資源簡介

考點08函數的奇偶性、周期性（3種核心題型+基礎保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.了解函數奇偶性的含義，了解函數的周期性及其幾何意義.
2.會依據函數的性質進行簡單的應用．
【知識點】
1．函數的奇偶性
奇偶性 定義 圖象特點
偶函數 一般地，設函數f(x)的定義域為D，如果 x∈D，都有－x∈D，且 ，那么函數f(x)就叫做偶函數 關于 對稱
奇函數 一般地，設函數f(x)的定義域為D，如果 x∈D，都有－x∈D，且 ，那么函數f(x)就叫做奇函數 關于 對稱
2.周期性
(1)周期函數：一般地，設函數f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數T，使得對每一個x∈D都有x＋T∈D，且 ，那么函數y＝f(x)就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個 的正數，那么這個
就叫做f(x)的最小正周期．
常用結論
1．奇函數在關于原點對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上具有相反的單調性．
2．函數周期性常用結論
對f(x)定義域內任一自變量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，則T＝2a(a>0)．
【核心題型】
題型一　函數奇偶性的判斷
判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件
(1)定義域關于原點對稱，否則即為非奇非偶函數．
(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數)或f(x)－f(－x)＝0(偶函數))是否成立．
【例題1】（多選）（2024·遼寧·模擬預測）函數的圖像向左平移個單位長度后得到的圖像，則（ ）
A． B．是偶函數
C．的圖像關于點中心對稱 D．當時，取到最小值
【變式1】（2024·北京豐臺·一模）已知函數具有下列性質：
①當時，都有；
②在區間上，單調遞增；
③是偶函數．
則 ；函數可能的一個解析式為 ．
【變式2】（2024·內蒙古赤峰·一模）已知，．下列結論中可能成立的有 ．
①；
②；
③是奇函數；
④對，．
【變式3】（2024·河南信陽·一模）若函數的圖像關于原點對稱，則m＝ ．
題型二　函數奇偶性的應用
(1)利用函數的奇偶性可求函數值或求參數的取值，求解的關鍵在于借助奇偶性轉化為求已知區間上的函數或得到參數的恒等式，利用方程思想求參數的值．
(2)利用函數的奇偶性可畫出函數在其對稱區間上的圖象，結合幾何直觀求解相關問題．
命題點1　利用奇偶性求值(解析式)
【例題2】（2023·四川·模擬預測）已知是定義在上的奇函數，當時，，則滿足的的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（2023·安徽馬鞍山·三模）函數的定義域為，是偶函數，是奇函數，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2024·陜西安康·模擬預測）寫出一個對稱中心為的奇函數 .
【變式3】（2024·云南昆明·模擬預測）已知，分別為定義在上的奇函數和偶函數，，則 ．
命題點2　利用奇偶性解不等式
【例題3】（2024·廣西柳州·三模）設函數是定義在上的奇函數，且對于任意的x，，都有.若函數，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（2024·遼寧·一模）已知函數，若成立，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2024·四川南充·二模）設函數，則滿足的的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（2024·貴州貴陽·一模）已知是定義在上的偶函數，且也是偶函數，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型三　函數的周期性
(1)求解與函數的周期有關的問題，應根據題目特征及周期定義，求出函數的周期．
(2)利用函數的周期性，可將其他區間上的求值、求零點個數、求解析式等問題，轉化到已知區間上，進而解決問題．
【例題4】（2024·陜西渭南·模擬預測）已知定義在R上的函數滿足，為奇函數，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【變式1】（2024·江蘇徐州·一模）若定義在R上的函數滿足，是奇函數，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2024·全國·模擬預測）已知定義域為的函數滿足，則（ ）
A． B． C．0 D．3
【變式3】（多選）（2024·全國·模擬預測）若定義在上的函數滿足，則下列結論中正確的是（ ）
A．是奇函數 B．是周期為4的周期函數
C． D．
【課后強化】
基礎保分練
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知函數的定義域為，設甲：的圖象關于軸對稱；乙：是奇函數或偶函數，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
2．（2024·天津·一模）如圖是函數的部分圖象，則的解析式可能為（ ）

A． B．
C． D．
3．（2024·河北·模擬預測）定義在上的函數周期為，且為奇函數，則（ ）
A．為偶函數 B．為偶函數
C．為奇函數 D．為奇函數
4．（2024·全國·模擬預測）已知函數，則使得成立的正實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（2023·全國·模擬預測）已知函數和分別為R上的奇函數和偶函數，滿足，，分別為函數和的導函數，則下列結論中正確的是（ ）
A．
B．當時，的值域為
C．當時，若恒成立，則a的取值范圍為
D．當時，滿足
6．（2024·浙江金華·模擬預測）已知函數，則（ ）
A．是偶函數 B．的最小正周期為
C．的最大值為 D．的最小值為
三、填空題
7．（2024·全國·模擬預測）已知函數的定義域為，是奇函數，是偶函數，，則 ．
8．（2023·黑龍江·模擬預測）已知函數是定義在上的奇函數，當時，，則當時， ．
四、解答題
9．（2023·陜西西安·模擬預測）已知奇函數在處取得極大值2.
(1)求的解析式；
(2)求在上的最值.
10．（2023·陜西寶雞·模擬預測）設函數.
(1)求函數在區間上的最大值和最小值；
(2)設函數對任意，有，且當時，；求函數在上的解析式.
11．（22-23高三上·河南·階段練習）已知是定義在上的偶函數，且.
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求實數的取值范圍；
(3)設，若存在，對任意的，都有，求實數的取值范圍.
