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3.2波的描述
第三章 機械波
波的圖像
質(zhì)點的振動方向與波的傳播方向的關(guān)系
波長、頻率和波速
波的多解問題
01
02
03
04
目錄
CONTENTS
波的圖像
PART 1
過去我們研究的是單個質(zhì)點的運動情況，用 x-t 圖像可以很方便地描述質(zhì)點在任意時刻的位移。
前面我們又學習了振動的傳播稱為波動，簡稱波
而波卻是很多質(zhì)點的運動，在同一時刻各個質(zhì)點的位移都不盡相同，不方便用 x-t 圖像來描述。
能否用其他的圖像來描述波呢？我們以橫波為例研究波的圖像
動畫
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1
我們可以用照象機把波的形狀攝下來，就是按下快門瞬間各個質(zhì)點離開各自平衡位置時的情形→ 波的圖象。
y
x
o
1、建立坐標系
用橫坐標x表示在波的傳播方向上各質(zhì)點的平衡位置，縱坐標y表示某一時刻各質(zhì)點偏離平衡位置的位移。得到一系列坐標為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…的點。
y
x
O
x1
y1
x2
y2
2、連線
用一條平滑的曲線把各點連接起來就是這一時刻波的圖象，有時也稱波形圖。
3、波的圖象是在波的傳播方向上，介質(zhì)中各振動質(zhì)點在某一時刻的波形圖。簡稱波形。
一、波的圖像
4、簡諧波（正弦波）
（1）簡諧運動在介質(zhì)中傳播形成簡諧波。
（2）簡諧波的圖像是正弦曲線，這樣的波叫作正弦波。
（3）簡諧波中各質(zhì)點的振動是簡諧運動。
（4）簡諧波是一種最基本、最簡單的波。
y/cm
x/m
O
【思考分析】
如圖所示是一列沿x軸正方向傳播的簡諧波在某一時刻的圖像。
（1）波的圖像有什么特征？
v
是一條正弦曲線
（2）此時刻P質(zhì)點在向哪個方向運動？
此時P質(zhì)點的速度方向沿y軸正方向
（3）由圖像還可以讀出哪些信息？
①可以直接看出該時刻各個質(zhì)點的位移。
②可以直接看出在波的傳播過程中各質(zhì)點的振幅A＝10cm。
③可以判斷出各個質(zhì)點在該時刻的振動方向。
④可以直接讀出相鄰兩個波峰之間的距離為4m。
5、由波的圖像獲得的信息
（1）可以直接看出該時刻各個質(zhì)點偏離平衡位置的位移。
（2）可以直接看出該列波的相鄰兩個波峰或波谷之間的距離及振幅。
（3）借助圖像還可以說明各個質(zhì)點的速度、加速度在該時刻的變化情況和速度、加速度的方向。
（4）若已知該波的傳播方向，可以確定各質(zhì)點的振動方向；或已知某質(zhì)點的振動方向，可以確定該波的傳播方向。
例1.（多選）如圖所示為一列沿x軸正方向傳播的簡諧橫波在某個時刻的波形圖，由圖像可知（ ）
A.質(zhì)點b此時位移為零
B.質(zhì)點b此時向－y方向運動
C.質(zhì)點d的振幅是2cm
D.質(zhì)點a再經(jīng)過 通過的路程是4cm，
偏離平衡位置的位移大小是4cm
AC
6、波動圖象物理意義
（1）波的圖像表示某一時刻各個質(zhì)點相對于平衡位置的位移。波的圖象是某一時刻介質(zhì)中各個質(zhì)點運動情況的“定格”，可以將波的圖像比喻為某一時刻對所有質(zhì)點拍攝下的“集體照”。
（2）簡諧波的圖象是正弦曲線，介質(zhì)中的質(zhì)點做
簡諧運動。
7、波動和振動的圖像的區(qū)別：
對這個質(zhì)點錄一段視頻。
對所有質(zhì)點拍一張照片。
振動圖像表示一個質(zhì)點在一段時間內(nèi)偏離平衡位置的位移規(guī)律。
波動圖像
振動圖像
波動圖像表示大量質(zhì)點在某時刻時偏離平衡位置的位移規(guī)律。
