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(共92張PPT)
專題十 磁場
考向二 帶電粒子在勻強磁場中的運動
2025年高考物理專題復習資料
考點切片
考點1 對洛倫茲力的理解及應用
1.（2024東北三省四市聯(lián)考）圖甲中，在 軸上關(guān)于原點對稱的位置固定兩個等量異種
點電荷。圖乙中，在 軸上關(guān)于原點對稱的位置固定兩根垂直于坐標軸平面的長直平行
導線，兩根導線中電流大小相同、方向相反。現(xiàn)一個電子以一定的初速度分別從兩圖中
的點垂直于坐標軸平面向里運動，則關(guān)于兩幅圖中電子在原點 處受力的說法正確的
是( )
C
A.圖甲中，電子受到的電場力方向沿 軸正向
B.圖甲中，電子受到的電場力方向沿 軸正向
C.圖乙中，電子受到的洛侖茲力方向沿 軸正向
D.圖乙中，電子受到的洛侖茲力方向沿 軸正向
【解析】 題圖甲中,正電荷在點的電場強度沿軸正向,負電荷在 點的電場
強度沿軸正向,則點的合電場強度沿軸正向,電子受電場力方向沿 軸負向。
題圖乙中,根據(jù)安培定則可知兩根導線在點的磁場方向均沿軸負向,則 點的
合磁場方向沿軸負向,根據(jù)左手定則可知電子受到的洛倫茲力方向沿 軸正向。
2.情境創(chuàng)新（2024河南駐馬店高級中學期中）如圖所示，在真空中有兩根長且直的平行
導線，其中只有一根攜帶穩(wěn)定的電流，其方向未知。一個電子在兩根導線確定的平面內(nèi)
從點移動到點 的軌跡如圖所示。以下表述正確的是( )
A
A.導線攜帶電流，方向從流到 B.導線攜帶電流，方向從流到
C.導線攜帶電流，方向從流到 D.導線攜帶電流，方向從流到
【解析】 本題屬于給出結(jié)果,讓找出產(chǎn)生這種結(jié)果的原因。結(jié)果：軌跡 。原因：
觀察軌跡發(fā)現(xiàn)電子越靠近導線,軌跡半徑越小,根據(jù)洛倫茲力提供向心力有 ,
,故越靠近導線磁感應強度越大,因此一定是 導線攜帶電流；電子做曲線運
動,受到的合外力方向指向彎曲軌跡的凹側(cè),則根據(jù)左手定則可知,電子所在區(qū)域的磁場方
向垂直紙面向外,其中只有一根導線攜帶穩(wěn)定的電流,根據(jù)安培定則可知, 導線攜帶電流,
方向從流到 。
考點2 磁場軌跡問題
解題覺醒
1.題型特征：帶電粒子（不計重力）在勻強磁場中做勻速圓周運動。
2.解題技巧
（1）直線邊界磁場：粒子進入磁場和離開磁場時速度
方向與邊界的夾角相等,口訣“等角進出”，如圖甲。
（2）圓形磁場：粒子沿徑向射入，沿徑向射出；口訣
“徑向進出”，如圖乙。
3.解題思路
（1）畫軌跡：根據(jù)進、出點或洛倫茲力方向畫運動軌跡。
（2）定圓心：①過進、出磁場兩點處粒子速度垂線的交點為運動軌跡的圓心；②過任
一點粒子的速度垂線和一條弦的中垂線交點為運動軌跡的圓心。
（3）找半徑：利用幾何關(guān)系求半徑。
（4）找角度：粒子在磁場中運動時間，軌跡（劣弧）的圓心角 對應弦的
圓心角倍速弦角，軌跡（優(yōu)?。┑膱A心角 倍速弦角。
3.如圖所示，在足夠長的水平線上方有方向垂直于紙面向里、范圍足夠大的勻強磁場區(qū)
域。一帶負電的粒子從點沿與邊界成 角的方向以初速度 垂直磁場方向射入
磁場中，經(jīng)時間從 點射出磁場。不計粒子重力，下列說法正確的是( )
D
A.粒子 在磁場中偏轉(zhuǎn)的弦長是其做圓周運動半徑的2倍
B.若粒子的初速度增大為 ，則粒子射出磁場時與水平線的
夾角為
C.若粒子的初速度增大為，則經(jīng)時間 射出磁場
D.若磁場方向垂直于紙面向外，粒子還是從 點沿原方向以初
速度射入磁場中，則經(jīng)時間 射出磁場
【解析】 偏轉(zhuǎn)的弦長即為側(cè)移距離,則 。
無論速度大小如何變化,速度偏轉(zhuǎn)角均相等,則射出方向始終互相平行,因此夾角不變。
（【點撥】根據(jù)大招56知,粒子發(fā)射源位于磁場邊界時,粒子的運動具有對稱性,即進入磁
場和離開磁場時速度方向與邊界的夾角相等。）
由 ,可知粒子在范圍足夠大的磁場中運動時間與入射速度
大小無關(guān)。
改變磁場方向,因此軌跡對應的圓心角變?yōu)?,原軌跡對應的圓心角為 ,根據(jù)
,可知運動時間變?yōu)樵瓉淼?倍。
4.（2024吉林長春第二實驗中學檢測）如圖所示，分布在半徑
為的圓形區(qū)域內(nèi)的勻強磁場，磁感應強度為 ，方向垂直于紙
面向里。電荷量為、質(zhì)量為的帶正電的粒子從磁場邊緣 點
沿圓的半徑方向射入磁場，離開磁場時速度方向偏轉(zhuǎn)了
角。不計粒子的重力，則( )
B
A.粒子做圓周運動的半徑為 B.粒子的入射速度為
C.粒子在磁場中運動的時間為 D.粒子在磁場中運動的時間為
【解析】 設(shè)粒子做勻速圓周運動的半徑為 ,本題屬于粒子指
向圓心射入,根據(jù)“指向圓心入,背離圓心出”,可知粒子的運動軌跡如
圖所示。根據(jù)幾何知識可知 ,得到運動軌跡的半徑
。
根據(jù)牛頓第二定律,有,則 ,粒子的入射速度
。
由于粒子在磁場中的運動方向偏轉(zhuǎn)了 角,則粒子運動
軌跡對應的圓心角為 ,根據(jù) 可知
。
5.（2024廣西卷） 坐標平面內(nèi)一有界勻強磁場區(qū)域
如圖所示，磁感應強度大小為 ，方向垂直紙面向里。
質(zhì)量為、電荷量為的粒子以初速度從點沿 軸正
向開始運動，粒子過軸時速度與軸正向夾角為 ，
交點為。不計粒子重力，則點至 點的距離為( )
