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第一單元 三角形的證明全章復習
1.若等腰三角形的兩邊長分別為2和5，則它的周長為（　　）
A．9 B．7 C．12 D．9或12
【答案】C
【解答】解：（1）若2為腰長，5為底邊長，
由于2+2＜5，則三角形不存在；
（2）若5為腰長，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊．
所以這個三角形的周長為5+5+2＝12．
故選：C．
2.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分線交AB于E，點D為垂足，連接EC．如果BC=6，△BCE的周長是17，那么AB的長為（　　）
A．12 B．11 C．10 D．5
【答案】B
【解答】解：∵AC的垂直平分線交AB于E，點D為垂足，
∴CE＝AE，
∴BE+AE＝BE+CE＝AB，
∵△BCE的周長是17，
∴BC+CE+BE＝17，
∵BC＝6，
∴BE+CE＝17﹣6＝11，
∴AB＝11，
故選：B．
3.如圖，在中，，垂直平分，垂足為，交于，若的周長為，則的長為 ．
【答案】
【分析】此題考查線段垂直平分線的性質．此題比較簡單，注意掌握數形結合思想的應用．
利用線段垂直平分線的性質得，再利用已知條件結合三角形的周長計算．
【詳解】解：的周長，
又垂直平分，
，
故，
，
．
故答案為：．
4.如圖，D為上一點，垂直平分交于點E，已知，，則的長為（ ）
A．3 B．5 C．8 D．18
【答案】A
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，利用線段垂直平分線的性質求出，然后利用線段和差關系求解即可．
【詳解】解：∵垂直平分交于點E，，
∴，
又，
∴，
故選：A．
5.如圖，在中，，是上的一點，，過點作的垂線交于點，連接，相交于點．
(1)求證：．
(2)若，試判斷的形狀，并說明理由．
【答案】(1)證明見解析;
(2)是等邊三角形，理由見解析．
【分析】（）先證明，再推出是等腰三角形，由三線合一可證；
（）先證明，再根據，即可證明是等邊三角形；
本題考查了全等三角形的性質與判定，等腰三角形的性質與判定，等邊三角形的判定，掌握以上知識點是解題的關鍵．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵
∴是等腰三角形，
∴，
∴；
（2）解：是等邊三角形，理由如下：
∵，，
∴，
又∵，
∴是等邊三角形．
6.如圖，和中，，，．邊與邊交于點P（不與點B，C重合），點B，E在異側．
(1)若，，求的度數；
(2)當，，時，設，請用含x的式子表示，并寫出的最大值．
【答案】(1)；
(2)，3；
【分析】本題考查的是三角形全等的判定和性質，熟練掌握判定三角形全等的方法是解題的關鍵．
（1）證明，進而解答即可．
（2）根據當時，x最小，進而利用三角形面積公式解答即可．
【詳解】（1）解：在和中，
，
，
，
，
，
，，
．
（2）解，
，
，，，
，
當時，x最小，最大，，
，，
，
，
時，有最大值，即．
7.如圖，在等邊三角形中，點在上，點在的延長線上，且．

(1)如圖1，當為的中點時，則______（填“”“”或“”）．
(2)如圖2，當為邊上任意一點時，（1）中的結論是否仍然成立，請說明理由．
(3)如圖3，當點在的延長線上時，若的邊長為2，，求的長．
【答案】(1)
(2)當為邊上任意一點時，（1）中的結論仍然成立，理由見解析
(3)5
【分析】本題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質等知識，本題綜合性強，熟練掌握等邊三角形的判定與性質，證明三角形全等是解題的關鍵．
（1）由等腰三角形的性質得，再由等邊三角形的性質得 ，然后證，得，即可得出結論；
（2）過點作 ，交于點，證為等邊三角形，得，再證（），得，即可得出結論；
（3）過點作 ，交的延長線于點，可證得是等邊三角形，，由，，即可得出答案．
【詳解】（1）解：如圖，

∵是等邊三角形，點是的中點，
∴平分，，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
故答案為：．
（2）解：當點為上任意一點時，（1）中的結論仍然成立，如圖，．理由如下：

如圖，過作 交于，
∵是等邊三角形，
∴，，
∵ ，
∴， ，即，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
（3）解：過點作 ，交的延長線于點，如圖所示：

∵是等邊三角形，
∴，，
∴， ，
即，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知識點1 等腰三角形】
1．等腰三角形的性質
性質1：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）．
性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡寫成“三線合一”）．
等腰三角形的其他性質：
（1）等腰三角形兩腰上的中線、高分別相等．
（2）等腰三角形兩底角的平分線相等．
（3）等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高．
（4）當等腰三角形的頂角為90°時，此等腰三角形為等腰直角三角形，它的兩條直角邊相等，兩個銳角都是45°．
2．等腰三角形的判定
判定等腰三角形的方法：
（1）定義法：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）．
數學語言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角對等邊）．
【注意】
