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(共110張PPT)
專題八 靜電場
考向三 電容器和帶電粒子在電場中的運動
2025年高考物理專題復習資料
考點切片
考點1 電容器動態分析問題
題組1 分析電場強度、電荷量、電容等變化
解題覺醒
解題技巧：運用公式進行分析。
1.（2024湖北武漢聯考）如圖所示，電容為、帶電荷量為 的平行板電容器水平放置，
兩板之間的距離為，上極板帶正電，下極板接地，一帶電荷量為 的小球（可視為質
點）恰好靜止在兩板的中央點，重力加速度為 ，下列說法正確的是( )
A.小球帶正電
B.點的電勢為
C.小球的質量為
D.若把上極板向上平移一小段距離，則小球向下運動
B
【解析】 小球處于二力平衡狀態，所受電場力豎直向上，電場強度方向豎直向下，
則小球帶負電。
由電容的定義式，解得上、下兩極板間的電勢差， 點處在兩極板的正
中央，則點與下極板間的電勢差為，因為下極板接地電勢為0，所以 點的電勢
。
兩板間電場強度大小，根據小球在電場中平衡有 ，可得小球的質量
。
根據電容的決定式和定義式有，，又，可得
（【大招運用】判斷電場強度時可直接運用大招49公式 。），則若把上極板
向上平移一小段距離，兩極板間的電場強度不變，小球受到的電場力不變，仍處于靜止
狀態，不會向下運動。
. .
2.（2023湖南常德段考）如圖所示，平行板電容器充
電后與電源斷開，正極板接地，兩板間有一個帶負
電的試探電荷固定在 點，靜電計的金屬球與電容器
的負極板連接，外殼接地。以E表示兩極板間的電場
強度， 表示點的電勢，表示該試探電荷在 點
的電勢能， 表示靜電計指針的偏角。若保持負極
板不動，將正極板緩慢向右平移一小段距離
C
A.增大， 降低，減小， 增大 B.不變， 降低，增大， 減小
C.不變， 升高，減小， 減小 D.減小， 升高，減小， 減小
（靜電計帶電荷量可忽略不計），各物理量變化描述正確的是( )
【解析】 根據可知，若不變，則不變；根據可知，若 減
小，則增大，根據可知，不變，則減小， 減??；根據“正地大負地小”可知，
右移的是接地的正極板，則電勢升高，帶負電的電荷電勢能減小。
題組2 分析電容器中的電勢變化
解題覺醒
注意：此口訣適合正對面積不變，極板順（或逆）電場移動，分析電容器的電勢變化問題。
3.（2024廣東廣州一中期中）如圖所示，、 是水平放置的平行板電容器的兩塊極板，
下極板接地，直流電源電動勢恒定，內阻不計。將開關 閉合，電路穩定后，一帶電
油滴位于兩板中央的點且恰好處于靜止狀態，現將 極板向上平移一小段距離，則
( )
D
A.電容器的帶電荷量將增大
B.在極板上移過程中，電阻 中有向左的電流
C.帶電油滴將沿豎直方向向上運動
D. 點電勢將降低
【解析】 將板向上平移一小段距離，板間距離 增大。運用常規方法，先分
析電容變化，由 可知，電容器的電容變小，再分析極板帶電荷量變化，又
，電壓 不變，因此電容器帶電荷量減小，電容器放電，回路中有順時針方向的
電流，即電阻 中有向右的電流。
根據電容器內部電場強度，不變， 增大，可知電場強度減小，油滴受到向
上的電場力減小，將沿豎直方向向下運動。
、兩板間的電場強度減小，由（其中為到 的距離，
），可知 點電勢降低（【大招運用】判斷電勢變化可運用大招50口訣，根據
“順高逆低看場線”可知，板向上平移，逆電場線移動， 點電勢降低。）。
. .
. .
考點2 帶電粒子在非勻強電場中的運動
4.［多選］（2024山西大同模擬）如圖所示，虛線、、、 是空間中靜電場的四條等
勢線，相鄰等勢線間的電勢差恒定，一個帶電荷量為的帶正電小球套在以 點為圓心
的光滑絕緣水平圓環上，小球在 點時，給小球一個初速度使小球沿圓環做圓周運動，
圓環與等勢線在同一水平面內，與等勢線的交點分別為、、、，小球運動到 點
時對圓環的作用力恰好為零，小球在點的動能為，在點的動能為 ，小
球的半徑為 ，則下列判斷正確的是( )
AC
A.點電勢比 點電勢高
B.小球在點的速度比在 點速度大
C.、兩點的電勢差的絕對值為
D.小球在點受到的電場力大小為
【抓題眼】由題述小球套在“光滑絕緣水平圓環上”可知，計算時不需要考慮重力、摩擦
力的影響；且由“小球運動到點時對圓環的作用力恰好為零”可知，小球運動到 點時
只受電場力。
小球運動到點時電場力提供向心力，且小球帶正電，則點電場強度方向由 點
指向圓心點，由此判斷，、、、四點中， 點電勢最低。
小球從點向 點運動，電場力做負功，動能減小。
相鄰等勢線間的電勢差恒定，、兩點電勢差的絕對值 。
小球在點受到的電場力 ，根據能量守恒定律可知
，聯立可得 。
5.（2024湖南長沙市雅禮中學月考）工業生產中有一種叫電子束焊接機的裝置，其核心
部件由如圖所示的高壓輻向電場組成。該電場的電場線如圖中帶箭頭的直線所示。一電
子在圖中 點從靜止開始在只受電場力的作用下沿著電場線做直線運動，設電子在該電
場中的運動時間為，位移為，速度為，受到的電場力為，電勢能為 ，運動經過
的各點電勢為 ，則下列四個圖像可能合理的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 電子所受電場力的方向與電場強度方向相反，指向圓心，因此電子向圓
心運動，電場強度逐漸增大，根據可知，電場力 逐漸增大。
設電子的質量為，則電子的加速度 ，電子向圓心運動，電場強度增大，電
子的加速度增大，速度—時間圖線的切線斜率增大。
電子向圓心運動，電場強度增大，所受電場力增大，電勢能—位移圖線的切線斜
率絕對值增大（【點撥】電場力增大，則電子移動相同的距離時電場力做的功增多，電
勢能變化加快，即 圖線的切線斜率絕對值增大。）。
電子向圓心運動，逆電場線運動電勢升高，電場強度增大，電勢—位移圖線的切
線斜率增大。
6.［多選］（2023河南洛陽模擬）質子能量分析器由半徑分別為和 的兩個同心金屬
半球面構成，過其球心的截面如圖所示，、 球面上加有電壓使質子偏轉。一束電荷
量為、質量為的質子以不同的速度從偏轉器左端 板的正中間小孔垂直入射，最后
到達偏轉器右端的探測板，其中速度為的質子沿等勢面做勻速圓周運動到達 板
正中間；速度為的質子到達板左邊緣時的動能為，速度為的質子到達 板右邊
緣時的動能為 。則下列說法正確的是( )
BC
A.等勢面所在處電場強度的大小為
B.等勢面所在處電場強度的大小為
C.