C
A. B. C. D.
【解析】 粒子運動軌跡如圖所示,在磁場中,根據(jù)洛倫茲力提供向心力有 ,可
得粒子做圓周運動的半徑,根據(jù)幾何關(guān)系可得點至 點的距離
,C項正確。
6.（2023四川內(nèi)江模擬）如圖所示，邊長為的正方形區(qū)域 內(nèi)存在著垂直于紙面向
里的勻強磁場，磁感應強度為。一帶電粒子以速度從點射入磁場，速度方向與
邊夾角為 ，垂直 邊射出磁場，則下列說法正確的是( )
C
A.粒子一定帶正電
B.粒子的比荷為
C.粒子在磁場中的運動時間為
D.減小粒子的速度，粒子不可能從 邊射出
【解析】 結(jié)合粒子在磁場中的運動軌跡,根據(jù)左手定則可知,粒子一定帶負電。
觀察題圖可知解決這類問題往往需要構(gòu)造直角三角形求半徑。如圖所示,根據(jù)幾何
關(guān)系可得粒子做圓周運動的軌跡半徑 ,根據(jù)洛倫茲力提供向心力有
,聯(lián)立解得粒子的比荷 。
計算時間需要找粒子做圓周運動的圓心角。由幾何關(guān)系可知粒子在磁場中做圓周運
動軌跡對應的圓心角為 ,粒子在磁場中的運動時間 。
根據(jù),可得 ,可知速度減小,粒子在磁場中做圓周運動的軌跡半徑
減小,由圖可知當速度減小到一定值時,粒子可以從 邊射出。
7.［多選］（2024福建福州期末）如圖所示為寬度為、磁感應強度大小為 的有界勻強
磁場，磁場的方向垂直于紙面向外，長度足夠長。在下邊界 處有一個粒子源，沿與邊
界成 角方向連續(xù)發(fā)射大量的速度大小不相等的同種帶正電粒子，速度方向均在紙面
內(nèi)。已知以最大速度 射入的粒子，從磁場上邊界飛出經(jīng)歷的時間為其做圓周運動周期
的 。不計粒子的重力及粒子間的相互作用，則下列判斷正確的是( )
AD
A.粒子的比荷為
B.粒子在磁場中運動的周期為
C.下邊界有粒子飛出的長度為
D.從上邊界飛出的粒子速度大小范圍為
【解析】 速度最大的粒子在磁場中運動的時
間為其做圓周運動周期的 ,運動軌跡如圖所示,圓心為
,平行邊界磁場,利用平行、垂直關(guān)系找角度,其圓弧所
對圓心角為 ,由幾何關(guān)系得,
解得 ,由洛倫茲力提供向心力有
,解得粒子比荷 ,粒子在磁場中運
動的周期 。
當粒子軌跡恰好與上邊界相切時,剛好不從上邊界飛出,運動軌跡如圖,圓心為 。設(shè)
這種情況下粒子速度大小為,半徑為,由幾何關(guān)系得,解得 ,
由洛倫茲力提供向心力有,解得 ,可知從上邊界飛出的粒子速
度大小范圍為 。
下邊界有粒子飛出的長度為 。
8.［多選］（2023全國甲卷）光滑剛性絕緣圓筒內(nèi)存在著平行于軸的勻強磁場,筒上 點
開有一個小孔,過的橫截面是以為圓心的圓,如圖所示。一帶電粒子從點沿 射入,然
后與筒壁發(fā)生碰撞。假設(shè)粒子在每次碰撞前、后瞬間,速度沿圓上碰撞點的切線方向的
分量大小不變,沿法線方向的分量大小不變、方向相反;電荷量不變。不計重力。下列說
法正確的是( )
BD
A.粒子的運動軌跡可能通過圓心
B.最少經(jīng)2次碰撞,粒子就可能從小孔射出
C.射入小孔時粒子的速度越大,在圓內(nèi)運動時間越短
D.每次碰撞后瞬間,粒子速度方向一定平行于碰撞點與圓心
的連線
【解析】 假設(shè)粒子帶負電,作出粒子在圓筒中的幾種可能的運動情況。如圖1所示,
由幾何關(guān)系可知,所以 ,又粒子沿直徑射入,
,則 , ,則每次碰撞后瞬間,粒子速度方向一定平行于
碰撞點與圓心 的連線。（【點撥】根據(jù)大招56可知,粒子從指向圓心的方向射入,粒子
出磁場時速度的反向延長線過圓心,所以粒子速度方向一定平行于碰撞點與圓心 的連
線。）
粒子在圓筒中先做圓周運動,與圓筒碰后速度反向,繼續(xù)做圓周運動,粒子第一次與筒
壁碰撞前的運動過程中,軌跡不過圓心,之后軌跡也不可能過圓心。
粒子最少與圓筒碰撞2次,就可能從小孔射出,如圖2所示。
. .
. .
. .
