資源簡介

第八章 實數
8.1 第2課時 算術平方根
【學習目標】
1.了解算術平方根的概念和意義.
2. 會求一些非負數的算術平方根，能運用算術平方根進行計算求值，解決實際問題.
3. 會用計算器和估算的方法求一個非負數的算術平方根，并借此過程感受無限不循環的概念.
4.能用估算的方法確定無理數的大致范圍，通過估算的訓練感受其在實際生活中的意義.
【學習重點】了解算術平方根的概念，會求一些非負數的算術平方根.
【學習難點】難點：會求一些非負數的算術平方根.
【自主學習】
學校要舉行美術作品比賽，小美畫了一幅面積為25 dm 的正方形油畫，請問這幅正方形油畫的邊長是多少
問題 1：這幅正方形油畫的邊長是多少
問題 2：你是怎么得出這個結果的呢
【合作探究】
探究點一、算術平方根的概念和性質
正方形的面積/dm2 4/25 1 9 16 36
長方形的面積/dm2
問題 1：結合平方根的概念，回答各正方形的邊長與面積之間有什么關系
問題 2：以上數據中，正方形的面積和邊長的大小有什么關系
知識要點: 正數 a 有兩個平方根，其中正的平方根 叫作 a 的_________. a 的算術平方根用 來表示 .
規定：0 的算術平方根是 0. 0的算數平方根也記為.
性質 1：一個正數的算術平方根是正數.
性質 2：0 的算術平方根是 0.
性質 3：負數沒有算術平方根.
性質 4：被開方數越大，對應的算術平方根也越大.
【典型例題】
例1 求下列各數的算術平方根：
(1) 100； (2) 49/64 ； (3) 0.0001.
解：(1) 因為 102 = 100，所以100 的算術平方根是10，即 = 10.
(2) 因為 (7/8)2= 49/64 ，所以 49/64 的算術平方根是 7/8 ，即= 7/8.
(3)因為 0.012 = 0.000 1，所以 0.000的算術平方根是0.01，即 = 0.01.
【練一練】
1. 求下列各數的算術平方根.
(1) 121； (2) 0； (3) 9/64 ； (4) 0.25.
2. 已知 3＋a 的算術平方根是 5，則 a 的值為_________.
探究點二、算術平方根的估算及大小比較
剪一剪，拼一拼：能否用兩個面積為 1 dm2 的小正方形剪拼成一個面積為2 dm2 的大正方形？
回憶三角形三邊之間的關系， 究竟是一個怎么樣的數？
算一算：估算 的大小.
(1) 比較 1，，2 之間的大小；
(2) 比較1.4，，1.5 之間的大小；
(3) 比較 1.41，√2，1.42 之間的大小.
思考：無限不循環小數是指小數位數無限，且小數部分不循環的小數. 你以前見過這樣的數嗎
典型例題】
例2 (1) 估計與 最接近的兩個整數是多少？
(2) 估計與 最接近的一個整數是多少？
探究點三、用計算器求一個數的算術平方根
探索：用計算器求下列各式的值：
(1) = ；(2) = (精確到0.001) .
合作探究 當“天問一號”火星探測器的速度大于第二宇宙速度 v (單位：m/s) 時，它就會克服地球引力，永遠離開地球，飛向火星. v 的大小滿足 v = 2gR，其中 g 是地球表面的重力加速度，g ≈ 9.8 (單位：m/s2)，R 是地球半徑， R ≈ 6.4×106 (單位：m). 怎樣求 v 呢
算術平方根的規律
(1) 利用計算器計算下表中的算術平方根，并將計算結果填在表中，你發現了什么規律 你能說出其中的道理嗎
規律：被開方數的小數點每向右移動______位，它的算術平方根的小數點就向右移動_______位；被開方數的小數點每向左移動_______位，它的算術平方根的小數點就向左移動_______位.
(2)用計算器計算(精確到 0.001)，并利用你在 (1) 中發現的規律說出 ,, 的近似值. 你能根據的近似值直接得到 的近似值是多少嗎
【典型例題】
例3 小麗想用一塊面積為 400 cm2 的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為 300 cm2 的長方形紙片，使它的長與寬的比為 3∶2. 但她不知道能否裁得出來，正在發愁，小明見了說：“別發愁，一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片!”你同意小明的說法嗎 小麗能用這塊紙片裁出想要的紙片嗎
分析：可根據長寬之比為 3:2 和邊長與面積的關系設方程，得到長方形的長和寬，再與正方形的邊長作比較.估計邊長的大小可用前面學習的方法.
