資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
分課時教學設計
第十一課時《第七章 相交線與平行線 章末復習》教學設計
課型 新授課 復習課口 試卷講評課口 其他課口
教學內容分析 本節課主要復習本章所學的知識。在這一章節中，知識體系主要涵蓋相交線、平行線以及相關拓展知識。 （一）相交線 學生先接觸鄰補角、對頂角的概念及其性質，如對頂角相等，這是解決角度計算問題的基石。垂線作為相交線的特殊情形，其定義、性質（在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；垂線段最短）以及點到直線的距離概念，構建起垂直關系的知識體系。同位角、內錯角、同旁內角是研究平行線的關鍵角的位置關系。 （二）平行線 重點內容是平行線的判定與性質。判定定理通過角的關系（同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補）判斷兩直線平行；性質定理則是在已知兩直線平行的前提下，得出角之間的相等或互補關系。這部分內容是培養學生邏輯推理能力的核心素材。 （三）命題、定理 命題是判斷一件事情的語句，它由題設和結論兩部分組成，可分為真命題和假命題。判斷一個命題的真假，需要進行推理論證。定理是經過證明的真命題，是幾何推理的重要依據。在相交線與平行線這一章中，許多有關的結論都以定理的形式呈現，比如對頂角相等、平行線的判定定理和性質定理等 ，這些定理為后續幾何學習和證明提供了堅實的理論基礎。 （四）平移 平移是圖形的一種基本變換。在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這種圖形的運動叫做平移。平移不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置。平移過程中，對應點所連的線段平行（或在同一條直線上）且相等，對應線段平行（或在同一條直線上）且相等，對應角相等。平移的知識與平行線緊密相關，在理解平移性質時，會運用到平行線的相關知識，同時平移也為后續學習圖形變換奠定基礎。
學習者分析 學習相交線與平行線之前，學生已對簡單幾何圖形有初步認識，如直線、射線、線段等，本章是對幾何圖形位置關系認識的深化。角的概念及度量在之前已學，這里鄰補角、對頂角等概念是對角知識的拓展。命題、定理的學習建立在學生對基本數學概念和判斷的基礎上，進一步培養學生的邏輯思維能力。平移則是在學生對圖形有一定認知的基礎上，引入的一種圖形變換方式，與之前學習的圖形運動有一定關聯。 學生掌握的相交線與平行線相關知識，是后續學習三角形、四邊形等多邊形知識的基礎。在證明三角形內角和定理時，會運用平行線的性質將三角形的三個內角轉化到同一條直線上。命題、定理的學習模式和邏輯推理方法，為后續學習更復雜的數學定理和證明提供了范例。平移的知識為學習其他圖形變換（如旋轉、軸對稱）奠定基礎，同時在學習函數圖象的平移等內容時也會用到相關思想。
教學目標 1．掌握對頂角、鄰補角、垂線、垂線段的定義和性質，點到直線的距離；能快速正確地識別“三線八角”。 2．掌握兩直線平行的判定及性質，并能綜合運用平行線的判定與性質進行證明和計算。 3．掌握命題的概念及組成，掌握定理和命題的意義，會判斷命題的真假。 4．理解平移的性質，能按要求作出平移后的圖形，會利用平移解決生活中的問題。
教學重點 1．掌握對頂角、鄰補角、垂線、垂線段的定義和性質，點到直線的距離；能快速正確地識別“三線八角”。 2．掌握兩直線平行的判定及性質，并能綜合運用平行線的判定與性質進行證明和計算。 3．掌握命題的概念及組成，掌握定理和命題的意義，會判斷命題的真假。
教學難點 1．能綜合運用平行線的判定與性質進行證明和計算。 2．理解平移的性質，能按要求作出平移后的圖形，會利用平移解決生活中的問題。
學習活動設計
教師活動學生活動環節一：學習目標教師活動1： 師出示學習目標： 1．掌握對頂角、鄰補角、垂線、垂線段的定義和性質，點到直線的距離；能快速正確地識別“三線八角”． 2．掌握兩直線平行的判定及性質，并能綜合運用平行線的判定與性質進行證明和計算． 3．掌握命題的概念及組成，掌握定理和命題的意義，會判斷命題的真假． 4．理解平移的性質，能按要求作出平移后的圖形，會利用平移解決生活中的問題．學生活動1： 學生齊聲讀本課的學習目標活動意圖說明： 明確本節課的學習目標，使教師的教和學生的學有效結合在一起，激發學生的學習動力，提高學生課堂參與的興趣與積極性。環節二：知識框圖教師活動2： 出示知識框圖 學生活動2： 學生認真聽老師的講本章知識架構活動意圖說明： 通過出示本章知識框圖，讓學生對本章所學內容有明確的了解，為進一步進行知識回顧做好準備環節三：回顧思考教師活動3： 請你帶著下面的問題，復習一下全章的內容吧． （1）下面是本章學到的一些數學名詞：鄰補角、對頂角、垂直、平行、同位角、內錯角、同旁內角、平移，你能用自己的語言描述它們嗎？