設備．下面是某個生產周期中抽測的10個零件的關鍵指標：
0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83
利用和判斷該生產周期是否需停止生產并檢查設備．
（ⅱ）若設備狀態正常，記表示一個生產周期內抽取的10個零件關鍵指標在之外的零件個數，求及的數學期望．
參考數據：若隨機變量服從正態分布，則，
【答案】(1)
(2)（i）需停止生產并檢查設備；（ii），
【分析】（1）根據頻率分布直方圖結合平均數的計算公式，即可求得，繼而結合方差的計算公式求得；
（2）（i）根據，，確定，，判斷抽查的零件關鍵指標有無在之外的情況，即可得結論；（ii）求出抽測一個零件關鍵指標在之外的概率，確定，根據二項分布的概率公式以及期望公式，即可求得答案.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖，得．
．
（2）（i）由（1）可知，，
所以，，
顯然抽查中的零件指標，故需停止生產并檢查設備．
（ii）抽測一個零件關鍵指標在之內的概率為，
所以抽測一個零件關鍵指標在之外的概率為，
故，所以，
X的數學期望．
【變式1】假設某廠包裝食鹽的生產線，正常情況下生產出來的食鹽質量服從正態分布（單位：），該生產線上的檢測員某天隨機抽取了兩包食鹽，稱得其質量均大于.
(1)求正常情況下，任意抽取一包食鹽，質量大于的概率為多少；
(2)檢測員根據抽檢結果，判斷出該生產線出現異常，要求立即停產檢修，檢測員的判斷是否合理？請說明理由.
【答案】(1)
(2)檢測員的判斷是合理的，理由見解析
【分析】（1）由正常情況下生產出來的食鹽質量服從正態分布（單位：g），要求得 正常情況下,任意抽取一包食鹽,質量大于的概率, 化為 的形式, 然后求解即可;
（2）由（1）可知正常情況下，任意抽取一包食鹽,質量大于的概率為,可求得隨機抽取兩包檢查,質量都大于的概率幾乎為零, 即可判定檢測員的判斷是合理的.
【詳解】（1）設正常情況下，該生產線上包裝出來的食鹽質量為，由題意可知.
由于，所以根據正態分布的對稱性與“原則”可知，
.
（2）檢測員的判斷是合理的.因為如果生產線不出現異常的話，由（1）可知，隨機抽取兩包檢查，質量都大于的概率約為：
，
幾乎為零，但這樣的事件竟然發生了，所以有理由認為生產線出現了異常，檢測員的判斷是合理的.
【變式2】某商場在五一假期間開展了一項有獎闖關活動，并對每一關根據難度進行賦分，競猜活動共五關，規定：上一關不通過則不進入下一關，本關第一次未通過有再挑戰一次的機會，兩次均未通過，則闖關失敗，且各關能否通過相互獨立，已知甲、乙、丙三人都參加了該項闖關活動.
(1)若甲第一關通過的概率為，第二關通過的概率為，求甲可以進入第三關的概率；
(2)已知該闖關活動累計得分服從正態分布，且滿分為470分，現要根據得分給共2700名參加者中得分前400名發放獎勵.
①假設該闖關活動平均分數為171分，351分以上共有57人，已知甲的得分為270分，問甲能否獲得獎勵，請說明理由；
②丙得知他的分數為430分，而乙告訴丙：“這次闖關活動平均分數為201分，351分以上共有57人”，請結合統計學知識幫助丙辨別乙所說信息的真偽.
附：若隨機變量，則；；.
【答案】(1)
(2)①能，理由見解析②假
【分析】（1）設為第次通過第一關，為第次通過第二關，計算即可；
（2）①由，且，計算，求出前400名參賽者的最低得分，與甲的得分比較即可；
②假設乙所說為真，由計算，求出，利用小概率事件即可得出結論．
【詳解】（1）設：第i次通過第一關，：第i次通過第二關，甲可以進入第三關的概率為，由題意知
.
（2）設此次闖關活動的分數記為.①由題意可知，因為，且，
所以，則；而，
且，
所以前400名參賽者的最低得分高于，而甲的得分為270分，所以甲能夠獲得獎勵；
②假設乙所說為真，則，
，
而，所以，從而，
而，
所以為小概率事件，即丙的分數為430分是小概率事件，可認為其一般不可能發生，但卻又發生了，所以可認為乙所說為假.