【練一練】1. 比較下列各組數的大小.
(1) 與 2.24； (2) 與 0.5； (3) 與 1.
課堂檢測
1.4的算術平方根是 (　　)
A. ±2 B. 2 C. -2 D.
2. 化簡 的結果為 (　　)
A.±5 B.25 C.－5 D. 5
3. 下列說法正確的是 (　　)
A. 0的算術平方根是0 B. 9是3的算術平方根
C. ± 3是9的算術平方根 D. －3是9的算術平方根
4. 計算：(1)－ ＝______；(2) ＋ ＝_______ .
5. (1)若 ＋｜n｜＝0，則m＝_______，n＝_________；
(2)已知 ＋ ＝0，則 (a－b)2025 的值為________.
6. 教材P42例3變式求下列各數(式）的算術平方根：
(1) 121； (2) 21/4 ； 　 (3)
參考答案
【自主學習】
問題1 5 dm 問題2 由正方形的面積公式，通過平方和開平方互為逆運算推算，且面積不能為負，所以得出這幅正方形油畫的邊長為 5 dm.
【合作探究】
探究點一、算術平方根的概念和性質
問題1 正方形的邊長是面積值的正平方根.
問題2 面積越大，邊長越大. 知識要點 算數平方根
【典型例題】
例1（1） = 10. （2） = . （3） = 0.01
【練一練】
1.(1) 11. (2) 0 . (3) 3/8 . (4)0.5. 2. 22
探究點二、算術平方根的估算及大小比較
算一算 （1）因為 1 = 1，() =2，2 = 4. 所以1<<2.
（2）因為1.4 = 1.96，1.5 =2.25. 所以1.4<<1.5.
（3）因為1.41 =1.9881，1.42 =2.0164. 所以1.41<<1.42.
思考 實際上，很多正有理數的算術平方根 (例如，， 等)都是無限不循環小數.
【典型例題】例2 （1）解：因為 32=9，42=16，所以3 < < 4．（2）3.52 = 12.25，
所以 < 3.5 .所以最接近的整數是 3 .
探究點三、用計算器求一個數的算術平方根
探索 56 1.414
合作探究 由v =2gR及v的實際意義，得v=，其中g ≈9.8(單位：m/s2 )，R≈6.4×106(單位：m).用計算器求得v≈ = 1.12×104.因此，第二宇宙速度v約為 1.12×104 m/s，即 11.2 km/s.
算術平方根的規律
規律 2 1 2 1
(2)小數點只移動了一位，不符合規律...不能直接得到值.
【典型例題】
例3 解：設長方形的長為 3x cm，則寬為 2x cm. 根據邊長與面積的關系，得3x·2x = 300，
6x2 = 300，x2 = 50.由邊長的實際意義，得 x =.因此長方形紙片的長為 3 cm.因為 50 > 49，所以 > 7.由上可知 3 > 21，即長方形紙片的長應該大于21 cm.
因為 = 20，所以正方形紙片的邊長只有20 cm.這樣，長方形紙片的長將大于正方形紙片的邊長. 答：不同意小明的說法，小麗不能用這塊紙片裁出想要的紙片.
【練一練】3（1）解：(1) 因為 ()2 = 5，2.242 = 5.0176，所以 < 2.24．
（2）因為()2 = 5，22 = 4，所以＞2. 所以 1＞1.
所以（ 1）/2＞1/2 ，即（ 1）/2＞0.5.
（3） 因為()2 = 5，32 = 9，所以＜3. 所以 1＜2.
所以 （ 1）/2＜2/2 ，即（ 1）/2＜1.
課堂檢測
1. B 2. D 3. A 4. －0.1 9.2　5. 0 0 0
6.解：(1)因為112＝121，所以121的算術平方根是11.
(2)因為( )2 ＝ ＝2 ，所以2的算術平方根是 .
(3)因為＝ ，又因為92＝81，所以＝9.而32＝9，所以 的算術平方根是3.第八章 實數
8.1 第1課時 平方根
【學習目標】
1. 了解平方根的概念，會用根號表示數的平方根.
2. 體會平方運算到求平方根的演變過程，理解二者的互逆關系，培養勤思考、勤動筆的習慣.
3. 會利用平方和開平方的互逆關系求某些非負數的平方根，對一些特殊的數及其平方根形成記憶.
【學習重點】平方根的概念及平方根的求法.
【學習難點】求非負數的平方根.
