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專題4
1.一次函數的圖象過點，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據一次函數的圖象分析增減性即可．
【詳解】因為一次函數的一次項系數小于0,所以y隨x增減而減小．
故選B．
【總結】本題考查一次函數圖象的增減性,關鍵在于分析一次項系數與零的關系．
2.直線不經過第二象限，則關于的方程實數解的個數是（ ）.
A．0個 B．1個 C．2個 D．1個或2個
【答案】D
【分析】根據直線不經過第二象限，得到，再分兩種情況判斷方程的解的情況.
【詳解】∵直線不經過第二象限，
∴，
∵方程，
當a=0時，方程為一元一次方程，故有一個解，
當a<0時，方程為一元二次方程，
∵ =，
∴4-4a>0，
∴方程有兩個不相等的實數根，
故選：D.
【總結】此題考查一次函數的性質：利用函數圖象經過的象限判斷字母的符號，方程的解的情況，注意易錯點是a的取值范圍，再分類討論.
3.下列各點在函數圖象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據一次函數圖象上點的坐標特征，將選項中的各點分別代入函數解析式，進行計算即可得到答案．
【詳解】解：一次函數圖象上的點都在函數圖象上，
函數圖象上的點都滿足函數解析式，
A.當時，，故本選項錯誤，不符合題意；
B.當時，，故本選項錯誤，不符合題意；
C.當時，，故本選項錯誤，不符合題意；
D.當時，，故本選項正確，符合題意；
故選：D．
【總結】本題主要考查了一次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握一次函數圖象上的點都在函數圖象上，是解題的關鍵．
4.為了響應“建設綠美中山”的號召，我市某學校計劃從某苗木基地購進A、B兩種樹苗共200棵綠化校園．已知購買3棵A種樹苗和4棵B種樹苗共需620元；購買2棵A種樹苗和3棵B種樹苗共需440元．
(1)每棵A種樹苗、B種樹苗各需多少元？
(2)學校除支付購買樹苗的費用外，平均每棵樹苗還需支付運輸及種植費用20元，設學校購買B種樹苗x棵，購買兩種樹苗及運輸、種植所需的總費用為y元，求y與x的函數關系．
(3)在（2）的條件下，若學校用于綠化的總費用在22400元限額內，且購買A種樹苗的數量不少于B種樹苗的數量，請給出一種費用最省的方案，并求出該方案所需的費用．
【答案】(1)每棵A種樹苗需要100元，每棵B種樹苗需要80元
(2)
(3)當購進100棵A種樹苗，100棵B種樹苗時，總費用最少，最少費用為22000元
【分析】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式組的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，找出關于的函數關系式；（3）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式組．
（1）設每棵種樹苗需要元，每棵種樹苗需要元，根據“購買了3棵種樹苗和4棵種樹苗共需620元；購買2棵種樹苗和3棵種樹苗共需440元”，可列出關于，的二元一次方程組，解之即可得出結論；
（2）由購進兩種樹苗的總棵數及購進種樹苗的棵數，可得出學校購買種樹苗棵，利用購買兩種樹苗及運輸、種植所需的總費用單價數量每棵樹苗的運輸及種植費用，即可找出與的函數關系式；
（3）根據“購買種樹苗的數量不少于種樹苗的數量，且學校用于綠化的總費用在22400元限額內”，可列出關于的一元一次不等式組，解之可得出的取值范圍，再利用一次函數的性質，即可解決最值問題．
【詳解】（1）解：設每棵種樹苗需要元，每棵種樹苗需要元，
根據題意得：，
解得：．
答：每棵種樹苗需要100元，每棵種樹苗需要80元；
（2）解：學校計劃從某苗木基地購進、兩種樹苗共200棵綠化校園，且學校購買種樹苗棵，
學校購買種樹苗棵．
根據題意得：，
即；
（3）解：根據題意得：，
解得：．
，
隨的增大而減小，
當時，取得最小值，最小值，此時．
答：當購進100棵種樹苗，100棵種樹苗時，總費用最少，最少費用為22000元．
5.（2024·廣東深圳·二模）如圖，在平面直角坐標系中，將直線向右平移5個單位長度得到直線．
(1)直接畫出直線；
(2)的解析式為______；
(3)直線與之間的距離為______個單位長度．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)
【分析】（1）根據平移的性質畫出直線；
（2）利用平移的規律求得直線的解析式；
（3）根據三角形面積公式即可得到結論．
【詳解】（1）如圖，
（2）將直線向右平移5個單位長度得到直線為；
故答案為：；
（3）如圖，過O作于C，反向延長交于D，
∵與x軸交于，與y軸交于，
與x軸交于，與y軸交于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直線與之間的距離為個單位長度，
故答案為：．
【總結】此題考查了一次函數圖象與幾何變換，勾股定理，一次函數與坐標軸的交點，正確把握變換規律是解題關鍵．
知識點一 一次函數的基礎
1.一次函數的基礎
正比例函數的定義：一般地，形如的函數，叫做正比例函數，其中k叫做比例系數.
一次函數的定義：一般地，形如的函數，叫做一次函數.
【補充】正比例函數是一次函數的特例（當b=0時），即正比例函數是一次函數，而一次函數不一定是正比例函數.
一次函數的一般形式：.
特征：1）k≠0；2）x的次數為1；3）常數b可以取任意實數.
【注意】一般地，一次函數中自變量x的取值范圍是任意實數，但在實際問題中x的取值范圍要根據具體問題的實際意義來確定.
2.待定系數法
待定系數法：先設出函數解析式，再根據條件確定解析式中未知的系數，從而得出函數解析式的方法叫做待定系數法.
用待定系數法確定一次函數解析式的一般步驟：
1）設：設一次函數的解析式為；
2）列：將已知條件代入解析式，列出關于k、b的二元一次方程組；
3）解：解二元一次方程組，求出k、b；
4）代：將k、b的值代回所設的函數解析式中.
1.正比例函數的圖像與性質
正比例函數的圖像：正比例函數的圖像是經過原點（0，0）的一條直線.