根據(jù)可知, ,則射入小孔
時粒子的速度越大,粒子的軌跡半徑越大,與圓
筒碰撞次數(shù)可能會增多,在圓內(nèi)運動的時間不
一定越短,如圖3所示。
9.［多選］（2024河北卷）如圖，真空區(qū)域有同心正方形
和，其各對應邊平行，的邊長一定， 的
邊長可調(diào)，兩正方形之間充滿恒定勻強磁場，方向垂直于正方
形所在平面。 處有一個粒子源，可逐個發(fā)射速度不等、比荷
相等的粒子，粒子沿方向進入磁場。調(diào)整 的邊長，可
使速度大小合適的粒子經(jīng)邊穿過無磁場區(qū)后由 邊射出。
對滿足前述條件的粒子，下列說法正確的是( )
AD
A.若粒子穿過邊時速度方向與邊夾角為 ，則粒子必垂直 射出
B.若粒子穿過邊時速度方向與邊夾角為 ，則粒子必垂直 射出
C.若粒子經(jīng)邊垂直射出，則粒子穿過邊時速度方向與邊夾角必為
D.若粒子經(jīng)邊垂直射出，則粒子穿過邊時速度方向與邊夾角必為
【解析】 根據(jù)題意可知,粒子一定從邊進入無磁場區(qū),當粒子穿過 邊時速度方
向與邊夾角為 時,由幾何關(guān)系可知其一定穿過邊進入磁場,然后由 邊射出,則
其運動軌跡如圖1所示,由對稱性可知,該粒子垂直 射出。（【點撥】磁場區(qū)域和粒子
的直線軌跡均關(guān)于線段 對稱,可以判斷出粒子進出無磁場區(qū)瞬間對應的圓周運動半徑
關(guān)于對稱,則第二段圓周運動的圓心在邊上,所以其能垂直 邊射出。）
. .
當粒子穿過邊時速度方向與邊夾角為 時,若其從邊的 點射出無磁場區(qū),
假設(shè)其能垂直射出,則其運動軌跡如圖2所示,設(shè)圓周運動的半徑為 ,根據(jù)幾何關(guān)系可知
（【點撥】延長、分別與、交于、 ,則
。）,與 矛盾,顯然假設(shè)不成立,該粒子不能垂直
射出。
. .
若粒子經(jīng)邊垂直射出,其運動軌跡如圖3所示,由幾何關(guān)系可知 為矩形,
設(shè)邊長為,則有,若,則 ,當
時,由題意可知,,, ,則有
,,解得 。
若粒子經(jīng)邊垂直 射出,其運動軌跡如圖4所示,由幾何關(guān)系有
,又 ,解得粒子穿過邊時速度方向與 邊的夾角
為 。
10.（2024湖南九校聯(lián)考）世界上最早最精確的
極光觀測記錄可追溯到漢朝《漢書·天文志》中
的史料記載。極光是高能粒子流（太陽風）射
向地球時，由于地磁場作用，部分進入地球極
區(qū)，使空氣中的分子或原子受激躍遷到激發(fā)態(tài)
后輻射光子，而產(chǎn)生的發(fā)光現(xiàn)象。假設(shè)地磁場邊界到地心的距離為地球半徑的 倍。
如圖乙所示是赤道所在平面的示意圖，地球半徑為，勻強磁場垂直紙面向外， 為
磁場圓的直徑，左側(cè)寬度為的區(qū)域內(nèi)有一群均勻分布、質(zhì)量為 、帶電荷量為
的粒子垂直以速度射入地磁場，正對地心 的粒子恰好打到地球表面，不計粒
子重力及粒子間的相互作用。已知若，則可表示為 。求:
（1） 地磁場的磁感應強度大小；
【答案】
【解析】 正對地心 的粒子恰好打到地球表面,軌跡示意圖如圖1所示,設(shè)粒子在磁場中
運動的軌跡半徑為,根據(jù)幾何關(guān)系有
解得
根據(jù)洛倫茲力提供向心力有
解得地磁場的磁感應強度大小為 。
（2） 正對地心射入的粒子從進入磁場到打到地球表面的時間；
【答案】
【解析】 設(shè)正對地心的粒子恰好打到地球表面,軌跡的圓心角為 ,根據(jù)幾何關(guān)系有
正對地心射入的粒子從進入磁場到打到地球表面的時間為 。
（3） 在地磁場中打到地面的粒子從進入磁場到打到地球表面的最短時間。
【答案】
【解析】 粒子從進入磁場到打到地球表面的時
間最短時,粒子入射點與打在地球表面的落點連
線指向地心,即、、 三點共線,軌跡示意圖
如圖2所示,設(shè)軌跡的圓心角為 ,根據(jù)幾何關(guān)系
有
則
可得
在地磁場中打到地面的粒子從進入磁場到打到地球表面的最短時間為
。
【提醒】微觀帶電粒子如無特殊說明則均無需考慮重力,而宏觀帶電微粒如液滴、塵埃、
小球若無特殊說明則均要考慮重力。
考點3 弦長公式
解題覺醒
1.題型特征：當粒子進出磁場對應的弦或速弦角已知或很好求出時，我們可以使用弦長
公式求解其軌跡半徑與該弦長的關(guān)系。
2.解題技巧：弦長公式。其中
為速弦角，由于與 的乘積為速度垂
直于磁場邊界的分量大小，故上式又可表示
為 。
11.（2024江西南昌大學附屬中學檢測）如圖，水
平虛線上方存在勻強磁場，甲、乙兩個相同的帶
電粒子從虛線上的 點射入磁場，甲粒子的速度
與水平方向的夾角 ，乙粒子的速度與水
平方向的夾角 ，兩粒子都經(jīng)過虛線邊界
的點，設(shè)甲粒子的速度大小為 ，乙粒子的速
B
A. B. C. D.
度大小為 ，不計粒子重力及粒子間的相互作用，
則 等于( )
【解析】 畫出甲、乙粒子在磁場中運動的軌跡,建立
幾何關(guān)系如圖所示,設(shè)長度為,可得 ,甲
粒子做圓周運動的軌跡半徑 ,同理乙粒子做圓周
運動的軌跡半徑,由,可得 。
【大招運用】甲、乙粒子在磁場中運動的軌跡弦長都為
,速弦角分別為 和 ,可運用大招57弦長公式。
,得 。
12.［多選］（2024安徽名校聯(lián)考）如圖所示，紙面內(nèi)存在一半徑
為的圓形有界勻強磁場區(qū)域，磁場方向垂直紙面向里，、
分別為圓的水平直徑和豎直直徑。一質(zhì)量為、電荷量為 的帶電
粒子從點以大小為、方向與夾角為 斜向下的速度沿
紙面射入磁場，運動中粒子恰好從 點射出磁場。不計粒子的重
力，下列說法正確的是( )
BD
A.粒子帶負電 B.粒子帶正電
C.勻強磁場的磁感應強度大小為 D.粒子在磁場中的運動時間為
【解析】 由左手定則知,粒子帶正電。
由幾何關(guān)系可知,為粒子做勻速圓周運動的直徑,則粒子的軌跡半徑 ,由
可得,磁感應強度大小。（【大招運用】粒子從點射入,從 點射出,速
弦角為 ,也可運用大招57得弦長,得 。）
粒子在磁場中運動的弧長,則運動時間 。
. .
