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(共66張PPT)
專題十 磁場
考向四 帶電粒子在疊加場中的運動
2025年高考物理專題復習資料
考點切片
考點1 帶電粒子在疊加場中的直線和圓周運動
1.［多選］（2024重慶八中月考）真空中存在著如圖所示的相互
垂直的勻強電場和勻強磁場，電場強度大小為 ，磁感應強度大
小為，一質量為，電荷量為 的帶負電小球恰能在此空間中做
直線運動，觀察到某時刻小球速度 的方向如圖中所示。重力加
速度為 ，下列說法中正確的是( )
ACD
A.小球做勻速直線運動 B.小球做勻變速直線運動
C. D.
【解析】 若小球不做勻速直線運動,速度大小在改變,小球受到的洛倫茲力大
小在改變,由于小球所受電場力和重力不變,故可知小球所受合外力在改變,合外力與速度
方向不可能一直在同一直線上,即不可能在此空間中做直線運動,故小球一定做勻速直線
運動。
小球做勻速直線運動,受力分析如圖所示,
,,,聯(lián)立解得 ,
。
2.［多選］（2024安徽卷）空間中存在豎直向下的勻強電場和垂直于紙面向里的勻強磁
場，電場強度大小為，磁感應強度大小為。一質量為的帶電油滴 ，在紙面內做半
徑為的圓周運動，軌跡如圖所示。當運動到最低點 時，瞬間分成兩個小油滴Ⅰ、Ⅱ，
二者帶電荷量、質量均相同。Ⅰ在點時與的速度方向相同，并做半徑為 的圓周運動，
軌跡如圖所示。Ⅱ的軌跡未畫出。已知重力加速度大小為 ，不計空氣浮力與阻力以及Ⅰ、
Ⅱ分開后的相互作用，則( )
ABD
A.油滴帶負電，所帶電荷量的大小為
B.油滴做圓周運動的速度大小為
C.小油滴Ⅰ做圓周運動的速度大小為，周期為
D.小油滴Ⅱ沿順時針方向做圓周運動
【解析】 油滴做圓周運動,故重力與電場力平衡,可知其帶負電,由 ,解得
。
由洛倫茲力提供向心力有,解得,解得油滴 做圓周運動的速度大
小為 。
設小油滴Ⅰ的速度大小為,得,解得 ,周期為
。
帶電油滴 分離前后動量守恒（【點撥】帶電油滴在其速度方向上的合外力為零,故
帶電油滴在其速度方向上的動量守恒,可以對其速度方向上列動量守恒求解。
）,設分離后小油滴Ⅱ的速度為,取油滴 分離前瞬間的速度方向為正方向,得
,解得 ,由于分離后的小油滴受到的電場力和重力仍然平衡,分
離后小油滴Ⅱ的速度方向與正方向相反,由左手定則可知小油滴Ⅱ沿順時針方向做圓周運
動。
. .
考點2 帶電粒子在疊加場中的復雜曲線運動
大招62 對應練習
解題覺醒
1.題型特征：帶電粒子在磁場中所受除洛倫茲力外的合力不為零，粒子的速度大小和方
向都會改變，粒子運動軌跡是一條擺線。
2.解題技巧
配速法：把初速度分解成兩個分速度，使其一個分速度對應的洛倫茲力與重力
（或電場力，或重力和電場力的合力）平衡，另一個分速度對應的洛倫茲力使粒子做勻
速圓周運動，這樣一個復雜的曲線運動可以看成勻速直線運動與勻速圓周運動的合運動，
這種方法叫配速法。
3.［多選］（2024山西晉城一中檢測）空間內存在電場強度大小
、方向水平向左的勻強電場和磁感應強度大小
、方向垂直紙面向里的勻強磁場（圖中均未畫出）。
一質量、帶電荷量的小球從 點由靜止釋放，
小球在豎直面內的運動軌跡如圖中實線所示，軌跡上的點離
最遠且與的距離為，已知小球經(jīng)過 點時的速度大小為
，重力加速度取 。下列說法正確的是( )
BCD
A.在運動過程中，小球的機械能守恒 B.小球經(jīng)過 點時的速度最大
C.小球經(jīng)過點時的速度為0 D.