正比例函數的性質：
k的符號 圖像 圖像的位置 增減性
k＞0 圖像經過原點 和第一、三象限 y隨x增大而增大
k＜0 圖像經過原點 和第二、四象限 y隨x增大而減小
【補充】正比例函數必過點（0,0）、（1，k）.
2.一次函數的圖像與性質
一次函數的圖像：一次函數的圖像是一條直線，通常也稱直線.
一次函數的性質：
一次函數
k、b 的符號 k＞0 k＜0
b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0
圖像
趨勢 從左向右看圖像呈上升趨勢 從左向右看圖像呈下降趨勢
增減性 y隨x增大而增大 y隨x增大而減小
與y軸交點的位置 正半軸 原點 負半軸 正半軸 原點 負半軸
經過 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限
【補充說明】
1）一次函數的位置由k、b共同決定，k的符號決定一次函數的增減性，b的符號決定一次函數與y軸的交點位置.
2）
的三角形面積為.
3.k，b的符號與直線的關系
在直線中，令y=0，則x=，即直線與x軸交于
1）當時，即k，b異號時，直線與x軸交于正半軸．
2）當，即b=0時，直線經過原點．
3）當，即k，b同號時，直線與x軸交于負半軸．
4.正比例函數與一次函數圖像的關系
圖像關系：正比例函數的圖像是經過原點的一條直線，一次函數的圖像可由正比例函數的圖像平移|b|個單位長度得到.（當b＞0時，向上平移；當b＜0時，向下平移）
常見的變換方式：
平移變換 平移方式（m＞0） 函數解析式
向上平移m個單位
向下平移m個單位
向左平移m個單位
向右平移m個單位
平移口訣：左加有減（只改變x），上加下減（只改變y）.
對稱變換 變換方式 變換后
關于x軸對稱
關于y軸對稱
關于原點對稱
對稱口訣：關于誰對稱誰不變，關于原點對稱都改變.
知識點二 一次函數的圖像與性質
1.正比例函數的圖像與性質
正比例函數的圖像：正比例函數的圖像是經過原點（0，0）的一條直線.
正比例函數的性質：
k的符號 圖像 圖像的位置 增減性
k＞0 圖像經過原點 和第一、三象限 y隨x增大而增大
k＜0 圖像經過原點 和第二、四象限 y隨x增大而減小
【補充】正比例函數必過點（0,0）、（1，k）.
2.一次函數的圖像與性質
一次函數的圖像：一次函數的圖像是一條直線，通常也稱直線.
一次函數的性質：
一次函數
k、b 的符號 k＞0 k＜0
b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0
圖像
趨勢 從左向右看圖像呈上升趨勢 從左向右看圖像呈下降趨勢
增減性 y隨x增大而增大 y隨x增大而減小
與y軸交點的位置 正半軸 原點 負半軸 正半軸 原點 負半軸
經過 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限
【補充說明】
1）一次函數的位置由k、b共同決定，k的符號決定一次函數的增減性，b的符號決定一次函數與y軸的交點位置.
2）
的三角形面積為.
3.k，b的符號與直線的關系
在直線中，令y=0，則x=，即直線與x軸交于
1）當時，即k，b異號時，直線與x軸交于正半軸．
2）當，即b=0時，直線經過原點．
3）當，即k，b同號時，直線與x軸交于負半軸．
4.正比例函數與一次函數圖像的關系
圖像關系：正比例函數的圖像是經過原點的一條直線，一次函數的圖像可由正比例函數的圖像平移|b|個單位長度得到.（當b＞0時，向上平移；當b＜0時，向下平移）
常見的變換方式：
平移變換 平移方式（m＞0） 函數解析式
向上平移m個單位
向下平移m個單位
向左平移m個單位
向右平移m個單位
平移口訣：左加有減（只改變x），上加下減（只改變y）.
對稱變換 變換方式 變換后
關于x軸對稱
關于y軸對稱
關于原點對稱
對稱口訣：關于誰對稱誰不變，關于原點對稱都改變.
知識點三 一次函數與方程（組）、不等式
1.一次函數與一元一次方程
從“數”上看：方程的解 函數中，y=0時對應的x的值
從“形”上看：方程的解 函數的圖像與x軸交點的橫坐標.
【補充】對于一次函數，已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值時，就是把問題轉化為關于y或x的一元一次方程來求解.
2.一次函數與二元一次方程組
從“數”的角度看：解二元一次方程組相當于考慮自變量為何值時，兩個函數的值相等，以及這兩個函數值是何值；
從“形”的角度看：解二元一次方程組相當于確定兩條直線的交點坐標，一般地，如果一個二元一次方程組有唯一解，那么這個解就是方程組對應的兩條直線的交點坐標.
【補充】
1）二元一次方程組的圖像解法：畫出兩個一次函數的圖像，找出它們的交點坐標，即得相應的二元一次方程組的解.
2）確定兩條直線交點坐標的方法：聯立兩個一次函數的解析式，構建二元一次方程組，通過解方程組，即可確定兩條直線的交點坐標.
3.一次函數與一元一次不等式
從“數”的角度看：解一元一次不等式就是尋求使一次函數的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；
從“形”的角度看：就是確定直線在x軸上（或下）方部分的點的橫坐標滿足的條件.
利用解一元一次不等式可確定相應的函數值對應的自變量的取值范圍，具體的對應關系如下：
1）不等式的解集直線在x軸上方的部分所對應的x的取值范圍；
2）不等式的解集直線在x軸下方的部分所對應的x的取值范圍；
3）不等式的解集直線在直線上方的部分所對應的x的取值范圍；
4）不等式的解集直線在直線下方的部分所對應的x的取值范圍.
【補充】不解不等式而直接寫出不等式解集的方法：
1）根據圖像，求出兩直線的交點的橫坐標;
2）交點是分水嶺，交點左右，哪個圖像在上方哪個圖像就大，反之亦然.
