資源簡介

考點05一元二次方程、不等式（2種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
會從實際情景中抽象出一元二次不等式.
結(jié)合二次函數(shù)圖象，會判斷一元二次方程的根的個數(shù)，以及解一元二次不等式.
3.了解簡單的分式、絕對值不等式的解法．
【知識點】
1．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的對應(yīng)關(guān)系
判別式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函數(shù)的圖象
方程的根 有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1不等式的解集 {x|x≠－} R
2．分式不等式與整式不等式
(1)>0(<0) ；
(2)≥0(≤0) .
3．簡單的絕對值不等式
|x|>a(a>0)的解集為 ，|x|0)的解集為 ．
【核心題型】
題型一　一元二次不等式的解法
對含參的不等式，應(yīng)對參數(shù)進行分類討論，常見的分類有
(1)根據(jù)二次項系數(shù)為正、負及零進行分類．
(2)根據(jù)判別式Δ與0的關(guān)系判斷根的個數(shù)．
(3)有兩個根時，有時還需根據(jù)兩根的大小進行討論．
命題點1　不含參數(shù)的不等式
【例題1】（2024·青?！ひ荒＃┮阎希瑒t（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2024·山東濟寧·一模）設(shè)集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【變式3】（2024·安徽合肥·一模）已知集合，若，則的取值范圍是 .
命題點2　含參數(shù)的一元二次不等式
【例題2】（2024·云南紅河·二模）已知均為正實數(shù)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式1】（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）在區(qū)間內(nèi)隨機取一個實數(shù)，則關(guān)于的不等式僅有2個整數(shù)解的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·江西南昌·三模）函數(shù)，若關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式3】．（2023·湖南·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不等式的解集恰有50個整數(shù)元素，則a的取值范圍是 ，這50個整數(shù)元素之和為 ．
題型二　一元二次不等式恒成立問題
恒成立問題求參數(shù)的范圍的解題策略
(1)弄清楚自變量、參數(shù)．一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式Δ；一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不能用判別式Δ，一般分離參數(shù)求最值或分類討論．
命題點1　在R上恒成立問題
【例題3】（2024·浙江·模擬預(yù)測）若不等式的解為全體實數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（23-24高三上·河南·期中）“關(guān)于x的不等式的解集為”是“”的（ ）
充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式2】（2023·福建廈門·二模）“”是“，成立”的（ ）
充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式3】（23-24高三上·河北邢臺·階段練習(xí)）“不等式恒成立”的一個充分不必要條件是（ ）
A． B．
C． D．
命題點2　在給定區(qū)間上恒成立問題
【例題4】（2023·浙江寧波·一模）已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則滿足要求的有序數(shù)對有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．無數(shù)個
【變式1】（2023·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知命題：任意，使為真命題，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·遼寧鞍山·二模）已知當時，不等式：恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若對任意，則所有滿足條件的有序數(shù)對是 ．
命題點3　在給定參數(shù)范圍內(nèi)的恒成立問題
【例題5】（23-24高三上·河南信陽·階段練習(xí)）若對于恒成立，則實數(shù)x的取值范圍為 ．
【變式1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)是定義在上的增函數(shù)．若不等式對于任意恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.
【變式2】（22-23高三上·山東濰坊·階段練習(xí)）若對于任意，任意，使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【變式3】（2023高三·全國·專題練習(xí)）若不等式對任意恒成立，實數(shù)x的取值范圍是 .
【課后強化】
基礎(chǔ)保分練
一、單選題
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·浙江·模擬預(yù)測）若不等式的解為全體實數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·云南紅河·二模）已知均為正實數(shù)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若不等式對一切恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高三下·湖南衡陽·階段練習(xí)）條件是的充分不必要條件是（ ）
A．函數(shù)定義域為，：在A上成立.：為增函數(shù)；
B．：成立，：最小值為4；
C．p:函數(shù)在區(qū)間恰有一個零點，q: ；
D．p:函數(shù)為偶函數(shù)（），q:
6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知且，若在上恒成立，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
1．（23-24高三上·湖南邵陽·階段練習(xí)）已知，，且，若恒成立，則實數(shù)t的值可能為（ ）
A．20 B．21 C．49 D．50
2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）(多選)下列命題正確的是（ ）
A．若不等式ax2＋bx＋c<0的解集為(x1，x2)，則必有a>0
B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒有實數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R
C．不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的條件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0
D．若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向下，則不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集
三、填空題
1．（23-24高三下·上?！るA段練習(xí)）設(shè)，若關(guān)于的不等式的解集是區(qū)間的真子集，則的取值范圍是 ．
2．（23-24高三下·河北保定·開學(xué)考試）已知集合，則 .