【解析】 小球在運動過程中有電場力做功,機械能與電勢能之間發(fā)生轉化,因此在
運動過程中,小球的機械能不守恒。
根據(jù)題中數(shù)據(jù)有 ,即重力與電場力大小相
等,由于兩者方向垂直,如圖所示,則兩力的合力大小為
,根據(jù)配速法,由于小球在 點處于靜
止,則兩個分速度 大小相等,方向相反,結合題意知其中一個速
度沿方向,另一個沿反方向,速度大小滿足, 解得
（【大招運用】運用大招配速法。帶電粒子在正交的勻強磁場和勻強電場（或重力場）
中運動,若所受洛倫茲力與電場力（或重力）不平衡而做復雜的曲線運動時,采用配速法,
為帶電粒子配上一對等大反向的速度或對帶電粒子的初速度進行分解。那么帶電粒子復
雜的曲線運動就可等效為沿某一方向的勻速直線運動和沿某一方向的勻速圓周運動的合
. .
. .
運動。）,沿方向和反方向的兩個速度分別產(chǎn)生兩個洛倫茲力和,與 二力平衡,
小球受到做勻速圓周運動,所以小球的實際運動是沿 方向的勻速直線運動和初速度
沿方向的圓周運動的合運動,則 ,由洛倫茲力提供向心
力有,解得,由于軌跡上的點離 最遠,
可知,勻速圓周分運動恰好對應半個周期,此時圓周運動的分速度方向平行于虛線向下,即
小球的兩個分速度方向相同,則合速度最大,即小球經(jīng)過 點時的速度最大,且最大值為
。
根據(jù)上述分析知,小球經(jīng)過 點時,再一次回到了虛線上,可知勻速圓周分運動恰好對
應一個周期,此時圓周運動的分速度方向平行于虛線向上,即小球的兩個分速度方向相反,
則合速度最小,最小值為 。
根據(jù)上述分析知,小球距離虛線最遠的距離 。
4.［多選］（2024寧夏銀川一中模擬）如圖所示，一質量為、電荷量為 的帶電粒子，
以初速度從左端中央沿虛線射入正交的電場強度大小為 的勻強電場和磁感強度大小
為的勻強磁場區(qū)域中。若，則粒子從右端某點 （圖中未標出）離開時的速率為
，偏移量為 ，粒子的重力不計，下列說法正確的是( )
AD
A.粒子從點離開時的速率
B.粒子有可能從虛線的下方離開磁場
C.粒子在電磁場中運動的最大速度為
D.粒子在該區(qū)域中運動的加速度大小恒為
【解析】 粒子從進入復合場到點的過程中,只有電場力做功,由于 ,可知
,洛倫茲力大于電場力,粒子向上偏轉,電場力做負功,由動能定理有
,解得 。
運用大招配速法,設,將粒子的速度分解為水平向右的 和水平向右的
,則粒子的運動可分解為以速度 向右的勻速直線運動（電場力和洛倫茲力平衡）
和以初速度 向右的逆時針方向的勻速圓周運動,當粒子經(jīng)過圓周運動周期的整數(shù)倍
回到最低點時,兩分運動速度同向,合速度最大為 ,粒子的合力大小為勻速圓周運動的合
力大小,為,由牛頓第二定律 知加速度大小恒為
。
5.（2024甘肅卷）質譜儀是科學研究中的重要儀器，其
原理如圖所示。Ⅱ為速度選擇器，勻強電場的電場強度
大小為 ，方向沿紙面向下，勻強磁場的磁感應強度
大小為，方向垂直紙面向里。從 點釋放的帶電粒子
（不計重力），加速后進入速度選擇器做直線運動、
再由 點進入分離器做圓周運動，最后打到照相底片的
點處，運動軌跡如圖中虛線所示。
（1） 粒子帶正電還是負電？求粒子的比荷。
【答案】 帶正電;
【解析】 粒子在Ⅲ區(qū)域磁場中向上偏轉,根據(jù)左手定則可知,粒子帶正電
粒子在Ⅱ區(qū)域中做直線運動,必是勻速直線運動,則有
粒子在Ⅰ區(qū)域中,根據(jù)動能定理有
聯(lián)立解得 。
（2） 求點到 點的距離。
【答案】
【解析】 粒子在Ⅲ區(qū)域磁場中做勻速圓周運動,根據(jù)洛倫茲力提供向心力有
根據(jù)幾何關系有
結合（1）問解得 。
（3） 若速度選擇器Ⅱ中勻強電場的電場強度大小變?yōu)椋源笥?，方向不變，
粒子恰好垂直打在速度選擇器右擋板的點上。求粒子打在 點的速度大小。
【答案】
【解析】 將粒子進入速度選擇器時的速度分解為水平向右的速度大小為 和水
平向左的速度大小為,則粒子在速度選擇器中的運動就分解為了以速度 向
右的勻速直線運動和以速率 逆時針的勻速圓周運動（【點撥】粒子在磁場與其他場的
雙場疊加場中的曲線運動問題,一般采用配速法求解。）由于粒子垂直打在 點,則粒子
在點的速度 。
. .