【自主學習】
“西蘭卡普”是一種土家族織錦的叫法，是土家族濃郁的民族特色和傳統文化的代表，亦是國家級非物質文化遺產.如圖，這張正方形的“西蘭卡普”面積為 4 m ，請問它的邊長是多少
問題 1：你算出的邊長是多少
問題 2：你是怎樣算出這個邊長的
【合作探究】
探究點一、平方根的概念
問題1：如果一個數的平方等于9，那么這個數是多少
問題2：填寫下表：
x2 1 16 0.36 49 1/25
x
思考1：上述表格得到的 x 值有什么特點
思考 2：求一個數與自身相乘積的運算叫作平方，那么知道一個數的平方，求這個數的運算叫什么
知識要點 一般地，如果一個數 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么這個數 x 叫作 a 的______或________. 求一個數的平方根的運算，叫作_______.
比較兩圖中的兩種運算的特點，你能發現什么？
總結：平方與開平方互為_________.根據這種互逆關系，可以求一個數的平方根.
【典型例題】
例1 分別求下列各數的平方根：
(1) 64； (2) 9/100 (3) 0.01.
【練一練】1.分別求下列各數的平方根：
(1) 16/9 (2) 1.44 (3) 121
2.判斷對錯:
(1) 8 是 64 的平方根； ( )
(2) －8 是 64 的平方根； ( )
(3) ±8 是 64 的平方根； ( )
(4) 一個數的平方等于81，則這個數是9. ( )
探究點二、平方根的性質
思考1：觀察以上平方和開平方的過程你有什么發現
思考2：1，4，9，1/4 的平方根是多少 它們有什么特點？
思考3：0 的平方根是多少
思考4：－1，－4，－9，－1/4 的平方根是多少
平方根的性質歸納
性質1：__________________________________；
性質2：__________________________________；
性質3：__________________________________.
追問：前面我們學了一個數的平方的書寫方式，那一個數的平方根又該如何表示呢
正數 a 的正的平方根記為“”，讀作“根號 a ”， a 叫作被開方數；
正數 a 的負的平方根記為“－ ”，讀作“負根號 a ”
0 的平方根記為 = 0
注意：只有當 a ≥ 0 時， 才有意義. 而當a ＜ 0 時，無意義.
【典型例題】
例2 下列各數有平方根嗎 如果有，求它的平方根；如果沒有，說明理由.
(1) 0.36； (2) －5； (3) (－4)2.
【練一練】
3. m－1 與 3－2m 是某正數的兩個不同的平方根，則 m 的值是( )
A. 4 B. 2 C. －2 D. －4/3
4. 求下列式子中 x 的值.
(1) x2 = 49 (2) 4x = 9
課堂檢測
1.16的平方根是(　　)
A.4 B.-4 C.±4 D.±8
2. 下列說法正確的是(　　)
A. 任何非負數都有兩個平方根
B. 一個正數的平方根仍然是正數
C. 只有正數才有平方根
D. 負數沒有平方根
3. 求下列各數（式）的平方根：
(1) 124/25 ； (2) 0.0001； (3) (－2)2.　
4. 求下列各式中x的值：
(1) 81x2－49＝0； 　(2) 49(x2＋1)＝50.
5. 一個正數的兩個平方根分別是2a＋1和a－4，求這個數.
參考答案
【自主學習】
問題1 面積＝邊長×邊長 邊長為 2 m
問題2 通過正方形的面積公式反推出來
【合作探究】
探究點一、平方根的概念
問題1 3或－3 問題2 ±1 ±4 ±0.6 ±7 ±1/5
思考1 都有兩個值，且這兩個值互為相反數 思考2 開平方
知識要點 平方根 二次方根 開平方
總結 逆運算
【典型例題】
例1 解：(1) 因為 ( ±8 )2 = 64，所以 64 的平方根是 ±8；
(2) 因為 (±3/10)2 = 9/100 ；所以 9/100 的平方根是 ±3/10；
(3) 因為 ( ±0.1)2 = 0.01，所以 0.01 的平方根是±0.1.
【練一練】1.解：(1) 因為 (±4/3)^2 = 16/9 ，所以 16/9 的平方根是 ±4/3.
(2) 因為 ( ±1.2 )2 = 1.44，所以 1.44 的平方根是 ±1.2.
(3) 因為 ( ±11)2 = 121，所以 121 的平方根是±11.
2.（1）√ （2）√ （3）√ （4）×
探究點二、平方根的性質
問題1 平方和開平方是一個互逆的過程
問題2 ±1，±2，±3，±1/2 有兩個平方根，且互為相反數
問題3 0 問題4 沒有平方根
平方根的性質歸納：正數有兩個平方根，它們互為相反數；0 的平方根是 0；負數沒有平方根.