四、解答題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且的解集為．
(1)求和的值；
(2)若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）（1）解關(guān)于實數(shù)的不等式：．
（2）解關(guān)于實數(shù)的不等式：．
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求不等式的解集；
(2)若，且存在使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．
綜合提升練
一、單選題
1．（2023·遼寧鞍山·二模）若對任意的恒成立，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知命題p：“ x∈，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．－1C．a(chǎn)<－1 D．－1≤a<2
3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知集合，則集合中元素的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（23-24高三上·重慶長壽·期末）已知函數(shù)，對都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三上·內(nèi)蒙古通遼·階段練習(xí)）已知命題，，若命題是假命題，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知條件：“不等式的解集是空集”，則條件： “”是條件的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
7．（2024·天津河西·一模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
8．（2023·廣東廣州·三模）定義，設(shè)函數(shù)，若使得成立，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）．
A． B．
C． D．
二、多選題
1．（23-24高三上·浙江紹興·期末）已知，關(guān)于x的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A．或 B．
C． D．
2．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）下列說法正確的是（ ）
A．不等式的解集是
B．不等式的解集是
C．若不等式恒成立，則a的取值范圍是
D．若關(guān)于x的不等式的解集是，則的值為
3．（22-23高三上·河北唐山·階段練習(xí)）若對任意恒成立，其中，是整數(shù)，則的可能取值為（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，函數(shù)若對任意，恒成立，則a的取值范圍是 ．
2．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）若命題“，”為假命題，則的取值范圍為 .
3．（23-24高三下·上海閔行·階段練習(xí)）設(shè)集合，，則 .
四、解答題
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知集合A＝{x|x2－4x－5≤0}，B＝{x|2x－6≥0}，M＝A∩B.
(1)求集合M；
(2)已知集合C＝{x|a－1≤x≤7－a，a∈R}，若M∩C＝M，求實數(shù)a的取值范圍．
2．（23-24高三上·河南南陽·階段練習(xí)）二次函數(shù)滿足，且
(1)求的解析式；
(2)在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在直線的上方，試確定實數(shù)m的取值范圍．
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中．解不等式；
4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知f(x)＝求f(f(x))≥1的解集．
5．（2023·河南開封·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足．
(1)討論的奇偶性；
(2)設(shè)函數(shù)，求證：．
拓展沖刺練
一、單選題
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）在區(qū)間內(nèi)隨機取一個實數(shù)，則關(guān)于的不等式僅有2個整數(shù)解的概率為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·福建廈門·二模）不等式（）恒成立的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若不等式恒成立，則實數(shù)a的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．4
二、多選題
5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知平面向量滿足，，且對任意的實數(shù)，都有恒成立，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．與垂直 B．
C．的最小值為 D．的最大值為
6．（23-24高三上·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集恰有50個整數(shù)元素，則下列各選項正確的是（ ）
A．的值可能為-43
B．這50個整數(shù)元素之和可能為-925
C．的值可能為57.5
D．這50個整數(shù)元素之和可能為1625
三、填空題
7．（2022高三上·河南·專題練習(xí)）已知，，若是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是 ．
8．（23-24高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)．甲同學(xué)：的解集為；乙同學(xué)：的解集為；丙同學(xué)：y的對稱軸大于零．在這三個同學(xué)的論述中，只有一個假命題，則a的范圍為 ．
9．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若對任意，則所有滿足條件的有序數(shù)對是 ．
10．（23-24高三上·全國·階段練習(xí)）對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 ．
四、解答題
11．（23-24高三上·福建莆田·階段練習(xí)）解關(guān)于的不等式：.
12．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)．
(1)若對于一切實數(shù)，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若對于，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
13．（2023·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)求曲線在點處的切線方程;
(2)（?。┤魧τ谌我?，都有，求實數(shù)的取值范圍;
（ⅱ）設(shè)，且，求證:.
14．（23-24高三上·天津南開·期中）設(shè)函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且的圖象過點.
(1)求a，b的值；
(2)設(shè)，若（為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)），試寫出符合上述條件的函數(shù)的一個解析式，并說明你的理由．
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考點05一元二次方程、不等式（2種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
會從實際情景中抽象出一元二次不等式.
結(jié)合二次函數(shù)圖象，會判斷一元二次方程的根的個數(shù)，以及解一元二次不等式.
3.了解簡單的分式、絕對值不等式的解法．
【知識點】
1．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的對應(yīng)關(guān)系
判別式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函數(shù)的圖象
方程的根 有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1不等式的解集 {x|xx2} {x|x≠－} R
2．分式不等式與整式不等式
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
3．簡單的絕對值不等式
|x|>a(a>0)的解集為(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|0)的解集為(－a，a)．
【核心題型】
題型一　一元二次不等式的解法
對含參的不等式，應(yīng)對參數(shù)進行分類討論，常見的分類有
(1)根據(jù)二次項系數(shù)為正、負及零進行分類．
(2)根據(jù)判別式Δ與0的關(guān)系判斷根的個數(shù)．
(3)有兩個根時，有時還需根據(jù)兩根的大小進行討論．
命題點1　不含參數(shù)的不等式
【例題1】（2024·青?！ひ荒＃┮阎?，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)對數(shù)真數(shù)大于零和一元二次不等式的解法可分別求得集合，根據(jù)并集定義可求得結(jié)果.
【詳解】由得：，，；
由得：，，，.
故選：C.
【變式1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解一元二次不等式化簡集合M，再根據(jù)交集運算求解即可.
【詳解】因為，，
所以.
故選：B
【變式2】（2024·山東濟寧·一模）設(shè)集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】求解一元二次不等式解得集合，再根據(jù)集合的包含關(guān)系，列出不等式求解即可.
【詳解】集合，
又，且，
故可得，即，解得.
故答案為：.
