資源簡介

7.1.2 兩條直線垂直 學案
一、學習目標
1.理解垂線、垂線段的概念；能用三角板或量角器過一點畫已知直線的垂線；掌握基本事實：同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；理解點到直線的距離的意義，能度量點到直線的距離.
2.經歷觀察、思考、探究、猜想、驗證等活動歸納出垂線的概念和性質，體會從一般到特殊的數學思想方法，進一步培養觀察、分析、歸納能力，發展空間觀念.
3.會利用所學知識進行簡單的推理，感受數學語言的簡潔美，并能將學到的知識應用到生活中去，增強應用意識．
重點：理解垂線的概念和性質.
難點：理解關于垂線的基本事實.
二、學習過程
（一）復習引入
問題1 如圖，在相交線的模型中，如果兩根木條a，b所成的角中有一個角∠α=35 ，其他三個角分別等于多少度？如果∠α等于90 呢？
（二）合作探究
1.垂直
一般地，當兩條直線a、b相交所成的四個角中有一個角是 時，我們說a與b互相垂直，記作 .
2.垂線和垂足
兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的 ，它們的交點叫作 . 如圖，AB⊥CD，垂足為O.
3.垂線的性質
如果直線AB，CD相交于點O， ，那么 .
追問：請試著寫出推理過程.
4.垂線的判定
如果 ，那么 .
追問：請試著寫出推理過程.
問題2 兩條直線垂直和相交是什么關系？
問題3 如何判定兩條射線垂直？兩條線段呢？
問題4 在日常生活中，兩條直線互相垂直的情形很常見.你能再舉出其他例子嗎？
探究1 用三角尺畫已知直線l的垂線.
(1)經過直線l上一點A畫l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？
(2)經過直線l外一點B畫l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？
關于垂線的基本事實
.
（三）典例分析
例2 如圖，過點P畫出射線AB或線段AB的垂線.
（1） （2） （3）
（四）合作探究
問題5 如圖，在灌溉時，要把河中的水引到農田P處，如何挖渠能使渠道最短？
探究2 如圖，P是直線l外一點，PO⊥l，垂足為O，我們稱PO為點P到直線l的垂線段. A是直線l上除點O外一點，連接PA. 測量并比較線段PO與PA的長度，你能得到什么結論？改變點A的位置呢？
結論： .
1.垂線段最短
連接直線外一點與直線上各點的所有線段中， ，簡單說成 .
2.點到直線的距離
直線外一點到這條直線的 叫作點到直線的距離.
問題解決：（問題5）
鞏固練習
1. 當兩條直線相交所成的四個角都相等時，這兩條直線有什么位置關系，為什么？
2. 如果只有直尺，你能在方格紙上畫出兩條互相垂直的直線嗎？
3. 如圖，在一張半透明的紙上畫一條直線l，在l上任取一點P，在l外任取一點Q，折出過點P且與l垂直的直線，這樣的直線能折出幾條？為什么？過點Q呢？
4. 如圖，分別過點P畫直線AB，CD的垂線，并量出點P到直線AB的距離.
5. 如圖，在三角形ABC中，∠C=90 .
(1)分別指出點A到直線CB，點B到直線AC的距離是哪些線段的長度？
(2)三條邊AB，AC，CB中哪條邊最長，為什么？
6. 如圖，AB⊥l，CB⊥l，B為垂足，那么A，B，C三點在同一條直線上嗎？請說明理由.
歸納總結
感受中考
1. (2024 北京)如圖，直線AB和CD相交于點O，OE⊥OC．若∠AOC＝58 ，則∠EOB的大小為（ ）A．29 B．32 C．45 D．58
第1題圖 第2題圖
2. (2020 河北)如圖，在平面內作已知直線m的垂線，可作垂線的條數有（ ）
A．0條 B．1條 C．2條 D．無數條
3. (2016 淄博)如圖，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分別為A，D，則圖中能表示點到直線距離的線段共有（ ）
A．2條 B．3條 C．4條 D．5條
第3題圖 第4題圖
4. (2020 吉林)如圖，某單位要在河岸l上建一個水泵房引水到C處．他們的做法是：過點C作CD⊥l于點D，將水泵房建在了D處．這樣做最節省水管長度，其數學道理是 　 　．

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