【典型例題】例2 解：(1) 因為 0.36 是正數，所以 0.36 有兩個平方根，
± = ±0.6；
(2) 因為 －5 是負數，所以 －5 沒有平方根；
(3) 因為 (－4)2 = 16 是正數，所以 (－4)2 有兩個平方根，
±2 = ± = ±4.
3.B 分析：因為 m－1 和 3－2m是某正數的兩個不同的平方根，則有 m－1＋3－2m＝0，即 －m＋2＝0，解得 m＝2.
【練一練】4 解：(1) x = ± = ±7 .(2) x = 9/4 ， x = ± = ±3/2.
課堂檢測
1. C 2. D 3.解：(1)因為1＝49/25 ，(±7/5 )2＝49/25 ，所以1 的平方根為±7/5 .(2)因為(±0.01)2＝0.0001，所以0.0001的平方根是±0.01.
(3)因為(±2)2＝4＝(－2)2，所以(－2)2的平方根是±2.
4.(1)解：整理81x2－49＝0，得x2＝49/81 ，開平方得x＝±＝±7/9 .
(2)解：整理49(x2＋1)＝50，得x2＝1/49 ，開平方得x＝± ＝±1/7 .
5.解：由于這個正數的兩個平方根分別是2a＋1和a－4，則有2a＋1＋a－4＝0，
即3a－3＝0，解得a＝1.所以這個數為(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.第八章 實數
8.3 第2課時 實數的性質及運算
【學習目標】
1. 了解實數范圍內相反數、絕對值、倒數的意義，會求一個數的相反數、絕對值.
2. 清楚有理數的運算法則和運算律在實數范圍仍適用，能利用化簡對實數進行簡單的四則運算.
3. 會按要求用近似有限小數代替無理數，再進行計算.
4. 增強獨立思考、合作探究的能力，進一步利用類比的方法探究實數的性質.
【學習重點】實數范圍內相反數、絕對值、倒數的意義，利用實數的運算法則、運算律進行正確運算.
【學習難點】利用實數的運算法則、運算律進行正確運算.
【自主學習】
有理數中的幾個重要概念：
①相反數：
②絕對值：
③倒數：
思考：無理數也有相反數嗎？如果有怎么表示？有絕對值嗎？如果有怎么表示？有倒數嗎？如果有又該怎么表示？
【合作探究】
探究點一、實數的性質
填一填：
(1) 的相反數是_______；－π的相反數是_______；0的相反數是_______；
(2) ||＝______；|－π |＝_____；| 0 |＝_____.
(3) －5 的倒數為_____.
根據填空的內容，你能得出什么結論
要點歸納
1. 若 a是一個實數，則實數a的相反數為－a.
2. 一個正實數的絕對值是它本身；一個負實數的絕對值是它的相反數；0 的絕對值是 0.即設 a 表示一個實數，當a＞0時 ，則|a|=a，當a＝0時；|a|=0；當a＜0時.|a|=－a，
一個實數的絕對值就是它在數軸上的對應點與原點的距離.
3.若 a 是一個非零實數，則 a 的倒數為 1/a.
【典型例題】
例1 (1)分別寫出－，π－3.14 的相反數；
(2) 指出 － ，1－ 分別是什么數的相反數；
(3) 求 的絕對值；
(4) 已知一個數的絕對值是，求這個數.
【練一練】1. 分別求出下列各數(式)的相反數和絕對值：
(1) ； (2) ； (3) － .
2. 已知|a|=，則a的值為 ______.
探究點二、實數的運算
思考：根據實數的性質試著完成下列各題，并猜想有理數中學過的運算法則及運算律對實數是否適用
填空：設 a，b，c 是任意實數，則
（1）a + b =_________（加法交換律）；
（2）(a + b) + c =_________（加法結合律）；
（3）a + 0 = 0 + a =_________；
（4）a + (-a) = (-a) + a =_________；
（5）ab =_________（乘法交換律）；
（6）(ab)c =_________（乘法結合律）；
（7） 1 · a = a · 1 =_________；
（8）a(b + c) =_________（乘法對于加法的分配律），
(b + c)a =_________（乘法對于加法的分配律）；
（9）實數的減法運算規定為 a - b = a +_________ ；
（10）對于每一個非零實數 a，存在一個實數 b，滿足 a · b = b · a = 1，我們把b叫作a的＿＿＿；
（11）實數的除法運算（除數 b≠0），規定為 a÷b= a ·_____ ；
（12）實數有一條重要性質：如果 a≠0，b≠0， 那么 ab＿＿0.