【變式3】（2024·安徽合肥·一模）已知集合，若，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】利用一元二次不等式的解法及交集的定義即可求解.
【詳解】由，得,解得，
所以。
因為，
所以或，解得或，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
命題點2　含參數(shù)的一元二次不等式
【例題2】（2024·云南紅河·二模）已知均為正實數(shù)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】運用不等式的性質(zhì)，證明充分性，否定必要性即可.
【詳解】因為，均為正實數(shù)，若，則；
若，則，即或；
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選:A.
【變式1】（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）在區(qū)間內(nèi)隨機取一個實數(shù)，則關(guān)于的不等式僅有2個整數(shù)解的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用一元二次不等式解得，可得區(qū)間內(nèi)僅包含兩個整數(shù)，再利用幾何概型概率公式可得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意可得不等式等價于；
因為，所以不等式的解集為；
依題意可得區(qū)間內(nèi)僅有兩個整數(shù)，即包含兩個整數(shù)，可得；
由幾何概型概率公式可得其概率為.
故選：C
【變式2】（2023·江西南昌·三模）函數(shù)，若關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】當時，運用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即得，當時根據(jù)二次不等式的解法討論的范圍進而即得.
【詳解】由題意知，當時，；當時，；當時，．
當時， ，即 ，構(gòu)造函數(shù) ，
當 時， 單調(diào)遞增，當 時， 單調(diào)遞減，
， ；
當時，，當時，由，解得，不合題意；
當時，由，得，不合題意；
當時，由，得，，所以，此時，不合題意；
當時，，由，解得，
此時當時恒成立，所以的解集為，符合題意；
當時，由，得，又，所以，此時適合題意；
綜上，關(guān)于的不等式的解集為，則 .
故選：C.
【變式3】．（2023·湖南·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不等式的解集恰有50個整數(shù)元素，則a的取值范圍是 ，這50個整數(shù)元素之和為 ．
【答案】 或1625
【分析】討論的范圍，解出不等式，結(jié)合題意確定的范圍及解集中的整數(shù)解，再利用等差數(shù)列求和公式求和即可.
【詳解】不等式等價于不等式．
當時，的解集為，不合題意；
當時，的解集為，
則50個整數(shù)解為，，…，5，6，
所以，這50個整數(shù)元素之和為；
當時，的解集為，
則50個整數(shù)解為8，9，…，56，57，所以，
這50個整數(shù)元素之和為．
綜上，a的取值范圍是，這50個整數(shù)元素之和為或1625．
故答案為：；或1625
題型二　一元二次不等式恒成立問題
恒成立問題求參數(shù)的范圍的解題策略
(1)弄清楚自變量、參數(shù)．一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式Δ；一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不能用判別式Δ，一般分離參數(shù)求最值或分類討論．
命題點1　在R上恒成立問題
【例題3】（2024·浙江·模擬預(yù)測）若不等式的解為全體實數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分類討論與兩種情況，結(jié)合二次不等式恒成立問題的解決方法即可得解.
【詳解】當時，不等式可化為，顯然不合題意；
當時，因為的解為全體實數(shù)，
所以，解得；
綜上：.
故選：C.
【變式1】（23-24高三上·河南·期中）“關(guān)于x的不等式的解集為”是“”的（ ）
充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】求出不等式的解集為的的范圍，再由必要不充分條件的定義判斷可得答案.
【詳解】當即時，不等式的解集為，符合題意；
當即時，若不等式的解集為，
可得，解得，
所以不等式的解集為可得，充分性不成立，
若，則不等式的解集為，必要性成立，
所以不等式的解集為”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
【變式2】（2023·福建廈門·二模）“”是“，成立”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】由，成立求出b的范圍，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.
【詳解】由，成立，則當時，恒成立，即，
當時，，解得，
因此，成立時，，
因為，所以“”是“，成立”的充分不必要條件.
故選：A
【變式3】（23-24高三上·河北邢臺·階段練習(xí)）“不等式恒成立”的一個充分不必要條件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分和兩種情況討論求出的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.
【詳解】當時，恒成立，
當時，則，解得，
綜上所述，不等式恒成立時，，
所以選項中“不等式恒成立”的一個充分不必要條件是.
故選：D.
命題點2　在給定區(qū)間上恒成立問題
【例題4】（2023·浙江寧波·一模）已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則滿足要求的有序數(shù)對有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．無數(shù)個
【答案】B
【分析】由題意有，通過分析得到，是滿足題意的唯一解，注意檢驗.
【詳解】由題意若不等式在上恒成立，
則必須滿足，即，
由，兩式相加得，
再由，兩式相加得，
結(jié)合（4），（5）兩式可知，代入不等式組得，
解得，
經(jīng)檢驗，當，時，，
有，，滿足在上恒成立，
綜上所述：滿足要求的有序數(shù)對為：，共一個.
故選：B.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵是首先得到，進一步由不等式的性質(zhì)通過分析即可求解.
【變式1】（2023·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知命題：任意，使為真命題，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)，由題意可得任意，恒成立，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)列不等式求的取值范圍.
【詳解】設(shè)，則，
原命題等價于：任意，使為真命題，
所以，其中
設(shè)， 則
函數(shù)，的最大值為與中的較大者，
所以，
∴，解得，
故選：C.
