資源簡介

第七章 相交線與平行線
7.1.1 兩條直線相交
【學習目標】
1. 理解鄰補角、對頂角的概念，能運用對頂角相等、鄰補角互補的性質進行計算與說理.
2. 通過觀察、試驗、猜想、說理等活動，初步學會從幾何圖形中提出問題、發現問題、解決問題的方法.
3. 通過對對頂角、鄰補角性質的研究，體會它們在解決實際問題中的作用，感受數學的嚴謹性以及數學結論的確定性.
【學習重點】掌握對頂角相等，鄰補角互補的性質.
【學習難點】發現兩條直線相交時所形成的各類角的位置關系及數量關系
【自主學習】
如圖①，在之前的課本中我們學過有關線段和角的知識.如圖②，我們將角的兩邊反向延長，構成一個什么樣的圖形 在這個圖形中還有其他角嗎 如果有，這個圖形中共有幾個角 各角之間有什么樣的關系 這節課我們就來研究這個問題.
【合作探究】
探究點一、鄰補角與對頂角的概念.
1.畫一畫：任意畫出兩條直線 AB 和 CD 相交于點 O，按如圖所示標記.
討論 1：觀察圖中的四個角，∠1 和∠2 有怎樣的位置關系 ∠1 和∠2 的邊所在的位置有什么特點
歸納1：像∠1 和∠2這樣有一條公共邊，另一邊互為____________的兩個角，我們稱這兩個角互為___________.
【練一練】
1.下列各圖中，∠1 與∠2 是鄰補角的是 ( )
A B C
討論 2：鄰補角與補角有什么關系
討論 3：觀察圖中的∠1 與∠3 有怎樣的位置關系
歸納2：像∠1 和∠3這樣有一個公共頂點，一個角的兩邊分別是另一個角的_______________，我們稱這兩個角互為___________.
思考：上圖中還有哪些對頂角。
【練一練】
2.下列各圖中，∠1 與∠2 是對頂角的是 ( )
3.如圖所示，三條直線兩兩相交，你能說出圖中所有的對頂角、鄰補角嗎？
對頂角：
鄰補角：
探究點二、對頂角的性質.
思考：∠1 和∠2有什么樣的數量關系 ∠1和∠3又有什么樣的數量關系呢
討論 4：∠1 和∠3 的數量關系還可以通過幾何證明的方法得到嗎
證明：
【典型例題】
例1 如圖所示，直線 a，b 相交，∠1 = 40°，求∠2，∠3，∠4 的度數.
例2 教材P3 練習T3 變式.
(1)若∠1 + ∠3 = 80°，求各個角的度數.
(2)若∠1∶∠2 = 2∶ 7，求各個角的度數.
課堂檢測
1.下列圖形中，∠1 與∠2 是對頂角的是( ).
2. 下列圖形中的∠1 與∠2 互為鄰補角的是( ).
3. 如圖，直線 a，b 相交于一點. 若∠1 = 70°， 則∠2 的度數是( )
A.110° B.70° C.90° D.130°
4. 如圖是一把剪刀的簡筆畫，其中∠1 = 40°，則∠2 的度數為 __________ ，其理由是 : ________________________________.
5.如圖，直線 AB，CD，EF 相交于點 O，則∠AOD 的對頂角是________，∠AOC 的鄰補角是_______, 若∠AOC = 50°，則 ∠BOD =_______; ∠COB =_______.
第3題圖 第4題圖 第5題圖
6. 如圖，直線 AB，CD 相交于點 O. 若∠BOD = 42°，OA 平分∠COE，求∠DOE 的度數.
參考答案
【合作探究】
探究點一、鄰補角與對頂角的概念.
討論1.有一條公共邊，另一條邊互為反向延長線.
歸納1.反向延長線、鄰補角.
【練一練】1.B
討論2.鄰補角是補角的一種特殊情況，不僅在數量上互補，在位置上還有一條公共邊，而互補的角與角的位置無關.
討論3.頂點相同，角的兩邊互為反向延長線.
歸納2.反向延長線，對頂角.
思考：∠1 和 ∠3；∠2 和 ∠4.
【練一練】2.D 3.符合題意即可
探究點二、對頂角的性質.
思考：∠1＋∠2＝180°；∠1＝∠3
討論4：因為 ∠1 與∠2 互補，
∠3 與∠2 互補（鄰補角的定義），
所以 ∠1=∠3 （同角的補角相等）.
同理 ∠2＝∠4.
【典型例題】
例1 解：由鄰補角的定義，得
∠2 = 180°-∠1
=180°- 40°= 140°；
由對頂角相等，得
∠3 =∠1 = 40°，
∠4 =∠2 = 140°.
例2 解：(1) 由對頂角相等得∠1 = ∠3 .
因為∠1 + ∠3 = 80°，
所以 ∠1 = ∠3 = 40°.
由鄰補角的定義，得
∠2 = 180° -∠1 = 180°- 40°= 140°.
解：(1) 因為∠1∶∠2 = 2∶ 7，
則令∠1 = 2x，∠2 = 7x.
由鄰補角的定義，得∠1 + ∠2 = 180°，
所以 2x + 7x = 180°，x = 20°，
即∠1 = 40°，∠2 = 140°.
由對頂角相等得∠1 = ∠3 = 40°
課堂檢測
1.C
2.B
3.A
4.40°，對頂角相等.
5.∠BOC; ∠AOD，∠BOC ; 50 ; 130.
6.解：由對頂角相等得∠AOC = ∠BOD = 42°.
因為 OA 平分∠COE，
所以 ∠COE = 2∠AOC = 84°.
由鄰補角的性質得
∠DOE = 180° - ∠COE = 180° - 84° = 96°.
A
B
C
D
A
B
C
D第七章 相交線與平行線
數學活動1 平行線的畫法及圖案設計
【學習目標】
1. 用平行線的判定方法畫平行線.
2. 提高應用意識和創新意識，積極參與數學活動，在數學活動過程中，充分利用所學知識，發揮想象力.
3.在合作交流中，體驗獲得成功和學習數學的樂趣.
【學習重點】用平行線的判定方法畫平行線.
【學習難點】動手操作畫出正確的圖形.
【自主學習】
在現實生活中，我們經常見到一些美麗的圖案，這些圖案是怎么生成的呢？
北京奧運 夢幻五環 鴿子 地板
【合作探究】
探究點一、平行線的畫法
活動 1：我們在學習平行線的判定時，用什么方法畫平行線
討論：你有其它畫平行線的方法嗎 與同桌討論嘗試一下.
①用角的數量關系來判定：
②用直線的位置關系來判定：
方法 1：A 同學說可以通過畫相等的同位角來畫平行線.
思考：是否可以通過畫相等的內錯角來畫平行線
方法 2：三角板畫平行線，根據：在同一平面內垂直于同一直線的兩條直線平行. 試著畫一畫.
方法 3：利用方格紙中的直線畫平行線，或是利用格點(長方形的對角線)畫平行線.
方法 4：利用折紙的方法. 兩次折出的都是垂線，利用兩個交點處的角都是直角，通過角的關系來說明得到的是平行線.
問題 1：除了利用平行線的判定方法作圖，你還能想出其他畫平行線的方法嗎
觀察上述圖形特征，你有什么啟發 與同桌討論并嘗試畫一畫.
問題 2：觀察下圖，猜想該方法是構造出了一個什么圖形
①作 PQ ⊥ a
②作 l⊥a，取 RS = QP.
③連接 PS，則 b//a.
歸納總結：你能說出幾種平行線的畫法
① 利用平行線的判定作圖
② 利用平行四邊形的特征構圖
③ 利用平行線的判定折紙
探究點二、圖案平移設計
活動 2：閱讀教材 P30-P31 探究與發現相關內容，與同桌討論完成下列問題.
問題 1：你知道圖1 中的圖案是怎樣形成的嗎 與大家討論.