你能分別畫一個圖形表示它們嗎？ （2）兩條直線相交形成的四個角具有怎樣的位置關系和數量關系？ （3）什么是點到直線的距離？你會度量嗎？請舉例說明． （4）怎樣判定兩條直線是否平行？平行線有什么性質？對比平行線的性質和直線平行的判定方法，它們有什么異同？ （5）什么是命題？如何判斷一個命題是正確的還是錯誤的？請結合具體例子說明． （6）圖形平移時，連接各對應點的線段有什么關系？如何利用平移設計圖案？ 1．下面是本章學到的一些數學名詞：鄰補角、對頂角、垂直、平行、同位角、內錯角、同旁內角、平移，你能用自己的語言描述它們嗎？你能分別畫一個圖形表示它們嗎？ 預設： ∠1 和∠2有一條公共邊OC，它們的另一邊互為反向延長線（ ∠1 和∠2互補），具有這種位置關系的兩個角，互為鄰補角。 ∠1 和∠3有一個公共頂點O，并且∠1 的兩邊分別是∠3的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角。 當兩條直線a，b相交所成的四個角中，有一個角是直角時，我們就說a與b互相垂直．垂直是相交的一種特殊情形. 兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。 在同一平面內，當直線a，b不相交時，我們說直線 a 與 b 互相平行． 如圖中的∠1和∠5，這兩個角分別在直線AB、CD的同一側（上方），并且都在直線EF的同側（右側），具有這種位置關系的一對角叫作同位角． 如圖中的∠3和∠5，這兩個角都在直線AB、CD之間，并且分別在直線EF兩側（∠3在直線EF的左側，∠5在直線EF的右側）．具有這種位置關系的一對角叫作內錯角。 如圖中的∠3和∠6，這兩個角雖然都在直線AB、CD之間，但是它們在直線EF同一旁（左側），具有這種位置關系的一對角叫作同旁內角． 一般地，在平面內，將一個圖形按某一方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫作平移。 2．兩條直線相交形成的四個角具有怎樣的位置關系和數量關系？ 預設： 位置關系：對頂角，鄰補角 數量關系：對頂角相等，鄰補角互補 3．什么是點到直線的距離？你會度量嗎？請舉例說明． 預設： 直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離． 4．怎樣判定兩條直線是否平行？平行線有什么性質？對比平行線的性質和直線平行的判定方法，它們有什么異同？ 預設： 判定：同位角相等，兩直線平行 內錯角相等，兩直線平行 同旁內角互補，兩直線平行 性質：兩直線平行，同位角相等 兩直線平行，內錯角相等 兩直線平行，同旁內角互補 5．什么是命題？如何判斷一個命題是正確的還是錯誤的？請結合具體例子說明． 預設：可以判斷為正確 （或真）或錯誤 （或假）的陳述語句，叫作命題 。 判斷一個命題真命題還是假命題，首先找出此命題的題設和結論，然后看題設成立時結論是否一定成立，如果結論一定成立，此命題就是真命題，否則，就是假命題． 6．圖形平移時，連接各對應點的線段有什么關系？如何利用平移設計圖案？ 預設：圖形平移時，連接各對應點的線段平行 （或在同一條直線上）且相等 學生活動3： 學生先獨立思考，然后在小組合作探究中完成老師提出的問題活動意圖說明： 以問題串的形式創設情境，引起學生的認知沖突，使學生對舊知識設疑并回顧，從而激發學生的學習興趣和求知欲望環節四：考點梳理教師活動4： 考點一：相交線所成的角 解題策略：解決相交線所成的角應注意的三個問題 1．當兩直線相交時，分清對頂角、鄰補角，考慮對頂角、鄰補角的性質． 2．有垂直時，考慮直角、互余關系． 3．有角的平分線時，考慮角平分線的性質． 例1：如圖，直線 AB，CD 相交于點 O，OE⊥AB，∠COE＝60°，求∠BOD 的度數． 解：∵OE⊥AB， ∴∠AOE＝90°． ∵∠COE＝60°， ∴∠AOC＝30°． ∵AB 與 CD 相交于點 O， ∴∠BOD＝∠AOC＝30°． 考點二：平行線的性質與判定的綜合應用 解題策略：平行線的判定是用角的數量關系推出兩直線的位置關系，平行線的性質是用兩直線的位置關系得到角的數量關系，性質和判定恰好是互為“因果”關系．因此，“欲證平行用判定，已知平行用性質”． 例2：如圖，CD⊥AB 于點 D．點 F 是 BC 上任意一點，FE⊥AB 于點 E，∠1＝∠2，∠3＝62°，求∠BCA 的度數． 解：∵CD⊥AB，FE⊥AB， ∴∠BEF＝∠BDC＝90°． ∴FE//CD． ∴∠2＝∠BCD． ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BCD． ∴DG//BC． ∴∠BCA＝∠3＝62°． 考點三：輔助線在平行線中的應用 解題策略：在一些幾何問題中，如果單靠圖形中現有的條件無法解決問題，那么可結合已知條件和圖形的特點、添加輔助線，使題目中的已知條件和所求結論能很好地聯系起來，從而使問題得到解決． 例3：如圖，已知AB//CD，AC//GF，∠CAH＝34°． （1）求∠GFD的度數． （2）若HG平分∠EGF，與BA的延長線交于點H，且∠H＝10°，求∠BEG的度數． 解：（1）∵AB//CD， ∴∠C＝∠CAH＝34°． ∵AC//GF， ∴∠GFD＝∠C＝34°． （2）過點G作GI//AB， 則∠HGI＝∠H＝10°． ∵AB//CD， ∴GI//CD， ∴∠IGF＝∠GFD＝34°. ∴∠HGF＝∠HGI＋∠IGF＝10°＋34°＝44°． 又∵HG平分∠EGF， ∴∠HGE＝∠HGF＝44°， ∴∠BEG＝∠EGI＝∠HGE＋∠HGI＝44°＋10°＝54°． 考點四：平移 解題策略：平移是圖形變換中一種最基本的形式．當已知條件中含有可以進行平移變換的因素時，要利用這些因素，巧妙地進行平移，只有這樣，才會更容易發現已知條件之間的內在聯系，從而找到解決問題的途徑． 例4：如圖，將直角三角形 ABC 沿直線 BC 向右平移后，到達三角形 DEF 的位置．若 AB＝8 cm，BE＝4 cm，DH＝3 cm，求圖中陰影部分的面積． 解：由平移的性質，可知 S三角形ABC＝S三角形DEF，AB＝DE． 故 HE＝DE－DH＝AB－DH＝8－3＝5（cm）． ∵陰影部分的面積等于梯形 ABEH 的面積， ∴ S陰影＝(AB＋HE)·BE＝×(8＋5)×4＝26（cm2）．學生活動4： 學生先獨立完成例題，然后小組合作交流，并派代表班內匯報交流活動意圖說明： 通過例題，考查查學生對應用對頂角、鄰補角、垂線、平移、綜合運用平行線的判定與性質進行證明和計算、添加輔助線等知識的掌握情況，提高學生綜合運用知識解決相關問題能力．環節五：課堂小結教師活動5： 問題：請同學們總結一下本節課所復習的主要內容？ 教師通過學生的回答，進行歸納學生活動5： 學生積極對本節課所復習的內容進行總結活動意圖說明： 通過學生自己回顧、總結、梳理所復習的知識，將所學的知識進一步整合，完善本章知識體系。
板書設計 課題：第七章 相交線與平行線 章末復習一、知識框圖 二、考點梳理 1.相交線所成的角 2.平行線的性質與判定的綜合應用 3.輔助線在平行線中的應用 4.平移教師板演區學生展示區
課堂練習 【知識技能類作業】 必做題： 1．如圖，欲得到AF//CD，可根據（　　）． A．∠1=∠2 B．∠6=∠5 C．∠1=∠5 D．∠1=∠3 答案：D 2．如圖，直線l1//l2，∠α＝∠β，∠1＝50°，則∠2的度數為( ) A．130° B．120° C．115° D．100° 答案：A 3．如圖，相鄰兩線段互相垂直，甲、乙兩人同時從點A處出發到點C處，甲沿著“A→B→C”的路線走，乙沿著“A→D→E→F→G→H→C的路線走，若他們的行走速度相同，則甲、乙兩人誰先到C處？ ． 答案：甲、乙兩人同時達到 選做題： 4．給出下列命題：①若，則；②若，則x，y同時為0；③兩個負數的差一定是負數④如果，那么，其中真命題的個數為（ ） A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 答案：A 【綜合拓展類作業】 5．圖①是一張長方形的紙帶，將這張紙帶沿折疊成圖②，再沿折疊成圖③． (1)若，請你求出圖③中的度數； (2)若，請你直接用含α的式子表示圖③中的度數． 解：（1）在圖①中，∵，， ∴， ∴， 在圖②中，， 在圖③中，由折疊的性質得：， ∴， （2）在圖①中， ∵，， ∴， ∴， 在圖②中，， 在圖③中，由折疊的性質得：， ∴，
作業設計 【知識技能類作業】 必做題： 1．如圖，在下列四組條件中，不能判斷AB//CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠ABD＝∠BDC D．∠ABC+∠BCD＝180° 答案：A 2．西苑小區有一塊長方形空地，現準備建一條馬路，如圖，有圖①和圖②兩種設計方案，若圖中，兩種設計方案中圖①馬路總面積為，圖②總面積為，則 ．（用“”、“”、“”填空） 答案： 3．如圖，直線，，相交于點O，，平分． (1)的對頂角是________，的鄰補角是________； (2)若，求的度數． 解：（1）的對頂角為， 的鄰補角為和． （2）∵平分， ∴， 設，則，根據題意得： ， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 選做題： 4．