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第四章 概率與統(tǒng)計 章末題型大總結(jié)
題型01條件概率、乘法公式及全概率公式
【典例1】 （24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）秋冬季節(jié)是某呼吸道疾病的高發(fā)期，為了解該疾病的發(fā)病情況，疾控部門對該地區(qū)居民進行普查化驗，化驗結(jié)果陽性率為，但統(tǒng)計分析結(jié)果顯示患病率為，醫(yī)學研究表明化驗結(jié)果是有可能存在誤差的，沒有患該疾病的居民其化驗結(jié)果呈陽性的概率為，則該地區(qū)患有該疾病的居民化驗結(jié)果呈陽性的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】 （24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，一個質(zhì)點從原點0出發(fā)，每隔一秒隨機等可能地向左或向右移動一個單位，共移動4次，在質(zhì)點第一秒位于1的位置的條件下，該質(zhì)點共經(jīng)過兩次2的位置的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】 （23-24高二下·浙江寧波·期中）已知甲、乙兩個袋子各裝有10個球，其中甲袋子中裝有4個黑球、3個白球和3個紅球，乙袋子中裝有3個黑球、2個白球和5個紅球.規(guī)定拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若正面朝上，則從甲袋子中隨機摸出一個球：若反面朝上，則從乙袋子中隨機換出一個球，下列概率中等于的為（ ）
A．摸到黑球 B．摸到紅球
C．在拋出的硬幣正面朝上的條件下，摸到白球 D．在拋出的硬幣反面朝上的條件下，摸到紅球
【變式3】 （23-24高二下·重慶九龍坡·期中）在某次流感疫情爆發(fā)期間，A，B，C三個地區(qū)均爆發(fā)了流感，經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計A，B，C地區(qū)分別有的人患過流感，且A，B，C三個地區(qū)的人數(shù)的比為．現(xiàn)從這三個地區(qū)中隨機選取一人，則此人患過流感的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式4】（23-24高二下·內(nèi)蒙古通遼·階段練習）某廠生產(chǎn)螺口燈泡和卡口燈泡兩種燈泡，其中螺口燈泡的產(chǎn)量占70%，螺口燈泡的合格率是95%，卡口燈泡的合格率是85%.現(xiàn)隨機取一只燈泡，發(fā)現(xiàn)是合格的，這只燈泡是螺口燈泡的概率約為（ ）
A．0.665 B．0.723 C．0.7 D．0.737
題型02相互獨立事件的概率、獨立重復試驗的概率
【典例1】 （24-25高二上·四川眉山·階段練習）某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時他也在家而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把去辦公室，如果一天下班時他也在辦公室而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不帶雨傘.假設每天上班和下班時下雨的概率均為，不下雨的概率均為，且與過去情況相互獨立.現(xiàn)在兩把雨傘均在家里，那么連續(xù)上班兩天，他至少有一天淋雨的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（24-25高二上·廣東佛山·階段練習）投籃測試中，每人投2次，至少投中1次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為（ ）
A．0.24 B．0.48 C．0.84 D．0.94
【變式2】 （24-25高二上·湖北鄂州·期中）“五道方”是一種民間棋類游戲，甲，乙兩人進行“五道方”比賽，約定連勝兩場者贏得比賽.若每場比賽，甲勝的概率為，乙勝的概率為，則比賽6場后甲贏得比賽的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式3】 （24-25高二上·湖北武漢·期中）概率論起源于博弈游戲17世紀，曾有一個“賭金分配”的問題：博弈水平相當?shù)募住⒁覂扇诉M行博弈游戲，每局比賽都能分出勝負，沒有平局．雙方約定：各出賭金210枚金幣，先贏3局者可獲得全部贖金．但比賽中途因故終止了，此時甲贏了2局，乙贏了1局，問這420枚金幣的賭金該如何分配？數(shù)學家費馬和帕斯卡都用了現(xiàn)在稱之為“概率”的知識，合理地給出了賭金分配方案．該分配方案是（ ）
A．甲315枚，乙105枚 B．甲280枚，乙140枚
C．甲210枚，乙210枚 D．甲336枚，乙84枚
【變式4】（23-24高二下·貴州·期中）高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘，并且每一-排鐵釘數(shù)目都比上一排多一個，一排中各個鐵釘恰好對準上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒耄畯娜肟谔幏湃胍粋€直徑略小于兩顆鐵釘間隔的小球，當小球從兩釘之間的間隙下落時，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過兩鐵釘?shù)拈g隙，又碰到下一排鐵釘如此繼續(xù)下去，在最底層的5個出口處各放置一個容器接住小球．理論上，小球落入2號容器的概率是多少（ ）
A． B． C． D．
題型03隨機變量分布列及性質(zhì)
【典例1】 （23-24高二下·廣西玉林·期末）隨機變量Y的分布列為下表所示，若Y的期望值為1，則：（ ）
0 2
A． B．
C． D．
【變式1】 （23-24高二下·遼寧沈陽·期中）隨機變量的分布列如下（為常數(shù)）：
0 1 2
0.3
則（ ）
A．0.6 B．0.7 C．0.9 D．1.2
【變式2】 （23-24高二下·河北滄州·期末）設隨機變量的分布列，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（23-24高二下·福建莆田·期末）隨機變量服從兩點分布，其分布列如下
則（ ）
A． B． C． D．或
題型04隨機變量的期望與方差
【典例1】 （24-25高二上·湖南岳陽·期中）不透明的盒中有四個除所標數(shù)字外均相同的球，它們分別標有數(shù)字，，，，現(xiàn)從中隨機取個球．
(1)求取到個標有數(shù)字的球的概率；
(2)設為取出的個球上的數(shù)字之和，求的分布列和數(shù)學期望．
【變式1】 （23-24高二下·青海·期末）已知一組數(shù)據(jù)1，2，2，5，5，6的第80百分位數(shù)為，隨機變量X的分布列為
2 m 14
0.3 0.6 0.1
（ ）
A．5 B．6 C．9.8 D．10.8
【變式2】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）高考數(shù)學試題第二部分為多選題，共個小題，每小題有個選項，其中有個或個是正確選項，全部選對得分，部分選對得部分分，有選錯的得分.若正確答案是個選項，只選對個得分，有選錯的得分；若正確答案是個選項，只選對個得分，只選對個得分，有選錯的得分.小明對其中的一道題完全不會，該題有兩個正確選項的概率是，記為小明隨機選擇個選項的得分，記為小明隨機選擇個選項的得分，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）某志愿者社團計劃在周一和周二兩天各舉行一次活動，分別由甲、乙兩人負責活動通知，已知該社團共有n位同學，每次活動均需k位同學參加.假設甲和乙分別將各自活動通知的信息獨立、隨機地發(fā)給該社團k位同學，且所發(fā)信息都能收到.
(1)當，時，求該社團只有小明同學同時收到甲、乙兩人所發(fā)活動通知信息的概率；
(2)記至少收到一個活動通知信息的同學人數(shù)為X
①設，，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；
②求使取得最大值的整數(shù)m.
題型05期望與方差的性質(zhì)
【典例1】 （23-24高二下·四川遂寧·階段練習）設離散型隨機變量的分布列為
0 1 2 3 4
0.1 0.4 0.2 0.2
若離散型隨機變量滿足，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A． B．，
C．， D．，
【變式1】 （23-24高二下·新疆·期中）已知，，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】 （23-24高二下·新疆·期中）已知隨機變量的概率分布如表則（ ）
1 2 4
A．1 B． C．11 D．15
【變式3】 （24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）（多選）某中學組織了足球射門比賽．規(guī)定每名同學有5次射門機會，踢進一球得8分，沒踢進得分．小明參加比賽且沒有放棄任何一次射門機會，每次踢進的概率為，每次射門相互獨立．記X為小明的得分總和，為小明踢進球的次數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4】（2024高二·全國·專題練習）（多選）如圖，一個質(zhì)點在隨機外力的作用下，從原點出發(fā)，每隔等可能地向左或向右移動一個單位.設移動次后質(zhì)點位于位置，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．移動次后質(zhì)點位于原點的概率最大
題型06兩點分布
【典例1】 已知隨機變量服從兩點分布，且，設，那么（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
【變式1】已知隨機變量服從兩點分布，且.設，那么等于（ ）
A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4
【變式2】 已知離散型隨機變量的分布列服從兩點分布，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3】隨機變量服從兩點分布，且，令，則（ ）
A． B． C． D．
題型07二項分布
【典例1】（23-24高二下·山東泰安·期末）若隨機變量X服從二項分布，；隨機變量Y服從二項分布，且，則下列結(jié)果正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】 【變式4】（23-24高二下·河南商丘·期末）設隨機變量，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24高二下·吉林白山·期末）已知隨機變量，當且僅當時，取得最大值，則（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【變式3】 （23-24高二下·北京海淀·期末）小明投籃3次，每次投中的概率為，且每次投籃互不影響，若投中一次得2分，沒投中得0分，總得分為，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4】（23-24高二下·四川綿陽·期末）某市政道路兩旁需要進行綠化，計劃從甲，乙，丙三種樹木中選擇一種進行栽種，通過民意調(diào)查顯示，贊成栽種乙樹木的概率為，若從該地市民中隨機選取4人進行訪談，則至少有3人建議栽種乙樹木的概率為（ ）
A． B． C． D．
題型08超幾何分布
【典例1】 （23-24高二下·江蘇南通·階段練習）廠家生產(chǎn)一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量指標服從正態(tài)分布，其中不低于85的為合格品．已知合格率為80%，廠家將合格品按100件一箱包裝出廠．某經(jīng)銷商購進一批該產(chǎn)品分等級銷售，質(zhì)量指標高于95的貼“一等品”標簽，其余貼“二等品”標簽，每件“二等品”的利潤是12元．
(1)經(jīng)銷商在購進的產(chǎn)品中任取一件，求該產(chǎn)品是“一等品”的概率；
(2)從一箱產(chǎn)品中任取3件，需要貼“一等品”標簽的個數(shù)為X，求X的分布列；
(3)已知一箱產(chǎn)品利潤的期望是1800元，求每件“一等品”的利潤．
【變式1】 （23-24高二下·江蘇揚州·階段練習）已知甲參加青年志愿者的選拔，選拔以現(xiàn)場答題的方式進行．已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6道題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3道題進行測試，設甲答對的試題數(shù)為X，則的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】 （23-24高二下·山東青島·期中）數(shù)學老師從6道題中隨機抽3道讓同學檢測，規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格．某同學只能正確求解其中的4道題，則該同學能及格的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式3】 （23-24高二下·新疆省直轄縣級單位·階段練習）一個班級共有30名學生，其中有10名女生，現(xiàn)從中任選三人代表班級參加學校開展的某項活動，假設選出的3名代表中的女生人數(shù)為變量，男生的人數(shù)為變量，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【變式4】（23-24高二下·云南保山·階段練習）為深入學習貫徹黨的二十大精神，推動全市黨員干部群眾用好“學習強國”學習平臺，某單位組織“學習強國”知識競賽，競賽共有10道題目，隨機抽取3道讓參賽者回答，規(guī)定參賽者至少要答對其中2道才能通過初試.已知某參賽黨員甲只能答對其中的6道，那么黨員甲抽到能答對題目數(shù)的數(shù)學期望為 .
