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第四章 概率與統計章末測試
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：170分）
注意事項：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．
2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．
第Ⅰ卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共80分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24高二下·福建福州·期中）下列敘述中，是離散型隨機變量的是（ ）
A．某電子元件的壽命
B．高速公路上某收費站在一小時內經過的車輛數
C．某人早晨在車站等出租車的時間
D．測量某零件的長度產生的測量誤差
【答案】C
【分析】根據離散型隨機變量的定義直接求解.
【詳解】某電子元件的壽命可為任意值，不能一一列舉出來，不是離散型隨機變量；
一小時內經過的車輛數可以一一列舉出來，是離散型隨機變量；
等出租車的時間是隨機變量，但無法一一列出，不是離散型隨機變量；
測量誤差不能一一列出，不是離散型隨機變量．
．
2．（23-24高二下·安徽安慶·期中）若隨機變量X的分布列如下表所示，且，則表中a的值為（ ）
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A． B．7 C．5.61 D．6.61
【答案】C
【分析】根據隨機變量的分布列的性質求得，再由期望的公式，求得，最后利用方差的公式，即可求解，得到答案．
【詳解】根據隨機變量的分布列性質，可得，解得，
又由，解得.
.
3．（23-24高二下·四川遂寧·階段練習）已知隨機變量服從兩點分布，且，設，那么的值是（ ）
A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.3
【答案】A
【分析】由已知結合兩點分布的方差公式和方差性質即可求解.
【詳解】因為隨機變量服從兩點分布，
所以由題，又，
所以.
.
4．（23-24高二下·福建寧德·階段練習）已知變量和的統計數據如下表：
6 8 10 12
2 3 5 6
根據上表可得回歸直線方程，據此可以預測當時，（ ）
A．7.8 B．6.5 C．9.6 D．8.2
【答案】A
【分析】利用回歸直線過樣本中心點求解，代入即可.
【詳解】根據表格中的數據，
當時，
5．（23-24高二下·浙江·期中）從7男3女共10名學生干部中隨機選出5名學生干部，抽到的女生人數的均值為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根據超幾何分布的概率公式求解概率，即可由期望公式求解.
【詳解】抽到的女生人數可能為0，1，2，3，
，，
，，
所以．
6．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，一個質點從原點0出發，每隔一秒隨機等可能地向左或向右移動一個單位，共移動4次，在質點第一秒位于1的位置的條件下，該質點共經過兩次2的位置的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據已知條件，結合條件概率與獨立事件的乘法公式，即可求解．
【詳解】質點移動4次，共有種情況，
設質點第一秒位于1的位置為事件為，則，
記質點兩次經過質點2為事件，若第一步位于1，則還有3步，想要經過質點2兩次，
則有，兩種情況，
所以，
則．
．
7．（24-25高二上·內蒙古赤峰·階段練習）今有水平相當的棋手甲和棋手乙進行某項圍棋比賽，勝者可獲得48000元獎金.比賽規定下滿五局，五局中獲勝局數多者贏得比賽，比賽無平局，若比賽已進行三局，甲兩勝一負，由于突發因素無法進行后面比賽，如何分配獎金最合理？（ ）
A．甲24000元，乙24000元 B．甲32000元，乙18000元
C．甲40000元，乙8000元 D．甲38000元，乙12000元
【答案】A
【分析】根據甲乙兩人最終獲勝的概率即可按比例分配.
【詳解】乙最終獲勝的概率為，甲最終獲勝的概率為，
所以甲乙兩人按照分配獎金才比較合理，
所以甲元，乙元，
.
8．（24-25高二上·四川眉山·階段練習）某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時他也在家而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把去辦公室，如果一天下班時他也在辦公室而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不帶雨傘.假設每天上班和下班時下雨的概率均為，不下雨的概率均為，且與過去情況相互獨立.現在兩把雨傘均在家里，那么連續上班兩天，他至少有一天淋雨的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】計算對立事件的概率，從下雨次數入手，分類討論計算兩天都不淋雨的概率，即可得至少有一天淋雨的概率.