（1）“等角對等邊”不能敘述為：如果一個三角形有兩個底角相等，那么它的兩腰也相等．因為在沒有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”這些名詞，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．
（2）“等角對等邊”與“等邊對等角”的區別：由兩邊相等得出它們所對的角相等，是等腰三角形的性質；由三角形有兩角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
3．等邊三角形及其性質
等邊三角形的概念：三邊都相等的三角形是等邊三角形．
等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個角都等于60° ．
【注意】
（1）等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；
（2）等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質．
4．等邊三角形的判定
定等邊三角形的方法：
（1）定義法：三邊都相等的三角形是等邊三角形．
（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形．
（3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．
5．含30°角的直角三角形的性質
一在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．
【注意】
（1）該性質是含30°角的特殊直角三角形的性質，一般的直角三角形或非直角三角形沒有這個性質，更不能應用．
（2）這個性質主要應用于計算或證明線段的倍分關系．
（3）該性質的證明出自于等邊三角形，所以它與等邊三角形聯系密切．
（4）在有些題目中，若給出的角是15°時，往往運用一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和將15°的角轉化后，再利用這個性質解決問題．
【知識點2 直角三角形】
1.直角三角形全等的判定
斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等.這一定理簡稱為“斜邊、直角邊”或“HL”.
2.直角三角形性質
直角三角形的兩個銳角互余.
直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.
3.直角三角形判定
有兩個角互余的三角形是直角三角形.
如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.
【知識點3 線段的垂直平分線、角平分線】
1．線段垂直平分線的定義及其性質
（1）線段垂直平分線的定義：經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線．
（2）性質：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等．書寫格式：如圖所示，點P在線段AB的垂直平分線上，則PA=PB．
（3）與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．書寫格式：如圖所示，若PA=PB，則點P在線段AB的垂直平分線上．
2．角的平分線的性質
內容：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．
【提示】
（1）這里的距離指的是點到角的兩邊垂線段的長；
（2）該性質可以獨立作為證明兩條線段相等的依據，不需要再用全等三角形；
（3）使用該結論的前提條件是圖中有角平分線、有垂直；
（4）運用角的平分線時常添加的輔助線：由角的平分線上的已知點向兩邊作垂線段，利用其相等來推導其他結論．
4．角的平分線的判定
（1）內容：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．
（2）角的平分線的判定的前提條件是指在角的內部的點到角兩邊的距離相等時，它才是在角的平分線上，角的外部的點不會在角的平分線上．
1.如圖，△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，BD平分∠ABC，則圖中等腰三角形的個數為（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解答】解：由圖可知，∵AC＝BC，∴△ABC為等腰三角形，
∵∠C＝36°，BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBA＝∠C＝36°
∴△CBD為等腰三角形，
∵∠BDA＝∠C+∠CBD＝72°＝∠A
∴△BAD均為等腰三角形，
∴圖中三角形共有三個．
故選：B．
2.如圖，點E在等腰△ABC的底邊上的中線AD上，且BE⊥CE，若∠ABC＝70°，則∠ABE的度數為（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】D
【解答】解：∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴BE＝CE，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝45°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBD＝70°﹣45°＝25°，
故選：D．
3.如圖，直線l∥m，等邊△ABC的頂點B在直線m上，邊BC與直線m所夾銳角為18°，則∠α的度數為（　　）
A．60° B．42° C．36° D．30°
【答案】B
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A＝∠ABC＝60°．
∵l∥m，
∴∠1＝∠ABC+18°＝78°．