題型09正態(tài)分布
【典例1】 （23-24高二下·四川德陽·期末）為弘揚我國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，某市教育局對全市所有中小學生進行了“成語”聽寫測試，經(jīng)過大數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)本次聽寫測試成績服從正態(tài)分布．試根據(jù)正態(tài)分布的相關(guān)知識估計測試成績不小于90的學生所占的百分比為（ ）
參考數(shù)據(jù)：若，則，，．
A． B． C． D．
【變式1】 （23-24高二下·河南安陽·期中）某次高三統(tǒng)考共有12000名學生參加，若本次考試的數(shù)學成績服從正態(tài)分布，已知數(shù)學成績在70分到130分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次考試中數(shù)學成績不低于130分的學生人數(shù)約為（ ）
A．2400 B．1200 C．1000 D．800
【變式2】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知隨機變量服從正態(tài)分布，則（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【變式3】 （23-24高二下·上海金山·期末）已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則實數(shù)的取值范圍是 ．
題型10一元線性回歸方程
【典例1】 市場監(jiān)管部門對某線下某實體店2023年前兩季度的月利潤情況進行調(diào)查統(tǒng)計，得到的數(shù)據(jù)如下：
月份x 1 2 3 4 5 6
凈利潤y（萬元） 1.0 1.4 1.7 2.0 2.2 2.4
(1)是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系？請用相關(guān)系數(shù)r加以說明；（參考：若時，則線性相關(guān)程度較高，，則線性相關(guān)程度一般，計算時精確度為0.01）
(2)利用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸方程；用樣本估計總體，請預估第9月份的利潤.
附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率
，.相關(guān)系數(shù).
參考數(shù)據(jù)：，，，，，.
【變式1】 （24-25高二上·河南南陽·階段練習）某產(chǎn)品的廣告費用與銷售額的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：
廣告費用/萬元 4 2 3 5
銷售額/萬元 49 26 39 54
根據(jù)上表可得線性回歸方程 中的為9.4，據(jù)此模型預測廣告費用為6萬元時銷售額為（ ）
A．9.1萬元 B．9.2萬元
C．67.7萬元 D．65.5萬元
【變式2】 （23-24高二下·河北·階段練習）由于人們健康意識的提升，運動愛好者人群不斷擴大，運動相關(guān)行業(yè)得到快速發(fā)展.某運動品牌專賣店從2019年至2023年的年銷售額如下表：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份編號 1 2 3 4 5
年銷售額/萬元 30 35 45 80 80
(1)請根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求與的經(jīng)驗回歸方程，并預測2024年該店的年銷售額.
(2)該專賣店為了回饋廣大消費者，推出了消費抽獎返現(xiàn)活動，規(guī)則如下：凡一次性消費滿700元可抽獎1次，滿1000元可抽獎2次.其中一次抽獎返現(xiàn)金額及概率如下表：
返現(xiàn)金額 70 100
概率
已知一位消費者一次性消費滿700元的概率為，滿1000元的概率為，求這位消費者抽獎返現(xiàn)金額的分布列與期望.
附：經(jīng)驗回歸方程中，.
【變式3】 （23-24高二下·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習）某品牌電腦專賣店的年銷售量與該年廣告費用有關(guān)，如表收集了4組觀測數(shù)據(jù)：
（萬元） 1 4 5 6
（百臺） 30 40 80 70
以廣告費用為解釋變量，銷售量為預報變量對這兩個變量進行統(tǒng)計分析．
(1)已知這兩個變量呈線性相關(guān)關(guān)系，試建立與之間的回歸方程；
(2)假如2017年該專賣店廣告費用支出計劃為10萬元，根據(jù)你得到的模型，預測這一年的銷售量．
參考公式：，．
題型11非線性回歸方程
【典例1】 數(shù)獨是源自18世紀瑞士的一種數(shù)學游戲，玩家需要根據(jù)盤面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行、每一列、每一個粗線宮（）內(nèi)的數(shù)字均含1～9，且不重復．數(shù)獨愛好者小明打算報名參加“絲路杯”全國數(shù)獨大賽初級組的比賽．
參考數(shù)據(jù)：
1770 0.37 0.55
參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，， ，，其經(jīng)驗回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．
(1)賽前小明進行了一段時間的訓練，每天解題的平均速度y（秒/題）與訓練天數(shù)x（天）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù)：
x（天） 1 2 3 4 5 6 7
y（秒/題） 910 800 800 440 300 240 210
現(xiàn)用作為回歸方程模型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程；（用分數(shù)表示）
(2)小明和小紅玩“對戰(zhàn)賽”，每局兩人同時開始解一道數(shù)獨題，先解出題的人獲勝，不存在平局，兩人約定先勝3局者贏得比賽．若小明每局獲勝的概率為，且各局之間相互獨立，設比賽X局后結(jié)束，求隨機變量X的分布列及均值．
【變式1】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）某學校為了解校慶期間不同時段的校門人流量，從上午8點開始第一次反饋校門人流量，以后每過2小時反饋一次，共統(tǒng)計了前3次的數(shù)據(jù)，其中，2，3，為第i次人流量數(shù)據(jù)（單位：千人），由此得到y(tǒng)關(guān)于i的回歸方程.已知，根據(jù)回歸方程，可預測下午2點時校門人流量為（ ）千人.
參考數(shù)據(jù)：
A．9.6 B．10.8 C．12 D．13.2
【變式2】（23-24高二下·河南南陽·期中）某研發(fā)團隊實現(xiàn)了從單點光譜儀到超光譜成像芯片的跨越.為制定下一年的研發(fā)投入計劃，該研發(fā)團隊需要了解年研發(fā)資金投入量（單位：億元）對年銷售額（單位：億元）的影響.結(jié)合近12年的年研發(fā)資金投入量和年銷售額，該團隊建立了兩個函數(shù)模型：①，②，其中均為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).經(jīng)對歷史數(shù)據(jù)的初步處理，得到散點圖如圖.令，計算得到如下數(shù)據(jù).

20 66 770 200 14
480 4.20 3127000 0.308 21700
(1)設變量和變量的樣本相關(guān)系數(shù)為，變量和變量的樣本相關(guān)系數(shù)為，請從樣本相關(guān)系數(shù)的角度，選擇一個與相關(guān)性較強的模型.
(2)（i）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；
（ii）若下一年銷售額需達到80億元，預測下一年的研發(fā)資金投入量.
附：；樣本相關(guān)系數(shù)；經(jīng)驗回歸方程，其中.
【變式3】（23-24高二下·寧夏銀川·階段練習）紅蜘蛛是柚子的主要害蟲之一，能對柚子樹造成嚴重傷害，每只紅蜘蛛的平均產(chǎn)卵數(shù)（個）和平均溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.
參考數(shù)據(jù)
17713 714 27 81.3
(1)根據(jù)散點圖判斷，與（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適合作為平均產(chǎn)卵數(shù)（個）關(guān)于平均溫度（）的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
(2)由（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程.（計算結(jié)果精確到0.1）
附：回歸方程中
題型12獨立性檢驗
【典例1】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）隨著冬天的臨近，哈爾濱這座冰雪之城，將再次成為旅游的熱門目的地.為更好地提升旅游品質(zhì)，我市文旅局隨機選擇名青年游客對哈爾濱出行體驗進行滿意度評分（滿分分），分及以上為良好等級，根據(jù)評分，制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求x的值并估計該評分的上四分位數(shù)；
(2)若采用按比例分層抽樣的方法從評分在，的兩組中共抽取6人，再從這6人中隨機抽取3人進行單獨交流，求選取的4人中評分等級為良好的人數(shù)X的分布列和數(shù)學期望；
(3)為進一步了解不同年齡段游客對哈爾濱出行體驗的反饋，我市文旅局再次隨機選擇100名中老年游客進行滿意度評分，發(fā)現(xiàn)兩次調(diào)查中評分為良好等級的人數(shù)為120名.請根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析游客的評分等級是否良好與年齡段（青年或中老年）是否有關(guān).