與利用平移繪制帶狀的圖案類似，在繪制這樣的圖案時，也要首先選定一個基本圖形，然后把這個圖形先按某一方向重復移動一定距離，再按另一個方向(與之前平移的方向不平行)重復移動一定距離，就可以得到一幅美麗的圖案了.
不難發現，這個圖案是由其中的一個“鳥”形圖案平移得到的.那么，這個“鳥”形圖案又是怎樣畫出來的呢
這種正方形上的平移，因為是從一處移到另一處(上移到下、下移到上、左移到右、右移到左)，所以能保證這樣的圖案平移后互相吻合，不留縫隙，形成一幅美麗的圖案.
問題 2：觀察下列圖案，你說出每個圖案中的基本圖形是怎樣得到的嗎
問題 3：你還能用平移設計一些圖案嗎
課堂檢測
1.將如圖所示的圖案通過平移后可以得到的圖案是( )
2.在下列方格中設計美麗的圖案.第七章 相交線與平行線
7.2.3 第2課時 平行線的判定與性質綜合
【學習目標】
1. 掌握平行線的判定和性質的綜合運用.
2. 讓學生進一步學會識圖，能將復雜圖形分解為基本圖形，會對已知條件和結論進行轉化，能建立已知和未知間的聯系，理解數學與實際生活的聯系.
3. 通過體會平行線的判定和性質的聯系與區別，讓學生懂得事物是普遍聯系又相互區別.
【學習重點】平行線的判定和性質的區別與聯系.
【學習難點】平行線判定和性質靈活運用.
【自主學習】
思考討論：問題 1：如何判定兩直線平行
問題 2：如果兩條直線平行，你可以得到什么性質
問題 3：平行線的判定與性質之間的關系.
問題 4： 平行線的其他判定方法，請用幾何語言表示.
幾何語言： 幾何語言：
【合作探究】
探究點一、平行線的性質和判定的綜合運用
【典型例題】例1 如圖，點 D，F 分別是 BC，AB上的點，DF//AC，∠FDE =∠A. 對 DE // AB 說明理由，將下列解題過程補充完整.
解：∵DF //AC (已知)，
∴∠A =∠BFD ( )①.
∵∠A =∠FDE(已知)，
∴∠FDE = ∠BFD ( ).
∴DE // AB(
【變式訓練1】：如圖，C，D 是直線 AB 上兩點，
∠1＋∠2＝180°，DE 平分∠CDF，EF∥AB.
(1) CE 與 DF 平行嗎？為什么？
(2) 若∠DCE＝130°，求∠DEF 的度數．
歸納總結：
【練一練】
1.已知 AB⊥BF，CD⊥BF，∠1 = ∠2，試說明∠3 = ∠E.
2. 如圖，∠1 + ∠2 = 180°，∠4 = 35° ，則∠3 等于______°.
探究點二、有關平行線的性質與判定的“拐點”問題
【典型例題】例2 如圖，AB∥CD，∠BAE = ∠BCD，AE⊥DE，∠ABC = 35°，求∠CDE的度數.
【練一練】
3.（漢陽區期中）如圖，∠1 = ∠2，∠E = ∠F ，判斷 AB 與 CD 的位置關系 ，說明理由.
課堂檢測
1．如圖，AB∥CD，∠1＝58°，FG 平分∠EFD，則∠FGB 的度數為（ ）
A．122° B．151° C．116° D．97°
2．如圖，∠1＝∠B，∠2＝25°，則∠D的度數為（ ）
A．25° B．45° C．50° D．65°
3．如圖，下列結論不正確的是（ ）
A．若∠2＝∠C，則AE∥CD
B．若AD∥BC，則∠1＝∠B
C．若AE∥CD，則∠1＋∠3＝180°
D．若∠1＝∠2，則AD∥BC
第1題圖 第2題圖 第3題圖
4．如圖，若∠1＝40°，∠2＝40°，∠3＝120°，則∠4的度數為 _______.
5．如圖，直線a⊥m，直線b⊥m.若∠1＝60°，則∠2的度數是_______.
6．如圖，A、B、C三點在同一直線上，∠1＝∠2，∠3＝∠D，試判斷BD與CF的位置關系，
7．如圖，C，D是直線AB上的兩點，∠1＋∠2＝180°，DE平分∠CDF，EF∥AB.
(1)CE與DF平行嗎？為什么？
(2)若∠DCE＝130°，求∠DEF的度數．
參考答案
【自主學習】
問題1 除 3 種常用的判定方法，還有有關平行線基本事實的推論.
問題2 兩直線平行，可以得到同位角、內錯角和同旁內角相關的性質.
問題3 平行線的判定和平行線的性質是一個互逆的過程.
問題4 圖①如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c.圖② 如果 a⊥b，a⊥c，那么 b∥c.
【合作探究】
探究點一、平行線的性質和判定的綜合運用
【典型例題】
例1 兩直線平行，內錯角相等 等式的基本事實 內錯角相等，兩直線平行
①用的是平行線的性質，②用的是平行線的判定.
變式訓練1 解：(1) CE∥DF. 理由如下：∵ ∠1＋∠2＝180°，∠1 + ∠DCE = 180°，∴∠2 = ∠DCE. ∴CE∥DF.
(2)∵CE∥DF，∠DCE = 130°，∴∠CDF = 180°－∠DCE = 180°－130° = 50°.
∵ DE 平分∠CDF，∴∠CDE = 1/2∠CDF = 25°.∵ EF∥AB，∴∠DEF =∠CDE = 25°.
【練一練】
1.解：∵∠1 = ∠2 (已知)，
∴ AB∥EF (內錯角相等，兩直線平行).∵ AB⊥BF，CD⊥BF，∴ AB∥CD
(垂直于同一條直線的兩條直線平行).∴ EF∥CD(平行于同一條直線的兩條直線平行).∴∠3 = ∠E (兩直線平行，同位角相等). 2.35
探究點二、有關平行線的性質與判定的“拐點”問題
【典型例題】例2
解：過點 E 作 EK∥CD.∵AB∥CD，∴EK∥CD∥AB，
∴∠CDE＋∠DEK＝180°，∠BAE＋∠AEK＝180°，∠ABC＋∠DCB＝180°.
∵∠BAE＝∠BCD，∴∠AEK＝∠ABC＝35°.∵AE⊥DE，∴∠DEK＝90°－35°＝55°.∴∠CDE＝125°．
【練一練】
3.解：AB∥CD，理由如下：如圖，延長 BE 交 DC 的延長線于點 M，
∵∠BEF = ∠F，∴BM∥FC.∴∠M = ∠2.∵∠1 = ∠2，∴∠M = ∠1.∴AB∥CD.
課堂檢測
1. B 2. A 3. B 4. 60° 5. 120°
6.解：BD∥CF. 理由如下：∵∠1＝∠2，∴ AD∥BF.∴∠D＝∠DBF.
∵∠3＝∠D，∴∠3＝∠DBF.∴BD∥CF.
7.（1）解：CE∥DF. 理由如下：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠DCE＝180°，
∴∠2＝∠DCE.∴CE∥DF.
（2）解：∵CE∥DF，∠DCE＝130°，∴∠CDF＝180°－∠DCE＝180°－130°＝50°.
∵DE平分∠CDF，∴∠CDE＝1/2∠CDF＝25°.
∵EF∥AB，∴∠DEF＝∠CDE＝25°.第七章 相交線與平行線
7.4 平移
【學習目標】
1. 理解平移的基本特征.
2. 能按要求作出簡單的平面圖形平移后的圖形，利用平移進行簡單的圖案設計.
3. 經歷觀察、分析、操作、概括等過程，探索進而認識平移的性質.
4. 進一步發展空間觀念,增強審美意識.
【學習重點】能按要求作出平移圖形.
【學習難點】理解并掌握平移的性質.