【詳解】解：“至少有一天淋雨”的對立事件為“兩天都不淋雨”，
連續上兩天班，上班、下班的次數共有4次.
(1)4次均不下雨，概率為：；
(2)有1次下雨但不淋雨，則第一天或第二天上班時下雨，概率為：；
(3)有2次下雨但不淋雨，共3種情況：
①同一天上下班均下雨；②兩天上班時下雨，下班時不下雨；③第一天上班時下雨，下班時不下雨，第二天上班時不下雨，下班時下雨；
概率為：；
(4)有3次下雨但不被淋雨，則第一天或第二天下班時不下雨，
概率為：；
(5)4次均下雨，概率為：；
兩天都不淋雨的概率為：，
所以至少有一天淋雨的概率為：.
.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．（24-25高二上·黑龍江·期中）有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取一個球.事件“第一次取出的球的數字是1”，事件“第二次取出的球的數字是2”，事件“兩次取出的球的數字之和是8”，事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則（ ）
A．與互斥 B．與互斥 C．與相互獨立 D．與相互獨立
【答案】ABD
【分析】列舉出基本事件，再根據互斥事件及相互獨立事件的定義判斷即可.
【詳解】依題意從中有放回地隨機取兩次球，則可能結果有：
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共個結果.
事件包含的基本事件有：，，，，，共個；
事件包含的基本事件有：，，，，，共個；
事件包含的基本事件有：共個；
事件包含的基本事件有：，，，，，共個；
對于A：顯然事件與事件不可能同時發生，所以與互斥，故A正確；
對于B：事件與事件不可能同時發生，所以與互斥，故B正確；
對于C：因為，，，
所以與不獨立，故C錯誤；
對于D：因為，，，
所以與相互獨立，故D正確.
BD
10．（24-25高二下·全國·課后作業）（多選）假設某廠有兩條包裝食鹽的生產線甲、乙，生產線甲正常情況下生產出來的包裝食鹽質量服從正態分布（單位：g），生產線乙正常情況下生產出來的包裝食鹽質量為，隨機變量x的概率分布密度函數為，其中，則（ ）
附：隨機變量，則，.
A．正常情況下，從生產線甲任意抽取一包食鹽，質量小于的概率為0.135%
B．生產線乙的食鹽質量
C．曲線的峰值為
D．生產線甲上的檢測員某天隨機抽取兩包食鹽，稱得其質量均大于，于是判斷出該生產線出現異常，該判斷是合理的
【答案】ACD
【分析】根據正態分布的性質結合給定區間上的概率值可判斷A；根據隨機變量x的概率分布密度函數可判斷B，C；根據正態分布的“”原則可判斷D.
【詳解】對于A，設生產線甲正常情況下生產出來的包裝食鹽的質量為X，則，
其中，則，A正確；
對于B，隨機變量x的概率分布密度函數，有，，因此生產線乙的食鹽質量，B錯誤；
對于C，因為，當且僅當時取等號，
因此當時，，C正確；
對于D，，
說明生產線甲上抽到質量大于食鹽的可能性很低，
則隨機抽取兩包其質量均大于，說明判斷出該生產線出現異常是合理的，D正確.
故選:ACD.
11．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）某計算機程序每運行一次都隨機出現一個十位二進制數（例如若，則），已知出現“0”的概率為，出現“1”的概率為，記，則當程序運行一次時（ ）
A．X服從二項分布 B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根據二項分布的定義可判斷A的正誤，利用二項分布可判斷B的正誤，利用公式計算出的期望和方差后可判斷CD的正誤.
【詳解】由二進制數A的特點知，每一個數位上的數字只能填0，1且每個數位上的數字互不影響，
故X中1出現次數的可能取值有，則可能取值情況與之相同，
由二項分布的定義可得：，故A正確.
故，故B錯誤；
所以，，故C正確，D錯誤．
C．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（23-24高二下·四川眉山·期末）以曲線擬合一組數據時，經代換后的線性回歸方程為，則 ．
【答案】
【分析】利用對數的運算法則，再結合回歸方程即可求解.
