資源簡介

1.3 相似三角形的性質(zhì) 編制人：憲福數(shù)學(xué) 審核人：憲福數(shù)學(xué) 學(xué)案編號(hào)：6 時(shí)間: 2025 /2 班級(jí) 姓名
1.3 相似三角形的性質(zhì)
【教學(xué)目標(biāo)】
了解相似三角形的性質(zhì)；
會(huì)用相似三角形的性質(zhì)解決一些簡單的問題；
通過相似三角形性質(zhì)的探索過程，體會(huì)相似三角形判定定理的作用，感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想
【教學(xué)重點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)
【教學(xué)難點(diǎn)】相似三角形性質(zhì)的證明過程
【教學(xué)過程】
新知探索
全等三角形的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)邊上的高、對(duì)應(yīng)邊上的中線、對(duì)應(yīng)角的平分線）具有什么性質(zhì)呢？相似三角形的面積具有什么性質(zhì)呢？
已知△ABC ∽△A'B'C'，相似比為 k。
（1）若AD與A'D'分別是對(duì)應(yīng)邊BC與B'C' 上的高，AD與A'D' 的比與相似比k有什么關(guān)系？如何證明你的結(jié)論？
（2）若AD與A'D'分別是∠A 與∠A' 的平分線，AD與A'D' 的比與相似比k有什么關(guān)系？如何證明你的結(jié)論？
（3）若AD與A'D'分別是BC 與 B'C'上的中線，AD與A'D' 的比與相似比k有什么關(guān)系？如何證明你的結(jié)論？
（4）△ABC與△A'B'C'的面積的比S△ABC∶S△A'B'C'與相似比k有怎樣的關(guān)系？
（5）△ABC與△A'B'C'的周長的比C△ABC∶C△A'B'C'與相似比k有怎樣的關(guān)系？
歸納（1）（2）（3）（4）（5）的結(jié)論，你能得到相似三角形的什么性質(zhì)？
知識(shí)點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì)
相似三角形______________等于相似比；面積的比等于______________。
典型例題
例1.如圖 1-24，在△ABC 中，DE∥BC，AD∶DB = 3∶1，△ABC 的面積為48 ,求△ADE的面積.
[跟蹤練習(xí)]
如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，且DE∥AC，AE、CD相交于點(diǎn)O，若S△DOE：S△COA＝1：9，則S△BDE與S△CDE的比是________
注意：等高三角形面積的比等于___________
例2.如圖，有一塊銳角三角形余料ABC，它的邊 BC = 12 cm，高AD=8cm。現(xiàn)要用它裁出一個(gè)正方形工件，使正方形的一邊在BC上，其余的兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC 上，求裁出的正方形工件的邊長。
思考：在例2中，如果并排放置的由2個(gè)全等的小正方形組成的矩形內(nèi)接于△ABC，那么小正方形的邊長為______；并排放置3個(gè)全等的小正方形呢,小正方形的邊長為______；如果在△ABC 中并排放 n 個(gè)這樣的小正方形，你猜測(cè)小正方形的邊長為_______。
課堂小結(jié)
本節(jié)課你有什么收獲？
當(dāng)堂檢測(cè)
1.兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比是1∶4，它們對(duì)應(yīng)高的比是____，面積的比是______，周長的比是______。
2.兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比是2∶3，它們面積的和為78 cm2，較大的三角形的面積為_____.
3.如圖，一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=10cm，高AD=8cm.把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上，求這個(gè)正方形零件的邊長。
課后作業(yè)
[基礎(chǔ)闖關(guān)]
1.已知兩個(gè)相似三角形兩條對(duì)應(yīng)邊上的中線的長分別是 3 cm 和 5 cm，那么它們的相似比是_____，對(duì)應(yīng)高的比是_____。
2.如圖，在△ABC 與△A'B'C' 中，已知∠B =∠B'，,AD,A'D'分別是這兩個(gè)三角形的高。如果 AD = 1.5，那么A'D' 的長是_____
3.如圖，CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高，AD∶CD = 1∶2，S△ACD∶S△CBD=_____
第2題 第3題
如果兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊之比為3：7，其中一個(gè)三角形的一邊上的中線長為2，則另一個(gè)三角形對(duì)應(yīng)中線的長為（　　）
5．如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　）
A．DE∥BC
B．DE：BC＝2：3
C．△ADE與△ABC的面積比為4：9
D．△ADE與四邊形DBCE的面積比為1：2
6．已知△ABC和△DEF相似，且△ABC的三邊長為3、4、5，如果△DEF的周長為6，那么下列不可能是△DEF一邊長的是（　　）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
7．如圖，平行于BC的直線DE把△ABC分成的兩部分面積相等，則為（　　）
A． B． C． D．
8．在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，且AE：ED＝3：1，CE的延長線與BA的延長線交于點(diǎn)F，則S△AFE：S四邊形ABCE為（　　）
A．3：4 B．4：3 C．7：9 D．9：7
如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，則
S△BDE：S四邊形DECA的值為（　　）
A． B． C． D．
10．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，連接EF，則△AEF與五邊形EBCDF的面積比為_____________．
第7題 第8題 第9題 第10題
11．如圖，D是△ABC的邊BC上一點(diǎn)，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，如果△ABD的面積為15，那么△ACD的面積為__________．
12．如圖， ABCD中，點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)O，若△BOE的面積為2，則 ABCD的面積為__________．
第11題 第12題
13．如圖，AB∥CD，∠ACB＝∠BDC＝90°，CE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥CB于點(diǎn)F．
（1）求證：△ABC∽△BCD；
（2）已知AC＝2BC，求的值．
[能力提升]
14.如圖，有一塊銳角三角形的余料 ABC，它的邊BC=150 mm，AB=100 mm，要把它 加工成菱形零件，使菱形的一邊在BC上，其余的兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上，加工成的菱形零件的高ED=51 mm，△ABC的高AD=______
15.如圖，在△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：AF：AB＝1：2：5，則
S△ADE：S四邊形DEGF：S四邊形FGCB＝（　　）
A．1：2：5 B．1：4：25
C．1：3：25 D．1：3：21
16．如圖，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一邊在BC上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，AD交EF于點(diǎn)N，則AN的長為（　　）
A．10 B．15
C．20 D．30
17.（多選）如圖，點(diǎn)B，C在x軸上，點(diǎn)A和D的縱坐標(biāo)分別為2，﹣1，連接AB，AD，BC，DC，AD與BC交于點(diǎn)E，△ABE∽△DCE，下列選項(xiàng)中正確的是（　　）
A．AD：ED＝2：1 B．AB：CD＝2：1
C． D．S△ABE：S△DCE＝4：1
18．如圖，在正方形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)F．若AB＝6，則△AEF的面積為______．
19．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，AD＝5，BC＝10，四邊形EFGH和四邊形HGNM均為正方形，且點(diǎn)E、F、G、N、M都在△ABC的邊上，那么△AEM與四邊形BCME的面積比為______ ．
[培優(yōu)創(chuàng)新]
20.如圖，在△ABC 中，DE∥BC，BE 和 CD 相交于點(diǎn) F，且S△EFC = 3S△EFD，S△ADE∶S△ABC=___
21.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，E是CD的延長線上一點(diǎn)，DECD，連接BE與AC，AD，F(xiàn)E分別交于點(diǎn)O，F(xiàn)．
（1）若△DEF的面積為2，求平行四邊形ABCD的面積．
（2）求證OB2＝OE OF．

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