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考點(diǎn)07函數(shù)的單調(diào)性與最值（2種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.借助函數(shù)圖象，會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最值，理解實(shí)際意義.
2.掌握函數(shù)單調(diào)性的簡(jiǎn)單應(yīng)用．
【知識(shí)點(diǎn)】
1．函數(shù)的單調(diào)性
(1)單調(diào)函數(shù)的定義
增函數(shù) 減函數(shù)
定義 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間I D，如果 x1，x2∈I
當(dāng)x1圖象描述 自左向右看圖象是上升的 自左向右看圖象是下降的
(2)單調(diào)區(qū)間的定義
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上 或 ，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間I叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．
2．函數(shù)的最值
前提 設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在實(shí)數(shù)M滿足
條件 (1) x∈D，都有 ； (2) x0∈D，使得 (1) x∈D，都有 ； (2) x0∈D，使得
結(jié)論 M為f(x)的最大值 M為f(x)的最小值
常用結(jié)論
1． x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0) f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增(減)．
2．在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)＋增函數(shù)＝增函數(shù)，減函數(shù)＋減函數(shù)＝減函數(shù)．
3．函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝的單調(diào)性相反．
4．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減．
【核心題型】
題型一　確定函數(shù)的單調(diào)性
確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法
(1)定義法；(2)導(dǎo)數(shù)法；(3)圖象法；(4)性質(zhì)法．
命題點(diǎn)1　函數(shù)單調(diào)性的判斷
【例題1】（2023·浙江·二模）下列函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（2024·北京西城·一模）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2024·陜西西安·二模）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在上單調(diào)遞減的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】（2024·北京門頭溝·一模）下列函數(shù)中， 既是奇函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
命題點(diǎn)2　利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性
【例題2】（2023·上海奉賢·一模）函數(shù)在定義域上是（ ）
A．嚴(yán)格增的奇函數(shù) B．嚴(yán)格增的偶函數(shù)
C．嚴(yán)格減的奇函數(shù) D．嚴(yán)格減的偶函數(shù)
【變式1】（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·浙江臺(tái)州·二模）已知函數(shù)同時(shí)滿足性質(zhì):①;②當(dāng)時(shí),,則函數(shù)可能為( )
A． B．
C． D．
【變式3】（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
題型二　函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
(1)比較函數(shù)值的大小時(shí)，先轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決．
(2)求解函數(shù)不等式時(shí)，由條件脫去“f”，轉(zhuǎn)化為自變量間的大小關(guān)系，應(yīng)注意函數(shù)的定義域．
(3)利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍)．根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降，再結(jié)合圖象求解．對(duì)于分段函數(shù)，要注意銜接點(diǎn)的取值．
命題點(diǎn)1　比較函數(shù)值的大小
【例題3】（2024·北京西城·一模）設(shè)，其中，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（2024·云南貴州·二模）已知，則的大關(guān)系為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（23-24高三上·北京順義·期末）已知在上單調(diào)遞減，且，則下列結(jié)論中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】（2024·四川攀枝花·二模）已知函數(shù)對(duì)都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且對(duì)，當(dāng)時(shí)，都有，給出如下結(jié)論：①是偶函數(shù)；②;③是最小正周期為4的周期函數(shù)；④．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
命題點(diǎn)2　求函數(shù)的最值
【例題4】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在上的最小值為，最大值為，且在等差數(shù)列中，，則（ ）
A．17 B．18 C．20 D．24
【變式1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在直線上，若，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．有最大值，最小值4 B．有最大值，沒有最小值
C．沒有最大值，但有最小值4 D．沒有最大值也沒有最小值
【變式2】（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則的最大值是 .
【變式3】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小值；
(2)若為正實(shí)數(shù)，且，求的最小值.
命題點(diǎn)3　解函數(shù)不等式
【例題5】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知定義在上的函數(shù)，滿足不等式，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在上的奇函數(shù)，也是定義在上的奇函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2024·北京延慶·一模）已知函數(shù)，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（2024·青?！ひ荒＃┮阎瘮?shù)，則不等式的解集為 ．
命題點(diǎn)4　求參數(shù)的取值范圍
【例題6】（2024·湖南邵陽·二模）已知，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【變式1】（23-24高三上·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知，且，函數(shù)在上單調(diào)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·陜西商洛·一模）已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（2024·陜西榆林·一模）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【課后強(qiáng)化】
基礎(chǔ)保分練
一、單選題
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則使得成立的正實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·吉林·二模）已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式解集為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·陜西西安·二模）已知函數(shù).若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有，當(dāng)時(shí)，，且，則關(guān)于x的不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則（ ）
A．， B．
C．的最小值為，最大值為4 D．的最小值為12
6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)對(duì)任意恒有，且當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．的圖象關(guān)于軸對(duì)稱
B．在上單調(diào)遞增
C．的解集為
D．若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
三、填空題
7．（2024·山東淄博·一模）設(shè)方程，的根分別為p，q，函數(shù) ，令 則a，b，c的大小關(guān)系為 .
8．（2024·安徽淮北·一模）記不超過的最大整數(shù)為.若函數(shù)既有最大值也有最小值，則實(shí)數(shù)的值可以是 （寫出滿足條件的一個(gè)的值即可）.
四、解答題
9．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)在上是增函數(shù)，且，求的取值范圍．
10．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)求的最小值；
(2)若時(shí)，恒成立，求的最小值．
11．（2023·河南南陽·模擬預(yù)測(cè)）定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)滿足下列條件：
①存在常數(shù)，使得；②對(duì)任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有．
(1)求證：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)、，；
(2)證明：在上是單調(diào)減函數(shù)；
(3)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
12．（2023·甘肅定西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)若a＝0，求函數(shù)的最值；
(2)若a＝1，函數(shù)在上的最大值在區(qū)間內(nèi)，求整數(shù)m的值．
綜合提升練
一、單選題
1．（2024·北京平谷·模擬預(yù)測(cè)）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在上的偶函數(shù)，函數(shù)滿足，且，在單調(diào)遞減，則（ ）
A．在單調(diào)遞減 B．在單調(diào)遞減
C．在單調(diào)遞減 D．在單調(diào)遞減
3．（2024·甘肅·一模）已知函數(shù)，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·湖南常德·三模）已知奇函數(shù)是定義域?yàn)镽的連續(xù)函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)在R上單調(diào)遞增
B．函數(shù)在上單調(diào)遞增
C．函數(shù)在R上單調(diào)遞增
D．函數(shù)在上單調(diào)遞增
5．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)滿足，且，則的最小值為（ ）
A． B．1 C． D．
6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·四川綿陽·三模）設(shè)函數(shù)為與中較大的數(shù)，若存在使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若對(duì)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
9．（2024·新疆烏魯木齊·二模）已知函數(shù)，則（ ）
A．函數(shù)在上單調(diào)遞增
B．函數(shù)是奇函數(shù)
C．函數(shù)與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
D．
10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·甘肅隴南·一模）已知，關(guān)于x的不等式的解集為，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
12．（23-24高二下·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù)，則 ；的解集為 ．
13．（2024·湖南·二模）已知，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ，
14．（2024·遼寧大連·一模）已知函數(shù) 在區(qū)間有2 個(gè)零點(diǎn)和4 個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范圍是 .