【變式3】（23-24高二下·重慶·期末）國家對化學元素鎵（）相關物項實施出口管制.鎵在高端半導體領域有著非常重要的作用，其應用前景十分廣闊.某鎵合金研制單位為了讓鎵合金中的鎵元素含量百分比穩定在一定范圍內，由質檢員每天17次隨機抽取并檢測鎵元素在鎵合金材料中的含量百分比.設表示一天的17次檢測得到的鎵含量（單位：）的監測數據，并記監測數據的平均數，標準差.設表示鎵合金中鎵含量（單位：），且，當為正整數時，令，根據表中的和值解答：
1 2 3 4
0.6827 0.9545 0.9973 0.9999
0.0015 0.4531 0.9551 0.9983
(1)記表示一天中抽取17次的鎵含量的次數，求及的數學期望；
(2)當一天中至少1次監測鎵含量，就認為該天研制情況異常，須對研制過程作改進.已知某天監測數據的最小值為17，最大值為21，經計算得.若用該天監測數據得的和分別估計為和且，利用估計判斷該天的研制過程是否必須作改進？
(3)若去掉一天中的監測結果，設余下的數據標準差為，請用數據表示.
【答案】(1)0.0449；0.0459
(2)必須作改進；
(3).
【分析】（1）根據正態分布求解的概率，以及的概率，再利用對立事件求，再根據二項分布求期望；
（2）由可知，，即可作出判斷；
（3）根據平均數公式和標準差公式，化簡求解.
【詳解】（1）由題意得1次監測鎵含量的概率為0.9973，
鎵含量的概率為0.0027
，
；
（2）由估計得，
，發現最小值，
該天至少1次監測鎵含量中，故必須作改進；
（3）設余下的數據的平均數，則，
即.
一、單選題
1．（23-24高二下·山東威海·期末）已知隨機變量，設隨機變量，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】直接由均值、方差的性質即可求解.
【詳解】對于隨機變量而言：它的，注意到，
所以對于隨機變量而言：它的，
所以.
.
2．（23-24高二下·遼寧沈陽·期中）若隨機變量服從正態分布，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據條件，利用正態分布的對稱性得到，即可求解.
【詳解】因為服從正態分布，且，
所以，
.
3．（23-24高二下·山東聊城·期末）設隨機變量，，這兩個正態分布密度曲線如圖所示，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由密度曲線結合正態分布性質求解即可.
【詳解】的密度曲線的對稱軸在的密度曲線的對稱軸的左邊，即.
的密度曲線較為分散， 的密度曲線較為集中，即，故AB錯誤；
因為，所以C錯誤；
因為，所以D正確；
4．（23-24高二下·河南濮陽·期末）已知隨機變量，則（ ）
參考數據：若隨機變量服從正態分布，則．
A．0.97725 B．0.84135 C．0.7786 D．0.34135
【答案】C
【分析】利用正態分布的性質及區間概率值，即可求得指定區間概率.
【詳解】由已知得隨機變量，可得，
由對稱性可知，，
又由正態分布的性質可知: ,
所以，
.
5．（23-24高二下·廣西·期中）若，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據正態分布性質計算即可.
【詳解】因為,
所以，σ的值不確定．
.
6．（23-24高二下·云南保山·階段練習）某工廠5月份生產7000個燈泡，實驗得知燈泡使用壽命（單位：小時）服從正態分布，已知，則工廠該月生產燈泡壽命在800小時及其以上的個數約為（ ）
A．4400 B．4700 C．4800 D．4900
【答案】C
【分析】由已知，可得，則，則可求得該月生產燈泡壽命在800小時及其以上的個數.
【詳解】因為燈泡使用壽命（單位：小時）服從正態分布，且，
所以，
所以，
則工廠該月生產燈泡壽命在800小時及其以上的個數約為
個，
.
7．（23-24高二下·吉林長春·階段練習）某校高二年級男生的身高（單位：cm）近似服從正態分布，若X的值在內的概率約為0.84，則n的值約為（ ）
參考數據：①；②；③
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】利用正態分布的對稱性與原則即可得解.
【詳解】因為，所以，，
因為①，
而，，
所以②，
對比①②兩式可知且，則，
所以，解得.
.
8．（23-24高二下·重慶·期末）某次高二質量抽測中，學生的數學成績服從正態分布．已知參加本次考試的學生約有10000人，如果小明在這次考試中數學成績為120分，則小明的數學成績在本次抽測的名次大約是（　　）
附：若，則，
A．第228名 B．第455名 C．第1587名 D．第3173名
【答案】A
【分析】借助正態分布定義及正態曲線的性質計算可得，即可得解.