. .
跳跳學長 有話說
粒子
Ⅲ區(qū)域：洛倫茲力提供向心力
Ⅱ區(qū)域：分解
垂直打在速度選擇器右擋板的點
考點3 帶電粒子在疊加場中運動的科技應用
6.（2024海南瓊海嘉積中學期末）如圖所示，平
行金屬板間分布著豎直向下，電場強度
的勻強電場和垂直紙面向里、
磁感應強度的勻強磁場，直線 與兩
金屬板平行且等間距。從左側的點沿直線
射入大量不同速率的帶正電粒子，不計粒子重
力及粒子間的相互作用，則有( )
D
A.速率的粒子，向直線 上方偏離，速率將逐漸減小
B.速率的粒子，向直線 下方偏離，速率將逐漸增大
C.速率的粒子，由于電荷量 未知，不能確定粒子的運動軌跡
D.若粒子帶負電，速率為，將沿直線 勻速運動
【解析】 速率 的帶正電粒子,受到電場力方向豎直向下,電場力大
小；由左手定則可知受到的洛倫茲力豎直向上,洛倫茲力大小 ,比較可
知得,則帶正電粒子向直線 下方偏離。
當速率的帶正電粒子從左側的點沿直線 射入時,比較可知得
,則帶正電粒子向直線 上方偏離。
速率的粒子從左側的點沿直線 射入時,受到的洛倫茲力與電場
力大小相等、方向相反,粒子受到的合力為零,粒子沿直線 做勻速直線運動。
若粒子帶負電,速率為的粒子從左側的點沿直線 射入時,受到電
場力方向豎直向上,由左手定則可知受到的洛倫茲力豎直向下,受到的洛倫茲力與電場力
仍相等,則帶負電粒子將沿直線 勻速運動。
【點撥】在速度選擇器中,粒子的受力特點：同時受到方向相反的電場力和洛倫茲力作
用。粒子能勻速通過速度選擇器的條件：電場力和洛倫茲力平衡,即,, 與
粒子電性和質量無關。只有速度為 ,沿特定方向射入的粒子才能沿直線勻速通過速
度選擇器。
7.（2024廣西南寧二中模擬）磁流體發(fā)電機又叫等離子體發(fā)電機，如圖所示，高溫燃燒
室在 的高溫下將氣體全部電離為正離子與負離子，即高溫等離子體。高溫等離
子體經(jīng)噴管提速后以 的速度進入矩形發(fā)電通道。發(fā)電通道有垂直于噴射速度
方向的勻強磁場，磁感應強度為 ，等離子體在通道內發(fā)生偏轉，在兩極間形成電勢
差，已知發(fā)電通道長，寬，高 ，等離子體的電阻率
，則以下判斷正確的是( )
C
A.穩(wěn)定工作時，發(fā)電機的電動勢為
B.開關 斷開時，高溫等離子體不能勻速通過發(fā)電
通道
C.當外接電阻為 時，電流表示數(shù)為
D.當外接電阻為 時，發(fā)電機輸出功率最大
【解析】 發(fā)電機穩(wěn)定工作時,離子在復合場中有 ,則發(fā)電機電動勢
。
開關斷開時,高溫等離子體在洛倫茲力作用下發(fā)生偏轉,導致極板間存在電壓,當電場
力與洛倫茲力平衡時,高溫等離子體可以勻速通過發(fā)電通道。
由電阻定律有 ,得發(fā)電機內阻為 ,由閉合電路歐姆定律得,當外接
電阻為 時,電流為 。
根據(jù)電源輸出功率和外電阻關系可知,當外電路總電阻 時,發(fā)電機輸出
功率最大。
8.［多選］（2024河南聯(lián)考）電磁流量計可以測量截面
為圓形的污水管內污水流量，其簡化結構如圖所示，污
水管直徑為，管壁絕緣，其左右兩側有一對電極和 ，
通電線圈通有圖示方向電流，形成的磁場方向與污水管
垂直，磁感應強度大小為 ，已知單位時間內流過管道
橫截面的液體體積叫作液體的流量。當污水沿如圖所示
的方向流過測量管時，穩(wěn)定工作后電壓表示數(shù)為 ，則
下列說法正確的是( )
AC
A.極電勢高，極電勢低 B.極電勢低， 極電勢高
C.該污水管的流量為 D.該污水管的流量為