【自主學習】
我們知道點動成線，線動成面，面動成體，這些幾何圖形的形成中包含了怎樣的運動狀態呢 我們如何來描述這樣的運動狀態
圖片中拉抽屜、開窗戶這一運動有何特點？
【合作探究】
探究點一、平移的相關概念
討論：觀察下面美麗的圖案，并回答問題：
(1)這些圖案有什么共同特點
(2)能否根據其中的一部分繪制出整個圖案
平移的定義：_______________________________________________________.
圖形平移的方向不限于水平或豎直方向，圖形可以沿平面內任何方向平移.
活動 1：如圖，將一張半透明的紙蓋在一個四邊形ABCD 上，在紙上描出四邊形，然后將這張紙沿著某一方向移動一定距離.
問題1：這兩個四邊形的形狀、大小有什么關系
問題 2：在這兩個四邊形中，找出兩組對應點 A 與 A'，B 與 B'，連接它們得到 AA' 和 BB'，AA' 和 BB' 有什么位置關系 測量它們的長度，它們的長度有什么關系
把一個圖形平移，得到的新圖形具有下列特點：
① 新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；
② 新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點，連接各組對應點的線段平行(或在同一條直線上)且相等.
請欣賞埃舍爾的作品，并舉例生活中平移的運用.
荷蘭圖形藝術學家埃舍爾在世界藝術中占有獨一無二的位置，以其源自數學靈感的木刻、版畫等做品而聞名.數學是他的藝術之魂，他在數學的勻稱、精確、規則、循序等特性中發現難以言喻的美，同時用它無與倫比的稟賦，創作出廣受歡迎的迷人作品.
【練一練】1. 下列現象中不屬于平移的是 ( )
A. 滑雪運動員在平坦的雪地上滑雪
B. 火車在一段筆直的鐵軌上行駛
C. 高樓的電梯在上上下下
D. 時針的旋轉
探究點二、平移的作圖與計算
活動 2：如圖，平移三角形ABC，使點 A 移動到點 A'，畫出平移后的三角形 A'B'C'.
問題 1：要畫出平移后的三角形，首先需要確定什么
問題 2：你有其他辦法畫出平移后的圖形嗎 試一試.
【典型例題】
例1 如圖，將三角形 ABC 沿著 BC 方向平移至三角形 DEF 處.若 EC = 2BE = 4，則 CF 的長為________.
思路點撥：根據平移的性質解題.
例2 如圖是一塊長方形的草地，長為 21 m，寬為 15 m. 在草地上有一條寬為 1 m 的小道，長方形的草地上除小道外長滿青草. 問長草部分的面積為多少
【練一練】2.(1) 如下圖，圖中哪條線段可以由線段 b 經過平移得到？如何進行平移？
(2) 如下圖，在網格中有△ABC，將點 A 平移到點 P，畫出△ABC 平移后的圖形.
① 將點 A 向___平移___格，再向___平移___格，得到點 P；
② 點 B，C 與點 A 平移的____一樣，得到 B′，C′；
③ 連接__________，得到△ABC 平移后的三角形_____.
2. 如圖，經過平移，三角形 ABC 的頂點 A 移到了點 D 處，作出平移后的三角形．
想一想：有其他的方法嗎？
課堂檢測
1.下列哪個圖形是由左圖平移得到的 ( )
2.如圖，三角形 DEF 是由三角形 ABC 經過平移得到的，則平移的距離是 ( )
A.線段 BC 的長度 B.線段 EC 的長度 C.線段 BE 的長度 D.線段 BF 的長度
第2題圖 第4題圖 第5題圖 第6題圖
3.在漢字中，可通過平移構造漢字，如將“月”向左平移得漢字“朋”，請你寫出一個通過平移得到的漢字__________.
4.如圖，平移三角形 ABC 可得到三角形 DEF，如果∠C = 60°，AE = 7 cm，AB = 4 cm，
那么∠F =________ °，DB =_______cm.
5.如圖，多邊形的相鄰兩邊均互相垂直，則這個多邊形的周長為________ .
6.如圖，兩個大小一樣的直角三角形重疊在一起，將其中一個三角形沿著點 B 到點 C 的方向平移到三角形 DEF 的位置，AB = 10，DH = 4，平移距離為 6，則陰影部分的面積為__________.
參考答案
【合作探究】
探究點一、平移的相關概念
討論 （1）圖中的每個圖案都是由一些相同的圖形組成，
（2）將其中的一個圖形平移就能得到整個圖案.
平移的定義 一般地，在平面內，將一個圖形按某一方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫作平移.
問題1 形狀、大小相等
問題2 AA' 和 BB' 平行且它們的長度相等.
【練一練】1. D
探究點二、平移的作圖與計算
問題1 需要確定平移的方向和距離.
問題2 可以借助平行的思路來繪制，連接AA'. 過點 B 畫 AA' 的平行線 l、在 l 上截取 BB' = AA'. 則點 B' 就是點 B 的對應點.類似地、作出點 C 的對應點 C'，連接 A'B'、B'C'、C'A'，就得到了平移后的三角形 A'B'C'.
【典型例題】例1 2 思路點撥：根據平移的性質解題.
例2 解：長草部分的面積為 (21 - 1)×15 = 300 (m2).
【練一練】
1.（1）線段 c 先向右平移 3 格，再向上平移 2 格.
（2）①右 4 下 5 ②步驟（距離+方向）③ P、B′、C′ △PB′C′
2.（1） 平移點然后依次連接 （2）平移線
課堂檢測
1.C 2.C 3.林(答案不唯一) 4.60 1 5. 2a + 2b 6. 48第七章 相交線與平行線
7.1.3 兩條直線被第三條直線所截
【學習目標】
1.了解同位角、內錯角、同旁內角的概念，能從圖形中辨別這樣一一對應的角.
2. 通過觀察、探究，辨別同位角、內錯角、同旁內角，培養學生對圖形的辨別能力.
3. 在學習過程中，培養學生不怕困難、勇于探究的精神.
【學習重點】同位角、內錯角、同旁內角的概念.
【學習難點】復雜圖形中兩角關系的辨別.
【自主學習】
前面我們學習了兩條直線相交會形成對頂角和鄰補角的相關知識，那么如果兩條直線與第三條直接相交，會出現哪些角的關系呢
讓我們一起來學習吧!
【合作探究】
探究點一 認識同位角、內錯角、同旁內角.
畫一畫：按下圖畫出直線 AB、CD 被 EF 所截.
簡稱“三線八角”.
活動 1：觀察圖中的∠1 和∠5，它們具有怎樣的位置關系
①__________________________________________.
②__________________________________________.
知識要點:像具有∠1 和∠5這樣位置關系的兩個角叫做同位角.
討論1：(1) 你能找出圖中還有哪幾對角構成同位角
(2) 兩條直線被第三條直線所截構成的八個角中，共有幾對同位角
【練一練】1. 下列圖形中，∠1 和∠2 是同位角的有（ ）
A. (1)(2) B. (3)(4) C. (1)(2)(3) D.(2)(3)(4)
活動2：觀察圖中的∠3和∠5，它們有怎樣的位置關系
①__________________________________________.
②__________________________________________.
知識要點:像具有∠3和∠5這樣位置關系的兩個角叫做內錯角.
討論2：(1)你能找出圖中還有哪幾對角構成內錯角？
(2) 兩條直線被第三條直線所截構成的八個角中，共有幾對內錯角？
【練一練】 如圖，與∠1 是內錯角的是 （ ）
A. ∠2 B. ∠3
C. ∠4 D. ∠5
活動3：如圖，我們稱∠3 和∠6 為同旁內角，你能根據兩個角的特征，描述一下同旁內角的定義嗎？
①__________________________________________.
②__________________________________________.
知識要點:像具有∠3和∠6這樣位置關系的兩個角叫做同旁內角.
討論3：(1) 你能找出圖中還有哪幾對角構成同旁內角？
(2) 兩條直線被第三條直線所截構成的八個角中，共有幾對同旁內角？
【練一練】3. 下列圖形中，∠1和∠2是同旁內角的有（ ）
【典型例題】
例1 如圖，直線 DE，BC 被直線 AB 所截.