附：，
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
【變式1】 （23-24高二下·天津濱海新·期末）現(xiàn)在，很多人都喜歡騎“共享單車”，但也有很多市民并不認可．為了調(diào)查人們對這種交通方式的認可度，某同學從交通擁堵嚴重的A城市和交通擁堵不嚴重的B城市分別隨機調(diào)查了20名市民，得到了一個市民是否認可的樣本，具體數(shù)據(jù)如下列聯(lián)表：
A B 總計
認可 15 8 23
不認可 5 12 17
總計 20 20 40
0.10 0.05 0.025 0.01 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
附：．
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，下列說法中，正確的是（ ）
A．沒有95%以上的把握認為“是否認可與城市的擁堵情況有關(guān)”
B．有97.5%以上的把握認為“是否認可與城市的擁堵情況有關(guān)”
C．可以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“是否認可與城市的擁堵情況有關(guān)”
D．可以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“是否認可與城市的擁堵情況有關(guān)”
【變式2】 （23-24高二下·河北·階段練習）（多選）根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到.已知，依據(jù)0.01的獨立性檢驗，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則變量與不獨立
B．若，則變量與獨立
C．若，則變量與獨立
D．若，則變量與不獨立
【變式3】 （23-24高二下·廣東中山·期末）某市舉行了首屆閱讀大會，為調(diào)查市民對閱讀大會的滿意度，相關(guān)部門隨機抽取男女市民各名，每位市民對大會給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：
滿意 不滿意
男市民
女市民
當，時，若在的情況下，我們沒有充分的證據(jù)推斷男、女市民對大會的評價有差異，則的最小值為 ．
附：，其中．
【變式4】（23-24高二下·安徽安慶·期中）隨著全民運動健康意識的提高，馬拉松運動在全國各大城市逐漸興起，參與馬拉松訓練與比賽的人數(shù)逐年增加，為此某市對人們參加馬拉松運動的情況進行了統(tǒng)計調(diào)查，其中一項調(diào)查是調(diào)查人員從參與馬拉松運動的人中隨機抽取200人，對其每周參與馬拉松長跑訓練的天數(shù)進行統(tǒng)計，得到以下統(tǒng)計表：
平均每周進行長跑訓練天數(shù) 不大于2天 3天或4天 不少于5天
人數(shù) 30 130 40
若某人平均每周進行長跑訓練天數(shù)不少于5天，則稱其為“熱烈參與者”，否則稱為“非熱烈參與者”．
附：（為樣本容量）
a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(1)經(jīng)調(diào)查，該市約有3萬人參與馬拉松運動，估計其中“熱烈參與者”的人數(shù)；
(2)根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，填寫下列：列聯(lián)表，并通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為“熱烈參與馬拉松”與性別有關(guān)？
性別 熱烈參與者 非熱烈參與者 合計
男 140
女 55
合計
題型13概率統(tǒng)計的綜合問題
【典例1】（24-25高二上·黑龍江齊齊哈爾·期中）4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”．為了解某地區(qū)高一學生閱讀時間的分配情況，從該地區(qū)隨機抽取了700名高一學生進行在線調(diào)查，得到了這700名學生的日平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)從這700名學生中隨機抽取一人，日平均閱讀時間在內(nèi)的概率；
(2)為進一步了解這700名學生數(shù)字媒體閱讀時間和紙質(zhì)圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在，，三組內(nèi)的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人，記日平均閱讀時間在內(nèi)的學生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望和方差；
(3)以樣本的頻率估計概率，從該地區(qū)所有高一學生中隨機抽取10名學生，用表示這10名學生中恰有k名學生日平均閱讀時間在內(nèi)的概率，其中，1，2，…，10．當最大時，寫出k的值．（寫出證明）
【變式1】 （23-24高二下·江西南昌·階段練習）某中學舉辦學生體育技能測試，共有兩輪測試，第一輪是籃球定點投籃測試，每位學生投兩次籃，每次投籃若投中得2分，沒投中得0分；第二輪是四個人踢毽子，互相傳遞測試．
(1)已知某位學生定點投籃投中的概率為，求該學生在第一輪得分的分布列和數(shù)學期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四個人參加第二輪踢毽子互相傳遞測試，第一次由甲踢出，每次傳遞時，踢出者都等可能將毽子踢給另外三個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳遞都能被接到.記第n次甲踢到毽子的概率為，則．
①證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
②比較第k次與第次踢到毽子者是甲的可能性大小．
【變式2】（23-24高二下·北京海淀·期末）為了調(diào)研某地區(qū)學生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項活動的參與情況，在該地區(qū)隨機選取了10所學校進行研究，得到如下數(shù)據(jù)：
(1)從這10所學校中隨機選取1所，已知這所學校參與“自由式滑雪”人數(shù)超過40人，求該校參與“單板滑雪”超過30人的概率；
(2)已知參與“自由式滑雪”人數(shù)超過40人的學校評定為“基地學校”.現(xiàn)在從這10所學校中隨機選取2所，設“基地學校”的個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；
(3)現(xiàn)在有一個“單板滑雪”集訓營，對“滑行、轉(zhuǎn)彎、停止”這3個動作技巧進行集訓，并專門對這3個動作進行了多輪測試.規(guī)定：在一輪測試中，這3個動作中至少有2個動作達到“優(yōu)秀”，則該輪測試記為“優(yōu)秀”.在此集訓測試中，李華同學3個動作中每個動作達到“優(yōu)秀”的概率均為，每個動作互不影響，每輪測試也互不影響.如果李華同學在集訓測試中想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)的均值達到5次，那么至少要進行多少輪測試？（結(jié)果不要求證明）
【變式3】（23-24高二下·浙江寧波·期中）2023年11月，寧波市余姚河姆渡遺址迎來發(fā)掘五十周年，為引導青少年了解河姆渡文化，某校組織全體學生參加河姆渡歷史文化知識競賽，現(xiàn)從中抽取100名學生的成績組成樣本，并將得分分成以下6組：，，，，，，統(tǒng)計結(jié)果如圖所示．
(1)試估計這100名學生的眾數(shù)和中位數(shù)（保留一位小數(shù)）；
(2)從樣本中得分不低于70分的學生中，用分層抽樣的方法選取11人進行座談，若從座談名單中隨機抽取3人，記得分在的人數(shù)為X，試求X的分布列和均值：
(3)以樣本估計總體，根據(jù)頻率分布直方圖，可以認為參加知識競賽的學生得分X近似服從正態(tài)分布，經(jīng)計算．若，參賽學生可獲得“參賽紀念證書”：若，參賽學生可獲得“參賽先鋒證書”．已知該校共800名學生參加本次文化競賽活動，試估計獲得“參賽紀念證書”的學生人數(shù)，并判斷競賽成績?yōu)?0分的學生能否獲得“參賽先鋒證書”．
附：若，則，，；
【變式4】（23-24高二下·重慶九龍坡·期中）某健身館為預估2024年2月份客戶投入的健身消費金額，隨機抽樣統(tǒng)計了2024年1月份100名客戶的消費金額，分組如下：，，，…，（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖：
(1)若消費金額不少于800元的客戶稱為健身衛(wèi)士，不少于1000元的客戶稱為健身達人，現(xiàn)利用分層隨機抽樣的方法從健身衛(wèi)士中抽取6人，再從這6人中抽取2人做進一步調(diào)查，求抽到的2人中至少1人為健身達人的概率；
(2)為吸引顧客，在健身項目之外，該健身館特推出健身配套營養(yǎng)品的銷售，現(xiàn)有兩種促銷方案.
方案一：每滿800元可立減100元；
方案二：金額超過800元可抽獎三次，每次中獎的概率為，且每次抽獎互不影響，中獎1次打9折，中獎2次打8折，中獎3次打7折.
若某人打算購買1000元的營養(yǎng)品，請您幫他分析應該選擇哪種促銷方案.
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第四章 概率與統(tǒng)計 章末題型大總結(jié)
題型01條件概率、乘法公式及全概率公式
【典例1】 （24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）秋冬季節(jié)是某呼吸道疾病的高發(fā)期，為了解該疾病的發(fā)病情況，疾控部門對該地區(qū)居民進行普查化驗，化驗結(jié)果陽性率為，但統(tǒng)計分析結(jié)果顯示患病率為，醫(yī)學研究表明化驗結(jié)果是有可能存在誤差的，沒有患該疾病的居民其化驗結(jié)果呈陽性的概率為，則該地區(qū)患有該疾病的居民化驗結(jié)果呈陽性的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，由全概率公式和條件概率公式計算即得.
【詳解】設事件為“患有此病”，為“化驗結(jié)果呈陽性”，
由題意，，
則該地區(qū)患有該疾病的居民化驗結(jié)果呈陽性的概率為.
由全概率公式，，
代入數(shù)值可得：
解得：
.
【變式1】 （24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，一個質(zhì)點從原點0出發(fā)，每隔一秒隨機等可能地向左或向右移動一個單位，共移動4次，在質(zhì)點第一秒位于1的位置的條件下，該質(zhì)點共經(jīng)過兩次2的位置的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合條件概率與獨立事件的乘法公式，即可求解．
【詳解】質(zhì)點移動4次，共有種情況，
設質(zhì)點第一秒位于1的位置為事件為，則，
記質(zhì)點兩次經(jīng)過質(zhì)點2為事件，若第一步位于1，則還有3步，想要經(jīng)過質(zhì)點2兩次，
則有，兩種情況，
所以，
則．
．
【變式2】 （23-24高二下·浙江寧波·期中）已知甲、乙兩個袋子各裝有10個球，其中甲袋子中裝有4個黑球、3個白球和3個紅球，乙袋子中裝有3個黑球、2個白球和5個紅球.規(guī)定拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若正面朝上，則從甲袋子中隨機摸出一個球：若反面朝上，則從乙袋子中隨機換出一個球，下列概率中等于的為（ ）
A．摸到黑球 B．摸到紅球
C．在拋出的硬幣正面朝上的條件下，摸到白球 D．在拋出的硬幣反面朝上的條件下，摸到紅球
【答案】C
【分析】對于AB，由全概率公式即可直接計算選項A中摸到黑球的概率和選項B中摸到紅球的概率，進而即可判斷AB；對于CD，由條件概率定義即可直接得選項C和D相應的概率，進而即可判斷CD.
【詳解】對于A，由全概率公式得摸到黑球的概率為，故A錯誤；
對于B，由全概率公式得摸到紅球的概率為，故B正確；
對于C，在拋出的硬幣正面朝上的條件下，摸到白球的概率為，故C錯誤；
對于D，在拋出的硬幣反面朝上的條件下，摸到紅球，故D錯誤.
.