下列說法中①過一點有且只有一條直線與已知直線平行；②在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；③兩直線平行，同旁內角互補；④直線外一點到已知直線的垂線段就是點到直線的距離，其中正確的有（　　）個 A．4個 B．3個 C．2個 D．1個 答案：C 【綜合拓展類作業】 5．如圖①，已知AD//BC，∠B=∠D=120°． （1）請問：AB與CD平行嗎？為什么？ （2）若點E、F在線段CD上，且滿足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如圖②，求∠FAC的度數． （3）若點E在直線CD上，且滿足∠EAC=∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（請自己畫出正確圖形，并解答）． 解：（1）平行． 如圖①．∵AD//BC，∴∠A+∠B=180°． 又∵∠B=∠D=120°，∴∠D+∠A=180°，∴AB//CD； （2）如圖②．∵AD//BC，∠B=∠D=120°，∴∠DAB=60°． ∵AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，∴∠EAC=∠BAE，∠EAF=∠DAE， ∴∠FAC=∠EAC+∠EAF=（∠BAE+∠DAE）=∠DAB=30°； （3）①如圖3，當點E在線段CD上時， 由（1）可得AB//CD，∴∠ACD=∠BAC，∠AED=∠BAE． 又∵∠EAC=∠BAC，∴∠ACD：∠AED=2：3； ②如圖4，當點E在DC的延長線上時， 由（1）可得AB//CD，∴∠ACD=∠BAC，∠AED=∠BAE． 又∵∠EAC=∠BAC，∴∠ACD：∠AED=2：1． 綜上所述：∠ACD：∠AED=2：3或2：1．
教學反思 在教學過程中，采用思維導圖和問題串的方式幫助學生梳理知識框架，效果顯著。學生能直觀地看到相交線、平行線相關概念、性質和判定定理之間的聯系以及平行的應用——平移，構建起完整的知識體系。通過典型例題的探究和課堂練習，大部分學生對基礎知識的掌握較好，能夠運用所學定理解決簡單的幾何證明和計算問題，在小組討論探究中也激發了學生的學習積極性，促進了學生之間的思維碰撞。
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第七章 相交線與平行線
第七章 相交線與平行線
章末復習
1．掌握對頂角、鄰補角、垂線、垂線段的定義和性質，點到直線的距離；能快速正確地識別“三線八角”．
2．掌握兩直線平行的判定及性質，并能綜合運用平行線的判定與性質進行證明和計算．
3．掌握命題的概念及組成，掌握定理和命題的意義，會判斷命題的真假．
4．理解平移的性質，能按要求作出平移后的圖形，會利用平移解決生活中的問題．
相交線與平行線
相交線
平行線
兩條直線相交
兩條直線
被第三條直線所截
鄰補角、對頂角
垂線及其性質
點到直線的距離
同位角、內錯角、同旁內角
判定
性質
平移
請你帶著下面的問題，復習一下全章的內容吧．
1．下面是本章學到的一些數學名詞：鄰補角、對頂角、垂直、平行、同位角、內錯角、同旁內角、平移，你能用自己的語言描述它們嗎？你能分別畫一個圖形表示它們嗎？
2．兩條直線相交形成的四個角具有怎樣的位置關系和數量關系？
3．什么是點到直線的距離？你會度量嗎？請舉例說明．
4．怎樣判定兩條直線是否平行？平行線有什么性質？對比平行線的性質和直線平行的判定方法，它們有什么異同？
5．什么是命題？如何判斷一個命題是正確的還是錯誤的？請結合具體例子說明．
6．圖形平移時，連接各對應點的線段有什么關系？如何利用平移設計圖案？
1．下面是本章學到的一些數學名詞：鄰補角、對頂角、垂直、平行、同位角、內錯角、同旁內角、平移，你能用自己的語言描述它們嗎？你能分別畫一個圖形表示它們嗎？
∠1 和∠2有一條公共邊OC，它們的另一邊互為反向延長線（ ∠1 和∠2互補），具有這種位置關系的兩個角，互為鄰補角。
1．下面是本章學到的一些數學名詞：鄰補角、對頂角、垂直、平行、同位角、內錯角、同旁內角、平移，你能用自己的語言描述它們嗎？你能分別畫一個圖形表示它們嗎？
∠1 和∠3有一個公共頂點O，并且∠1 的兩邊分別是∠3的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角。
1．下面是本章學到的一些數學名詞：鄰補角、對頂角、垂直、平行、同位角、內錯角、同旁內角、平移，你能用自己的語言描述它們嗎？你能分別畫一個圖形表示它們嗎？
當兩條直線a，b相交所成的四個角中，有一個角是直角時，我們就說a與b互相垂直．垂直是相交的一種特殊情形.
兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。
1．下面是本章學到的一些數學名詞：鄰補角、對頂角、垂直、平行、同位角、內錯角、同旁內角、平移，你能用自己的語言描述它們嗎？你能分別畫一個圖形表示它們嗎？
在同一平面內，當直線a，b不相交時，我們說直線 a 與 b 互相平行．
1．下面是本章學到的一些數學名詞：鄰補角、對頂角、垂直、平行、同位角、內錯角、同旁內角、平移，你能用自己的語言描述它們嗎？你能分別畫一個圖形表示它們嗎？
如圖中的∠1和∠5，這兩個角分別在直線AB、CD的同一側（上方），并且都在直線EF的同側（右側），具有這種位置關系的一對角叫作同位角．
1．下面是本章學到的一些數學名詞：鄰補角、對頂角、垂直、平行、同位角、內錯角、同旁內角、平移，你能用自己的語言描述它們嗎？你能分別畫一個圖形表示它們嗎？
如圖中的∠3和∠5，這兩個角都在直線AB、CD之間，并且分別在直線EF兩側（∠3在直線EF的左側，∠5在直線EF的右側）．具有這種位置關系的一對角叫作內錯角。
1．下面是本章學到的一些數學名詞：鄰補角、對頂角、垂直、平行、同位角、內錯角、同旁內角、平移，你能用自己的語言描述它們嗎？你能分別畫一個圖形表示它們嗎？
如圖中的∠3和∠6，這兩個角雖然都在直線AB、CD之間，但是它們在直線EF同一旁（左側），具有這種位置關系的一對角叫作同旁內角．
1．下面是本章學到的一些數學名詞：鄰補角、對頂角、垂直、平行、同位角、內錯角、同旁內角、平移，你能用自己的語言描述它們嗎？你能分別畫一個圖形表示它們嗎？
一般地，在平面內，將一個圖形按某一方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫作平移。
2．兩條直線相交形成的四個角具有怎樣的位置關系和數量關系？
位置關系
對頂角
鄰補角
數量關系
對頂角相等
鄰補角互補
3．什么是點到直線的距離？你會度量嗎？請舉例說明．
直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．
4．怎樣判定兩條直線是否平行？平行線有什么性質？對比平行線的性質和直線平行的判定方法，它們有什么異同？
同位角相等，兩直線平行
內錯角相等，兩直線平行
同旁內角互補，兩直線平行
兩直線平行，同位角相等
兩直線平行，內錯角相等
兩直線平行，同旁內角互補
判定
性質
5．什么是命題？如何判斷一個命題是正確的還是錯誤的？請結合具體例子說明．
可以判斷為正確 （或真）或錯誤 （或假）的陳述語句，叫作命題 。
判斷一個命題真命題還是假命題，首先找出此命題的題設和結論，然后看題設成立時結論是否一定成立，如果結論一定成立，此命題就是真命題，否則，就是假命題．
6．圖形平移時，連接各對應點的線段有什么關系？如何利用平移設計圖案？
圖形平移時，連接各對應點的線段平行 （或在同一條直線上）且相等
確定
基本圖形
設計
平移方向和距離
進行
平移操作
考點一：相交線所成的角
解決相交線所成的角應注意的三個問題
1．當兩直線相交時，分清對頂角、鄰補角，考慮對頂角、鄰補角的性質．
2．有垂直時，考慮直角、互余關系．
3．有角的平分線時，考慮角平分線的性質．
考點一：相交線所成的角
例1：如圖，直線 AB，CD 相交于點 O，OE⊥AB，∠COE＝60°，求∠BOD 的度數．
A
O
B
D
E
C
解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°．
∵∠COE＝60°，
∴∠AOC＝30°．
∵AB 與 CD 相交于點 O，
∴∠BOD＝∠AOC＝30°．
考點二：平行線的性質與判定的綜合應用
平行線的判定是用角的數量關系推出兩直線的位置關系，平行線的性質是用兩直線的位置關系得到角的數量關系，性質和判定恰好是互為“因果”關系．因此，“欲證平行用判定，已知平行用性質”．
考點二：平行線的性質與判定的綜合應用
例2：如圖，CD⊥AB 于點 D．點 F 是 BC 上任意一點，FE⊥AB 于點 E，∠1＝∠2，∠3＝62°，求∠BCA 的度數．
A
B
C
2
1
3
E
D
G
F
解：∵CD⊥AB，FE⊥AB，
∴∠BEF＝∠BDC＝90°．
∴FE//CD．
∴∠2＝∠BCD．