【詳解】由，，，
則，故，
，
故小明的數學成績在本次抽測的名次大約是第228名.
.
二、多選題
9．（23-24高二下·山西大同·期中）“70米跑”是《國家學生體質健康標準》測試項目中的一項，某地區高三男生的“70米跑”測試成績(單位:秒)服從正態分布，且.從該地區高三男生的“70米跑”測試成績中隨機抽取5個，其中成績在內的個數記，則下列說法正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】A選項，由正態分布的對稱性可求，進而計算可判斷A；B選項，可求得；由正態分布曲線的性質可得判斷B；C選項，，進而求得判斷C；D選項，由二項分布計算出，利用對立事件概率公式求出判斷D.
【詳解】A選項，由正態分布的對稱性可知：，
故，A正確；
B選項，由，可得，
由正態分布曲線可得，故B不正確；
C選項，因為，所以，故C正確；
D選項，因為，所以，
所以，故D正確.
CD.
10．（23-24高二下·貴州安順·期末）已知隨機變量服從正態分布，定義函數為取值不超過的概率，即，則下列說法正確的有（ ）
A． B．
C．在上是增函數 D．，使得
【答案】ABC
【分析】由正態分布可求得，可判斷A；結合正態分布的性質計算可得，可判斷B；易得在上是增函數，可判斷C；當時，，，可判斷D.
【詳解】對于A：因為，所以，故A正確；
對于B：因為，
所以，故B正確；
對于C：當增大時，也增大，
所以在上是增函數，故C正確；
對于D：因為，，
當時，，所以，
又，所以，所以；
當時，，則，
又，所以不不成立，故D錯誤；
BC.
11．（23-24高二下·陜西咸陽·期末）甲、乙兩類水果的質量（單位：kg）分別服從正態分布、，其正態分布的密度曲線如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．甲類水果的平均質量
B．甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右
C．甲類水果的平均質量比乙類水果的平均質量小
D．乙類水果的質量服從正態分布的參數
【答案】ABC
【分析】利用正態分布的性質，逐一進行判斷即可.
【詳解】由圖象可知，甲圖象關于直線對稱，乙圖象關于直線對稱，
所以，故A，C正確；
因為甲圖象比乙圖象更“高瘦”，所以甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右，故B正確；
因為乙圖象的最大值為，即，所以，故D錯誤；
BC.
三、填空題
12．（23-24高二下·浙江寧波·期中）已知隨機變量X服從二項分布，且隨機變量Y服從正態分布．若，則 ．
【答案】/
【分析】先由二項分布的均值公式求出，從而得，進而由概率之和為1和正態分布的對稱性即可求解.
【詳解】因為隨機變量X服從二項分布，
所以，故，
又隨機變量Y服從正態分布，所以，
所以.
故答案為：.
13．（23-24高二下·河北承德·階段練習）設隨機變量X服從正態分布，即，若，則 ．
【答案】1
【分析】根據題意結合正態分布的對稱性分析求解.
【詳解】隨機變量X服從正態分布且，
則由對稱性得，所以．
故答案為：1．
14．（23-24高二下·廣東佛山·期末）某廠家生產的產品質量指標服從正態分布.質量指標介于162至180之間的產品為良品，為使這種產品的良品率達到99.73%，則需調整生產工藝，使得至多為 .（若，則）
【答案】3
【分析】根據題意結合正態分布的性質可得，，從而出的最大值.
【詳解】因為產品質量指標服從正態分布，，
且質量指標介于162至180之間的產品為良品，良品率達到99.73%，
所以，，
解得，
所以至多為3，
故答案為：3
四、解答題
15．（23-24高二下·山西長治·期中）某種香梨的重量（單位：）服從正態分布，將該種香梨按照其重量及對應的售價進行分揀，分為4類依次記為.已知，售價最高，為10元；，售價為8元；，售價為6元；其余的為，售價為5元.
(1)任選1個香梨，求其重量大于的概率；
(2)以表示香梨的售價（單位：元），寫出的分布列，并估計該種香梨售價的平均值.
附：若，則，，.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，元
【分析】（1）依題意，根據正態分布的性質求出，即可得解；
（2）依題意的所有可能取值為，，，，根據正態曲線的性質求出所對應的概率，即可求出分布列與數學期望.