12．（2023·黑龍江佳木斯·模擬預測）已知是定義在[－2，2]上的函數，若滿足且．
(1)求的解析式；
(2)設函數，若對任意，都有恒成立，求m的取值范圍．
綜合提升練
一、單選題
1．（2024·廣東佛山·一模）已知為奇函數，則在處的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·四川·模擬預測）已知，若，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·廣東茂名·一模）函數和均為上的奇函數，若，則（ ）
A． B． C．0 D．2
4．（2023·廣東·一模）已知函數是定義在上的奇函數，當時，，若，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·安徽蕪湖·二模）已知直線l：與曲線W：有三個交點D、E、F，且，則以下能作為直線l的方向向量的坐標是（ ）．
A． B． C． D．
6．（2024·四川成都·模擬預測）已知函數，若等差數列的前項和為，且，，則（ ）
A．-4048 B．0 C．2024 D．4048
7．（2024·全國·模擬預測）已知定義在上的函數滿足，且為奇函數，，則（ ）
A．4047 B．4048 C．4049 D．4050
8．（2024·黑龍江吉林·二模）已知偶函數滿足，且當時，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2022·江蘇南通·模擬預測）華人數學家李天巖和美國數學家約克給出了“混沌”的數學定義，由此發展的混沌理論在生物學 經濟學和社會學領域都有重要作用.在混沌理論中，函數的周期點是一個關鍵概念，定義如下：設是定義在R上的函數，對于R，令，若存在正整數k使得，且當0A．0 B． C． D．1
10．（2023·山西·模擬預測）奇函數與偶函數的定義域均為，且滿足，則下列判斷正確的是（ ）
A． B．
C．在上單調遞增 D．的值域為
11．（2024·湖南·二模）已知函數的定義域均為，，且的圖像關于直線對稱，則以下說法正確的是（ ）
A．和均為奇函數 B．
C． D．
三、填空題
12．（2023·四川雅安·一模）已知函數的定義域為為偶函數，為奇函數，則的最小值為 .
13．（2024·山東棗莊·一模）已知為偶函數，且，則 ．
14．（2023·四川綿陽·模擬預測）已知函數的定義域為，且，若為奇函數，，則 ．
四、解答題
15．（2023·河南洛陽·模擬預測）已知函數是定義在上的奇函數，當時，．
(1)求的解析式；
(2)若關于的方程在上有解，求實數的取值范圍．
16．（2023·上海黃浦·一模）已知集合A和定義域為的函數，若對任意，，都有，則稱是關于A的同變函數.
(1)當與時，分別判斷是否為關于A的同變函數，并說明理由；
(2)若是關于的同變函數，且當時，，試求在上的表達式，并比較與的大小；
(3)若n為正整數，且是關于的同變函數，求證：既是關于的同變函數，也是關于的同變函數.
17．（2023·上海普陀·一模）設函數的表達式為.
(1)求證：“”是“函數為偶函數”的充要條件；
(2)若，且，求實數的取值范圍.
18．（2024·全國·模擬預測）已知函數．
(1)若，求證：當時，
(2)若，求證：在上有且僅有三個零點，，（），且．
19．（2023·上海徐匯·一模）若函數的導函數是以為周期的函數，則稱函數具有“性質”．
(1)試判斷函數和是否具有“性質”，并說明理由；
(2)已知函數，其中具有“性質”，求函數在上的極小值點；
(3)若函數具有“性質”，且存在實數使得對任意都有成立，求證：為周期函數．
（可用結論：若函數的導函數滿足，則（常數）．）
拓展沖刺練
一、單選題
1．（23-24高三下·江西·階段練習）已知函數，則滿足不等式的的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·重慶·一模）已知定義在R上的函數滿足：，且時，，則關于的不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·全國·模擬預測）已知函數是定義在上的奇函數，為的導函數，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．（2024·云南紅河·二模）已知函數，對于任意的，不等式恒成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（2024·湖南岳陽·二模）已知函數的定義域為，對任意都有，且，則下列說法正確的是（ ）
A． B．為奇函數
C． D．
6．（2024·河南·一模）定義在R上的函數（且，），若存在實數m使得不等式恒成立，則下列敘述正確的是（ ）
A．若，，則實數m的取值范圍為
B．若，，則實數m的取值范圍為
C．若，，則實數m的取值范圍為
D．若，，則實數m的取值范圍為
三、填空題
7．（2024·陜西西安·二模）已知定義域為的函數滿足，且當時，，則 .
8．（2024·陜西西安·模擬預測）定義在上的函數的導函數為，且有，且對任意都有，則使得成立的的取值范圍是 .
9．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）已知，若直線與有個交點，則 .
四、解答題
10．（23-24高三上·全國·階段練習）已知函數是偶函數.
(1)求的值;
(2)設 ，，若對任意的 ，存在，使得，求的取值范圍.
11．（2024·全國·模擬預測）行列式是近代數學中研究線性方程的有力工具，其中最簡單的二階行列式的運算定義如下：．
(1)在等比數列中，是的兩個實根，求的值；
(2)已知數列的前項和為，且，若，求數列的前項和；
(3)已知是奇函數，是偶函數．設函數，且存在實數，使得對于任意的都成立，若，求的值．
12．（23-24高三上·云南昆明·階段練習）懸鏈線的原理運用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．通過適當建立坐標系，懸鏈線可為雙曲余弦函數的圖象，類比三角函數的三種性質：①平方關系：①，②和角公式：，③導數：定義雙曲正弦函數．
(1)直接寫出，具有的類似①、②、③的三種性質（不需要證明）；
(2)若當時，恒成立，求實數a的取值范圍；
(3)求的最小值．
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考點08函數的奇偶性、周期性（3種核心題型+基礎保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.了解函數奇偶性的含義，了解函數的周期性及其幾何意義.
2.會依據函數的性質進行簡單的應用．
【知識點】
1．函數的奇偶性
奇偶性 定義 圖象特點
偶函數 一般地，設函數f(x)的定義域為D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數 關于y軸對稱
奇函數 一般地，設函數f(x)的定義域為D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數 關于原點對稱
2.周期性
(1)周期函數：一般地，設函數f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數T，使得對每一個x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函數y＝f(x)就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期．
常用結論
1．奇函數在關于原點對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上具有相反的單調性．
2．函數周期性常用結論
對f(x)定義域內任一自變量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，則T＝2a(a>0)．
【核心題型】
題型一　函數奇偶性的判斷
判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件
(1)定義域關于原點對稱，否則即為非奇非偶函數．
(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數)或f(x)－f(－x)＝0(偶函數))是否成立．
【例題1】（多選）（2024·遼寧·模擬預測）函數的圖像向左平移個單位長度后得到的圖像，則（ ）
A． B．是偶函數
C．的圖像關于點中心對稱 D．當時，取到最小值
【答案】BC
【分析】利用三角變換和圖象變換得到，代入計算后可判斷AD的正誤，根據定義可判斷B的正誤，利用整體法可求判斷C的正誤.
【詳解】
，
故，
對于A，，故A錯誤.
對于B，，而，故為偶函數，故B正確.
對于C，令，則，
故的圖像的對稱中心對稱為，當時，對稱中心為，故C正確.
對于D，，故為取到最大值，故D錯誤.
故選：BC.