歸納總結：實數之間不僅可以進行加、減、乘、除(除數不為0)、乘方運算，而且正數及0可以進行開平方運算，任意一個實數可以進行開立方運算.在進行實數的運算時，有理數的運算法則及運算性質等同樣適用.
實數的運算順序：(1) 先算乘方、開方；(2) 再算乘除，最后算加減；(3) 如果遇到括號，先進行括號里的運算.
【典型例題】
例2 計算下列各式的值：
（1）（）- ； （2）
【練一練】
3. 計算下列各式：
(1) 2＋3－5－3；
(2)|1－|＋|－|；
(3) －(＋)＋.
【典型例題】
例3 計算(結果保留小數點后兩位)：
(1) －； (2) π·.
【練一練】
4 計算 (結果保留小數點后兩位)：
(1) +π； (2) ×
例4 如圖，小明將一個小正方形 ABCD 和一個大正方形 CEFG 拼在了一起，其中小正方形的面積為 2 dm ，大正方形的面積為 3 dm ，請問這兩個正方形的邊長之和是多少 (結果保留兩位小數)
課堂檢測
1. － 的相反數為(　　)
A. B. C.3 D.-3
2.實數－的絕對值是(　　)
A.5 B. C.D.- D.
3.的倒數是(　　)
A. 2 B. －2 C. 1/2 D. －1/2
4. 如圖，數軸上的點A，B分別對應實數a，b，下列結論正確的是(　　)
A. a＞b B.｜a｜＞｜b｜
C.－a＜b D. a＋b＜0
5. 計算：
(1)－5； (2)｜3－π｜＋；
(3)＋｜－2｜－.
6. 已知x＋7的平方根是±3，2x－y－13的立方根是－2，求5x－6y的算術平方根.
參考答案
【自主學習】
①相反數：只有符號不同的兩個數互為相反數；
②絕對值：數軸上表示數 a 的點到原點的距離叫作數 a 的絕對值，用 | a | 來表示.
③倒數：如果兩個數的積是1，那么這兩個數互為倒數.
【合作探究】
探究點一、實數的性質
填一填 （1） π 0 （2） π 0 （3） 1/5
【典型例題】
例1 (1) ，3.14－π (2) ， －1 (3) 4 （4） 或
【練一練】1.(1) 相反數-15 絕對值15 (2)相反數 ；絕對值 (3) 相反數 絕對值 . 2. ±.
探究點二、實數的運算
（1）b + a；（2）a + (b + c)；（3）a （4）0；（5）ba；（6）a(bc)；（7） a；
（8）ab + ac，ba + ca ；（9）(-b)；（10）倒數;（11）1/b ；（12）≠.
【典型例題】
例2 5.
練一練
3. （1）－3 （2）－1 （3） 5
例3 (1) － ≈ 2.236－2.646 ＝－0.41；
(2) π· ≈3.142×1.442≈4.53.
【練一練】
4 (1) +π ≈2.236+3.142≈5.38
(2) × ≈1.732×1.141≈2.45
例4 解：因為小正方形的面積為 2 dm2，所以小正方形的邊長 BC 為 dm.
因為大正方形的面積為 3 dm ，所以大正方形的邊長 CG 為 dm.
所以邊長之和為：BC＋CG＝ ＋≈1.414＋1.732 ≈ 3.15 dm.
課堂檢測
1. A 2. B 3. C 4. C
5.(1)解：原式＝2－5＝－3. (2)解：原式＝π－3＋4－π＝1.
解：原式＝－3＋2－ －3/2 ＝－5/2 － .
6.解：因為x＋7的平方根是±3，所以x＋7＝(±3)2＝9，解得x＝2.因為2x－y－13的立方根是－2，所以2x－y－13＝(－2)3＝－8.即2×2－y－13＝－8，解得y＝－1.所以5x－6y＝5×2－6×(－1)＝16.則5x－6y的算術平方根為 ＝4.第八章 實數
8.2 立方根
【學習目標】
1. 通過類比推理，了解立方根的概念，區分平方根與立方根的不同，會用根號表示數的立方根，會用立方運算求千以內的完全立方數的立方根.
2. 能用有理數估計一個開立方不能開盡的數的立方根的大致范圍，形成估算的意識，培養估算能力.
3. 經歷運用計算器探求數學規律的過程，發展合情推理能力.