關于函數，下列結論成立的是（ ）．
A．函數圖象經過點 B．隨的增大而增大
C．當時， D．函數圖象不經過第一象限
【答案】C
【分析】本題考查了一次函數的性質，熟練掌握一次函數的性質是解題關鍵．將代入解析式求出函數值，即可判斷A選項；根據一次函數的增減性，即可判斷B選項；根據一次函數與坐標軸的交點坐標，即可判斷C選項；根據一次函數的系數，即可判斷D選項．
【詳解】解：A．當時，，即函數圖象經過點，原結論錯誤，不符合題意；
B．，即隨的增大而減小，原結論錯誤，不符合題意；
C．函數過點，即當時，，原結論正確，符合題意
D．函數圖象經過一、二、四象限，原結論錯誤，不符合題意；
故選：C．
2．（2022·山東濟南·中考真題）某學校要建一塊矩形菜地供學生參加勞動實踐，菜地的一邊靠墻，另外三邊用木欄圍成，木欄總長為40m．如圖所示，設矩形一邊長為xm，另一邊長為ym，當x在一定范圍內變化時，y隨x的變化而變化，則y與x滿足的函數關系是（ ）
A．正比例函數關系 B．一次函數關系
C．反比例函數關系 D．二次函數關系
【答案】B
【分析】根據矩形周長找出關于x和y的等量關系即可解答．
【詳解】解：根據題意得：
，
∴，
∴y與x滿足的函數關系是一次函數；
故選：B．
【總結】本題通過矩形的周長考查一次函數的定義，解題的關鍵是理清實際問題中的等量關系準確地列式．
3.（2024·廣東廣州·二模）正比例函數的圖象經過點，則此圖象一定經過點（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了正比例函數．熟練掌握正比例函數圖象經過的點的坐標適合解析式，是解決問題的關鍵．
將點代入正比例函數，得正比例函數的解析式為．根據正比例函數圖象經過的點的坐標適合解析式，逐項判斷．
【詳解】∵函數的圖象經過點，
∴，
∴，
∴，
A．，
時，，
∴的圖象不經過點；
B．，
時，，
∴的圖象經過點；
C．，
時，，
∴的圖象不經過點；
D．，
時，，
∴的圖象不經過點．
故選：B．
4.（2024·廣東·中考真題）已知不等式的解集是，則一次函數的圖象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查一次函數與一元一次不等式，解不等式的方法：從函數的角度看，就是尋求使一次函數的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍．找到當函數圖象位于x軸的下方的圖象即可．
【詳解】解∶∵不等式的解集是，
∴當時，，
觀察各個選項，只有選項B符合題意，
故選：B．
5.（2023·內蒙古·中考真題）如圖，直線與雙曲線交于點和點，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【分析】利用數形相結合，借助圖象求出不等式的解集即可．
【詳解】解：∵把 ，直線與雙曲線交于點和點，
∴當時，直線在雙曲線的下方且直線在x軸的上方，
∴不等式的解集是：，
故選：B．
【總結】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，反比例函數圖象上點的坐標特征，利用數形相結合的思想是解此題的關鍵．
6.（2022·廣東廣州·中考真題）點在正比例函數（）的圖象上，則的值為（ ）
A．-15 B．15 C． D．
【答案】D
【分析】直接把已知點代入，即可求出k的值．
【詳解】解：∵點在正比例函數的圖象上，
∴，
∴，
故選：D．
【總結】此題考查了用待定系數法求正比例函數的解析式，解題關鍵是正確得出k的值．
7.（2024·廣東佛山·三模）把直線向上平移三個單位長度后經過點，則b的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了一次函數圖象的平移，待定系數法求一次函數解析式．先求出平移后的直線解析式，再根據平移后的直線經過點進行求解即可．
【詳解】解：將直線向上平移3個單位長度后的直線解析式為，
平移后的直線經過點，
，
，
故選：B．
8.（2024·廣東·模擬預測）下列函數中，y是x的一次函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查一次函數的定義，一般地，形如（k，b為常數，且）的函數稱為一次函數，據此逐項判斷即可．
【詳解】解：A、是一次函數，符合題意；
B、不是一次函數，不符合題意；
C、不是一次函數，不符合題意；
D、不是一次函數，不符合題意．
故選：A
9.（2024·廣東·中考真題）已知不等式的解集是，則一次函數的圖象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查一次函數與一元一次不等式，解不等式的方法：從函數的角度看，就是尋求使一次函數的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍．找到當函數圖象位于x軸的下方的圖象即可．
【詳解】解∶∵不等式的解集是，
∴當時，，
觀察各個選項，只有選項B符合題意，
故選：B．
10.（2024·江蘇鎮江·中考真題）點、在一次函數的圖像上，則 （用“”、“”或“”填空）．
【答案】<
【分析】本題主要考查了一次函數圖象的性質，根據，可知一次函數值y隨著x的增大而增大，再比較x值的大小，可得答案．
【詳解】∵一次函數中，，
∴一次函數值y隨著x的增大而增大．
∵，
∴．
故答案為：．
11.已知一次函數的圖象經過點與點，求該一次函數的表達式．
【答案】
【分析】將兩個點代入解析式求解即可．
【詳解】解：∵一次函數的圖象經過點與點，
∴代入解析式得：，
解得：，
∴一次函數的解析式為：．
【總結】題目主要考查待定系數法確定一次函數解析式．
12.（2024·廣東廣州·中考真題）一個人的腳印信息往往對應著這個人某些方面的基本特征．某數學興趣小組收集了大量不同人群的身高和腳長數據，通過對數據的整理和分析，發現身高和腳長之間近似存在一個函數關系，部分數據如下表：
腳長 … …
身高 … …
(1)在圖1中描出表中數據對應的點；
(2)根據表中數據，從和中選擇一個函數模型，使它能近似地反映身高和腳長的函數關系，并求出這個函數的解析式（不要求寫出的取值范圍）；
(3)如圖2，某場所發現了一個人的腳印，腳長約為，請根據（2）中求出的函數解析式，估計這個人的身高．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)
【分析】本題考查了函數的實際應用，正確理解題意，選擇合適的函數模型是解題關鍵．
（1）根據表格數據即可描點；
（2）選擇函數近似地反映身高和腳長的函數關系，將點代入即可求解；
（3）將代入代入即可求解；
【詳解】（1）解：如圖所示：

（2）解：由圖可知：隨著的增大而增大，
因此選擇函數近似地反映身高和腳長的函數關系，
將點代入得：
，
解得：
∴
（3）解：將代入得：
∴估計這個人身高
13.（2022·廣東·中考真題）物理實驗證實：在彈性限度內，某彈簧長度y（）與所掛物體質量x（）滿足函數關系．下表是測量物體質量時，該彈簧長度與所掛物體質量的數量關系．
x 0 2 5
y 15 19 25
(1)求y與x的函數關系式；
(2)當彈簧長度為20時，求所掛物體的質量．
【答案】(1)
(2)所掛物體的質量為2.5kg
【分析】（1）由表格可代入x=2，y=19進行求解函數解析式；
（2）由（1）可把y=20代入函數解析式進行求解即可．
【詳解】（1）解：由表格可把x=2，y=19代入解析式得：
，
解得：，
∴y與x的函數關系式為；
（2）解：把y=20代入（1）中函數解析式得：
，
解得：，
即所掛物體的質量為2.5kg．
【總結】本題主要考查一次函數的應用，解題的關鍵是得出一次函數解析式．
14.（2023·廣東廣州·中考真題）因活動需要購買某種水果，數學活動小組的同學通過市場調查得知：在甲商店購買該水果的費用（元）與該水果的質量x（千克）之間的關系如圖所示；在乙商店購買該水果的費用（元）與該水果的質量x（千克）之間的函數解析式為（）.