【變式1】（2024·北京豐臺·一模）已知函數具有下列性質：
①當時，都有；
②在區間上，單調遞增；
③是偶函數．
則 ；函數可能的一個解析式為 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】令即可求出，再找到符合題意的函數解析式（一個），然后一一驗證即可.
【詳解】因為當時，都有，
令可得，解得，
不妨令，，
則，所以在上單調遞增，滿足②；
又，所以為偶函數，滿足③；
當時，
，，
所以，滿足①.
故答案為：；（答案不唯一）
【變式2】（2024·內蒙古赤峰·一模）已知，．下列結論中可能成立的有 ．
①；
②；
③是奇函數；
④對，．
【答案】①③④
【分析】根據題意，由指數的運算即可判斷①②，由函數奇偶性的定義即可判斷③，利用導數判斷函數的單調性，即可判斷④.
【詳解】因為，故①正確；
因為，故②錯誤；
因為，
定義域為，關于原點對稱，
則，
所以，
所以是奇函數，故③正確；
令，其中，
則，
當且僅當時，即時，等號成立，
所以，即函數在上單調遞增，
所以，即，
又，
當且僅當時，即時，等號成立，
所以時，，則函數在上單調遞增，
所以對，，故④正確；
故答案為：①③④
【變式3】（2024·河南信陽·一模）若函數的圖像關于原點對稱，則m＝ ．
【答案】/
【分析】根據題意，由條件可得為偶函數，再由偶函數的性質即可得到結果.
【詳解】因為的圖像關于原點對稱，則為奇函數，且為奇函數，
則為偶函數，即，，則，則．
故答案為：
題型二　函數奇偶性的應用
(1)利用函數的奇偶性可求函數值或求參數的取值，求解的關鍵在于借助奇偶性轉化為求已知區間上的函數或得到參數的恒等式，利用方程思想求參數的值．
(2)利用函數的奇偶性可畫出函數在其對稱區間上的圖象，結合幾何直觀求解相關問題．
命題點1　利用奇偶性求值(解析式)
【例題2】（2023·四川·模擬預測）已知是定義在上的奇函數，當時，，則滿足的的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先通過函數為奇函數求出，再通過求解二次不等式以及奇函數的對稱性得答案.
【詳解】依題意是奇函數，所以，即，
則，，
當時，令，解得或，
根據對稱性，當時，，
故滿足的的取值范圍是．
故選：C．
【變式1】（2023·安徽馬鞍山·三模）函數的定義域為，是偶函數，是奇函數，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據奇偶函數的定義可得，再利用基本不等式求最小值.
【詳解】由題意可得，解得，
因為，當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值為.
故選：B.
【變式2】（2024·陜西安康·模擬預測）寫出一個對稱中心為的奇函數 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據對稱中心，考慮正弦函數（答案不唯一，正確即可）
【詳解】因為奇函數關于原點對稱，且此函數又關于點對稱，
所以此函數可類比于正弦函數，
因為正弦函數是奇函數，且關于點對稱，
所以可聯想到.
故答案為：（答案不唯一）.
【變式3】（2024·云南昆明·模擬預測）已知，分別為定義在上的奇函數和偶函數，，則 ．
【答案】27
【分析】根據函數奇偶性的定義，利用方程組法求出函數的解析式，即可得解.
【詳解】因為，分別為定義在上的奇函數和偶函數，
而，①
所以，即，②
由①②得，所以．
故答案為：.
命題點2　利用奇偶性解不等式
【例題3】（2024·廣西柳州·三模）設函數是定義在上的奇函數，且對于任意的x，，都有.若函數，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由的奇偶性可判斷 也為奇函數，然后結合，及單調性的定義可判斷單調遞增，結合單調性及奇函數的定義可求．
【詳解】，，
由于是定義在上的奇函數，即，
，故為奇函數，
對于任意的，，有，
，
當時，有，
即，
， 單調遞增，
，
，
，
整理可得，，
解可得，或，
故選：D
【變式1】（2024·遼寧·一模）已知函數，若成立，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】構造函數，判斷的奇偶性，再利用導數討論其單調性，然后根據單調性將不等式去掉函數符號即可求解.
【詳解】記，
令，解得，
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減.
因為
，
所以為偶函數.
所以，
又在上單調遞增，
所以，即，解得.
故選：C
【點睛】方法點睛：抽象函數不等式問題主要利用單調性求解，本題需結合奇偶性，并利用導數研究單調性進行求解.
【變式2】（2024·四川南充·二模）設函數，則滿足的的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】構造函數，說明其單調性和奇偶性, 轉化為解不等式即可求解.
【詳解】，
設，
又易知，為上的奇函數，
又，
在上單調遞增，
又，
，
，
，又為上的奇函數，
，又在上單調遞增，
，
，
故滿足的的取值范圍是．
故選：C．
【變式3】（2024·貴州貴陽·一模）已知是定義在上的偶函數，且也是偶函數，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根據函數是定義在上的偶函數，，再由函數也是偶函數，變形求得函數的解析式，并求得函數的單調區間，即可求解不等式.
【詳解】因為函數是定義在上的偶函數，，所以，則，
又因為函數也是偶函數，所以，得，
因為為減函數，為增函數，所以為減函數，
令，得，
所以時，，在上單調遞減，
根據偶函數的性質可知，函數在上單調遞增，
所以，即，即，得或，
所以不等式的解集為.
故選：D
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是根據，得到，從而求得函數的解析式.
題型三　函數的周期性
(1)求解與函數的周期有關的問題，應根據題目特征及周期定義，求出函數的周期．
(2)利用函數的周期性，可將其他區間上的求值、求零點個數、求解析式等問題，轉化到已知區間上，進而解決問題．
【例題4】（2024·陜西渭南·模擬預測）已知定義在R上的函數滿足，為奇函數，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】先根據得出函數的周期；再根據為奇函數得出，利用賦值法求出；最后利用的周期即可求解.
【詳解】因為，
所以，
所以的周期為6.
又因為為奇函數，
所以，即，即，
令，則，即
所以，
故選：C.
【變式1】（2024·江蘇徐州·一模）若定義在R上的函數滿足，是奇函數，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據給定條件，求出函數的周期，及和，再逐項計算判斷得解.
【詳解】由，得，則，即函數的周期為4，
由是R上的奇函數，得，即，
于是，，即，
因此，AB錯誤；
由，取，得，則，
因此，取，得，
于是，
則，C錯誤，D正確.