【詳解】因為，
所以，
令，則，
又因為，
所以，，
所以.
故答案為：.
13．（23-24高二下·天津和平·期中）甲從裝有除顏色外都相同的3個黑球和m個白球的布袋中隨機摸取一球，有放回的摸取3次，記摸出黑球的個數為X，若，則 ．
【答案】
【分析】根據已知可得，由得；由此可以得到的值.
【詳解】甲從裝有除顏色外完全相同的3個白球和個黑球的布袋中隨機摸取一球，有放回的摸取3次，
記摸得黑球個數為，則，
∵，∴，∴，
∴.
故答案為：.
14．（24-25高二上·湖北十堰·階段練習）假定某工廠甲、乙、丙個車間生產同一種螺釘，產量依次占全廠的、、，如果各車間的次品率依次為、、.現在從待出廠產品中檢查出個次品，則它是由甲車間生產的概率是 ．
【答案】
【分析】先根據全概率公式求出，再帶入貝葉斯公式計算即可．
【詳解】設“從待出廠產品中取出個是次品”為事件A，從待出廠產品中取出個產品是甲、乙、丙車間生產的事件分別為事件，，，
則，，，，，，
由全概率公式得
，
現在從待出廠產品中檢查出個次品，則它是由甲車間生產的概率是．
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（24-25高二上·四川眉山·期中）隨著互聯網的高速發展和新媒體形式的不斷豐富，微短劇作為一種新興的文化載體，正逐漸成為拓展文化消費空間的重要途徑.某媒體為了了解微短劇消費者的年齡分布，隨機調查了200名消費者，得到如下列聯表：
年齡不超過40歲 年齡超過40歲 合計
是微短劇消費者 30 45
不是微短劇消費者
合計 100 200
(1)根據小概率值的獨立性檢驗，能否認為“是微短劇消費者”與“年齡不超過40歲”有關聯？
(2)記2020~2024年的年份代碼x依次為1，2，3，4，5，下表為2020~2023年中國微短劇市場規模及2024年中國微短劇預測的市場規模y（單位：億元）與x的統計數據：
年份代碼x 1 2 3 4 5
市場規模y 9.4 36.8 101.7 373.9 m
根據上表數據求得y關于x的經驗回歸方程為，求相關系數r，并判斷該經驗回歸方程是否有價值.
參考公式：，其中，.
，相關系數..
若，則認為經驗回歸方程有價值.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)有關聯
(2)，該經驗回歸方程有價值.
【分析】（1）先補全列聯表，再計算卡方，根據獨立性檢驗原則即可判斷；
（2）通過給出的經驗回歸方程公式求相關系數，再判斷．
【詳解】（1）2×2列聯表如下：
年齡不超過40歲 年齡超過40歲 合計
是微短劇消費者 30 15 45
不是微短劇消費者 70 85 155
合計 100 100 200
零假設“是微短劇消費者”與“年齡不超過40歲”無關聯，
因為，
根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不不成立，即認為“是微短劇消費者”與“年齡不超過40歲”有關聯，此推斷犯錯誤的概率不超過0.05.
（2）由x的取值依次為1，2，3，4，5，得，，
因為經驗回歸方程為，
所以，
所以，
所以.
因為，所以該經驗回歸方程有價值.