【點撥】污水處理器穩(wěn)定工作后,污水中帶電粒子不再發(fā)生偏轉。
由安培定則可知通電線圈在污水管區(qū)域形成的磁場方向豎直向下,由左手定則
可知污水中正離子受力向左側,負離子受力向右側,所以極電勢高, 極電勢低。
穩(wěn)定工作時,粒子所受電場力與洛倫茲力大小相等,即,解得 ,流
量,可得流量 。
9.（2023年1月浙江卷）某興趣小組設計的測量
大電流的裝置如圖所示，通有電流 的螺繞環(huán)在
霍爾元件處產(chǎn)生的磁場 ，通有待測電流
的直導線 垂直穿過螺繞環(huán)中心，在霍爾元
件處產(chǎn)生的磁場。調節(jié)電阻 ，當電流
表示數(shù)為時，元件輸出霍爾電壓 為零，則
待測電流 的方向和大小分別為( )
D
A., B., C., D.,
【解析】 霍爾元件輸出的電壓為零,則霍爾元件中的載流子不發(fā)生偏轉,即霍爾元
件所在處的磁感應強度為零,故螺繞環(huán)在霍爾元件處所產(chǎn)生磁場的磁感應強度與直導線
在霍爾元件處所產(chǎn)生磁場的磁感應強度大小相等、方向相反,即,解得 ,
又由安培定則可知螺繞環(huán)在霍爾元件處產(chǎn)生的磁場方向豎直向下,則直導線在該處產(chǎn)生
的磁場方向應豎直向上,由安培定則可知直導線中的電流方向由到 。
覺醒集訓
1.（2024湖北武漢六中月考）圖中關于磁場中的四種儀器的說法錯誤的是( )
D
A.圖甲中要使粒子獲得的最大動能增大，可以
增大D形盒的半徑
B.圖乙中不改變質譜儀各區(qū)域的電場、磁場時擊
中光屏同一位置的粒子比荷相同
C.圖丙是載流子為負電荷的霍爾元件通過如圖所
示電流和加上如圖磁場時 側帶負電荷
D.圖丁長寬高分別為、、 的電磁流量計加上
如圖所示磁場，若流量 恒定，則前后兩個金屬
側面的電壓與、、 均無關
【解析】 在回旋加速度器中,由洛倫茲力充當向心力有,可得 ,可
知,在回旋加速器所處磁場一定的情況下,粒子射出回旋加速度的最終速度跟D形盒的半
徑有關,半徑越大獲得的速度越大,動能就越大,因此題圖甲中要使粒子獲得的最大動能增
大,可以增大D形盒的半徑。
粒子經(jīng)過質譜儀的速度選擇器時,只有滿足的粒子才能被選擇,可得 ,
顯然,經(jīng)過質譜儀的速度選擇器區(qū)域的粒子速度 都相同,經(jīng)過偏轉磁場時擊中光屏同一位
置的粒子在偏轉磁場中做圓周運動的軌跡半徑相等,根據(jù)牛頓第二定律有 ,
可得,由此可知,打在同一位置的粒子的比荷 都相同。
在霍爾元件中,因載流子帶負電,而電流的方向為正電荷定向移動的方向,可知帶負電
的載流子移動方向與電流方向相反,根據(jù)左手定則可知,帶負電的載流子在洛倫茲力的作
用下向著霍爾元件的側偏轉,使 側帶上負電。
經(jīng)過電磁流量計的帶電粒子會在洛倫茲的作用下向著前后兩個側面偏轉,使前后兩
個側面產(chǎn)生電勢差,從而形成電場,當前后兩個側面帶上足夠多的電荷后將形成穩(wěn)定的電
場,此時滿足,其中表示液體的流速,即此時兩側電壓達到最大值,則有 ,
聯(lián)立可得,而流量,解得,則前后兩個金屬側面的電壓與、 無關,
但與 有關。
本題選擇錯誤選項,故選D。
2.如圖所示，用天平測量勻強磁場的磁感應強度，下列各選
項所示的載流線框匝數(shù)相同，邊長 相等，將它們分別掛
在天平的右臂下方，線框中通有大小相同的電流，天平處
于平衡狀態(tài)。若磁場發(fā)生微小變化，天平最容易失去平衡
的是( )