圖 象
相同點
1、形狀
2、縱坐標
不同點
1、研究對象
2、橫坐標表示
3、讀出的物理量
X
t
0
振動圖象
Y
X
0
波的圖象
1、圖象形狀都是正弦或余弦曲線
2、縱坐標都表示質(zhì)點離開平衡位置的位移
某一質(zhì)點（不同時刻）
一群質(zhì)點（同一時刻）
橫軸表時間
橫軸表平衡位置
可直接讀出周期
可直接讀出波長
3、縱坐標的最大值都表示振幅
例2.(多選)根據(jù)圖甲、乙所示，判斷下列說法正確的是（ ）
A.甲是振動圖像，乙是波的圖像
B.甲是波的圖像，乙是振動圖像
C.甲中A質(zhì)點向下振動，乙中B時刻質(zhì)點向下振動
D.甲中A質(zhì)點向上振動，乙中B時刻質(zhì)點向下振動
BD
例3.(2023湖北武漢華中師大一附中月考)一列簡諧
橫波某時刻的波形如圖所示,比較介質(zhì)中的三個質(zhì)點
a、b、c,則 (　　)
A.此刻a的加速度最小
B.此刻b的加速度最大
C.若波沿x軸正方向傳播,此刻b向x軸正方向運動
D.若波沿x軸負方向傳播,c比a先回到平衡位置
D
質(zhì)點的振動方向與波的傳播方向的關(guān)系
PART 2
1、帶動法：先振動的質(zhì)點帶動鄰近的質(zhì)點后振動。
方法：在質(zhì)點P靠近波源一方附近的圖象上另找一點P′
口訣：誰帶動向誰動；帶哪邊傳哪邊。
P向上運動
P向下運動
波向右傳播
二、質(zhì)點的振動方向與波的傳播方向的關(guān)系
2、同側(cè)法：在水平傳播的波的圖像上的某一點，沿豎直方向畫出一個箭頭表示質(zhì)點振動方向，并設(shè)想在同一點沿水平方向畫一個箭頭表示波的傳播方向，那么這兩個箭頭總是在曲線的同側(cè)。
3、上下坡法：
沿波的傳播方向，“上坡”的質(zhì)點向下振動；“下坡”的質(zhì)點向上振動。
y
x
O
傳播方向
上坡
下坡
上坡
上坡下
下坡上
4、微平移法：在某時刻波形的基礎(chǔ)上，作出經(jīng)微小時間Δt 后的波形，就知道了各質(zhì)點經(jīng)過Δt 時間后到達的位置，此刻質(zhì)點振動方向也就知道了。
波向前傳播，波形也向前平移(質(zhì)點不隨波遷移)
y
x
O
P
Q
傳播方向
5、“三角形”法：
y
x
O
v
波的傳播方向
三角形頂部表示波峰或波谷，底邊表示波的傳播方向，三邊箭頭首尾相連，其余兩邊表示同側(cè)質(zhì)點的振動方向。
P
例4.（多選）如圖所示為一列簡諧波在某一時刻的波形圖，此時刻質(zhì)點F的振動方向如圖所示。則（ ）
A.該波向右傳播
B.質(zhì)點B和D的運動方向相同
C.質(zhì)點C比質(zhì)點B先回到平衡位置
D.此時質(zhì)點F和H的加速度相同
思考：如果已知P點的振動方向向下，判斷波的傳播方向。
CD
例5.(2021·北京卷)一列簡諧橫波某時刻的波形圖如圖所示。此后
K質(zhì)點比L質(zhì)點先回到平衡位置．下列判斷正確的是(　　)
A．該簡諧橫波沿x軸負方向傳播
B．此時K質(zhì)點沿y軸正方向運動
C．此時K質(zhì)點的速度比L質(zhì)點的小
D．此時K質(zhì)點的加速度比L質(zhì)點的小
D
波長、頻率和波速
PART 3
在上節(jié)圖 3.1-2 中，從 t ＝ 0 到 t ＝ T 這段時間里，由質(zhì)點 P0 發(fā)出的振動傳到質(zhì)點 P8，使質(zhì)點 P8 開始振動。這時質(zhì)點 P0 恰好結(jié)束了一次全振動而開始下一次全振動，此后質(zhì)點 P0 和質(zhì)點 P8 的振動步調(diào)完全一致
也就是說，這兩個質(zhì)點振動的相位相同，它們在任何時刻對平衡位置的位移的大小和方向總是相同的。同樣，質(zhì)點 P1 和 P9、P2 和 P10……它們每一對在振動中的相位也總是相同的。