16．（24-25高三上·重慶·期中）某工廠生產一批機器零件，現隨機抽取100件對某一項性能指標進行檢測，得到一組數據，如下表：
性能指標X 66 77 80 88 96
產品件數 10 20 48 19 3
(1)求該項性能指標的樣本平均數的值．若這批零件的該項指標近似服從正態分布其中近似為樣本平均數的值，，試求的值．
(2)若此工廠有甲、乙兩臺機床加工這種機器零件，且甲機床的生產效率是乙機床的生產效率的2倍，甲機床生產的零件的次品率為0.02，乙機床生產的零件的次品率為0.01，現從這批零件中隨機抽取一件．
①求這件零件是次品的概率：
②若檢測出這件零件是次品，求這件零件是甲機床生產的概率；
③若從這批機器零件中隨機抽取300件，零件是否為次品與該項性能指標相互獨立，記抽出的零件是次品，且該項性能指標恰好在內的零件個數為，求隨機變量的數學期望（精確到整數）．
參考數據：若隨機變量服從正態分布則，
【答案】(1)80，0.8186
(2)①；②；③4
【分析】（1）計算出平均數后可得，結合正態分布的性質計算即可得解；
（2）①借助全概率公式計算即可得；②按照條件概率公式計算即可；③借助二項分布期望公式計算即可得．
【詳解】（1），
因為，所以，
則
；
（2）①設“抽取的零件為甲機床生產”記為事件，
“抽取的零件為乙機床生產”記為事件，
“抽取的零件為次品”記為事件，
則，，，，
則；
②；
③由（1）及（2）①可知，這批零件是次品且性能指標在內的概率，
且隨機變量，
所以，
所以隨機變量Y的數學期望為4.
17．（24-25高二上·北京·期中）圖像識別是人工智能領域的一個重要研究方向.某中學人工智能興趣小組研發了一套根據人臉照片識別性別的程序.在對該程序的一輪測試中，小組同學輸入了700張不同的人臉照片作為測試樣本，獲得數據如下表（單位：張）：
識別結果真實性別 可以識別 無法識別
男 女
男 180 15 5
女 20 275 5
該程序對每張照片的識別都是獨立的.
(1)現從這700張人臉照片中隨機抽取，
①若抽取一張，求識別結果正確的概率；
②若抽取一張男性照片和一張女性照片，求至少有一張照片無法被成功識別（含無法識別或識別錯誤）的概率；
(2)為處理無法識別的照片，該小組同學提出上述程序修改的三個方案：
方案一：將無法識別的照片全部判定為女性；
方案二：將無法識別的照片全部判定為男性；
方案三：將無法識別的照片隨機判定為男性或女性（即判定為男性或女性概率均為70%）.
現從若干張不同人臉照片（其中男性、女性照片數量之比為中隨機抽取一張，分別用方案一、方案二、方案三進行識別，其識別正確的概率估計值分別記為，，，試比較，，的大小.（假設用頻率估計概率，結論不要求證明）
【答案】(1)①；②；
(2).
【分析】（1）①利用全概率公式求概率；②應用獨立乘法、互斥事件加法公式求概率；
（2）分別求出方案一 方案二 方案三進行識別正確的概率，然后比較大小.
【詳解】（1）①若表示抽到男性，表示抽到女性，表示識別為男性，表示識別為女性，
由題設，，所以，，
又，，所以，，
所以抽取一張，求識別結果正確的概率；
②由，，所以，，
所以抽取一張男性照片和一張女性照片，至少有一張照片無法被成功識別的概率為.
（2）程序將男生識別正確的頻率為，識別為女生的頻率為，無法識別的頻率為，
程序將女生識別正確的頻率為，識別為男生的頻率為，無法識別的頻率為，
由頻率估計概率得
，
，
，
所以.
18．（23-24高二下·河南漯河·階段練習）為不斷改進勞動教育，進一步深化勞動教育改革，現從某單位全體員工中隨機抽取3人做問卷調查.已知某單位有N名員工，其中是男性，是女性.
(1)當時，求出3人中男性員工人數X的分布列和數學期望；
(2)我們知道，當總量N足夠大而抽出的個體足夠小時，超幾何分布近似為二項分布.現在全市范圍內考慮，從N名員工(男女比例不變)中隨機抽取3人，在超幾何分布中男性員工恰有2人的概率記作，在二項分布中，即男性員工的人數男性員工恰有2人的概率記作.那么當N至少為多少時，我們可以在誤差不超過0.001（即）的前提下認為超幾何分布近似為二項分布(參考數據:)
【答案】(1)分布列見解析，
(2)N至少為145
【分析】（1）利用超幾何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求數學期望；
（2）利用二項分布概率模型和超幾何分布概率模型即可求解.