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD．
∴DG//BC．
∴∠BCA＝∠3＝62°．
考點三：輔助線在平行線中的應用
在一些幾何問題中，如果單靠圖形中現有的條件無法解決問題，那么可結合已知條件和圖形的特點、添加輔助線，使題目中的已知條件和所求結論能很好地聯系起來，從而使問題得到解決．
考點三：輔助線在平行線中的應用
例3：如圖，已知ab//cd，ac//gf，∠cah＝34°．
（1）求∠gfd的度數．
（2）若hg平分∠egf，與ba的延長線交于點h，且∠h＝10°，求∠beg的度數．
解：（1）∵AB//CD，
∴∠C＝∠CAH＝34°．
∵AC//GF，
∴∠GFD＝∠C＝34°．
C
F
D
H
A
B
E
G
考點三：輔助線在平行線中的應用
例3：如圖，已知ab//cd，ac//gf，∠cah＝34°．
（2）若hg平分∠egf，與ba的延長線交于點h，且∠h＝10°，求∠beg的度數．
C
F
D
H
A
B
E
G
（2）過點G作GI//AB，
則∠HGI＝∠H＝10°．
∵AB//CD，
∴GI//CD，
∴∠IGF＝∠GFD＝34°.
∴∠HGF＝∠HGI＋∠IGF＝10°＋34°＝44°．
又∵HG平分∠EGF，
∴∠HGE＝∠HGF＝44°，
∴∠BEG＝∠EGI＝∠HGE＋∠HGI＝44°＋10°＝54°．
I
考點四：平移
平移是圖形變換中一種最基本的形式．當已知條件中含有可以進行平移變換的因素時，要利用這些因素，巧妙地進行平移，只有這樣，才會更容易發現已知條件之間的內在聯系，從而找到解決問題的途徑．
考點四：平移
解：由平移的性質，可知
S三角形ABC＝S三角形DEF，AB＝DE．
故 HE＝DE－DH＝AB－DH＝8－3＝5（cm）．
∵陰影部分的面積等于梯形 ABEH 的面積，
∴ S陰影＝(AB＋HE)·BE＝×(8＋5)×4＝26（cm2）．
例4：如圖，將直角三角形 ABC 沿直線 BC 向右平移后，到達三角形 DEF 的位置．若 AB＝8 cm，BE＝4 cm，DH＝3 cm，求圖中陰影部分的面積．
A
D
B
E
C
F
H
【知識技能類作業】必做題：
1．如圖，欲得到AF//CD，可根據（　　）．
A．∠1=∠2 B．∠6=∠5 C．∠1=∠5 D．∠1=∠3
D
【知識技能類作業】必做題：
2．如圖，直線l1//l2，∠α＝∠β，∠1＝50°，則∠2的度數為( )
A．130° B．120° C．115° D．100°
A
【知識技能類作業】必做題：
3．如圖，相鄰兩線段互相垂直，甲、乙兩人同時從點A處出發到點C處，甲沿著“A→B→C”的路線走，
乙沿著“A→D→E→F→G→H→C的路線走，
若他們的行走速度相同，則甲、乙兩人誰
先到C處？
．
甲、乙兩人同時達到
【知識技能類作業】選做題：
4．給出下列命題：
①若，則；
②若，則x，y同時為0；
③兩個負數的差一定是負數;
④如果，那么，其中真命題的個數為（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
A
【綜合拓展類作業】
5．圖①是一張長方形的紙帶，將這張紙帶沿折疊成圖②，再沿折疊成圖③．
(1)若，請你求出圖③中的度數；
(2)若，請你直接用含α的式子表示圖③中的度數．
【綜合拓展類作業】
解：（1）在圖①中，∵，，
∴，
∴，
在圖②中，，
在圖③中，由折疊的性質得：，
∴
【綜合拓展類作業】
（2）在圖①中，
∵，，
∴，
∴，
在圖②中，
，
在圖③中，由折疊的性質得：，
∴
請同學們總結一下本節課所復習的主要內容
【知識技能類作業】必做題：
1．如圖，在下列四組條件中，不能判斷AB//CD的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠ABD＝∠BDC D．∠ABC+∠BCD＝180°
A
【知識技能類作業】必做題：
2．西苑小區有一塊長方形空地，現準備建一條馬路，如圖，有圖①和圖②兩種設計方案，若圖中，兩種設計方案中圖①馬路總面積為，圖②總面積為，則 ．（用“”、“”、“”填空）
=
【知識技能類作業】必做題：
3．如圖，直線，，相交于點O，，平分．
(1)的對頂角是________，的鄰補角是______________；
(2)若，求的度數．
解：（2）∵平分，∴，