四、解答題
15．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中畫出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象直接寫出函數(shù)的最大值；
(2)解不等式．
16．（2023·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且.
(1)求的取值范圍；
(2)若，證明：
17．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且．
(1)求的取值范圍；
(2)求關(guān)于的不等式的解集．
18．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)求證：；
(3)若且，求證：．
19．（2024·遼寧大連·一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間值域?yàn)閰^(qū)間，若則稱是的縮域函數(shù).
(1)若是區(qū)間的縮域函數(shù)，求a的取值范圍；
(2)設(shè)為正數(shù)，且若是區(qū)間的縮域函數(shù)，證明：
（i）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減;
（ii）
拓展沖刺練
一、單選題
1．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在上單調(diào)遞減，則t的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·遼寧丹東·二模）設(shè)函數(shù)由關(guān)系式確定，函數(shù)，則（ ）
A．為增函數(shù) B．為奇函數(shù)
C．值域?yàn)?D．函數(shù)沒有正零點(diǎn)
3．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)對(duì)任意恒有，且當(dāng)時(shí)，．若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（2024·江蘇·一模）已知函數(shù)，則（ ）
A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C．不等式無解 D．的最大值為
6．（2023·河南·三模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．在定義域上是增函數(shù)
B．的值域?yàn)?br/>C．
D．若，，，則
三、填空題
7．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）若，則的大小關(guān)系為 （用“<”號(hào)連接）．
8．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知對(duì)，，，當(dāng)時(shí)，都有 ，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
四、解答題
9．（2024·福建龍巖·一模）已知函數(shù)是大于0的常數(shù)，記曲線在點(diǎn)處的切線為在軸上的截距為.
(1)若函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.
10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)若，討論的單調(diào)性；
(2)若，求在上的最小值，并判斷方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)．
11．（2023·四川自貢·一模）函數(shù)的最小值為m.
(1)判斷m與2的大小，并說明理由；
(2)求函數(shù)的最大值.
12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)大于0，求的取值范圍；
(2)若在上單調(diào)遞增，求的值．
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考點(diǎn)07函數(shù)的單調(diào)性與最值（2種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.借助函數(shù)圖象，會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最值，理解實(shí)際意義.
2.掌握函數(shù)單調(diào)性的簡(jiǎn)單應(yīng)用．
【知識(shí)點(diǎn)】
1．函數(shù)的單調(diào)性
(1)單調(diào)函數(shù)的定義
增函數(shù) 減函數(shù)
定義 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間I D，如果 x1，x2∈I
當(dāng)x1f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減
圖象描述 自左向右看圖象是上升的 自左向右看圖象是下降的
(2)單調(diào)區(qū)間的定義
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間I叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．
2．函數(shù)的最值
前提 設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在實(shí)數(shù)M滿足
條件 (1) x∈D，都有f(x)≤M； (2) x0∈D，使得f(x0)＝M (1) x∈D，都有f(x)≥M； (2) x0∈D，使得f(x0)＝M
結(jié)論 M為f(x)的最大值 M為f(x)的最小值
常用結(jié)論
1． x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0) f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增(減)．
2．在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)＋增函數(shù)＝增函數(shù)，減函數(shù)＋減函數(shù)＝減函數(shù)．
3．函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝的單調(diào)性相反．
4．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減．
【核心題型】
題型一　確定函數(shù)的單調(diào)性
確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法
(1)定義法；(2)導(dǎo)數(shù)法；(3)圖象法；(4)性質(zhì)法．
命題點(diǎn)1　函數(shù)單調(diào)性的判斷
【例題1】（2023·浙江·二模）下列函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】對(duì)于BCD，根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)觀察均是向右平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度的形式，根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以判斷平移后的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而判斷上的單調(diào)性得到結(jié)論，而根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可判斷A的正誤.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：開口向上，對(duì)稱軸，所以在上單調(diào)遞減，故不符合題意.
對(duì)于選項(xiàng)：是向右平移了兩個(gè)單位長(zhǎng)度，所以在在上單調(diào)遞減，故不符合題意.
對(duì)于選項(xiàng)：是向右平移了兩個(gè)單位長(zhǎng)度，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋圆环项}意.
對(duì)于選項(xiàng)：是向右平移了兩個(gè)單位長(zhǎng)度，
所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，符合題意.
故選.
【變式1】（2024·北京西城·一模）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用奇偶函數(shù)的判斷方法及基本函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷，即可得出結(jié)果.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，所以選項(xiàng)A不滿足題意，
對(duì)于選項(xiàng)B，因在區(qū)間上不單調(diào)，所以選項(xiàng)B不滿足題意，
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)閳D象不關(guān)于軸對(duì)稱，所以選項(xiàng)C不滿足題意，
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又，所以為偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)D滿足題意，
故選：D.
【變式2】（2024·陜西西安·二模）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在上單調(diào)遞減的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】A項(xiàng)，定義域不合題意；B項(xiàng)，單調(diào)性不符合；C項(xiàng)，先利用定義判斷函數(shù)的奇偶性，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，再結(jié)合奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得；D項(xiàng)，特殊取值可判斷不是奇函數(shù).
【詳解】選項(xiàng)A，的定義域?yàn)?，不符合題意，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，設(shè)，定義域?yàn)椋?br/>因?yàn)椋?br/>所以為奇函數(shù)，且在定義域上為增函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C，設(shè)，定義域?yàn)椋?br/>由，故為奇函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，且在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以在上單調(diào)遞減，故C正確；
選項(xiàng)D，設(shè)，則，
由，知不是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
【變式3】（2024·北京門頭溝·一模）下列函數(shù)中， 既是奇函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性判斷即可.
【詳解】對(duì)于A：定義域?yàn)椋瑸榉瞧娣桥己瘮?shù)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：定義域?yàn)?，為奇函?shù)，但是函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：為奇函數(shù)，定義域?yàn)椋呛瘮?shù)在上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：令定義域?yàn)椋遥?br/>所以為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故D正確.
故選：D
命題點(diǎn)2　利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性
【例題2】（2023·上海奉賢·一模）函數(shù)在定義域上是（ ）
A．嚴(yán)格增的奇函數(shù) B．嚴(yán)格增的偶函數(shù)
C．嚴(yán)格減的奇函數(shù) D．嚴(yán)格減的偶函數(shù)
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，分別判斷函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，即可得到結(jié)果.
【詳解】令，任取，
則，
因?yàn)槭巧系膰?yán)格增函數(shù)，所以，
則，所以，
則函數(shù)是上的嚴(yán)格增函數(shù)；
又，即函數(shù)為奇函數(shù)，
所以函數(shù)在定義域上是嚴(yán)格增的奇函數(shù).
