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2.5 解直角三角形的應(yīng)用（1） 編制人：憲福數(shù)學(xué) 審核人：憲福數(shù)學(xué) 學(xué)案編號：5 時間: 2025 /2 班級 姓名
2.5 解直角三角形的應(yīng)用（1）
【學(xué)習目標】
1.會用解直角三角形的有關(guān)知識解某些簡單的實際問題；
2.了解仰角、俯角；
3.感悟抽象、轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想
【學(xué)習重點】將實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題
【學(xué)習難點】將實際問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形中元素間關(guān)系進行解題
【學(xué)習過程】
一、情境引入
東方明珠塔是上海市的一個標志性建筑。為了測量東方明珠塔的高度，小亮和同學(xué)們在距離東方明珠塔200m處的地面上，安放高1.20m的測角儀支架，測得東方明珠塔頂?shù)难鼋菫?0°48'。根據(jù)測量結(jié)果，小亮畫了一張示意圖，其中AB表示東方明珠塔，DC為測角儀支架，DC=1.20 m，CB = 200 m，∠ADE=60°48'。
利用上述數(shù)據(jù)，你能求出AB的長嗎？（學(xué)生獨立思考，與大家分享自己的解決方法）
二、新知探究
閱讀課本第54頁“小資料”，回答下面問題：
1.什么叫水平線？什么叫仰角？什么叫俯角？
在實際測量中，從低處觀測高處的目標時，____________所成的銳角叫做仰角；從高處觀測低處的目標時，____________所成的銳角叫做俯角。
2.試舉出生活中仰角、俯角的例子
三、典型例題
例1.如圖，一架直升飛機執(zhí)行海上搜救任務(wù)，在空中A處發(fā)現(xiàn)海面上有一目標B，儀器顯示這時飛機的高度為 1.5 km，飛機距目標3 km。求飛機在A處觀測目標B的俯角。
（學(xué)生獨立思考，并完成題目的解答）
武漢長江二橋為斜拉索橋，AB和AC分別是直立塔AD左右兩邊的兩根最長的鋼索。已知AB=AC，BC=100m，AB與BC的夾角為30°，求鋼索AB的長及直立塔AD的高（精確到 0.1 m）
（同桌互相交流，學(xué)生上臺板書分享）
總結(jié)：直角三角形邊角之間的關(guān)系，是解決與直角三角形有關(guān)的實際問題的重要工具。把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，關(guān)鍵是找出實際問題中的直角三角形。這一解答過程的思路是：
四、課堂小結(jié) 本節(jié)課你有什么收獲？
五、當堂檢測
1.如圖，一架梯子斜靠在墻上，梯子頂端到地面的距離 BC = 3.2 m，底端到墻根的距離AC = 2.4 m。
（1）求梯子的長度和梯子與地面所成角的大小（精確到 1'，參考數(shù)據(jù)：tan53°8′≈）；
（2）如果把梯子的底端到墻根的距離減少 0.4 m，那么梯子與地面所成的角是多少？
2.住宅的采光是建樓和購房時人們所關(guān)心的問題之一。如圖，住宅小區(qū)南、北兩棟樓房的高度均為16.8 m。已知當?shù)囟吝@天中午12時太陽光線與地面所成的角是 35°。（參考數(shù)據(jù)：tan35°≈0.57）
（1）要使這時南樓的影子恰好落在北樓的墻腳，兩樓間的距離應(yīng)為多少米（精確到0.1 m）？
（2）如果兩棟樓房之間的距離為20 m，那么這時南樓的影子是否會影響北樓一樓的采光？
六、課后分層作業(yè)
【基礎(chǔ)闖關(guān)】
1．如圖，甲乙兩樓相距30米，乙樓高度為36米，自甲樓頂A處看乙樓樓頂B處仰角為30°，則甲樓高度為（　　）
A．15米 B．米 C．米 D．米
2．如圖，學(xué)校環(huán)保社成員想測量斜坡CD旁一棵樹AB的高度，他們先在點C處測得樹頂B的仰角為60°，然后在坡頂D測得樹頂B的仰角為30°，已知斜坡CD的長度為10m，DE的長為5m，則樹AB的高度是（　　）m．
A．10 B．15 C．15 D．155
3.如圖，從甲樓底部A處測得乙樓頂部C處的仰角是30°，從甲樓頂部B處測得乙樓底部D處的俯角是45°，已知甲樓的高AB是120m，則乙樓的高CD是　 m（結(jié)果保留根號）
第1題 第2題 第3題 第4題
4．某校“綜合與實踐”小組采用無人機輔助的方法測量一座橋的長度．如圖，橋AB是水平并且筆直的，測量過程中，小組成員遙控無人機飛到橋AB的上方120米的點C處懸停，此時測得橋兩端A，B兩點的俯角分別為60°和45°，橋AB的長度為________．
5．我國航天事業(yè)捷報頻傳，天舟二號于2021年5月29日成功發(fā)射，震撼人心．當天舟二號從地面到達點A處時，在P處測得A點的仰角∠DPA為30°且A與P兩點的距離為6千米，它沿鉛垂線上升7.5秒后到達B處，此時在P處測得B點的仰角∠DPB為45°，求天舟二號從A處到B處的平均速度．（結(jié)果精確到1m/s，取1.732，1.414）
6．在小明家附近有一座廢舊的煙囪，為了鄉(xiāng)村振興，美化環(huán)境，政府現(xiàn)決定用爆破的方式拆除該煙囪．如圖，為確定安全范圍，需測量煙囪的高度AB，因為不能直接到達煙囪底部B處，測量人員將高為1.2m的測角器放在與煙囪底部B處成一直線的C，D兩處，分別測得煙囪頂部A處的仰角∠B′C′A＝60°，∠B′D′A＝30°，同時量得CD的長為60m。求煙囪AB的高度。（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732）
【能力提升】
數(shù)學(xué)活動小組到某廣場測量標志性建筑AB的高度．如圖，他們在地面上C點測得最高點A的仰角為22°，再向前70m至D點，又測得最高點A的仰角為58°，點C，D，B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為（　　）（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，
sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）
A．28m B．34m C．37m D．46m
8．如圖，建筑物BC上有一高為8m的旗桿AB，從D處觀測旗桿頂部A的仰角為53°，觀測旗桿底部B的仰角為45°，則建筑物BC的高約為 　 　m（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
9．如圖，某高速公路建設(shè)中需要測量某條江的寬度AB，飛機上的測量人員在C處測得A，B兩點的俯角分別為45°和30°．若飛機離地面的高度CH為1200米，且點H，A，B在同一水平直線上，則這條江的寬度AB為　 　米（結(jié)果保留根號）．
第7題 第8題 第9題
10．某興趣小組借助無人飛機航拍校園．如圖，無人飛機從A處水平飛行至B處需8秒，在地面C處同一方向上分別測得A處的仰角為75°，B處的仰角為30°．已知無人飛機的飛行速度為4米/秒，求這架無人飛機的飛行高度．（結(jié)果保留根號）
【培優(yōu)創(chuàng)新】
11．數(shù)學(xué)活動課上，小明同學(xué)利用無人機測量大樓CD的高度．無人機在空中P處，測得樓CD樓頂D處的俯角為45°，測得樓AB樓頂A處的俯角為60°．已知樓AB和樓CD之間的距離BC為120米，樓AB的高度為18米的A處測得樓CD的D處的仰角為30°（點A、B、C、D、P在同平面內(nèi)）．
（1）求樓CD的高度（結(jié)果保留根號）；
（2）求此時無人機距離地面BC的高度．

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