A
A. B. C. D.
【解析】 天平原本處于平衡狀態(tài),所以線框所受安培力變化越大,天平越容易失去
平衡,由于線框平面與磁感應強度方向垂直,且線框不全在磁場區(qū)域內,所以線框與磁場邊
界的交點間的長度等于線框在磁場中的有效長度（【點撥】導線的有效長度等于導線兩
端點對應直線的長度。）,由選項圖可知,A選項線框的有效長度最長,磁感應強度 和電
流大小相等,所以 變化時A選項線框所受的安培力變化最大,天平最容易失去平衡。
3.［多選］（2025重慶聯(lián)考）如圖所示，水平面上固定有一內
表面為四分之一光滑圓弧面的滑塊，點為圓弧的最低點，
點與圓心等高，且。空間分布有從圓心 沿圓弧半
徑方向向外輻射的磁場，圓弧面上的磁感應強度大小均為 。
現(xiàn)將一根不太長且質量分布均勻的導體棒靜置在 點，然后
在該導體棒中通以垂直紙面的電流（電路未畫出），若僅通
AD
A.導體棒 中通的是垂直紙面向里的電流
B.導體棒 中通的是垂直紙面向外的電流
C.導體棒 受到圓弧面的作用力一直增大
D.導體棒 受到圓弧面的作用力一直減小
過逐漸改變導體棒中的電流大小，使該導體棒沿著圓弧面從點緩慢移動到 點，則
下列說法正確的是( )
【抓題眼】題述中的“緩慢移動”,代表導體棒 移動過程中始終處于平衡狀態(tài)。
導體棒沿著圓弧面從點緩慢移動到 點過程中,該導體棒始終處于平衡狀態(tài),
所受安培力沿圓弧切線向上,由左手定則可知,棒內所通電流方向垂直紙面向里。
設運動過程中,導體棒與 點的連線與豎直方向的
夾角為 ,其受力如圖所示,由力的平衡條件可知,圓弧面對該
導體棒的作用力 ,從點緩慢移動到 點過程中,
逐漸增大,可知 一直減小。
4.（2023全國乙卷）如圖，一磁感應強度大小為 的勻強磁場，
方向垂直于紙面（平面）向里，磁場右邊界與 軸垂直。
一帶電粒子由點沿正向入射到磁場中，在磁場另一側的
點射出，粒子離開磁場后，沿直線運動打在垂直于 軸的接
收屏上的點；,與屏的距離為，與軸的距離為 。
A
A. B. C. D.
如果保持所有條件不變，在磁場區(qū)域再加上電場強度大小為 的勻強電場，該粒子入射
后則會沿 軸到達接收屏。該粒子的比荷為( )
【解析】 帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動,其運動軌跡如圖所示,
5.［多選］（2023重慶高三開學大聯(lián)考）在粒子物理的研究中使用的一種球狀探測裝置
的橫截面的簡化模型如圖所示。內圓區(qū)域有垂直于紙面向里的勻強磁場，外圓是探測
器。和為內圓的兩條相互垂直的直徑，兩個粒子先后從 點沿徑向射入磁場。粒
子1經(jīng)磁場偏轉后打在探測器上的點，粒子2經(jīng)磁場偏轉后打在探測器上的 點。裝置
內部為真空狀態(tài)，忽略粒子所受重力及粒子間相互作用力，下列說法正確的是( )
BD
A.粒子2可能為電子
B.若兩粒子的比荷相等，則粒子1的入射速度小于粒子2的入射速度
C.若兩粒子的比荷相等，則粒子1在磁場中運動的時間小于粒子2在磁
場中運動的時間
D.若減小粒子2的入射速度，則粒子2可能沿 方向離開磁場
【解析】
6.［多選］（2025安徽蚌埠模擬）如圖甲所示，和 是豎直放置的足夠長的不帶電平
行金屬板，間距為，兩板間有垂直紙面向外、磁感應強度為 的勻強磁場。一電子從
板上的小孔垂直金屬板射入，打到板時的速度方向與射入方向的夾角為 。若讓
兩板分別帶上圖乙所示的等量異種電荷，電子以同樣的速度射入后恰好打不到 板，已
知電子的比荷為 ，則( )
CD
A.圖甲中電子的軌跡半徑為