故選：D
【點睛】思路點睛：涉及抽象函數等式問題，利用賦值法探討函數的性質，再借助性質即可求解.
【變式2】（2024·全國·模擬預測）已知定義域為的函數滿足，則（ ）
A． B． C．0 D．3
【答案】C
【分析】根據抽象函數的周期性求函數值.
【詳解】因為，所以．
又因為，所以，
所以，即，
所以，所以函數是周期為4的函數．
在中令，得，即，
所以．
故選:C．
【變式3】（多選）（2024·全國·模擬預測）若定義在上的函數滿足，則下列結論中正確的是（ ）
A．是奇函數 B．是周期為4的周期函數
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用賦值法結合抽象函數的奇偶性、對稱性、周期性計算一一判定選項即可.
【詳解】因為，所以．
又因為，所以．
又，則，
即，所以，故是周期為4的周期函數．
因為，所以也是周期為4的周期函數，故B正確；
因為，則，即，
所以，所以為偶函數，故A錯誤；
因為，令，得，即，
令，得，即，
故，故C正確；
由，
得
，
所以，故D正確．
故選：BCD．
【課后強化】
基礎保分練
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知函數的定義域為，設甲：的圖象關于軸對稱；乙：是奇函數或偶函數，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】B
【分析】由寄偶函數的概念及圖像性質可判斷必要性成立，通過舉特例可判斷充分性不成立.
【詳解】令，若是奇函數或偶函數，則，
所以是偶函數，所以的圖像關于軸對稱，必要性成立；
反之，不妨令則，所以的圖像關于軸對稱，
但是是非奇非偶函數，充分性不成立，則甲是乙的必要條件但不是充分條件．
故選：B．
2．（2024·天津·一模）如圖是函數的部分圖象，則的解析式可能為（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據函數的奇偶性可排除C，根據在原點附近的函數值的正負可排除BA，即可求解.
【詳解】由圖可知：的圖象關于軸對稱，則為偶函數，
對于A，，為偶函數，
但當取一個很小的正數，例如，選項中的，而原圖象中值為負數，故A不符合，舍去，
對于B, ,為偶函數，但是處有意義，但是原函數在處無意義，故B不符合，
對于C，，為奇函數，故C不符合，
故選：D
3．（2024·河北·模擬預測）定義在上的函數周期為，且為奇函數，則（ ）
A．為偶函數 B．為偶函數
C．為奇函數 D．為奇函數
【答案】D
【分析】根據周期性與奇偶性的定義推導B、D，利用反例說明A、C.
【詳解】定義在上的函數周期為，所以，
又為奇函數，所以，
即，所以為奇函數，故B錯誤；
所以，則，
所以，則為奇函數，故D正確；
由，所以，則關于對稱，
令，則，滿足函數周期為，
且滿足為奇函數，
但是為奇函數，故A錯誤；
令，則，滿足函數周期為，
又滿足為奇函數，
但是為偶函數，故C錯誤.
故選：D
4．（2024·全國·模擬預測）已知函數，則使得成立的正實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析函數的奇偶性，單調性，利用函數的單調性求解不等式即可.
【詳解】由題知的定義域為，且，
所以為偶函數．
又當時，，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以若成立，則需解得．
故選B．
二、多選題
5．（2023·全國·模擬預測）已知函數和分別為R上的奇函數和偶函數，滿足，，分別為函數和的導函數，則下列結論中正確的是（ ）
A．
B．當時，的值域為
C．當時，若恒成立，則a的取值范圍為
D．當時，滿足
【答案】ACD
【分析】根據函數奇偶性以及即可求得，可得A正確；利用基本不等式可得，但等號不成立，即B錯誤；對參數a的取值進行分類討論，利用導數求得函數單調性即可得a的取值范圍為，即C正確；易知，累成即可得D正確.
【詳解】對于A，因為和分別為R上的奇函數和偶函數，滿足，
即可得，
所以可得，，故A正確；
對于B，，
當且僅當時，等號成立，又因為，所以的值域為，故B錯誤．
對于C，分兩種情況．①，令，
當時，則，單調遞增，
所以，即；
②，方程的正根為，
若，則，單調遞減，
，即，與題設矛盾．
綜上，a的取值范圍是，故C正確．
對于D，，
則，
，
…
，
累乘得
，
故，故D正確．
故選：ACD
6．（2024·浙江金華·模擬預測）已知函數，則（ ）
A．是偶函數 B．的最小正周期為
C．的最大值為 D．的最小值為
【答案】ABD
【分析】先將化簡，再逐項分析答案即可.
【詳解】因為的定義域為，所以，
又因為
，
所以為偶函數，故A正確；
的最小正周期為，故B正確；
因為，所以沒有最大值；
當時，，故D正確.
故選：ABD
三、填空題
7．（2024·全國·模擬預測）已知函數的定義域為，是奇函數，是偶函數，，則 ．
【答案】
【分析】根據題意，結合是奇函數，是偶函數，推得函數是周期為12的周期函數，進而求得的值，得到答案.
【詳解】解法一因為是奇函數，可得 ，所以，
又因為是偶函數，可得，即，
所以，
所以是周期為12的周期函數，則．
解法二 因為是奇函數，可得的圖象關于點對稱，
又因為是偶函數，可得的圖象關于直線對稱，
所以是周期為12的周期函數，所以，
因為的圖象關于直線對稱，所以，則．
故答案為：.
8．（2023·黑龍江·模擬預測）已知函數是定義在上的奇函數，當時，，則當時， ．
【答案】
【分析】由奇函數的性質即可求解，注意當時要單調獨驗證.
【詳解】解：當，又因為為上的奇函數，
所以，解得，
又，所以當．
故答案為：.
四、解答題
9．（2023·陜西西安·模擬預測）已知奇函數在處取得極大值2.
(1)求的解析式；
(2)求在上的最值.
【答案】(1)
(2)最大值為52，最小值為
【分析】（1）利用函數奇偶性可得，再由在上取得極大值2可求得，可得解析式；
（2）由（1）中解析式求導可得其在上的單調性，得出極值并比較端點處的函數值即可求出其最值.
【詳解】（1）易知函數的定義域為，
因為是奇函數，所以，則.
由，得.
因為在上取得極大值2，
所以解得
經經檢驗當時，在處取得極大值2，
故.
（2）由（1）可知，，
當時，單調遞增；
當和時，單調遞減；
即函數在處取得極小值，在處取得極大值；
又因為，
所以在上的最大值為52，最小值為.