. .
考點4 磁場中的“動態(tài)圓”問題
題組1 平移圓
13.［多選］（2023河南開封檢測）如圖所示，在某空間的一個區(qū)
域內(nèi)有一直線與水平面成 角，在 兩側(cè)存在垂直于紙面且
方向相反的勻強磁場，磁感應強度大小均為。位于直線上的 點
有一粒子源，能不斷地水平向右發(fā)射速率不等的相同粒子，粒子
帶正電，電荷量為，質(zhì)量為 ，所有粒子運動過程中都經(jīng)過直線
ABC
A. B. C. D.
上的點，已知 ，不計粒子重力及粒子間的相互作用力，則粒子的速率可能為
( )
【解析】 由題意可知粒子可能的運動軌跡如圖所示,所有圓弧的圓心角均
為 ,所以粒子運動的半徑 ,由洛倫茲力提供向心力得
,則 。
14.（2024山西晉城一中期末）如圖所示，在 平面的第Ⅰ、Ⅳ象限
內(nèi)有一圓心為、半徑為的半圓形勻強磁場，線狀粒子源從 軸左
側(cè)平行于軸正方向不斷射出質(zhì)量為、電荷量為、速度大小為
的帶正電粒子。磁場的磁感應強度大小為、方向垂直平面 向
里。不考慮粒子間的相互作用，不計粒子受到的重力。所有從不同
位置進入磁場的粒子中，在磁場中運動的時間最長為( )
C
A. B. C. D.
【解析】 粒子在磁場中做勻速圓周運動,洛倫茲力提供向心力,則
有,解得 （【點撥】當粒子在磁場中的運動軌跡
對應的圓心角最大時,粒子在磁場中運動的時間最長,由于
,要使圓心角 最大,最長。）,如圖所示,當粒子從 軸
上的點射入、從軸上的 點射出磁場時,粒子在磁場中運動的時
間最長,由,解得,且,解得 ,故
選C。
. .
. .
15.（2024福建三明期末）如圖，空間存在垂直于 平面向里的勻強磁場，第一象限與
第二象限的磁感應強度分別為、。一質(zhì)量為、帶電荷量為的粒子從原點 以速
度射入第一象限，入射方向與軸正方向的夾角 ，不計粒子重力。
（1） 在圖中畫出該帶電粒子一個周期內(nèi)的運動軌跡；
【答案】 見解析
【解析】 根據(jù),可知在第一象限內(nèi)粒子的軌道半徑 ,由左手定則可知粒
子逆時針偏轉(zhuǎn),偏轉(zhuǎn)的圓心角為 。
在第二象限內(nèi)粒子的軌道半徑,偏轉(zhuǎn)的圓心角為 ,運動軌跡如圖1所示。
圖1
（2） 求粒子運動一個周期沿軸移動的距離 ；
【答案】
【解析】 由幾何關(guān)系知粒子在一個周期內(nèi)沿 軸移動的距離
解得 。
（3） 求粒子連續(xù)兩次經(jīng)過軸上同一點的時間間隔 。
【答案】
【解析】 粒子在第一象限內(nèi)運動的周期
在第二象限內(nèi)運動的周期
圖2
如圖2所示,粒子連續(xù)兩次經(jīng)過 軸上同一點時,在第一象限運動一次,在第
二象限運動兩次, 因此時間間隔 。
題組2 放縮圓
大招58 對應練習
解題覺醒
1.題型特征：多個相同粒子射入勻強磁場的速度方向不變、但速率不同，或單粒子以不
同的速率沿同一方向射入勻強磁場。
2.解題技巧：（1）畫軌跡（軌跡圓的圓心共線，放縮半徑），找軌跡臨界；（2）定圓
心；（3）找半徑。
3.求最長（或最短）時間：找速弦角 ，當出、入射點對應的
弦的速弦角 越小時，粒子在磁場中運動的時間越短，速率越
大。再根據(jù)速弦角得出運動時間。
16.［多選］（2024黑龍江哈爾濱師范大學附屬中學期末）如圖所示，正方形 區(qū)域
內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強磁場，點是 邊的中點。若一個帶正電的粒子（重力忽略
不計）從點沿紙面以垂直于邊的某一速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時間剛好從 點射
出磁場。現(xiàn)設(shè)法使該帶電粒子從點沿紙面以與成 角的方向，以各種不同的速率
射入正方形內(nèi)，那么下列說法正確的是( )
AD
A.該帶電粒子不可能剛好從正方形的某個頂點射出磁場
B.若該帶電粒子從邊射出磁場，它在磁場中經(jīng)歷的時間可能是
C.若該帶電粒子從邊射出磁場，它在磁場中經(jīng)歷的時間可能是
D.若該帶電粒子從邊射出磁場，它在磁場中經(jīng)歷的時間一定是
【解析】 帶電粒子以垂直于 邊的某一速度射入正方形內(nèi),經(jīng)
過時間剛好從點射出磁場,則帶電粒子的運動周期 。該粒
子從點以與成 角的方向射入磁場,粒子運動軌跡由
依次漸變（【點撥】粒子軌跡圓心在垂直 的方
向上,隨著粒子速度逐漸增大,軌跡半徑逐漸增大,作出軌跡與其他三
邊相切的臨界狀態(tài),從而確定粒子從各邊射出的范圍。）,由圖可知粒子在四個邊射出時,
射出范圍分別為、、、 之間,不可能從四個頂點射出。
由上述分析知粒子運動周期為,從邊射出的粒子所用時間不可能為 ,
從邊射出的粒子所用時間不超過,所有從邊射出的粒子圓心角都是 ,所
用時間為 。
. .