【變式3】 （23-24高二下·重慶九龍坡·期中）在某次流感疫情爆發(fā)期間，A，B，C三個地區(qū)均爆發(fā)了流感，經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計A，B，C地區(qū)分別有的人患過流感，且A，B，C三個地區(qū)的人數(shù)的比為．現(xiàn)從這三個地區(qū)中隨機選取一人，則此人患過流感的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】記事件D：選取的這個人患了流感，記事件E：此人來自A地區(qū)，記事件F：此人來自B地區(qū)，記事件G：此人來自C地區(qū)，則，且彼此互斥，然后根據(jù)條件依次得到、、、、、的值，然后根據(jù)全概率公式公式求解即可.
【詳解】記事件D：選取的這個人患了流感，記事件E：此人來自A地區(qū)，
記事件F：此人來自B地區(qū)，記事件G：此人來自C地區(qū)，
則，且彼此互斥，
由題意可得，，，
，，，
由全概率公式可得
.
.
【變式4】（23-24高二下·內(nèi)蒙古通遼·階段練習）某廠生產(chǎn)螺口燈泡和卡口燈泡兩種燈泡，其中螺口燈泡的產(chǎn)量占70%，螺口燈泡的合格率是95%，卡口燈泡的合格率是85%.現(xiàn)隨機取一只燈泡，發(fā)現(xiàn)是合格的，這只燈泡是螺口燈泡的概率約為（ ）
A．0.665 B．0.723 C．0.7 D．0.737
【答案】C
【分析】利用全概率公式及條件概率公式計算即得.
【詳解】令事件“螺口燈泡”，“卡口燈泡”，“合格的”，
，
則，
因此，
所以隨機取一只燈泡，發(fā)現(xiàn)是合格的，這只燈泡是螺口燈泡的概率約為0.723.
題型02相互獨立事件的概率、獨立重復試驗的概率
【典例1】 （24-25高二上·四川眉山·階段練習）某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時他也在家而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把去辦公室，如果一天下班時他也在辦公室而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不帶雨傘.假設每天上班和下班時下雨的概率均為，不下雨的概率均為，且與過去情況相互獨立.現(xiàn)在兩把雨傘均在家里，那么連續(xù)上班兩天，他至少有一天淋雨的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】計算對立事件的概率，從下雨次數(shù)入手，分類討論計算兩天都不淋雨的概率，即可得至少有一天淋雨的概率.
【詳解】解：“至少有一天淋雨”的對立事件為“兩天都不淋雨”，
連續(xù)上兩天班，上班、下班的次數(shù)共有4次.
(1)4次均不下雨，概率為：；
(2)有1次下雨但不淋雨，則第一天或第二天上班時下雨，概率為：；
(3)有2次下雨但不淋雨，共3種情況：
①同一天上下班均下雨；②兩天上班時下雨，下班時不下雨；③第一天上班時下雨，下班時不下雨，第二天上班時不下雨，下班時下雨；
概率為：；
(4)有3次下雨但不被淋雨，則第一天或第二天下班時不下雨，
概率為：；
(5)4次均下雨，概率為：；
兩天都不淋雨的概率為：，
所以至少有一天淋雨的概率為：.
.
【變式1】（24-25高二上·廣東佛山·階段練習）投籃測試中，每人投2次，至少投中1次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為（ ）
A．0.24 B．0.48 C．0.84 D．0.94
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，利用對立事件及相互獨立事件的概率公式計算即得.
【詳解】依題意，該同學兩次投籃都不中的概率為，
所以該同學通過測試的概率為.
【變式2】 （24-25高二上·湖北鄂州·期中）“五道方”是一種民間棋類游戲，甲，乙兩人進行“五道方”比賽，約定連勝兩場者贏得比賽.若每場比賽，甲勝的概率為，乙勝的概率為，則比賽6場后甲贏得比賽的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用獨立事件的概率乘法公式求解.
【詳解】因為約定連勝兩場者贏得比賽，
所以比賽6場后甲贏得比賽的情況為：
第一場甲勝，第二場乙勝，第三場甲勝，第四場乙勝，第五場甲勝，第六場甲勝，
所以所求概率為.
.
【變式3】 （24-25高二上·湖北武漢·期中）概率論起源于博弈游戲17世紀，曾有一個“賭金分配”的問題：博弈水平相當?shù)募住⒁覂扇诉M行博弈游戲，每局比賽都能分出勝負，沒有平局．雙方約定：各出賭金210枚金幣，先贏3局者可獲得全部贖金．但比賽中途因故終止了，此時甲贏了2局，乙贏了1局，問這420枚金幣的賭金該如何分配？數(shù)學家費馬和帕斯卡都用了現(xiàn)在稱之為“概率”的知識，合理地給出了賭金分配方案．該分配方案是（ ）
A．甲315枚，乙105枚 B．甲280枚，乙140枚
C．甲210枚，乙210枚 D．甲336枚，乙84枚
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，求得甲乙獲勝的概率均為，且游戲最多再進行2局即可分出勝負，求得甲獲勝的概率，進而得到答案.
【詳解】由題可知，對單獨每一局游戲，甲乙獲勝的概率均為，若游戲繼續(xù)進行，最多再進行2局即可分出勝負，
①第四局甲贏，比賽結(jié)束，甲勝出，概率為；
②第四局乙贏，第五局甲贏，比賽結(jié)束，甲勝出，概率為；
③第四局乙贏，第五局乙贏，比賽結(jié)束，乙勝出，概率為；
所以甲勝出的概率為，甲應該分得賭金的，即甲分得賭金枚，乙分得賭金枚.
.
【變式4】（23-24高二下·貴州·期中）高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘，并且每一-排鐵釘數(shù)目都比上一排多一個，一排中各個鐵釘恰好對準上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒耄畯娜肟谔幏湃胍粋€直徑略小于兩顆鐵釘間隔的小球，當小球從兩釘之間的間隙下落時，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過兩鐵釘?shù)拈g隙，又碰到下一排鐵釘如此繼續(xù)下去，在最底層的5個出口處各放置一個容器接住小球．理論上，小球落入2號容器的概率是多少（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意可知，若要小球落入2號容器，則需要在通過的四層中有三層向左，一層向右，再利用獨立事件的概率乘法公式求解．
【詳解】設事件表示“小球落入2號容器”，
若要小球落入2號容器，則需要在通過的四層中有三層向左，一層向右，
所以．
．
題型03隨機變量分布列及性質(zhì)
【典例1】 （23-24高二下·廣西玉林·期末）隨機變量Y的分布列為下表所示，若Y的期望值為1，則：（ ）
0 2
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由分布列的性質(zhì)及數(shù)學期望的計算求解即可.
【詳解】由分布列的性質(zhì)可知，，故A正確；
因為Y的期望值為1，所以，所以C錯.
若，不滿足分布列性質(zhì)，B錯，
由上，有，顯然D錯.
【變式1】 （23-24高二下·遼寧沈陽·期中）隨機變量的分布列如下（為常數(shù)）：
0 1 2
0.3
則（ ）
A．0.6 B．0.7 C．0.9 D．1.2
【答案】D
【分析】根據(jù)給定分布列求出，再利用互斥事件的概率公式計算即得.
【詳解】依題意，，解得，
所以.
【變式2】 （23-24高二下·河北滄州·期末）設隨機變量的分布列，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)，概率之和為１可求出參數(shù).計算概率之和時用數(shù)列的裂項相消求和，進而求出.
【詳解】
.
則.
.
【變式3】（23-24高二下·福建莆田·期末）隨機變量服從兩點分布，其分布列如下
則（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】根據(jù)條件，利用分步列的性質(zhì)建立方程，即可求出結(jié)果.
【詳解】由題知，，解得或，又，所以，
.
題型04隨機變量的期望與方差
【典例1】 （24-25高二上·湖南岳陽·期中）不透明的盒中有四個除所標數(shù)字外均相同的球，它們分別標有數(shù)字，，，，現(xiàn)從中隨機取個球．
(1)求取到個標有數(shù)字的球的概率；
(2)設為取出的個球上的數(shù)字之和，求的分布列和數(shù)學期望．
【答案】(1)
(2)分布列見解析；期望為
【分析】（1）根據(jù)滿足要求的情況數(shù)除以總的情況數(shù)得到結(jié)果；
（2）先分析的可取值，然后計算出對應概率，由此可知分布列并可計算出數(shù)學期望.
【詳解】（1）抽到個標有數(shù)字的球的可能情況共有種，從個球中任取個共有種取法，
∴取到個標有數(shù)字的球的概率．
（2）的所有可能取值為，，，，
，，，，
所以的分布列為：
∴．
【變式1】 （23-24高二下·青海·期末）已知一組數(shù)據(jù)1，2，2，5，5，6的第80百分位數(shù)為，隨機變量X的分布列為
2 m 14
0.3 0.6 0.1
（ ）
A．5 B．6 C．9.8 D．10.8
【答案】A
【分析】先求的值，再求的期望與方差.
【詳解】∵，∴，
∴，
∴
【變式2】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）高考數(shù)學試題第二部分為多選題，共個小題，每小題有個選項，其中有個或個是正確選項，全部選對得分，部分選對得部分分，有選錯的得分.若正確答案是個選項，只選對個得分，有選錯的得分；若正確答案是個選項，只選對個得分，只選對個得分，有選錯的得分.小明對其中的一道題完全不會，該題有兩個正確選項的概率是，記為小明隨機選擇個選項的得分，記為小明隨機選擇個選項的得分，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CCD
【分析】分別計算出和的分布列，然后逐項進行計算即可求得.
【詳解】由題意，，若該題有兩個正確選項，則小明從兩個錯誤選項中選擇個；若該題有個正確選項，則小明從個錯誤選項中選擇個，
概率為：；
，該題有個正確選項，則小明從個正確選項中選擇個，
概率為：；
，該題有個正確選項，則小明從個正確選項中選擇個，
概率為：；
，若該題有兩個正確選項，則小明從兩個錯誤選項中選擇個或選擇個錯誤選項；若該題有個正確選項，則小明從個錯誤選項中選擇個，再從個正確選項中選一個，概率為：；
，該題有個正確選項，則小明從個正確選項中選擇個，
概率為：；
，該題有個正確選項，則小明從個正確選項中選擇個，
概率為：；
對于A選項，， A錯誤；
對于B選項，；
；所以， B正確；
對于C選項，，
，C正確；
對于D選項，，D正確.