10．（2023·陜西寶雞·模擬預測）設函數.
(1)求函數在區間上的最大值和最小值；
(2)設函數對任意，有，且當時，；求函數在上的解析式.
【答案】(1)最大值為，最小值為0
【分析】（1）利用三角恒等變換得到，再利用三角函數的性質求解；
（2）由得到函數的一個周期為，再由（1）得到求解.
【詳解】（1）由已知，
，
又因為則，
所以，即，，
所以函數在區間上的最大值和最小值分別為和0.
（2）由可知函數的一個周期為，
又由（1）可知，
當時，，則，
由知，，
當時，則，
由知，
綜上，.
11．（22-23高三上·河南·階段練習）已知是定義在上的偶函數，且.
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求實數的取值范圍；
(3)設，若存在，對任意的，都有，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用偶函數定義可得參數值，從而的解析式；
（2）易知在上單調遞增，逆用單調性化為具體不等式問題，參變分離求最值即可；
（3）原問題等價于在上的最小值不大于在上的最小值.
【詳解】（1）由題意知，
即，所以，故.
（2）由（1）知，，易知在上單調遞增，
所以不等式恒成立，等價于，
即恒成立.
又，當且僅當時，等號成立，
所以，即實數的取值范圍是.
（3）因為存在，對任意的，都有，
所以在上的最小值不大于在上的最小值.
因為在上單調遞增，
所以當時，.
圖象的對稱軸方程為，
當時，在上單調遞增，，解得，
所以；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增，
，解得；
當時，在上單調遞減，，解得，
所以.
綜上，實數的取值范圍是.
12．（2023·黑龍江佳木斯·模擬預測）已知是定義在[－2，2]上的函數，若滿足且．
(1)求的解析式；
(2)設函數，若對任意，都有恒成立，求m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據函數的奇偶性即可得，進而結合即可求解，
（2）將問題轉化為，進而根據函數的單調性的定義即可求解最值，或者利用對勾函數的單調性求解.
【詳解】（1），且，所以為奇函數，
將代入可得，即，所以，
即，因為，所以，代入可得，
解得，故；
，函數為奇函數，滿足，故．
（2）只要，設，則，
∵，∴，∴，即，
故函數在[1，2]上單調遞增，最小值為．
法一：在[1，2]上恒成立，只要，
在上單調遞減，在上單調遞增，
當時，，當時，，
故當時，，所以．
法二：，，
當時，，，解得，舍去；
當時，，，解得，因此，
綜上所述：．
綜合提升練
一、單選題
1．（2024·廣東佛山·一模）已知為奇函數，則在處的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據奇函數定義求出函數表達式，再結合導數和切線相關知識求解切線方程即可.
【詳解】因為
，
所以，
因為為奇函數，所以對恒成立，
所以，代入函數表達式得，
所以，則，
所以在處的切線方程為，即.
故選：A
2．（2024·四川·模擬預測）已知，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】構造奇函數，利用奇函數的性質運算即可求解.
【詳解】設，顯然它定義域關于原點對稱，
且，
所以為奇函數，
，則，
所以，.
故選：C.
3．（2024·廣東茂名·一模）函數和均為上的奇函數，若，則（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【分析】由奇函數性質推導出的周期為4，利用周期性、奇偶性求函數值.
【詳解】因為為奇函數，所以關于對稱，即，
又關于原點對稱，則，有，
所以的周期為4，故.
故選：A
4．（2023·廣東·一模）已知函數是定義在上的奇函數，當時，，若，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據條件可求得時的解析式，根據函數為奇函數繼而可求得當時的解析式，分情況解出不等式即可.
【詳解】因為函數是定義在上的奇函數，
所以，則，
則，所以，
則當時，，
當時，，
則，
則當時，不等式為，
解得，
當時，不等式為，
解得，
故不等式的解集為，
故選：A.
5．（2024·安徽蕪湖·二模）已知直線l：與曲線W：有三個交點D、E、F，且，則以下能作為直線l的方向向量的坐標是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函數的性質可得曲線的對稱中心，即得，再根據給定長度求出點的坐標即得.
【詳解】顯然函數的定義域為R，，即函數是奇函數，
因此曲線的對稱中心為，由直線l與曲線的三個交點滿足，得，
設，則，令，則有，即，
解得，即，因此點或，或，
選項中只有坐標為的向量與共線，能作為直線l的方向向量的坐標是.
故選：C
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵首先是得到曲線對稱中心為，從而得到，然后再去設點坐標，根據，得到高次方程，利用換元法結合因式分解解出的坐標即可.
6．（2024·四川成都·模擬預測）已知函數，若等差數列的前項和為，且，，則（ ）
A．-4048 B．0 C．2024 D．4048
【答案】D
【分析】先得到，從而得到，利用等差數列的性質和公式求出答案.
【詳解】令，定義域為R，
且
，
故為奇函數，
即，，
又，
所以，即，
故選：D
7．（2024·全國·模擬預測）已知定義在上的函數滿足，且為奇函數，，則（ ）
A．4047 B．4048 C．4049 D．4050
【答案】C
【分析】首先判斷抽象函數的周期，再根據條件求函數值，再根據周期求函數值的和.
【詳解】由可得，
故的一個周期為4，
由為奇函數可得，得，
對于，令，得，則，
令，得，又，所以，
則，
故
.
故選：C.
8．（2024·黑龍江吉林·二模）已知偶函數滿足，且當時，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由偶函數滿足，可得函數是以為周期的周期函數，再根據函數的周期性求解即可.
【詳解】因為函數為偶函數，所以，
又，所以，即，
所以函數是以為周期的周期函數，
因為，
所以
.
故選：D.
【點睛】方法點睛：函數的三個性質：單調性、奇偶性和周期性，在高考中一般不會單獨命題，而是常將它們綜合在一起考查，其中單調性與奇偶性結合、周期性與抽象函數相結合，并結合奇偶性求函數值，多以選擇題、填空題的形式呈現，且主要有以下幾種命題角度；
（1）函數的單調性與奇偶性相結合，注意函數的單調性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數圖象的對稱性．
（2）周期性與奇偶性相結合，此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行交換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解；
（3）周期性、奇偶性與單調性相結合，解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區間，然后利用奇偶性和單調性求解.