【變式2】（2023·遼寧鞍山·二模）已知當時，不等式：恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由得，由基本不等式得，故.
【詳解】當時，由得，
因，故，當且僅當即時等號成立，
因當時，恒成立，得，
故選：C
【變式3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若對任意，則所有滿足條件的有序數(shù)對是 ．
【答案】
【分析】由題意可得，然后利用不等式的性質(zhì)對不等式組變形可求得結(jié)果.
【詳解】因為對任意，
所以必須滿足，
即，
由，得，
解得，①，
再由，得，
解得，②，
由①②得，
所以，即，解得，
經(jīng)檢驗，當，時，，則
的最大值為，的最小值為，
滿足任意，
所以滿足條件的有序數(shù)對只有一對，
故答案為：
命題點3　在給定參數(shù)范圍內(nèi)的恒成立問題
【例題5】（23-24高三上·河南信陽·階段練習(xí)）若對于恒成立，則實數(shù)x的取值范圍為 ．
【答案】.
【分析】令，則由題意可得，解不等式組可得結(jié)果.
【詳解】令，
因為對于恒成立，
所以，即，解得，
所以實數(shù)x的取值范圍為，
故答案為：.
【變式1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)是定義在上的增函數(shù)．若不等式對于任意恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.
【答案】
【分析】首先利用函數(shù)的單調(diào)性，把函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，接下來把a作為主元（變量），x作為參數(shù)，把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值解決，
【詳解】∵是增函數(shù)，∴對于任意恒成立．
，即對于任意恒成立．
令．，為關(guān)于a的一次函數(shù)，在上是一條線段，
由，得．
【變式2】（22-23高三上·山東濰坊·階段練習(xí)）若對于任意，任意，使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】應(yīng)用恒成立問題與最值的關(guān)系轉(zhuǎn)化兩個恒成立,再解不等式即可.
【詳解】因為對于任意,任意，使得不等式成立,
設(shè),則
又因為,所以.
所以即
設(shè),
對于任意,,應(yīng)用一次函數(shù)性質(zhì)可知
即得,解得
則實數(shù)的取值范圍是.
故答案為: .
【變式3】（2023高三·全國·專題練習(xí)）若不等式對任意恒成立，實數(shù)x的取值范圍是 .
【答案】
【分析】把題意轉(zhuǎn)化為，設(shè)，由一次函數(shù)的單調(diào)性列不等式組，即可求解.
【詳解】可轉(zhuǎn)化為.
設(shè)，則是關(guān)于m的一次型函數(shù).
要使恒成立，只需，
解得.
故答案為：
【課后強化】
基礎(chǔ)保分練
一、單選題
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求出一元二次不等式的解集，依題借助于數(shù)軸得到關(guān)于的不等式組，解之即得.
【詳解】或，或，
又，解得.
故選:D.
2．（2024·浙江·模擬預(yù)測）若不等式的解為全體實數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分類討論與兩種情況，結(jié)合二次不等式恒成立問題的解決方法即可得解.
【詳解】當時，不等式可化為，顯然不合題意；
當時，因為的解為全體實數(shù)，
所以，解得；
綜上：.
故選：C.
3．（2024·云南紅河·二模）已知均為正實數(shù)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】運用不等式的性質(zhì)，證明充分性，否定必要性即可.
【詳解】因為，均為正實數(shù)，若，則；
若，則，即或；
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選:A.
4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若不等式對一切恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】對二次項系數(shù)進行分類討論可得符合題意，當時利用判別式可求得結(jié)果.
【詳解】當，即時，不等式為對一切恒成立．
當時，需滿足，
即，解得.
綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是．
故選：C
5．（23-24高三下·湖南衡陽·階段練習(xí)）條件是的充分不必要條件是（ ）
A．函數(shù)定義域為，：在A上成立.：為增函數(shù)；
B．：成立，：最小值為4；
C．p:函數(shù)在區(qū)間恰有一個零點，q: ；
D．p:函數(shù)為偶函數(shù)（），q:
【答案】B
【分析】對于A，D我們都可以證明互為充要條件，對于C，取即可判斷；對于B，成立當且僅當，注意到時有：最小值為4成立，由此即可判斷.
【詳解】對于A，不妨設(shè)，則函數(shù)定義域為全體實數(shù)，在實數(shù)域上成立，但它不是增函數(shù)，故A不符合題意；
對于B，：成立等價于恒成立，從而，
注意到當時有，，等號成立當且僅當，即時有：最小值為4成立，故B符合題意；
對于C，當時， 在區(qū)間恰有一個零點，但此時不滿足，故C不滿足題意；
對于D，p:函數(shù)為偶函數(shù)（）等價于恒成立，
也就是說恒成立，這意味著只能，從而當且僅當，故D不滿足題意.
故選：B.
6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知且，若在上恒成立，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】對的符號分正負兩種情況討論，結(jié)合穿根法及三次函數(shù)的性質(zhì)分析即可得到答案．
【詳解】由得，
①若，則，且，，
根據(jù)穿根法可知或時不符合題意，舍去；
②若，要滿足題意則，符合題意，如圖所示；
③當時，同理要滿足題意需，與前提矛盾；
④當，此時，則的三個零點都是負數(shù)，由穿根法可知符合題意；
綜上可知滿足在恒成立時，只有滿足題意.