故選：A
【變式1】（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)條件得出函數(shù)在上單調(diào)遞增，再結(jié)合奇偶性轉(zhuǎn)化為解不等式即可.
【詳解】由任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，不等式恒成立，
函數(shù)在上單調(diào)遞增．
又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，得，
所以不等式
化為，解得，
所以不等式的解集為．
故選：A．
【變式2】（2023·浙江臺(tái)州·二模）已知函數(shù)同時(shí)滿足性質(zhì):①;②當(dāng)時(shí),,則函數(shù)可能為( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】①說明為偶函數(shù)，②,說明函數(shù)在上單調(diào)遞減,再逐項(xiàng)分析即可.
【詳解】①說明為偶函數(shù)，②,說明函數(shù)在上單調(diào)遞減.
A不滿足②，B不滿足①，
C不滿足②,因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
對(duì)于D,滿足①,當(dāng),單調(diào)遞減,也滿足②.
故選：D.
【變式3】（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)增減的性質(zhì)，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷可得答案.
【詳解】A選項(xiàng)，為奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，故A正確；
B選項(xiàng)，是奇函數(shù)，在，上遞減，故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，是奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤，．
故洗：A
題型二　函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
(1)比較函數(shù)值的大小時(shí)，先轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決．
(2)求解函數(shù)不等式時(shí)，由條件脫去“f”，轉(zhuǎn)化為自變量間的大小關(guān)系，應(yīng)注意函數(shù)的定義域．
(3)利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍)．根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降，再結(jié)合圖象求解．對(duì)于分段函數(shù)，要注意銜接點(diǎn)的取值．
命題點(diǎn)1　比較函數(shù)值的大小
【例題3】（2024·北京西城·一模）設(shè)，其中，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】借助正負(fù)性、對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可得.
【詳解】由，故，故，
由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得，
，且，
綜上所述，有.
故選：C.
【變式1】（2024·云南貴州·二模）已知，則的大關(guān)系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)的特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，判斷其單調(diào)性，得到，故有，再運(yùn)用作差法比較即得.
【詳解】設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，在上遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上遞減,
故.
則，即；
由可知，故.
故選：B.
【變式2】（23-24高三上·北京順義·期末）已知在上單調(diào)遞減，且，則下列結(jié)論中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.
【詳解】由得，，結(jié)合在上單調(diào)遞減，
則必有，顯然B正確，A錯(cuò)誤，
而當(dāng)時(shí)，不在定義域內(nèi)，故無法比較，C,D錯(cuò)誤.
故選：B
【變式3】（2024·四川攀枝花·二模）已知函數(shù)對(duì)都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且對(duì)，當(dāng)時(shí)，都有，給出如下結(jié)論：①是偶函數(shù)；②;③是最小正周期為4的周期函數(shù)；④．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用抽象函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、單調(diào)性、周期性一一判定選項(xiàng)即可.
【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
可知關(guān)于對(duì)稱，即是偶函數(shù)，故①正確；
由，
即，故②正確；
由上可知，即是的一個(gè)周期，
又對(duì)，當(dāng)時(shí)，都有，
即在上單調(diào)遞增，根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)可知上單調(diào)遞減，
則是的最小正周期，故③正確；
由上面結(jié)論可知：，故④錯(cuò)誤.
故選：C
命題點(diǎn)2　求函數(shù)的最值
【例題4】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在上的最小值為，最大值為，且在等差數(shù)列中，，則（ ）
A．17 B．18 C．20 D．24
【答案】C
【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性先求出函數(shù)最小值為，最大值為，再由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以，，
所以，所以等差數(shù)列的公差，
所以．
故選：C．
【變式1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在直線上，若，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．有最大值，最小值4 B．有最大值，沒有最小值
C．沒有最大值，但有最小值4 D．沒有最大值也沒有最小值
【答案】C
【分析】利用指數(shù)運(yùn)算將化簡(jiǎn)變形為可以利用基本不等式的形式，然后利用基本不等式并結(jié)合“”進(jìn)行求解得到最小值，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到?jīng)]有最大值.
【詳解】若點(diǎn)在直線上，則，即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)取得最小值4，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以時(shí)，
此時(shí)因?yàn)椋?，而?br/>所以，即沒有最大值，
故選：C.
【變式2】（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則的最大值是 .
【答案】16
【分析】求出的范圍，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.
【詳解】由，而，
因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以，則的最大值是16.
故答案為：16
【變式3】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小值；
(2)若為正實(shí)數(shù)，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，結(jié)合一次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）（1），
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值；
（2）由（1）可得當(dāng)為正實(shí)數(shù)時(shí)，，
則由可得：，
所以
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，
又，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
所以的最小值為9.
命題點(diǎn)3　解函數(shù)不等式
【例題5】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知定義在上的函數(shù)，滿足不等式，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，換元構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，再解不等式即得.
【詳解】令，則，原函數(shù)化為，
令，顯然，
即函數(shù)是奇函數(shù)，又函數(shù)都是上的增函數(shù)，
因此函數(shù)是上的增函數(shù)，不等式，
則，
于是，解得，
所以的取值范圍是.
故選：A
【變式1】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在上的奇函數(shù)，也是定義在上的奇函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)為奇函數(shù)及為偶函數(shù)可求，利用導(dǎo)數(shù)可判斷為上的減函數(shù)，從而可求不等式的解.
【詳解】因?yàn)?，故?br/>故，
因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，故，
故，故，故，
此時(shí)，故為上的減函數(shù)，
而等價(jià)于，
即即，故或
故選：A .
【變式2】（2024·北京延慶·一模）已知函數(shù)，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性判斷極小值點(diǎn)在，再由函數(shù)的單調(diào)性及可得不等式的解集.
【詳解】因?yàn)閱握{(diào)遞增，且，，
所以存在唯一，使得，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，且，
所以由可得，
故選：A
【變式3】（2024·青海·一模）已知函數(shù)，則不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)奇偶性定義和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可化簡(jiǎn)所求不等式，得到自變量的大小關(guān)系，解不等式即可求得結(jié)果.
【詳解】的定義域?yàn)椋?br/>為定義在上的奇函數(shù)；
與均為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，
為定義在上的增函數(shù)；
由得：，
，解得：，的解集為.
故答案為：.
命題點(diǎn)4　求參數(shù)的取值范圍
【例題6】（2024·湖南邵陽·二模）已知，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，將原不等式分離參數(shù)，然后換元，由函數(shù)的單調(diào)性可得最值，即可得到結(jié)果.
【詳解】原不等式等價(jià)于，
令.
令，且，
則在上單調(diào)遞減，
.
故的范圍是.
故答案為：
【變式1】（23-24高三上·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知，且，函數(shù)在上單調(diào)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函數(shù)解析式知函數(shù)在上單調(diào)遞減，建立不等關(guān)系解出即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)，
由函數(shù)解析式可得函數(shù)在R上單調(diào)遞增不滿足題意，
故在R上單調(diào)遞減，
所以，
解得：.
故選：D.