二、多選題
9．（2022·江蘇南通·模擬預測）華人數學家李天巖和美國數學家約克給出了“混沌”的數學定義，由此發展的混沌理論在生物學 經濟學和社會學領域都有重要作用.在混沌理論中，函數的周期點是一個關鍵概念，定義如下：設是定義在R上的函數，對于R，令，若存在正整數k使得，且當0A．0 B． C． D．1
【答案】AC
【分析】根據題意中周期點定義，分別求出當、、、時的函數周期，進而得出結果.
【詳解】A：時，，周期為1，故A正確；
B：時，，
所以不是的周期點.故B錯誤；
C：時，，周期為1，故C正確；
D：時，，不是周期為1的周期點，故D錯誤.
故選：AC.
10．（2023·山西·模擬預測）奇函數與偶函數的定義域均為，且滿足，則下列判斷正確的是（ ）
A． B．
C．在上單調遞增 D．的值域為
【答案】BCD
【分析】根據奇偶性求出即可判斷ABC；利用基本不等式可判斷D.
【詳解】因為為奇函數，為偶函數，所以，
因為①，所以，即②，
所以由①②解得，故B正確；
，故A錯誤；
在上單調遞增，在上單調遞減，則在上單調遞增，故C正確；
因為，當且僅當時取等號，
所以的值域為，所以D正確.
故選：BCD.
11．（2024·湖南·二模）已知函數的定義域均為，，且的圖像關于直線對稱，則以下說法正確的是（ ）
A．和均為奇函數 B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用函數奇偶性，對稱性與周期性的性質，逐一分析各選項即可得解.
【詳解】對于B，由，得，
又，，
的圖象關于直線對稱，，
，
，則是周期函數，且周期為，
所以，故B正確；
對于A，的圖象關于直線對稱，
是偶函數，
若為奇函數，則恒成立，不滿足，故A錯誤；
對于C，由，得，
，
因為，則，
所以是周期函數，且周期為，則，故C正確；
對于D，由，得，
又，
由，得，故D正確.
故選：BCD.
【點睛】結論點睛：解決抽象函數的求值、性質判斷等問題，常見結論：
（1）關于對稱：若函數關于直線軸對稱，則，若函數關于點中心對稱，則，反之也成立；
（2）關于周期：若，或，或，可知函數的周期為.
三、填空題
12．（2023·四川雅安·一模）已知函數的定義域為為偶函數，為奇函數，則的最小值為 .
【答案】/
【分析】根據奇偶性得出關于和的兩個方程，聯立解得，再由基本不等式得最小值．
【詳解】是偶函數，所以，
是奇函數，所以，
兩式聯立解得，
由基本不等式得，當且僅當，即時，等號成立，因此的最小值是．
故答案為：．
13．（2024·山東棗莊·一模）已知為偶函數，且，則 ．
【答案】
【分析】由條件結合偶函數定義可得，由結合周期函數定義證明為周期函數，利用周期性及賦值法求結論.
【詳解】因為為偶函數，
所以，又，
所以，
因為，所以，
所以，
所以函數為周期函數，周期為，
所以，
由，可得，
由，可得，
所以，
所以，
故答案為：.
14．（2023·四川綿陽·模擬預測）已知函數的定義域為，且，若為奇函數，，則 ．
【答案】
【分析】由的對稱性及得，再由為奇函數得，從而得，即是周期為8的周期函數，再利用周期可得答案.
【詳解】由為奇函數，得，即，
由，得，又，
于是，即，從而，
即，因此，函數的周期為8的周期函數，
顯然，又，
所以.
故答案為：
【點睛】結論點睛：函數關于直線對稱，則有；函數關于中心對稱，則有；函數的周期為，則有.
四、解答題
15．（2023·河南洛陽·模擬預測）已知函數是定義在上的奇函數，當時，．
(1)求的解析式；
(2)若關于的方程在上有解，求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據函數奇偶性求解析式；
（2）求函數的值域，即可求的取值范圍.
【詳解】（1）當時，，
則，
因為函數是定義在上的奇函數，
所以，
故，
當時，，符合上式，
綜上，所以的解析式為.
（2）當時，，
因為，所以，所以，
所以，
由對稱性可知，當時，，
當時，，
綜上，，
所以實數的取值范圍是．
16．（2023·上海黃浦·一模）已知集合A和定義域為的函數，若對任意，，都有，則稱是關于A的同變函數.
(1)當與時，分別判斷是否為關于A的同變函數，并說明理由；
(2)若是關于的同變函數，且當時，，試求在上的表達式，并比較與的大小；
(3)若n為正整數，且是關于的同變函數，求證：既是關于的同變函數，也是關于的同變函數.
【答案】(1)當時， 是關于的同變函數；當時， 不是關于的同變函數，理由見解析.
(2)，當時，；當時，.
(3)證明見解析.
【分析】（1）當時，運用定義證明即可；當時，舉反例說明即可.
（2）由定義推導出是以2為周期的周期函數，進而可得在解析式，再運用作差法后使用換元法研究函數的最值來比較與的大小.
（3）運用定義推導出是以為周期的周期函數，再用定義分別證明與兩種情況即可.
【詳解】（1）當時，對任意的，，，
由，可得，又，所以，
故是關于的同變函數；
當時，存在，，使得，即，所以不是關于的同變函數.
（2）由是關于的同變函數，可知恒成立，
所以恒成立，故是以2為周期的周期函數.
當時，，由，
可知.
（提示：也可通過分類討論與累加法予以證明，下面的*式也同理可證）
對任意的，都存在，使得，故.
所以
令，則，可得，
所以（當且僅當，即時取等號）.
所以當時，；
當時，.
（3）因為是關于的同變函數，
所以對任意的，，都有，
故，用代換x，可得，
所以，即，
又，故，且.
所以，故是以為周期的周期函數.
對任意的，，由，
可得，（*）
所以是關于的同變函數.
對任意的，存在非負整數m，使，
所以，對任意的，
，即，
所以是關于的同變函數.
故既是關于的同變函數，也是關于的同變函數.
17．（2023·上海普陀·一模）設函數的表達式為.
(1)求證：“”是“函數為偶函數”的充要條件；
(2)若，且，求實數的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析；
(2)或.
【分析】（1）根據給定條件，利用偶函數的定義、結合充要條件的意義推理即得.
（2）利用偶函數性質及在的單調性求解不等式即可.
【詳解】（1）函數的定義域為R，不恒為0，
函數為偶函數
，
所以“”是“函數為偶函數”的充要條件.
（2）當時，，求導得，函數在R上單調遞增，
當時，，即函數在單調遞增，又是偶函數，
因此，
即，解得或，
所以實數的取值范圍是或.