(1) ∠1 與∠2，∠1 與∠3，∠1 與∠4 各是什么關系的角？
(2) 如果∠1 = ∠4，那么∠1 與∠2 相等嗎？∠1 與∠3互補嗎？為什么？
例2如圖，∠B 與哪個角是內錯角，與哪個角是同旁內角？它們分別是哪兩條直線被哪一條直線所截形成的？對∠C 進行同樣的討論.
例3 動手操作：請動手畫出一組同位角、內錯角、同旁內角.
思考：①根據例3 的動手操作，你能總結一下同位角、內錯角、同旁內角分別具有哪些特征嗎
② 你認為在圖形中識別同位角、內錯角、同旁內角的關鍵是什么
課堂檢測
1．如圖，直線 a，b 被直線 c 所截，∠1與∠2是（ ）
A．同位角 B．內錯角 C．同旁內角 D．鄰補角
2．如圖，與∠1 是內錯角的是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
3．(教材P7 例3 變式)如圖，下列說法錯誤的是（ ）
A．∠A與∠B是同旁內角
B．∠3與∠1是同旁內角
C．∠2與∠3是內錯角
D．∠1與∠2是同位角
第1題圖 第2題圖 第3題圖 第4題圖
4．如圖，∠B與 ________ 是直線 BC 和直線 _______ 被直線 ________ 所截形成的同位角．
5．如圖，∠1 和∠2 是哪兩條直線被哪一條直線所截形成的？它們是什么角？∠1 和∠3 是哪兩條直線被哪一條直線所截形成的？它們是什么角？
參考答案
【合作探究】
探究點一、
①在直線 AB、CD 的同一方（上方） ②在直線 EF 的同側（右側）
討論1 (1) ∠2 和∠6，∠3 和∠7，∠4 和∠8. (2) 4 對.
【練一練】 1. A
活動2 ① 在直線 AB、CD 之間 ② 在直線 EF 的兩側
討論2 (1) ∠4 和∠6. (2) 2 對.
【練一練】 2. B
活動3 ①在直線 AB、CD 之間 ②在直線 EF 的同一旁（右側）
討論3 (1) ∠4 和∠5. (2) 2 對.
【練一練】 3. A
【典型例題】
例1 （1）內錯角 同旁內角 同位角 （2） 相等 互補
例2 解：∠B 與∠DAB 是內錯角，∠B 與∠BAE 是同旁內角，它們都是由 DE 與 BC 被 AB 所截形成的；∠B 與∠BAC 是同旁內角，它們是由 AC、BC 被 AB 所截形成的；∠B 與∠C 是同旁內角，它們是由 AB 與 AC 被 BC 所截形成的.
例3 作圖略
課堂檢測
1. A 2.B 3.D 4. ∠CAF AC BF
5.解：∠1 和∠2 是直線 EF，DC 被直線 AB 所截形成的同位角，
∠1 和∠3 是直線 AB，CD 被直線EF 所截形成的同位角．第七章 相交線與平行線
7.2.3 第1課時 平行線的性質
【學習目標】
1. 通過類比平行線的判定掌握平行線的性質，初步感受性質與判定間的互逆關系，發展推理意識.
2. 經歷觀察、操作，會運用兩條直線是平行關系判斷角相等或互補，鍛煉識圖能力，發展空間觀念.
3. 能運用平行線的性質進行推理證明，培養數學語言表達能力，發展應用意識與實踐能力.
【學習重點】理解平行線的性質.
【學習難點】能運用平行線的性質進行推理證明.
【自主學習】
回顧一下之前我們學習過的平行線的判定方法.
【合作探究】
探究點一、平行線的性質
畫一畫：任意畫出兩條平行線 (a∥b)，畫一條截線 c 與這兩條平行線相交，并用數字標出 8 個角.
活動 1：指出圖中的同位角，并度量這些角，把結果填入下表:
第一組 第二組 第一組 第一組
同位角
角的度數
數量關系
活動2：將畫出的同位角，選取任一組剪下后，進行疊合，并觀察.
猜想：根據以上活動得出的數據與操作得出的結果可猜想：
________________________________________________________ .
在剛剛的圖上，再畫出一條截線 d，重復操作，你的猜想結論是否仍然成立
性質1 兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.
簡單說成：_________________________________.
幾何語言：∵ a∥b，
∴ ∠1 = ∠2（ ）.【典型例題】例1 如圖，a∥b，∠1 = 60°，
則∠2 的度數為( )
A.90° B.100°
C.110° D.120°
探究點二、平行線的性質2和性質3
問題1：如圖，如果 a∥b，直線 c 與 a，b 相交，那么∠2 與∠3，∠2 與∠4 在數量上有什么關系 說一說，猜一猜.
問題 2：你能動手驗證一下剛剛的猜想嗎
如圖，如果 a∥b ，能得出∠2 = ∠3 嗎？
推導過程:
性質2：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等.
簡單說成：_______________________________________.
幾何語言：
如圖，如果 a∥b ，能得出 ∠2+∠4=180°嗎？請分組證明并歸納定義.
性質3：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補.
簡單說成：_____________________________________ .
幾何語言：
【典型例題】
例2 如圖是一塊梯形鐵片的殘余部分，量得∠A = 100°，∠B = 115°，梯形的另外兩個角的度數分別是多少？
例3 光線在不同介質中的傳播速度不同，因此當光線從水中射向空氣時，要發生折射. 由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的. 如圖，當∠1 = 45°，∠2 = 122° 時，求∠3 和∠4 的度數.
【練一練】
1. (1)如圖1，若 AB∥DE，AC∥DF，試說明∠A =∠D. 請補全下面的解答過程，括號內填寫依據.
解: ∵ AB∥DE ( )，
∴∠A =_______ ( ).
∵ AC∥DF ( ) ，
∴∠D =______ ( ).
∴∠A =∠D ( ).
(2) 如圖 2，若 AB∥DE，AC∥DF， 試說明∠A +∠D = 180°. 請補全下面的解答過程，括號內填寫依據.
解： ∵ AB∥DE ( )，
∴∠A = ______ ( ).
∵AC∥DF ( ) ，
∴∠D + _______ = 180°.
( ).
∴∠A +∠D = 180° ( ).
課堂檢測
1．如圖，直線 a∥b，∠1＝50°，則∠2 的度數是（ ）
A．130° B．50° C．40° D．150°
2．如圖，DE∥BC，BE 平分∠ABC. 若∠1＝66°，則∠CBE的度數為（ ）
A．33° B．32° C．22° D．56°
第1題圖 第2題圖 第3題圖
3．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝110°，則∠B＝_____________ ° .
4. 如圖，把一塊含有 45° 角的直角三角板的兩個頂點放在直尺的對邊上. 如果∠1 = 20°，
那么∠2 的度數是______.
5．如圖，AB∥CD，∠1＝110°，∠2＝20°，則∠DEB＝_____________ °.
第5題圖 第6題圖
6．(教材P20習題T10變式)如圖，AB∥CD，BE∥DF，∠B＝65°，求∠D 的度數．
參考答案
【自主學習】
【合作探究】
探究點一、平行線的性質
猜想 兩直線平行，同位角相等
性質1 兩直線平行，同位角相等 兩直線平行，同位角相等
【典型例題】例1 D
探究點二、平行線的性質2和3
問題1 猜想：∠2＝∠3，∠2 ＋∠4＝180°
推導過程 解：∵ a∥b ∴ ∠1 = ∠2 (兩直線平行，同位角相等).
又∵∠1 = ∠3(對頂角相等)，∴∠2 = ∠3 (等量代換).
性質2 兩直線平行，內錯角相等
幾何語言 ∵ a∥b，∴ ∠2 = ∠3（兩直線平行，內錯角相等）.