. .
17.（2020全國Ⅰ卷）一勻強磁場的磁感應強度大小為 ,方向垂直于紙面向外，其邊界如
圖中虛線所示，為半圓，、與直徑共線，、 間的距離等于半圓的半徑。一
束質(zhì)量為、電荷量為的粒子，在紙面內(nèi)從點垂直于 射入磁場，這些粒子
具有各種速率。不計粒子之間的相互作用。在磁場中運動時間最長的粒子，其運動時間
為( )
C
A. B. C. D.
圖1
【解析】 帶電粒子在勻強磁場中運動,運動軌跡如圖1所示,由洛倫茲
力提供向心力有,解得,運動時間, 為帶電粒
子在磁場中運動的軌跡所對的圓心角,粒子在磁場中運動時間由軌跡所對
圓心角決定。采用放縮法,粒子垂直射入磁場,則軌跡圓圓心必在直線 上,將粒子的軌
跡半徑從零開始逐漸放大,當（為的半徑）或時,粒子分別從、
區(qū)域射出磁場,運動時間等于半個周期。當時,粒子從弧 上射出,軌跡半
徑從逐漸增大,粒子射出位置從點沿弧向右移動,軌跡所對圓心角從 逐漸增大,當
半徑為 時, 軌跡所對圓心角最大,再增大軌跡半徑,軌跡所對圓心角減小,因此軌跡半徑等
于時,所對圓心角最大,即,粒子最長運動時間為 。
圖2
跳跳學長 傳妙招
應用速弦角和圓心角的關(guān)系確定最大圓心角,如圖2所示,以軌
跡6為例,速度與弦構(gòu)成速弦角 ,軌跡圓弧對應圓心角
（優(yōu)弧對應的圓心角）,由數(shù)學中圓的知識,可知速弦角
的大小等于它所夾的弧所對的圓周角。同一段弧所對應的圓
心角為圓周角的兩倍,若速弦角最大,則圓心角最大,若弦向下
偏離直線的角度越大,則圓周角越大,當弦與半圓弧相切時,偏離直線 的角度最大,
由此確定軌跡5對應的情況取極值。
18.科技應用（2024廣東河源聯(lián)考）現(xiàn)代科技中常常利用電場
和磁場來控制帶電粒子的運動，某控制裝置如圖所示，區(qū)域Ⅰ
是圓弧形均勻輻向電場，半徑為的中心線 處的場強大小
處處相等，且大小為，方向指向圓心 ；在空間直角坐標
系中，區(qū)域Ⅱ是邊長為 的正方體空間，該空間內(nèi)充滿
沿軸正方向的勻強電場（大小未知）；區(qū)域Ⅲ也是邊長為 的正方體空間，空間內(nèi)
充滿平行于平面、與軸負方向成 角的勻強磁場，磁感應強度大小為 ，在區(qū)域
Ⅲ的上表面是一粒子收集板；一群比荷不同的帶正電粒子以不同的速率先后從 沿切線
方向進入輻向電場，所有粒子都能通過輻向電場且從坐標原點沿 軸正方向進入?yún)^(qū)域Ⅱ，
不計帶電粒子所受重力和粒子之間的相互作用。
（1） 若某一粒子進入輻向電場的速率為，該粒子通過區(qū)域Ⅱ后剛好從 點進入?yún)^(qū)域
Ⅲ中，已知點坐標為，求該粒子的比荷和區(qū)域Ⅱ中電場強度 的大??；
【答案】 ;
【解析】 某一粒子進入輻向電場的速率為 ,粒子在輻向電場中做勻速圓周運動,由電場
力提供向心力可得
解得該粒子的比荷為
粒子在區(qū)域Ⅱ中做類平拋運動,從點到點,沿軸方向有
沿軸方向有,
聯(lián)立解得區(qū)域Ⅱ中電場強度的大小為 。
（2） 保持（1）問中 不變，為了使粒子能夠在區(qū)域Ⅲ中直接打到粒子收集板上，求
粒子的比荷 需要滿足的條件。
【答案】
【解析】 設(shè)粒子電荷量為,質(zhì)量為,粒子進入輻向電場的速率為 ,則粒子在輻向電場
中有
解得
粒子在區(qū)域Ⅱ中做類平拋運動,設(shè)粒子都能進入?yún)^(qū)域Ⅲ,則沿軸方向有
沿軸方向有,,
聯(lián)立解得,
可知所有粒子經(jīng)過區(qū)域Ⅱ后都從點進入?yún)^(qū)域Ⅲ中,設(shè)進入?yún)^(qū)域Ⅲ的粒子速度方向與 軸正
方向的夾角為 ,則有
解得
粒子進入?yún)^(qū)域Ⅲ的速度大小為
粒子在磁場中由洛倫茲力提供向心力,則有
解得
為了保證粒子能夠打到粒子收集板上,如圖所示
由幾何關(guān)系可知粒子在磁場中做圓周運動的半徑需要滿足 （【大招運用】
放縮圓問題運用大招58分析思路求放縮圓半徑,畫軌跡臨界。粒子進入?yún)^(qū)域Ⅲ,由左手定
則判定出粒子向上偏轉(zhuǎn),若使所有粒子能直接打到粒子收集板上,畫出最小半徑與最大半
徑。若,粒子將會從左側(cè)邊界射出；若 ,粒子將會從右側(cè)邊界射出。）,聯(lián)
立解得粒子的比荷需要滿足 。
. .