【變式2】（2023·陜西商洛·一模）已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意可知函數(shù)在每一段上為增函數(shù)，且在時(shí)，一次函數(shù)的值不小于二次函數(shù)的值，然后解不等式組可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的增函數(shù)，
所以，解得.
故選：B
【變式3】（2024·陜西榆林·一模）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分情況討論，當(dāng)時(shí)直接代入可得函數(shù)遞減；當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，，再由得到抽象函數(shù)，求出，最后再討論時(shí)的情況，綜合得出結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合題意，所以，
由題可知恒成立，即.令，
則，所以在上單調(diào)遞增，由，
可得，即，所以，所以，
當(dāng)時(shí)，，不符合題意，故的取值范圍是.
故選：B
【課后強(qiáng)化】
基礎(chǔ)保分練
一、單選題
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則使得成立的正實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)奇偶性定義判斷出為偶函數(shù)，再根據(jù)上的單調(diào)性得到參數(shù)的取值范圍.
【詳解】由題意可知的定義域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)．
當(dāng)時(shí)，函數(shù)，單調(diào)遞減．
若成立，則，解得或．
又，所以正實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選：A．
2．（2024·吉林·二模）已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求出函數(shù)的定義域?yàn)椋远x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后得到，所以函數(shù)是偶函數(shù)，判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性得出距離軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大，并且注意函數(shù)的定義域，得出，解不等式組即可.
【詳解】由函數(shù)知：，解得：或，
所以函數(shù)的定義域?yàn)椋海?br/>因?yàn)?br/>，
所以函數(shù)是偶函數(shù)，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，
令，則在上單調(diào)遞增，
且在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以，解得：或?br/>所以不等式解集為.
故選：C
3．（2024·陜西西安·二模）已知函數(shù).若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，根據(jù)已知轉(zhuǎn)化出，再解出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，?br/>所以，
所以是上的增函數(shù)，所以若
則，解得.
故選：D
4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有，當(dāng)時(shí)，，且，則關(guān)于x的不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意利用定義證明函數(shù)在R上單調(diào)遞增，繼而轉(zhuǎn)化不等式，求解即可.
【詳解】任取，
從而
,
因?yàn)椋裕?br/>所以，
則在R上單調(diào)遞增．
不等式等價(jià)于不等式
，
即．
因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，
所以，解得．
故選：A.
二、多選題
5．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則（ ）
A．， B．
C．的最小值為，最大值為4 D．的最小值為12
【答案】BD
【分析】對(duì)于選項(xiàng)A: 由已知得，，整理即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B:結(jié)合雙鉤函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)C:結(jié)合題意可得，通過構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)D:設(shè)，借助導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性即可求最值.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:由已知得，，
則，.故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B:令，
則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
得，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C:結(jié)合題意可得，令，
則在上單調(diào)遞增，得，故C錯(cuò)誤.
對(duì)于選項(xiàng)D:設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以.故D正確.
故選:BD.
6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)對(duì)任意恒有，且當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．的圖象關(guān)于軸對(duì)稱
B．在上單調(diào)遞增
C．的解集為
D．若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
【答案】BC
【分析】對(duì)于A，對(duì)抽象函數(shù)的等式分別賦值和即可判斷是奇函數(shù)；對(duì)于B，利用函數(shù)的單調(diào)性定義推理即得；對(duì)于C，利用A,B項(xiàng)分析得到的函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解抽象不等式即可；對(duì)于D，利用C的結(jié)論得出函數(shù)在上的最大值，將等價(jià)轉(zhuǎn)化為在上恒成立，結(jié)合關(guān)于的一次函數(shù)的圖象即得參數(shù)的范圍.
【詳解】對(duì)于，令，得，所以，令，則，即，則，
所以是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于，設(shè)，則，又當(dāng)時(shí)，，則有，
即，則，故在上單調(diào)遞增，故B正確；
對(duì)于，根據(jù)選項(xiàng)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，
，所以，則的解集為，故C正確；
對(duì)于，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，
又對(duì)恒成立，所以，即在上恒成立，
將看成關(guān)于的一次函數(shù)，則需,
由① 可得或，由② 可得或，故的范圍為或，故D錯(cuò)誤．
故選：BC．
三、填空題
7．（2024·山東淄博·一模）設(shè)方程，的根分別為p，q，函數(shù) ，令 則a，b，c的大小關(guān)系為 .
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，利用反函數(shù)性質(zhì)求出，再計(jì)算判斷即得.
【詳解】由，得，由，得，
依題意，直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，
而函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又直線垂直于直線，
因此直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，即點(diǎn)在直線上，
則，，于是，
，而，
所以，即.
故答案為：
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：同底的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.
8．（2024·安徽淮北·一模）記不超過的最大整數(shù)為.若函數(shù)既有最大值也有最小值，則實(shí)數(shù)的值可以是 （寫出滿足條件的一個(gè)的值即可）.
【答案】（答案不唯一，取內(nèi)得任一值即可）.
【分析】根據(jù)題意取，，，則，將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上既有最大值，又有最小值，然后，，和四種情況分析討論即可求出答案.
【詳解】取，，.
則.
題意等價(jià)于在區(qū)間上既有最大值，又有最小值.
當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，只有最小值，無最大值；
當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，此時(shí)，有最小值，無最大值；
當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，此時(shí)，最大值為，最小值為；
當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，有最大值，無最小值.
綜上，的取值范圍是.
故答案為：（答案不唯一，取內(nèi)得任一值即可）
四、解答題
9．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)在上是增函數(shù)，且，求的取值范圍．
【答案】
【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性，直接列出不等式方程組，然后計(jì)算求解.
【詳解】函數(shù)在上是增函數(shù)，且，
，解得或，
的取值范圍是．
10．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)求的最小值；
(2)若時(shí)，恒成立，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)后可求的最小值；
（2）就、分類討論后可得的最小值.
【詳解】（1）由題設(shè)可得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故的最小值為.
（2）因?yàn)闀r(shí)，，所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
當(dāng)時(shí)，有恒成立，
故在上恒成立，因?yàn)榈膱D象為線段，
所以，故且.
當(dāng)時(shí)，有在上恒成立，
所以在上恒成立，故，
所以且，
所以，故的最小值為.
11．（2023·河南南陽·模擬預(yù)測(cè)）定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)滿足下列條件：
①存在常數(shù)，使得；②對(duì)任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有．
(1)求證：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)、，；
(2)證明：在上是單調(diào)減函數(shù)；
(3)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析；
(3)．
【分析】（1）根據(jù)條件②，即可求由，求解，
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可求解，
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合基本不等式求解最值，即可求.
【詳解】（1）證明：令，，
則，
所以，即證；
（2）證明：設(shè)，則必，滿足，
由（1）知，
故，即，
所以在上是單調(diào)減函數(shù)．
（3）令，則，
故，
即，由于
所以，又，故．
12．（2023·甘肅定西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)若a＝0，求函數(shù)的最值；
(2)若a＝1，函數(shù)在上的最大值在區(qū)間內(nèi)，求整數(shù)m的值．
【答案】(1)函數(shù)有最大值，無最小值
(2)
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)的隱零點(diǎn)和零點(diǎn)范圍以及對(duì)號(hào)函數(shù)特點(diǎn)即可求解.
