資源簡介

1.4 圖形的位似（2） 編制人：憲福數學 審核人：憲福數學 學案編號：9 時間: 2025 /2 班級 姓名
1.4 圖形的位似（2）
【教學目標】
1.能夠利用圖形的位似解決平面直角坐標系中圖形的放大或縮小；
2.理解圖形的位似變換與坐標變化的規律
【教學重點】用圖形的坐標變化表示圖形的位似變換
【教學難點】位似變換與坐標變化的規律
【教學過程】
一、實驗與探究
在直角坐標系中，矩形 OABC 的頂點坐標分別為（0，0），（6，0），（6，4），（0，4）。如果將點 O，A，B，C 的橫、縱坐標都縮小一半，得到點 O'，A'，B'，C'，順次連接點 O'，A'，B'，C'。
1.四邊形O'A'B'C'是怎樣的圖形？______________
2.四邊形 O'A'B'C' 與矩形 OABC 是位似圖形嗎？為什么？
3.如果四邊形 O'A'B'C' 與矩形 OABC 是位似圖形，位似中心是_____，它們的相似比是___________
4.已知△OAB的頂點O是坐標原點，頂點 A，B的坐標分別為（-1，2），（-3，0）。把△OAB各個頂點的橫、縱坐標都擴大到原來的 3 倍，得到點 O'，A'，B'。連接 O'A'，O'B'，A'B'，△O'A'B'與△OAB是位似圖形嗎？如果是，位似中心是哪個點？
知識點：
如果多邊形有一個頂點在坐標原點，有一條邊在 x 軸上，那么將這個多邊形的頂點坐標分別擴大（或縮小）相同的倍數，所得到的圖形與原圖形是位似圖形，坐標原點是它們的位似中心。
二、典型例題
例1.如圖，△ABC的三個頂點坐標分別是A（2,2），B（3,1），C（1,0），試以原點O為位似中心，作△ABC的位似圖形△A'B'C'，使之與△ABC的相似比為2∶1。
我們發現:
（1）當位似圖形與原圖形在原點的同側時，A'（__,__），B'（__,__），C'（__,__）
（2）當位似圖形與原圖形在原點的異側時，A'（__,__），B'（__,__），C'（__,__）
（3）由（1）（2）結論，我們可以得出的規律：
在平面直角坐標系中，如果位似圖形是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k（位似圖形在同側）或-k（位似圖形在異側）。若原圖中一點的坐標為（x0，y0）則其對應點的坐標為（kx0，ky0）或（-kx0，-ky0）。
例2.如圖，四邊形OABC頂點坐標分別為（0，0），（2，0），（4，4），（-2，2）。
（1）如果四邊形O'A'B'C'與四邊形OABC位似，位似中心是原點，它的面積等于四邊形OABC面積的倍，A'（__,__），B'（__,__），C'（__,__）
（2）畫出四邊形 OA'B'C'
課堂小結
本節課你有什么收獲？
四、當堂檢測
1.在直角坐標系中，已知點 E（-4，2），F（-1，-1）。以O為位似中心，把△EFO 縮小到原來的，求點E，F的對應點E'坐標為_______________________，F'坐標為_____________________
2.如圖， OABC的一個頂點是坐標原點，點A的坐標是（4，0），點C的坐標是（2，-2）。（1）B（__,__）；
（2）畫出以點 O 為位似中心，與 OABC位似的圖形，使它與 OABC的相似比為1∶2 。
五、課后作業
[基礎闖關]★
1.判斷滿足下列條件的兩個三角形是不是位似圖形，如果是，指出位似中心。
（1）如圖①所示，AB，CD相交于點O，且∠B =∠D，AD = CB；
（2）如圖②所示，AB，CD相交于點O，且∠B =∠A。
2.如圖，在△ABC中，E，F 是 AB 的三等分點，FH∥EG∥AC 。
（1）四邊形EFHG與四邊形FACH是位似圖形嗎？為什么？
（2）指出圖中所有的位似圖形。
3.在如圖所示的方格紙上，以點O為位似中心，畫出與五邊形ABCDE位似的圖形，使它的周長等于五邊形 ABCDE 周長的。
4. 如圖，△ABC為正三角形，點A與B的坐標分別為（-1，0），（1，0）。以點C 為位似中心，在點C下方畫出一個與△ABC 位似的圖形，使它與△ABC的相似比為2∶1。
5.如圖，點O是等邊三角形ABC 的中心，P，Q，R分別是OA，OB，OC的中點。說明△ABC與△PQR是位似圖形，并求出它們的相似比。