1、波長
（1）定義：在波動中，振動位移總是相同的兩個相鄰質(zhì)點間的距離，叫做波長。
（2）符號： λ
（3）國際單位： m；常用單位：cm。
（4）幾點說明：
①在波的圖像上，無論從什么位置開始，一個完整的正弦曲線對應的水平距離為一個波長。
② “振動位移總是相同”的兩質(zhì)點（同相點，步調(diào)一致），在波的圖像上振動位移總是相同，振動速度總是相同。
③在橫波中，兩個相鄰波峰或兩個相鄰波谷之間的距離等于波長；在縱波中，兩個相鄰密部或兩個相鄰疏部之間的距離也等于波長。
λ
λ
三、波長、頻率和波速
④相距λ整數(shù)倍的質(zhì)點振動步調(diào)總是相同的；相距λ/2奇數(shù)倍的質(zhì)點振動步調(diào)總是相反的。
⑤在波源完成一次全振動的時間里，波恰好也完成了一次周期性的波動，振動在介質(zhì)中的傳播的距離恰好等于一個波長。
λ
3λ
5λ/2
同相點
反相點
2、周期（T→s）、頻率（f →Hz）
（1）定義：波源質(zhì)點振動的周期（或頻率）就是波的周期（或頻率）。
思考：在振源完成一次全振動的時間里，為什么波也恰好完成了一次周期性的波動？
每個質(zhì)點都在做受迫振動，因此每個質(zhì)點的振動頻率與波源相同。
結(jié)論：波的頻率取決于波源振動的頻率。
（2）說明
①波的周期（或頻率）應由波源決定，與傳播波的介質(zhì)無關(guān)，波由一種介質(zhì)進入另一種介質(zhì)，頻率不變。
②每經(jīng)過一個周期的時間波就沿傳播方向傳播一個波長的距離。
③每經(jīng)歷一個周期，原有的波形圖不改變。
3、波速（v）
（1）定義：單位時間內(nèi)振動在介質(zhì)中所傳播的距離叫做波速。
（3）物理意義：反映振動在介質(zhì)中傳播的快慢程度。
（4）幾點說明
②一列波在同一均勻介質(zhì)中是勻速傳播的。
③區(qū)分波速與質(zhì)點振動速度的含義。
①波速的大小由介質(zhì)的性質(zhì)決定，同一列波在不同介質(zhì)中傳播速度不同。
4、波長、周期（或頻率）和波速的關(guān)系
在波源完成一次全振動的時間里，波恰好也完成了一次周期性的波動，振動在介質(zhì)中的傳播的距離恰好等于一個波長。
（1）波長、周期（或頻率）和波速的關(guān)系：波速等于波長和頻率的乘積。
（2）該式具有普適性：不僅對機械波成立，對其他形式的波（電磁波、光波）也成立。
例6.（多選）如圖所示，一列簡諧橫波沿x軸正方向傳播，從波傳到x＝5m的M點時開始計時，已知P點相繼出現(xiàn)兩個波峰的時間間隔為0.4s，下面說法中正確的是（ ）
A.這列波的波長是4m
B.這列波的傳播速度是10m/s
C.質(zhì)點Q（x＝9m）經(jīng)過0.5s才第一次到達波峰
D.M點以后各質(zhì)點開始振動的方向都是向下的
ABD
波的描述
波的圖象 概念 物理意義 圖象
物理量 定義 決定因素 關(guān)系
周期、頻率
波速
波長
用橫坐標x表示在波的傳播方向上各質(zhì)點的平衡位置，縱坐標y表示某一時刻各質(zhì)點偏離平衡位置的位移。
介質(zhì)中各振動質(zhì)點在某一時刻相對平衡位置的位移。
y/cm
x/m
O
波源質(zhì)點振動的周期（或頻率）
波源
單位時間內(nèi)振動在介質(zhì)中所傳播的距離
介質(zhì)
在波動中，振動相位總是相同的兩個相鄰質(zhì)點間的距離
波源和介質(zhì)共同決定
特別注意：
（1）同一性質(zhì)的機械波在同一種均勻介質(zhì)中傳播速度相同，與頻率無關(guān)（比如聲音在空氣中傳播的速度為340m/s）（與電磁波區(qū)別）。
（2）波由一種介質(zhì)進入另一種介質(zhì)，頻率不變。
例7.（多選）關(guān)于機械波的波速說法錯誤的有（ ）