4. 體會數學與實際生活的緊密聯系，培養善于發現問題和提出問題的習慣.
【學習重點】會用根號表示立方根，求千以內的完全立方數的立方根.
【學習難點】求千以內的完全立方數的立方根.
【自主學習】
請問圖片中展示的物品是什么 若這個物體的體積為 216 cm ，思考如何求此物體的棱長.
(1) 它的形狀有什么特點
(2) 在這個問題中，涉及到什么計算問題
(3) 你能找出一個數，使它的立方等于216 嗎
【合作探究】
探究點一、立方根的概念及性質
算一算： ＝_____； ＝_____；
(0.5)3＝_____；(-0.5)3 ＝_____；
＝_____； ＝_____；＝_____.
思考 1：通過計算，你能發現正數、0、負數的立方與平方有什么不同之處嗎
思考 2：你能類比平方根的定義說出立方根的定義嗎
思考 3：你能類比開平方的定義說說什么是開立方嗎
思考 4：開立方與立方是什么關系
知識要點 一般地，如果一個數 x 的立方等于 a，即 x3 = a，那么這個數 x 就叫作 a 的_______或________．
開立方：求一個數的立方根的運算，叫作開立方.開立方與立方互為逆運算.
填一填： 根據立方根的意義填空：
因為 13 = 1，所以 1 的立方根是（　）；
因為( )3 = 0.064，所以 0.064 的立方根是（ 　 ）；
因為( )3 ＝ －8，所以 －8 的立方根是（ ）；
因為( )3 ＝ －1/8，所以－1/8 的立方根是（ ）；
因為( )3 ＝ 0，所以 0 的立方根是（　）.
你能發現正數的立方根有什么特點嗎 負數呢 0 的立方根是多少
立方根的性質
性質1：正數的立方根是正數；
性質2：負數的立方根是負數，
性質2：0的立方根是0.
立方根是它本身的數有 1，-1，0；平方根是它本身的數只有 0.
【典型例題】
例1 求下列各數的立方根.
(1) (－2)3； (2) 343； (3) －64； (4)
【練一練】1. 求下列各數的立方根.
(1) ﹣27； (2) (3) 0.216； (4) -5.
探究點二、互為相反數的兩個數的立方根的關系
計算：(1)因為 =____， =____，所以 ___ - ；
(2)因為 =___， = ____ , ___ -
(3)因為 =___， =____，所以 __
思考：(1)各題中被開方數有什么關系
(2)這些數的立方根有什么關系
(3)根據計算結果，可以得到什么初步結論
討論：(1) 表示 a 的立方根，那么 ()) 等于什么 等于什么
(2) 與 有什么關系
要點歸納：
結論 1：互為相反數的兩個數的立方根互為相反數，即______________.
結論2：“先開立方，再立方”與“先立方，再開立方”的結果相等，都等于原數，即_______________.
【典型例題】
例2求下列各式的值:
(1) ； (2) ； (3) .
【練一練】
1.的算術平方根是_________.
2. 若 與 的值互為相反數，則 x/y 的值為_____.
探究點三、利用計算器求立方根
由于一個數的立方根可能是無限不循環小數，所以我們可以利用計算器求一個數的立方根或它的近似值.
【典型例題】
例3 用計算器求下列各數的立方根：2197，3.
用計算器計算:
(1) ＝_______， ＝_______，＝_______ .
(2) ＝_______， ＝_______，
＝_______，＝_______，
觀察題(2)中的式子，你能發現什么規律
【典型例題】例4 若 ≈ 0.6694，則 ≈ _______.
變式：已知 ≈ 1.26， ≈12.6，用含 n 的式子表示 m. .
課堂檢測
1.27的立方根為 (　　)
A. ±3 B. 3 C.-3 D. 9
2. 下列說法正確的是 (　　)
A.正數有2個立方根 B-8的立方根是±2
C.負數沒有立方根 D.-1的立方根是-1
3. 將一塊體積為64cm3的正方體鋸成8塊同樣大小的小正方體木塊，則每個小正方體木塊的棱長為 (　　)
A. 2cm B. 3cm C. 4cm D.5cm
4. 計算：
(1) ＝________ ；(2) ＝_________；(3)－ ＝_________.
5. 若 ≈ 2.872， ≈ 28.72，則x ＝_______.
6. 求下列各式中的x：
(1)－3x3＝0.081； 　(2)(x－2)3＝729.
7. 一個長方體的長為9cm，寬為3cm，高為4cm，而另一個正方體的體積是它的2倍，求這個正方體的棱長.