證明：如果 a∥b，那么 ∠1 = ∠2因為∠1+∠4 = 180°(平角的定義)，
所以∠2+∠4 = 180°.
性質3 兩直線平行，同旁內角互補
幾何語言 ∵ a∥b，∴ ∠2 +∠4 = 180°（兩直線平行，內錯角相等）.
【典型例題】
例2 ∠D+∠A = 180°∠C+∠B = 180° ∠D = 80°∠C = 65°
例3 解：由題意得，AE∥BF，∴∠1 = ∠3 = 45°.
因為 AB∥CD，∴∠2 +∠5 = 180°，即∠5 = 58°.又因為 AC∥BD，
∴∠5 = ∠4 = 58° .
【練一練】1 （1）已知 ∠CPE 兩直線平行，同位角相等 已知 ∠CPE 兩直線平行，同位角相等 等量代換
（2）已知 ∠CPD 兩直線平行，同位角相等 已知 ∠CPD 兩直線平行，同旁內角互補 等量代換
課堂檢測
1. B 2.A 3. 70 4.25° 5.90
6.解：∵AB∥CD，∴∠BED＝∠B＝65°.
∵BE∥FD，∴∠BED＋∠D＝180°.
∴∠D＝180°－∠BED＝180°－65°＝115°.
兩直線平行第七章 相交線與平行線
7.3.1 定義、命題
【學習目標】
1. 掌握定義、命題的概念，并能分清命題的組成.
2. 通過討論、探究、交流等形式，讓學生在辯論中獲得知識體驗.
3. 在學習過程中培養學生敢于懷疑、大膽探究的品質.
【學習重點】掌握定義、命題的概念.
【學習難點】分清命題的組成，能判斷一個命題是真命題還是假命題.
【自主學習】
比比誰能答得又快又準.
對頂角的性質：
平行公理的推論：
平行線的判定方法：
平行線的性質：
【情境導入】
劉徽與 “正負數” 定義
在中國古代數學的發展歷程中，劉徽有著舉足輕重的地位. 在《九章算術》的注釋中，他對正負數給出了清晰的定義和解釋.
劉徽是這樣定義正負數的：“今兩算得失相反，要令正負以名之.” 意思是當兩種數量具有相反的意義時，就分別用正數和負數來命名它們.他還規定了用紅色算籌表示正數，黑色算籌表示負數（或者用正放的算籌表示正數，斜放的算籌表示負數）. 在方程術的應用中，正負數的定義更是發揮了關鍵作用.
【合作探究】
探究點一、定義
以前我們在學習一些新的數學對象時，對它們進行了清晰、明確的描述.
例如：規定了原點、正方向和單位長度的直線叫作數軸.
討論：你能舉出其他類似的例子嗎
(1) 規定了原點、正方向和單位長度的直線叫作數軸.
(2) 使方程左、右兩邊的值相等的未知數的值，叫作方程的解；
(3) 從一個角的頂點出發，把這個角分成兩個相等的角的射線， 叫作這個角的平分線；
(4) 直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫作點到直線的距離.
思考：我們舉出的這些例子，有些什么特征
【概念歸納】
我們舉例的一些描述稱為數學對象的定義，一個數學對象的定義揭示了它的本質特征，能夠幫助我們準確地理解它，并作出準確的判斷.
例如，“數軸”指的是一條直線，而且這條直線上有規定的原點、正方向和單位長度；
根據方程的解的定義，可以判斷 x = 3/2是方程 2x = 3 的解.
探究點二、命題
討論：我們一起來看一些可以判斷正確與否的陳述.
1. 對頂角相等；
2. 如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也相互平行；
3. 同位角相等，兩直線平行；
4. 兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補.
思考：上述這些語句有什么特征
歸納小結：
像這樣可以判斷為正確(或真)或錯誤(或假)的陳述句，叫作______.被判斷為正確(或真)的命題叫作________，被判斷為錯誤(或假)的命題叫作________.
注意：只要對一件事情作出了判斷，不管正確與否，都是命題.
不是命題的形式，如：
① 疑問句；如：你喜歡數學嗎？
② 感嘆句；如：今天天氣很好啊！
③ 祈使句；如：作線段 AB = CD.
【典型例題】例1觀察下列命題，你能發現這些命題有什么共同的結構特征？
與同伴交流.
(1) 如果兩個三角形的三條邊分別相等，那么這兩個三角形的周長相等；
(2) 如果兩個數的絕對值相等，那么這兩個數也相等；
(3) 如果一個數的平方等于 9，那么這個數是 3.
思考：上面這些命題，哪些是真命題 哪些是假命題 你對命題的結構理解了嗎
數學中的命題常可以寫成“如果……那么……”的形式，這時“如果”后接的部分是題設，“那么”后接的部分是結論.
題設:________________.結論:________________.
例2 請將下列命題改寫成“如果······那么······”的形式，并指出條件和結論.
(1) 垂直于同一直線的兩條直線互相垂直.
(2) 過一點有且只有一條直線與已知直線平行.
【合作探究】指出下列各命題的條件和結論，其中哪些命題是正確的，哪些錯誤的 你是如何判斷的 與同伴進行交流.
(1) 如果兩個數互為相反數，那么這兩個數的絕對值相等；
(2) 如果兩個角互補，那么它們是鄰補角.
歸納小結：判斷命題的真假：正確的命題就是真命題；錯誤的命題就是假命題.
真命題——可以用推理的方法，假命題——可以舉反例來說明.
反例：指具備命題的條件，而不具備命題的結論的例子.
【練一練】1. 判斷下列命題的真假.
(1) 同旁內角互補 ( )
(2) 一個角的補角大于這個角 ( )
(3) 相等的兩個角是對頂角 ( )
(4) 兩點可以確定一條直線 ( )
(5) 兩點之間線段最短 ( )
(6) 同角的余角相等 ( )
課堂檢測
1.下列語句中，不是命題的是( )
A. 兩點之間線段最短
B. 對頂角相等
C. 不是對頂角不相等
D. 過直線 AB 外一點 P 作直線 AB 的垂線
2. 有下列句子：① -2 的相反數是 2；② x = 1是 2x + 3 = 5 的解嗎 ③過點 A，B 畫直線 AB；④已知a + b = 1；⑤兩個單項式可以合并同類項；⑥互余的兩個角不一定相等. 其中，是命題的有( )
A. 1 個 B. 2 個 C. 3 個 D. 4 個
3. 把命題“平行于同一條直線的兩條直線互相平行”改寫成“如果······那么······”的形式
為____________________________________________________________________，
它是_______命題.
4. 寫一個學過的定義的例子____________________________________________________.
5. 下面有 3 個命題：① 同位角相等；② 內錯角相等，兩直線平行；③平方后等于 4 的數一定是 2. 其中____________是真命題(填序號).
6.舉反例說明下列命題是假命題.
(1)若兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等；
(2)若ab = 0，則 a + b = 0.
7. 已知：三條不同的直線 a，b，c 在同一平面內：
① a∥b；② a⊥c；③ b⊥c；④ a⊥b. 請你用 ①②③④ 所給出的其中兩個事項作為條件，其中一個事項作為結論(用如果······那么······的形式，寫出命題，例如：如果 a⊥c，b丄c，那么 a∥b).
(1)寫出一個真命題，并證明它的正確性；
(2)寫出一個假命題，并舉出反例.
參考答案
【合作探究】
探究點一、定義
思考 都是“……叫作……”的形式.
探究點二、命題
思考 都是在對一件事進行判斷.
歸納小結 命題 真命題 假命題
【典型例題】例1 （1）是真命題 （2）（3）是假命題.
已知事項 已知事項推出的事項
【典型例題】例2 如果兩條直線垂直于同一直線，那么這兩條直線互相垂直.
如果過一點向已知直線做平行線，那么這種直線有且只有一條.