題組3 旋轉(zhuǎn)圓
大招59 對應練習
解題覺醒
1.題型特征：相同的粒子以各個方向射入磁場，粒子做勻速圓周運動的軌跡圓半徑相同。
2.解題技巧：（1）求經(jīng)過區(qū)域面積或達到最遠距離看軌跡圓直
徑；（2）求粒子在磁場中的最長（或最短）時間，利用幾何關(guān)
系求最長（或最短）弦長，再求圓心角 （以弧度為單位），根
據(jù)或 求時間。
19.（2024湖北黃石二中模擬）如圖所示，在直角坐標系
中，軸上方有勻強磁場，磁感應強度的大小為 ，磁場方向垂
直于紙面向外。許多質(zhì)量為、電荷量為 的粒子，以相同的
速率沿紙面內(nèi)，由軸負方向與 軸正方向之間各個方向從原
D
A. B. C. D.
點 射入磁場區(qū)域。不計重力及粒子間的相互作用。下列圖中
陰影部分表示帶電粒子在磁場中可能經(jīng)過的區(qū)域，其中 ，
正確的圖是( )
【解析】 粒子以相同的速率 在磁場中做勻速圓周
運動,根據(jù) ,知粒子運動軌跡的半徑相等,由左手定
則可知,沿 軸負方向進入磁場的粒子剛好運動一個圓周,
隨著粒子的入射速度方向與 軸正方向的夾角逐漸減小,
這個圓逐漸沿順時針方向轉(zhuǎn)動,粒子沿 軸正方向進入磁
【提醒】可以的話大家可將硬幣帶進考場,旋轉(zhuǎn)硬幣找臨界。
場,運動軌跡剛好為半個圓,如圖,圖中陰影部分是粒子不經(jīng)過的地方。
20.［多選］（2024湖南永州檢測）如圖所示，在直線邊界 的右側(cè)分布著范圍足夠大、
方向垂直于紙面向里的勻強磁場，在磁場中到的距離為的 點有一放射源，放射源
能沿紙面內(nèi)向各個方向不斷地放射出質(zhì)量為、電荷量為、速率為 的帶正電荷的粒子。
已知磁場的磁感應強度大小為 ，不計粒子的重力及粒子間的相互作用，則
( )
AD
A.粒子從邊界上射出的范圍的長度為
B.如果磁場的磁感應強度增大為原來的 2倍，粒子從 邊界上射出
范圍的長度也變?yōu)樵瓉淼?倍
C.如果磁場的磁感應強度減小，粒子從 邊界上射出范圍的長度也
減小
D.同一時刻放射出的粒子到達邊界的時間差最大為
圖1
【解析】 粒子剛好射出邊界的運動軌跡如圖1所示, 上端最遠點為直徑
與的交點,下端最遠點為粒子的運動軌跡與 相切的位置, 根據(jù)洛倫茲
力提供向心力可得,解得 ,根據(jù)幾何關(guān)系知, 帶電粒子從磁場
邊界射出的范圍的長度 。
如果磁場的磁感應強度增大為原來的2倍,軌跡半徑變?yōu)樵瓉淼囊话?粒
子恰好不能從 邊界射出。
如果磁場的磁感應強度減小,軌跡半徑增大,邊界 上有粒子射出范圍
的長度也增大。
圖2
如圖2所示,最短弦長為 ,則粒子在磁場中運動的時間最短時,粒子在磁
場中運動的軌跡圓弧對應的圓心角為 ,粒子在磁場中運動的時間最長時軌
跡圓弧為優(yōu)弧,需要找最短弦長對應的優(yōu)弧,當粒子的運動軌跡圓正好與
相切時,對應的弦最短,則粒子在磁場中運動的時間最長時軌跡圓弧的圓心
角為 （【大招運用】特征識別：粒子向各個方向射入磁場,軌跡圓大小
不變。運用大招59旋轉(zhuǎn)圓分析思路求時間,利用幾何關(guān)系找最長或最短弦長,
再求圓心角<><><> <><>,根據(jù)<><><> <><>求時間。）,因此同一時
刻放射出的粒子到邊界的時間差最大為 。
. .
. .
. .
. .
. .
21.（2024遼寧模擬）如圖所示，豎直平面內(nèi)有一 平面直角坐標
系，第一、四象限中存在垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度
大小記為（未知）。坐標原點 處有一放射源，放射源可以源源
不斷地向一、四象限 范圍內(nèi)以相同速率均勻地輻射出質(zhì)量為 、
電荷量為的正離子。在軸上固定一能吸收離子的收集板， 點
坐標為，點坐標為，當輻射的離子速率為 時離子最
遠恰好能打到收集板上的 點。不計離子的重力及離子間的相互作用的影響，求:
（1） 恰好打到 點的離子在磁場中運動的時間；
【答案】 或
圖1
【解析】 由題意可知,沿軸正方向出射的離子,經(jīng)半圓到達 點,由此可
得,可知通過 點的離子有兩個出射方向（【點撥】粒子軌跡圓弧
的圓心在的中垂線上,且到點距離為,確定兩圓心,連接 兩點確定
半徑方向,從而確定速度方向。）,如圖1,一個軌跡轉(zhuǎn)過的圓心角為 ,
即 ,
另一個軌跡轉(zhuǎn)過的圓心角為 ,即,離子做勻速圓周運動,周期 ,解得
, 。
. .
（2） 能打到收集板上的離子數(shù)占輻射離子總數(shù)的比例。
【答案】
【解析】 如圖2所示,由旋轉(zhuǎn)圓分析結(jié)果可知,能打到收集板上的離子分布在速度方向與
軸正方向成 角的范圍內(nèi),
打到收集板上的離子數(shù)占輻射離子總數(shù)的比例為 。
圖2
題組4 磁聚焦和磁發(fā)散
22.［多選］（2023河南安陽名校聯(lián)考）如圖所示，在 平面內(nèi)，以
點為圓心，半徑為 的圓形磁場區(qū)域存在垂直紙面向里的勻強
磁場，圓形區(qū)域外范圍內(nèi)存在水平方向、電場強度為 的勻
強電場（圖中未畫出）。有很多質(zhì)量為、帶電荷量為 的粒子，從
坐標原點以相同速率沿不同方向平行于 平面射入
BD
A.電場方向水平向左 B.磁感應強度大小為
C.所有粒子在電場中運動的時間均為 D.所有粒子在磁場中運動的時間均為
第一象限。已知所有粒子均能從點 離開磁場，不計粒子重力及粒子間的相互作用，
下列說法正確的是( )
【解析】 由于電場僅在圓形區(qū)域外 范圍內(nèi)存在,可
知粒子先在磁場中偏轉(zhuǎn),第一次離開磁場后進入電場時速度方向均
沿 正方向,在電場中先做勻減速直線運動,速度減小到零后做反向
的勻加速直線運動再次進入磁場,然后偏轉(zhuǎn)到 。粒子沿某一方向入
射時,軌跡如圖所示,根據(jù)粒子運動軌跡,可知在電場中受到電場力方
向向左,所以電場方向向右。
當粒子初速度沿軸正方向時,恰好從 離開磁場,由幾何關(guān)系可知粒子在磁場中
做勻速圓周運動的軌跡圓半徑等于 （【提醒】當圓形磁場的半徑和粒子運動半徑相等
時,才會有磁聚焦和磁發(fā)散現(xiàn)象。）,有得 。
粒子在電場中運動,由牛頓第二定律,有,又有,得 。
. .