CD.
【變式3】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）某志愿者社團計劃在周一和周二兩天各舉行一次活動，分別由甲、乙兩人負責活動通知，已知該社團共有n位同學，每次活動均需k位同學參加.假設甲和乙分別將各自活動通知的信息獨立、隨機地發(fā)給該社團k位同學，且所發(fā)信息都能收到.
(1)當，時，求該社團只有小明同學同時收到甲、乙兩人所發(fā)活動通知信息的概率；
(2)記至少收到一個活動通知信息的同學人數(shù)為X
①設，，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；
②求使取得最大值的整數(shù)m.
【答案】(1)；
(2)①分布列見解析，數(shù)學期望為；②答案見解析.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用古典概率，結(jié)合事件的獨立性及組合計數(shù)問題列式求解.
（2）①求出的可能取值及對應的概率，列出分布列并求出期望；②按和分類求出的表達式，再建立不等式求出對應的整數(shù).
【詳解】（1）設事件“該社團只有小明同學同時收到甲、乙兩人所發(fā)活動通知信息”，
所以.
（2）①的可能取值為2，3，4，
，
所以的分布列為：
2 3 4
數(shù)學期望.
②當時，只能取，此時有；
當時，整數(shù)滿足，其中是和中的較小者，
由甲和乙各自獨立、隨機地發(fā)送活動信息給k位同學，得所包含的基本事件總數(shù)為，
當時，同時收到甲乙兩人所發(fā)信息的學生人數(shù)為，
僅收到李老師或張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學生人數(shù)為，
由分步乘法原理知，事件所包含的基本事件數(shù)為，
，
當時，，
，
因此取得最大值時，滿足，
假如不成立，則當能被整除時，在和處達到最大；
當不能被整除時，在處達到最大值（表示不超過的最大整數(shù)），
下面證明：
由，得，
，則，顯然，
因此.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：求使取得最大值的值，關(guān)鍵是求出的表達式，再利用最大概率問題求解.
題型05期望與方差的性質(zhì)
【典例1】 （23-24高二下·四川遂寧·階段練習）設離散型隨機變量的分布列為
0 1 2 3 4
0.1 0.4 0.2 0.2
若離散型隨機變量滿足，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A． B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】選項A，利用分布列的性質(zhì)，即可求解；利用期望和方差的計算公式，即可判斷出選項B和C的正誤；選項D，利用期望和方差的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】對于選項A，因為，解得，所以選項A正確，
又，，
所以選項B錯誤，選項C正確，
對于選項D，因為，所以，，所以選項D正確，
.
【變式1】 （23-24高二下·新疆·期中）已知，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)離散型隨機變量的均值、方差的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由，得，A正確．
由，得，C正確．
C.
【變式2】 （23-24高二下·新疆·期中）已知隨機變量的概率分布如表則（ ）
1 2 4
A．1 B． C．11 D．15
【答案】A
【分析】由概率和為可得，再結(jié)合期望的計算公式與期望的性質(zhì)計算即可得解.
【詳解】依題意，，解得，
則，
所以.
【變式3】 （24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）（多選）某中學組織了足球射門比賽．規(guī)定每名同學有5次射門機會，踢進一球得8分，沒踢進得分．小明參加比賽且沒有放棄任何一次射門機會，每次踢進的概率為，每次射門相互獨立．記X為小明的得分總和，為小明踢進球的次數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】AB選項，由二項分布知識即可判斷選項正誤；分析可知，由題可得對應概率即可判斷C；根據(jù)期望的性質(zhì)分析判斷D.
【詳解】AB選項，由題可得.
則，，故AB正確；
CD選項，因為，
則，故C錯誤；
則，故D正確.
BD.
【變式4】（2024高二·全國·專題練習）（多選）如圖，一個質(zhì)點在隨機外力的作用下，從原點出發(fā)，每隔等可能地向左或向右移動一個單位.設移動次后質(zhì)點位于位置，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．移動次后質(zhì)點位于原點的概率最大
【答案】ABD
【分析】設隨機變量表示“移動次后質(zhì)點向右移動的次數(shù)”，則，，根據(jù)二項分布的相關(guān)知識逐一判斷即可求解.
【詳解】設隨機變量表示“移動次后質(zhì)點向右移動的次數(shù)”，則，
由題意知，即.
對于A：，A正確；
對于B：，B正確；
對于C：，C錯誤；
對于D：的所有可能取值有，
，，
當時，最大，最大，D正確.
BD.
題型06兩點分布
【典例1】 已知隨機變量服從兩點分布，且，設，那么（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
【答案】A
【分析】根據(jù)兩點分布得基本性質(zhì)即可求解.
【詳解】由題意可知，當時，即，解得，
又因為隨機變量服從兩點分布，且，
所以.
.
【變式1】已知隨機變量服從兩點分布，且.設，那么等于（ ）
A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4
【答案】A
【分析】根據(jù)變量間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為，由兩點分步求解.
【詳解】當時，由，
所以.
【變式2】 已知離散型隨機變量的分布列服從兩點分布，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)兩點分布得，與條件聯(lián)立解得結(jié)果.
【詳解】因為的分布列服從兩點分布，所以，
又，所以，
所以，所以.
.
【變式3】隨機變量服從兩點分布，且，令，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)兩點分布的性質(zhì)求出，則.
【詳解】因為隨機變量服從兩點分布，且，
所以，
由，所以.
題型07二項分布
【典例1】（23-24高二下·山東泰安·期末）若隨機變量X服從二項分布，；隨機變量Y服從二項分布，且，則下列結(jié)果正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)二項分布的期望與方差公式判斷AB，根據(jù)二項分布求概率可判斷CD.
【詳解】由，可知，
，故A錯誤；
，故B錯誤；
，故C正確；
，故D錯誤.
【變式1】 【變式4】（23-24高二下·河南商丘·期末）設隨機變量，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)二項分布方差的計算公式求，再根據(jù)求解.
【詳解】由題意知，，解得，
所以.
【變式2】（23-24高二下·吉林白山·期末）已知隨機變量，當且僅當時，取得最大值，則（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】由二項分布的概念，根據(jù)二項式系數(shù)的對稱性即可求解.
【詳解】由題得，
由題知在中，最大值只有，
即在中，最大值只有，由二項式系數(shù)的對稱性可知.
故選：.
【變式3】 （23-24高二下·北京海淀·期末）小明投籃3次，每次投中的概率為，且每次投籃互不影響，若投中一次得2分，沒投中得0分，總得分為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意隨機變量投中次數(shù)服從二項分布，再由變量間的函數(shù)關(guān)系與二項分布的期望、方差公式可求.
【詳解】設小明投中次數(shù)為，則由題意可知，
則，，
因為投中一次得2分，沒投中得0分，所以，
則，.
.
【變式4】（23-24高二下·四川綿陽·期末）某市政道路兩旁需要進行綠化，計劃從甲，乙，丙三種樹木中選擇一種進行栽種，通過民意調(diào)查顯示，贊成栽種乙樹木的概率為，若從該地市民中隨機選取4人進行訪談，則至少有3人建議栽種乙樹木的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】運用二項分布知識求解即可
【詳解】贊成栽種乙樹木的人數(shù)設為X，則.
根據(jù)二項分布概率公式知道至少有3人建議栽種乙樹木的概率為.
.
題型08超幾何分布
【典例1】 （23-24高二下·江蘇南通·階段練習）廠家生產(chǎn)一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量指標服從正態(tài)分布，其中不低于85的為合格品．已知合格率為80%，廠家將合格品按100件一箱包裝出廠．某經(jīng)銷商購進一批該產(chǎn)品分等級銷售，質(zhì)量指標高于95的貼“一等品”標簽，其余貼“二等品”標簽，每件“二等品”的利潤是12元．
(1)經(jīng)銷商在購進的產(chǎn)品中任取一件，求該產(chǎn)品是“一等品”的概率；
(2)從一箱產(chǎn)品中任取3件，需要貼“一等品”標簽的個數(shù)為X，求X的分布列；
(3)已知一箱產(chǎn)品利潤的期望是1800元，求每件“一等品”的利潤．
【答案】(1)0.2
(2)答案見解析
(3)42元
【分析】（1）由正太分布曲線的對稱性即可求解；
（2）的所有可能取值為，由超幾何分布的概率公式即可求解；
（3）由二項分布的均值公式即可列方程求解.
【詳解】（1）由題意該產(chǎn)品是“一等品”即，而服從正態(tài)分布，且，，
所以
；
（2）一箱產(chǎn)品中“一等品”的件數(shù)約為，其余80件為“二等品”，
由題意的所有可能取值為，
所以，
，
所以X的分布列為：
0 1 2 3
（3）設每件“一等品”的利潤為元，而每件“二等品”的利潤是12元，
每箱中“一等品”所占的比例為0.2，
每箱中“一等品”、“二等品”所獲利潤分別服從二項分布：
，
則，解得，
所以每件“一等品”的利潤為42元.
【變式1】 （23-24高二下·江蘇揚州·階段練習）已知甲參加青年志愿者的選拔，選拔以現(xiàn)場答題的方式進行．已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6道題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3道題進行測試，設甲答對的試題數(shù)為X，則的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意可知：隨機抽出3道題有2題答對，1題打錯，結(jié)合組合數(shù)運算求解.
【詳解】由題意可知：表示答對2題，即隨機抽出3道題有2題答對，1題打錯，
所以.
.
【變式2】 （23-24高二下·山東青島·期中）數(shù)學老師從6道題中隨機抽3道讓同學檢測，規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格．某同學只能正確求解其中的4道題，則該同學能及格的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用超幾何分布的概率公式計算即可.
【詳解】由題意知抽取3道題該同學不及格的情況只有：只對一道題一種情況，
則只答對一道題的概率為，所以該同學及格的概率為.