D.
【解析】 質子沿等勢面做勻速圓周運動到達 板正中間，此種情況下的軌
道半徑為，有，解得 。
設、間電勢差為,、間電勢差為，到達 板左邊緣處的質子在運
動過程中，電場力對它做正功，根據動能定理可得；到達 板右邊
緣處的質子在運動過程中，電場力對它做負功，根據動能定理可得
，根據電場線越密的地方電場強度越大可知，輻向電場靠近圓心
處電場強度大，則，則 ，即
。
考點3 帶電粒子在勻強電場中的加速和偏轉
7.［多選］（2024陜西西安模擬）如圖所示，一平行板電容器連接在直流電源上，電容
器的兩極板水平；兩微粒、 帶等量異種電荷，使它們分別靜止于電容器的上、下極
板附近，與極板距離相等?，F同時釋放、 ，它們由靜止開始運動。在隨后的某時刻
，、經過電容器兩極板間下半區域的同一水平面。、 間的相互作用和重力可忽略，
則下列說法正確的是( )
BD
A.的質量比的大 B.在時刻，的動能比 的大
C.在時刻，和的電勢能相等 D.在時刻，和 的動量大小相等
【解析】 設微粒的質量為、帶電荷量為、加速度大小為 ,兩板間電場強度大
小為，兩微粒只受電場力作用且兩者所受電場力大小相等，由位移 且
知，微粒的加速度大，由知，微粒 的質量小。
由動能定理得知，位移大的微粒 的動能大。
時刻，、在同一等勢面上，、 兩微粒的電荷量雖相等，但電性相反，故電勢
能不相等。
由動量定理得可知，時刻、 的動量大小相等。
8.（2024重慶七中期中）如圖，空間內有一范圍足夠大的勻強電場，場強方向與梯形區
域平行，已知，，， ，
，一比荷為的帶負電粒子由點沿方向以速率 進入該電場，
恰好可以通過 點。不計粒子的重力，下列說法正確的是( )
C
A. 點電勢為零
B.場強方向由指向
C.該粒子到達點時速度大小為
D.該粒子到達點時速度方向與 邊垂直
【解析】 如圖，，，可知
的中點的電勢為，可知為等勢線，連接 ，作
的垂線，根據沿電場線方向電勢降低可知，場強方向
由指向 。
由幾何關系可知，為 的中點，有
，可得 。
電場強度的大小 ，垂直電
場強度方向粒子做勻速直線運動，則有 ，沿電場強度方向粒子做
勻加速直線運動，則有，解得， ，沿電場強度方
向粒子的速度，該粒子到達 點時速度大小
為 。
該粒子到達點時速度方向與 延長線的夾角的正
切值，可知 ，所以該粒子到達
點時速度方向不與 邊垂直。
9.［多選］（2024陜西西安高新一中模擬）一帶正電微粒從靜止開始經電壓 加速后，
射入水平放置的平行板電容器，極板間電壓為 。微粒射入時緊靠下極板邊緣，速度方
向與極板夾角為 ，微粒運動軌跡的最高點到極板左、右兩端的水平距離分別為 和
，到兩極板距離均為 ，如圖所示。忽略邊緣效應，不計重力。下列說法正確的是
( )
BD
A.
B.
C.微粒穿過電容器區域的偏轉角度的正切值為2
D.僅改變微粒的質量或者電荷量，微粒在電容器中的運
動軌跡不變
【解析】
，與、 無關，D正確
10.（2024江西吉安期末）如圖所示，水平放置
的帶電平行板長度為，間距為 ，板間的勻
強電場的場強為 ，傾斜向上的有界勻強電場的
場強大小也為 ，豎直放置的帶電平行板的間距
為 ，一帶電粒子（重力忽略不計）的質量為
，帶電荷量為，從水平板的左下邊緣 點以
水平向右的速度進入電場，從右上邊緣 點離開
后立即進入傾斜的勻強電場，然后沿電場方向
直線運動到豎直板的左下邊緣點，最后運動到豎直板的右上邊緣 點時，速度方向豎
直向上，已知、兩點間的間距為，， ，求：
（1） 粒子在、 兩點的速度的大?。?br/>【答案】 ;
【解析】 粒子從 過程做類平拋運動，則有
，，
令點速度與水平方向的夾角為 ，則有
解得，， ，
粒子從 過程做勻加速直線運動，則有
解得 。
（2） 粒子從到 運動的總時間；
【答案】
【解析】 粒子從過程做勻加速直線運動，則有
粒子從過程做類斜拋運動，則有
則粒子從到運動的總時間
解得 。
（3） 、 兩點間的電勢差。
【答案】
【解析】 由于粒子最后運動到豎直板的右上邊緣 點時，速度方向豎直向上，水平分
速度減為0，則有
結合上述解得 。
11.（2023北京卷）某種負離子空氣凈化原理如圖所示。由空氣和帶負電的灰塵顆粒物
（視為小球）組成的混合氣流進入由一對平行金屬板構成的收集器。在收集器中，空氣
和帶電顆粒沿板方向的速度 保持不變。在勻強電場作用下，帶電顆粒打到金屬板上被
收集。已知金屬板長度為，間距為 ，不考慮重力影響和顆粒間相互作用。
（1） 若不計空氣阻力，質量為、電荷量為 的顆粒恰好全部被收集，求兩金屬板
間的電壓 ；
【答案】
【解析】 只要緊靠上極板的顆粒能夠落到收集板右側，顆粒就能夠全部被收集，水平
方向有
豎直方向有
對顆粒根據牛頓第二定律有
又
聯立解得 。
（2） 若計空氣阻力，顆粒所受阻力與其相對于空氣的速度 方向相反，大小為
，其中為顆粒的半徑， 為常量。假設顆粒在金屬板間經極短時間加速后達到
最大速度。
① 半徑為、電荷量為的顆粒恰好全部被收集，求兩金屬板間的電壓 ；
【答案】
【解析】 顆粒在金屬板間經極短時間加速達到最大速度，豎直方向
，即
且
解得 。
② 已知顆粒的電荷量與其半徑的平方成正比，進入收集器的均勻混合氣流包含了直徑
為和的兩種顆粒，若的顆粒恰好被收集，求 的顆粒被收
集的百分比。
【答案】 25%
【解析】 帶電荷量的顆粒恰好 被收集，顆粒在金屬板間經極短時間加速
達到最大速度，所受阻力等于電場力，有