【詳解】（1）若a＝0，
則，
所以，
令，解得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以函數(shù)有最大值.
（2）若a＝1，則，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
畫出函數(shù)的函數(shù)的大致圖像如下，

令，設(shè)根為，所以，所以，
因?yàn)?，所以?br/>，所以，
，所以，，所以，
所以時(shí)，，，單調(diào)遞增；
時(shí)，，，單調(diào)遞減.
所以
，
根據(jù)對(duì)號(hào)函數(shù)性質(zhì)知，
當(dāng)時(shí)，，所以，
又函數(shù)在上的最大值在區(qū)間內(nèi)，且為整數(shù)，
所以.
綜合提升練
一、單選題
1．（2024·北京平谷·模擬預(yù)測(cè)）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)各選項(xiàng)中函數(shù)式，直接判斷單調(diào)性即得.
【詳解】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，A不是；
函數(shù)在上單調(diào)遞增，B不是；
函數(shù)在上單調(diào)遞減，C是；
函數(shù)在上單調(diào)遞增，D不是.
故選：C
2．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在上的偶函數(shù)，函數(shù)滿足，且，在單調(diào)遞減，則（ ）
A．在單調(diào)遞減 B．在單調(diào)遞減
C．在單調(diào)遞減 D．在單調(diào)遞減
【答案】C
【分析】利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性一一判定選項(xiàng)即可.
【詳解】由題意知在單調(diào)遞增，為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減.
設(shè)，則，，
所以在單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤，
設(shè)，則，，
在單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；
設(shè)，則，，
所以在單調(diào)遞減，故C正確；
取，則，，，此時(shí)在不單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.
故選:C.
3．（2024·甘肅·一模）已知函數(shù)，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】用定義證明函數(shù)的奇偶性及在上的單調(diào)性，利用函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)數(shù)運(yùn)算可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?br/>又，所以為偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，任取，
，
即，所以在上為減函數(shù)，
因?yàn)椋?br/>所以，即，
設(shè)，則，
，若，則，所以，
因?yàn)?，所以?br/>又，即，
所以，即，
故選：B.
4．（2024·湖南常德·三模）已知奇函數(shù)是定義域?yàn)镽的連續(xù)函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)在R上單調(diào)遞增
B．函數(shù)在上單調(diào)遞增
C．函數(shù)在R上單調(diào)遞增
D．函數(shù)在上單調(diào)遞增
【答案】C
【分析】根據(jù)已知設(shè)，由二次函數(shù)的性質(zhì)確定AB錯(cuò)誤；由冪函數(shù)的性質(zhì)判斷C正確；由反比例函數(shù)的形式確定D錯(cuò)誤.
【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在上也為單調(diào)遞增函數(shù)，
對(duì)于A：不妨令，，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：不妨令，，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：，其定義域?yàn)椋?br/>又，所以是奇函數(shù)，
取，則，，故
所以，則函數(shù)在為遞增函數(shù)；
所以函數(shù)在也為遞增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，
所以在R上單調(diào)遞增，故C正確；
對(duì)于D：不妨令，，
由反比例函數(shù)的單調(diào)性可知在和上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤；
故選：C.
5．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)滿足，且，則的最小值為（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】通過 解方程可得的解析式，由化簡(jiǎn)可得，結(jié)合基本不等式可得，運(yùn)用分離常數(shù)法化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而可得其最小值.
【詳解】因?yàn)?，所以，即?br/>又因?yàn)椋?br/>所以，即，
所以，
因?yàn)椋?，所以，?br/>所以，
整理得，
解得或（舍），
所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).
故的最小值為.
故選：C.
6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由基本不等式和可得，化簡(jiǎn)可得，令，利用換元法，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可求解.
【詳解】因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以．
因?yàn)椋?br/>令，則，，
所以，
由對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)函數(shù)取到最小值，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以.
故選：B．
7．（2023·四川綿陽·三模）設(shè)函數(shù)為與中較大的數(shù)，若存在使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)絕對(duì)值函數(shù)的圖像和二次函數(shù)討論對(duì)稱軸判定函數(shù)的圖像即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以代表與兩個(gè)函數(shù)中的較大者，
不妨假設(shè)
的函數(shù)圖像如下圖所示：
是二次函數(shù)，開口向上，對(duì)稱軸為直線，
①當(dāng)時(shí)，
在上是增函數(shù)，
需要即，
則存在使得成立，
故；
②當(dāng)時(shí)，
在上是先減后增函數(shù)，
需要，
即，
解得或，
又，
故時(shí)無解；
③當(dāng)時(shí)，
在上是減函數(shù)，
需要即，
則存在使得成立，
故.
綜上所述，的取值范圍為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是理解f(x)的定義，數(shù)形結(jié)合對(duì)參數(shù)a分三種情況進(jìn)行分別討論.
8．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若對(duì)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)分析函數(shù)為單增函數(shù)；再利用奇函數(shù)的性質(zhì)判斷在上單調(diào)遞增；然后由得到抽象函數(shù)不等式恒成立，再用分離參數(shù)法結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由題，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增．
易知為奇函數(shù)，且，故在上單調(diào)遞增．
又，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立．
設(shè)，只需，解得．
故選：D．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)函數(shù)是單增函數(shù)和，再利用單調(diào)性解決抽象函數(shù)不等式問題.
二、多選題
9．（2024·新疆烏魯木齊·二模）已知函數(shù)，則（ ）
A．函數(shù)在上單調(diào)遞增
B．函數(shù)是奇函數(shù)
C．函數(shù)與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷A的正誤，根據(jù)奇函數(shù)的定義可判斷B的正誤，根據(jù)過原點(diǎn)可判斷C的正誤，將化簡(jiǎn)后可判斷D的正誤.
【詳解】對(duì)于A，均為上的增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，
故A正確.
對(duì)于B，令，其中，
而，故為上的奇函數(shù)，故B正確.
對(duì)于C，，故的圖象過原點(diǎn)，
若函數(shù)與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的圖象也過原點(diǎn)，
但，矛盾，故函數(shù)與的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故C錯(cuò)誤.
對(duì)于D，，
故D正確，
故選：ABD.
10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】A根據(jù)函數(shù)對(duì)稱性得到，由單調(diào)性得到，從而得到；B令，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，結(jié)合特殊點(diǎn)函數(shù)值得到，結(jié)合的單調(diào)性得到；C由對(duì)稱性得到，，故，構(gòu)造函數(shù)得到，從而得到，由的單調(diào)性得到；D數(shù)形結(jié)合得到，，作商得到，由及正切函數(shù)單調(diào)性得到，從而得到.