【詳解】（1）由題意，當時，男性員工有4人，女性員工有6人，
服從超幾何分布，，
，，
，，
則的分布列為
0 1 2 3
所以數學期望為.
（2）由題意，男性員工有人，女性員工有人，
則，
，
由于，則，
即，
即，
由題意易知，
從而，
化簡得，
又，于是.
由于函數在上單調遞增，且，
從而在時單調遞增，
又，.
因此當時，符合題意，
而又考慮到和都是整數，則一定是5的整數倍，
則N至少為145時，我們可以在誤差不超過0.001（即）的前提下認為超幾何分布近似為二項分布.
19．（24-25高二上·黑龍江齊齊哈爾·期中）4月23日是聯合國教科文組織確定的“世界讀書日”．為了解某地區高一學生閱讀時間的分配情況，從該地區隨機抽取了700名高一學生進行在線調查，得到了這700名學生的日平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數據分成，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)從這700名學生中隨機抽取一人，日平均閱讀時間在內的概率；
(2)為進一步了解這700名學生數字媒體閱讀時間和紙質圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在，，三組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現從這10人中隨機抽取3人，記日平均閱讀時間在內的學生人數為X，求X的分布列和數學期望和方差；
(3)以樣本的頻率估計概率，從該地區所有高一學生中隨機抽取10名學生，用表示這10名學生中恰有k名學生日平均閱讀時間在內的概率，其中，1，2，…，10．當最大時，寫出k的值．（寫出證明）
【答案】(1)
(2)分布列見解析，，
(3)，證明見解析
【分析】（1）根據頻率分布直方圖的性質可求得，從而可得日平均閱讀時間在內的概率；
（2）求得的可能取值及對應概率，完成分布列，根據期望公式計算即可；
（3）由題意得，，則，利用組合數的性質求最大值即可．
【詳解】（1）由頻率分布直方圖得：
，
解得，，所以日平均閱讀時間在內的概率為0.20；
（2）由頻率分布直方圖得：
這700名學生中日平均閱讀時間在，，，三組內的學生人數分別為：人，人，人，
若采用分層抽樣的方法抽取了10人，
則從日平均閱讀時間在，內的學生中抽取：人，
現從這10人中隨機抽取3人，則X的可能取值為0，1，2，3，
，，，，
的分布列為：
X 0 1 2 3
P
∴數學期望，.
（3），理由如下：
由頻率分布直方圖得學生日平均閱讀時間在內的概率為0.70，
從該地區所有高一學生中隨機抽取10名學生，
恰有k名學生日平均閱讀時間在內的分布列服從二項分布，
，
由組合數的性質可得，且當時遞增，故當時最大.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第四章 概率與統計章末測試
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：170分）
注意事項：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．
2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．
第Ⅰ卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共80分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24高二下·福建福州·期中）下列敘述中，是離散型隨機變量的是（ ）
A．某電子元件的壽命
B．高速公路上某收費站在一小時內經過的車輛數
C．某人早晨在車站等出租車的時間
D．測量某零件的長度產生的測量誤差
2．（23-24高二下·安徽安慶·期中）若隨機變量X的分布列如下表所示，且，則表中a的值為（ ）
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A． B．7 C．5.61 D．6.61
3．（23-24高二下·四川遂寧·階段練習）已知隨機變量服從兩點分布，且，設，那么的值是（ ）
A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.3
4．（23-24高二下·福建寧德·階段練習）已知變量和的統計數據如下表：
6 8 10 12
2 3 5 6
根據上表可得回歸直線方程，據此可以預測當時，（ ）
A．7.8 B．6.5 C．9.6 D．8.2
5．（23-24高二下·浙江·期中）從7男3女共10名學生干部中隨機選出5名學生干部，抽到的女生人數的均值為（ ）
A． B． C． D．2