，
在豎直方向顆粒勻速下落
的顆粒帶電荷量為
顆粒在金屬板間經極短時間加速達到最大速度，所受阻力等于電場力，有
，
設只有距下極板為以內的顆粒被收集，在豎直方向顆粒勻速下落
解得 ，則 的顆粒被收集的百分比為
。
12.（2024河南周口模擬）圖（a）為一種測量帶電微粒速率分布的實驗裝置。圖中直徑
為的豎直圓筒壁上有一豎直狹縫，高度為 ，寬度忽略不計。緊貼圓筒內壁固定有高
度為的半圓柱面收集板，用于收集帶電微粒；板的一豎直邊緊貼狹縫 ，上
邊與狹縫上端對齊，上邊緣遠離狹縫的頂點為點，另有一距點弧長為的點 ，俯視
圖如圖（b）所示。圓筒內存在一豎直向下的勻強電場，電場強度為 。令圓筒以角速
度 繞中心軸順時針轉動，同時由微粒源產生的微粒沿水平方向以不同的速率射入圓
筒，已知微粒質量均為，電荷量均為 ，忽略微粒自身的重力及微粒間的相互
作用。
（1） 求 點所在豎直線上收集到的微粒中，入射速率最大的微粒下落的距離；
【答案】
【解析】 打在 點所在豎直線上的微粒，入射速率最大時，圓筒轉過的角度為
對應的時間為
加速度為
下落高度
聯立可得 。
（2） 為了確保收集板任一豎直線上收集到的微粒速率相同，并且能收集到所有該速率
的微粒，求圓筒轉動角速度 的取值范圍。
【答案】
【解析】 設帶電微粒進入圓筒后，圓筒轉過一圈的過程中，能收集到的速率最小的微
粒下降的高度為，第一圈末時，過點的豎直線上收集的微粒下落高度為
能收集到的速率最小的微粒對應的弧長為
加速度為，
設圓筒的周期為，，
聯立可得
因為，所以 成立，結果合理。
考點4 示波器模型
解題覺醒
1.題型特征:帶電粒子由靜止釋放，先經過加速電場，后垂直進入偏轉電場，射出后再打
在熒光屏上，不計粒子重力。
2.解題步驟
（1）加速電場階段：列動能定理表達式求粒子離開加速電場時的速度。
（2）偏轉電場階段：將粒子的運動分解為沿電場方向的勻速直線運動和垂直電場方向
的勻加速直線運動。
（3）利用相似三角形，如圖中 ，求粒子打到熒光屏
上時位移的偏移量 。
13.［多選］（2024上海期中）如圖所示為一種噴墨打印機的打印頭的結構簡圖，其中
墨盒可以噴出極小的墨汁顆粒，此顆粒經過帶電室帶上電后垂直于電場方向射入偏轉電
場，經過偏轉電場后打到紙上。不考慮墨汁顆粒的重力，為使打在紙上的字跡縮小
（偏轉距離減?。?，下列措施可行的是( )
AC
A.僅減小墨汁顆粒的帶電荷量 B.僅減小偏轉電場兩極板間的距離
C.僅減小偏轉電場的電壓 D.僅減小墨汁顆粒的噴出速度
【解析】 墨汁顆粒以一定的初速度垂直射入偏轉電場做類平拋運動，設偏轉
電場兩極板的長度為、兩極板間的距離為、兩極板間的電壓為 ，墨汁顆粒的質量為
、電荷量為、初速度大小為，墨汁顆粒在偏轉電場中的加速度大小為 、運動時間
為，則墨汁顆粒射出偏轉電場時水平方向的位移，豎直方向的位移 ，
加速度，聯立解得 。要縮小字跡，就要減小墨汁顆粒通過偏轉電場過
程中豎直方向上的位移 ，由上式分析可知，可采用的方法有：減小墨汁顆粒的帶電荷
量、增大偏轉電場兩極板間的距離、減小偏轉電場的電壓 、增大墨汁顆粒的噴出速度
等。
14.（2024北京期中）利用電場來加速和控
制帶電粒子的運動，在現代科學實驗和技術
設備中有廣泛的應用。如圖所示，、 為
豎直放置的平行金屬板，、 為板上正對
的小孔，兩板間所加電壓為，金屬板 和
水平放置在板右側，關于小孔、 所
在直線對稱，兩板間加有恒定的偏轉電壓?，F有一質子和 粒子從小孔 處
先后由靜止釋放，經加速后穿過小孔水平向右進入偏轉電場。已知 粒子的質量為 ，
電荷量為 。
（1） 求 粒子進入偏轉電場時的速度大小。
【答案】
【解析】 根據動能定理有
解得 粒子進入偏轉電場時的速度大小 。
（2） 請判斷質子和 粒子在偏轉電場中的運動軌跡是否相同，并說明理由。
【答案】 見解析
【解析】 建立如圖所示的坐標系，以出發點為原點，水平向右為軸，向下為 軸，
設偏轉極板、間的電壓為，極板間距為，有，，
聯立可得
與帶電粒子的質量和電荷量無關，故質子和 粒子在偏轉電場中的運動軌跡相同。
（3） 交換、兩板的極性，使大量電子加速后連續不斷地穿過小孔 水平向右進入
偏轉電場，且進入偏轉電場的速度均為。已知極板和 的長度
，間距，兩極板間電壓為 。已知電子質量
，電荷量。若要電子不能穿過偏轉極板，求 至少
為多大。
【答案】
【解析】 設電子飛出偏轉極板的時間為，當電子的側位移為時，有
解得
若要電子不能穿過偏轉極板，則需 。
15.（2024廣東廣州白云中學期中）一束電子從靜止開
始經加速電壓 加速后，水平射入水平放置的兩
平行金屬板中間，如圖所示。金屬板長為 ，兩板間的
距離為 ，豎直放置的熒光屏與金屬板右端的距離
，若在兩金屬板間加直流電壓時，電子偏離中線打在熒光屏上的 點。
已知電子的質量為 、
電荷量為， ，不計電子重力及電子之間的相
互作用。
（1） 求電子剛進入偏轉電場時的速度大??；
【答案】
【解析】 設電子剛進入偏轉電場時的速度大小為，由動能定理可得
解得 。
（2） 求電子離開偏轉電場后打在熒光屏上時、 間的距離；
【答案】
【解析】 電子在偏轉電場中做類平拋運動，設運動時
間為，有，偏轉位移
又加速度
解得
如圖所示，由幾何關系，可得 （【大招運用】
計算、 間的距離運用大招51，利用平拋推論和相似三角形解題。）
解得、間的距離 。
. .