【詳解】A，令，解得，故在上單調(diào)遞減，
令，解得，故的一條對(duì)稱軸為，故，
因?yàn)椋?，所以，即，A正確；
B，，，
令，，則，
當(dāng)時(shí)，，，故恒成立，
故在上單調(diào)遞增，故，所以，故，
由于在上單調(diào)遞減，所以，B正確；
C，的一條對(duì)稱軸為，故，
其中，故，故，
而，故，所以，
關(guān)于中心對(duì)稱，故，
其中，則，
其中，，
下面證明，
令，，則，
令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，
又，故在上恒成立，
故在上單調(diào)遞增，故，故，
所以，則，兩邊取對(duì)數(shù)得，
故，故，
又在上單調(diào)遞減，故，故，C錯(cuò)誤；
D，，故，，
因?yàn)?，所以，故?br/>而，故，則，
其中，，故，則，
由于在上單調(diào)遞增，故，
故，故，D錯(cuò)誤.
故選：AB
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)比較大小是高考熱點(diǎn)和難點(diǎn)，結(jié)合代數(shù)式的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，通過導(dǎo)函數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出代數(shù)式的大小，本題中，對(duì)變形為，與均用含的式子來進(jìn)行表達(dá)，從而達(dá)到構(gòu)造出適當(dāng)函數(shù)的目的.
11．（2024·甘肅隴南·一模）已知，關(guān)于x的不等式的解集為，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】舉特殊值可判斷A；令，結(jié)合題意得，利用三角代換判斷B；將轉(zhuǎn)化為，令，繼而轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合換元，利用函數(shù)的單調(diào)性，可求得的范圍，即可判斷C，D.
【詳解】對(duì)于A，由題意知，關(guān)于x的不等式的解集為，
不妨取，則，即，
其解集為，即滿足題意，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，即，
令，由于不等式的解集為，
故需滿足，且，
令，則，
由于，則，即得，
又，故，B正確；
對(duì)于C，D，，，
故，
令，，則，
則，
令，則
，
由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故，
則，即，
即，，C，D正確，
故選：BCD
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了由指數(shù)型不等式的解集求解參數(shù)范圍問題，綜合性較強(qiáng)，難度較大，解答的難點(diǎn)在于C，D項(xiàng)的判斷，解答時(shí)要利用三角代換以及換元法，將等價(jià)轉(zhuǎn)化，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.
三、填空題
12．（23-24高二下·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù)，則 ；的解集為 ．
【答案】 0
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，先求出，即可求得；利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，確定其最小值，即可求得的解集.
【詳解】由函數(shù)，得，
令，則，故，
則；
由以上分析得，則，
又，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
即，故的解集為，
故答案為：0；
13．（2024·湖南·二模）已知，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ，
【答案】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，先分析其值域，從而得到的最大值，進(jìn)而利用解絕對(duì)值不等式得到或，結(jié)合集合的并集運(yùn)算即可得解.
【詳解】設(shè)，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞增，
即在上單調(diào)遞增，則，
且，
由絕對(duì)值的性質(zhì)可知的最大值為或，
因?yàn)榈葍r(jià)于，又，
即關(guān)于的不等式或在上恒成立，
由，得；
由，得；
所以，
則，整理得，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，將等價(jià)于關(guān)于的不等式或在上恒成立，從而得解.
14．（2024·遼寧大連·一模）已知函數(shù) 在區(qū)間有2 個(gè)零點(diǎn)和4 個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】對(duì)不同情況的，分析在特殊點(diǎn)處的取值并求出其單調(diào)區(qū)間從而判斷零點(diǎn)和極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，從而等價(jià)于，即，
這表明的全部零點(diǎn)為全體偶數(shù)，從而在上只有1個(gè)零點(diǎn)，不滿足要求；
(2)當(dāng)時(shí)，有，，，，
所以在，，上各有一個(gè)零點(diǎn)，從而在上至少有3個(gè)零點(diǎn)，不滿足要求；
(3)當(dāng)時(shí)，有，，，，
所以在，，上各有一個(gè)零點(diǎn)，從而在上至少有3個(gè)零點(diǎn)，不滿足要求；
(4)當(dāng)時(shí)，，
記，
則在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，故在上單調(diào)遞增.
而，在和上遞增，在上遞減，
故在和上遞增，在上遞減.
這表明在上只有2個(gè)極值點(diǎn)和，不滿足要求；
(5)當(dāng)時(shí)，，
記，
則在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋试谏蠁握{(diào)遞增.
而，在和上遞增，在上遞減，
故在和上遞增，在上遞減.
這表明在上只有2個(gè)極值點(diǎn)和，不滿足要求；
(6)當(dāng)時(shí)，，
記，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
顯然，對(duì)任意，關(guān)于的方程在上恰有一個(gè)根，記該根為.
而，在和上遞增，在上遞減；
同時(shí)，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
這表明在上遞增，在上遞減，
在上遞增，在上遞減，在上遞增.
所以在上有四個(gè)極值點(diǎn)，，，.
又由于，，，，
故當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
而，，，
故在上沒有零點(diǎn)，在和上各恰有1個(gè)零點(diǎn)，從而在上有2個(gè)零點(diǎn).
這意味著滿足全部要求；
(7)當(dāng)時(shí)，有，
根據(jù)(6)的討論，在上有2個(gè)零點(diǎn)，4個(gè)極值點(diǎn).
而，
故對(duì)，是的極值點(diǎn)（或零點(diǎn)）當(dāng)且僅當(dāng)是的極值點(diǎn)（或零點(diǎn)），
這就說明和在上的極值點(diǎn)和零點(diǎn)個(gè)數(shù)相等，
所以在上有2個(gè)零點(diǎn)，4個(gè)極值點(diǎn)，滿足全部要求.
綜上，的取值范圍是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是適當(dāng)劃分討論的臨界點(diǎn)進(jìn)行分類討論，由此即可順利得解.
四、解答題
15．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中畫出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象直接寫出函數(shù)的最大值；
(2)解不等式．
【答案】(1)圖像見解析，最大值為；
(2)
【分析】（1）寫出分段函數(shù)形式，畫出圖象，得到最值；
（2）結(jié)合（1）中函數(shù)圖象，分，，和，得到不等式，求出解集.
【詳解】（1），
在平面直角坐標(biāo)系xOy中畫出函數(shù)的圖象，如圖所示．
由圖象可得函數(shù)的最大值為．
（2）即，
由（1）知當(dāng)時(shí)，，此時(shí)原不等式無解；
當(dāng)時(shí)，不等式，
可化為，得，所以；
當(dāng)時(shí)，不等式，
可化為，得，所以；
當(dāng)時(shí)，不等式可化為，得，
所以．
綜上，原不等式的解集為．
16．（2023·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且.
(1)求的取值范圍；
(2)若，證明：
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用極值點(diǎn)的意義構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定的取值范圍，再求出函數(shù)的值域作答.
（2）利用（1）中信息，結(jié)合方程根的意義，借助分析法探討結(jié)論成立的充分條件，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)講明不等式恒成立作答.
【詳解】（1）在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，即有兩個(gè)不等實(shí)根，
設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
而，且當(dāng)，恒有成立，于是，且，
即有，又，
則，
令，求導(dǎo)得，即在上單調(diào)遞減，
從而，所以.