【詳解】（1）因為，所以，，
所以，
即任選1個香梨，其重量大于的概率約為；
（2）由題意可知，的所有可能取值為，，，，
則，
，
，
，
所以的分布列為：
10 8 6 5
所以，
即估計該種香梨售價的平均值為元．
16．（23-24高二下·青海海東·階段練習）某公司采購了一批零件，為了檢測這批零件是否合格，從中隨機抽測了120個零件的長度（單位：分米），按數據分成，，，，，這6組，得到如下的頻數分布表：
分組
頻數 5 15 40 40 15 5
以這120個零件的長度在各組的頻率作為整批零件的長度在各組的概率．
(1)若從這批零件中隨機抽取3個，記X為抽取的零件的長度在中的個數，求X的分布列和數學期望；
(2)若變量S滿足，且，則稱變量S滿足近似于正態分布的概率分布，如果這批零件的長度Y（單位：分米）滿足近似于正態分布的概率分布，則認為這批零件是合格的，將順利被簽收，否則，公司將拒絕簽收，試問該批零件能否被簽收？
【答案】(1)分布列見解析，
(2)能
【分析】（1）寫出隨機變量的可能取值，并求解每個值的概率，即可求解；
（2）求出與的概率，即可求解.
【詳解】（1）從這批零件中隨機選取1件，長度在的概率’
隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，
則，，
，，
所以隨機變量X的分布列為
X 0 1 2 3
P
所以；
（2）由題意知，，
，
，
因為，，
所以這批零件的長度滿足近似于正態分布的概率分布，
所以認為這批零件是合格的，將順利被該公司簽收．
17．（23-24高二下·陜西西安·期末）某新能源汽車制造企業為了了解產品質量﹐對現有的一條新能源零部件產品生產線進行抽樣調查．該企業質檢人員從該條生產線所生產的新能源零部件產品中隨機抽取了1000件．檢測產品的某項質量指標值，根據檢測數據整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，其分組為，，，，，，．
(1)從質量指標值在內的兩組檢測產品中，采用分層抽樣的方法隨機抽取5件，現從這5件中隨機抽取2件作為樣品展示，求抽取的2件產品不在同一組的概率．
(2)若該項質量指標值X近似服從正態分布，近似為樣本平均數（同一組中的數據用該組區間的中間值代表），近似為樣本標準差s，并已求得，利用所得正態分布模型解決以下問題：
①該項質量指標值低于30或高于92為不合格，若該生產線生產100萬件零部件，試估計有多少件零部件不合格；
②若從該生產線上隨機抽取3件零部件，設其中該項質量指標值不低于的零部件個數為Y，求隨機變量Y的分布列與數學期望．
參考數據：，，．
【答案】(1)
(2)①4.55萬件；②分布列見解析，
【分析】（1）利用概率公式即可求解.
（2）先求出平均數，寫出正態分布，利用正態分布即可求解；先求出的概率，然后根據二項分布，即可求解.
【詳解】（1）采用分層抽樣的方法隨機抽取的5件中，在內的有3件，在內的有2件．
記“抽取的2件產品不在同一組”為事件A，則．
（2）①因為，
所以，且；
所以或或，
所以若該生產線生產100萬件零部件，則估計有萬件零部件不合格．
②因為，所以，所以Y可以取0，1，2，3，
，，
，，
所以Y的分布列為
Y 0 1 2 3
P
故．
18．（2024·陜西商洛·模擬預測）隨著網絡技術的迅速發展，各種購物群成為網絡銷售的新渠道.2023年11月某地臍橙開始采摘上市，一臍橙基地隨機抽查了100個購物群的銷售情況，各購物群銷售臍橙的情況如下：
臍橙數量/盒
購物群數量/個 12 18 32 18
(1)求實數的值.并用組中值（每組的中點值）估計這100個購物群銷售臍橙總量的平均數；
(2)假設所有購物群銷售臍橙的數量，其中為（1）中的平均數，.若該臍橙基地參與銷售的購物群約有1000個，銷售的臍橙在（單位：盒）內的群為“級群”，銷售數量小于2580盒的購物群為“級群”，銷售數量不小于616盒的購物群為“特級群”，該臍橙基地對每個“特級群”獎勵800元，每個“級群”獎勵100，對“級群”不獎勵，則該臍橙基地大約需要準備多少獎金？（群的個數按四舍五入取整數）
附：若，則，，.