B.圖甲中電子從射入到打在板所需的時間為
C.電子從小孔射入時的速度大小為
D.圖乙中兩極板間的電勢差大小為
【解析】 題圖甲中電子的運動軌跡如圖1所示,由幾何關系可得
,可得電子的軌跡半徑為,由洛倫茲力提供向心力可得 ,可得
電子從小孔射入時的速度大小為,電子從射入到打在 板所需的時間為
。
題圖乙中設電場強度大小為,將電子射入速度 進
行如圖2分解,其中豎直向下分速度 產(chǎn)生的洛倫茲力與
電場力平衡,則有,得 ,可知電子在復合
場中將以在豎直方向向下做直線運動,同時以速率
逆時針做勻速圓周運動,電子以同樣的速度射入后恰好打不到 板,則對于圓周運動的軌
跡如圖3所示,由幾何關系可得 ,由洛倫茲力提供向心力可得
,聯(lián)立可得 ,解得
,又,聯(lián)立解得 ,則題圖乙
中兩極板間的電勢差大小為 。
7.（2024四川綿陽中學月考）如圖所示，在 坐標系中的第一
象限內存在沿軸正方向的勻強電場，第二象限內存在大小為 、
方向垂直坐標平面向外的有界圓形勻強磁場（圖中未畫出），一
粒子源固定在軸上點，沿 軸正方向釋放出速度大小均為
的電子，電子經(jīng)電場后恰好從軸上的 點進入第二象限，進入
第二象限后，電子經(jīng)磁場偏轉后通過軸時，速度方向沿著 軸負
方向。已知電子的質量為、電荷量為，電場強度 ，不
考慮電子的重力和電子間的相互作用，求:
（1） 點的軸坐標 ；
【答案】
【解析】 電子垂直電場方向進入勻強電場,做類平拋運動,由類平拋運動規(guī)律確定出射坐標
對電子由牛頓第二定律可得
解得
電子做類平拋運動,有
可知軸坐標為
聯(lián)立解得 。
（2） 電子通過點的速度大小及速度方向與軸正方向的夾角 ；
【答案】 ;
【解析】 依題意,分解電子在點的速度,可得,
解得
又
解得 。
（3） 圓形磁場區(qū)域的最小面積。
【答案】
【解析】 電子在勻強磁場中做勻速圓周運動,軌跡如圖
可得
解得軌道半徑為
根據(jù)幾何關系可得邊界圓半徑
最小面積
解得 。
8.（2024浙江嘉興檢測）如圖所示為某種新型質
譜儀結構簡化示意圖，半徑為 的圓內有垂直于
紙面向外、大小為的勻強磁場，圓心為，
為豎直方向的軸線，點右側圓周上的 處有一粒
子源，可以正對 點發(fā)射出速度、電
荷量相等，質量不同的帶正電粒子，圓形磁場上
方關于軸線 對稱放置兩塊正對的平行金屬板
和，兩金屬板長均為，間距為 ，
金屬板下邊緣連線 與圓形磁場最高點在同一
水平線上，金屬板上邊緣連線 上方存在范圍足夠大、方向垂直于紙面向內的磁感應
強度為的勻強磁場，連線上有一可左右平移的探測板。已知從 點射出的電
荷量為、質量為的粒子，恰好沿軸線 進入兩金屬板之間區(qū)域。不計粒子之間的相
互作用，兩金屬板間的電場為勻強電場（不考慮邊緣效應），不計粒子重力，已知
，， ，求:
（1） 粒子源發(fā)射的粒子速率 ；
【答案】
【解析】 帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動,則
根據(jù)題意知
解得 。
（2） 兩金屬板之間不加電壓時，能從金屬板之間區(qū)域射出的粒子的質量范圍；
【答案】
【解析】 設質量為的粒子恰好從點射出,粒子離開磁場時與方向夾角為 ,由幾
何關系得,
此時粒子在磁場中做圓周運動的半徑
所以
同理,設質量為的粒子恰好從點射出,則
所以能從金屬板之間區(qū)域射出的粒子質量范圍是
。
（3） 兩金屬板之間不加電壓時，要使探測板上表面能接收到所有從金屬板之間射出的
粒子，板的長度至少為多少？
【答案】