（2）由（1）知，方程的兩個(gè)實(shí)根，即，
亦即，從而，設(shè)，又，即，
要證，即證，即證，
即證，即證，
即證，即證，即證，
令，
設(shè)，
則在上單調(diào)遞增，有，
于是，即有在上單調(diào)遞增，因此，即，
所以成立.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及雙變量的不等式證明問題，將所證不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理.
17．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且．
(1)求的取值范圍；
(2)求關(guān)于的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)異號(hào)零點(diǎn)，研究導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)有兩個(gè)極值的必要條件是“導(dǎo)函數(shù)的極小值小于”，再證明充分性即可；
（2）利用得，由此構(gòu)造函數(shù)分段討論比較的大小，再利用的單調(diào)性求解不等式可得.
【詳解】（1）由題意知．
因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，
所以在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)．
設(shè)，，則.
①當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞增，至多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
②當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
因?yàn)樵谏嫌袃蓚€(gè)變號(hào)零點(diǎn)，即在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，
所以，解得，此時(shí).
因?yàn)?，，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)．
因?yàn)椋?br/>由，則.
設(shè)，
則，所以在上單調(diào)遞減．
因?yàn)?，所以．所以?br/>且，則，
又，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)．
由兩個(gè)極值點(diǎn)，滿足，則.
故當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn).
綜上所述，a的取值范圍為；
（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
又，所以，
且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
由，得，所以．
所以．
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞減，其中，
①當(dāng)時(shí)，，即，所以，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以，故不等式無解；
②當(dāng)時(shí)，，即，所以，
所以，符合題意；
③當(dāng)時(shí)，，即，所以，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，
故此時(shí)不等式也無解．
綜上所述，不等式的解集為．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決函數(shù)極值點(diǎn)問題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)問題研究即可，但要注意可導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)值為零僅僅是極值點(diǎn)的一個(gè)必要而非充分條件，因此在解決問題時(shí)要對(duì)充分性加以驗(yàn)證.
18．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)求證：；
(3)若且，求證：．
【答案】(1)在區(qū)間上單調(diào)遞減
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）求，令，求，討論的大小可證得，即，即可得出的單調(diào)性；
（2）法一：要證，即證，記，討論的單調(diào)性和最值即可證明；法二：通過構(gòu)造函數(shù)結(jié)合已知條件放縮要證即證即可.
（3）法一：由（1）可知為減函數(shù)，所以，要證即證，構(gòu)造函數(shù)證明即可；法二：先證，即，則，再結(jié)合基本不等式即可證明.
【詳解】（1）的定義域?yàn)?，?br/>記，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以，即，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減．
（2）法一：先證，記，
則，
記，則，所以時(shí)，遞增；
時(shí)，遞減．
所以，所以，又，所以，故．
再證，即證，記，
則，
記，則，所以在遞增，
所以，所以，即，
所以.
法二：構(gòu)造函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，所以，
構(gòu)造函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．
所以，即，即成立．
所以，
所以，
則只需證明，即，而顯然成立，
所以．
（3）法一：由（2）知的最大值為0．
因?yàn)榍?，則之中至少有一個(gè)大于1，
不妨設(shè)，則，由（1）可知為減函數(shù)，所以，
所以，
因?yàn)?br/>，
記，則，
因?yàn)?，所以，所以，所以?br/>法二：先證，記，
則，
記，則，所以時(shí)，遞增；
時(shí)，遞減．
所以，所以，又，所以，故．
所以，
因?yàn)榍遥?br/>所以，
所以，所以，則．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
19．（2024·遼寧大連·一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間值域?yàn)閰^(qū)間，若則稱是的縮域函數(shù).
(1)若是區(qū)間的縮域函數(shù)，求a的取值范圍；
(2)設(shè)為正數(shù)，且若是區(qū)間的縮域函數(shù)，證明：
（i）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減;
（ii）
【答案】(1)
(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析
【分析】（1）根據(jù)縮域函數(shù)的定義及其區(qū)間，解不等式可得a的取值范圍；
（2）（i）易知可解得，結(jié)合（1）中單調(diào)性可得結(jié)論；（ii）由縮域函數(shù)的定義構(gòu)造函數(shù)并將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量問題，利用導(dǎo)數(shù)求得其單調(diào)性即可得結(jié)論.
【詳解】（1）若是區(qū)間的縮域函數(shù)，則，；
即，解得；
可得，則；
令，則；
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增.
所以，解得，
下面證明，即，也即；
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
因此可得，所以，
綜上a的取值范圍為
（2）（i）當(dāng)時(shí),若是區(qū)間的縮域函數(shù)，則，
即，進(jìn)一步，
當(dāng)時(shí)，，即，；
由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
（ii）若是區(qū)間的縮域函數(shù)，則；
故有，即；
設(shè)函數(shù)，則；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
因?yàn)闉檎龜?shù)且則，又，
所以在上單調(diào)遞減，所以；
記，設(shè)，且，由的單調(diào)性可知，故；
記，
則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
故，即；
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，故，即；
由，故，
所以，又因?yàn)椋?br/>故.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于理解“縮域函數(shù)”的定義，并根據(jù)給定區(qū)間的范圍合理構(gòu)造函數(shù)并利用單調(diào)性對(duì)相應(yīng)結(jié)論進(jìn)行證明.
拓展沖刺練
一、單選題
1．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在上單調(diào)遞減，則t的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得的單調(diào)性，從而可求得t的取值范圍.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得.
故選：A
2．（2023·遼寧丹東·二模）設(shè)函數(shù)由關(guān)系式確定，函數(shù)，則（ ）
A．為增函數(shù) B．為奇函數(shù)
C．值域?yàn)?D．函數(shù)沒有正零點(diǎn)
【答案】D
【分析】化簡(jiǎn)已知函數(shù)并作出圖像，即可得出結(jié)論
【詳解】由題意，
在函數(shù)中，，
可知畫以下曲線：
，，．
這些曲線合并組成圖象，是兩段以為漸近線的雙曲線和一段圓弧構(gòu)成．
因?yàn)樽鲌D象在軸右側(cè)部分包括點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，
得到曲線，再作關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，去掉點(diǎn)得到曲線，與合并組成圖象．
由圖象可知，不是奇函數(shù)，不是增函數(shù)，值域?yàn)镽．
當(dāng)時(shí)，圖象與圖象沒有公共點(diǎn)，從而函數(shù)沒有正零點(diǎn)．
故選：D.
3．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得二次函數(shù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，建立不等式再求解的范圍.
【詳解】設(shè)函數(shù)，
則函數(shù)是由二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)復(fù)合而成的.
當(dāng)時(shí)，由于函數(shù)單調(diào)遞減，
而二次函數(shù)的圖象開口向上，
在區(qū)間上不可能單調(diào)遞減，
則函數(shù)在區(qū)間上不可能單調(diào)遞增，故不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又其對(duì)稱軸為，故，
所以.