. .
（3） 若在兩金屬板間加直流電壓，電子打在熒光屏上 點（圖中未畫出），
則電子兩次打在熒光屏上時的動能之比 是多少？
【答案】
【解析】 同理，改變金屬板間電壓后，有，偏轉位移
解得
由動能定理可得電子兩次打在熒光屏上時的動能分別為
則 。
考點5 帶電粒子在等效重力場中的運動
解題覺醒
一、等效重力場中的拋體運動
1.題型特征
有重力的小球在勻強電場中豎直上拋，落到同一水平線上，分析位移、能量。
2.解題步驟
（1）時間關系：。
（2）位移關系：。
（3）分析能量：重畫路徑。
二、電場重力場 豎直圓模型
1.題型特征
（1）復合場：豎直重力場 勻強電場。
（2）帶電體在等效重力場中做豎直圓周運動，帶電體重力不能忽略。
2.解題步驟
（1）受力分析；
（2）確定等效最低點、最高點；
（3）依據圓周運動規律分析、列方程。
16.［多選］（2024天津市第一中學期中）在電場方向水平向
右的勻強電場中，一帶電小球從 點豎直向上拋出，其運動
的軌跡如圖所示，小球運動的軌跡上、 兩點在同一水平線
上，點為軌跡的最高點，小球拋出時的動能為，在
點的動能為 ，不計空氣的阻力，則( )
BD
A.從點運動到點電勢能增加
B.小球水平位移與之比為
C.小球落到點時的動能為
D.小球從點運動到點的過程中動能有可能小于
【解析】 將小球的運動沿水平和豎直方向正交分解，水平分運動為初速度為零的勻加
速直線運動，豎直分運動為豎直上拋運動。
小球拋出時的動能為，在點的動能為，因此從點運動到 點電場力做
功為，則電勢能減小 。
對于初速度為零的勻加速直線運動，從初始時刻開始在連續相等的兩段時間間隔
內位移之比為 ，小球在水平方向做初速度為零的勻加速直線運動，在豎直方向上拋
和下落過程運動時間相等，因此 。
小球從點到點，小球所受電場力做功為,則從點到 點電場
力做功為 ,則由能量守恒定律可知，小球運動
到點時的動能為 。
圖1
【大招運用】計算小球落到 點時的動能可運用大招52，
重新畫小球的路徑，如圖1所示，依次標出每個過程重力
或電場力做的功，快速得出結果 。
圖2
合運動與分運動具有等時性，設小球所受的重力為 ，
小球的質量為，從點到點運動時間為 ,則有
，，所以 ，由圖2可得
，因此，小球從點運動到 點的過程
中速度最小時速度一定與等效重力垂直，如圖2中的 點，
將小球在點的速度沿垂直于的方向和 所在直線的方向
分解，得最小速度 ，故最小動能
。
17.［多選］（2024重慶模擬）如圖，在豎直平面內有水平向左的
勻強電場，在勻強電場中有一根長為 的絕緣細線，細線一端固定
在點，另一端系一質量為、電荷量大小為 的帶電小球。小球靜
止時細線與豎直方向成 角，此時讓小球獲得初速度且恰能繞 點
在豎直平面內做圓周運動，重力加速度為 。則( )
ABC
A.勻強電場的電場強度大小為
B.小球獲得初速度的大小為
C.小球從初始位置運動至軌跡的最左端減少的機械能為
D.小球從初始位置在豎直平面內順時針運動一周的過程中，其電勢能先減小后增大
【解析】 小球靜止時細線與豎直方向成 角，對小球受力分析如圖所示，
小球受重力、拉力和電場力，三力平衡，根據平衡條件有 ，解得
。
小球恰能繞點在豎直平面內做圓周運動，在等效最高點 由重力和電場力的合力
提供向心力（【點撥】等效重力場問題，小球運動到等效最高點時，速度最小。小球恰
好能做圓周運動的條件是，小球在等效最高點時，由重力和電場力的合力提供向心
力。），根據牛頓第二定律，有，則小球從初始位置運動到 點的過程中，
由動能定理可得 ，聯立解得小球獲得初
速度的大小為 。
. .
. .