合作探究 （1）命題正確 （2）命題錯誤
【練一練】1. （1）× （2）× （3）× （4）√ （5） √（6） √ （7）√
課堂檢測
1.D 2.C 3.如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行 真
4.直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫作點到直線的距離(答案不唯一)
5.②
6.解：(1) 兩條平行直線被第三條直線所截形成的內錯角，這兩個角不是對頂角，但是它們相等.(2)當 a = 5，b = 0 時，ab = 0，但 a + b ≠ 0.
7.解：(1) 如果 a丄c，b丄c，那么 a∥b.
證明如下：如圖，∵ a丄c，b⊥c，
∴∠1 = 90°，∠2 = 90°. ∴∠1 = ∠2. ∴a∥b.
(2)如果 a丄c，b丄c，那么 a丄b.
反例：如圖，如果a丄c，b丄c，那么a∥b.第七章 相交線與平行線
7.3.2 定理、證明
【學習目標】
1. 掌握定理的概念，并能分清命題與定理之間的關系.
2. 了解證明的意義，知道要判斷一個數學結論是否正確，僅僅依靠經驗、觀察或實驗是不夠的，必須一步一步、有理有據地進行推理.
【學習重點】掌握定理的概念，了解證明的意義.
【學習難點】掌握推理的方法和步驟.
【自主學習】
1. 什么叫定義
2. 命題的結構是什么
思考：如何證實一個命題是真命題呢？
古希臘數學家歐幾里得 (公元前 300 年前后) 編寫了一本書，書名叫做《原本》. 為了說明每一結論的正確性，他在編寫這本書時進行了大膽創造：挑選了一部分數學名詞和一部分公認的真命題作為證實其他命題的出發點和依據.
【合作探究】
探究點一、定理
討論：判斷下列命題哪些是真命題 哪些是假命題
(1) 在同一平面內，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么也垂直于另一條；
(2) 如果兩個角互補，那么它們是鄰補角；
(3) 如果 | a | = | b |，那么 a = b；
(4) 經過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行；
(5) 兩點確定一條直線.
(1) 在同一平面內，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么也垂直于另一條；
(4) 經過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行；
(5) 兩點確定一條直線.
上面練習中的(1)的正確性是經過推理證實的，這樣得到的真命題叫作定理.
定理也可以作為繼續推理的依據.(4)(5)是真命題，屬于基本事實.
基本事實：不需要證明，除了基本事實外，其他真命題的正確性都需要通過演繹推理的方法證實.
思考1：你能舉例說出幾個學過的定理嗎
思考2：你能舉例說出幾個學過的基本事實嗎
探究點二、證明
討論：前面我們學習了命題、定理，現在我們來學習證明，命題、定理和證明之間有什么聯系和區別
定義，命題，基本事實，定理之間的區別與聯系：
【典型例題】例1如圖，已知直線 a⊥b，b∥c，求證：a⊥c．
例2 如圖，給出下列論斷：(1) AB∥DC，(2)AD∥BC，(3) ∠A +∠ABC = 180°，(4)∠ABC +∠C = 180°，以其中一個作為題設，另一個作為結論，寫出一個真命題.想一想，若連接 BD，你能試著寫出一個真命題并寫出其推理過程嗎
思考：證明需要注意些什么
歸納小結
課堂檢測
1. 請把下面證明過程補充完整.
如圖，已知 AD⊥BC 于點 D，點 E 在 BA 的延長線上，EG⊥BC 于點 C，交 AC 于點 F，∠E =∠1.求證：AD 平分∠BAC.
證明：∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴∠ADC = ∠EGC = 90°( ).
∴ AD∥EG ( ).
∴∠1=∠2( )，
∠E =∠3( ).
∵∠E =∠ (已知)，∴∠2 =∠3( ).
∴AD 平分∠BAC ( ).
2. 如圖，現有以下 3 個論斷：①AB∥CD；
②∠B =∠C；③∠E =∠F. 請以其中 2 個論斷為條件，另一個論斷為結論構造命題.
(1) 你構造的是哪幾個命題
(2) 請選擇其中一個真命題加以證明.
3.如圖，點D在AB上，直線DG交AF于點E.請從①DG∥AC，②AF平分∠BAC，③∠DAE=∠DEA 中任選兩個作為題設，余下一個作為結論，構造一個真命題，并予以證明.
題設：_______，結論：_______. (均填寫序號)
參考答案
【自主學習】
1.我們舉例的一些描述稱為數學對象的定義，一個數學對象的定義揭示了它的本質特征，能夠幫助我們準確地理解它，并作出準確的判斷.
2.數學中的命題常可以寫成“如果……那么……”的形式，這時“如果”后接的部分是題設，“那么”后接的部分是結論.
【合作探究】
探究點一、定理
討論 （1）真命題 （2）假命題 （3）假命題 （4）真命題 （5）真命題
思考1 對頂角相等，內錯角相等，兩直線平行
思考2 1. 兩點確定一條直線. 2. 兩點之間線段最短.3. 同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.4. 兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行 (簡述為：同位角相等，兩直線平行).5. 過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行.
探究點二、證明
討論：在很多情況下，一個命題的正確性需要經過推理，才能作出判斷，這個推理過程叫作證明.
【典型例題】
例1證明：∵ a⊥b(已知)，∴ ∠1 = 90°(垂直的定義).
又 ∵ b∥c(已知)，∴∠2 =∠1 = 90°(兩直線平行，同位角相等).
∴∠2 = 90°(等式的基本事實).∴ a⊥c(垂直的定義).
例2 如果 AB∥DC，那么∠A +∠B = 180°.如果 AB∥DC，那么∠ABD =∠BDC.
證明：∵AB∥DC(已知)，∴∠ABD =∠BDC(兩直線平行，同位角相等).
思考 證明中的每一步推理都要有根據，這些根據可以是已知條件，也可以是學過的定義、基本事實、定理等.
課堂檢測
1. 垂直的定義 同位角相等，兩直線平行 兩直線平行，內錯角相等 兩直線平行，同位角相等 1 等量代換 角平分線的定義
2. 解：(1)由①②得③；由①③得②； 由②③得①.
(2) 由①②得③，證明過程如下：
∵ AB∥CD，∴∠EAB =∠C.又∵∠B =∠C，∴∠EAB = ∠B.∴CE∥BF. ∴∠E =∠F. (答案不唯一)
3. ①② ③ 證明:∵DG∥AC，∴∠DEA=∠EAC．
∵AF平分∠BAC，∴∠DAE＝∠EAC.∴∠DAE＝∠DEA．(答案不唯一)第七章 相交線與平行線
7.2.1 平行線的概念
【學習目標】
1. 理解平行線的意義，了解同一平面內兩條直線的位置關系.
2. 理解并掌握平行線的基本事實及其推論.
3. 會根據幾何語句畫圖，會用直尺和三角板畫平行線.
4. 通過對幾何模型的操作，培養學生的直覺思維和創造性思維，使學生獲得成就感.
【學習重點】探索和掌握平行線的基本事實及推論.
【學習難點】對平行線基本事實的理解.
【自主學習】
思考：圖中鐵軌、操場上跑道中的分道線、圍欄的欄桿會不會出現交點 在位置上給人怎樣的感覺
【合作探究】
探究點一、平行線的概念
活動1：分別將木條 a，b 與木條 c 釘在一起，并把它們想象成在同一平面內兩端可以無限延伸的三條直線， 順時針轉動 a .
(1) 直線 a 與直線 b 的交點位置將發生什么變化
(2) 在這個過程中，有沒有直線 a 與 b 不相交的位置
知識要點.在同一平面內，不重合的兩條直線有兩種位置關系：____________.
定義：同一個平面內，不相交的兩條直線互相平行.
注意事項：書寫時需要注意大小寫.
【練一練】1. 在下圖中，哪些線段是相互平行的？
探究點二、平行線的畫法、基本事實及其推論.
活動 2：平行線的畫法
(1) 如何畫平行線呢 給一條直線 a，你能畫出直線 a 的平行線嗎
(2) 過點 B 畫直線 a 的平行線能畫幾條 過點 C 再試試.它和前面過點 B 畫出直線平行嗎？
知識要點.平行線的基本事實：________________________________________.