（1）求與x之間的函數解析式；
（2）現計劃用600元購買該水果，選甲、乙哪家商店能購買該水果更多一些？
【答案】（1）當時，；當時，
（2）選甲家商店能購買該水果更多一些
【解析】
【分析】（1）利用待定系數法求解析式；
（2）分別計算時時x的值，比較即可得到結論
【小問1詳解】
解：當時，設，
將代入，得，
∴，
∴；
當時，設，將點，代入，得
，解得，
∴
【小問2詳解】
當時，，解得；
當時，，解得，
∵，
∴選甲家商店能購買該水果更多一些．
【總結】此題考查了一次函數的實際應用，待定系數法求一次函數的解析式，求自變量的值，正確理解函數圖象是解題的關鍵．
15.（2024·廣東汕頭·一模）如圖，點B，，，……在x軸上，點A在y軸上，軸，軸，交點為點C，直線經過原點O和點C；點是的中點，，軸，軸，直線經過點O和點；點是的中點，軸，軸，直線經過點O和點……以此類推，若點，則直線的解析式為 ．
【答案】
【分析】本題考查了求一次函數的解析式．先利用待定系數法求得直線的解析式為；直線的解析式為；直線的解析式為；得到規律，依規律求解即可．
【詳解】解：設直線的解析式為，
∵，
∴，解得，
∴直線的解析式為；
由題意得，同理直線的解析式為；
，同理直線的解析式為；
∴直線的解析式為；
故答案為：．
16.（2024·廣東深圳·三模）在初中階段的函數學習中，我們經歷了“確定函數的表達式→利用函數圖象研究其性質→運用函數解決問題”的學習過程．結合學習函數的經驗，探究函數的圖象與性質，探究過程如下，請補充完整．
（1）列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … b …
（2）描點并連線．
（3）觀察圖象并填空：
① ，
②寫出該函數的一條性質：
③圖象與x軸圍成的三角形面積為
④當時，直接寫出x的取值范圍
【答案】（2）見解析；（3）①，；②當時，y隨x增大而增大（或）當時，y隨x增大而減小（或）當時，y取最小；③16；④或
【分析】本題考查畫函數圖象，利用函數圖象分析解決問題，掌握描點畫圖是解題的關鍵．
（2）根據表格描出各點，然后連接即可得到圖象；
（3）①把給的任一點的坐標代入求出，然后把代入解題即可；
②觀察圖象得到性質即可；
④先根據求出自變量x的值，然后借助圖象回答即可．
【詳解】（2）如圖
（3）①把，代入得，解得，
∴當時，，
故答案為：，；
②當時，y隨x增大而增大 （或）當時，y隨x增大而減小 （或）當時，y取最小
③令，則，解得，，
∴圖象與x軸圍成的三角形面積為，
故答案為：16 ；
④令，則，解得，，
∴由圖像可知，當時，直接寫出x的取值范圍或．
17.某施工隊承接了一項修路任務，每天下班前登記施工進度，列表記錄了開工天以來的修路情況，其中表示開工的天數（單位：天），表示剩余未修道路長度（單位：千米）．為描述剩余未修道路長度與開工數的關系，現有以下三種函數關系式可供選擇，，．
(1)請在如圖所示的平面直角坐標系中描出表中數據對應的點，再選出最符合實際的函數模型，求出相應的函數表達式；
(2)若想要比原計劃提前一天完成施工任務，求之后幾天平均每天比原計劃多修的長度．
【答案】(1)圖見解析，
(2)之后幾天平均每天比原計劃多修千米
【分析】題目主要考查一次函數的應用及待定系數法確定函數解析式，理解題意，確定函數解析式是解題關鍵．
（1）在坐標系中描出點，根據圖象選擇一次函數，利用待定系數法確定函數解析式即可．
（2）令，由得，，所以按照原計劃還需天可修完，還有千米，平均每天需要修千米．因為要提前一天完成任務，所以之后幾天需要每天修（千米）．因為（千米），所以之后幾天平均每天比原計劃多修千米．
【詳解】（1）解：描點如圖，
根據圖象選擇函數，
將，代入得
得，
解得，
．
（2）令，由得，，
按照原計劃還需天可修完，還有千米，平均每天需要修千米．
要提前一天完成任務，
之后幾天需要每天修（千米）．
（千米），
之后幾天平均每天比原計劃多修千米．
1．（2024·陜西西安·模擬預測）正比例函數的圖像經過點和點，則的值為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】本題考查了正比例函數的定義，待定系數法求得解析式是解題的關鍵．
設正比例函數表達式為，將點代入正比例函數表達式為，得出，則，再將點代入，即可求解．
【詳解】解：設正比例函數表達式為，將點代入，
解得，則，
將點代入，
得，解得．
故選：B．
（2024·廣東河源·一模）在同一平面直角坐標系中，一次函數與的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（ ）

A．
B．隨x的增大而增大
C．當時，
D．關于x，y的方程組的解為
【答案】C
【分析】本題考查了一次函數與方程、不等式的關系．根據一次函數與方程、不等式的關系求解．
【詳解】解：A、由圖象得：，，所以，故本選項不符合題意；
B、由圖象得隨的增大而減小，故本選項不符合題意；
C、由圖象得：當時，，故本選項符合題意；
D、由圖象得：的解為，故本選項不符合題意．
故選：C．
3.（2024·陜西西安·三模）已知正比例函數的圖象經過第二、四象限，則（　　）
A．y隨x的增大而減小