6．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，一個質點從原點0出發，每隔一秒隨機等可能地向左或向右移動一個單位，共移動4次，在質點第一秒位于1的位置的條件下，該質點共經過兩次2的位置的概率為（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高二上·內蒙古赤峰·階段練習）今有水平相當的棋手甲和棋手乙進行某項圍棋比賽，勝者可獲得48000元獎金.比賽規定下滿五局，五局中獲勝局數多者贏得比賽，比賽無平局，若比賽已進行三局，甲兩勝一負，由于突發因素無法進行后面比賽，如何分配獎金最合理？（ ）
A．甲24000元，乙24000元 B．甲32000元，乙18000元
C．甲40000元，乙8000元 D．甲38000元，乙12000元
8．（24-25高二上·四川眉山·階段練習）某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時他也在家而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把去辦公室，如果一天下班時他也在辦公室而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不帶雨傘.假設每天上班和下班時下雨的概率均為，不下雨的概率均為，且與過去情況相互獨立.現在兩把雨傘均在家里，那么連續上班兩天，他至少有一天淋雨的概率為（ ）
A． B． C． D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．（24-25高二上·黑龍江·期中）有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取一個球.事件“第一次取出的球的數字是1”，事件“第二次取出的球的數字是2”，事件“兩次取出的球的數字之和是8”，事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則（ ）
A．與互斥 B．與互斥 C．與相互獨立 D．與相互獨立
10．（24-25高二下·全國·課后作業）（多選）假設某廠有兩條包裝食鹽的生產線甲、乙，生產線甲正常情況下生產出來的包裝食鹽質量服從正態分布（單位：g），生產線乙正常情況下生產出來的包裝食鹽質量為，隨機變量x的概率分布密度函數為，其中，則（ ）
附：隨機變量，則，.
A．正常情況下，從生產線甲任意抽取一包食鹽，質量小于的概率為0.135%
B．生產線乙的食鹽質量
C．曲線的峰值為
D．生產線甲上的檢測員某天隨機抽取兩包食鹽，稱得其質量均大于，于是判斷出該生產線出現異常，該判斷是合理的
11．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）某計算機程序每運行一次都隨機出現一個十位二進制數（例如若，則），已知出現“0”的概率為，出現“1”的概率為，記，則當程序運行一次時（ ）
A．X服從二項分布 B．
C． D．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（23-24高二下·四川眉山·期末）以曲線擬合一組數據時，經代換后的線性回歸方程為，則 ．
13．（23-24高二下·天津和平·期中）甲從裝有除顏色外都相同的3個黑球和m個白球的布袋中隨機摸取一球，有放回的摸取3次，記摸出黑球的個數為X，若，則 ．
14．（24-25高二上·湖北十堰·階段練習）假定某工廠甲、乙、丙個車間生產同一種螺釘，產量依次占全廠的、、，如果各車間的次品率依次為、、.現在從待出廠產品中檢查出個次品，則它是由甲車間生產的概率是 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（24-25高二上·四川眉山·期中）隨著互聯網的高速發展和新媒體形式的不斷豐富，微短劇作為一種新興的文化載體，正逐漸成為拓展文化消費空間的重要途徑.某媒體為了了解微短劇消費者的年齡分布，隨機調查了200名消費者，得到如下列聯表：
年齡不超過40歲 年齡超過40歲 合計
是微短劇消費者 30 45
不是微短劇消費者
合計 100 200
(1)根據小概率值的獨立性檢驗，能否認為“是微短劇消費者”與“年齡不超過40歲”有關聯？
(2)記2020~2024年的年份代碼x依次為1，2，3，4，5，下表為2020~2023年中國微短劇市場規模及2024年中國微短劇預測的市場規模y（單位：億元）與x的統計數據：
年份代碼x 1 2 3 4 5
市場規模y 9.4 36.8 101.7 373.9 m
根據上表數據求得y關于x的經驗回歸方程為，求相關系數r，并判斷該經驗回歸方程是否有價值.
參考公式：，其中，.
，相關系數..