設，則，根據題意得：
，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知識技能類作業】選做題：
4．下列說法中①過一點有且只有一條直線與已知直線平行；②在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；③兩直線平行，同旁內角互補；④直線外一點到已知直線的垂線段就是點到直線的距離，其中正確的有（　　）個
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
C
【綜合拓展類作業】
5．如圖①，已知AD//BC，∠B=∠D=120°．
（1）請問：AB與CD平行嗎？為什么？
解：（1）平行．
如圖①．∵AD//BC，
∴∠A+∠B=180°．
又∵∠B=∠D=120°，
∴∠D+∠A=180°，
∴AB//CD；
【綜合拓展類作業】
（2）如圖②．∵AD//BC，∠B=∠D=120°，
∴∠DAB=60°．
∵AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，
∴∠EAC=∠BAE，∠EAF=∠DAE，
∴∠FAC=∠EAC+∠EAF=（∠BAE+∠DAE）=∠DAB=30°；
5．如圖①，已知AD//BC，∠B=∠D=120°．
（2）若點E、F在線段CD上，且滿足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如圖②，求∠FAC的度數．
（3）①如圖3，當點E在線段CD上時，
由（1）可得AB//CD，∴∠ACD=∠BAC，∠AED=∠BAE．
又∵∠EAC=∠BAC，∴∠ACD：∠AED=2：3；
②如圖4，當點E在DC的延長線上時，
由（1）可得AB//CD，∴∠ACD=∠BAC，∠AED=∠BAE．
又∵∠EAC=∠BAC，∴∠ACD：∠AED=2：1．
綜上所述：∠ACD：∠AED=2：3或2：1．
【綜合拓展類作業】
5．如圖①，已知AD//BC，∠B=∠D=120°．
（3）若點E在直線CD上，且滿足∠EAC=∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（請自己畫出正確圖形，并解答）．中小學教育資源及組卷應用平臺
同步探究學案
課題 第七章 相交線與平行線 章末復習 單元 第七章 學科 數學 年級 七年級
學習 目標 1．掌握對頂角、鄰補角、垂線、垂線段的定義和性質，點到直線的距離；能快速正確地識別“三線八角”． 2．掌握兩直線平行的判定及性質，并能綜合運用平行線的判定與性質進行證明和計算． 3．掌握命題的概念及組成，掌握定理和命題的意義，會判斷命題的真假． 4．理解平移的性質，能按要求作出平移后的圖形，會利用平移解決生活中的問題．
重點 1．掌握對頂角、鄰補角、垂線、垂線段的定義和性質，點到直線的距離；能快速正確地識別“三線八角”。 2．掌握兩直線平行的判定及性質，并能綜合運用平行線的判定與性質進行證明和計算。 3．掌握命題的概念及組成，掌握定理和命題的意義，會判斷命題的真假。
難點 1．能綜合運用平行線的判定與性質進行證明和計算。 2．理解平移的性質，能按要求作出平移后的圖形，會利用平移解決生活中的問題。
探究過程
導入新課 【引入思考】 本章知識結構圖
新知探究 本節課來研究： 請你帶著下面的問題，復習一下全章的內容吧。 （1）下面是本章學到的一些數學名詞：鄰補角、對頂角、垂直、平行、同位角、內錯角、同旁內角、平移，你能用自己的語言描述它們嗎？你能分別畫一個圖形表示它們嗎？ （2）兩條直線相交形成的四個角具有怎樣的位置關系和數量關系？ （3）什么是點到直線的距離？你會度量嗎？請舉例說明． （4）怎樣判定兩條直線是否平行？平行線有什么性質？對比平行線的性質和直線平行的判定方法，它們有什么異同？ （5）什么是命題？如何判斷一個命題是正確的還是錯誤的？請結合具體例子說明． （6）圖形平移時，連接各對應點的線段有什么關系？如何利用平移設計圖案？ 考點梳理： 考點一：相交線所成的角 解題策略：解決相交線所成的角應注意的三個問題 1．當兩直線相交時，分清對頂角、鄰補角，考慮對頂角、鄰補角的性質． 2．有垂直時，考慮直角、互余關系． 3．有角的平分線時，考慮角平分線的性質． 