故選：C ．
二、多選題
1．（23-24高三上·湖南邵陽·階段練習(xí)）已知，，且，若恒成立，則實數(shù)t的值可能為（ ）
A．20 B．21 C．49 D．50
【答案】CD
【分析】利用的關(guān)系式以及其范圍可得且，將不等式轉(zhuǎn)化為，利用二次函數(shù)單調(diào)性即可得.
【詳解】由可得，
又可得，
所以可得，
即在時恒成立即可，
由二次函數(shù)單調(diào)性可得，即，可知CD滿足題意；
故選：CD
2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）(多選)下列命題正確的是（ ）
A．若不等式ax2＋bx＋c<0的解集為(x1，x2)，則必有a>0
B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒有實數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R
C．不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的條件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0
D．若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向下，則不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集
【答案】AD
【解析】略
三、填空題
1．（23-24高三下·上海·階段練習(xí)）設(shè)，若關(guān)于的不等式的解集是區(qū)間的真子集，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】解一元二次不等式結(jié)合真子集的概念即可得解.
【詳解】因為，所以，
又不等式的解集是區(qū)間的真子集，則.
故答案為：.
2．（23-24高三下·河北保定·開學(xué)考試）已知集合，則 .
【答案】
【分析】由對數(shù)不等式和一元二次不等式化簡集合，再由交集運算即可求解.
【詳解】，解得，故；
，解得，故，故.
故答案為：
四、解答題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且的解集為．
(1)求和的值；
(2)若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)即可求解，
（2）將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即可利用二次函數(shù)零點分布求解.
【詳解】（1）由得，
易知，則，解得，
由于的解集為，則，解得．
（2）由（1）知，由得，
得在上恒成立，
，故．
令，若在上恒成立，
則，即，解得或，
故實數(shù)的取值范圍為．
2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）（1）解關(guān)于實數(shù)的不等式：．
（2）解關(guān)于實數(shù)的不等式：．
【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；
【分析】對不等式所對應(yīng)方程的判別式進行判斷，分情況討論參數(shù)即可求得（1）（2）中的不等式解集.
【詳解】（1）易知方程的，
由得，解得，
當時，的解集為，
當時，的解集為，
當時，的解集為．
（2）對方程 ，
當時，
即時,不等式的解集為
當時，
即或時,
的根為，
不等式的解集為；
綜上可得，時,不等式的解集為，
或時，不等式的解集為.
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求不等式的解集；
(2)若，且存在使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助零點分段法計算即可得；
（2）借助絕對值三角不等式可得，再解出含的不等式即可得.
【詳解】（1），即，
當時，，該方程無解；
當時，，解得；
當時，，解得；
綜上所述，，
不等式的解集為；
（2）由題知，，
當且僅當時等號成立，
，解得或，
實數(shù)的取值范圍為.
綜合提升練
一、單選題
1．（2023·遼寧鞍山·二模）若對任意的恒成立，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】變形給定不等式，分離參數(shù)，利用均值不等式求出最小值作答.
【詳解】，而當時，，當且僅當，即時取等號，
則，所以m的取值范圍是.
故選：C
2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知命題p：“ x∈，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．－1C．a(chǎn)<－1 D．－1≤a<2
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，利用解含參的一元二次不等式恒成立問題的方法求解，即可得出答案.
【詳解】當a＝－1時，3>0成立；
當a≠－1時，需滿足，
解得－1綜上所述，－1≤a<2.
故選：D
3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知集合，則集合中元素的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】分別求解集合，根據(jù)交集的定義計算即可.
【詳解】因為集合，故.
故選：C.
4．（23-24高三上·重慶長壽·期末）已知函數(shù)，對都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)不等式恒成立，分離參數(shù)，可得，對恒成立，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得其最小值，即可求得答案.
【詳解】由題意知函數(shù)，對都有成立，
即對恒成立，
即，對恒成立，
設(shè)，由于在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，則，當且僅當時等號成立，
故，即實數(shù)的取值范圍為，
故選：A
5．（23-24高三上·內(nèi)蒙古通遼·階段練習(xí)）已知命題，，若命題是假命題，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用含有一個量詞命題的否定轉(zhuǎn)化為不等式對恒成立，根據(jù)判別式可求得.
【詳解】根據(jù)題意可知，命題的否定為“，”為真命題；
即不等式對恒成立，
所以，解得；
可得的取值范圍為.
故選：C
6．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知條件：“不等式的解集是空集”，則條件： “”是條件的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】先分和兩種情況討論求出的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.
【詳解】因為不等式的解集是空集，
所以不等式的解集是，
當即 時，
若 ，則 ， 舍；
若 ，則 ， ；
當時，則 ，解得 ，
綜上所述 ，
所以條件是條件的充分不必要條件．
故選：A．
7．（2024·天津河西·一模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)分式不等式和一元二次不等式的解法，結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得解.
【詳解】由得，解得，
由得，所以，解得，
所以“”是“”成立的必要不充分條件.
故選：B
8．（2023·廣東廣州·三模）定義，設(shè)函數(shù)，若使得成立，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先考慮命題使得成立的否定為真命題時a的取值范圍，再求其補集即可.