【解析】 從點進入上部分磁場的粒子經(jīng)磁場偏轉返回邊界到達 點,偏移的橫向距離
從點進入上部分磁場的粒子經(jīng)磁場偏轉返回邊界到達 點,偏移的橫向距離
如圖1,則之間距離至少是 。
圖1
（4） 當兩金屬板間加上恒定電壓時，要使得質量為 的粒子能夠打在題（3）中
相應位置的探測板上，電壓 的最大值是多少？
【答案】
【解析】 間不加電場時,粒子打在點。若間加上向左的電場,質量為 的粒子將
打在極板上,而無法打在探測板上。當間加上向右的電場,質量為 的粒子恰好從
射出時,極板間電壓最大,由（3）知,粒子從 射出經(jīng)磁場偏轉后向左的偏移距離仍為
即粒子一定打在探測板上,如圖2所示
圖2
則垂直極板方向和平行極板方向的速度分別為
對垂直極板方向位移和平行極板方向位移分別用幾何關系和運動學公式可得
將上述五式聯(lián)立求得
又
解得 。
覺醒原創(chuàng)
1.如圖，一半徑為的圓形勻強磁場區(qū)域，圓心為 ，磁感應強度大
小為，方向垂直于紙面向里。圓形磁場邊界上的 處有一粒子源，
可向紙面內的多個方向發(fā)射質量為、電荷量為 的同種帶電粒子，
其中發(fā)射出去的粒子的速率為，發(fā)射方向在與半徑 左側夾角
為 與半徑右側夾角為 之間，不計粒子重力和粒子之間
的相互作用力，則圓形磁場邊界上有粒子打到的弧長為( )
B
A. B. C. D.
【解析】 帶電粒子在磁場中運動時洛倫茲力提供向心力,
有,代入數(shù)據(jù)解得 （【點撥】粒子軌跡半徑與
圓形磁場邊界的半徑相等,為磁發(fā)散模型,粒子都垂直于直徑
向左側射出磁場。）。設與半徑夾角為 斜向右上方發(fā)
射的粒子打到圓形磁場邊界上的 點,作出該粒子的軌跡如圖所
示,圓心為,連接、和,則為一菱形, 與初
速度方向垂直（【點撥】 為粒子軌跡半徑,發(fā)射速度沿粒子
軌跡切線方向,由幾何知識可知兩者垂直。）,則 ,
,根據(jù)磁發(fā)散的規(guī)律可得粒子打到圓形磁場邊界上的范圍為
弦對應的劣弧,長度為 。
. .
. .
. .
2.［多選］如圖，一個邊長為的正方形 內分布著垂直于紙面向外的勻強磁場，
磁感應強度的大小為，在邊上距點為的 點處有一粒子源，可以向磁場區(qū)域的
范圍內連續(xù)均勻發(fā)射質量為、電荷量為 的帶電粒子，發(fā)射粒子的速度
大小均為，不計粒子的重力及粒子間的相互作用，已知， ，
，則下列說法正確的是( )
BD
A.打到邊上的粒子數(shù)占發(fā)射粒子總數(shù)的
B.粒子打到邊上區(qū)域的長度為
C.從邊射出粒子與邊的夾角可能超過
D.帶電粒子在磁場中運動的最長時間為
圖甲
【解析】 帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動時洛倫茲力提供向心力,
有,粒子運動速度為 ,代入數(shù)據(jù)解得粒子軌跡半徑為
。當粒子剛好與邊相切時運動軌跡如圖甲所示,圓心為 ,切點為
,過點作的垂線,與交點為,與交點為,在直角三角形 中,
設為 ,,則 ,根據(jù)幾何關系可得當粒子運動
軌跡剛好與邊相切時,其初速度方向與邊夾角為 ,則發(fā)射粒子速度方向與 邊
夾角小于 的所有粒子都可以打到邊上,則打到 邊上的粒子數(shù)占發(fā)射粒子總數(shù)的
。
圖乙
當粒子剛好與邊相切時粒子從邊上的 點射出,根據(jù)幾何關系可
得點到的距離為,則點和點關于 點對稱,則
,當帶電粒子恰好與邊相切時運動軌跡如圖乙所示,圓心為 ,切
點為,與邊的交點為,過點作的垂線,交點為 ,根據(jù)幾何關系可得
,設為 ,,則 ,則