若，則認為經驗回歸方程有價值.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．（24-25高三上·重慶·期中）某工廠生產一批機器零件，現隨機抽取100件對某一項性能指標進行檢測，得到一組數據，如下表：
性能指標X 66 77 80 88 96
產品件數 10 20 48 19 3
(1)求該項性能指標的樣本平均數的值．若這批零件的該項指標近似服從正態分布其中近似為樣本平均數的值，，試求的值．
(2)若此工廠有甲、乙兩臺機床加工這種機器零件，且甲機床的生產效率是乙機床的生產效率的2倍，甲機床生產的零件的次品率為0.02，乙機床生產的零件的次品率為0.01，現從這批零件中隨機抽取一件．
①求這件零件是次品的概率：
②若檢測出這件零件是次品，求這件零件是甲機床生產的概率；
③若從這批機器零件中隨機抽取300件，零件是否為次品與該項性能指標相互獨立，記抽出的零件是次品，且該項性能指標恰好在內的零件個數為，求隨機變量的數學期望（精確到整數）．
參考數據：若隨機變量服從正態分布則，
17．（24-25高二上·北京·期中）圖像識別是人工智能領域的一個重要研究方向.某中學人工智能興趣小組研發了一套根據人臉照片識別性別的程序.在對該程序的一輪測試中，小組同學輸入了700張不同的人臉照片作為測試樣本，獲得數據如下表（單位：張）：
識別結果真實性別 可以識別 無法識別
男 女
男 180 15 5
女 20 275 5
該程序對每張照片的識別都是獨立的.
(1)現從這700張人臉照片中隨機抽取，
①若抽取一張，求識別結果正確的概率；
②若抽取一張男性照片和一張女性照片，求至少有一張照片無法被成功識別（含無法識別或識別錯誤）的概率；
(2)為處理無法識別的照片，該小組同學提出上述程序修改的三個方案：
方案一：將無法識別的照片全部判定為女性；
方案二：將無法識別的照片全部判定為男性；
方案三：將無法識別的照片隨機判定為男性或女性（即判定為男性或女性概率均為70%）.
現從若干張不同人臉照片（其中男性、女性照片數量之比為中隨機抽取一張，分別用方案一、方案二、方案三進行識別，其識別正確的概率估計值分別記為，，，試比較，，的大小.（假設用頻率估計概率，結論不要求證明）
18．（23-24高二下·河南漯河·階段練習）為不斷改進勞動教育，進一步深化勞動教育改革，現從某單位全體員工中隨機抽取3人做問卷調查.已知某單位有N名員工，其中是男性，是女性.
(1)當時，求出3人中男性員工人數X的分布列和數學期望；
(2)我們知道，當總量N足夠大而抽出的個體足夠小時，超幾何分布近似為二項分布.現在全市范圍內考慮，從N名員工(男女比例不變)中隨機抽取3人，在超幾何分布中男性員工恰有2人的概率記作，在二項分布中，即男性員工的人數男性員工恰有2人的概率記作.那么當N至少為多少時，我們可以在誤差不超過0.001（即）的前提下認為超幾何分布近似為二項分布(參考數據:)
19．（24-25高二上·黑龍江齊齊哈爾·期中）4月23日是聯合國教科文組織確定的“世界讀書日”．為了解某地區高一學生閱讀時間的分配情況，從該地區隨機抽取了700名高一學生進行在線調查，得到了這700名學生的日平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數據分成，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)從這700名學生中隨機抽取一人，日平均閱讀時間在內的概率；
(2)為進一步了解這700名學生數字媒體閱讀時間和紙質圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在，，三組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現從這10人中隨機抽取3人，記日平均閱讀時間在內的學生人數為X，求X的分布列和數學期望和方差；
(3)以樣本的頻率估計概率，從該地區所有高一學生中隨機抽取10名學生，用表示這10名學生中恰有k名學生日平均閱讀時間在內的概率，其中，1，2，…，10．當最大時，寫出k的值．（寫出證明）
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