18．（2024·全國·模擬預測）已知函數．
(1)若，求證：當時，
(2)若，求證：在上有且僅有三個零點，，（），且．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）構造函數，利用導數判斷單調性求出最值可得結果，
（2）函數零點即圖像與x軸交點，構造函數，利用函數奇偶性、單調性及零點存在性性定理可得結果.
【詳解】（1）若，則．設,，
則，，所以在上單調遞增．
所以．又在上單調遞增，
所以．即當時，．
（2）若，則．
令，得,設，．
則．所以為奇函數．
又，所以0是的一個零點．
下面證明：函數在上存在唯一的零點．
因為，，所以．
所以當時，，單調遞增．
又，，所以在上存在唯一的零點．
由（1）知當時，，即，
所以當時，．
設，，則．
所以當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以．
所以當時，．
所以當時，僅有一個零點．
因為為奇函數，所以當時，也僅有一個零點．
所以在上有3個零點，分別為，，．
即有3個零點，且．
【點睛】解決本題關鍵是構造函數，利用函數的奇偶性，零點存在性定理及導數判斷函數的單調性證得結果.
19．（2023·上海徐匯·一模）若函數的導函數是以為周期的函數，則稱函數具有“性質”．
(1)試判斷函數和是否具有“性質”，并說明理由；
(2)已知函數，其中具有“性質”，求函數在上的極小值點；
(3)若函數具有“性質”，且存在實數使得對任意都有成立，求證：為周期函數．
（可用結論：若函數的導函數滿足，則（常數）．）
【答案】(1)不具有“性質”，具有“性質”，理由見解析
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）根據所給定義計算可得；
（2）法一：依題意可得可得對恒成立，再令、求出、的值，再利用導數求出函數的極小值點；法二：依題意可得，所以且，即可求出、的值，再利用導數求出函數的極小值點；
（3）令，則，從而得到（為常數），法一：分、、三種情況討論；法二：分和兩種情況討論，當時，不妨令，記，推出矛盾即可得解.
【詳解】（1）不具有“性質”．理由是：，，；
具有“性質”．理由是：，．
（2）法一：，則，
由可得對恒成立．
令，得 ①；令，得 ②．
得，因此，從而恒成立，
即有且．
由得，所以，當時，令可得，列表如下：
x
+ 0 0 +
極大值 極小值
函數在的極小值點為．
法二：，
由，可得，
所以，
即，
所以，所以且，所以且且．
由得，所以，當時，令可得，列表如下：
x
+ 0 0 +
極大值 極小值
函數在的極小值點為．
（3）令，因為具有“”性質
，
，
（為常數），
法一：
① 若，是以為周期的周期函數；
②若，由，
當時，，這與矛盾，舍去；
③若，由，
當時，，這與矛盾，舍去．
綜上，．，所以是周期函數．
法二：
當時，，所以是周期函數．
當時，不妨令，記，其中表示不大于的最大整數．（同理可證），
若存在，這．
這與矛盾．
若存在，這．
這與矛盾．
若不存在，使得或，則，此時，與矛盾，故舍去．
綜上，．，所以是周期函數．
【點睛】方法點睛：函數新定義問題的方法和技巧：
（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉化為具體的簡單的應用，從而加深對信息的理解；
（2）可用自己的語言轉述新信息所表達的內容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；
（3）發現新信息與所學知識的聯系，并從描述中體會信息的本質特征與規律；
（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.
拓展沖刺練
一、單選題
1．（23-24高三下·江西·階段練習）已知函數，則滿足不等式的的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用函數奇偶性的定義，結合復合函數的單調性與導數，分析得的奇偶性與單調性，從而轉化所求不等式得到關于的不等式組，解之即可得解.
【詳解】由，得的定義域為，
又，故為偶函數，
而當時，易知單調遞增，
而對于，在上恒成立，
所以在上也單調遞增，
故在上單調遞增，
則由，得，解得或.
故選：D.
2．（2024·重慶·一模）已知定義在R上的函數滿足：，且時，，則關于的不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據函數單調性和奇偶性則得到不等式，解出即可.
【詳解】任取，則，
而時，，則，
，
所以在上單調遞減，
，，
取，則，令，
得，
所以為上的奇函數，
，即，則，解得
故選：A.
3．（2024·全國·模擬預測）已知函數是定義在上的奇函數，為的導函數，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】本題考查函數的奇偶性，根據奇函數的定義和性質進行運算研究即可．
【詳解】因為奇函數的定義域關于原點對稱，所以，得．
由為奇函數可得，得，
又，所以，
所以，，
故，
故選：A.
4．（2024·云南紅河·二模）已知函數，對于任意的，不等式恒成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，得到為奇函數，從而得到恒成立，根據函數單調性得到不等式，化簡得到時，恒成立，設，，求導得到其單調性，結合特殊點的函數值，得到，得到答案.
【詳解】設，則，
，所以為奇函數.
所以，
即恒成立，
由在上單調遞減且，得在上單調遞減，
所以恒成立.
由，知且，
所以時，恒成立.
設，，
，當時，
所以在內單調遞減，而，所以，
所以，即.
故選：C.
【點睛】方法點睛：對于求不等式成立時的參數范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數法, 使不等式一端是含有參數的式子，另一端是一個區間上具體的函數，通過對具體函數的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據參數取值情況分類討論，三是數形結合法，將不等式轉化為兩個函數，通過兩個函數圖像確定條件.
二、多選題
5．（2024·湖南岳陽·二模）已知函數的定義域為，對任意都有，且，則下列說法正確的是（ ）
A． B．為奇函數
C． D．
【答案】BCD
【分析】根據題意運用賦值代入法計算，結合函數的奇偶性、周期性逐一驗證選項可得答案.
【詳解】令，則，所以，
令，則，，故A錯誤；
要證為奇函數，只需證，即，
令，則，，
令，則，所以成立，故B正確；
令，則，，所以為偶函數，由B可知， ，所以，則有，故C正確；
由C可知，又為偶函數，所以，則周期為2，，，所以，故D正確.
故選：BCD
【點睛】結論點睛：（1）若為奇函數，則滿足，若為偶函數，則滿足；（2）若為周期函數，且周期為，則滿足；（3）若關于點對稱，且關于直線對稱，則為周期函數，周期為.