A．波速由介質(zhì)和波源共同決定
B．提高振源頻率，波的傳播速度將增大
C．同時在空氣中傳播兩列聲波，波長較大的聲波傳播較快
D．頻率大的聲波在空氣中傳播的波長越短
E．波速反映了介質(zhì)中質(zhì)點振動的快慢
F．波速反映了振動在介質(zhì)中傳播的快慢
ABCE
波速由介質(zhì)決定，與波的頻率、質(zhì)點的振幅無關(guān)
波的頻率只取決于波源，與波速、波長無關(guān)。波在傳播過程中、從一種介質(zhì)進入另一種介質(zhì)時頻率不變。
波長則決定于v和T。波從一種介質(zhì)進入另一種介質(zhì)波速發(fā)生變化，周期不變，波長發(fā)生變化；波在同一介質(zhì)中傳播，當周期發(fā)生變化，波長也發(fā)生變化。
1．波速v由什么決定？
2．頻率f由什么決定？
3．波長λ由什么決定？
【課堂提問】
C
例8.一列波在第一種均勻介質(zhì)中的波長為λ1，在第二種均勻介質(zhì)中的波長為λ2，且λ1=3λ2，那么這列波在這兩種介質(zhì)中的頻率之比和波速之比分別為（　　）
A．3:1和1:1 B．1:3和1:1
C．1:1和3:1 D．1:1和1:3
例9.(2023·河南鄭州市期末)一列簡諧橫波在某時刻的波形圖如圖所示，已知圖中質(zhì)點b的起振時刻比質(zhì)點a延遲了0.5 s，b和c之間的距離是5 m，以下說法正確的是（ ）
A.此列波的波長為2.5 m
B.此列波的頻率為2 Hz
C.此列波的波速為2.5 m/s
D.此列波的傳播方向為沿x軸正方向傳播
D
例10.（多選）一列沿x軸以5m/s的速度傳播的簡諧橫波，t＝0時刻的波形如圖所示，P、Q兩質(zhì)點的橫坐標分別為3.5m、2.5m。已知t＝0時質(zhì)點Q的運動方向沿y軸正方向，則下列說法正確的是（ ）
A.波的傳播方向沿x軸負方向
B.質(zhì)點P振動的周期為0.8s
C.0～3.4 s時間內(nèi)質(zhì)點Q的路程為17cm
D.從t＝0時刻起，質(zhì)點P比質(zhì)點Q先回到平衡位置
ABD
例11.一列簡諧橫波在t=0時的波形圖如圖所示。介質(zhì)中x=1m處的質(zhì)點P沿y軸方向做簡諧運動的表達式為y=10sin（5πt）（cm）。則下列說法正確的是（ ）
A.該波的波長為4m，振幅為20cm
B.t=0時，x=2m處的質(zhì)點具有負向最大加速度
C.該波沿x軸負方向傳播
D.這列波的波速為10m/s
D
波的多解問題
PART 4
【課堂問題】一列橫波沿x軸傳播，在某時刻x軸上相距s的A、B兩點， A是處于平衡位置，B是處于波峰。
請畫出
1、機械波的最簡波形；
2、機械波的可能波形。
●
●
B
A
x
A
1.波動問題多解的主要因素
（1）周期性
①時間周期性：時間間隔Δ t 與周期T 的關(guān)系不明確。
②空間周期性：波傳播的距離Δ x 與波長λ 的關(guān)系不明確。
（2）雙向性
①傳播方向雙向性：波的傳播方向不確定。
②振動方向雙向性：質(zhì)點振動方向不確定。
2.解決波的多解問題的思路
一般采用從特殊到一般的思維方法，即找出一個周期內(nèi)滿足條件的關(guān)系Δt或Δ x，若此關(guān)系為時間，則t ＝ nT＋ Δ t(n ＝ 0，1，2，…)；若此關(guān)系為距離，則x ＝ n λ＋Δ x(n ＝ 0，1，2，…)。
四、機械波的多解問題
1.時間的周期性形成的多解：
機械波在t時刻和t+nT時刻波形完全重合,即同一波形圖對應無數(shù)個不同時刻，導致波形變化的時間Δt=t+nT有無數(shù)個，若Δt與T有一定的約束關(guān)系,可使系列解轉(zhuǎn)化為有限解或唯一解
實線為0時刻
虛線最小時刻為t=T/4
虛線時刻可能為T/4+nT
傳播時間Δt可能為Δt=T/4+nT(n=0、1、2、3...)