∴∠α＝180°﹣∠A﹣∠1
＝180°﹣60°﹣78°
＝42°．
故選：B．
4.如圖，AD是等邊△ABC的一條中線，若在邊AC上取一點E，使得AE＝AD，則∠EDC的度數為（　　）
A．30° B．20° C．25° D．15°
【答案】D
【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是等邊△ABC的一條中線，
∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°，
故選：D
5.如圖，直線，于點，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了平行線的性質，垂直的定義，直角三角形的兩銳角互余，先根據平行線的性質得，則有，再根據垂直的定義得，然后利用，計算的度數即可，掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：．
6.如圖，在中，，，為邊的中點，點，分別在邊，上，，則四邊形的面積為（ ）
A．18 B． C．9 D．
【答案】C
【分析】本題考查等腰直角三角形的性質以及三角形全等的性質與判定，掌握相關的線段與角度的轉化是解題關鍵．連接，根據等腰直角三角形的性質以及得出，將四邊形的面積轉化為三角形的面積再進行求解．
【詳解】解：連接，如圖：
∵，，點D是中點，
∴
∴，
∴
又∵
∴
故選：C
7.如圖，在中，點O是內一點，且點O到三邊的距離相等，，則（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了角平分線的性質，三角形內角和定理的應用．由題意可知點O為的三條角平分線的交點，可得，，根據三角形內角和定理求出，可得的度數，再根據三角形內角和定理求出的度數即可．
【詳解】解：∵點O到三邊距離相等，
∴點O為的三條角平分線的交點，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
8.（2024·廣東梅州·模擬預測）如圖，在中，為中點，且交于點E，，則的長為（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質，三角形內角和定理，勾股定理等，熟記線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．
連接，根據三角形內角和定理求出，根據線段垂直平分線的判定與性質求出，根據等腰三角形的性質及三角形外角性質求出，根據三角形內角和定理求出，解直角三角形求出，，再根據線段的和差求解即可．
【詳解】解：如圖，連接，
，，
，
為中點，且交于點，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
故選：B．
9.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，CD是高，則AD的長為（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，
∴∠BCD+∠B＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠A＝30°，
∴BD＝BC＝×4＝2，AB＝2BC＝2×4＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝8﹣2＝6．
故選：B．
10.如圖，在中，，，線段AB的垂直平分線分別交AC、AB于點D、E，連結BD．若，則AD的長為 ．
【答案】2
【分析】根據線段垂直平分線的性質得到AD=BD，∠ABD=，求得，即可求出答案．
【詳解】解：∵，
∴∠A+∠ABC=，
∵線段AB的垂直平分線分別交AC、AB于點D、E，
∴AD=BD，
∴∠ABD=，
∴，
∵，
∴AD=BD=2CD=2，
故答案為：2．
【點睛】此題考查線段垂直平分線的性質，直角三角形30度角的性質，熟記線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．
11.定理“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”可以由你學過的哪一條基本事實推理證明得到？ ．
【答案】兩點之間線段最短
【分析】本題考查了三角形的三邊關系及線段的性質，熟記線段性質是解題的關鍵；
根據三角形的三邊關系解答即可．
【詳解】如圖：
以第三邊為例
由圖可知，三角形的兩邊之和為：，
相當于從A點到C點經過的距離為：，
兩點之間，線段最短，
從A點到C點最短的距離應為，
其余邊同理可得：，，
定理“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”可以由基本事實：兩點之間線段最短加以解釋．
故答案為：兩點之間線段最短．
12.如圖，在中，E是上一點，，垂直平分，于點D，的周長為，，則的長為 ．
【答案】/
【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質，等腰三角形性質，線段的和差，根據垂直平分線的性質和三線合一得到，，繼而結合的周長得出，即可求出結果．
【詳解】解：，，
，
垂直平分，
，
的周長為，
，
，
，
解得，
故答案為：．
13.如圖，已知，是角平分線且，作的垂直平分線交于點F，作，則周長為 ．
【答案】
【分析】知道和是角平分線，就可以求出，的垂直平分線交于點F可以得到AF=FD，在直角三角形中30°所對的邊等于斜邊的一半，再求出DE，得到．
【詳解】解： 的垂直平分線交于點F，
（垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等）
∴
∵，是角平分線
∴
∵
∴，
∴
【點睛】此題考查角平分線的性質、直角三角形的性質、垂直平分線的性質的綜合題，掌握運用三者的性質是解題的關鍵．
14.如圖，已知，是角平分線且，作的垂直平分線交于點F，作，則周長為 ．