小球的機械能和電勢能之和守恒，則小球運動至電勢能最大的位置機械能最小，小
球帶負電，則小球運動到圓周軌跡的最左端時機械能最?。ā军c撥】在整個運動過程中，
重力和電場力做功，即小球的動能、重力勢能和電勢能在相互轉換，故小球電勢能最大
時，小球的機械能最小，減少的機械能等于增加的電勢能。電場力做正功，電勢能減
少。），由功能關系和能量守恒定律可得，小球從初始位置運動至軌跡的最左端減少的
機械能電 。
小球從初始位置開始在豎直平面內順時針運動一周的過程中，電場力先做負功，
后做正功，再做負功，則其電勢能先增大后減小再增大。
18.［多選］（2024內蒙古包頭檢測）如圖所示，地面
上方某區域內存在水平向右的勻強電場，質量為 的帶
正電小球以豎直向上的初速度由 點射入該區域，小
球剛好能到達的最高點為點。已知、 的連線與初
速度方向的夾角為 ，重力加速度為 ，
BD
A.小球所受電場力的大小為 B.小球通過點時的動能為
C.經過時間，小球距直線最遠 D.經過時間 ，小球的動能最小
， ，不計空氣阻力，從小球進入電場至運動到最高點的過程
中，下列說法正確的是( )
【解析】 設，小球從點到點經歷的時間為，小球在 點的速度大小
為,小球從點到點水平方向做勻加速直線運動，豎直方向做豎直上拋運動，到達 點
時豎直方向的速度為零，水平方向有，豎直方向有 ，且
，，解得，水平方向的加速度大小 ，在水平方向由牛頓第二
定律得小球所受電場力的大小，則小球在 點的動能為
。
當小球的速度平行于時小球距直線最遠，此時 ，其中沿電場方向
的分速度，垂直于電場方向的分速度，解得運動時間 。
由幾何關系知，小球所受合外力與水平方向成 角斜向右下方，當小球的速度方
向與所受合力方向垂直時小球的動能最小，此時有 ，沿電場方向的分速度
，垂直于電場方向分速度，解得運動時間 。
【大招運用】A、B選項也可運用大招52求解。如圖所示，
設過點的豎直線與過點的水平線的交點為 ，小球的電
荷量為，勻強電場的電場強度大小為,從點到 點運動
時間為，重新畫小球的路徑。對段與 段分別運用運
動學公式可知， ，由幾何關系可
知，解得，A錯誤。小球在 點的動能等
于段電場力做的功，則，從點到 點重力做功
，解得 ，B正確。
19.［多選］（2024遼寧聯考）一半徑為 的光滑絕緣半圓弧軌道固
定在豎直平面內，為其豎直直徑，為圓心，半徑 ，
整個空間存在向左上方，與水平面成 角的勻強電場。一質量為
、帶電荷量為 的小球（可視為質點），第一次從軌道最低
點由靜止釋放，到達點時速度剛好為零， 連線與水平面成
角。第二次小球從點以速度 水平向左射入，可使小球剛好
到達點，點速度大小為， ，則下列說法正確的是
( )
AC
A.電場強度
B.
C.
D.第二次小球從點到點的過程中，最大速度為
【解析】 類比單擺，因為小球到達 點時，速度為零
（【抓題眼】這句話表明了 點相當于最高點，小球所受
合外力方向沿弧的對稱軸指向 點。），可確定圖中的
與的合力在二者夾角 的角分線方向，由圖中
的幾何關系可知，可得 。
因為小球剛好到達 點，所以對軌道的壓力為零，即
，可得 。
小球從點運動到 點，根據動能定理
，解得
. .
。
根據大招找最低點方法，可知過圓心作合力 與圓軌道的交點為等效最低點，設該
交點為，當小球到達等效最低點時，有圓周運動的最大速度，對小球從 點運動
到點，由動能定理可知，由圖中的幾何關系可知 ，聯立
可得 。
考點6 帶電粒子在周期場中的運動
解題覺醒
1.題型特征：帶電粒子由靜止開始在交變電場中運動，或垂直于電場方向射入加了交變電
場的極板之間，并給出圖像，電壓周期性變化，定性分析帶電粒子在極板間的運動。
2.解題步驟
（1）定方向：規定時粒子的受力方向為正。
（2）畫圖像：且不變, 圖像為
傾斜向上的直線；且不變, 圖像
為傾斜向下的直線。
（3）明運動：根據 圖像確定粒子運動
方向，上面積對應正向走，下面積對應負向走。
20.（2024浙江嘉興期末）如圖甲中高能醫用電子直線加速器能讓電子在真空場中被電
場力加速，產生高能電子束，圖乙為加在直線加速器上、 間的電壓，已知電子電荷
量為，質量為，交變電壓大小始終為，周期為，時刻電子從軸線 上的緊
靠0號金屬圓筒右側由靜止開始被加速，圓筒的長度的設計遵照一定的規律，使得粒子
“踏準節奏”在間隙處一直被加速。不計在兩金屬圓筒間隙中的運動時間，不考慮電場的
邊緣效應，則( )
A.電子在1號圓筒內加速度大小為
B.電子在2號圓筒內運動時間
C.電子射出3號圓筒時的速度大小為
D.8號金屬圓筒的長度為
√
【解析】 金屬圓筒中電場為零，電子不受電場力作用，則電子在1號圓筒內加速
度為零。
電子每經過圓筒間狹縫時都要被加速，然后進入圓筒做勻速直線運動，所以電子
在圓筒中運動時間必須為 ，才能滿足每次經過狹縫時被加速。
設電子進入3號圓筒時的速度為，由動能定理有，可得 ，
因為電子在圓筒中做勻速直線運動，則電子射出第3個圓筒時的速度大小為 。
設電子進入8號圓筒時的速度為，由動能定理有，可得 ，
而電子在圓筒中做勻速直線運動，由此可得8號圓筒的長度為 。
21.［多選］（2024湖南師大附中模擬）圖1的平行金屬板、 間加有圖2所示的交變電
壓，是、板間的中線，當電壓穩定時，板間為勻強電場。時刻，比荷為
的帶電粒子甲從點沿方向、以的速率進入板間， 時刻飛離電場，期間恰
好不與極板相碰。若在時刻，帶電粒子乙以的速率沿從 點進入板間，已
知乙粒子在運動過程中也恰好不與極板碰撞，不計粒子受到的重力，則下列說法正確的