,根據(jù)幾何關系可得,粒子打到邊上的區(qū)域為 之間,
長度為 。
圖丙
當帶電粒子從上的點邊射出時,其圓心在,過做 邊的垂
線交于,如圖丙所示,由幾何關系可知 ,所以帶電粒子從 點射
出時與邊的夾角為 。由幾何關系可知,在出射點由點靠近 點的
過程中,圓的弦長變短,弧長變短,帶電粒子射出時的速度方向與 邊的
夾角變小,即帶電粒子從邊射出時與邊的最大夾角為 。
如圖乙所示,粒子軌跡為劣弧時弦長越長運動時間越長,從 點射出時有最長弦長為
,即從點射出的粒子在磁場中運動時間最長,當帶電粒子恰好與邊相切打到 點時,
過點作的垂線交于,,設為 ,,
則 。在磁場中轉過角度為 ,帶電粒子運動周期為
,運動最長時間為 。
3.2024年6月13日，新一代人造太陽“中國環(huán)流三號”項
目在國際上首次發(fā)現(xiàn)并實現(xiàn)了一種先進磁場結構，對
提升核聚變裝置的控制運行能力具有重要意義。如圖
是環(huán)流器局部截面的磁場簡化示意圖，環(huán)形磁場區(qū)域
內邊界半徑為、外邊界半徑為 ，內有磁感應強度
大小為的勻強磁場。以區(qū)域圓心 為原點建立平面直
角坐標系，點的坐標為，在點 處放置一個
粒子源，粒子源可以向外發(fā)射質量為、電荷量為 的帶正電的粒子。帶電粒子所受重
力及它們之間的相互作用均忽略不計。
（1） 若粒子源只朝 軸正方向發(fā)射粒子，要將粒子全部約束在外邊界以內，求粒子發(fā)
射速度的最大值；
【答案】
圖甲
【解析】 粒子源只朝 軸正方向發(fā)射粒子時,要將粒子全部約束在外
邊界以內,則恰好不射出外邊界的粒子軌跡與外邊界相切,作出粒子軌
跡圖如圖甲所示,設粒子的軌跡半徑為 ,根據(jù)幾何關系有
解得
帶電粒子在磁場中運動時洛倫茲力提供向心力,有
解得,即粒子發(fā)射速度的最大值為 。
（2） 若粒子源只朝 軸正方向發(fā)射粒子，要將粒子全部約束在外邊界以內，求粒子發(fā)
射速度的最大值；
【答案】
圖乙
【解析】 粒子源只朝 軸正方向發(fā)射粒子時,要將粒子全部約束在外
邊界以內,則恰好不射出外邊界的粒子軌跡與外邊界相切,設粒子從 點
進入磁場,作出粒子軌跡圖如圖乙所示,在直角三角形中設 為
,則
解得 ,即
則
在三角形中根據(jù)余弦定理有
解得
帶電粒子在磁場中運動時洛倫茲力提供向心力,有
解得,即粒子發(fā)射速度的最大值為 。
（3） 若粒子源沿平面向外 范圍內均勻發(fā)射粒子的速度大小均為 ，求射
出外邊界的粒子數(shù)與約束在外邊界以內的粒子數(shù)之比。
【答案】
【解析】 若粒子源沿平面向外 范圍內均勻發(fā)射粒子的速度大小均為
帶電粒子在磁場中運動時洛倫茲力提供向心力,有
解得
圖丙
設粒子軌跡恰好與外邊界相切時從 點進入磁場,射入磁場時速度方向
與軸正方向的夾角為 ,作出粒子運動軌跡如圖丙所示
設為 ,為 ,在三角形 中根據(jù)余弦定理有
與 互余,則
在三角形中,根據(jù)正弦定理有
將代入解得,則 或
由此可知,當帶電粒子的發(fā)射方向角 介于 之間時,粒子無法離開外邊界,粒
子源沿平面向外 范圍內發(fā)射粒子,則射出磁場外邊界的范圍共 ,所以射出
外邊界的粒子數(shù)與約束在外邊界以內的粒子數(shù)之比為 。
跳跳學生傳妙招
帶電粒子在勻強磁場中運動問題通常與幾何關系相聯(lián)系,常用的幾何關系:一是直角三角
形的勾股定理和邊角關系,二是三角形的正弦定理和余弦定理。

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