B．y隨x的增大而增大
C．當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小
D．無論x如何變化，y不變
【答案】A
【分析】本題主要考查了正比函數的圖象和性質，根據正比例函數的圖象和性質即可求解．
【詳解】∵正比例函數的圖象經過第二、四象限，
∴
∴y隨x的增大而減小．
故選：A．
4．（2024·湖南岳陽·模擬預測）若正比例函數的圖象經過點，則這個圖象必經過點（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了正比例函數的圖象和性質，先求出該正比例函數解析式，再逐個判斷即可．
【詳解】解：設正比例函數解析式為，
將代入得：，
∴正比例函數解析式為，
當時，，故不在該正比例函數圖象上，不符合題意；
當時，，故不在該正比例函數圖象上，不符合題意；
當時，，故不在該正比例函數圖象上，不符合題意；
當時，，故在該正比例函數圖象上，符合題意；
故選：D．
5.（2024·廣東汕頭·二模）若直線與直線關于直線對稱，則k、b值分別為（ ）
A．、 B．、 C．、 D．、
【答案】D
【分析】本題考查的是一次函數圖象與幾何變換，待定系數法求函數解析式，先根據題意得出直線與坐標軸的交點是解決問題的關鍵．
先求出一次函數與軸交點關于直線的對稱點，得到的值，再求出一次函數與軸交點關于直線的對稱點，代入一次函數，求出的值即可．
【詳解】解：∵一次函數與軸交點為，
∴點關于直線的對稱點為，
代入直線，可得，
∵一次函數與軸交點為，
∴關于直線的對稱點為，
代入直線，可得，
解得．
故選：D．
直線與直線在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則不等式
的解集 為
【答案】
【分析】本題考查一次函數的交點問題，利用兩條直線交點求不等式的解集．根據題意利用數形結合求出不等式的解集即可．
【詳解】解：由函數圖象可知，當時，的圖象在圖象的下方．
故答案為：．
7.（2023·寧夏·中考真題）如圖是某種桿秤．在秤桿的點處固定提紐，點處掛秤盤，點為0刻度點．當秤盤不放物品時，提起提紐，秤砣所掛位置移動到點，秤桿處于平衡．秤盤放入克物品后移動秤砣，當秤砣所掛位置與提扭的距離為毫米時秤桿處于平衡．測得與的幾組對應數據如下表：
/克 0 2 4 6 10
/毫米 10 14 18 22 30
由表中數據的規律可知，當克時， 毫米．

【答案】50
【分析】根據表格可得y與x的函數關系式，再將代入求解即可．
【詳解】解：由表格可得，物品每增加2克，秤砣所掛位置與提扭的距離增加4毫米，則物品每增加1克，秤砣所掛位置與提扭的距離增加2毫米，
當不掛重物時，秤砣所掛位置與提扭的距離為10毫米，
∴y與x的函數關系式為，
當時，，
故答案為：50．
【總結】本題考查由表格得函數關系式以及求函數值，通過表格得出函數關系式是解題的關鍵．
8.（2024·廣東韶關·模擬預測）如圖，機器人從點O出發，向正西方向走到達點；再向正北方向走到達點；再向正東方向走到達點；再向正南方向走到達點；再向正西方向走到達點…，按如此規律走下去，當機器人走到點時，點的坐標為
【答案】
【分析】本題考查了坐標的規律，正確找到序號數與點所在象限的關系是解題的關鍵．
根據題意，得，在第二象限；在第一象限；在第四象限；在第三象限；在第二象限，由此得到點坐標位置環節為4，即序號數減去1除以4，余數為1，位于第二象限；余數為2，位于第一象限；余數為3，位于第四象限；余數為0，位于第三象限；且位于第四象限的點的橫坐標，縱坐標的絕對值都等于序號數，解答即可．
【詳解】根據題意，得，在第二象限；在第一象限；在第四象限；在第三象限；在第二象限，
由此得到點坐標位置環節為4，即序號數減去1除以4，余數為1，位于第二象限；
余數為2，位于第一象限；余數為3，位于第四象限；余數為0，位于第三象限；且位于第四象限的點的橫坐標，縱坐標的絕對值都等于序號數，
由，
故點位于第四象限，
故點的坐標為；
故答案為：．
9.（2024·廣東云浮·一模）已知直線l經過點和點，求直線l的解析式．
【答案】
【分析】本題考查的是利用待定系數法求解一次函數的解析式，把點，代入，再進一步求解可得答案．
【詳解】解：設直線的解析式為．
把點，代入，
得，
解得，
10.為加強公民的節水意識，某城市制定了以下用水收費標準：每戶每月用水未超過7立方米時，每立方米收費元并加收元的城市污水處理費；超過7立方米的部分每立方米收費元并加收元的城市污水處理費．設某戶每月用水量為x(立方米)，應交水費為y(元)．
(1)分別寫出未超過7立方米和多于7立方米時，y與x的函數關系式；
(2)如果小明家11月用水 12立方米，應付水費多少元？
【答案】(1)；
(2)元
【分析】本題考查列函數關系式和求函數值，解題的關鍵是讀懂題意，理清收費標準．
（1）根據題干中給定的收費標準列出函數關系式即可．
（2）根據（1）所求把代入中求出y的值即可得到答案．
【詳解】（1）解：由題意得，；
（2）解：在中，
當時，，
∴如果小明家11月用水 12立方米，應付水費元．
11.某玩具商店計劃購進“汽車”玩具模型和“飛機”玩具模型，同樣花費元，“汽車”模型的數量比“飛機”模型多個且每個“汽車”模型成本比每個“飛機”模型成本少．