是( )
A. 時刻，乙粒子離開電場
B.乙粒子的比荷為
C.甲粒子離開電場時的速度大小為
D.甲、乙兩粒子通過電場偏轉的位移大小之
比為
√
√
【解析】 運用大招53分步進行分析。
第 一 步 定 方 向 這道題未給出粒子的電性，選項中也不涉及粒子偏轉方向，可假設、 間電壓為
時，粒子向上極板運動
第 二 步 畫 圖 像 根據題意，圖像與圖像變化情況相同，可根據 圖像畫出不同時間段
進入的粒子的 圖像，如圖所示。
_________________________________________________________________________________________
圖線與時間軸圍成的面積表示垂直于極板方向上的位移，圖線 為甲的
圖線，圖線為乙的 圖線
第 三 步 明 運 動 A（）設板長為，甲粒子帶負電，則甲運動時間為 ，因乙粒子入射速度為甲的兩倍，故運動時間為，因乙在 時刻飛入板間，則在 時刻飛出板間。
D（√）設板間距為 ,若粒子恰好不與極板碰撞，表示粒子在電場中豎直方向的最大位移大小剛好為，根據圖像可知，在 時刻甲粒子恰好不碰到極板，該時刻甲粒子的位移的大小達到最大，而在 時刻，甲粒子出電場，此時位移是最大位移的一半，為，即甲在豎直方向上的位移為 ；同理，對乙粒子，根據圖像可知在 時刻乙粒子恰好不與極板相撞，此時乙剛好飛出電場，即乙在豎直方向上的位移為，則偏轉位移之比為 。
C（）時刻，甲粒子離開電場時具有豎直向上的分速度，速度不是 。
B（√）設甲、乙的加速度大小分別為、,質量分別為、 ,電荷量大小分別為、,對乙有 ，對甲有，因，故有，可得 ，又，，可得 。
覺醒集訓
1.（2024湖南卷）真空中有電荷量為和的兩個點電荷，分別固定在軸上 和0
處。設無限遠處電勢為0，正半軸上各點電勢 隨 變化的圖像正確的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 根據點電荷周圍的電勢公式，設處 的電勢為0，可得
，解得，故可知當時，；當時， ，D正
確。
2.［多選］（2023天津卷）如圖所示，一個固定正電荷產生的電場中，同一個正電荷
兩次以大小相同、方向不同的初速度從點出發，分別抵達點、點，且在、 點
時速度大小也一樣，則下列說法正確的是( )
AD
A.點電勢大于點電勢 B.點電勢大于 點電勢
C.從點到點一直做減速運動 D.、 兩點處電場強度大小相同
【解析】 由題知，同一個正電荷 兩次以大小相同、方向不同的初速度
從點出發，分別抵達點、點，且在、點時速度大小也一樣，這說明、 兩
點的電勢相同，根據運動軌跡可知，正電荷 所受電場力方向大致向右，則場源正電荷
位于點左側，由于沿著電場線方向電勢降低，所以點電勢高于點電勢，從到
一直做加速運動。
、兩點在同一等勢面上，且該電場是固定正電荷產生的電場，則、 到固定
正電荷的距離相等，則、 兩點處電場強度大小相同。
3.（2024山東模擬）在軸上的、 兩點分別固定
兩個點電荷，如圖是軸上各點電場強度 隨位置
變化的關系圖像，圖中圖線關于 點中心對稱，
軸上、兩點關于點對稱。規定 軸正方向為
電場強度正方向，下列說法正確的是( )
D
A.、 兩點固定的是等量異種電荷
B.從點到 點，電勢逐漸降低
C.電勢差
D.一正電荷從點自由釋放，僅在電場力作用下運動到 點過程中其動能先增大后減小
【解析】 由電場方向隨軸的變化可知，、 兩點放置的是等量正點電荷
（【點撥】若、兩點固定的是等量異種電荷，則點處 軸方向的場強不應為零，且
軸方向的場強圖線應為關于、 中點對稱的曲線。）。
由題圖可知，從點到 點，場強方向先向右后向左，根據沿電場線方向電勢降低
可知，電勢先降低后升高。
圖像與橫軸圍成的面積表示電勢差，由題圖可知圖線關于點中心對稱， 軸
上、兩點關于點對稱，故、與圖線圍成的面積大小相等，又因為 ,
，故 。
從點到點，場強方向先向右后向左，故正電荷從 點自由釋放，先受到向右的
電場力，后受到向左的電場力，電場力先做正功，后做負功，其動能先增大后減小。
. .
4.（2024安徽安慶模擬）如圖所示，兩個完全相同的平行板電容器水平放置，上極板由
導線經二極管相互連接，下極板由導線直接連接且接地，開始時兩電容器上極板帶電荷
量相等。帶電小球靜止在左邊電容器的中間位置，另一個帶電小球 通過絕緣細線懸
掛在右邊電容器的上極板上，且 球靜止時距下極板的距離為兩板間距的四分之一。兩
球均可視為點電荷。以下說法正確的是( )
D
A.球電勢能大于 球電勢能
B.將左邊電容器下極板上移少許，、 兩
球開始所在位置處的電勢均升高
C.將左邊電容器下極板下移少許，穩定后左、
右兩平行板電容器內電場強度大小相等
D.在左邊電容器靠近下極板插入一電介質板，
穩定后右邊電容器內電場強度大小不變
【解析】 開始時左右兩電容器內場強相等，由于不知道 球的質量及所帶電荷，
因此無法比較兩者的電勢能。
將左邊電容器下極板上移少許，由可知，電容增大，由， ，
聯立可得 （【點撥】由于二極管的單向導電性，右側電容器上極板的電荷不能
移向左邊電容器，因此左邊電容器的帶電荷量 不變。），可見左邊電容器兩極板間電
壓減小，但是場強大小不變，對兩點電勢大小的計算有 ，由于兩邊場強均不
變，而左側減小，右側不變，因此左邊球所在位置處電勢減小，右邊 球所在位置
處電勢不變。
將左邊電容器下極板下移少許，根據 可知，左邊電容器電容減小，因此左
. .
. .