【答案】(1)20；平均數為376
(2)獎金約為95700元
【分析】（1）利用頻數之和等于樣本總數易得值，利用與頻數分布表有關的平均數公式計算即得；
（2）由題意，結合（1）的結果易得的值，根據“級群”， “特級群”的范圍，利用正態分布曲線的對稱性，求出對應的概率，再計算出需準備的獎金即可.
【詳解】（1）由題意得，，解得.
則這100個購物群銷售臍橙總量的平均數為.
（2）由題意，則，
故
，
故“級群”約有個；
，
故“特級群”約有個；
則依題意，需要資金為元，即該臍橙基地大約需要準備95700元.
19．材料一：2018年，全國逾半省份將從秋季入學的高一年級開始實行新的學業水平考試和高考制度．所有省級行政區域均突破文理界限，由學生跨文理選科，均設 置“”的考試科目．前一個“3”為必考科目，為統一高考科目語文、數學、外語.除個別省級行政區域仍執行教育部委托的分省命題任務外，絕大部分省級行政區域均由教育部考試中心統一命題；后一個“3”為高中學業水平考試（簡稱“學考”）選考科目，由各省級行政區域自主命題．材料二：2019年4月，河北、遼寧、江蘇、福建、湖北、湖南、廣東、重慶等8省市發布高考綜合改革實施方案，方案決定從2018年秋季入學的高中一年級學生開始實施高考綜合改革．考生總成績由全國統一高考的語文、數學、外語3個科目成績和考生選擇的3科普通高中學業水平選擇性考試科目成績組成，滿分為770分．即通常所說的“”模式，所謂“”，即“3”是三門主科，分別是語文、數學、外語，這三門科目是必選的．“1”指的是要在物理、歷史里選一門，按原始分計入成績．“2”指考生要在生物、化學、思想政治、地理4門中選擇2門．但是這幾門科目不以原始分計入成績，而是等級賦分．等級賦分指的是把考生的原始成績根據人數的比例分為、、、、五個等級，五個等級分別對應著相應的分數區間，然后再用公式換算，轉換得出分數．
（1）若按照“”模式選科，求選出的六科中含有“語文，數學，外語，物理，化學”的概率．
（2）某教育部門為了調查學生語數外三科成績與選科之間的關系，現從當地不同層次的學校中抽取高一學生2700名參加語數外的網絡測試，滿分470分，并給前400名頒發榮譽證書，假設該次網絡測試成績服從正態分布，且滿分為470分；
①考生甲得知他的成績為270分，考試后不久了解到如下情況：“此次測試平均成績為171分，351分以上共有57人”，問甲能否獲得榮譽證書，請說明理由；
②考生丙得知他的實際成績為430分，而考生乙告訴考生丙：“這次測試平均成績為201分，351分以上共有57人”，請結合統計學知識幫助丙同學辨別乙同學 信息的真偽．
附：；；.
【答案】（1）；（2）①甲同學能夠獲得榮譽證書；②乙同學所說為假.
【解析】（1）已經選出五科，再從剩余三個科目中選1個科目的方法為；計算出從物理、歷史里選一門，生物、化學、思想政治、地理4門中選擇2門的總方案數，即可得其概率.
（2）①由題意可知，而，結合原則即可求得的值.結合獲獎概率，并求得，比較后可求得獲獎的最低成績.即可由甲的成績得知甲能否獲得榮譽證書.
②假設乙所說為真，求得，進而求得的值.從而確定的值，即可確定的概率.比較后即可知該事件為小概率事件，而丙已經有這個成績，因而可判斷乙所說為假.
【詳解】（1）設事件A：選出的六科中含有“語文，數學，外語，物理，化學”；
則從剩余生物、思想政治、地理三個科目中選擇一個有.
從物理、歷史里選一門，生物、化學、思想政治、地理4門中選擇2門的方案有種，
所以.
（2）設此次網絡測試的成績記為.
①由題意可知，
因為，且，
所以；
而，
且，
所以前400名學生成績的最低分高于，
而考生甲的成績為270分，所以甲同學能夠獲得榮譽證書.
②假設考生乙所說為真，則，
，
而，所以，
從而，
而，
所以為小概率事件，即丙同學的成績為430分是小概率事件，可認為其不可能發生，但卻又發生了，所以可認為乙同學所說為假.
【點睛】本題考查了古典概型概率求法，由組合數求法求概率，結合原則求概率值，并由原則判斷事件真偽，綜合性強，屬于難題.
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