【答案】
【分析】知道和是角平分線，就可以求出，的垂直平分線交于點F可以得到AF=FD，在直角三角形中30°所對的邊等于斜邊的一半，再求出DE，得到．
【詳解】解： 的垂直平分線交于點F，
（垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等）
∴
∵，是角平分線
∴
∵
∴，
∴
【點睛】此題考查角平分線的性質、直角三角形的性質、垂直平分線的性質的綜合題，掌握運用三者的性質是解題的關鍵．
15.如圖，等邊中，于，，點、分別為、上的兩個定點且，在上有一動點使最短，則的最小值為 ．
【答案】5
【分析】本題考查等邊三角形的性質和判定，軸對稱最短問題等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考常考題型．
作點關于的對稱點，連接交于，連接，此時的值最小．最小值．
【詳解】解：如圖，作點關于的對稱點，連接交于，連接，此時的值最小．最小值，
是等邊三角形，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
是等邊三角形，
，
的最小值為5．
故答案為：5．
16.如圖，點E、F在線段BC上，，，，證明：．
【答案】見解析
【分析】利用AAS證明△ABE≌△DCF，即可得到結論．
【詳解】證明：∵，
∴∠B=∠C，
∵，，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴．
【點睛】此題考查全等三角形的判定及性質，熟記全等三角形的判定定理是解題的關鍵．
17.如圖，在△EBD中，EB＝ED，點C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延長線上一點，EA＝EC．
（1）求∠EBC的度數；
（2）求證△ABC為等邊三角形．
【答案】（1）∠EBC＝∠EDC＝30° （2）△ABC是等邊三角形．
【解答】解：（1）∵CE＝CD，
∴∠D＝∠DEC，
∴∠ECB＝∠D+∠DEC＝2∠D．
∵BE＝DE，
∴∠EBC＝∠D．
∴∠ECB＝2∠EBC．
又∵BE⊥CE，
∴∠ECB＝60°．
∵∠ECB＝∠CED+∠EDC，
∴∠EDC＝30°，
∵EB＝ED，
∴∠EBC＝∠EDC＝30°．
（2）證明∵CE＝CD，
∴∠D＝∠DEC，
∴∠ECB＝∠D+∠DEC＝2∠D．
∵BE＝DE，
∴∠EBC＝∠D．
∴∠ECB＝2∠EBC．
又∵BE⊥CE，
∴∠ECB＝60°．
∵BE⊥CE，AE＝CE，
∴AB＝BC．
∴△ABC是等邊三角形．
18.如圖，中，于點D．
(1)求證：；
(2)過點C作于點E，交于點F，若．求證：．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，掌握全等三角形的判定和性質是本題的關鍵．
（1）由“”即可證；
（2）由直角三角形的性質可得，，從而得出再由“”可證，可得，再證明即可得結論．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
19.如圖，在中，，點為上一點，過點作于點．
(1)當平分，且時，求的度數；
(2)當點是中點，，且的面積為，求的長．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）根據角平分線的定義及直角三角形的性質求解即可；
（）由點是中點得，又，從而求解；
此題考查了角平分線的定義，三角形中線的性質，直角三角形的性質，等面積法，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵點是中點，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
20.如圖，點D、E在的邊上，，．
(1)求證：．
(2)若，直接寫出圖中除與外所有等腰三角形．
【答案】(1)詳見解析
(2)除與外所有的等腰三角形為：
【分析】此題考查了等腰三角形的判定與性質，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用是解題的關鍵．
（1）過點A作于點F，根據等腰三角形的性質得到，再根據線段垂直平分線的性質證明結論即可；
（2）由題意求出，再求出其他角的度數，即可得到答案．
【詳解】（1）證明：過點A作于點F，
，
，
，
，
；
（2）證明：解：，
，
，
，
，
，
，
，
除與外所有的等腰三角形為：．
21.（23-24八年級·重慶渝北·期末）已知，和都是等邊三角形，且點B、C、D在一條直線上．
(1)求證：；
(2)若，交于O點，連接，求證：平分．
【答案】(1)見詳解
(2)見詳解
【分析】本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定及性質，角平分線的判定定理；
（1）由等邊三角形的性質得，，，由可判定，由全等三角形的性質即可求證；
（2）作于，于，由全等三角形的性質得，由角平分線的判定定理即可求證；
掌握全等三角形的判定及性質，角平分線的判定定理是解題的關鍵．
【詳解】（1）證明：和都是等邊三角形，
，
，
，
，
即，
在和中
，
（），
；
（2）證明：如圖，作于，于，
，
，
平分．
22.如圖，在等邊中，點、分別在邊、上，，線段、交于點，連接．

(1)求的度數；
(2)當時，用等式表示線段與的數量關系，并證明．
【答案】(1)；
(2)，證明見解析．
【分析】（）通過證明得出 ，再由即可推出結果；
（）過點作，垂足為，通過證明 得出，再根據含的直角三角形性質推出即可得出結論；
本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，三角形的內角和定理和含 角的直角三角形的性質，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∴，
（2）證明：過點作，垂足為，

∴.