邊電容器需要放電，即左邊電容器內的電荷將移向右邊電容器，根據， 聯立
可得 ，可知，左邊電容器內場強減小，而右邊電容器內場強增大。
在左邊電容器靠近下極板插入一電介質板，根據 可知，左邊電容器電容變
大，而由于二極管的單向導電性，可知右邊電容器中的電荷不能左移，因此，穩定后右
邊電容器內電場強度大小不變。
5.（2024江西吉安泰和中學月考）兩帶電荷量分別為和 的點電荷
、分別固定在軸上的、兩點，兩電荷連線上各點電勢 隨坐
標變化的圖像如圖所示，其中點電勢最高，且在軸上、 之間的
距離小于、 之間的距離。則下列說法正確的是( )
D
A.和 都帶正電
B.的電荷量大于 的電荷量
C.在、之間將一點電荷沿軸從 點下側移到上側，電勢能先減小后增大，則該點電
荷帶正電
D.一點電荷只在電場力作用下沿軸從點運動到接近 點，加速度逐漸變大
【解析】 由題圖可知，從到電勢升高，則、間電場線方向由指向，從
到電勢降低，則、間電場線方向由指向，則和 是同種電荷，都帶負電。
在點， 圖線的切線斜率為無窮大（【易錯】注意 圖線上各點切線斜
率絕對值不表示電場強度的大小，而是表示電場強度大小的倒數。），則 點的電場強
度大小為零，說明和兩點電荷在 點產生的電場強度大小相等，方向相反（【易錯】
此處注意電場強度的矢量性，疊加時應注意方向性。），由點電荷的電場強度公式
可知，因，故的電荷量小于 的電荷量。
負點電荷從點下側移到 點上側，電場力先做正功，后做負功，負點電荷的電勢
能先減小后增大。
圖線切線斜率絕對值表示電場強度大小的倒數，從點到點， 圖線
切線斜率絕對值越來越小，故電場強度越來越大，則一點電荷只在電場力作用下沿 軸
從點運動到接近 點，加速度逐漸變大。
. .
. .
6.［多選］（2024河北衡水期末）如圖所示，豎直平面內有兩個固定的點電荷，電荷量
均為，與其連線中點的距離均為，質量為、電荷量為的試探電荷以 為圓心、
垂直兩固定的點電荷的連線做勻速圓周運動，圓周上的兩點、與 在同一直線上，
、兩點各自和兩個正點電荷連線與連線的夾角均為 ，已知靜電力常量為
，重力忽略不計，則( )
BC
A.試探電荷做勻速圓周運動所需的向心力大小為
B.若將 增大，試探電荷仍能以 為圓心做勻速圓周運動，
則試探電荷的向心力可能變小
C.試探電荷做勻速圓周運動的角速度為
D.若在點由靜止釋放負點電荷，該電荷將加速到達 點
【解析】 以試探電荷為研究對象，其做勻速圓周運動，兩正點電荷對其靜電力的
合力提供向心力，做勻速圓周運動所需的向心力大小為 。
越大，越靠近 點，由等量同種點電荷產生的電場可知，電場強度可能變小，所
以 增大向心力有可能變小。
由可得，試探電荷做勻速圓周運動的角速度 。
、之間的電場強度方向向左，電場力向右，由到 ，電場力反向，故負點電荷
先加速后減速運動，到 點速度為零。
7.（2024重慶一中期中）一點電荷固定在空間點，在點上下空間內分別有、 兩點
電荷在水平面內做勻速圓周運動，如圖所示。、兩點電荷的電荷量分別為、 ，
質量分別為、 ，不計重力作用。則( )
A
A.， B.，
C.， D.，
【解析】 在不計重力的影響下，受力分析圖如圖所示，
由于、兩點電荷都做勻速圓周運動，要保持、 ，各自所受
合力的大小始終保持相等，、 的相對距離不能發生改變，故
、的角速度要保持相等。對于、 各自豎直方向的合力為零，
有 ， ，整理可
得，由圖可知,故 。
水平方向上，對點電荷有，對 點電荷有
，聯立方程可得，由于 ，則
有 。
8.（2023重慶八中二模）空間中存在平行于紙面的勻強電場，在紙面內取 點為坐標原
點建立軸，如圖甲所示。現有一個質量為、電荷量為的帶電微粒，從 開始以
一定初速度從軸上的點開始沿逆時針方向做勻速圓周運動，圓心為、半徑為 。已
知圖甲中圓為其軌跡，為圓軌跡的一條直徑。除電場力外微粒還受到一個變力 ，不
計其他力的作用。測得帶電微粒所處位置的電勢 隨時間 的變化圖像如圖乙所示。下
列說法正確的是( )
A.電場強度的大小為，方向與軸正方向的夾角為
B.點與點的電勢差
C.微粒在時所受變力 可能達到最大值
D.帶電微粒做圓周運動的過程中變力的最大值為
√
圖1
【解析】 根據勻強電場電場強度與電勢差的關系可知，
場強 ，因為沿電場強度方向電勢降
低，所以電場強度方向與軸正方向的夾角為 (【點撥】設
時微粒轉到點,時轉到 點，由題圖乙可知微粒做圓周
運動的周期，則 時間內微粒轉動
的角度為。則電場方向為圖1中指向 的箭頭所示方向。)。
點與點的電勢差 。
. .
. .
圖2
由于電場強度方向斜向左下方，因此微粒在 時位于等
效“最低點”，所受變力可能達到最大值，在 時位于等效“最
高點”，所受變力 可能達到最小值（【點撥】微粒做勻速圓周運
動所需的向心力大小不變，電場力不變，如圖2所示,以向心力長度
為半徑畫圓，當與向心力反向時，最大；同向時， 最
小。）。
帶電微粒做圓周運動的過程中變力的最大值為， ，因
此 。
. .
. .
. .