如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也 ______________ .
【練一練】2. 下列推理正確的是（ ）
A. 因為 a∥d，b∥c，所以 c∥d
B. 因為 a∥c，b∥d，所以 c∥d
C. 因為 a∥b，a∥c，所以 b∥c
D. 因為 a∥b，c∥d，所以 a∥c
3.下列說法正確的是( )
A.同一平面內不相交的兩線段必平行
B.同一平面內不相交的兩射線必平行
C.同一平面內不相交的一條線段與一條直線必平行
D.同一平面內不相交的兩條直線必平行
反思提升：
課堂檢測
1．在同一平面內，兩條不重合直線的位置關系可能是（ ）
A．垂直或平行 B．垂直或相交
C．平行或相交 D．平行、垂直或相交
2．在同一平面內，若兩條直線相交，則公共點的個數為___________；若兩直線平行，則公共點的個數為___________.
3．如圖，已知直線 a、點 B、點 C，分別過點B、點C 畫直線 a 的平行線 b，平行線 c，則直線 b 和 c 的位置關系是__________ (填“相交”或“平行”)．
第3題圖 第5題圖
4．在同一平面內有三條直線，如果使其中有且只有兩條直線平行，那么這三條直線有且只有 ___________ 個交點.
5．如圖，已知A，B，C三點及直線EF，過點B作AB∥EF，過點B作BC∥EF，那么A，B，C三點一定在同一條直線上，依據是___________________________．
6．找出圖中互相平行的線段(不考慮網格線的線段)．
參考答案
【合作探究】
探究點一、平行線的概念
活動1 （1）交點位置將往左邊移動 （2）存在這樣的一個位置
知識要點 相交與平行
【練一練】1 HI∥FG，ML∥NO.
探究點二、平行線的畫法、基本事實及其推論
活動2 （1） 可以 （1放2靠3推4畫）（2）一條 兩條直線都與a平行
知識要點 過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行 互相平行
【練一練】2.C
課堂檢測
1. C 2. 1 0 3. 平行 4. 2
5. 過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行
6. AC∥HF，DE∥HJ.第七章 相交線與平行線
7.1.2 兩條直線垂直
【學習目標】
1. 掌握垂線、垂線段、點到直線的距離等概念，掌握垂線的性質，會過一點畫一條直線的垂線.
2. 通過探索垂線的性質，能解決相關的垂線問題，并能夠進行簡單的說理.
3. 體會垂線在實際問題中的應用，感受數學與生活的密切聯系.
【學習重點】垂線的概念、畫法和垂線的兩個性質.
【學習難點】垂線的畫法，理解點到直線的距離.
【自主學習】
如圖 ①，當直線 AB 繞點 O 逆時針旋轉∠AOC = 90° 時(如圖②)，你能求出其他角的度數嗎 此圖形有什么特點 此時兩直線的位置有什么關系？
【合作探究】
探究點一 垂直、垂線、垂足的概念
1.取兩根木條 a、b，將它們釘在一起，固定木條 a ，轉動木條 b，a、b 所成的夾角 α .
問題1：在木條 b 的轉動過程中，什么量也隨之發生改變
問題 2：木條 b 與 a 成 90° 的位置有幾個 此時，木條 b 與 a 所在的直線有什么位置關系
2.知識要點：
①.兩條直線 a，b 相交所成的四個角中，有一個角是直角時，叫作這兩條直線______________，記作__________ .
②.兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的_________，它們的交點叫做___________.
3.垂直的判定與性質
①判定：如圖，若直線 AB 與 CD 相交于點 O，
∠AOD = 90°，則 AB⊥CD，垂足為 O.
符號語言：因為∠AOD = 90°（已知），
所以 AB⊥CD（垂直的定義）.
②性質：若直線 AB⊥CD ，垂足為 O，則∠AOD = 90°.
符號語言：因為 AB⊥CD（已知），
所以∠AOD = 90°（垂直的定義）.
(∠AOC = ∠BOC = ∠BOD = 90°)
4.思考與反思.
① 兩條直線垂直和相交是什么關系
② 能否認為在同一平面內，兩條直線的位置關系有 3 種：相交、平行、垂直
③ 如何判定兩條射線垂直 兩條線段呢
5.討論：和同學討論，試試舉出生活中有關垂直的例子.
【典型例題】
例1 (1)如圖1，直線 m、n 交于點 O，∠1= 90°，則 m______n；
(2) 若直線 AB、CD 相交于點 O，且 AB⊥CD，則∠BOD =______°；
(3) 如圖2，BO⊥AO，∠BOC 與∠BOA 的度數之比為 1∶5，那么∠COA＝_____°，∠BOC 的補角為_________ °.
探究點二 垂線的畫法及基本事實
畫一畫：用三角尺或量角器畫已知直線 l 的垂線.
(1) 經過直線 l 上的一點 A 畫 l 的垂線，這樣的垂線能畫幾條
(2) 過直線 l 外的一點 B 畫 l 的垂線，這樣的垂線能畫幾條
基本事實：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.
畫圖流程：1.放 2.靠 3.移 4.畫
探究點三 垂線的性質及應用
在灌溉時，要把河中的水引到菜地 P 處，如何挖掘能使渠道最短？
討論：(1) 你能將這個實際問題轉化成數學問題嗎？
(2) 在直線上有無數個點，試著取幾個點與點 P 相連，比較一下線段的長短．你有什么發現？
(3) 你能猜想一下最短的位置會在哪兒？它唯一嗎？為什么？
(4) 你能用一句話總結出觀察得出的結論嗎？
垂線性質：____________________________________________;
簡單說成：______________________．
點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫作點到直線的距離.
線段 PO 的長度叫作點到直線的距離.
(5) 如果圖中的比例尺為 1:100 000，水渠大約要挖多長 (比例尺=圖上距離÷實際距離)
(6) 與你的同桌討論，試著列舉生活中類似的實例.
【練一練】
1. 如圖，下列說法正確的是 （ ）
A.線段 AB 叫做點 B 到直線 AC 的距離
B.線段 AB 的長度叫做點 A 到直線 BC 的距離
C.線段 BD 的長度叫做點 D 到直線 BC 的距離
D.線段 BD 的長度叫做點 B 到直線 AC 的距離
思路點撥：注意點到直線的距離的定義.
課堂檢測
1. 在數學課上，同學們在練習過點 B 作線段 AC 所在直線的垂線段時，有一部分同學畫出下列四種圖形，其中正確的是( )
A B C D
2.如圖，從位置 P 到直線公路 MN 共有四條小道，若用相同的速度行走，能最快到達公路 MN 的小道是( )
A. PA B. PB C. PC D. PD
3. 如圖，已知 AB 上 BC，垂足為 B，AB = 3，點 P 是射線 BC 上的動點，則線段 AP 的長不可能是( )
A. 2.5 B. 3 C.4 D. 5
4.【教材 P8 習題 T3 變式】如圖，已知點 O 在直線AB 上，CO⊥DO 于點 O. 若∠1 = 150°，則∠3 的度數為( )
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
5. 如圖，點 A 到 BC 的距離是線段 _________ 的長，BC的長是點______ 到直線 __________的距離.
第2題圖 第3題圖 第4題圖
6. 如圖，在某村村頭 P 處有一條河流，為方便出行，村民想在兩岸搭起一座簡易木橋，則在 ______________ 處搭建最短.
第5題圖 第6題圖
7. 如圖，O 是直線 AB 上的一點，OC⊥OD，垂足為 O .
(1)若∠BOD = 32°，求∠AOC 的度數；
(2)若∠AOC :∠BOD = 2 : 1，求∠BOD 的度數.
參考答案
【合作探究】
探究點一、垂直、垂線、垂足的概念
問題1 a 與 b 所成的角也隨之發生改變.
問題 2 唯一一個，a 與 b 垂直.