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
23.如圖，已知中，，，垂足為點，是邊上的中線．
(1)若，求的度數．
(2)若，，求的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】（）根據垂直定義可得，從而利用直角三角形的兩個銳角互余可得，然后利用直角三角形斜邊上的中線性質可得，從而可得，最后利用角的和差關系進行計算即可解答；
（）在中，利用勾股定理求出的長，再利用面積法求出的長，最后在中，利用勾股定理進行計算即可解答；
本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握勾股定理，以及直角三角形斜邊上的中線性質是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，是邊上的中線，
∴，
∴，
∴，
∴的度數為；
（2）解：在中，，，
∴，
∵的面積，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴的長為．
1.等腰三角形的周長為13cm，其中一邊長為3cm．則該等腰三角形的底長為（　　）
A．3 cm或5 cm B．3 cm或7 cm C．3 cm D．5 cm
【答案】C
【解答】解：①3cm是腰長時，底邊＝13﹣3×3＝7cm，
此時，三角形的三邊分別為3cm、3cm、7cm，
∵3+3＝6＜7，
∴不能組成三角形；
②3cm是底邊時，腰長＝（13﹣3）＝5cm，
此時，三角形的三邊分別為5cm、5cm、3cm，
能夠組成三角形，
綜上所述，該等腰三角形的底長為3cm．
故選：C．
2.（2024·廣東廣州·二模）如圖：小文在一個周長為的中，截出了一個周長為的，發現點D剛好落在的垂直平分線上，請問的長是 cm．
【答案】8
【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質、三角形的周長等知識點，掌握線段垂直平分線的性質成為解題的關鍵．
根據線段垂直平分線的性質可得，再根據三角形周長公式可得、、即，然后將整體代入即可解答．
【詳解】解：∵點D剛好落在的垂直平分線上，
∴，
∵的周長為，
∴，
∴的周長為，
∴，即，
∴，即
∴．
故答案為：8
3.（2024·廣東廣州·二模）如圖，在中，，是的平分線，若，，則的面積為 ．
【答案】
【分析】此題考查角平分線的性質定理，等腰三角形三線合一，直角三角形的性質以及勾股定理．直角三角形30度角所對直角邊長度是斜邊的一半，角平分線上的點到角兩邊的距離相等，綜合運用以上知識是解題的關鍵．
先過D點作于E，再利用角平分線的性質定理得，然后根據等腰三角形的性質得到，計算得出，得到的長，再由勾股定理得到的長，即可求解．
【詳解】解：過D點作于E，如圖所示，
，
，
又，是的角平分線，，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
4.（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，已知是的角平分線，，分別是和的高，，，則點E到直線的距離為____________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質可得點D到的距離等于點D到的距離的長度，然后根據勾股定理求出，最后根據等面積法求解即可．
【詳解】解：∵是的角平分線，，分別是和的高，，
∴，
又，
∴，
設點E到直線的距離為x，
∵，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查了角平分定理，勾股定理等知識，掌握角平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．
5.如圖，在中，，垂直平分，垂足為，交于，若的周長為，則的長為 ．
【答案】
【分析】此題考查線段垂直平分線的性質．此題比較簡單，注意掌握數形結合思想的應用．
利用線段垂直平分線的性質得，再利用已知條件結合三角形的周長計算．
【詳解】解：的周長，
又垂直平分，
，
故，
，
．
故答案為：．
6.將命題“等腰三角形中兩腰上的中線相等”的逆命題改寫成“如果…，那么…”的形式 ．
【答案】如果一個三角形兩邊上的中線相等，那么這個三角形是等腰三角形
【分析】本題主要考查了將命題寫成條件與結論的形式，“如果”后面是命題的條件，“那么”后面是命題的結論，命題的逆命題是如果一個三角形兩邊上的中線相等，那么這個三角形是等腰三角形．
【詳解】解：題設為：一個三角形是等腰三角形，結論為：它的兩腰上的中線相等，
故逆命題寫成“如果…那么…”的形式是：如果一個三角形兩邊上的中線相等，那么這個三角形是等腰三角形，
故答案為：如果一個三角形兩邊上的中線相等，那么這個三角形是等腰三角形．
7.下列命題可以作定理的有 個．
①2與6的平均值是8；②能被3整除的數能被6整除；③5是方程的根；④三角形的內角和是；⑤等式兩邊加上同一個數仍是等式．