故選：C.
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)對(duì)任意恒有，且當(dāng)時(shí)，．若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】法一：令，求出，令，可證得函數(shù)是奇函數(shù)，再由單調(diào)性的定義可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可求出在區(qū)間上的最大值，則，解不等式即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍；法二：令可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求出在區(qū)間上的最大值，則，解不等式即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】法一：令，得，所以；
令，則有，即，則，
故是定義在上的奇函數(shù)．
設(shè)，則，又當(dāng)時(shí)，，
則有，即，
則，故在上單調(diào)遞增．
所以當(dāng)時(shí)，．
又因?yàn)榇嬖冢沟贸闪ⅲ?br/>所以，解得．故選D．
法二：令，則．因?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞增．
因?yàn)榇嬖?，使得成立?br/>所以為在區(qū)間上的最大值．
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，，所以，
所以．解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故選：D．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于由賦值法證得函數(shù)在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可求出在區(qū)間上的最大值，則，解不等式即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
二、多選題
5．（2024·江蘇·一模）已知函數(shù)，則（ ）
A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C．不等式無解 D．的最大值為
【答案】BD
【分析】對(duì)于選項(xiàng)A:驗(yàn)證是否成立即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B:驗(yàn)證是否成立即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)C:利用即可驗(yàn)證有解；對(duì)于選項(xiàng)D:利用二倍角公式，結(jié)合基本不等式即可判斷.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:不是的周期，故A錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)B:關(guān)于對(duì)稱，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C:有解，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D:，若，則，
若則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，原式取等，故D正確.
故選:BD.
6．（2023·河南·三模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．在定義域上是增函數(shù)
B．的值域?yàn)?br/>C．
D．若，，，則
【答案】BD
【分析】確定函數(shù)定義域，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，可判斷A；作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，判斷B；結(jié)合函數(shù)解析式可得，即可判斷C；將化簡(jiǎn)變形得到，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性推出，即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>，則在上均單調(diào)遞增，
由于函數(shù)圖象在處不連續(xù)，故不能說在定義域上是增函數(shù)，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，作出函數(shù)的大致圖象，
結(jié)合圖象可知的值域?yàn)?，B正確；
對(duì)于C，由于，故，
故，
故，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由題意知，
又，即
而，，故，結(jié)合在上單調(diào)遞增，
可得，D正確，
故選：BD
三、填空題
7．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）若，則的大小關(guān)系為 （用“<”號(hào)連接）．
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)比較大小即可.
【詳解】令函數(shù)，求導(dǎo)得，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則，即，
令函數(shù)，求導(dǎo)得，
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，，則，即，
所以的大小關(guān)系為.
故答案為：
8．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知對(duì)，，，當(dāng)時(shí)，都有 ，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，可知在上單調(diào)遞增，即恒成立，可知，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性與最值，可得參數(shù)范圍.
【詳解】由已知，且，
則 ，
即，
設(shè)，可知可知在上單調(diào)遞增，
即恒成立，
即，
設(shè)，則，
令，解得，
則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
則，
所以，
故答案為：.
四、解答題
9．（2024·福建龍巖·一模）已知函數(shù)是大于0的常數(shù)，記曲線在點(diǎn)處的切線為在軸上的截距為.
(1)若函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析；
(2).
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分類討論求出其單調(diào)區(qū)間.
（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的方程及其橫截距，根據(jù)已知構(gòu)造函數(shù)并解不等式得解.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，
則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）函數(shù)，求導(dǎo)得，切線方程為：，
令，得，由，得，
又，，，又由，得，
即，令，，
求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，
而，則由，得，
所以的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問題往往涉及到分類討論，分類討論標(biāo)準(zhǔn)的確定是關(guān)鍵，一般依據(jù)導(dǎo)數(shù)是否有零點(diǎn)、零點(diǎn)存在時(shí)零點(diǎn)是否在給定的范圍內(nèi)及零點(diǎn)在給定范圍內(nèi)時(shí)兩個(gè)零點(diǎn)的大小關(guān)系來分層討論.
10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)若，討論的單調(diào)性；
(2)若，求在上的最小值，并判斷方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)．
【答案】(1)答案見解析
(2)，有1個(gè)實(shí)數(shù)根
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式，分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)考察單調(diào)性即可；
（2）分類討論的范圍，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求得的解析式，構(gòu)造函數(shù)，分段考察函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可求解.
【詳解】（1）若，則．
當(dāng)時(shí)，，
則，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，，
則，
所以在上單調(diào)遞減．
綜上，在和上單調(diào)遞減，
在和上單調(diào)遞增．
（2）由得，
若，則當(dāng)時(shí)，
．
若，則當(dāng)時(shí)，
，
，
所以在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，．
若，則當(dāng)時(shí)，
，
，
當(dāng)時(shí)，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
，，，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，
所以．
綜上，．
令函數(shù)，，
則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)就是函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
又，，所以在上有1個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，，
，
在上單調(diào)遞增，
又，
所以在上沒有零點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，，
，在上單調(diào)遞增，
又，所以在上沒有零點(diǎn)．
綜上，方程只有1個(gè)實(shí)數(shù)根．
【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：
(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．
(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．
(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．
11．（2023·四川自貢·一模）函數(shù)的最小值為m.
(1)判斷m與2的大小，并說明理由；
(2)求函數(shù)的最大值.
【答案】(1)，理由見解析；
(2)2.
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值表達(dá)式，再借助對(duì)勾函數(shù)探討最小值范圍即得.
（2）利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性并求出最大值的表達(dá)式，再借助函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)的最小值點(diǎn)與最大值點(diǎn)的關(guān)系即可求解.
【詳解】（1）.
理由如下：
函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，
顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，，
則存在唯一的，使得，即，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因此，由，得且，
則，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，即當(dāng)時(shí)，，
所以.
（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，
由（1）知，，
于是存在唯一的，使得，即，
則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因此，由，得，即，
由（1）知，，則，
顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，且，
從而，
所以函數(shù)的最大值為2.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)最值和值域的常用方法：
(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值；
(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值；
(3)基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值；
(4)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值；
(5)換元法：對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值．
12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)大于0，求的取值范圍；
(2)若在上單調(diào)遞增，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)兩個(gè)零點(diǎn)為或，則得到不等式，解出即可；
（2）求導(dǎo)得，等價(jià)轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再設(shè)新函數(shù)，通過對(duì)的分類討論則得到其值.
【詳解】（1）由題，，
令，得或，
因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)極值點(diǎn)大于0，
所以，解得或，
所以的取值范圍是．
（2），
則，
在上單調(diào)遞增，則在上恒成立．
設(shè)，
則，在上恒成立等價(jià)于在上恒成立， ，
若，則，在上單調(diào)遞減，
又，所以當(dāng)時(shí)，不成立，因此只能．
令，得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，
則恒成立．
不妨設(shè)，
則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，
則，得．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再設(shè)新函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)和對(duì)的分類討論得到恒成立，再設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究其最值即可得到的值.
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