【變式3】 （23-24高二下·新疆省直轄縣級單位·階段練習）一個班級共有30名學生，其中有10名女生，現(xiàn)從中任選三人代表班級參加學校開展的某項活動，假設選出的3名代表中的女生人數(shù)為變量，男生的人數(shù)為變量，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意結(jié)合超幾何分布運算求解即可.
【詳解】因為，
所以.
.
【變式4】（23-24高二下·云南保山·階段練習）為深入學習貫徹黨的二十大精神，推動全市黨員干部群眾用好“學習強國”學習平臺，某單位組織“學習強國”知識競賽，競賽共有10道題目，隨機抽取3道讓參賽者回答，規(guī)定參賽者至少要答對其中2道才能通過初試.已知某參賽黨員甲只能答對其中的6道，那么黨員甲抽到能答對題目數(shù)的數(shù)學期望為 .
【答案】
【分析】分析題意，確定的所有可能的值，運用超幾何分布的概率公式求得它們的概率，列出分布列表，計算其均值即得.
【詳解】由題意可得
則，
，
可得的分布列為：
0 1 2 3
期望.
故答案為：.
題型09正態(tài)分布
【典例1】 （23-24高二下·四川德陽·期末）為弘揚我國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，某市教育局對全市所有中小學生進行了“成語”聽寫測試，經(jīng)過大數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)本次聽寫測試成績服從正態(tài)分布．試根據(jù)正態(tài)分布的相關(guān)知識估計測試成績不小于90的學生所占的百分比為（ ）
參考數(shù)據(jù)：若，則，，．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求得正確答案.
【詳解】依題意，
所以測試成績不小于90的學生所占的百分比為.
.
【變式1】 （23-24高二下·河南安陽·期中）某次高三統(tǒng)考共有12000名學生參加，若本次考試的數(shù)學成績服從正態(tài)分布，已知數(shù)學成績在70分到130分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次考試中數(shù)學成績不低于130分的學生人數(shù)約為（ ）
A．2400 B．1200 C．1000 D．800
【答案】C
【分析】利用正態(tài)分布的對稱性求出即可計算得解.
【詳解】依題意，，，
因此，
所以此次考試中數(shù)學成績不低于130分的學生人數(shù)約為.
【變式2】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知隨機變量服從正態(tài)分布，則（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】C
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可求解.
【詳解】由于服從正態(tài)分布，則，
故.
【變式3】 （23-24高二下·上海金山·期末）已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對稱性求解即可.
【詳解】由正態(tài)分布的對稱性知，，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
題型10一元線性回歸方程
【典例1】 市場監(jiān)管部門對某線下某實體店2023年前兩季度的月利潤情況進行調(diào)查統(tǒng)計，得到的數(shù)據(jù)如下：
月份x 1 2 3 4 5 6
凈利潤y（萬元） 1.0 1.4 1.7 2.0 2.2 2.4
(1)是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系？請用相關(guān)系數(shù)r加以說明；（參考：若時，則線性相關(guān)程度較高，，則線性相關(guān)程度一般，計算時精確度為0.01）
(2)利用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸方程；用樣本估計總體，請預估第9月份的利潤.
附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率
，.相關(guān)系數(shù).
參考數(shù)據(jù)：，，，，，.
【答案】(1)可以，理由見解析
(2)，3.32萬元
【分析】（1）計算出相關(guān)數(shù)據(jù)，利用相關(guān)系數(shù)公式計算即可；
（2）根據(jù)線性回歸方程公式計算即可.
【詳解】（1）由條件則，
，
.
根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式則
.
因此可以用線性回歸模型擬合x與y的關(guān)系.
（2）根據(jù)（1）則變量x，y線性相關(guān)，設所求的線性回歸方程為.
根據(jù)回歸方程的回歸系數(shù)公式則
.
又因為.
從而可得變量x，y線性回歸方程為
當時，
因此預測9月份的利潤為3.32萬元.
【變式1】 （24-25高二上·河南南陽·階段練習）某產(chǎn)品的廣告費用與銷售額的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：
廣告費用/萬元 4 2 3 5
銷售額/萬元 49 26 39 54
根據(jù)上表可得線性回歸方程 中的為9.4，據(jù)此模型預測廣告費用為6萬元時銷售額為（ ）
A．9.1萬元 B．9.2萬元
C．67.7萬元 D．65.5萬元
【答案】A
【分析】線性回歸方程一定過樣本中心，得到線性回歸方程，然后帶值求結(jié)果.
【詳解】，，
∵線性歸回方程經(jīng)過樣本中心，
∴，∴，
∴，當時，，
.
【變式2】 （23-24高二下·河北·階段練習）由于人們健康意識的提升，運動愛好者人群不斷擴大，運動相關(guān)行業(yè)得到快速發(fā)展.某運動品牌專賣店從2019年至2023年的年銷售額如下表：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份編號 1 2 3 4 5
年銷售額/萬元 30 35 45 80 80
(1)請根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求與的經(jīng)驗回歸方程，并預測2024年該店的年銷售額.
(2)該專賣店為了回饋廣大消費者，推出了消費抽獎返現(xiàn)活動，規(guī)則如下：凡一次性消費滿700元可抽獎1次，滿1000元可抽獎2次.其中一次抽獎返現(xiàn)金額及概率如下表：
返現(xiàn)金額 70 100
概率
已知一位消費者一次性消費滿700元的概率為，滿1000元的概率為，求這位消費者抽獎返現(xiàn)金額的分布列與期望.
附：經(jīng)驗回歸方程中，.
【答案】(1)，87.5萬元.
(2)分布列見解析，
【分析】（1）分別求出，再根據(jù)經(jīng)驗回歸方程計算，并代入，即可求解；
（2）分別求出概率，并列出分布列，即可求解.
【詳解】解：（1）因為，
，
所以，
所以與的經(jīng)驗回歸方程為.
當時，，所以預測2024年該店的年銷售額為87.5萬元.
（2）可以取.
，
所以的分布列為
70 100 170 200
所以.
【變式3】 （23-24高二下·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習）某品牌電腦專賣店的年銷售量與該年廣告費用有關(guān)，如表收集了4組觀測數(shù)據(jù)：
（萬元） 1 4 5 6
（百臺） 30 40 80 70
以廣告費用為解釋變量，銷售量為預報變量對這兩個變量進行統(tǒng)計分析．
(1)已知這兩個變量呈線性相關(guān)關(guān)系，試建立與之間的回歸方程；
(2)假如2017年該專賣店廣告費用支出計劃為10萬元，根據(jù)你得到的模型，預測這一年的銷售量．
參考公式：，．
【答案】(1)；
(2)75百臺．
【分析】（1）根據(jù)回歸直線方程計算公式，計算出回歸直線方程.
（2）根據(jù)回歸直線方程進行預測.
【詳解】（1）根據(jù)題意，計算，
，
又，；
，
，
所求回歸直線方程為；
（2）由已知得，時，（百臺），
可預測該年的銷售量為75百臺．
題型11非線性回歸方程
【典例1】 數(shù)獨是源自18世紀瑞士的一種數(shù)學游戲，玩家需要根據(jù)盤面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行、每一列、每一個粗線宮（）內(nèi)的數(shù)字均含1～9，且不重復．數(shù)獨愛好者小明打算報名參加“絲路杯”全國數(shù)獨大賽初級組的比賽．
參考數(shù)據(jù)：
1770 0.37 0.55
參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，， ，，其經(jīng)驗回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．
(1)賽前小明進行了一段時間的訓練，每天解題的平均速度y（秒/題）與訓練天數(shù)x（天）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù)：
x（天） 1 2 3 4 5 6 7
y（秒/題） 910 800 800 440 300 240 210
現(xiàn)用作為回歸方程模型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程；（用分數(shù)表示）
(2)小明和小紅玩“對戰(zhàn)賽”，每局兩人同時開始解一道數(shù)獨題，先解出題的人獲勝，不存在平局，兩人約定先勝3局者贏得比賽．若小明每局獲勝的概率為，且各局之間相互獨立，設比賽X局后結(jié)束，求隨機變量X的分布列及均值．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【分析】（1）由，得出，由參考公式求解出，從而求出和的回歸方程；
（2）根據(jù)隨機變量的可能取值逐一分析，當時，小明連勝3局或小紅連勝3局；當時，小明前3局勝2局最后一局勝或小紅前3局勝2局最后一局勝；當時，小明前4局勝2局最后一局勝或小紅前4局勝2局最后一局勝；分別求出每個取值的概率．最后代入期望公式計算即可．
【詳解】（1）因為，，
所以，
因為，，
，
所以，
所以，
所以所求回歸方程為；
（2）隨機變量X的所有可能取值為3，4，5，
則，，
，
所以隨機變量X的分布列為：
X 3 4 5
P
所以．
【變式1】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）某學校為了解校慶期間不同時段的校門人流量，從上午8點開始第一次反饋校門人流量，以后每過2小時反饋一次，共統(tǒng)計了前3次的數(shù)據(jù)，其中，2，3，為第i次人流量數(shù)據(jù)（單位：千人），由此得到y(tǒng)關(guān)于i的回歸方程.已知，根據(jù)回歸方程，可預測下午2點時校門人流量為（ ）千人.
參考數(shù)據(jù)：
A．9.6 B．10.8 C．12 D．13.2
【答案】C
【分析】令，由，求出，得回歸方程，可求預測值.
【詳解】令，則，
，又，
由，得，所以，
則，
下午2點時對應，可得.
.
【變式2】（23-24高二下·河南南陽·期中）某研發(fā)團隊實現(xiàn)了從單點光譜儀到超光譜成像芯片的跨越.為制定下一年的研發(fā)投入計劃，該研發(fā)團隊需要了解年研發(fā)資金投入量（單位：億元）對年銷售額（單位：億元）的影響.結(jié)合近12年的年研發(fā)資金投入量和年銷售額，該團隊建立了兩個函數(shù)模型：①，②，其中均為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).經(jīng)對歷史數(shù)據(jù)的初步處理，得到散點圖如圖.令，計算得到如下數(shù)據(jù).