【答案】2/兩
【分析】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題，舉一個反例即可說明；經過推理論證的真命題稱為定理．
首先利用定理的定義先判斷命題是否是真命題，然后再看是否經過推理論證； 經過判斷可以得到①、②、③是假命題，④、⑤是真命題，是經過推理論證的，據此可以解決問題．
【詳解】解：①2與6的平均值是4，故此命題是假命題，不是定理；
②能被3整除的數，不一定能被6整除，故此命題是假命題，不是定理；
③把5代入方程，方程兩邊不相等，故不是真命題，更不是定理；
④三角形的內角和為，是經過證明的是真命題，故是定理；
⑤等式兩邊加上同一個數仍是等式，符合等式的性質，是定理；
綜上所述：③和④是定理，共2個．
故答案為：2．
8.如圖，在銳角三角形中，，的面積為7，平分，若M，N分別是，上的動點，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】本題考查角平分線的軸對稱性、最短路徑問題，先過C作于H，根據角平分線的軸對稱性，可作N關于對稱點，連接，則，由得當C、M、共線且時，取等號，此時值最小，最小值為的值，利用三角形的面積公式求得，進而可求解．
【詳解】解：∵平分，如圖，過C作于H，作N關于對稱點，
∴在上，
連接，則，當C、M、共線且時，取等號，此時值最小，最小值為的值，
∵在銳角三角形中，，的面積為7，
∴，
∴ ，
即的最小值為，
故答案為：．
9.如圖，是邊長為6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發，分別沿AB、BC方向勻速移動．
(1)當點P的運動速度是，點Q的運動速度是，當Q到達點C時，P、Q兩點都停止運動，設運動時間為t（s），當時，判斷的形狀，并說明理由；
(2)當它們的速度都是，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動，設點P的運動時間為t（s），則當t為何值時，是直角三角形？
【答案】(1)是等邊三角形，理由見解析
(2)當點P的運動時間為2s或4s時，是直角三角形
【分析】（1）分別求出的長可知，再由等邊三角形的性質得到，即可證明是等邊三角形；
（2）分當時和當時兩種情況利用含30度角的直角三角形的性質求解即可，
本題主要考查了直角三角形的判定，等邊三角形的性質和判定，幾何動點問題，熟練掌握直角三角形含30度角的性質是關鍵．
【詳解】（1）解：是等邊三角形，理由如下；
由題意得，當時，，
∴，
∴，
∵是等邊三角形，
∴，
∴是等邊三角形；
（2）解；∵運動時間為，
∴，
∴，
如圖1所示，當時，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
如圖2所示，當時，
同理可得，
∴，
∴，
解得；
綜上所述，當點P的運動時間為2s或4s時，是直角三角形．
10.已知：如圖，、都是等邊三角形，、相交于點，點、分別是線段、的中點．
(1)求證：；
(2)求的度數；
(3)求證：是等邊三角形．
【答案】(1)見解析；
(2)；
(3)見解析．
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形的內角和定理，等邊三角形的性質和判定等知識點的應用，解此題的關鍵是根據性質進行推理．
（1）根據等邊三角形性質得出，，，求出，證即可；
（2）根據全等求出，進而求出的值，根據三角形的內角和定理求出即可；
（3）求出，根據證，推出，求出即可．
【詳解】（1）證明：、都是等邊三角形，
，，，
，
，
在和中
，
，
．
（2）解：，
，
等邊三角形，
，
，
，
（3）證明：，
，，，
又點、分別是線段、的中點，
，，
，
在和中，
，
，
，，
又，
，
，
，
是等邊三角形．
11.如圖，，點與點關于射線對稱，連接．點為射線上任意一點，連接．將線段繞點順時針旋轉，得到線段，連接．
(1)求證：直線是線段的垂直平分線；
(2)點是射線上一動點，請你直接寫出與之間的數量關系．
【答案】(1)見解析
(2)當為鈍角時，；當為銳角時，
【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質，軸對稱的性質，線段垂直平分線的判定，全等三角形的判定與性質，證明是解題的關鍵．
（1）連接，，，可得為等邊三角形，再利用證明，得，從而證明結論；
（2）分為鈍角和為銳角兩種情形，分別畫出圖形，即可得出答案．
【詳解】（1）證明：連接，，，
點與點關于射線對稱，，
，，
，
，
為等邊三角形，，
，
，
則，
在和中，
，
，
，
，
，
又，
垂直平分；
（2）解：解：如圖，當為鈍角時，由（1）知，
，
如圖，當為銳角時，
，，
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第一單元 三角形的證明全章復習
1.若等腰三角形的兩邊長分別為2和5，則它的周長為（　　）