(1)若Δt(2)若Δt<2T，則Δt=T/4、5T/4
v
例12.簡諧橫波沿 x 軸傳播，M、N是 x 軸上兩質(zhì)點，如圖甲是質(zhì)點N的振動圖像。圖乙中實線是 t＝3s 時刻的波形圖像，質(zhì)點 M 位于 x＝8 m處，虛線是再過Δt 時間后的波形圖像。圖中兩波峰間距離 Δx＝7.0 m，求：
（1）波速大小和方向；
（2）時間Δ t。
解析：
（1）由題圖知T＝6 s，λ＝8 m
則波速大小為： v ＝ ＝ m/s
t ＝3 s時，質(zhì)點N向下振動，故波沿 x 軸負方向傳播
（2）由題意知，時間
Δ t ＝nT＋ ＝(6n＋ )s，(n＝0，1，2，3…)
2.空間的周期性形成的多解：
將某一波形沿波的傳播方向平移x和x+nλ距離波形完全重合，即同一波形圖對應無數(shù)個不同的傳播距離，導致波形變化的傳播距離Δx=x+nλ有無數(shù)個解，若Δx與λ有一定的約束關(guān)系,可使系列解轉(zhuǎn)化為有限解或唯一解
v
實線為原位置0
到虛線傳播最小距離為x=3λ/4
到虛線傳播距離可能為3λ/4+nλ
傳播時間Δx可能為Δx=3λ/4+nλ(n=1、2、3...)
(1)若Δx<λ，則Δx=3λ/4
(2)若Δx<2λ，則Δx=3λ/4、7λ/4
例13.如圖中實線是一列簡諧橫波在t1 ＝ 0時刻的波形，虛線是這列波在t2 ＝ 0.5 s時刻的波形。
（1）寫出這列波的波速表達式；
（2）若波速大小為74 m/s，波
速方向如何？
解析：（1）由題圖像可知 λ ＝ 8 m
當波向右傳播時，波傳播距離為：
s ＝ n λ＋ λ ＝ (8n＋3) m (n＝0，1，2...)
波速為：v ＝ ＝ m/s ＝ (16n＋6) m/s　(n＝0，1，2…)
當波向左傳播時，波傳播距離為：
s ＝ n λ＋ λ ＝ (8n＋5) m (n＝0，1，2…)
波速為：v ＝ ＝ m/s ＝ (16n＋10) m/s　(n＝0， 1，2…)
（2）若波速大小為74 m/s，在 Δ t ＝ t2－t1 時間內(nèi)波傳播的距離為：
s ＝ v Δ t ＝ 74×0.5 m ＝ 37 m
因為：
s ＝ 37 m ＝ 4λ＋ λ
所以波向左傳播。
3.傳播方向未指定形成兩種解:
波在空間或平面?zhèn)鞑シ较蛴袩o數(shù)個，高中階段只討論沿直線傳播的簡單情形,方向只有兩個，若沒有指明或不能判斷出傳播方向,有兩個方向可能性，結(jié)合周期性考慮，每個方向有無數(shù)個解。
例14.圖中的實線是一列正弦波在某一時刻的波形圖。經(jīng)過0.5 s 后，其波形如圖中虛線所示。設(shè)該波的周期 T 大于 0.5 s。
（1）如果波是向左傳播的，波的速度是多大？波的周期是多大？
（2）如果波是向右傳播的，波的速度是多大？波的周期是多大？
（2）如果波是向右傳播，則 ，由
得v ＝ 0.36 m/s
解：（1）如果波是向左傳播，則 ，由 得v ＝ 0.12 m/s
波的周期為
波的周期為
例15.一列簡諧橫波圖像如圖所示，t1時刻的波形如圖中實線所示，t2時刻的波形如圖中虛線所示，已知Δt＝t2－t1＝0.5s。
（1）這列波的周期可能是多大？
（2）這列波可能的波速表達式是怎樣的？
（3）若波向左傳播，且3T<Δt<4T，波速為多大？
（4）若波速v＝68 m/s，則波向哪個方向傳播？
（3）若波向左傳播，且3T<Δt<4T
（4）Δt內(nèi)波傳播的距離為：x＝vΔt＝68×0.5m＝34m＝4 λ，故波向右傳播。
16、一列簡諧波的波源在圖中的坐標原點處，經(jīng)過0.4s，振動從原點向右傳播20cm，此時波的圖像如圖，質(zhì)點P離原點的距離為80cm。則：
（1）判斷質(zhì)點P起振時的速度方向；
（2）該波從原點向右傳播時開始計時，經(jīng)過多長時間質(zhì)點P第一次到達波峰？
（3）由圖示時刻開始計時，至質(zhì)點P第一次到達波峰，求這段時間內(nèi)波源在振動過程中通過的路程。
（1）沿y軸負方向
（2）1.9s
（3）60cm
謝
謝
聆
聽

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