. .
粒子在磁場中發(fā)生的兩段運動過程的總路程恰好等于半圓軌跡長度,有 得
。
23.設(shè)問創(chuàng)新（2023湖南株洲模擬）科學工作者通過電場和磁場來控制
帶電粒子的運動。如圖所示，在平面內(nèi)，有一個半徑為 的圓形
區(qū)域和邊長為 的正方形區(qū)域，在這兩個區(qū)域里加入勻強電場或勻強
磁場就可以控制帶電粒子的運動。圓形區(qū)域的圓心的坐標是 ，
是圓的直徑，正方形區(qū)域中心的坐標是 ，圓和正方形相
切于點。在范圍內(nèi)有寬度為的粒子束平行于 軸射入圓
形區(qū)域，粒子束的速度大小均為。已知圓形區(qū)域內(nèi)存在沿 軸負方向的勻強電場，正
方形區(qū)域內(nèi)加上垂直于紙面向里的勻強磁場，粒子的質(zhì)量為，電荷量為 ，不計重
力及粒子間的相互作用。
（1） 若經(jīng)過點的粒子剛好偏轉(zhuǎn)經(jīng)過點，求電場強度 的大小。
【答案】
【解析】 粒子在圓形區(qū)域內(nèi)做類平拋運動,經(jīng)過點的粒子剛好偏轉(zhuǎn)經(jīng)過 點,則
水平方向有
豎直方向有
聯(lián)立解得 。
（2） 在滿足（1）的條件下，若經(jīng)過 點的粒子剛好垂直于正方形邊界離開，求正方
形區(qū)域內(nèi)磁感應強度 的大小。
【答案】
圖1
【解析】 設(shè)粒子進入磁場時與水平方向的夾角為 ,如圖1所示,
則
正方形區(qū)域中,洛倫茲力提供向心力,有
解得
由幾何關(guān)系得（【點撥】在中 , ,
。）
則
解得 。
. .
（3） 若把原來的圓形區(qū)域和正方形區(qū)域里的場都去掉，在圓形區(qū)域里加上垂直紙面向
外的勻強磁場，在正方形區(qū)域里加上垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小均為
，且所有粒子匯聚于 點，最終從正方形區(qū)域右邊界離開，求粒子從正方形區(qū)域右邊
界離開時的位置對應的長度 。
【答案】
圖2
【解析】 依題意,平行射入圓形區(qū)域的所有粒子匯聚于 點,對粒子在磁
場中做圓周運動,由洛倫茲力提供向心力可得,則 ,從
點運動到點粒子的軌跡半徑 ,根據(jù)題意可知所有粒子在磁場中
運動的軌道半徑均為,設(shè)從 點進入的粒子從正方形區(qū)域右邊界離
開的位置最上邊為點,最下邊為點,作出兩個邊界圓的圓心分別為 、
,設(shè)從點射出的粒子從 點進入正方形區(qū)域時速度方向與豎直方向的
夾角為 ,如圖2所示,由幾何關(guān)系可知 （【點撥】設(shè)粒子上下邊
界與圓形區(qū)域的邊界交點分別為、,由題意知,則可知四邊形 為菱形,且
。）
兩個邊界圓的軌跡半徑
. .
可得,則
故 。
考點5 圓形磁場最小面積問題
大招60 對應練習
解題覺醒
1.題型特征：已知粒子進、出磁場的速度方向，求圓形磁場最小面積。
2.解題步驟：
（1）平移速度，求速度偏轉(zhuǎn)角；
（2）根據(jù)速弦角，求速弦角；
（3）代入弦長公式求弦長；
（4）弦長等于最小圓形磁場的直徑，根據(jù)計算面積。
24.（2024江西南昌開學考試）如圖所示，半徑為 的圓形區(qū)域中有垂直紙面向外的勻強
磁場（圖中未畫出），磁感應強度為，一比荷為 的帶正電粒子，從圓形磁場邊界上
的點以的速度垂直直徑射入磁場，恰好從點射出，且 ，
下列選項正確的是( )
C
A.粒子在磁場中運動的時間為
B.粒子從 點射出方向豎直向下
C.若粒子改為從圓形磁場邊界上的點以相同的速度入射，一定從
點射出
D.若要實現(xiàn)帶電粒子從點入射，從 點射出，則所加圓形磁場的最
小面積為
【解析】 粒子恰好從 點射出,粒子做圓周運動的半徑
,畫出粒子從 點射出的軌跡如圖所示,由幾何關(guān)系可知四
邊形為菱形,圓心角 ,粒子在磁場中
運動的周期為,粒子在磁場中運動的時間為 。
粒子在磁場中速度偏轉(zhuǎn)了 ,從 點射出的方向與豎直方向夾
角為 。
若粒子改為從圓形磁場邊界上的 點以相同的速度入射,運動軌跡如圖所示,由幾何
知識可知四邊形為菱形,可知一定從 點射出（【點撥】磁聚焦模型：粒子以大小
相同的速度,平行入射到圓形磁場區(qū)域,如果軌跡圓半徑與磁場半徑相等,則所有粒子將從
磁場的同一點射出。）。
. .