A．9 B．7 C．12 D．9或12
2.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分線交AB于E，點D為垂足，連接EC．如果BC=6，△BCE的周長是17，那么AB的長為（　　）
A．12 B．11 C．10 D．5
3.如圖，在中，，垂直平分，垂足為，交于，若的周長為，則的長為 ．
4.如圖，D為上一點，垂直平分交于點E，已知，，則的長為（ ）
A．3 B．5 C．8 D．18
5.如圖，在中，，是上的一點，，過點作的垂線交于點，連接，相交于點．
(1)求證：．
(2)若，試判斷的形狀，并說明理由．
6.如圖，和中，，，．邊與邊交于點P（不與點B，C重合），點B，E在異側．
(1)若，，求的度數；
(2)當，，時，設，請用含x的式子表示，并寫出的最大值．
7.如圖，在等邊三角形中，點在上，點在的延長線上，且．

(1)如圖1，當為的中點時，則______（填“”“”或“”）．
(2)如圖2，當為邊上任意一點時，（1）中的結論是否仍然成立，請說明理由．
(3)如圖3，當點在的延長線上時，若的邊長為2，，求的長．
【知識點1 等腰三角形】
1．等腰三角形的性質
性質1：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）．
性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡寫成“三線合一”）．
等腰三角形的其他性質：
（1）等腰三角形兩腰上的中線、高分別相等．
（2）等腰三角形兩底角的平分線相等．
（3）等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高．
（4）當等腰三角形的頂角為90°時，此等腰三角形為等腰直角三角形，它的兩條直角邊相等，兩個銳角都是45°．
2．等腰三角形的判定
判定等腰三角形的方法：
（1）定義法：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）．
數學語言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角對等邊）．
【注意】
（1）“等角對等邊”不能敘述為：如果一個三角形有兩個底角相等，那么它的兩腰也相等．因為在沒有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”這些名詞，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．
（2）“等角對等邊”與“等邊對等角”的區別：由兩邊相等得出它們所對的角相等，是等腰三角形的性質；由三角形有兩角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
3．等邊三角形及其性質
等邊三角形的概念：三邊都相等的三角形是等邊三角形．
等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個角都等于60° ．
【注意】
（1）等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；
（2）等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質．
4．等邊三角形的判定
定等邊三角形的方法：
（1）定義法：三邊都相等的三角形是等邊三角形．
（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形．
（3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．
5．含30°角的直角三角形的性質
一在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．
【注意】
（1）該性質是含30°角的特殊直角三角形的性質，一般的直角三角形或非直角三角形沒有這個性質，更不能應用．
（2）這個性質主要應用于計算或證明線段的倍分關系．
（3）該性質的證明出自于等邊三角形，所以它與等邊三角形聯系密切．
（4）在有些題目中，若給出的角是15°時，往往運用一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和將15°的角轉化后，再利用這個性質解決問題．
【知識點2 直角三角形】
1.直角三角形全等的判定
斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等.這一定理簡稱為“斜邊、直角邊”或“HL”.
2.直角三角形性質
直角三角形的兩個銳角互余.
直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.
3.直角三角形判定
有兩個角互余的三角形是直角三角形.
如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.