20 66 770 200 14
480 4.20 3127000 0.308 21700
(1)設變量和變量的樣本相關(guān)系數(shù)為，變量和變量的樣本相關(guān)系數(shù)為，請從樣本相關(guān)系數(shù)的角度，選擇一個與相關(guān)性較強的模型.
(2)（i）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；
（ii）若下一年銷售額需達到80億元，預測下一年的研發(fā)資金投入量.
附：；樣本相關(guān)系數(shù)；經(jīng)驗回歸方程，其中.
【答案】(1)模型中與的相關(guān)性較強.
(2)（i）；（ii）27.1億元.
【分析】（1）分別將表中數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)公式求出，比較大小即可判斷；
（2）（i）由取對數(shù)，換元得，由表中數(shù)據(jù)分別求和，得經(jīng)驗回歸方程，利用指數(shù)式和對數(shù)式的互化，即得；
（ii）將代入回歸方程，利用題設條件，即可預測下一年的研發(fā)資金投入量.
【詳解】（1）由題意知
.
因為，所以，
故從樣本相關(guān)系數(shù)的角度，模型中與的相關(guān)性較強.
（2）（i）由，得，即.
因為，
所以，
故關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，即
,所以.
（ii）將代入得.
，故得，解得，
故預測下一年的研發(fā)資金投入量是27.1億元.
【變式3】（23-24高二下·寧夏銀川·階段練習）紅蜘蛛是柚子的主要害蟲之一，能對柚子樹造成嚴重傷害，每只紅蜘蛛的平均產(chǎn)卵數(shù)（個）和平均溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.
參考數(shù)據(jù)
17713 714 27 81.3
(1)根據(jù)散點圖判斷，與（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適合作為平均產(chǎn)卵數(shù)（個）關(guān)于平均溫度（）的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
(2)由（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程.（計算結(jié)果精確到0.1）
附：回歸方程中
【答案】(1)更適宜
(2)
【分析】（1）根據(jù)指數(shù)型函數(shù)圖象的特征、一次函數(shù)圖象的特征進行判斷即可；
（2）運用對數(shù)的運算性質(zhì)，結(jié)合題中所給的公式進行求解即可.
【詳解】（1）由散點圖可以判斷，隨溫度升高，產(chǎn)卵數(shù)增長速度變快，符合指數(shù)函數(shù)模型的增長，
所以更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于平均溫度的回歸方程類型.
（2）將兩邊同時取自然對數(shù)，可得，
由題中的數(shù)據(jù)可得，，
所以，則，
所以關(guān)于的線性回歸方程為，故關(guān)于的回歸方程為；
題型12獨立性檢驗
【典例1】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）隨著冬天的臨近，哈爾濱這座冰雪之城，將再次成為旅游的熱門目的地.為更好地提升旅游品質(zhì)，我市文旅局隨機選擇名青年游客對哈爾濱出行體驗進行滿意度評分（滿分分），分及以上為良好等級，根據(jù)評分，制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求x的值并估計該評分的上四分位數(shù)；
(2)若采用按比例分層抽樣的方法從評分在，的兩組中共抽取6人，再從這6人中隨機抽取3人進行單獨交流，求選取的4人中評分等級為良好的人數(shù)X的分布列和數(shù)學期望；
(3)為進一步了解不同年齡段游客對哈爾濱出行體驗的反饋，我市文旅局再次隨機選擇100名中老年游客進行滿意度評分，發(fā)現(xiàn)兩次調(diào)查中評分為良好等級的人數(shù)為120名.請根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析游客的評分等級是否良好與年齡段（青年或中老年）是否有關(guān).
附：，
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】(1)，
(2)分布列見解析，
(3)無法認為游客的評分等級是否良好與年齡段有關(guān).
【分析】（1）根據(jù)頻率和為計算出的值；先判斷出上四分位數(shù)所在區(qū)間，然后結(jié)合區(qū)間端點值以及該組的頻率完成計算；
（2）先根據(jù)分層抽樣計算出每組抽取的人數(shù)，然后確定出的可取值并計算對應概率，由此可求分布列和數(shù)學期望；
（3）根據(jù)已知條件得到對應列聯(lián)表，然后計算出的值并與對應比較大小，由此得到結(jié)論.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，，解得；
因為的頻率為，且為最后一組，
所以評分的上四分位數(shù)位于區(qū)間中，
所以上四分位數(shù)為：；
（2）評分在與兩組的頻率分別為，
所以內(nèi)抽取人數(shù)為，內(nèi)抽取人數(shù)為，
故人中評分等級為良好的有人，
由題意可知，的可取值為，
，，，
所以的分布列為：
數(shù)學期望；
（3）青年游客評分等級良好的有人，所以老年游客評分等級良好的有人，
由上可得如下列聯(lián)表，
青年游客 老年游客 總計
評分等級良好
評分等級非良好
總計
零假設：游客的評分等級是否良好與年齡段無關(guān)，
由表中數(shù)據(jù)可得，
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可知零假設不成立，
即無法認為游客的評分等級是否良好與年齡段有關(guān).
【變式1】 （23-24高二下·天津濱海新·期末）現(xiàn)在，很多人都喜歡騎“共享單車”，但也有很多市民并不認可．為了調(diào)查人們對這種交通方式的認可度，某同學從交通擁堵嚴重的A城市和交通擁堵不嚴重的B城市分別隨機調(diào)查了20名市民，得到了一個市民是否認可的樣本，具體數(shù)據(jù)如下列聯(lián)表：
A B 總計
認可 15 8 23
不認可 5 12 17
總計 20 20 40
0.10 0.05 0.025 0.01 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
附：．
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，下列說法中，正確的是（ ）
A．沒有95%以上的把握認為“是否認可與城市的擁堵情況有關(guān)”
B．有97.5%以上的把握認為“是否認可與城市的擁堵情況有關(guān)”
C．可以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“是否認可與城市的擁堵情況有關(guān)”
D．可以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“是否認可與城市的擁堵情況有關(guān)”
【答案】D
【分析】先計算出卡方值，再分別與各選項中的相應的小概率值比較，根據(jù)獨立性檢驗的原理，即可作出判斷
【詳解】由
對于A，因，故有95%以上的把握認為“是否認可與城市的擁堵情況有關(guān)”，即A錯誤；
對于B，因，故沒有97.5%以上的把握認為“是否認可與城市的擁堵情況有關(guān)”，即B錯誤；
對于C，因，故可以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“是否認可與城市的擁堵情況有關(guān)”，即C正確；
對于D，因，故在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下不能認為“是否認可與城市的擁堵情況有關(guān)”，即D錯誤.
.
【變式2】 （23-24高二下·河北·階段練習）（多選）根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到.已知，依據(jù)0.01的獨立性檢驗，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則變量與不獨立
B．若，則變量與獨立
C．若，則變量與獨立
D．若，則變量與不獨立
【答案】DD
【分析】根據(jù)獨立性檢驗的基本思想判斷即可.
【詳解】若，則變量與不獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.01.
若，則變量與獨立.
D.
【變式3】 （23-24高二下·廣東中山·期末）某市舉行了首屆閱讀大會，為調(diào)查市民對閱讀大會的滿意度，相關(guān)部門隨機抽取男女市民各名，每位市民對大會給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：
滿意 不滿意
男市民
女市民
當，時，若在的情況下，我們沒有充分的證據(jù)推斷男、女市民對大會的評價有差異，則的最小值為 ．
附：，其中．
【答案】
【分析】根據(jù)定義算出的表達式，由題意得，結(jié)合可得出的最小值.
【詳解】由題意得，
并令，即，
近似解得，即，注意到，
故的最小值為.
故答案為：.
【變式4】（23-24高二下·安徽安慶·期中）隨著全民運動健康意識的提高，馬拉松運動在全國各大城市逐漸興起，參與馬拉松訓練與比賽的人數(shù)逐年增加，為此某市對人們參加馬拉松運動的情況進行了統(tǒng)計調(diào)查，其中一項調(diào)查是調(diào)查人員從參與馬拉松運動的人中隨機抽取200人，對其每周參與馬拉松長跑訓練的天數(shù)進行統(tǒng)計，得到以下統(tǒng)計表：
平均每周進行長跑訓練天數(shù) 不大于2天 3天或4天 不少于5天
人數(shù) 30 130 40
若某人平均每周進行長跑訓練天數(shù)不少于5天，則稱其為“熱烈參與者”，否則稱為“非熱烈參與者”．
附：（為樣本容量）
a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(1)經(jīng)調(diào)查，該市約有3萬人參與馬拉松運動，估計其中“熱烈參與者”的人數(shù)；
(2)根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，填寫下列：列聯(lián)表，并通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為“熱烈參與馬拉松”與性別有關(guān)？
性別 熱烈參與者 非熱烈參與者 合計
男 140
女 55
合計
【答案】(1)8000人
(2)在犯錯誤概率不超過0.01的前提下，認為“熱烈參與馬拉松”與性別有關(guān).
【分析】（1）先求出參與馬拉松運動的‘熱烈參與者’的概率即可求出該市參與馬拉松運動的“熱烈參與者”的人數(shù).
（2）根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)即可填寫列聯(lián)表，再結(jié)合獨立性檢驗的思想方法直接計算求解即可得解.
【詳解】（1）記事件“參與馬拉松運動的‘熱烈參與者’”，
則由題意可得，
所以該市參與馬拉松運動的“熱烈參與者”的人數(shù)估計為人.
（2）列聯(lián)表如下：
性別 熱烈參與者 非熱烈參與者 合計
男 35 105 140
女 5 55 80
合計 40 180 200
零假設為：“熱烈參與馬拉松”與性別無關(guān)，
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得，
所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗推斷不不成立，
所以在犯錯誤概率不超過0.01的前提下，認為“熱烈參與馬拉松”與性別有關(guān).