9.（2024陜西西安高新一中實驗中學期末）如圖（a）所示，真空室中電極 發出的電子
（初速度為零，不計重力）。經的加速電場后，由小孔沿水平金屬板 、
兩板間的中心線射入，、板長，相距，加在、 兩板間的
電壓隨時間變化的圖線如圖（b）所示。設、 兩板間的電場可以看作是均勻
的，且兩板外無電場。在每個電子通過電場區域的極短時間內，電場可視作恒定的。兩
板右側放一記錄圓筒，筒的左側邊緣與極板右端距離 ，筒繞其豎直軸勻速轉
動，周期，筒的周長，筒能接收到通過、 板的全部電子。
（1） 對于恰能穿過、板的電子，在它通過時加在兩板間的電壓 應為多大？
【答案】
【解析】 對于恰能穿過、板的電子，設為電子沿、 板的中心線射入電場時的
初速度，由動能定理得
電子在中心線方向的運動為勻速直線運動，設電子穿過、板的時間為 ，則有
電子在垂直、板方向的運動為勻加速直線運動，對于恰能穿過、 板的電子，它在
垂直、板方向的加速度大小為
在它恰能通過時應滿足
解得 。
（2） 以時［見圖（b），此時］電子打到圓筒記錄紙上的點作為 坐標系
的原點，并取 軸正方向豎直向上，試計算電子打到記錄紙上的最高點的橫坐標和縱坐標；
【答案】 和
【解析】 此電子從、板射出時沿方向的分速度為
此后，此電子做勻速直線運動，它打在記錄紙上的點最高，設縱坐標為 ，根據幾何
關系可得
解得
由題圖（b）可知，加于兩板電壓的周期，的最大值 ，因為
，所以在一個周期內，只有開始的一段時間間隔內有電子通過、 板，則
有
由題意可知電子從發射到打在到記錄紙上的時間可忽略不計。并且因為 ，所以電
子打在記錄紙上的最高點不止一個，根據題中關于坐標原點與起始記錄時刻的規定，第
一個最高點的橫坐標為
第二個最高點的橫坐標為
第三個最高點的橫坐標為
由于記錄筒的周長為 ，所以第三個最高點已與第一個最高點重合，由此推知記錄
紙上能記錄到的最高點只有兩個，它們的坐標分別為和 。
（3） 在圖（c）給出的坐標紙上定量地畫出電子打到記錄紙上的點形成的圖線。
【答案】 見解析
【解析】 根據前面分析可知，在圓筒轉動的第一個周期內，可以在圓筒上留下兩條最
低點和最高點的連線，而在之后的周期中，上述連線對應重合。電壓為 時，電子的偏
移量為
運用大招結論可知
解得
根據前面分析可知時刻打在記錄紙上的橫坐標為
由題圖（b）可知在每個周期內都隨 線性變
化，所以也隨線性變化，則根據上述可知
隨 呈線性關系，即記錄紙上最低點和最高點
連線為直線，電子打到記錄紙上所形成的圖線
如圖所示。
覺醒原創
1.［多選］如圖所示，為一半圓的直徑，為半圓的圓心， 為半圓上的
一點，與直徑垂直，兩個電荷量相等的負點電荷分別置于、 兩點，
現使一個負試探電荷從點出發，沿半徑向 點緩慢移動，一直移動到
點，則在移動過程中下列說法正確的是( )
AD
A.試探電荷 移動過程中的電勢逐漸升高
B.試探電荷 的電勢能逐漸增大
C.試探電荷 受到的靜電力方向一直變化
D.試探電荷 受到的靜電力大小先增大后減小
【解析】 根據等量同種負電荷電場線的分布可知負試探電荷 的移動方向與電場
線方向相反，所以電勢逐漸升高。
根據 可知，負試探電荷 所在位置電勢越高，電勢能越小。
如圖所示，設兩點電荷的電荷量為，試探電荷所在處為， 與直
徑的夾角為 ，圓半徑為，則一點電荷在 點產生的電場強度大小為
，兩點電荷在 點產生的合電場強度大小為
，方向始終指向圓心，所以試探電荷 受到
的靜電力方向始終沿背離 的方向。
設 ，則有 ，令 ，
則，其導數為，根據數學知識分析可知時， ，
取得最大值，此時，，即點到點的距離為 時，
有最大值，兩點電荷在半徑 上產生的場強
有最大值，點到點的距離大于，則試探電荷
沿半徑一直移動到點過程中電場強度先增大后減小，所以試探電荷 受到的靜電力
也是先增大后減小。
2.如圖所示，直角坐標系中、、、 四點的坐標分別
為、、、，有一帶電荷量為
的長方體，其中心在坐標原點處， 軸與長方體左右兩個面
垂直， 軸與長方體上下兩個面垂直，長方體所帶電荷均勻
B
A.，與軸正方向夾角為 B.，與軸正方向夾角為
C.，與軸正方向夾角為 D.，與軸正方向夾角為
分布，點放置一電荷量為的點電荷，此時 點的電場強度恰好為零。已知靜
電力常量為，如果將放置在點的點電荷移到點，則 點的電場強度大小和方向為
( )
【解析】 點電荷在點產生的電場強度大小為 ，方
向沿軸正方向，因點的電場強度恰好為零，則長方體在
點產生的電場強度大小為，方向沿 軸負方向，
根據對稱性可知長方體在 點產生的電場強度大小也為
，方向沿軸正方向，如圖所示，從向 軸做垂線，
交點為，則，，設為 ，
，則，，將點電荷移到點后，其在 點產生的
電場強度大小也為，方向沿方向，與長方體在點產生的電場強度 方向的
夾角為 ，則點的合電場強度為，方向與 軸正方
向夾角為 ，選項B正確。
跳跳學長有話說
在求解非點電荷的電場強度時不能直接用公式求解，通常會用到等效和對稱的思想，根
據非點電荷電場和點電荷電場之間的關系，確定非點電荷的電場強度。
3.如圖所示，一光滑絕緣斜面固定于水平面上，與水平面間的夾
角為 ，斜面上開鑿有一凹進斜面的光滑絕緣的圓形軌道
（圓形軌道屬于斜面的一部分），圓形軌道與斜面底端相切，軌
道半徑為，、分別為軌道的最高點和最低點，一帶電小球
可以在圓形軌道內側運動，小球的質量為 ，帶電荷量為
，空間存在豎直向下的勻強電場，電場強度大小為
，重力加速度大小為，， ?，F給
【答案】
小球一個水平向右的初速度，當小球到達最高點 時速度大小
為，求此時小球對斜面的作用力 的大小。
【解析】 小球在最高點時，設軌道對小球指向圓心方向的彈力為 ，根據向心力
公式有
代入數據解得
小球在最高點時，設斜面對小球在垂直于斜面方向的彈力為 ，在垂直于斜面方向
上有
斜面對小球的作用力為
根據牛頓第三定律有小球對斜面的作用力 。

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