例1：如圖，直線 AB，CD 相交于點 O，OE⊥AB，∠COE＝60°，求∠BOD 的度數． 考點二：平行線的性質與判定的綜合應用 解題策略：平行線的判定是用角的數量關系推出兩直線的位置關系，平行線的性質是用兩直線的位置關系得到角的數量關系，性質和判定恰好是互為“因果”關系．因此，“欲證平行用判定，已知平行用性質”． 例2：如圖，CD⊥AB 于點 D．點 F 是 BC 上任意一點，FE⊥AB 于點 E，∠1＝∠2，∠3＝62°，求∠BCA 的度數． 考點三：輔助線在平行線中的應用 解題策略：在一些幾何問題中，如果單靠圖形中現有的條件無法解決問題，那么可結合已知條件和圖形的特點、添加輔助線，使題目中的已知條件和所求結論能很好地聯系起來，從而使問題得到解決． 例3：如圖，已知AB//CD，AC//GF，∠CAH＝34°． （1）求∠GFD的度數． （2）若HG平分∠EGF，與BA的延長線交于點H，且∠H＝10°，求∠BEG的度數． 考點四：平移 解題策略：平移是圖形變換中一種最基本的形式．當已知條件中含有可以進行平移變換的因素時，要利用這些因素，巧妙地進行平移，只有這樣，才會更容易發現已知條件之間的內在聯系，從而找到解決問題的途徑． 例4：如圖，將直角三角形 ABC 沿直線 BC 向右平移后，到達三角形 DEF 的位置．若 AB＝8 cm，BE＝4 cm，DH＝3 cm，求圖中陰影部分的面積．
課堂練習 【知識技能類作業】 必做題： 1．如圖，欲得到AF//CD，可根據（　　）． A．∠1=∠2 B．∠6=∠5 C．∠1=∠5 D．∠1=∠3 第1題圖 第2題圖 第3題圖 2．如圖，直線l1//l2，∠α＝∠β，∠1＝50°，則∠2的度數為( ) A．130° B．120° C．115° D．100° 3．如圖，相鄰兩線段互相垂直，甲、乙兩人同時從點A處出發到點C處，甲沿著“A→B→C”的路線走，乙沿著“A→D→E→F→G→H→C的路線走，若他們的行走速度相同，則甲、乙兩人誰先到C處？ ． 選做題： 4．給出下列命題：①若，則；②若，則x，y同時為0；③兩個負數的差一定是負數④如果，那么，其中真命題的個數為（ ） A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 【綜合拓展類作業】 5．圖①是一張長方形的紙帶，將這張紙帶沿折疊成圖②，再沿折疊成圖③． (1)若，請你求出圖③中的度數； (2)若，請你直接用含α的式子表示圖③中的度數．
課堂小結 說一說：今天這節課，你都有哪些收獲？
作業設計 【知識技能類作業】 必做題： 1．如圖，在下列四組條件中，不能判斷AB//CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠ABD＝∠BDC D．∠ABC+∠BCD＝180° 第1題圖 第2題圖 2．西苑小區有一塊長方形空地，現準備建一條馬路，如圖，有圖①和圖②兩種設計方案，若圖中，兩種設計方案中圖①馬路總面積為，圖②總面積為，則 ．（用“”、“”、“”填空） 3．如圖，直線，，相交于點O，，平分． (1)的對頂角是________，的鄰補角是________； (2)若，求的度數． 選做題： 4．下列說法中①過一點有且只有一條直線與已知直線平行；②在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；③兩直線平行，同旁內角互補；④直線外一點到已知直線的垂線段就是點到直線的距離，其中正確的有（　　）個 A．4個 B．3個 C．2個 D．1個 【綜合拓展類作業】 5．如圖①，已知AD//BC，∠B=∠D=120°． （1）請問：AB與CD平行嗎？為什么？ （2）若點E、F在線段CD上，且滿足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如圖②，求∠FAC的度數． （3）若點E在直線CD上，且滿足∠EAC=∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（請自己畫出正確圖形，并解答）．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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