(1)“汽車”和“飛機”模型的成本各多少元？
(2)該航模店計劃購買兩種模型共個，且每個“飛機”模型的售價為元，“汽車”模型的售價為元．設購買“飛機”模型個，售賣這兩種模型可獲得的利潤為元，
①求與的函數關系式(不要求寫出a的取值范圍)；
②若購進“飛機”模型的數量不超過“汽車”模型數量的一半，則購進“飛機”模型多少個時，銷售這批模型可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？
【答案】(1)“飛機”模型成本為每個元，“汽車”模型成本為每個元
(2)①與的函數關系式為；②購進“飛機”模型個時，銷售這批模型可以獲得最大利潤，最大利潤是元
【分析】本題考查一次函數的應用、一元一次不等式的應用和分式方程的應用，
（1）設“飛機”模型成本為每個元，則“汽車”模型成本為每個元，根據同樣花費元，購進“汽車”模型的數量比“飛機”模型多個．列出方程，解方程即可，注意驗根；
（2）①設購買“飛機”模型個，則購買“汽車”模型個，根據總利潤兩種模型利潤之和列出函數解析式即可；
②根據購進“飛機”模型的數量不超過“汽車”模型數量的一半求出的取值范圍，由函數的性質求最值即可．
【詳解】（1）解：設“飛機”模型成本為每個元，則“汽車”模型成本為每個元，
根據題意得：
解得，
經檢驗，是原方程的解，且符合實際意義，
元，
答：“飛機”模型成本為每個元，“汽車”模型成本為每個元；
（2）①設購買“飛機”模型個，則購買“汽車”模型個，
則，
與的函數關系式為；
②∵購進“飛機”模型的數量不超過“汽車”模型數量的一半，
，
解得，
，，是正整數，
當時，最大，最大值為，
答：購進“飛機”模型個時，銷售這批模型可以獲得最大利潤，最大利潤是元．
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專題4
1.一次函數的圖象過點，，，則（ ）
A． B． C． D．
2.直線不經過第二象限，則關于的方程實數解的個數是（ ）.
A．0個 B．1個 C．2個 D．1個或2個
3.下列各點在函數圖象上的是（ ）
A． B． C． D．
4.為了響應“建設綠美中山”的號召，我市某學校計劃從某苗木基地購進A、B兩種樹苗共200棵綠化校園．已知購買3棵A種樹苗和4棵B種樹苗共需620元；購買2棵A種樹苗和3棵B種樹苗共需440元．
(1)每棵A種樹苗、B種樹苗各需多少元？
(2)學校除支付購買樹苗的費用外，平均每棵樹苗還需支付運輸及種植費用20元，設學校購買B種樹苗x棵，購買兩種樹苗及運輸、種植所需的總費用為y元，求y與x的函數關系．
(3)在（2）的條件下，若學校用于綠化的總費用在22400元限額內，且購買A種樹苗的數量不少于B種樹苗的數量，請給出一種費用最省的方案，并求出該方案所需的費用．
5.（2024·廣東深圳·二模）如圖，在平面直角坐標系中，將直線向右平移5個單位長度得到直線．
(1)直接畫出直線；
(2)的解析式為______；
(3)直線與之間的距離為______個單位長度．
知識點一 一次函數的基礎
1.一次函數的基礎
正比例函數的定義：一般地，形如的函數，叫做正比例函數，其中k叫做比例系數.
一次函數的定義：一般地，形如的函數，叫做一次函數.
【補充】正比例函數是一次函數的特例（當b=0時），即正比例函數是一次函數，而一次函數不一定是正比例函數.
一次函數的一般形式：.
特征：1）k≠0；2）x的次數為1；3）常數b可以取任意實數.
【注意】一般地，一次函數中自變量x的取值范圍是任意實數，但在實際問題中x的取值范圍要根據具體問題的實際意義來確定.
2.待定系數法
待定系數法：先設出函數解析式，再根據條件確定解析式中未知的系數，從而得出函數解析式的方法叫做待定系數法.
用待定系數法確定一次函數解析式的一般步驟：
1）設：設一次函數的解析式為；
2）列：將已知條件代入解析式，列出關于k、b的二元一次方程組；
3）解：解二元一次方程組，求出k、b；
4）代：將k、b的值代回所設的函數解析式中.
1.正比例函數的圖像與性質
正比例函數的圖像：正比例函數的圖像是經過原點（0，0）的一條直線.
正比例函數的性質：
k的符號 圖像 圖像的位置 增減性
k＞0 圖像經過原點 和第一、三象限 y隨x增大而增大
k＜0 圖像經過原點 和第二、四象限 y隨x增大而減小
【補充】正比例函數必過點（0,0）、（1，k）.
2.一次函數的圖像與性質
一次函數的圖像：一次函數的圖像是一條直線，通常也稱直線.
一次函數的性質：
一次函數
k、b 的符號 k＞0 k＜0
b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0
圖像
趨勢 從左向右看圖像呈上升趨勢 從左向右看圖像呈下降趨勢
增減性 y隨x增大而增大 y隨x增大而減小
與y軸交點的位置 正半軸 原點 負半軸 正半軸 原點 負半軸
經過 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限
【補充說明】
1）一次函數的位置由k、b共同決定，k的符號決定一次函數的增減性，b的符號決定一次函數與y軸的交點位置.
2）
的三角形面積為.