參考答案
【自主學習】
(1) 是個正方體，各棱長相等 (2)根據體積求棱長 (3) 體積＝棱長3棱長＝6 cm
【合作探究】
探究點一、立方根的概念及性質
算一算 8 -8 0.125 -0.125 8/27 -8/27 0
思考 1 正數的立方和平方結果均為正數，0的平方和立方結果都是0，負數的平方是正數，立方是負數.
思考 2：一般地，如果一個數 x 的立方等于 a，即 x3 = a，那么這個數 x 就叫作 a 的立方根或三次方根．
思考 3：你能類比開平方的定義說說什么是開立方嗎
求一個數的立方根的運算，叫作開立方.
思考 4：開立方與立方互為逆運算.
填一填 1 0.4 0.4 -2 -2 1/2 1/2 0 0
【典型例題】
例1 －2 7 －4 5/3
【練一練】1.-3 3/2 0.6
探究點二、互為相反數的兩個數的立方根的關系
計算 （1）–2 –2 = （2）–3 3 = （3）–4 4 =
思考：(1)互為相反數. (2)互為相反數.
(3)互為相反數的兩個數的立方根也互為相反數.
討論 （1）(1) ＝ a，( ) ＝ a.（2）相等
要點歸納 ＝ () ＝ ＝
【典型例題】例2 8 0.1 4 【練一練】 2 2/3
探究點三、
【典型例題】例3 11 7 0.8 0.06 0.6 6 60
例4 6.694 變式訓練 m=1000n
課堂檢測
1.B 2.D 3.A 4. (1)－1/2 (2)－4 (3) 6 5. 23700
6. (1)解：x＝－0.3. (2)解：x＝11.
7.解：設正方體的棱長為a cm，則依題意得a3 ＝ 9×3×4×2 ＝ 216，
解得a＝6.故這個正方體的棱長為 6 cm.第八章 實數
8.3 第1課時 實數
【學習目標】
1. 經歷無理數的探究過程，了解無理數和實數的概念，會把實數進行分類.
2.了解實數與數軸上的點一一對應，能用數軸上的點表示實數，能比較實數的大小.
3. 通過實數的分類感受數學的嚴謹性以及數學結論的確定性.
【學習重點】對實數按照一定的標準進行分類,用數軸上的點表示實數，并比較實數的大小.
【學習難點】用數軸上的點表示實數,并比較實數的大小.
【自主學習】
(1)什么是有理數 有理數包括哪些類別
(2) 什么是無限不循環小數 我們接觸的最常見的無限不循環小數有哪些
展示視頻“萬物皆數”,了解無理數的起源.
【合作探究】
探究點一、無理數和實數的概念及實數分類
計算：把下列有理數寫成小數的形式：
5/2= ____ 3/5= ____ 27/4= ____ 11/9= ____ 9/11= ____
思考 1：觀察運算結果，請問你有什么發現 請同學們自主討論得出自己的結論.
思考 2：像 這樣的無限不循環小數屬于有理數嗎 為什么
思考 3：如果無限不循環小數不屬于有理數，通過閱讀教材P52說說它屬于哪一類數
知識要點 類比有理數，我們將無限不循環小數叫作________.
無理數的 3 種常見的表現形式有：
(1) 構造型的無限不循環小數 【如 0.301 001 0001···（每相鄰兩個1之間依次增加1個0)】 ；
(2) 具有特定意義的數(如 π)；
(3) 含有根號且被開方數不能被開盡的數(如 ).
我們將有理數和無理數統稱為實數.
思考 4：類比有理數的分類，你能給實數分類嗎
因為非零有理數和無理數都有正負之分，那么你能類比有理數的分類方法，按大小對實數分類嗎？
【典型例題】例1 將下列各數分別填入下列相應的括號內：
，0，，
0.252252225…(相鄰兩個5之間依次增加一個2)
無理數：{ }
有理數：{ }
正實數：{ }
負實數：{ }
【練一練】
1.下列說法中，正確的是（ ）.
A. 實數分為正實數和負實數 B. 無限小數都是無理數
C. 無理數都是無限小數 D. 帶根號的數都是無理數
2.有一個數值轉換器，其原理如圖所示，當輸入的x為 81 時，輸出的y是（ ）.