【詳解】命題使得成立的否定為對，，
因為當或時，，當時，，
所以當或時，，
若命題，為真命題，
則當時，恒成立，
所以，其中，
設(shè)，
當時，函數(shù)在單調(diào)遞增，
所以當時，函數(shù)取最小值，所以，
所以，矛盾；
當時，函數(shù)在單調(diào)遞減，
所以當時，函數(shù)取最小值，所以，
所以，矛盾；
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以時，函數(shù)取最小值，所以，
所以，
所以當時，命題，為真命題，
所以若使得成立，則a的取值范圍為.
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.
二、多選題
1．（23-24高三上·浙江紹興·期末）已知，關(guān)于x的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】分，，三種情況結(jié)合與的大小關(guān)系討論，可得不等式的解集.
【詳解】當時，；
當時，或，故A正確；
當時，，
若，則解集為空集；
若，則不等式的解為：，故D正確；
若，則不等式的解為：，故C正確.
故選：ACD
2．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）下列說法正確的是（ ）
A．不等式的解集是
B．不等式的解集是
C．若不等式恒成立，則a的取值范圍是
D．若關(guān)于x的不等式的解集是，則的值為
【答案】CD
【分析】對于AB，直接解一元二次不等式即可判斷；對于C，對分類討論即可判斷；對于D，由一元二次不等式的解集與一元二次方程的根的關(guān)系，先求得，然后即可判斷.
【詳解】對于A，或，故A錯誤；
對于B，，故B錯誤；
若不等式恒成立，
當時，是不可能成立的，
所以只能，而該不等式組無解，綜上，故C正確；
對于D，由題意得是一元二次方程的兩根，
從而，解得，
而當時，一元二次不等式滿足題意，
所以的值為，故D正確.
故選：CD.
3．（22-23高三上·河北唐山·階段練習(xí)）若對任意恒成立，其中，是整數(shù)，則的可能取值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】對分類討論，當時，由可得，由一次函數(shù)的圖象知不存在；當時，由，利用數(shù)形結(jié)合的思想可得出的整數(shù)解.
【詳解】當時，由可得對任意恒成立，
即對任意恒成立，此時不存在；
當時，由對任意恒成立，
可設(shè)，，作出的圖象如下，
由題意可知，再由，是整數(shù)可得或或
所以的可能取值為或或
故選：BCD
三、填空題
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，函數(shù)若對任意，恒成立，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由題意分類討論和兩種情況，結(jié)合恒成立的條件整理計算即可求得最終結(jié)果.
【詳解】分類討論：①當時，即：，
整理可得：，
由恒成立的條件可知：，
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當時，，則；
②當時，即：，整理可得：，
由恒成立的條件可知：，
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當或時，，則；
綜合①②可得的取值范圍是，
故答案為:.
2．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）若命題“，”為假命題，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據(jù)已知條件知命題“，”為真命題，再分類討論，即可求解.
【詳解】由題意可知，命題“，”為真命題.
當時，可得.
若，則有，符合題意；
若，則有，解得，不符合題意；
當時，則，解得.
綜上，的取值范圍是.
故答案為：.
3．（23-24高三下·上海閔行·階段練習(xí)）設(shè)集合，，則 .
【答案】
【分析】分別求出與中不等式的解集，再根據(jù)交集的運算法則求解.
【詳解】由中不等式變形得：，解得：，即，
由中，得到，即，
則,
故答案為：.
四、解答題
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知集合A＝{x|x2－4x－5≤0}，B＝{x|2x－6≥0}，M＝A∩B.
(1)求集合M；
(2)已知集合C＝{x|a－1≤x≤7－a，a∈R}，若M∩C＝M，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)[3，5]
(2)（－∞，2]
【詳解】（1） 由x2－4x－5≤0，得－1≤x≤5，
所以A＝[－1，5].
由2x－6≥0，得x≥3，所以B＝[3，＋∞）.
所以M＝[3，5].
（2） 因為M∩C＝M，所以M C，
則解得a≤2.
故實數(shù)a的取值范圍是（－∞，2].
2．（23-24高三上·河南南陽·階段練習(xí)）二次函數(shù)滿足，且
(1)求的解析式；
(2)在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在直線的上方，試確定實數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)，利用求得，由可求得，即得答案；
（2）由題意可知在區(qū)間上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求出的最小值，即可得答案.
【詳解】（1）由題意設(shè)，
由得；
由得，
即恒成立，故，
則，
故；
（2）由題意在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在直線的上方，
即在區(qū)間上恒成立，
由于，當時，單調(diào)遞減；
當時，單調(diào)遞增；
故當時，，故.
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中．解不等式；
【答案】答案見解析
【分析】由題知，進而得，將問題轉(zhuǎn)化為，再分，兩種情況討論求解即可；
【詳解】因為，不等式等價于，
又，所以，即，其中，所以，
所以原不等式等價于，
即，
所以當時，不等式組的解集為；
當時，不等式組的解集為.
綜上，當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為；
4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知f(x)＝求f(f(x))≥1的解集．
【答案】{x|x≥4或x≤－}
【詳解】解：當x≥0時，f(x)＝≥0，所以f(f(x))＝f()＝≥1，解得x≥4；當x<0時，f(x)＝x2>0，所以f(f(x))＝f(x2)＝≥1，解得x≥ (舍去)或x≤－．綜上，f(f(x))≥1的解集為{x|x≥4或x≤－}．
5．（2023·河南開封·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足．
(1)討論的奇偶性；
(2)設(shè)函數(shù)，求證：．
【答案】(1)答案見解析；
(2)證明見解析.