6．（2024·河南·一模）定義在R上的函數（且，），若存在實數m使得不等式恒成立，則下列敘述正確的是（ ）
A．若，，則實數m的取值范圍為
B．若，，則實數m的取值范圍為
C．若，，則實數m的取值范圍為
D．若，，則實數m的取值范圍為
【答案】BD
【分析】先判斷函數為奇函數，再分和討論的單調性，分和討論函數的單調性，根據復合函數的單調性判斷得出的單調性，利用單調性將進行等價轉化成含參數的不等式，求解即得.
【詳解】對于函數，因，則函數是奇函數.
不妨設，則，
對于A項，當時，在定義域內為增函數，
因，則在R上也是增函數，故在R上也是增函數.
由，則，即（*），
①當時，此時恒成立；② 當時，由（*）可得，解得，綜上可知，，故A項錯誤；
對于B項，當時，在定義域內為減函數，因，則在R上也是減函數，故在R上是增函數，
由A項分析可得，恒成立可得，，故B項正確；
對于C項，當時，在定義域內為增函數，因，則在R上是減函數，故在R上是減函數，
由，則，即（*），
①當時，無解；② 當時，由（*）可得，解得或，綜上可知，，故C項錯誤；
對于D項，當時，在定義域內為減函數，因，則在R上也是增函數，故在R上是減函數，
由C項分析可得，恒成立可得，，故D項正確.
故選：BD.
【點睛】思路點睛：一般先考慮函數的奇偶性，再根據參數分類判斷，構成復合函數的內外函數的單調性，利用單調性去掉抽象函數的符號，將其化成含參數的不等式恒成立問題，再對參數分類討論不等式解的情況即得.
三、填空題
7．（2024·陜西西安·二模）已知定義域為的函數滿足，且當時，，則 .
【答案】
【分析】利用函數的奇偶性與周期性計算即可.
【詳解】由已知可得，所以，
所以，即是函數的一個周期，
所以.
故答案為：
8．（2024·陜西西安·模擬預測）定義在上的函數的導函數為，且有，且對任意都有，則使得成立的的取值范圍是 .
【答案】
【分析】構造函數，根據導數確定函數的單調性，即可結合奇偶性求解.
【詳解】由知是奇函數，，
設，則，
在上單調遞增，由得，
即，，得的取值范圍是.
故答案為：
9．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）已知，若直線與有個交點，則 .
【答案】
【分析】由題意首先確定函數的性質，然后結合直線與圓的位置關系得到的表達式，最后裂項求和即可求得的值.
【詳解】當時，，即，，
當時，，所以可得函數周期為2，
畫出函數圖象，如圖所示：
若直線與有個交點，
根據圖象知，直線與第個半圓相切其圓心為
不妨設切點為，連接，
所以在中，，
，故，
所以.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；
（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；
（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解。
四、解答題
10．（23-24高三上·全國·階段練習）已知函數是偶函數.
(1)求的值;
(2)設 ，，若對任意的 ，存在，使得，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由偶函數的性質即可求解的值；
（2）由題意可得在上的最小值不小于在上的最小值，分別求出和的最小值，即可求解.
【詳解】（1）因為是偶函數，
所以，
即，
，
，
，
，
，
，
，
所以，即.
（2），
因為對任意的 ，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因為在上單調遞增，
所以，
因為，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
所以，解得，
所以的取值范圍為.
11．（2024·全國·模擬預測）行列式是近代數學中研究線性方程的有力工具，其中最簡單的二階行列式的運算定義如下：．
(1)在等比數列中，是的兩個實根，求的值；
(2)已知數列的前項和為，且，若，求數列的前項和；
(3)已知是奇函數，是偶函數．設函數，且存在實數，使得對于任意的都成立，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據二階行列式的運算和韋達定理可推導得到，由等比數列下標和性質可求得結果；
（2）由二階行列式的計算可得，根據前項和與通項的關系可求得，由此可得，采用錯位相減法可求得結果；
（3）分別令和，結合函數奇偶性定義可推導得到；令可推導得到，由此遞推求得結果.
【詳解】（1）設等比數列的公比為，
由得：，即，
，，
，，
，
，
.
（2），
當時，；當時，；
經檢驗：滿足，，
，
設數列的前項和為，
，
，
，
.
（3）由題意知：存在實數，使得對于任意都成立，
即，
令，則，
為奇函數，為偶函數，
…①；
令，則…②，
由①②得：，
令，則，，
，
.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查新定義問題與數列、函數相結合的問題；解題關鍵是能夠充分利用二階行列式的運算定義，根據運算定義將問題轉化為我們所熟知的數列通項公式與前項和的求解問題、利用函數周期性求值的問題.
12．（23-24高三上·云南昆明·階段練習）懸鏈線的原理運用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．通過適當建立坐標系，懸鏈線可為雙曲余弦函數的圖象，類比三角函數的三種性質：①平方關系：①，②和角公式：，③導數：定義雙曲正弦函數．
(1)直接寫出，具有的類似①、②、③的三種性質（不需要證明）；
(2)若當時，恒成立，求實數a的取值范圍；
(3)求的最小值．
【答案】(1)答案見解析
(2)
(3)0
【分析】（1）類比，寫出平方關系，和角關系和導數關系，并進行證明；
（2）構造函數，，求導，分和兩種情況，結合基本不等式，隱零點，得到函數單調性，進而得到答案；
（3）多次求導，結合（2）中結論，先得到在內單調遞增，再求出為偶函數，從而得到在內單調遞減，求出.
【詳解】（1）平方關系：；
和角公式：；
導數：．
理由如下：平方關系，
；
，
和角公式：
故；
導數：，；
（2）構造函數，，由（1）可知，
i．當時，由可知，
故，故單調遞增，
此時，故對任意，恒成立，滿足題意；
ii．當時，令，，
則，可知單調遞增，
由與可知，存在唯一，使得，
故當時，，則在內單調遞減，
故對任意，，即，矛盾；
綜上所述，實數a的取值范圍為．
（3），，
令，則，
令，則，
當時，由（2）可知，，則，
令，則，故在內單調遞增，
則，故在內單調遞增，
則，故在內單調遞增，
則，故在內單調遞增，
因為，
即為偶函數，故在內單調遞減，
則，故當且僅當時，取得最小值0.
【點睛】對于求不等式成立時的參數范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數法, 使不等式一端是含有參數的式子，另一端是一個區間上具體的函數，通過對具體函數的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據參數取值情況分類討論，三是數形結合法，將不等式轉化為兩個函數，通過兩個函數圖像確定條件.
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