A. 9 B. C.3 D.
探究點二、實數與數軸上的點
演示1：以單位長度為直徑畫一個圓，它的周長等于 π. 如圖 ，從原點開始，將這個圓沿數軸向右滾動一周，圓上的一點由原點 O 到達點 O′，點 O′ 對應的數是多少
思考 1： 點O′ 對應的數是多少
思考 2： 點O′ 對應的數在數軸上的位置說明了什么
演示2：你能在數軸上表示出和-嗎？
兩個邊長為 1 的小正方形通過剪、拼 得到一個大正方形，由大正方形的面積為 2 可知其邊長為_______，從而說明邊長為1的小正方形的對角線長為____.
結合兩個演示思考下面的問題:
(1)回顧有理數在數軸上的表示，π， 與 － 在數軸上的對應位置說明了什么
歸納小結：每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示；反過來，數軸上的每一點都表示一個實數.
(2) 通過上述探究，比較 π，－ ，，0，1，2，3 的大小，并說明如何比較實數的大小.
要點歸納
要點 1：實數和數軸上的點是一一對應的.
要點 2：與有理數規定的大小一樣，數軸上右邊的點表示的實數比左邊的點表示的實數大.
要點 3：(1)正數大于零，負數小于零，正數大于負數；(2)兩個正數，絕對值大的數較大；(3)兩個負數，絕對值大的數反而小.
【典型例題】
例2 在數軸上表示下列各數，比較它們的大小，并用“ < ”連接它們.
1， ，－，π ，－
例3 如圖所示，數軸上 A，B 兩點表示的數分別為－1和 ，點 B 關于點 A 的對稱點為 C，求點 C 所表示的實數．
課堂檢測
1. 下列實數中，是無理數的是(　　)
A. 0.2 B. 1/2 C. D.－5
2. 下列各數：3.14159，π，√25 ，0.131131113…(相鄰的兩個3之間依次多一個1)，－，－1/7 ，其中無理數有(　　)
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
3. 下列說法中錯誤的是(　　)
A. 是有理數 B. 是無理數
C. 是有理數 D. 是分數
4. 如圖，數軸上A，B兩點表示的數分別為和4.1，則A，B兩點之間表示整數的點共有_______個.
5. 把下列各數填入相應的集合內：
- ，－ ， ， ， ，0，π，－ ，，
1.2020020002…(相鄰兩個2之間0的個數逐次加1).
①有理數集合：{ }.
②無理數集合：{ }.
③整數集合：{ }.
④分數集合：{ }.
⑤正實數集合：{ }.
⑥負實數集合：{ }.
參考答案
【自主學習】
(1)可以寫成分數形式的數是有理數，包括整數和分數.
(2)無限不循環小數是指小數點后有無限個數位，但沒有周期性的重復.我們接觸的最常見的無限不循環小數有 ，π等.
【合作探究】
探究點一、無理數和實數的概念及實數分類
計算 2.5 0.6 6.75 1.222… 0.8181…
思考1 任何一個有理數都可以寫成有限小數或無限循環小數的形式.
思考2 不屬于，因為有理數都可以化成有限小數或無限循環小數的形式.反過來，不能化成有限小數或無限循環小數的數不是有理數.√2不能化成有限小數或無限循環小數，所以√2不屬于有理數.
思考3 無理數 知識要點 無理數
思考4
【典型例題】
例1 無理數：{ ， ， ， ，0.252252225… }
有理數：{ ， ， ，0，， }
正實數：{ ， ， ， ， ，0.252252225… }
負實數：{ }
【練一練】
1.C 2.D
探究點二、實數與數軸上的點
問題1 π 問題2 無理數π可以在數軸上表示
演示2
（1）無理數也可以在數軸上表示出來
（2）－＜0＜1＜＜2＜3＜π，可以根據實數在數軸上對應的位置關系比較大小
【典型例題】例2 －＜－＜1＜＜π
例3 解：因為數軸上 A，B 兩點表示的數分別為－1和，所以點 B 到點 A 的距離為1＋，則點C到點A的距離為1＋.設點 C 表示的實數為 x，則點 A 到點C的距離為－1－x，所以－1－x＝1＋，所以 x ＝－2－.
課堂檢測
1. C 2. B 3. D 4. 3
5. 把下列各數填入相應的集合內：
- ，－ ， ， ， ，0，π，－ ，，
1.2020020002…(相鄰兩個2之間0的個數逐次加1).
①有理數集合：{ - , ， ，0，－ ， }.
②無理數集合：{ － ， ，π，1.2020020002… }.
③整數集合：{ ，0， }.
④分數集合：{ - ， ， － ， }.
⑤正實數集合：{ ， ， ，π，1.2020020002… }.
⑥負實數集合：{- ，－ ，－ ，}.

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