【分析】（1）對已知等式中的用代換，得到新的等式，結(jié)合已知等式可求出，然后分和討論函數(shù)的奇偶性，
（2）由（1）知，則對恒成立，得，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求出函數(shù)的最小值得函數(shù)的值域，并求出最小的范圍，進而根據(jù)集合關(guān)系即可證明.
【詳解】（1）因為，
所以，
根據(jù)以上兩式可得，
所以，.
當時，為偶函數(shù).
當時，因為，
所以，，
所以為非奇非偶函數(shù).
（2）由（1）知.
依題意得對恒成立.
當，即時，恒成立；
當，即時，，得.
故.
設(shè)函數(shù)，
則.
因為，所以.
①當，即時，在上恒成立，
故在上單調(diào)遞增，，則，
即在上的最小值為1.
②當，即時，
因為當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，
則，
即在上的最小值為.
綜上，函數(shù)在上的最小值，
所以，函數(shù)在上的值域為，
當，令，
則，故在上單調(diào)遞增，
因為，
所以，，即函數(shù)在上的最小值，
所以，.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題第（2）問解題的關(guān)鍵是由題意得對恒成立，求出的范圍，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值的取值范圍即可證明.
拓展沖刺練
一、單選題
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分別解二次不等式，對數(shù)不等式化簡集合A，B，后由補集，交集定義可得答案.
【詳解】由，得，所以；
由，得，解得，所以.
所以或，所以.
故選：D．
2．（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）在區(qū)間內(nèi)隨機取一個實數(shù)，則關(guān)于的不等式僅有2個整數(shù)解的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用一元二次不等式解得，可得區(qū)間內(nèi)僅包含兩個整數(shù)，再利用幾何概型概率公式可得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意可得不等式等價于；
因為，所以不等式的解集為；
依題意可得區(qū)間內(nèi)僅有兩個整數(shù)，即包含兩個整數(shù)，可得；
由幾何概型概率公式可得其概率為.
故選：C
3．（2023·福建廈門·二模）不等式（）恒成立的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分和兩種情況討論求出的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.
【詳解】當時，，得，與題意矛盾，
當時，則，解得，
綜上所述，，
所以不等式（）恒成立的一個充分不必要條件是A選項.
故選：A.
4．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若不等式恒成立，則實數(shù)a的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)結(jié)合余弦函數(shù)的范圍得出函數(shù)單調(diào)遞增.又，根據(jù)已知可推得恒成立，得出，求解即可得出答案.
【詳解】由題，，
當時，恒成立，；
當或時，，，所以．
所以在R上單調(diào)遞增．
又，
所以由恒成立，可得恒成立，
即恒成立，
故，得，所以a的最大值為．
故選：C.
二、多選題
5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知平面向量滿足，，且對任意的實數(shù)，都有恒成立，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．與垂直 B．
C．的最小值為 D．的最大值為
【答案】AC
【分析】根據(jù)題中條件，結(jié)合向量的運算法則，不等式，可化為，利用，可求得，故可求得的值，繼而可判斷出A,B；設(shè)，，用坐標表達及，結(jié)合結(jié)果的幾何意義即可求得最值，繼而判定C,D.
【詳解】由恒成立得，
即恒成立，
因為，，
設(shè)夾角為，則恒成立，
所以，
即，
所以，則，
所以，
所以，
所以與垂直，A正確；
，B不正確；
設(shè)，，
則，
所以
，
其幾何意義是與和連線的距離之和的2倍，
當三點共線時取得最小值，最小值為，C正確；
，，
所以
其幾何意義是與和連線的距離之差的2倍，
當三點共線時最得最大值，最大值為，D不正確，
故選：AC.
6．（23-24高三上·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集恰有50個整數(shù)元素，則下列各選項正確的是（ ）
A．的值可能為-43
B．這50個整數(shù)元素之和可能為-925
C．的值可能為57.5
D．這50個整數(shù)元素之和可能為1625
【答案】BCD
【分析】考慮，，，解不等式，再根據(jù)解集恰有50個整數(shù)元素，計算得到答案.
【詳解】不等式等價于不等式.
當時，的解集為，不合題意；
當時，的解集為，則50個整數(shù)解為，
所以，這50個整數(shù)元素之和為；
當時，的解集為，則50個整數(shù)解為，
所以，這50個整數(shù)元素之和為.
綜上所述：的取值范圍是，這50個整數(shù)元素之和為-925或1625.
故選：BCD.
三、填空題
7．（2022高三上·河南·專題練習(xí)）已知，，若是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】先對求解得，對化簡得，再結(jié)合是的必要不充分條件，對進行分類討論，即可求解.
【詳解】
由，解得，所以，
對于，即，
若，解得，要使是的必要不充分條件，則，所以；
若，解得，要使是的必要不充分條件，則，所以；
若，則為，符合題意，所以實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
8．（23-24高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)．甲同學(xué)：的解集為；乙同學(xué)：的解集為；丙同學(xué)：y的對稱軸大于零．在這三個同學(xué)的論述中，只有一個假命題，則a的范圍為 ．
【答案】
【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)分別分析甲乙丙三位同學(xué)的論述，從而得解.