. .
若要實現(xiàn)帶電粒子從點入射,從點射出,則所加圓形磁場以
為直徑時面積最小,最小面積為 。（【點撥】求圓
形最小面積需要求弦長,弦長等于最小圓形磁場的直徑,本題中最短弦長為 。）
. .
. .
25.（2023安徽六安一中期末）如圖所示，一個質(zhì)量為 、帶電
荷量為的粒子沿軸正方向以速度從 點射入磁感應強度
為 的圓形勻強磁場區(qū)域，磁場方向垂直紙面向外（圖中未畫
出），粒子飛出磁場區(qū)域后，從點處穿過軸，速度方向與
軸正方向的夾角為 。粒子的重力不計。試求：
（1） 圓形勻強磁場區(qū)域的最小面積；
【答案】
圖1
【解析】 作出粒子運動軌跡如圖1所示,帶電粒子在磁場中運動
時,由洛倫茲力提供向心力有
由分析可知帶電粒子從處進入磁場,轉(zhuǎn)過 后離開磁場,再做
勻速直線運動從 點射出,帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動,連
接粒子在磁場區(qū)域入射點和出射點,弦長為
要使圓形磁場區(qū)域面積最小,其半徑剛好為的一半,即
聯(lián)立解得圓形勻強磁場區(qū)域的最小面積 。
【大招運用】計算最小面積可運用大招60分析思路進行解題。
1.將粒子在點的速度方向畫在點,注意與表示 的箭頭尾部畫在一起,如圖2,得速度偏
轉(zhuǎn)角 。
圖2
2.速弦角 。
3.弦長 。
4.最小面積 。
（2） 粒子在磁場中運動的時間。
【答案】
【解析】 粒子在磁場中運動的周期
則粒子在磁場中運動的時間 。
考點6 帶電粒子在磁場中運動的多解問題
26.［多選］（2024重慶八中月考）如圖所示的坐標系中， 軸
的左側(cè)存在垂直紙面向外、磁感應強度大小未知的勻強磁場
（圖中未畫出）， 軸右側(cè)的勻強磁場垂直紙面方向且大小未知，
一帶正電的粒子由軸上處沿與軸正方向成 角的方向以
速度射入磁場，已知粒子的比荷為，粒子在 軸右側(cè)的軌道半徑
為，最終粒子經(jīng)過 點，粒子重力不計。下列說法正確的是
( )
A.若軸右側(cè)的磁場垂直紙面向里，則軸右側(cè)的磁感應強度大小為
B.若軸右側(cè)的磁場垂直紙面向里，則粒子從射入到運動至點的時間為
C.若軸右側(cè)的磁場垂直紙面向外，則粒子從射入到運動至點的時間可能為
D.若軸右側(cè)的磁場垂直紙面向外，則粒子從射入到運動至點的時間可能為
√
√
圖1
【解析】 若 軸右側(cè)的磁場垂直紙面向里,由題意作出粒子的運動
軌跡,如圖1所示,根據(jù),解得,又由幾何關(guān)系知 ,則有
。
由幾何關(guān)系可知粒子在軸右側(cè)偏轉(zhuǎn)的角度為 ,(【點撥】粒子軌
跡半徑,粒子初速度方向與軸正方向的夾角為 ,則粒子從點
到原點所對應的圓心角為 ,則速度偏轉(zhuǎn)角圓心角 。)
則粒子從射入到運動至點的時間,由于,解得 。
. .
若軸右側(cè)的磁場垂直紙面向外,粒子可能在軸左右兩側(cè)各偏轉(zhuǎn)一次經(jīng)過 點,
如圖2所示,由幾何關(guān)系可知粒子在軸左側(cè)的軌道半徑,則 軸左側(cè)磁場的磁感應
強度大小,粒子運動的時間,由于,解得；若
軸右側(cè)的磁場垂直紙面向外,粒子可能在軸的左側(cè)偏轉(zhuǎn)一次、在 軸的右側(cè)偏轉(zhuǎn)兩次經(jīng)
過點,如圖3所示,由幾何關(guān)系可知,粒子在軸左側(cè)的軌道半徑 （【點撥】粒子在
進出直線邊界磁場時,速度方向與邊界的夾角相等（詳情可看大招56）。在 軸右側(cè)的磁
場中,兩個圓弧所對的弦長相等,則在軸左側(cè)粒子運動軌跡圓弧所對應的弦長等于在 軸
右側(cè)的3倍,粒子在軸左側(cè)的速度偏轉(zhuǎn)角為 ,進一步判斷可知粒子在 軸左側(cè)的軌道
半徑。）,則軸左側(cè)磁場的磁感應強度大小 ,粒子運動的時間
,由于,解得 。
. .
圖2
圖3
27.（2025河南安陽模擬）如圖所示，在平面直角坐標系第
一象限內(nèi)存在一理想邊界，邊界和 軸之間存在垂直紙面、
磁感應強度大小為的勻強磁場（圖中未畫出），邊界與
軸之間存在沿軸負方向、電場強度大小為 的勻強電場。
在第四象限內(nèi)存在平行于軸向下的勻強電場，在 軸正半
軸上有可移動的粒子源能無初速釋放電荷量大小為 、質(zhì)
量為 的電子，電子從靜止被電場加速后進入磁場區(qū)域均
（1） 磁場的方向；
【答案】 垂直紙面向里
【解析】 電子能垂直 軸進入第四象限,由左手定則可判定磁場垂直紙面向里。
能垂直穿過軸，圖中點坐標為 ，不計電子受到的重力，求:
（2） 邊界曲線的方程；
【答案】
【解析】 設(shè)電子由靜止釋放的縱坐標為,到達邊界時的速度大小為 ,對應邊界上點的
坐標為,則有,對電子在磁場中做圓周運動有,得 ,
解得 。
（3） 能經(jīng)過 點的電子釋放點的縱坐標應滿足的條件。
【答案】
【解析】 能經(jīng)過 點的粒子軌跡如圖所示,
設(shè)釋放點縱坐標為,則有
即滿足時電子能經(jīng)過 點。

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