【知識點3 線段的垂直平分線、角平分線】
1．線段垂直平分線的定義及其性質
（1）線段垂直平分線的定義：經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線．
（2）性質：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等．書寫格式：如圖所示，點P在線段AB的垂直平分線上，則PA=PB．
（3）與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．書寫格式：如圖所示，若PA=PB，則點P在線段AB的垂直平分線上．
2．角的平分線的性質
內容：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．
【提示】
（1）這里的距離指的是點到角的兩邊垂線段的長；
（2）該性質可以獨立作為證明兩條線段相等的依據，不需要再用全等三角形；
（3）使用該結論的前提條件是圖中有角平分線、有垂直；
（4）運用角的平分線時常添加的輔助線：由角的平分線上的已知點向兩邊作垂線段，利用其相等來推導其他結論．
4．角的平分線的判定
（1）內容：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．
（2）角的平分線的判定的前提條件是指在角的內部的點到角兩邊的距離相等時，它才是在角的平分線上，角的外部的點不會在角的平分線上．
1.如圖，△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，BD平分∠ABC，則圖中等腰三角形的個數為（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
2.如圖，點E在等腰△ABC的底邊上的中線AD上，且BE⊥CE，若∠ABC＝70°，則∠ABE的度數為（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
3.如圖，直線l∥m，等邊△ABC的頂點B在直線m上，邊BC與直線m所夾銳角為18°，則∠α的度數為（　　）
A．60° B．42° C．36° D．30°
4.如圖，AD是等邊△ABC的一條中線，若在邊AC上取一點E，使得AE＝AD，則∠EDC的度數為（　　）
A．30° B．20° C．25° D．15°
5.如圖，直線，于點，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
6.如圖，在中，，，為邊的中點，點，分別在邊，上，，則四邊形的面積為（ ）
A．18 B． C．9 D．
7.如圖，在中，點O是內一點，且點O到三邊的距離相等，，則（　　）

A． B． C． D．
8.（2024·廣東梅州·模擬預測）如圖，在中，為中點，且交于點E，，則的長為（ ）
A． B． C．6 D．
9.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，CD是高，則AD的長為（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
10.如圖，在中，，，線段AB的垂直平分線分別交AC、AB于點D、E，連結BD．若，則AD的長為 ．
11.定理“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”可以由你學過的哪一條基本事實推理證明得到？ ．
12.如圖，在中，E是上一點，，垂直平分，于點D，的周長為，，則的長為 ．
13.如圖，已知，是角平分線且，作的垂直平分線交于點F，作，則周長為 ．
14.如圖，已知，是角平分線且，作的垂直平分線交于點F，作，則周長為 ．
15.如圖，等邊中，于，，點、分別為、上的兩個定點且，在上有一動點使最短，則的最小值為 ．
16.如圖，點E、F在線段BC上，，，，證明：．
17.如圖，在△EBD中，EB＝ED，點C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延長線上一點，EA＝EC．
（1）求∠EBC的度數；
（2）求證△ABC為等邊三角形．
18.如圖，中，于點D．
(1)求證：；
(2)過點C作于點E，交于點F，若．求證：．
19.如圖，在中，，點為上一點，過點作于點．
(1)當平分，且時，求的度數；
(2)當點是中點，，且的面積為，求的長．
20.如圖，點D、E在的邊上，，．
(1)求證：．
(2)若，直接寫出圖中除與外所有等腰三角形．
21.（23-24八年級·重慶渝北·期末）已知，和都是等邊三角形，且點B、C、D在一條直線上．
(1)求證：；
(2)若，交于O點，連接，求證：平分．
22.如圖，在等邊中，點、分別在邊、上，，線段、交于點，連接．

(1)求的度數；
(2)當時，用等式表示線段與的數量關系，并證明．
23.如圖，已知中，，，垂足為點，是邊上的中線．
(1)若，求的度數．
(2)若，，求的長．
1.等腰三角形的周長為13cm，其中一邊長為3cm．則該等腰三角形的底長為（　　）
A．3 cm或5 cm B．3 cm或7 cm C．3 cm D．5 cm
2.（2024·廣東廣州·二模）如圖：小文在一個周長為的中，截出了一個周長為的，發現點D剛好落在的垂直平分線上，請問的長是 cm．
3.（2024·廣東廣州·二模）如圖，在中，，是的平分線，若，，則的面積為 ．
4.（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，已知是的角平分線，，分別是和的高，，，則點E到直線的距離為____________．
5.如圖，在中，，垂直平分，垂足為，交于，若的周長為，則的長為 ．
6.將命題“等腰三角形中兩腰上的中線相等”的逆命題改寫成“如果…，那么…”的形式 ．
7.下列命題可以作定理的有 個．
①2與6的平均值是8；②能被3整除的數能被6整除；③5是方程的根；④三角形的內角和是；⑤等式兩邊加上同一個數仍是等式．
8.如圖，在銳角三角形中，，的面積為7，平分，若M，N分別是，上的動點，則的最小值為 ．
9.如圖，是邊長為6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發，分別沿AB、BC方向勻速移動．
(1)當點P的運動速度是，點Q的運動速度是，當Q到達點C時，P、Q兩點都停止運動，設運動時間為t（s），當時，判斷的形狀，并說明理由；
(2)當它們的速度都是，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動，設點P的運動時間為t（s），則當t為何值時，是直角三角形？
10.已知：如圖，、都是等邊三角形，、相交于點，點、分別是線段、的中點．
(1)求證：；
(2)求的度數；
(3)求證：是等邊三角形．
11.如圖，，點與點關于射線對稱，連接．點為射線上任意一點，連接．將線段繞點順時針旋轉，得到線段，連接．
(1)求證：直線是線段的垂直平分線；
(2)點是射線上一動點，請你直接寫出與之間的數量關系．
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