【詳解】若甲正確，則且，即，則；
若乙正確，則且，即，則；
若丙正確，則二次函數(shù)的對稱軸方程，可得；
因為只有一個同學(xué)的論述為假命題，所以只能乙的論述錯誤，故.
故答案為：
9．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若對任意，則所有滿足條件的有序數(shù)對是 ．
【答案】
【分析】由題意可得，然后利用不等式的性質(zhì)對不等式組變形可求得結(jié)果.
【詳解】因為對任意，
所以必須滿足，
即，
由，得，
解得，①，
再由，得，
解得，②，
由①②得，
所以，即，解得，
經(jīng)檢驗，當，時，，則
的最大值為，的最小值為，
滿足任意，
所以滿足條件的有序數(shù)對只有一對，
故答案為：.
10．（23-24高三上·全國·階段練習(xí)）對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】設(shè)，，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化成，構(gòu)造，根據(jù)單調(diào)性求最值.
【詳解】設(shè)，
，
則，
則恒成立可化為恒成立，
即恒成立，故，
設(shè)，
易知在時遞減，在時遞增，
所以，
而顯然在時單調(diào)遞增，所以，
故，當且僅當時，即時，等號成立，
所以實數(shù)的取值范圍為.
【點睛】方法點睛：本題將恒成立問題轉(zhuǎn)化成求最值問題，然后采用雙換元和輪流作主法求最值.
四、解答題
11．（23-24高三上·福建莆田·階段練習(xí)）解關(guān)于的不等式：.
【答案】答案見詳解
【分析】討論時，分別解出不等式即可.
【詳解】若，不等式化為，解得；
不等式的解集為；
若，則不等式化為，
且時，，
①若，
則若，即時，原不等式的解集為；
若，即時，原不等式的解集為；
若，即時，原不等式的解集為；
②若，則，
且不等式變化為，
解得或，
原不等式的解集；
綜上所述，當時，不等式的解集為；
當，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為；
12．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)．
(1)若對于一切實數(shù)，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若對于，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分和兩類情況，當時采用驗證法即可；當時根據(jù)一元二次不等式和二次函數(shù)之間的關(guān)系建立不等式組即可求出實數(shù)的取值范圍.
（2）方法一：先利用分離參數(shù)法得出；再求出函數(shù)在上的最小值即可求解.方法二：先將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立；再分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值即可求解.
【詳解】（1）要使恒成立，
若，顯然；
若，則，解得．
綜上：實數(shù)的取值范圍是．
（2）方法一：
由得：，即.
因為，所以．
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當時，函數(shù)在上取得最小值，最小值為，
所以只需即可，所以的取值范圍是．
方法二：
由，得，即.
令，
當時，在上是增函數(shù)，
則，解得，所以；
當時，恒成立；
當時，在上是減函數(shù)，
則，解得，所以．
綜上所述，的取值范圍是．
13．（2023·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)求曲線在點處的切線方程;
(2)（ⅰ）若對于任意，都有，求實數(shù)的取值范圍;
（ⅱ）設(shè)，且，求證:.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析
【分析】（1）運用導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線斜率，進而求得切線方程.
（2）（?。┻\用導(dǎo)數(shù)求的最值，代入解不等式即可.（ⅱ）運用導(dǎo)數(shù)研究在上的最小值，進而解關(guān)于的一元二次不等式即可.
【詳解】（1）由已知得，切點，
則切線斜率，
所以切線方程為.
（2）（?。┮李}意知，只要，，
因為，
，，
所以在遞減，在遞增，
所以，，
所以，
解得：.
（ⅱ）證明：因為，定義域為，
由得，
即，
令
令，，則，
，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以
即，
又因為，
所以，即.
【點睛】運用導(dǎo)數(shù)證明不等式策略
（1）將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，
（2）將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值進行比較，
（3）適當放縮證明不等式.
14．（23-24高三上·天津南開·期中）設(shè)函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且的圖象過點.
(1)求a，b的值；
(2)設(shè)，若（為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)），試寫出符合上述條件的函數(shù)的一個解析式，并說明你的理由．
【答案】(1)2
(2)，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義和過定點，代入即可；
（2）結(jié)合奇函數(shù)和單調(diào)性性，可化為對恒成立，整理的，分與討論即可.
【詳解】（1）因為是定義域為的奇函數(shù)，
所以，即，
整理得，解得，
所以，
又的圖象過點，
則，解得或，
又，且，
所以．
（2）因為為奇函數(shù)，
所以，得．
由（1）可得，，
因為，
所以為上的單調(diào)遞增函數(shù)，
所以對恒成立．
因為，，
所以，
整理得，*
當時，左邊是一個一次因式乘一個恒正（或恒負）的二次三項式，
或者是三個一次因式的積，
無論哪種情況，總有一個一次因式的指數(shù)是奇次的，這個因式的零點左右的符號不同，
因此不可能恒非負，所以．
所以*式化為恒成立，
所以．
①若，則；
②若，則，即，與矛盾，舍去．
綜上，，
所以為滿足條件的的一個解析式．（答案不唯一）
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