3.k，b的符號與直線的關系
在直線中，令y=0，則x=，即直線與x軸交于
1）當時，即k，b異號時，直線與x軸交于正半軸．
2）當，即b=0時，直線經過原點．
3）當，即k，b同號時，直線與x軸交于負半軸．
4.正比例函數與一次函數圖像的關系
圖像關系：正比例函數的圖像是經過原點的一條直線，一次函數的圖像可由正比例函數的圖像平移|b|個單位長度得到.（當b＞0時，向上平移；當b＜0時，向下平移）
常見的變換方式：
平移變換 平移方式（m＞0） 函數解析式
向上平移m個單位
向下平移m個單位
向左平移m個單位
向右平移m個單位
平移口訣：左加有減（只改變x），上加下減（只改變y）.
對稱變換 變換方式 變換后
關于x軸對稱
關于y軸對稱
關于原點對稱
對稱口訣：關于誰對稱誰不變，關于原點對稱都改變.
知識點二 一次函數的圖像與性質
1.正比例函數的圖像與性質
正比例函數的圖像：正比例函數的圖像是經過原點（0，0）的一條直線.
正比例函數的性質：
k的符號 圖像 圖像的位置 增減性
k＞0 圖像經過原點 和第一、三象限 y隨x增大而增大
k＜0 圖像經過原點 和第二、四象限 y隨x增大而減小
【補充】正比例函數必過點（0,0）、（1，k）.
2.一次函數的圖像與性質
一次函數的圖像：一次函數的圖像是一條直線，通常也稱直線.
一次函數的性質：
一次函數
k、b 的符號 k＞0 k＜0
b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0
圖像
趨勢 從左向右看圖像呈上升趨勢 從左向右看圖像呈下降趨勢
增減性 y隨x增大而增大 y隨x增大而減小
與y軸交點的位置 正半軸 原點 負半軸 正半軸 原點 負半軸
經過 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限
【補充說明】
1）一次函數的位置由k、b共同決定，k的符號決定一次函數的增減性，b的符號決定一次函數與y軸的交點位置.
2）
的三角形面積為.
3.k，b的符號與直線的關系
在直線中，令y=0，則x=，即直線與x軸交于
1）當時，即k，b異號時，直線與x軸交于正半軸．
2）當，即b=0時，直線經過原點．
3）當，即k，b同號時，直線與x軸交于負半軸．
4.正比例函數與一次函數圖像的關系
圖像關系：正比例函數的圖像是經過原點的一條直線，一次函數的圖像可由正比例函數的圖像平移|b|個單位長度得到.（當b＞0時，向上平移；當b＜0時，向下平移）
常見的變換方式：
平移變換 平移方式（m＞0） 函數解析式
向上平移m個單位
向下平移m個單位
向左平移m個單位
向右平移m個單位
平移口訣：左加有減（只改變x），上加下減（只改變y）.
對稱變換 變換方式 變換后
關于x軸對稱
關于y軸對稱
關于原點對稱
對稱口訣：關于誰對稱誰不變，關于原點對稱都改變.
知識點三 一次函數與方程（組）、不等式
1.一次函數與一元一次方程
從“數”上看：方程的解 函數中，y=0時對應的x的值
從“形”上看：方程的解 函數的圖像與x軸交點的橫坐標.
【補充】對于一次函數，已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值時，就是把問題轉化為關于y或x的一元一次方程來求解.
2.一次函數與二元一次方程組
從“數”的角度看：解二元一次方程組相當于考慮自變量為何值時，兩個函數的值相等，以及這兩個函數值是何值；
從“形”的角度看：解二元一次方程組相當于確定兩條直線的交點坐標，一般地，如果一個二元一次方程組有唯一解，那么這個解就是方程組對應的兩條直線的交點坐標.
【補充】
1）二元一次方程組的圖像解法：畫出兩個一次函數的圖像，找出它們的交點坐標，即得相應的二元一次方程組的解.
2）確定兩條直線交點坐標的方法：聯立兩個一次函數的解析式，構建二元一次方程組，通過解方程組，即可確定兩條直線的交點坐標.
3.一次函數與一元一次不等式
從“數”的角度看：解一元一次不等式就是尋求使一次函數的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；
從“形”的角度看：就是確定直線在x軸上（或下）方部分的點的橫坐標滿足的條件.
利用解一元一次不等式可確定相應的函數值對應的自變量的取值范圍，具體的對應關系如下：
1）不等式的解集直線在x軸上方的部分所對應的x的取值范圍；
2）不等式的解集直線在x軸下方的部分所對應的x的取值范圍；
3）不等式的解集直線在直線上方的部分所對應的x的取值范圍；
4）不等式的解集直線在直線下方的部分所對應的x的取值范圍.
【補充】不解不等式而直接寫出不等式解集的方法：
1）根據圖像，求出兩直線的交點的橫坐標;
2）交點是分水嶺，交點左右，哪個圖像在上方哪個圖像就大，反之亦然.