6.如圖，在直角坐標系中，△ABC與△ODE是位似圖形，則它們位似中心的坐標是______________
7.如圖，△ABO縮小后變為△A′B′O，其中A，B的對應點分別為A′，B′，點A，B，A′，B′均在圖中的格點上．若線段AB上有一點P（m，n），則點P在A′B′上的對應點P′的坐標為______________
8.如圖，已知矩形OABC與矩形ODEF是位似圖形，P是位似中心，若點B的坐標為（2，4），點E的坐標為（﹣1，2），則點P的坐標為______________
9．如圖，在平面直角坐標系中，△OAB與△OCD位似，位似中心是坐標原點O．若點A（4，0），點C（2，0），則△OAB與△OCD周長的比值是______________．
10．如圖，在直角坐標系中，每個小方格的邊長均為1，△AOB與△A′OB′是以原點O為位似中心的位似圖形，且相似比為3：2，點A，B都在格點上，則點B′的坐標是______________．
11．如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的對角線相交于點E，A（2，0），B（6，0），將正方形ABCD以A為位似中心，1：2為位似比縮小，點E的對應點E′的坐標是______________．
第9題 第10題 第11題
12．在平面直角坐標系中，已知矩形OA1B1C1與矩形OABC關于坐標原點O位似，且矩形OA1B1C1的面積等于矩形OABC面積的4倍，若矩形OABC的頂點B的坐標為B（8，6），則B的對應點B1的坐標為______________．
13．如圖，△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣2，4），B（﹣3，1），C（﹣1，1），以坐標原點O為位似中心，相似比為2，在第二象限內將△ABC放大，放大后得到△A'B'C'．畫出放大后的圖形，并寫出A'，B'，C'的坐標．
[能力提升]★★★
14.如圖，在6×8 的網格圖中，每個小正方形的邊長均為1。點O和△ABC的頂點均是格點。以O為位似中心，在網格中畫出與△ABC位似，且相似比為 1∶2 的頂點均是格點的三角形。
15．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，矩形ABCD與矩形EFGO是位似圖形，位似中心在y軸上，對應點B、F的坐標分別為（﹣4，4）、（2，1），則位似中心的坐標為_____________
16．如圖，已知△ABC與△A′B′C′是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，且，若點A（﹣1，0），點C（，1），則A′C′＝_____________．
第15題 第16題 第17題
17．如圖，四邊形ABCD是正方形，原點O是四邊形ABCD和A′B′C′D′的位似中心，點B、C的坐標分別為（﹣8，2），（﹣4，0），點B′是點B的對應點，且點B′的橫坐標為﹣1，則四邊形A′B′C′D′的周長為_____________．
18．如圖，△ABC中，A、B兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標是（1，0），以點C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A'B′C，并把△ABC的邊長放大到原來的2倍，設點B的橫坐標是a，則點B的對應點B'的橫坐標是 _____________．
[培優創新]★★★★
20．如圖，在平面直角坐標系xOy中，以O為位似中心，將邊長為8的等邊三角形OAB作n次位似變換，經第一次變換后得到等邊三角形OA1B1，其邊長OA1縮小為OA的，經第二次變換后得到等邊三角形OA2B2，其邊長OA2縮小為OA1的，經第三次變換后得到等邊三角形OA3B3，其邊長OA3縮小為OA2的，…按此規律，經第n次變換后，所得等邊出角形OAnBn．的頂點An的坐標為（，0），則n的值是_____________

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