題型13概率統(tǒng)計的綜合問題
【典例1】（24-25高二上·黑龍江齊齊哈爾·期中）4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”．為了解某地區(qū)高一學生閱讀時間的分配情況，從該地區(qū)隨機抽取了700名高一學生進行在線調(diào)查，得到了這700名學生的日平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)從這700名學生中隨機抽取一人，日平均閱讀時間在內(nèi)的概率；
(2)為進一步了解這700名學生數(shù)字媒體閱讀時間和紙質(zhì)圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在，，三組內(nèi)的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人，記日平均閱讀時間在內(nèi)的學生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望和方差；
(3)以樣本的頻率估計概率，從該地區(qū)所有高一學生中隨機抽取10名學生，用表示這10名學生中恰有k名學生日平均閱讀時間在內(nèi)的概率，其中，1，2，…，10．當最大時，寫出k的值．（寫出證明）
【答案】(1)
(2)分布列見解析，，
(3)，證明見解析
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)可求得，從而可得日平均閱讀時間在內(nèi)的概率；
（2）求得的可能取值及對應概率，完成分布列，根據(jù)期望公式計算即可；
（3）由題意得，，則，利用組合數(shù)的性質(zhì)求最大值即可．
【詳解】（1）由頻率分布直方圖得：
，
解得，，所以日平均閱讀時間在內(nèi)的概率為0.20；
（2）由頻率分布直方圖得：
這700名學生中日平均閱讀時間在，，，三組內(nèi)的學生人數(shù)分別為：人，人，人，
若采用分層抽樣的方法抽取了10人，
則從日平均閱讀時間在，內(nèi)的學生中抽取：人，
現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人，則X的可能取值為0，1，2，3，
，，，，
的分布列為：
X 0 1 2 3
P
∴數(shù)學期望，.
（3），理由如下：
由頻率分布直方圖得學生日平均閱讀時間在內(nèi)的概率為0.70，
從該地區(qū)所有高一學生中隨機抽取10名學生，
恰有k名學生日平均閱讀時間在內(nèi)的分布列服從二項分布，
，
由組合數(shù)的性質(zhì)可得，且當時遞增，故當時最大.
【變式1】 （23-24高二下·江西南昌·階段練習）某中學舉辦學生體育技能測試，共有兩輪測試，第一輪是籃球定點投籃測試，每位學生投兩次籃，每次投籃若投中得2分，沒投中得0分；第二輪是四個人踢毽子，互相傳遞測試．
(1)已知某位學生定點投籃投中的概率為，求該學生在第一輪得分的分布列和數(shù)學期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四個人參加第二輪踢毽子互相傳遞測試，第一次由甲踢出，每次傳遞時，踢出者都等可能將毽子踢給另外三個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳遞都能被接到.記第n次甲踢到毽子的概率為，則．
①證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
②比較第k次與第次踢到毽子者是甲的可能性大小．
【答案】(1)分布列見解析，
(2)①證明見解析；②答案見解析
【分析】（1）求得第一輪得分的所有可能取值，并計算出對應概率即可求得其分布列和期望值；
（2）①寫出的遞推關(guān)系式，通過數(shù)列構(gòu)造即可證明；
②根據(jù)①中的通項公式利用作差法即可比較得出與的大小.
【詳解】（1）設該學生的得分為，則所有可能取值為0，2，4．
故的分布列為
0 2 4
則數(shù)學期望
（2）①第n次甲踢到建子的概率為，
當時，第次甲踢到建子的概率為，甲未能踢到建子的概率為；
所以，
所以，
因為，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．
②由①可知，，即；
，
當k為奇數(shù)時，為偶數(shù)，即；
當k為偶數(shù)時，奇數(shù)，即；
綜上，當k為奇數(shù)時，，當k為偶數(shù)時.
【變式2】（23-24高二下·北京海淀·期末）為了調(diào)研某地區(qū)學生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項活動的參與情況，在該地區(qū)隨機選取了10所學校進行研究，得到如下數(shù)據(jù)：
(1)從這10所學校中隨機選取1所，已知這所學校參與“自由式滑雪”人數(shù)超過40人，求該校參與“單板滑雪”超過30人的概率；
(2)已知參與“自由式滑雪”人數(shù)超過40人的學校評定為“基地學校”.現(xiàn)在從這10所學校中隨機選取2所，設“基地學校”的個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；
(3)現(xiàn)在有一個“單板滑雪”集訓營，對“滑行、轉(zhuǎn)彎、停止”這3個動作技巧進行集訓，并專門對這3個動作進行了多輪測試.規(guī)定：在一輪測試中，這3個動作中至少有2個動作達到“優(yōu)秀”，則該輪測試記為“優(yōu)秀”.在此集訓測試中，李華同學3個動作中每個動作達到“優(yōu)秀”的概率均為，每個動作互不影響，每輪測試也互不影響.如果李華同學在集訓測試中想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)的均值達到5次，那么至少要進行多少輪測試？（結(jié)果不要求證明）
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
(3)
【分析】（1）先將題設的數(shù)據(jù)整理為表格，根據(jù)表中數(shù)據(jù)結(jié)合條件概率的計算公式可求概率；
（2）結(jié)合超幾何分布可求的分布列和數(shù)學期望；
（3）先求出李華在一輪測試中“優(yōu)秀”的概率，再結(jié)合二項分布的期望公式可求至少要進行多少輪測試.
【詳解】（1）由題設可得如下數(shù)據(jù)：
自由
單板
設為“學校參與“自由式滑雪”人數(shù)超過40人”，
為“該校參與“單板滑雪”超過30人”，則，
而，故.
故已知這所學校參與“自由式滑雪”人數(shù)超過40人，
該校參與“單板滑雪”超過30人的概率為.
（2）參與“自由式滑雪”人數(shù)在40人以上的學校共4所，的所有可能取值為，
所以，，，
所以的分布列如下表：
0 1 2
所以.
（3）記“李華在一輪測試中獲得“優(yōu)秀””為事件，則，
由題意，甲同學在集訓測試中獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)服從二項分布，
由題意列式，得，
因為，所以的最小值為，故至少要進行輪測試.
【變式3】（23-24高二下·浙江寧波·期中）2023年11月，寧波市余姚河姆渡遺址迎來發(fā)掘五十周年，為引導青少年了解河姆渡文化，某校組織全體學生參加河姆渡歷史文化知識競賽，現(xiàn)從中抽取100名學生的成績組成樣本，并將得分分成以下6組：，，，，，，統(tǒng)計結(jié)果如圖所示．
(1)試估計這100名學生的眾數(shù)和中位數(shù)（保留一位小數(shù)）；
(2)從樣本中得分不低于70分的學生中，用分層抽樣的方法選取11人進行座談，若從座談名單中隨機抽取3人，記得分在的人數(shù)為X，試求X的分布列和均值：
(3)以樣本估計總體，根據(jù)頻率分布直方圖，可以認為參加知識競賽的學生得分X近似服從正態(tài)分布，經(jīng)計算．若，參賽學生可獲得“參賽紀念證書”：若，參賽學生可獲得“參賽先鋒證書”．已知該校共800名學生參加本次文化競賽活動，試估計獲得“參賽紀念證書”的學生人數(shù)，并判斷競賽成績?yōu)?0分的學生能否獲得“參賽先鋒證書”．
附：若，則，，；
【答案】(1)75，71.7
(2)分布列見解析，
(3)704，不能
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中眾數(shù)和中位數(shù)的概念求解即可；
（2）先按照分層抽樣求出在的人數(shù)為2，則的可能取值為0，1，2，再求出對應的概率即可；
（3）由正態(tài)分布的概率特征求解即可．
【詳解】（1）由題眾數(shù)在組，故眾數(shù)為：75分；
由題知每組頻率分別為：0.1，0.15，0.2，0.3，0.15，0.1，
所以中位數(shù)在組，故中位數(shù)為：分；
（2）由題參加座談的11人中，得分在的有人，
所以的可能取值為0，1，2，
所以，，，
所以的分布列為：
0 1 2
所以；
（3）由題可知，
所以獲得“參賽紀念證書”的學生人數(shù)約為：人，
又由頻率分布直方圖可得這100名學生得分的平均數(shù)：
，
因為，則，
所以，
因為只有當，參賽學生才可獲得“參賽先鋒證書”，
故競賽成績?yōu)?0分的學生不能獲得“參賽先鋒證書”．
【變式4】（23-24高二下·重慶九龍坡·期中）某健身館為預估2024年2月份客戶投入的健身消費金額，隨機抽樣統(tǒng)計了2024年1月份100名客戶的消費金額，分組如下：，，，…，（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖：
(1)若消費金額不少于800元的客戶稱為健身衛(wèi)士，不少于1000元的客戶稱為健身達人，現(xiàn)利用分層隨機抽樣的方法從健身衛(wèi)士中抽取6人，再從這6人中抽取2人做進一步調(diào)查，求抽到的2人中至少1人為健身達人的概率；
(2)為吸引顧客，在健身項目之外，該健身館特推出健身配套營養(yǎng)品的銷售，現(xiàn)有兩種促銷方案.
方案一：每滿800元可立減100元；
方案二：金額超過800元可抽獎三次，每次中獎的概率為，且每次抽獎互不影響，中獎1次打9折，中獎2次打8折，中獎3次打7折.
若某人打算購買1000元的營養(yǎng)品，請您幫他分析應該選擇哪種促銷方案.
【答案】(1)
(2)第二種方案
【分析】（1）首先根據(jù)頻率確定消費金額在和的頻率比，從而確定兩組的人數(shù)，再按照古典概型概率公式，即可求解；
（2）首先確定第一種方案的消費，以及第二種方案的分布列和數(shù)學期望，再比較大小，即可選擇.
【詳解】（1）消費金額在的頻率為，在的頻率為，
頻率之比為，所以按照分層抽樣，抽取的6人中消費金額在的有4人，消費金額在的有2人，
所以抽到的2人中至少1人為健身達人的概率；
（2）若選擇方案一，則實際消費元，
若選擇方案二，若不中獎，則消費元，概率為，
若中獎1次，則消費元，概率為，
若中獎2次，則消費元，概率為，
若中獎3次，則消費元，概率為，
設消費金額為，分布列如下，
期望,
因為，說明第二種方案平均消費少，
所以選擇第二種方案.
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