關于函數，下列結論成立的是（ ）．
A．函數圖象經過點 B．隨的增大而增大
C．當時， D．函數圖象不經過第一象限
2．（2022·山東濟南·中考真題）某學校要建一塊矩形菜地供學生參加勞動實踐，菜地的一邊靠墻，另外三邊用木欄圍成，木欄總長為40m．如圖所示，設矩形一邊長為xm，另一邊長為ym，當x在一定范圍內變化時，y隨x的變化而變化，則y與x滿足的函數關系是（ ）
A．正比例函數關系 B．一次函數關系
C．反比例函數關系 D．二次函數關系
3.（2024·廣東廣州·二模）正比例函數的圖象經過點，則此圖象一定經過點（ ）
A． B． C． D．
4.（2024·廣東·中考真題）已知不等式的解集是，則一次函數的圖象大致是（ ）
A．B．C．D．
5.（2023·內蒙古·中考真題）如圖，直線與雙曲線交于點和點，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
6.（2022·廣東廣州·中考真題）點在正比例函數（）的圖象上，則的值為（ ）
A．-15 B．15 C． D．
7.（2024·廣東佛山·三模）把直線向上平移三個單位長度后經過點，則b的值是（ ）
A． B． C． D．
8.（2024·廣東·模擬預測）下列函數中，y是x的一次函數的是（ ）
A． B． C． D．
9.（2024·廣東·中考真題）已知不等式的解集是，則一次函數的圖象大致是（ ）
A．B．C．D．
10.（2024·江蘇鎮江·中考真題）點、在一次函數的圖像上，則 （用“”、“”或“”填空）．
11.已知一次函數的圖象經過點與點，求該一次函數的表達式．
12.（2024·廣東廣州·中考真題）一個人的腳印信息往往對應著這個人某些方面的基本特征．某數學興趣小組收集了大量不同人群的身高和腳長數據，通過對數據的整理和分析，發現身高和腳長之間近似存在一個函數關系，部分數據如下表：
腳長 … …
身高 … …
(1)在圖1中描出表中數據對應的點；
(2)根據表中數據，從和中選擇一個函數模型，使它能近似地反映身高和腳長的函數關系，并求出這個函數的解析式（不要求寫出的取值范圍）；
(3)如圖2，某場所發現了一個人的腳印，腳長約為，請根據（2）中求出的函數解析式，估計這個人的身高．
13.（2022·廣東·中考真題）物理實驗證實：在彈性限度內，某彈簧長度y（）與所掛物體質量x（）滿足函數關系．下表是測量物體質量時，該彈簧長度與所掛物體質量的數量關系．
x 0 2 5
y 15 19 25
(1)求y與x的函數關系式；
(2)當彈簧長度為20時，求所掛物體的質量．
14.（2023·廣東廣州·中考真題）因活動需要購買某種水果，數學活動小組的同學通過市場調查得知：在甲商店購買該水果的費用（元）與該水果的質量x（千克）之間的關系如圖所示；在乙商店購買該水果的費用（元）與該水果的質量x（千克）之間的函數解析式為（）.
（1）求與x之間的函數解析式；
（2）現計劃用600元購買該水果，選甲、乙哪家商店能購買該水果更多一些？
15.（2024·廣東汕頭·一模）如圖，點B，，，……在x軸上，點A在y軸上，軸，軸，交點為點C，直線經過原點O和點C；點是的中點，，軸，軸，直線經過點O和點；點是的中點，軸，軸，直線經過點O和點……以此類推，若點，求直線的解析式.．
16.（2024·廣東深圳·三模）在初中階段的函數學習中，我們經歷了“確定函數的表達式→利用函數圖象研究其性質→運用函數解決問題”的學習過程．結合學習函數的經驗，探究函數的圖象與性質，探究過程如下，請補充完整．
（1）列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … b …
（2）描點并連線．
（3）觀察圖象并填空：
① ，
②寫出該函數的一條性質：
③圖象與x軸圍成的三角形面積為
④當時，直接寫出x的取值范圍
17.某施工隊承接了一項修路任務，每天下班前登記施工進度，列表記錄了開工天以來的修路情況，其中表示開工的天數（單位：天），表示剩余未修道路長度（單位：千米）．為描述剩余未修道路長度與開工數的關系，現有以下三種函數關系式可供選擇，，．
(1)請在如圖所示的平面直角坐標系中描出表中數據對應的點，再選出最符合實際的函數模型，求出相應的函數表達式；
(2)若想要比原計劃提前一天完成施工任務，求之后幾天平均每天比原計劃多修的長度．
1．（2024·陜西西安·模擬預測）正比例函數的圖像經過點和點，則的值為（ ）
A． B． C． D．2
2.（2024·廣東河源·一模）在同一平面直角坐標系中，一次函數與的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（ ）

A．
B．隨x的增大而增大
C．當時，
D．關于x，y的方程組的解為
3.（2024·陜西西安·三模）已知正比例函數的圖象經過第二、四象限，則（　　）
A．y隨x的增大而減小
B．y隨x的增大而增大
C．當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小
D．無論x如何變化，y不變
4．（2024·湖南岳陽·模擬預測）若正比例函數的圖象經過點，則這個圖象必經過點（ ）
A． B． C． D．
5.（2024·廣東汕頭·二模）若直線與直線關于直線對稱，則k、b值分別為（ ）
A．、 B．、 C．、 D．、
直線與直線在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則不等式
的解集 為
7.（2023·寧夏·中考真題）如圖是某種桿秤．在秤桿的點處固定提紐，點處掛秤盤，點為0刻度點．當秤盤不放物品時，提起提紐，秤砣所掛位置移動到點，秤桿處于平衡．秤盤放入克物品后移動秤砣，當秤砣所掛位置與提扭的距離為毫米時秤桿處于平衡．測得與的幾組對應數據如下表：
/克 0 2 4 6 10
/毫米 10 14 18 22 30
由表中數據的規律可知，當克時， 毫米．

8.（2024·廣東韶關·模擬預測）如圖，機器人從點O出發，向正西方向走到達點；再向正北方向走到達點；再向正東方向走到達點；再向正南方向走到達點；再向正西方向走到達點…，按如此規律走下去，當機器人走到點時，點的坐標為
9.（2024·廣東云浮·一模）已知直線l經過點和點，求直線l的解析式．
10.為加強公民的節水意識，某城市制定了以下用水收費標準：每戶每月用水未超過7立方米時，每立方米收費元并加收元的城市污水處理費；超過7立方米的部分每立方米收費元并加收元的城市污水處理費．設某戶每月用水量為x(立方米)，應交水費為y(元)．
(1)分別寫出未超過7立方米和多于7立方米時，y與x的函數關系式；
(2)如果小明家11月用水 12立方米，應付水費多少元？
11.某玩具商店計劃購進“汽車”玩具模型和“飛機”玩具模型，同樣花費元，“汽車”模型的數量比“飛機”模型多個且每個“汽車”模型成本比每個“飛機”模型成本少．
(1)“汽車”和“飛機”模型的成本各多少元？
(2)該航模店計劃購買兩種模型共個，且每個“飛機”模型的售價為元，“汽車”模型的售價為元．設購買“飛機”模型個，售賣這兩種模型可獲得的利潤為元，
①求與的函數關系式(不要求寫出a的取值范圍)；
②若購進“飛機”模型的數量不超過“汽車”模型數量的一半，則購進“飛機”模型多少個時，銷售這批模型可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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