知識要點 ① 互相垂直 a⊥b. ② 垂線 垂足.
思考與反思 ① 垂直屬于相交的特殊情況. 所有垂直的兩條直線一定相交，但相交的兩條直線不一定垂直.
② 在同一平面內，兩條直線的位置關系只有兩種：相交和平行.
③ 如果兩條射線所在的直線相交，并且所成的角為90°，那么這兩條射線垂直.將線段延長，使其成為直線，如果這兩條直線相交且所成的角為90°，那么這兩條線段垂直.
【典型例題】
例1 （1）⊥ (2) 90 (3) 72 162
探究點二、垂線的畫法及基本事實
畫一畫（1）1條 （2）一條
探究點三、
討論 （1）在直線 l 上是否存在這樣一點，它與點 P 的連線在所有連接直線 l 與點 P 的線段中長度最短？
（2）運用直尺測量發現，線段PO 的長度最短.
（3）這樣的線段 PO 只有一條.
（4）垂線性質：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．
簡單說成：垂線段最短．
（5）圖中 4.7 cm，實際 4700 m.
（6）合理即可
【練一練】1 D
課堂檢測
1.A 2.B 3.A 4.D 5. AC B AC 6. B
7.解：(1) 因為 OC⊥OD，所以∠COD = 90°.
因為∠AOB 是平角，所以 ∠AOB = 180°.
因為∠BOD = 32°，
所以∠AOC = 180° - ∠BOD - ∠COD = 58°.
(2)因為∠COD = 90°，∠AOB =180°，
所以∠AOC +∠BOD = 180° - ∠COD = 90°.
又因為∠AOC : ∠BOD = 2 : 1，則∠AOC = 2∠BOD.
所以3∠BOD = 90°. 所以∠BOD = 30°.第七章 相交線與平行線
7.2.2 平行線的判定
【學習目標】
1. 通過觀察、思考、探索等活動掌握平行線的三種判定方法.
2. 通過學生體驗、猜想并說理，讓學生體會到數學充滿著探索和創造，培養學生團結協作、勇于創新的能力.
【學習重點】兩條直線平行的三種判定方法.
【學習難點】識別各種圖形下平行線判定方法的靈活應用.
【自主學習】
(1) 同一平面內不重合的兩條直線，有哪幾種位置關系
(2) 判定兩條直線平行的方法有哪些呢
【合作探究】
探究點一、利用同位角判定兩條直線平行
思考：你還記得如何用三角尺和直尺畫平行線的方法嗎？
問題1：畫圖過程中，三角尺起著什么作用？
問題2：直線 a，b 位置關系如何？
判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：_____________________________________.
數學語言：因為∠1=∠2 ,
所以 a∥b（同位角相等，兩直線平行）.
【典型例題】
例1 如圖，你能說出木工用圖中的角尺畫平行線的道理嗎？
【練一練】1. 如圖，用直尺和三角尺作直線 AB，CD，從圖中可知，直線 AB 與直線 CD 的位置關系是__________，理由是__________________________.
探究點二、利用內錯角、同旁內角判定兩條直線平行
如圖，依據剛剛學的知識我們知道，同位角相等，兩直線平行.
問題 1：能否利用內錯角來判定兩直線平行呢 如圖，如果∠2 = ∠3，那么 a 與 b 平行嗎
推導過程：
判定方法2：兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：_____________________________.
問題 2：能否利用同旁內角來判定兩條直線平行呢 如圖，如果∠2+∠4 = 180°，那么 a 與 b 平行嗎
推導過程：
判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行.簡單說成：___________________________________.
【練一練】2. 根據條件完成填空.
①∵∠2 = ∠6 (已知)，
∴ ___∥___ ( ).
②∵ ∠3 = ∠5 (已知)，
∴ ___∥___ ( ).
③∵ ∠4 + ___ = 180° (已知)，
∴ ___∥___ ( ).
3.如圖，已知∠MCA = ∠A，∠MCA = ∠CDE，那么 AB∥DE 嗎？為什么？
【典型例題】例2 如圖，BE 是 AB 的延長線.
(1) 由∠CBE =∠A 可以判定哪兩條直線平行
依據是什么
(2) 添加一個條件使 AE∥CD.
(3) 由∠D +∠A = 180°可以判定哪兩條直線平行 依據是什么
課堂檢測
1．如圖，能判定EB∥AC的條件是（ ）
A．∠A＝∠ABE B．∠A＝∠EBD
C．∠C＝∠ABC D．∠C＝∠ABE
2. 如圖，已知 a，b，c 為平面內三條不同的直線，若 a丄b，c⊥b，
則 a 與 c 的位置關系是______________ .
第1題圖 第2題圖 第3題圖
3. 如圖，有以下四個條件：
①∠B + ∠BCD = 180°；②∠1 = ∠2；
③∠3 =∠4；④∠B =∠5. 其中能判定AB∥CD的條件有_________(填序號).
4．若想檢驗一塊破損的木板(如圖)的兩條直的邊緣AB，CD是否平行，你的辦法是________________________________________________________________________________(工具不限，可結合圖形進行說明，只要能說清思路即可)．
5．已知：如圖，∠BAD＝∠DCB，∠BAC＝∠DCA.
試說明：AD∥BC.
解：∵∠BAD＝∠DCB，
∠BAC＝∠DCA( )，
∴∠BAD－___________＝∠DCB－____________ .
即___________＝___________ .
∴AD∥BC( )．
6．如圖，直線 AB，CD 被直線 EF 所截，H 為 CD 與EF 的交點，GH⊥CD 于點 H，∠2＝30°，∠1＝60°，能得到 AB∥CD嗎？試說明理由．
參考答案
【自主學習】
（1）相交或平行 （2）在同一平面內，兩條不相交的直線互相平行.
【合作探究】
探究點一、利用同位角判定兩條直線平行
思考 1放2靠3推4畫
問題1 保持∠1與∠2 相等 問題2 a∥b
判定方法1 同位角相等，兩直線平行
【典型例題】例1 同位角相等，兩直線平行
【練一練】 1 AB∥CD 同位角相等，兩直線平行
探究點二、利用內錯角、同旁內角判定兩條直線平行
問題1 推導過程 因為∠1 = ∠2(已知條件)，
∠2 = ∠4(對頂角相等)，
所以∠1 = ∠4(等量代換).
所以 a∥b (同位角相等，兩直線平行).
判定方法2 內錯角相等，兩直線平行
問題2 因為∠1+∠3 = 180°，
∠4+∠3 = 180°(平角的定義)，
所以 ∠1 = ∠4，(同角的補角相等)
所以 a∥b .(同位角相等，兩直線平行)
同旁內角互補，兩直線平行
【練一練】
2. ①.AB CD 同位角相等，兩直線平行②.AB CD 內錯角相等，兩直線平行
③.AB CD 同旁內角互補，兩直線平行
3.解：∵∠MCA = ∠ A（已知），∠MCA =∠CDE ∴ ∠CDE = ∠A.∴ AB∥DE（同位角相等，兩直線平行）.
【典型例題】例2
（1）AD∥BC，依據是同位角相等，兩直線平行.
（2）∠CBE =∠C (答案不唯一)
（3）AE∥CD. 依據是同旁內角互補，兩直線平行.
課堂檢測
1. A 2. 平行 3. ①③④
4. 畫一條直線 l⊥AB，并測量 l 與 CD 的夾角，若夾角為 90°，則 AB 與 CD 平行；否則不平行.
5.已知 ∠BAC ∠DCA ∠DAC ∠BCA 內錯角相等，兩直線平行
6.解：能得到 AB∥CD. 理由如下：
∵GH⊥CD，∴∠CHG＝90°.
又∵∠2＝30°，
∴∠3＝90°－∠2＝60°. ∴∠4＝60°.
又∵∠1＝60°，∴∠1＝∠4.
∴AB∥CD (同位角相等，兩直線平行)．

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